Ein erweitertes Poisson INAR(1)-Modell

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1 Ein erweitertes Poisson INAR(1)-Modell Christian H. Weiß Fachbereich Mathematik Technische Universität Darmstadt

2 Zähldatenzeitreihen und -prozesse Populär bei reellwertigen stationären Prozessen: ARMA(p,q)-Modelle. Sei (ϵ t ) Z weißes Rauschen, dann X t = α 1 X t α p X t p + ϵ t + β 1 ϵ t β q ϵ t q, wobei α 1,..., α p, β 1,..., β q R geeignet gewählt. Beispiel: AR(1)-Modell X t = α X t 1 + ϵ t mit Autokorrelationsfunktion ρ X (k) = α k. Nicht auf Zähldatenprozesse anwendbar: I. A. ist α X N 0.

3 Modellierung von Zähldatenzeitreihen Poisson-INAR(1)-Modell

4 Poisson-INAR(1)-Modell INAR(1)-Modell: Ersetze Multiplikation in AR(1)-Rekursion X t = α X t 1 + ϵ t durch binomial thinning ( binomiale Ausdünnung ): Hat X Wertebereich N 0, und ist α (0; 1), so α X := X i=1 Y i, wobei Y i unabhängige, binäre ZV mit P (Y i = 1) = α, auch unabhängig von X. (Steutel & van Harn, 1979) Es gilt: E[α X] = E[α X], aber stets α X N 0.

5 Beispiel: Poisson-INAR(1)-Modell INAR(1)-Modell mit Poisson-verteilten Innovationen: Sei α (0; 1), sei (ϵ t ) N i.i.d. P o(λ) und X 0 P o( λ 1 α ). Prozess (X t ) N0, definiert durch Rekursion X t = α X t 1 + ϵ t, t 1, sowie durch geeignete Unabhängigkeitsannahmen, heißt Poisson-INAR(1)-Prozess. (McKenzie, 1985)

6 Poisson-INAR(1)-Modell Grundlegende Eigenschaften: (X t ) N0 stationäre Markovkette, Randverteilung P o( λ 1 α ), E[X t ] = V [X t ] = λ 1 α (Equidispersion), AR(1)-Abhängigkeit: ρ X (k) = α k, P (k l) := P (X t = k X t 1 = l) = min (k,l) j=0 ( l j )α j (1 α) l j e λ λk j (k j)! > 0.

7 Poisson-INAR(1)-Modell Interpretation von α X := X i=1 Y i : Population von Größe X zu gewisser Zeit t. Später zur Zeit t+1: Population geschrumpft, weil manche Individuen verstorben. Sterben alle Individuen unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit 1 α Zahl der Überlebenden gegeben durch α X.

8 Poisson-INAR(1)-Modell Interpretation & Beispiele: X t }{{} Population zur Zeit t = α X t 1 } {{ } Überlebende der Zeit t 1 + ϵ t. }{{} Immigration X t : Zahl der Nutzer, die auf Webserver zugreifen. ϵ t : Zahl neuer Nutzer, α X t 1 : Zahl früherer Nutzer, welche noch immer aktiv. X t : Zahl der Kunden. ϵ t : neue Kunden, X t 1 α X t 1 : Kunden, welche am Ende der vorigen Periode verloren.

9 Poisson-INAR(1)-Modell Datenbeispiel aus Jung & Tremayne (2011): Zeitreihe (Länge 800) zur Anzahl sog. iceberg orders (vgl. Frey & Sandas, 2009) pro 20 Min. bei 32 Handelstagen im 1. Quartal 2004 bzgl. Aktien der Deutschen Telekom (XETRA, Deutsche Börse). Out[14]= t

10 Poisson-INAR(1)-Modell Datenbeispiel (iceberg orders): Autokorrelations- und partielle Autokorrelationsfunktion: Lag Corr Lag Corr Klare AR(1)-Abhängigkeit!

11 Poisson-INAR(1)-Modell Datenbeispiel (iceberg orders): Mittlere Anzahl: ca , ML-Schätzwerte: ˆλ ML (0.038), ˆα ML (0.023). Denkbare Interpretation: Reproduktionswahrscheinlichkeit von 55 % (Händler zeigt nächsten Teil des Auftrags), mittlere Innovationsrate von 0.64 (neue iceberg orders). Aber: Empirische Varianz ca , d. h. etwa 55 % Überdispersion.

