Bestimmung des Elastizitätsmoduls von Kunststoffen bei hohen Dehnraten am Beispiel von PP

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1 Besimmung des Elasiziäsmoduls von Kunssoffen bei hohen Dehnraen am Beispiel von PP Von der Fakulä Maschinenbau der Universiä Sugar zur Erlangung der Würde eines Dokor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmige Abhandlung Vorgeleg von Dipl.-Ing. Marin Keuerleber aus Rui auf den Fildern Haupbericher Mibericher Prof. Dr.-Ing. Peer Eyerer Prof. Dr. rer. na. Siegfried Schmauder Tag der mündlichen Prüfung: 25. Augus 26 Insiu für Kunssoffprüfung und Kunssoffkunde der Universiä Sugar Sugar 26

2 Große Zei is es immer nur, wenn s beinahe schief geh, wenn man den Augenblick fürchen muß: Jez is alles vorbei. Da zeig sich s. Courage is gu, Ausdauer is besser. Theodor Fonane [ ], Der Sechlin 2

3 Danksagung Die vorliegende Arbei ensand während meiner Täigkei als wissenschaflicher Miarbeier am Insiu für Kunssoffprüfung und Kunssoffkunde (IKP) der Universiä Sugar sowie als Miarbeier bei der DaimlerChrysler AG. Mein besonderer Dank gil dem Direkor dieses Insius, Herrn Prof. Dr.-Ing. Peer Eyerer, für die Freiräume und Freiheien, die er mir für die Durchführung meiner Arbei gewähre sowie für die Möglichkei an seinem Insiu mi hervorragender apparaiver Aussaung arbeien zu können. Für seine Raschläge und insbesondere seine Geduld mi der Ferigsellung dieser Promoion über meine Zei am IKP hinaus, möche ich mich herzlichs bedanken. Mein Dank gil ebenfalls Herrn Prof. Dr. rer. na. Siegfried Schmauder für seine Anregungen und sein Ineresse an dieser Arbei sowie für die Übernahme des Miberichs. Herzlich bedanken möche ich mich bei allen Kolleginnen und Kollegen, insbesondere bei Frau Dr.-Ing. Nina Woicke und den Herren Dr.-Ing. Bernhard Hegemann, Hans Klink, Dr.-Ing. Hans-Chrisian Ludwig, Ulf Müller und Günher Trinkle, für deren Anregungen und Mihilfe, die wesenlich zum Gelingen dieser Arbei beigeragen haben. Auch den vielen Sudenen, die im Rahmen ihrer Sudien- und Diplomarbeien meine Arbei unersüz haben sowie den wissenschaflichen Hilfskräfen, insbesondere meiner Ialian- Connecion Fabio Uzeri und Andrea Morena, möche ich ganz herzlich danken. Ich danke meiner Muer für ihre Unersüzung und Förderung, ohne sie häe ich meine wissenschafliche Täigkei nich aufnehmen können. Meiner lieben Frau Claudia danke ich für das Redigieren der Arbei und für den Verzich von zahlreichen Wochenenden und Abenden, an denen ich über der Arbei gesessen bin. Sugar, im Sepember 26 Marin Keuerleber 3

4 Inhalsverzeichnis Inhalsverzeichnis... 4 Nomenklaur... 7 Zusammenfassung Absrac Einleiung Problemsellung Zielsezung und Lösungsweg Sand der Technik Direke Besimmung des E-Moduls Versuchsechniken für hohe Geschwindigkeien Auswereverfahren zur Besimmung des Elasiziäsmoduls Handauswerung des E-Moduls (manuelles Verfahren) Auswerung des E-Moduls zwischen fesen Grenzen Auswerung des E-Moduls zwischen berechneen Grenzen Berechnung des E-Moduls in einem Auswereinervall Zusammenfassung der Auswereverfahren Indireke Besimmung des E-Moduls Zusammenhang von Spannung und Dehnung Verknüpfung von E-Modul mi Schub- und Kompressionsmodul Herleiung des Maxwell-Modells Überragung des Maxwell-Modells auf verschiedene Belasungsfälle Zei-Temperaur-Superposiionsprinzip (ZTS) ZTS-Ansaz gemäß Arrhenius ZTS-Ansaz gemäß WLF Beschreibung miels Polynomfunkion Werksoff und Probenhersellung Unersuche Werksoffe Werksoff isoakisches Polypropylen (ipp) Thermoplasisches Polyolefin (TPO) Langglasfaser versärkes Polypropylen (PP-LGF) Probenhersellung Hersellung der Proben aus ipp für Zugversuche

5 3.2.2 Hersellung der Proben aus ipp für Schubversuche (DMA) Hersellung der Proben aus ipp für Kompressionsversuche Hersellung der Proben aus TPO für Zugversuche Hersellung der Proben für Zugversuche aus PP-LGF Versuchsmehodik Zugversuche an ipp Schubversuche an ipp Kompressionsversuche an ipp Zugversuche an TPO und PP-LGF Direke Besimmung des E-Moduls - Zugversuche Versuchsvorrichung zur Durchführung von Schnellzerreißversuchen Unere Einspannung Obere Einspannung Versuchsdurchführung und Versuchsauswerung Versuchsdurchführung Versuchsauswerung Unersuchung der Einflussfakoren auf die Versuchsergebnisse Wegmessung Unersuchung der Konsanz der Abzugsgeschwindigkei Unersuchung des Prellschlages Schwingungsminimierung durch den Einsaz von Dämpfungsmaerialien Unersuchung der Abasrae Versuchsergebnisse und deren Auswerung Einfluss der Versuchsgeschwindigkei und -emperaur Manuelles Auswereverfahren zur Besimmung des Elasiziäsmoduls Indireke Besimmung des E-Moduls DMA-Versuche Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Versuchsergebnisse und deren Auswerung Kompressions-Versuche Enwicklung einer Versuchsvorrichung zur Messung des Kompressionsmoduls Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Versuchsergebnisse und deren Auswerung

6 5.3 Simulaionsergebnisse Vergleich zwischen Simulaion und manuellem Auswereverfahren Auswereverfahren zur Besimmung des E-Moduls Typische Kurvenformen Auswereverfahren aus der Lieraur Feses Inervall Mehode des kleinsen Fehlerquadras lineare Approximaion Gleiende quadraische Polynom-Approximaion Berechnung eines Auswereinervalls mi Hilfe der Krümmung Berechnung eines Auswereinervalls mi Hilfe einer kubischen Funkion Neues auomaisieres Auswereverfahren Mehode des auomaisieren Auswereverfahrens Opimieres auomaisieres Auswereverfahren Überragung des Auswereverfahrens auf andere Werksoffe Thermoplasisches Polyolefin (TPO) - Airbag-Cover-Maerialien Langglasfaser versärkes Polypropylen (PP-LGF) Ausblick Anhang Herleiung eines einzelnen Maxwell-Elemens Herleiung des dynamischen Schubmoduls (DMA-Versuche) Herleiung des Relaxaionsmoduls (Kompressionsversuche) Herleiung des Elasiziäsmoduls für konsane Dehnrae (Zugversuch) Herleiung der Soßgeseze Lieraurverzeichnis Lebenslauf