12 Modellierung von Zähldatenzeitreihen INARCH(1)-Modell

13 INARCH(1)-Modell Definition: Sei (X t ) Z Prozess mit Wertebereich N 0 = {0, 1,...}, sei b > 0 und 0 < a < 1. (X t ) Z folgt dem INARCH(1)-Modell wenn X t, bedingt auf X t 1, X t 2,..., Poisson-verteilt ist mit zug. Erwartungswert E[X t X t 1, X t 2,...] = b + a X t 1, d. h. X t P o(b + a X t 1 ). (Heinen, 2003)

14 INARCH(1)-Modell Grundlegende Eigenschaften: (X t ) Z stationäre, ergodische Markovkette, Übergangswahrscheinlichkeiten (Zhu & Wang, 2009) P (k l) = exp ( b a l) (b+a l)k k! > 0, AR(1)-Abhängigkeit: ρ X (k) = a k, alle Momente existieren (Ferland, 2006).

15 INARCH(1)-Modell Weiß (2009): Rekursionsschema für Randkumulanten: κ 1 = 1 a b, κ n = (1 a n n 1 ) 1 j=1 s n,j κ j for n 2, wobei s n,j die Stirlingzahlen erster Art sind: s n,0 = 0 und s n,n = 1 für n 1, s n+1,j = s n,j 1 n s n,j für j = 1,..., n und n 1. Insbesondere liegt Randverteilung mit Überdispersion vor: κ 1 = b 1 a = E[X t], κ 2 = b (1 a)(1 a 2 ) = V [X t].

16 INARCH(1)-Modell Datenbeispiel (iceberg orders): ML-Schätzwerte: ˆb ML (0.041), â ML (0.032). Interpretation analog Poisson-INAR(1)-Modell. Empirische Überdispersion: ca. 55 %, Modellüberdispersion 1/(1 â 2 ML ): ca. 53 %. Vergleich der Modelle: Poisson-INAR(1): AIC , BIC ; INARCH(1): AIC , BIC

17 Ein erweitertes Poisson-INAR(1) -Modell Work in progress

18 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Motivation: Wie kann man das Poisson-INAR(1)-Modell mit Rekursion X t = α X t 1 + ϵ t, (ϵ t ) N i.i.d. gemäß P o(λ), modifizieren, um Überdispersion zuzulassen? Ändere Verteilung der Innovationen (vgl. Weiß (2008)); ändere thinning und Verteilung der Innovationen (vgl. Weiß (2008)); Idee: Erlaube seriell abhängige Innovationen!

19 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell In Anlehnung an Vorschlag von Buckley & Pollett (2010) (dort bezogen auf infinite-patch-metapopulationsmodelle) nehmen wir an: Die Innovation ϵ t hängt funktional von voriger Beobachtung X t 1 ab, d. h. ϵ t P o ( f(x t 1 ) ), wobei f : N 0 (0; ). (X t ) N0 ist weiterhin homogene Markovkette, mit P (k l) := P (X t = k X t 1 = l) ( l j) α j (1 α) l j e f(l) f(l) k j = min (k,l) j=0 (k j)! > 0. Innovationen (ϵ t ) N im Allgemeinen nicht mehr i.i.d.!

20 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Analog zu Buckley & Pollett (2010) sei von nun an f(x) = a x + b, mit Achsenabschnitt b > 0. Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell: Seien α, a (0; 1) mit α + a < 1, sei b > 0. Der Prozess (X t ) N0 folgt der Rekursion X t = α X t 1 + ϵ t für t 1, wobei, gegeben X t 1, α X t 1 und ϵ t unabhängig sind, auch unabhängig von X t 2, X t 3,..., ϵ t 1, ϵ t 2,... und α X t 2, α X t 3,..., und ϵ t verteilt ist gemäß P o(a X t 1 + b).

21 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Interpretation: X t = α X t 1 + ϵ t, ϵ t P o(a X t 1 + b). analog zu gewöhnlichem Poisson-INAR(1)-Modell, aber mit folgendem Zusatzmerkmal: Immigration wird attraktiver, wenn aktuelle Population groß ist, d. h. die grundsätzliche, mittlere Immigrationsrate b wird erhöht um a X t 1.

22 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Beziehung zu anderen Modellen: Aus der Definition folgt: D X t = Yt, Y t,xt 1 + ν t, wobei die Y t,k und ν s jeweils i.i.d., auch unabhängig voneinander, und wobei ν s P o(b) und Y t,k B(1, α) + P o(a). (X t ) N0 verteilt wie branching process with immigration (Letzteres wegen b > 0).

23 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Beziehung zu anderen Modellen: (Forts.) Zusammen mit der Eigenschaft, dass (X t ) N0 irreduzibel und aperiodisch ist (da (X t ) N0 echt positive Überg.wahrsch. hat), folgt unter Anwendung eines Satzes aus Heathcote (1966): Für α + a < 1 besitzt (X t ) N0 eine stationäre Randverteilung, entsprechend ist (X t ) N0 sogar ergodisch.