7 Nomenklaur Laeinische Formelzeichen A Fläche [mm²] A Anfangsquerschni, Bezugsfläche [mm²] a Beschleunigung [m/s²] a T Zei-Temperaur-Verschiebefakor [-] a TK Zei-Temperaur-Verschiebefakor für Belasungsfall Kompression [-] a TS Zei-Temperaur-Verschiebefakor für Belasungsfall Schub [-] b Breie bzw. Breie des parallelen Bereichs eines Zugsabes [mm] b e Breie der Enden eines Zugsabes [mm] b m Milere Breie eines Zugsabes [mm] C Geschwindigkei einer elasischen Welle [m/s] c 1 Variable in WLF-Gleichung [-] c 2 Variable in WLF-Gleichung [-] d Dehnungsabweichung [-] oder [%] Ε Energieinhal des Reakionssysems (Akivierungsenergie) E Elasiziäsmodul, Federseifigkei [MPa] E Tes Tes-Elasiziäsmodul (bei linearer Approximaion) [MPa] E r Elasiziäsensor [-] e Euler sche Funkion [-] F Kraf [N] F Masseräghei Krafaneile aufgrund von Massenrägheien [N] F Messkraf gemessene Kraf [N] F Prozesskraf Krafaneile des Probekörpers [N] f Frequenz [Hz] f abas Abasfrequenz [Hz] f signal Frequenzen des Messsignals [Hz] G Schubmodul [MPa] G Realeil des Schubmoduls, Speichermodul [MPa] G Imaginäreil des Schubmoduls, Verlusmodul [MPa] G* dynamischer Schubmodul (komplex) [MPa] I Sammfunkion [-] r I Einheismarix [-] 7

8 K Kompressionsmodul [MPa] k maerialspezifischer Koeffizien bei Arrhenius [-] L Ausgangslänge, Einspannlänge [mm] L e Länge der Enden eines Zugsabes [mm] L m Länge der Schulern eines Zugsabes [mm] L red Reduziere Einspannlänge [mm] L S Länge des parallelen Bereichs eines Zugsabes [mm] L akuelle Länge L zur Zei [mm] dl Differenialquoien der Länge L [mm] ΔL Längenänderung: L -L [mm] M w Massemiel [g/mol] m Masse [kg] m oal akive (oale) Masse [kg] N Anzahl Messpunke bei Berechnung der linearen Regression [-] n Anzahl bzw. Zähler [-] p Hilfsfakor zur Berechnung der reduzieren Einspannlänge [-] R allgemeine Gaskonsane (R = 8314,41 J/kmol K) [J/kmol K] r Radius der Schuler eines Zugsabes [mm] r² Verrauens-/Besimmheiskoeffizien (bei linearer Regression) [-] S Seigung, Seigungsquoien [-] s ij Komponene einer dreidimensionalen Spannung [MPa] T akuelle Temperaur [ C] T Referenzemperaur [ C] T g Glasübergangsemperaur [ C] T ref Referenzemperaur [ C] Zeipunk / akuelle Zei [s] vorhergehender Zeipunk [s] Referenzzei [s] V 1 Seigung bei linearer Regression [-] v Geschwindigkei [m/s] X Dehnung bei linearer Regression [-] X Milere Dehnung bei linearer Regression [-] x w x-koordinae eines Wendepunkes [-] Y Spannung bei linearer Regression [MPa] 8

9 Y Milere Spannung bei linearer Regression [MPa] y w y-koordinae eines Wendepunkes [-] Griechische Formelzeichen an δ Verlusfakor [-] Dehnung [-] oder [%] el elasische Dehnung / elasische Dehnungskomponene [-] oder [%] ges Gesamdehnung [-] oder [%] ij Komponene einer dreidimensionalen Dehnung [-] oder [%] echn echnische Dehnung, bezogen auf Ausgangslänge [-] oder [%] v viskose Dehnung / viskose Dehnungskomponene [-] oder [%] wahr wahre Dehnung, Henky-Dehnung [-] oder [%] & Dehnrae, Dehngeschwindigkei [1/s] & ges gesame Dehnrae, Dehngeschwindigkei [1/s] & v viskose Deformaionsgeschwindigkei [1/s] & Dehnrae, Dehngeschwindigkei bei Referenzemperaur [1/s] φ empirischer Fakor [-] γ Gleiung bzw. Schiebung, ensprich v [-] oder [%] η Viskosiä [Pa s] ν Querkonrakionszahl [-] η Charakerisische Relaxaionszei, = E [s] σ Spannung [MPa] σ el elasische Spannung / elasische Spannungskomponene [MPa] σ ges Gesamspannung [MPa] σ echn echnische Spannung [MPa] σ v viskose Spannung / viskose Spannungskomponene [MPa] σ& el Elasische Spannungsrae, Spannungsgeschwindigkei σ Gemiele Spannung (Mielwer bei linearer Regression) [MPa] σ r Spannungsensor [-] τ Schubspannung [MPa] τ 1, τ 2 τ n vorhergehende Zeipunke zum Zeipunk [s] ω Kreisfrequenz einer sinusförmigen Belasung [Hz] 9

10 Abkürzungen CAE Compuer Aided Engineering DMA Dynamisch-Mechanisch-Analyse (Schubversuch) DMS Dehnmesssreifen E-Modul Elasiziäsmodul EPDM Ehylen-Propylen-Dien-Kauschuk FDA Feindehnungsaufnehmer FEA Finie-Elemen-Analysis FEM Finie Elemen Mehode HE-NE-Laser Helium-Neon-Laser ipp isoakisches Polypropylen MARC FEM-Simulaions-Sofware der Firma MSC PE Polyehylen PP Polypropylen PP-LGF Langglasfaser versärkes Polypropylen RT Raumemperaur TPE Thermoplasisches Elasomer WLF Williams-Landel-Ferry (Ansaz für Zei-Temperaur-Verschiebungsprinzip) ZTS Zei-Temperaur- Superposiionsprinzip (ensprich ZTV) ZTV Zei-Temperaur-Verschiebungsprinzip (ensprich ZTS) 1

11 Zusammenfassung Im Auomobilbau werden aus Kosengründen und zur Gewichsopimierung Kunssoffe versärk eingesez. Der Trend geh zu Kunssoffbaueilen, die sicherheiskriisch sind bzw. hohen dynamischen Belasungen ausgesez sind, wie beispielsweise Airbags, Insrumenenafeln [38] und Fron-Ends [76]. Deshalb muss ihr Crash-Verhalen miels CAE-Mehoden simulier werden [38]. Die Simulaionsprogramme benöigen Maerialkennwere, die aus Versuchen an normieren Prüfkörpern generier werden. Von allen Kennweren beeinfluss insbesondere der E-Modul die Prognosegüe, wie eine Parameersudie mi PamCrash zeig [79]. Ziel dieser Arbei is die Besimmung des E-Moduls bei hohen Dehnraen und hierfür ein kosengünsiges Prüfverfahren mi hoher Messqualiä und Reproduzierbarkei zu enwickeln. Dazu werden zwei verschiedene Ansäze unersuch: 1. Direke Besimmung des E-Moduls aus uni-axialen Zugversuchen Bei der direken Besimmung des E-Moduls wird dieser manuell bzw. auomaisier aus Spannungs-Dehnungs-Kurven von Zugversuchen ermiel. Uni-axiale Zugversuche wurden bei verschiedenen Geschwindigkeien (,1 m/s bis 8 m/s) und Temperauren (-1 C bis 4 C) durchgeführ. Dazu wurde eine neue Versuchsvorrichung für Schnellzerreißversuche (Geschwindigkei >,1 m/s) enwickel und gebau sowie eine Versuchsdurchführung und auswerung erarbeie. Einflussfakoren auf die Versuchsergebnisse wurden unersuch, insbesondere die Messung des Prellschlags miels Beschleunigungssensoren und die Dehnungsberechnung mi der reduzieren Einspannlänge nach DIN [13]. Die manuelle Auswerung des E-Moduls im linearelasischen Bereich (Bereich mi konsaner Seigung) is personenabhängig und nich reproduzierbar. Durch eine Opimierung konne sie als Referenz für das auomaisiere Auswereverfahren verwende werden. 2. Indireke Besimmung des E-Moduls aus Schub- und Kompressionsversuchen Bei der indireken Besimmung wird der E-Modul mi Hilfe der FEM-Sofware MARC berechne. In der Sofware wurde ein allgemeines viskoelasisches Maxwell-Modell über eine User-Subrouine implemenier und die Parameer der Maxwell-Elemene aus Schubund Kompressionsversuchen besimm. Die Schubmodule wurden frequenz- und emperaurabhängig gemessen, daraus eine Maserkurve erzeug und diese in ihr Relaxaionsspekrum und die Verschiebefakoren a TS zerleg. Für die Anpassung der Verschiebefakoren wurde ein neuer empirischer Ansaz über 11

12 eine Arkusangens-Funkion erarbeie, da WLF- und Arrhenius-Funkionen nich anwendbar waren. Eine Versuchsvorrichung wurde enwickel und gebau, um den Kompressionsmodul aus Relaxaions-Isohermen zu gewinnen. Ensprechend den Schubversuchen wurde eine Maserkurve erzeug und für die Anpassung der Verschiebefakoren ein Ansaz miels Arkusangens-Funkion verwende. Die Verschiebefakoren a TK aus den Kompressionsversuchen unerscheiden sich von denen aus den Schubversuchen. Für Geschwindigkeien größer,3 m/s sind die mi der Simulaion ermielen E-Module um bis zu 2 % kleiner gegenüber dem manuellen Verfahren. Dies is einerseis auf das nichlineare Maerialverhalen von ipp und andererseis auf die nich vorhandene Volumenkonsanz zurück zu führen. Somi gewinnen die auomaisieren Auswereverfahren zur direken Besimmung des E-Moduls an Bedeuung. Es wurde ein neuer Ansaz gefunden, der dem Einlaufverhalen der Spannungs-Dehnungs-Kurven aus den Schnellzerreißversuchen gerech wird. Die unere Grenze des Auswereinervalls repräsenier den Wendepunk der Kurve, der miels Differenzenquoienen berechne wird. Die Größe des Auswereinervalls is konsan und wurde empirisch ermiel, dami is auch die obere Grenze des Inervalls definier. Die Abweichung zum manuellen Auswereverfahren is im Allgemeinen kleiner 1 %. Die Überragbarkei des Auswereverfahrens wurde an einem Airbag-Cover-Maerial und an einem Langglasfaser versärken PP-Maerial (PP-LGF) überprüf. Für das seifere Maerial (PP-LGF) war die Überragbarkei gegeben, da die Inervallgröße passend war. Für das weniger seife Maerial (Airbag-Cover-Maerial) musse die Inervallgröße angepass und vergrößer werden. Eine allgemeine Anwendbarkei auf beliebige Maerialien bei angepasser Inervallgröße is gegeben. Es wurde somi ein Verfahren enwickel, mi dem eine auomaisiere und reproduzierbare Besimmung des E-Moduls aus Spannungs-Dehnungs-Kurven durchgeführ werden kann. 12

13 Absrac In he auomobile indusry, plasics are used for crash-relevan pars (e.g. insrumen panels, fron-ends), so crash-simulaions of hese pars gain imporance. These simulaion-programs need inpu parameers in form of maerial values, which are generaed on es specimens. A parameer sudy wih he FEA-program PamCrash has shown ha he simulaion qualiy is mainly influenced by he Young s-modulus. Aim of he work is he deerminaion of Young s-modulus a high srain raes. To realize he aim, a esing mehod o obain cheaply maerial values wih a high accuracy and reproducibiliy has o be developed. Two differen approaches are pursued: 1. Direc deerminaion of he Young s-modulus ou of high speed ensile ess The Young s-modulus is deermined manually and auomaically by sress-srain-curves of high-speed ensile ess. The ess were done a varying velociies (,1 m/s o 8 m/s) and emperaures (-1 C o 4 C). A new esing device was developed and consruced for high-speed ensile ess. The es procedure and daa reamen was elaboraed. The influence facors on he es resuls were invesigaed, especially he oscillaions on he force signal by acceleraion sensors and he calculaion of he srain wih he reduced iniial lengh according o DIN [13]. The manual deerminaion of he Young s-modulus in he parallel region of he sresssrain-curve is saff depending no reproducible. Due o an opimisaion, i sill can be used as reference for resuls of auomaic procedures for he Young s -Modulus deerminaion. 2. Indirec deerminaion of he Young s-modulus by shear- and compression ess A he indirec deerminaion, he Young s-modulus is calculaed wih he help of he FEA-sofware MARC. A visco-elasic Maxwell model is implemened in he FEAprogram MARC by a user-subrouine and feed wih experimenal daa of shear- and compression-ess. The shear-experimens were carried ou a differen emperaures and frequencies. The measured isohermal Shear-Modulus were used o obain a maser-curve. This masercurve was separaed in shifing facors and a relaxaion specrum. The shifing-facors a TS were deermined by a new empiric formulaion using an arcan-funcion, as WLF- and Arrhenius-funcion did no work. 13

14 For he compression ess (longiudal bulk), a new es se-up was designed and evaluaed o obain iso-hermal relaxaion curves. According o he shear-experimens, a maser curve was generaed and shifing-facors a TK were deermined by an empiric formulaion using an arcan-funcion. The facors a TK from compression-ess differ from he ones of shear-ess. In endency, he simulaion resuls are oo weak for velociies larger han,3 m/s. The failure amouns o 2 % a 8m/s compared wih manual deermined Young s-modulus. The reason for he inaccuracy can be found in he non-linear maerial behaviour of ipp and he insufficien maerial model, as a volume consancy was assumed. As he indirec deerminaion of he Young s-modulus is no delivering sufficien resuls, he direc deerminaion by auomaic procedures gains on imporance. A new approach was found which mees he demands of he warped sress-srain-curves of high-speed ensile ess. The lower limi of he evaluaion inerval is represened by he urning poin of he curve and calculaed by he difference quoien. The size of he evaluaion inerval is consan and empirically deermined. Therefore, he upper limi is also defined. In general, he failure is below 1 % and he auomaic procedure mees a sufficien accuracy. The ransfer of he procedure o oher maerials was esed wih an airbag-cover maerial and a long-fibre reinforced PP-maerial (PP-LGF). For he siffer maerial (PP-LGF), he assignmen is given, as he size of he evaluaion inerval fis. A he maerial wih he lower siffness (airbag-cover maerial), he size of he evaluaion inerval had o be adjused. Only a wider evaluaion inerval showed a good agreemen beween manually and auomaically deermined Young s-modulus. In general, he new auomaic procedure can be used for all maerials and sress-srain-curves for he calculaion of he Young s-modulus. 14