24 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Beziehung zu anderen Modellen: (Forts.) X t = α X t 1 + ϵ t, ϵ t P o(a X t 1 + b). a Grenzfall a 0: Poisson-INAR(1)-Modell. Grenzfall α 0: INARCH(1)-Modell. INARCH 1 1 Extended Poisson INAR 1 i.i.d. Brücke 0 1 Poisson INAR 1 Α

25 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Stochastische Eigenschaften der Beobachtungen X t : E[X t X t 1,...] = (α + a) X t 1 + b, V [X t X t 1,...] = ( α(1 α) + a ) X t 1 + b; E[Xt n X t 1,...] = ( n n j=0 ) µj,b(xt 1 j,α) µ n j,p o(a X t 1 +b) ; µ X := E[X t ] = σ 2 X := V [X t] = µ X b 1 (α+a), 1 α 2 1 (α+a) 2 ( Überdispersion); E[(X t µ X ) 3 ] = µ X (1 α3 )(1 α 2 +aα+2a 2 )+3aα(1 α) (1 (a+α) 2)( 1 (a+α) 3) ; ρ X (k) = (α + a) k für k 1 ( AR(1)-Abhängigkeit).

26 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Stochastische Eigenschaften der Innovationen ϵ t : ϵ t P o(a X t 1 + b); µ ϵ := E[ϵ t ] = (1 α) µ X, σ 2 ϵ := V [ϵ t ] = σ2 X 1+α (1 α 2 αa(2 a) ) ; ρ ϵ (k) = a (α + a) k 1 (1 + αa σ2 X σ 2 ϵ ) für k 1, d. h. seriell abhängige Innovationen.

27 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Parameterschätzung: Likelihood-Funktion L(α, a, b) = T t=1 P (X t X t 1 ), numerische Maximierung des Log-Likelihood ergibt ML-Schätzer ˆα ML, â ML,ˆb ML. Momentschätzer können basieren auf b = µ X (1 ρ X (1) ), α = a = ρ X (1) α. 1 σ2 X µx (1 ρ X (1) 2),

28 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Datenbeispiel (iceberg orders): ML-Schätzwerte: ˆb ML (0.040), ˆα ML (0.058), â ML (0.059). Empirische Überdispersion: ca. 55 %, 1 ˆα Modellüberdispersion 2 ML 1 (ˆα ML +â ML ) 2: ca. 29 %. Vergleich der Modelle: Poisson-INAR(1): AIC , BIC ; INARCH(1): AIC , BIC ; Erw. Poisson-INAR(1): AIC , BIC

29 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Datenbeispiel (iceberg orders), Interpretation: Beobachtete Autokorrelation nicht allein durch Reproduktionsmechanismus bestimmt (Händler zeigt nächsten Teil des Auftrags), sondern auch durch Abhängigkeit der Innovation ϵ t von voriger iceberg-zahl X t 1 (Steigerung des Basismittels um ca X t 1 ). Liegen viele iceberg orders zur Zeit t 1, werden zusätzliche neue iceberg orders angezogen. (Aufdeckung von iceberg orders: Frey & Sandas (2009).)

30 Erweitertes Poisson-INAR(1)-Modell Mögliche weitere Schritte: Asymptotik von Schätzern, Testverfahren zur Abgrenzung der Modelle, andere funktionale Abhängigkeit, z. B. Immigration weniger attraktiv bei großer Population; density dependence z. B. bei binomialem AR(1)-Modell, eng verwandt zu n-patch-metapopulationsmodellen.

31 Vielen Dank für Ihr Interesse! Christian H. Weiß Fachbereich Mathematik Technische Universität Darmstadt

32 Literatur Buckley & Pollett (2010): Limit theorems for discrete-time metapopulation models. Probab. Surveys 7, Ferland et al. (2006): Integer-valued GARCH processes. Jour. Time Series Analysis 27(6), Frey & Sandas (2009): The impact of iceberg orders in limit order books. CFR working paper Heathcote (1966): A branching process allowing immigration. Jour. Roy. Stat. Soc. B 28(1), Heinen (2003): Modelling time series count data: an autoregressive conditional Poisson model. CORE Discussion Paper No Jung & Tremayne (2011): Useful models for time series of counts or simply wrong ones? Adv. in Stat. Analysis 95(1), McKenzie (1985): Some simple models for discrete variate time series. Water Resources Bulletin 21(4), Steutel & van Harn (1979): Discrete analogues of self-decomposability and stability. Ann. Prob. 7(5), Weiß (2008): Thinning operations for modelling time series of counts a survey. Adv. in Stat. Analysis 92(3), Weiß (2009): Modelling time series of counts with overdispersion. Stat. Meth. Appl. 18(4), Zhu & Wang (2009): Estimation and testing for a Poisson autoregressive model. Metrika 73(2),