15 1 Einleiung 1.1 Problemsellung In der Auomobilindusrie nimm die Enwicklungszei aufgrund kürzer werdender Modellzyklen und einer varianenreichen Modellpoliik ab. Im Enwicklungsprozess werden deshalb versärk Compuer-Aided-Engineering-Mehoden (CAE-Mehoden) wie beispielsweise die Crash-Simulaion eingesez [54]. Crash-Berechnungen für Srukuren aus Meall sind sei 1986 Sand der Technik [33]. Aufgrund gesiegener Rechenleisungen werden heuzuage komplee Karosserien modellier, Eigenschafsänderungen aufgrund von Ferigungseinflüssen (z.b. das Tiefziehen von Blechen) sowie Verbindungselemene berücksichig [7]. Des Weieren beinhalen heuige kommerzielle Sofware-Pakee, beispielsweise PamCrash, LS-DYNA oder ABAQUS Explizi, eine Vielzahl von Maerialmodellen, mi denen meallische Werksoffe und deren Deformaionsverhalen mi einer hohen Prognosegüe abgebilde werden können. Aufgrund des versärken Einsazes von Kunssoffen im Auomobilbau werden heuzuage auch sicherheisrelevane Baueile aus polymeren Werksoffen oder Verbundwerksoffen geferig [3]. Diese werden im Fron-End-Bereich [76] und im Fahrzeuginnenraum (z.b. Airbags) [25], [26] eingesez. Ihr Verhalen im Crashfall is für die Sicherhei der Fahrzeuginsassen mienscheidend [38]. Es wird geforder, auch diese Kunssoffbaueile mi Hilfe von CAE-Mehoden auslegen zu können. Derzei erreich bei der Crash-Simulaion von polymeren Werksoffen die Prognosegüe noch nich das hohe Niveau wie bei den meallischen Werksoffen. Dies ha zwei Gründe: a. Fehlende Maerialkennwere Derzei exisieren zu wenig Maerialkennwere, die für die Crash-Simulaion geeigne sind [54]. Dies kann einerseis darauf zurückgeführ werden, dass bis heue keine Norm veröffenlich is, die die Generierung von Maerialkennweren aus Zugversuchen mi hohen Deformaionsgeschwindigkeien definier. Andererseis sind diese Versuche sehr aufwändig, da Kunssoffe im Gegensaz zu Meallen ein sark zei- und emperaurabhängiges Maerialverhalen besizen: Kunssoffe weisen aufgrund ihres nichlinearen Werksoffverhalens eine hohe Abhängigkei von der Zei und somi von der Deformaionsgeschwindigkei auf [58], Bild

16 Mi seigender Geschwindigkei sink die Bruchdehnung und seig der Elasiziäsmodul, der Werksoff verspröde. Es is daher nowendig, Versuche bei Geschwindigkeien durchzuführen, die auch im Crashfall aufreen [54], [73]. Kunssoffe besizen im Gegensaz zu Meallen im Anwendungsbereich bis ca. 15 C eine höhere Temperaurabhängigkei [58], Bild 1.1. Dies bedeue, dass sich das Maerialverhalen im auomobilrelevanen Temperaurbereich (-35 C bis 85 C) sark ändern kann, abhängig von der Glasübergangsemperaur T g des Polymers [58]. Mi seigender Temperaur sink der Elasiziäsmodul und seig die Bruchdehnung, das Maerialverhalen wird dukil. Für Kunssoffe müssen somi Versuche bei verschiedenen Temperauren durchgeführ werden [73]. In dieser Arbei wird bewuss ein Temperaurbereich gewähl, der die Glasübergangsemperaur beinhale und somi die Änderung des Maerialverhalens auch über diesen Bereich unersuch werden kann. σ T v Bild 1.1: Einfluss von Temperaur T und Geschwindigkei v auf des Maerialverhalen von Polymeren b. Unzureichende Maerialmodelle Die in der Sofware implemenieren Maerialmodelle sind für Kunssoffe unzulänglich, weshalb in der Regel für Kunssoffe ensprechend den Meallen elasisch-plasische Maerialmodelle verwende werden. Bei diesen Maerialmodellen sind die dominierenden Parameer der Elasiziäsmodul (E-Modul), der den elasischen Teil abbilde, sowie die Bruchdehnung bzw. Bruchspannung, die den plasischen Teil abbilde. Eine Parameersudie mi der Sofware PamCrash zeig, dass von den Eingabe-Parameern der E-Modul im Gegensaz zu anderen, wie die Querkonrakionszahl, den größen Einfluss 16

17 auf das Simulaionsergebnis besiz [79]. Daraus leie sich die Forderung nach einer möglichs exaken und reproduzierbaren Besimmung des E-Moduls ab. 1.2 Zielsezung und Lösungsweg Ziel der Arbei is die Besimmung des E-Moduls bei hohen Dehnraen sowie die Enwicklung eines Prüfverfahrens, mi dem kosengünsig Maerialkennwere bei hoher Messqualiä und Reproduzierbarkei für die Crash-Simulaion ermiel werden können. Es werden zwei verschiedene Ansäze zur Zielerreichung unersuch: a. Direke Besimmung des E-Moduls aus uni-axialen Zugversuchen Aus Zugversuchen bei verschiedenen Geschwindigkeien und Temperauren werden Spannungs-Dehnungs-Kurven und aus denen der E-Modul besimm. Dieser Ansaz is von quasi-saischen Zugversuchen abgeleie und erforder eine Vielzahl eurer Versuche. Ein Versuchsaufbau wird enwickel und bezüglich möglicher Fehlereinflussgrößen unersuch. Anschließend werden mi einer sandardisieren Versuchprozedur uni-axiale Zugversuche an isoakischen Polypropylen (ipp) bei Geschwindigkeien von,1 m/s bis 8 m/s und Temperauren von -1 C bis 4 C durchgeführ. Der Einfluss der Glasübergangsemperaur T g, bei der sich die mechanischen Eigenschafen von Thermoplasen sark ändern, wird mi unersuch. Bei der Versuchsauswerung wird nur der E-Modul berücksichig. Dieser wird sowohl manuell als auch auomaisier ermiel. Ziel is es, ein auomaisieres Verfahren zu finden, um den E-Modul reproduzierbar ermieln zu können. b. Indireke Besimmung des E-Moduls aus Schub- und Kompressionsversuchen Die indireke Besimmung des E-Moduls basier auf dem Ansaz, dass der E-Modul aus Schub- und Kompressionsmodul berechne werden kann. Es werden daher Relaxaionsspekren aus Schub- und Kompressionsversuchen bei verschiedenen Temperauren und Geschwindigkeien an Probekörpern aus ipp aufgenommen. Der Versuchsaufbau für Kompressionsversuche muss hierfür noch enwickel und unersuch werden. Aus den Relaxaionsspekren werden Maserkurven miels Zei-Temperaur-Superposiionsprinzip (ZTS) generier. Die Maserkurven dienen als Daengrundlage für ein linear viskoelasisches Maerialmodell, das auf einem allgemeinen Maxwell-Modell basier und über eine Subrouine in der 17

18 FEM-Sofware MARC implemenier is. Mi diesem Maerialmodell kann der E-Modul für verschiedene Temperauren und Belasungsgeschwindigkeien berechne werden. Der Voreil dieses Ansazes is die einfache und kosengünsige Versuchsdurchführung. Zudem is der so ermiele E-Modul frei von Sörgrößen, wie beispielsweise Schwingungen, die beim Schnellzerreißzugversuch aufreen. Um den direken und indireken E-Modul vergleichen zu können, müssen alle Probekörper die gleiche hermo-mechanische Vorgeschiche und dami eine einheiliche Morphologie besizen, da die Morphologie das Maerialverhalen beeinfluss. Das Vorgehen is in Bild 1.2 dargesell. Uni-axial Zug - neuer Versuchsaufbau - σ/-kurve (T, v) σ Kompression - neuer Versuchsaufbau - Maserkurve K(T, ) K Schub - DMA-Versuche - Maserkurve G (T, ω) G ω Auswereverfahren 1, Auswereverfahren 2, Auswereverfahren n Simulaion MARC - neues Maerialmodell - Elasiziäsmodul E(T, v) n E-Module Verifikaion E-Modul Bild 1.2: Vorgehen zur Verifikaion des Auswereverfahrens für den Elasiziäsmodul 18

19 2 Sand der Technik Dieses Kapiel behandel die heoreischen Grundlagen für die direke und indireke Besimmung des E-Moduls. Bekanne Prüfverfahren für Versuche bei hohen Dehnraen werden vorgesell und deren Anwendbarkei auf Kunssoffe erörer. Aus der Lieraur bekanne Auswereverfahren zur Besimmung des E-Moduls werden anschließend beschrieben. Für die indireke Besimmung miels FEM-Simulaion wird die Verknüpfung von Kompressions- und Schubmodul zur Berechnung des E-Moduls erläuer sowie das allgemeine Maxwell-Modell hergeleie und auf die Belasungsfälle Schub, Druck und Zug überragen. Das Zei-Temperaur-Superposiionsprinzip (ZTS) wird an mehreren Sellen in dieser Arbei verwende, verschiedene Ansäze (z.b. Arrhenius, WLF) werden diskuier. 2.1 Direke Besimmung des E-Moduls Versuchsechniken für hohe Geschwindigkeien Quasi-saische Zugversuche und die Ermilung des Elasiziäsmoduls bei niedrigen Geschwindigkeien sind Sand der Technik [16]. Üblicherweise wird ein genormer Zugsab in einer Zugprüfmaschine mi konsaner Traversen-Geschwindigkei gezogen. Die aufreenden Kräfe werden mi einer Krafmessdose und die Dehnungen der Probe mi opischen oder berührenden Exensomeern, z.b. Feindehnungsaufnehmern (FDA), gemessen [2], [16], [37]. In [15] wird ein Hysereseverfahren vorgeschlagen. Dabei wird eine Probe bis zu einem Umschalpunk (definiere Dehnung bzw. Spannung) belase, danach bis Spannung Null enlase und wieder belase. Die Sekane zwischen dem Nullpunk und dem Umschalpunk ergib den E-Modul. Dieses Verfahren is einerseis für Schnellzerreißversuche nich prakikabel und wird andererseis von mehreren Auoren [51], [67] abgelehn, da bei realen Werksoffen die Theorie des ideal linearen Spannungs-Dehnungs-Verlaufs nich gegeben is. Für Versuche bei hohen Geschwindigkeien is die Prüfmehodik und Versuchsauswerung nich normier. Einen Überblick über besehende Prüfverfahren bilden die nächsen Unerkapiel, mögliche Auswereverfahren werden anschließend diskuier. 19

20 Versuchsaufbau basierend auf einer roierenden Scheibe Die ersen Versuchsanlagen mi roierenden Scheiben gehen auf die 3er Jahre zurück [49], Bild 2.1. Der Versuchsaufbau beseh aus einer verikal gelageren runden Scheibe mi einem Durchmesser von 2. mm, auf deren Umfang zwei Nasen vorsehen. Tangenial zur Scheibe is ein Pendel angeordne, das ausgelenk und in dem eine Probe monier is. Das eine Probenende is fes an das Pendel monier, am anderen Ende befinde sich ein Querjoch. Die Scheibe wird mi einem Moor auf die gewünsche Geschwindigkei beschleunig, dann wird das Pendel mi der Probe zur Scheibe hin eingelenk. Das Querjoch wird nun von einer der beiden Nasen geroffen und die Probe belase. Scheibe Nase Pendel, ausgelenk Probe DMS Querjoch Bild 2.1: Skizze des Versuchsaufbaus der roierenden Scheibe, Pendel und Probe vergrößer Die Dehnungsmessung erfolg mi einer geriggeren Kamera, zur Krafmessung is die Probe mi DMS-Sreifen besück. Der Prüfaufbau is für Kunssoffe nich geeigne, da aufgrund der mangelnden Probenemperierung keine Messungen über die Glasübergangsemperaur T g hinweg durchgeführ werden können Spli-Hopkinson-Verfahren Das Spli-Hopkinson-Verfahren wird eingesez, um das Maerialverhalen bei Dehnraen zwischen 1 s -1 und 1. s -1 zu unersuchen [42], Bild 2.2. Bei einer Einspannlänge von 2 mm ensprich dies Deformaionsgeschwindigkeien zwischen 2 m/s und 2 m/s. 2

21 Oupu Sab Oszilloskop Inpu Sab Amboß DMS 2 DMS 1 Feslager Probe Gas Kanone Bild 2.2: Skizze eines Versuchsaufbaus des Spli-Hopkinson Bars [42] Projekil Bei dieser Technik wird eine kleine Probe zwischen zwei Säben monier. Ein Projekil wird aus einer Gas-Kanone abgefeuer und riff auf einen Amboss am Ende des Inpu-Sabes. In den Sab wird dadurch eine Soßwelle iniiier und die Probe belase. Ein Teil der Welle riff auf den Oupu-Sab, ein anderer Teil wird reflekier. Die Belasung und Deformaion der Probe wird indirek über die beiden DMS besimm. Die Welle in den elasischen Säben wird zeigleich mi einem Oszilloskop aufgezeichne. DMS 1 miss dabei die iniiiere und reflekiere Welle, DMS 2 die ransmiiere Welle. Aus der reflekieren Welle kann die Dehngeschwindigkei berechne werden [42]. Die Inegraion über der Zei ergib die Dehnung der Probe. Aus dem Signal der ransmiieren Welle in DMS 2 wird die Spannung innerhalb der Probe berechne. Eine Übersich der verschiedenen Varianen im Versuchsaufbau finde sich in [56] und [57]. Die Schwierigkei beim Spli-Hopkinson Bar beseh in der Einspannung der Probe. Einerseis muss die Spannkraf hoch genug sein, um ein Ruschen der Probe zu verhindern. Andererseis muss die mechanische Impedanz so klein sein, dass die Wellenausbreiung nich gesör wird. Um eine homogene Deformaion innerhalb des Probekörpers gewährleisen zu können, werden sehr kleine und kurze Probekörper eingesez, da deren Masseräghei klein is [42], [68], [69]. Nach [72] sind die Ergebnisse nur für Dehnraen über 4 s -1 abgesicher. Dies überseig den in dieser Arbei zu unersuchenden Geschwindigkeisbereich und die üblicherweise im Crash aufreenden Dehnraen (Kopfairbag ca. 2 s -1 [41]) Pulverberiebene Schnellzerreißmaschine In [4] wird eine Schnellzerreißmaschine beschrieben, die mi Treibladungspulver als Anriebsmiel arbeie und für eine Prüflas bis 12 MN ausgeleg is, Bild 2.3. Die Probe is links fes und rechs über einen Einspannkopf mi der Kolbensange verbunden. Zum Abbremsen nach Probenbruch is als Dämpfungselemen ein Sranggusseil aus Aluminium monier. Die 21

22 Krafmessung erfolg über DMS auf der Probe. Die maximale Probenlänge beräg 2.4 mm, die maximale Abzugsgeschwindigkei is mi ewa 6 m/s angegeben. Kolbensange Treibladung Probe Brennraum Dämpfer Bild 2.3: Versuchsaufbau der pulverberiebenen Schnellzerreißmaschine Der Prüfaufbau is für Kunssoffe überdimensionier und ungeeigne. Gegen eine Realisierung im kleineren Maßsab für Kunssoffe sprechen sicherheisechnische Aspeke und der nich konsane Geschwindigkeisverlauf Hydraulische Schnellzerreißmaschine Ein Probekörper wird an einer Schuler in einen fes monieren Spannkopf mi inegrierer DMS-Krafmessdose eingebau, Bild 2.4. Die andere Schuler is mi der Kolbensange des Anriebkolbens verbunden, der in einem Zylinderblock geführ wird. Vor dem Kolben befinde sich eine zylindrische Druckkammer, in deren Verlängerung ein Hydraulikzylinder lieg, der den Durchmesser der Druckkammer besiz. Wird ein exerner Druckspeicher geöffne, so wird der Kolben des Hydraulikzylinders beschleunig, dring in die Druckkammer ein und versperr diese. Das aus der Druckkammer verdränge Öl reib den Anriebskolben nach links, dabei wird der Probekörper belase. Das Venil sorg für einen Überdruck unerhalb des Anriebskolbens, so dass dieser gespann is, was ein Schwingen des Anriebskolbens verhinder. Die heoreisch maximale Beschleunigung beräg 1. m/s² [34]. Mi diesem Versuchsaufbau wurden Kunssoffe geprüf. Aufgrund folgender Nacheile schied dieses Prüfverfahren für diese Arbei aus: Die Probe wird während der diskoninuierlichen Beschleunigung belase, während des Versuches is der Geschwindigkeisverlauf inhomogen. Die Schulern der Probekörper sind durchbohr, um die filigrane Einspannung aufnehmen zu können. In der Praxis reen deshalb Einspannungsbrüche in der Schuler auf. Temperiere Versuche sind mi diesem Versuchsaufbau nich durchführbar [34]. 22

23 Zylinderblock Kolbensange Anriebskolben Probekörper zylindrische Spannkopf Druckkammer DMS-Krafmessdose Ausgleichsbehäler Venil Hydraulikzylinder (Druckspeicher) Bild 2.4: Prinzipskizze der hydraulischen Schnellzerreißmaschine [34] Servo-hydraulische Prüfmaschine Servo-hydraulische Zugprüfmaschinen sind gebräuchlich für das Prüfen von Kunssoffen bei hohen Geschwindigkeien [41], [44], [72], der Versuchsaufbau is in Bild 2.5 skizzier. Für die Schnellzerreißversuche wird ein spezielles Spannzeug verwende, das eine Vorbeschleunigung des Kolbens ermöglich [1], [41], [44]. Am Ende der Beschleunigung koppel das Spannzeug in ein Widerlager ein, die Probe wird belase und mi möglichs konsaner Geschwindigkei abgezogen. Beim Einkoppelvorgang ri aufgrund des Soßes ein Prellschlag auf, der das Krafsignal mi einer Schwingung überlager, die je nach Versuchsaufbau mehr oder weniger sark ausgepräg is. Um die Schwingungen auf dem Messsignal in ihrer Ampliude zu minimieren, werden of Dämpfungsmaerialien eingesez. Übliche Dämpfungsmaerialien sind Leder und Blei- oder Lödrähe. Die Krafmessung erfolg meis mi Hilfe von piezo-elekrischen Krafaufnehmern [41], [44], [72]. Bewähr haben sich hier vorgespanne und kalibriere Krafmessdosen. In Sonderfällen werden auch selbsgebaue Krafmessglieder verwende. Für die Dehnungsmessung sehen verschiedene Verfahren zur Verfügung, üblich is die Verwendung des Kolbenwegs [41], [73], der Einsaz einer High-Speed-Kamera [41], [64], [72] oder die Verwendung eines opischen Exensomeers [48]. Die verschiedenen Aren der Dehnungsmessung werden in Kapiel behandel. 23

24 Bild 2.5: Prinzipskizze des Aufbaus einer Schnellzerreißmaschine 2.2 Auswereverfahren zur Besimmung des Elasiziäsmoduls Für quasi-saische Versuche is die Durchführung von Zugversuchen an Kunssoffen und die Auswerung des Elasiziäsmoduls in DIN EN ISO 527 [16] normier. Eine Norm für die Versuchsauswerung von Versuchen bei hohen Geschwindigkeien exisier nich. Dadurch wird der E-Modul nich einheilich und reproduzierbar ausgewere, so dass der Wer des E-Moduls sowohl vom Prüflaboraorium, als auch vom Prüfer selbs abhäng. Im Rahmen dieser Arbei wird daher unersuch, welche normieren Prüfverfahren und Auswereverfahren bei verschiedenen Werksoffen für den E-Modul besehen Handauswerung des E-Moduls (manuelles Verfahren) Beim manuellen Verfahren erfolg die Auswerung des E-Moduls im linearen Teil des Spannungs-Dehnungs-Diagrammes, Grenzen für das Auswereinervall des E-Moduls werden in der Regel nich genann. Diese allgemeine Angabe wird in den Normen für Sperrholz [12] und Sahl [2], [15], [37] sowie für die allgemeine ASTM zur Besimmung des E-Moduls [3] verwende. In [3] wird der Auswerebereich als ideal elasischer Bereich definier. In [51] wird empfohlen, den Auswerebereich des E-Moduls durch Anlegen eines Lineals an den geraden Teil des Spannungs-Dehnungs-Diagrammes zu besimmen. Der E-Modul kann auch als Sekanen- oder Tangenenmodul besimm werden, dies is in [3] und [14] ausdrücklich erlaub und kann auch in allen anderen Normen aufreen, in denen der E-Modul zwischen zwei fesen Grenzen besimm wird, beispielsweise [13] und [16]. In [36] 24

25 wird vorgeschlagen, für die Besimmung des E-Moduls von Recyclingbeon, welcher ebenfalls einen viskoelasischen Werksoff darsell, einen Sekanenmodul zu bilden Auswerung des E-Moduls zwischen fesen Grenzen Zum Teil werden in Normen fese Inervallgrenzen angegeben. Dabei wird enweder ein Dehnungsinervall, wie beispielsweise für Kunssoffe [13], [16], oder ein Spannungsinervall, wie beispielsweise für Garne [18], vorgegeben. In allen Normen wird ein Einlaufbereich nich berücksichig, der sich vor der uneren Grenze des Auswereinervalls befinde. Im Einlaufbereich finden Effeke wie das Sezen oder Ruschen der Probe sa, so dass hier keine sinnvolle Auswerung durchführbar is. Der Einlaufbereich beräg in [16] beispielsweise die ersen,5 % Dehnung. Die obere Grenze soll noch gesicher im elasischen Bereich liegen, weshalb die Inervallgrößen in der Regel rech klein sind Auswerung des E-Moduls zwischen berechneen Grenzen Die obere und unere Inervallgrenze kann in Abhängigkei von charakerisischen Kurvenpunken berechne werden, beispielsweise der Sreckgrenze. Dieser Ansaz wird für Mauerwerk [11] und kohlensofffaserversärke Kunssoffe [14] verwende. Auch in [67] werden die Inervallgrenzen aus der Sreckgrenze berechne. In [36] beseh das Inervall aus einem berechneen oberen Punk (⅓ der Sreckgrenze) und dem Nullpunk. In [51] wird ein Rechenverfahren vorgeschlagen, das auf einer gleienden quadraischen Polynomapproximaion der Spannungs-Dehnungs-Kurve über ein Inervall von sieben Messpunken basier. Für jeden mileren Punk des gleienden Segmenes wird der E-Modul aus dem Differenzialquoienen besimm. Ein milerer E-Modul wird aus einem Bereich gleichbleibender Seigung berechne Berechnung der Grenzen mi Hilfe der Krümmung [67] Zur Besimmung der oberen und uneren Grenze eines Auswereinervalls, basierend auf der Kurvenkrümmung, wird die zweie Ableiung der Spannungs-Dehnungs-Kurve gebilde. Da die Messwere diskre vorliegen, wird für die Ableiung nich der Differenialquoien, sondern der Differenzenquoien verwende. Bei der zweien Ableiung wird die Spannungs- Dehnungs-Kurve zuers nach der Dehnung, anschließend wird diese Kurve nach der Span- 25

26 nung, abgeleie [67]. Dies ensprich nich der zweien Ableiung Δ²σ/Δ², sondern Gleichung 2.1: ( Δσ / Δ ) Δ Krümmung = Gleichung 2.1 Δσ Für die zulässige Krümmung wird ein Inervall um die Krümmung Null vorgegeben, durch das die Messwerpaare für den linearen Aneil der Kurve ausgewähl werden [67]. Die Grenzen des Inervalls werden in [67] nich angegeben, ebenso fehl ein Verweis auf das Auswereverfahren zur Besimmung des E-Moduls innerhalb dieser Grenzen. Die graphische Umsezung von Gleichung 2.1 is in Bild 2.6 an einer exemplarischen Spannungs-Dehnungs-Kurve zu sehen. Die Spannungs-Dehnungs-Kurve, Bild 2.6a, wird zuers nach der Dehnung abgeleie. Die so ensehende Kurve is unen links in Bild 2.6b dargesell. Anschließend wird die abgeleiee Kurve in ein anderes Koordinaensysem überführ, bei dem die Abszisse die Spannung σ und die Ordinae die Dehnung darsellen, Bild 2.6c. Die Ableiung dieser Kurve nach der Spannung σ is dann in Bild 2.6d zu sehen. Die Polsellen reen bei Minima und Maxima der ursprünglichen Spannungs-Dehnungs-Kurve auf. Daher können diese Punke sehr gu idenifizier werden. Δσ a) σ d) Δ Δσ σ b) Δσ Δ c) Δσ Δ σ Bild 2.6: Graphische Darsellung der Krümmungsberechnung nach Gleichung

27 Berechnung der Grenzen miels gleiender quadraischer Polynom-Approximaion Bei diesem Verfahren nach [51] wird ein Segmen aus sieben Daenpunken gebilde und dieses punkweise auf der Spannungs-Dehnungs-Kurve verschoben. Für jedes Segmen wird nach der Mehode des kleinsen Fehlerquadras ein quadraischer Polynomansaz berechne, der sich in den Fakoren a, a 1 und a 2 unerscheide, siehe Gleichung 2.2. Das Berechnungsverfahren is in [27] beschrieben. σ = a a Gleichung a1 + 2 Für jedes gleiende Segmen wird für dessen mileren Punk der E-Modul aus dem Differenzialquoienen besimm, er ensprich somi der Tangenenseigung des Segmens an diesem Punk. Diese E-Module werden über der Dehnung in einem Diagramm aufgeragen, siehe Bild 2.7. Dabei sollen sie einen linearen Bereich mi gleichbleibender Seigung bilden, der die Grenzen zur Berechnung eines mileren E-Moduls vorgib. 1 Mielwer E-Modul 6 8 Spannung [MPa] 6 4 Spannung E-Modul 4 2 E-Modul [MPa] 2 linearer Bereich Dehnung [%] Bild 2.7: Polynom-Approximaion des Spannungs-Dehnungs-Verlaufes, Geschwindigkei 3 m/s, Temperaur -5 C Berechnung eines Auswereinervalls mi Hilfe einer kubischen Funkion Die unere und obere Grenze eines linearen Teilsückes werden nach [35] durch saisische Mehoden berechne. Die zur Approximaion des Anfangsbereiches der Spannungs- Dehnungs-Kurve herangezogenen Grundfunkionen müssen jedes Krümmungsverhalen in den Randbereichen abbilden. Die kubischen Polynome σ = a + a + a + a Gleichung und 27

28 = b b Gleichung b1 σ + b2 σ + 3 σ leisen dies, wobei jeweils nur die monoon seigenden Äse berache werden. In Tabelle 2.1 wird mi den ensprechenden Prinzipskizzen über den Funkionsverlauf ein Überblick über die Ansazfunkionen gegeben. Tabelle 2.1: Ansazfunkionen zur Beschreibung der Hooke schen Geraden und deren Krümmungsverhalen [35] Nr. Krümmung Ausbildung der Hooke schen Geraden Gleichung 2.3 Gleichung posiiv σ σ 2 negaiv σ Krümmungsverlauf abnehmend Krümmungsverlauf zunehmend σ 3 wechselnd σ Krümmungsverlauf zunehmend Krümmungsverlauf abnehmend σ von posiiv nach negaiv von negaiv nach posiiv Durch eine schriweise, muliple Polynom-Regressionsrechnung werden die Messwere approximier. Enhalen die Polynome noch nichlineare Aneile, d.h. is einer der Koeffizienen a 2, a 3 bzw. b 2, b 3 ungleich Null, so wird die Anzahl der Messpunke reduzier. Aus dem Krümmungsverhalen kann geschlossen werden, welcher Messpunk zu eliminieren is. Bei abnehmender Krümmung wird der Messwer mi dem kleinsen Dehnungswer eliminier (linkes Ende der Kurve). Bei zunehmender Krümmung wird der Messwer mi dem größen Dehnungswer enfern (reches Ende der Kurve). 28

29 Sind in dem Ansaz die Koeffizienen a 2 und a 3 bzw. b 2 und b 3 größer Null, so lieg an der Selle 1 3 a a x w = 2 bzw. y w 3 = 1 3 b b 2 3 ein Wendepunk vor (Ansaz Nummer 3). Aus Symmeriegründen is dann der Messpunk wegzulassen, dessen Absand zu x w bzw. y w maximal is. Das Verfahren ende, wenn die Kurve um die nichlinearen Aneile reduzier vorlieg oder, wenn die Anzahl der Punke bei dem Verfahren uner eine vorgegebene Schranke sink. Anselle von kubischen können auch quadraische Polynome verwende werden [65] Berechnung des E-Moduls in einem Auswereinervall Die Berechnung des E-Moduls erfolg zwischen zwei definieren Punken, beispielsweise in [16], nach der Formel: E σ oben unen = Gleichung 2.5 oben σ unen Liegen die Messwere numerisch vor, so empfiehl [3] die lineare Regression nach der Mehode des kleinsen Fehlerquadras zur Ermilung des E-Moduls, Gleichung 2.6. Liegen N Daenpaare mi einer Dehnung X und einer Spannung Y vor, so wird daraus eine gemiele Dehnung X und eine gemiele Spannung Y berechne. Zusäzlich kann noch ein Verrauenskoeffizien r² besimm werden, wobei r² = 1 angesreb wird. E = N i 1 N ( X Y ) N X Y = Gleichung 2.6 i= 1 X 2 N X 2 Mi X N X i= = 1 und N Y N i= = 1 N Y 29

30 r 2 = N i= 1 X 2 N i= 1 ( X Y ) N i= 1 X N 2 N X i= 1 i= 1 i= 1 N N Y N 2 Y 2 N i= 1 Y N 2 Gleichung 2.7 Mi Gleichung 2.7 läss sich die Variaion der Seigung V 1 berechnen, die nich größer als 2% sein solle: V 1 = r N 2 Gleichung Zusammenfassung der Auswereverfahren Tabelle 2.2: Auflisung bekanner Auswereverfahren Verfahren Lieraur Krierien für Auswereinervall Unere Grenze Obere Grenze Handauswerung ISO 6892 [37] nich definier nich definier DIN EN 12-1 [15] nich definier nich definier DIN [12] nich definier nich definier ASTM E8 [2] nich definier nich definier ASTM E111 [3] ideal linearelasischer Bereich Ledworuski [51] nich definier nich definier Feses Inervall DIN EN ISO 527 [16],5 % Dehnung,25 %Dehnung DIN EN ISO 1618 [18] 4 mn/ex 8 mn/ex DIN [13],5 % Dehnung,25 % Dehnung ASTM E111 [3] > Vorkraf <,25% Berechnees ASTM E111 [3] Kleinses Fehlerquadra Inervall Hohberg [36] Nullpunk 1/3 Sreckgrenze Ledworuski [51] Quadraische Polynomapproximaion Sonne [67] Krümmung: 2. Ableiung und Inervall Sonne [67] Kubische Funkion [35] Sonne [67],5 Sreckgrenze,18 Sreckgrenze 3

31 2.3 Indireke Besimmung des E-Moduls Zusammenhang von Spannung und Dehnung Theorie für eindimensionale Belasungen Als Dehnungen werden Längenänderungen ΔL, die auf die Ausgangslänge L bezogen werden, bezeichne, Gleichung 2.9. Die zeiliche Ableiung der Dehnung wird als Dehnrae oder Dehngeschwindigkei & bezeichne. Δ L = Gleichung 2.9 L Werden Werksoffe deformier, bewirken die aufreenden Verformungen bzw. Längenänderungen Spannungen im Werksoff [63]. In der Mechanik wird der Quoien aus Kraf F und dem Anfangsquerschni A als Spannung σ bezeichne, Gleichung 2.1. F σ = Gleichung 2.1 A Elasische Dehnungen el können in einem linearen Zusammenhang, der Hooke schen Elasiziäsheorie, mi resulierender Spannung σ el über den E-Modul E verknüpf werden, Gleichung 2.11 σ el = E el Gleichung 2.11 Aus der Rheologie samm der Ansaz für ideal viskose Flüssigkeien, bei denen das Newon sche Gesez gil, Gleichung Hier beseh eine lineare Abhängigkei zwischen deformierender Spannung σ v und Deformaionsgeschwindigkei & v über die Viskosiä η. d v σ v = η & v = η Gleichung 2.12 d Polymere Werksoffe zeigen sowohl elasisches als auch viskoses Maerialverhalen, weshalb man sie als viskoelasisch bezeichne. Das Zusammenwirken elasischer und viskoser Komponenen ha zur Folge, dass Kenngrößen wie z.b. E-Modul, Schubmodul, ec. von der Belasungszei bzw. -geschwindigkei abhängen. Nach Überschreien der Sreckgrenze zeigen Kunssoffe plasische Deformaionen, die ebenfalls zei- und emperaurabhängig sind, aber im Gegensaz zu Deformaionen im viskoelasischen Bereich nich reversibel sind. 31

32 Theorie für dreidimensionale Belasungen Die an einem Würfel herrschenden Spannungen sind in Bild 2.8 dargesell. Die senkrech auf den Flächen sehenden Spannungen werden dabei als Normalspannungen σ, die zu den Flächen parallel gericheen als Schubspannungen τ bezeichne. Sie können in einer Marix, dem Spannungsensor r σ, zusammengefass werden, Gleichung 2.13 [71]. r σ 11 τ 12 τ 13 σ = τ 21 σ 22 τ 23 Gleichung 2.13 τ 31 τ 32 σ 33 Bild 2.8: Mehraxialer Spannungszusand, Komponenen des Spannungsensors Aufgrund des Momenengleichgewichs müssen Schubspannungen auf einer Kane beragsgleich sein, weshalb sich Gleichung 2.13 wie folg vereinfach [32]: σ 11 σ 22 r σ 11 τ 12 τ 13 σ 33 σ = τ 12 σ 22 τ Gleichung τ 23 τ 13 τ 23 σ 33 τ 13 τ 12 Gleichung 2.14 kann, je nach Anwendungsfall, sowohl in Marizen- als auch in Vekorschreibweise dargesell werden. Aufgrund von Isoropie kann der Spannungsensor in zwei Aneile aufgeeil werden: σ 11 τ 12 τ 13 τ σ τ τ 13 s τ 23 = σ 33 s s + s s s s s s s s s Gleichung 2.15 r σ r I s = + r s 32

33 1 mi der mileren Normalspannung s = ( σ 11 + σ 22 + σ 33 ) und der Einheismarix I r. 3 r Der Kugelensor I s beschreib den negaiven hydrosaischen Druck. Die Spur des Tensors s r is dami gleich Null, womi s r ein Deviaor is. Diese Aufeilung von σ r ha eine anschauliche Bedeuung: Die aus dem Kugelensor folgende Deformaion is eine Volumenänderung, während der Deviaor eine isochore Formänderung hervorruf. Dies gil sowohl für elasische wie auch unelasische Deformaion [8]. Jeder Körper reagier auf äußere Kräfe mi einer Verformung, die ebenfalls einen Richungscharaker besiz und in Komponenen darsellbar is. Verformungen infolge von Normalspannungen werden als Dehnungen, infolge von angreifenden Schubspannungen als Gleiungen γ bezeichne. Dabei gil γ = 2 Gleichung 2.16 ij ij Ensprechend den Spannungen werden die Verzerrungskomponenen im so genannen Verzerrungs- oder Dehnungsensor zusammengefass, Gleichung γ γ r = = γ 12 γ γ = Gleichung γ γ 13 γ γ 12 2 Der Deformaionsensor kann in Analogie zur Spannung ebenfalls zerleg werden: γ 2 γ γ 2 γ γ 13 2 γ = e e e + e e e e e e e e e Gleichung 2.18 r r I e = + r e 1 e und dem Deformaionsdeviaor e r. 3 Spannungen und Dehnungen werden über die Seifigkeismarix bzw. den Elasiziäsensor mi der hydrosaischen Dehnung = ( + + ) E r elasisch mieinander in Beziehung gesez. 33

34 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E21 E22 E23 E24 E25 E26 E 31 E32 E33 E34 E35 E36 E r = Gleichung 2.19 E41 E42 E43 E44 E45 E46 E51 E52 E53 E54 E55 E56 E61 E62 E63 E64 E65 E66 Aus Gleichung 2.14, Gleichung 2.17 und Gleichung 2.19 ergib sich somi folgende allgemeine Gleichung zur Beschreibung des dreiachsigen Spannungszusands: σ 11 E σ 22 E σ 33 E = τ 23 E τ 13 E τ 12 E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E γ 2 γ 2 γ Gleichung Verknüpfung von E-Modul mi Schub- und Kompressionsmodul Die Verknüpfung des E-Moduls mi dem Schub- und Kompressionsmodul sez voraus, dass die Belasung im linearelasischen Bereich safinde und dass der Werksoff ein isoropes Maerialverhalen zeig. Nach [24] sind s und e sowie s r und e r durch Fakoren verbunden: s = 3 K e Gleichung 2.21 r r s = 2 G e Gleichung 2.22 Hierbei is K der Kompressionsmodul und G der Schubmodul. Der Ansaz σ 3 G e Gleichung = s + s11 = K e führ nach [24] zu E-Modul (Gleichung 2.24) und Querkonrakionszahl ν Gleichung 2.25: 9 K G E = 3 K + G Gleichung K 2 G ν = Gleichung K + G Wird der Ansaz gemäß Gleichung 2.23 für den kompleen Spannungsensor durchgeführ, so kann daraus der Tensor E r besimm werden. Gleichung 2.24 wird auch von [17] besäig. 34