Beugung an kleinen. Jacobson-Gymnasium Seesen. Facharbeit im Seminarfach 2. Schulhalbjahr 2008/09. Daniel Edler. vorgelegt von:

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1 Jacobson-Gymnasium Seesen Facharbeit im Seminarfach 2. Schulhalbjahr 08/09 Beugung an kleinen Öffnungen vorgelegt von: Daniel Edler Schüler der Jahrgangsstrufe 12 am Jacobson Gymnasium Seesen

2 Thema der Facharbeit: Beugung an kleinen Öffnungen Seminarfachleiter: Herr Wacker Kursthema: Anleitung zum wissenschaflichen Arbeiten (2) Verfasser: Daniel Edler Mentor: Herr Wacker Ausgabetermin: 14. Januar 09 Abgabetermin: 27. Februar 09

3 Inhaltsverzeichnis 1 Beugung an kleinen Öffnungen Einleitung Huygenssches Prinzip Interferenz Kohärenz Bedingungen an die Lichtquelle Der Doppelspalt Lage der Maxima und Minima Das optische Gitter Lage der Maxima und Minima Der Einfachspalt Lage der Maxima und Minima Intensitätsverteilung Beispiel am Doppelspalt Berechnung beim optischen Gitter Berechnung beim Einfachspalt Realer Intensitätsverlauf Schlusswort Quellenverzeichnis Bücher Internetadressen Bildquellen Versicherung 18 4 Anhang - Versuchsprotokoll I

4 -1-1 Beugung an kleinen Öffnungen 1.1 Einleitung 1 Nach der geometrischen Optik besteht Licht aus feinen Lichtbündeln, die gradlinig verlaufen. Aber es gibt Phänomene, in denen dieses Modell nicht angewendet werden kann: Ein von einem Laser ausgesandter Lichtstrahl wird, wie im Kapitel 4 näher beschrieben, über eine Blende auf einen Schirm projiziert. Nach der geometrischen Optik erwartet man eine unbeeinflusste gradlinige Ausbreitung der Lichtstrahlen, wonach das Bild einen Punkt ergibt. Dies ist auch auf dem Schirm zu sehen, solange das Verhältnis von der Blendenöffnung und der Wellenlänge einen gewissen Wert hat. Verringert man jedoch die Blendenöffnung, so wird das Licht gebeugt und es ist ein sogenanntes Interferenzmuster mit unterschiedlich hellen Streifen zu erkennen. Um so ein Muster zu erklären, ist eine Erweiterung der geometrischen Optik erforderlich: die Wellenoptik entsteht. Diese sieht Licht als eine Welle an. Durch Anwendung eines Wellenmodells lassen sich auch Phänomene der Beugung erklären, die bei dem oben beschriebenen Versuch auftreten. 1.2 Huygenssches Prinzip 2 Um das im einleitenden Text beschriebene Phänomen der Beugung zu verstehen, ist es von nöten ein weiteres Modell, welches erklärt, was mit dem Licht nach der Blende passiert, einzuführen. Wie bei jeder Welle geht man hier vom Huygensschen-Prinzip aus. Es besagt, dass jeder Punkt auf einer Wellenfront wieder der Sender einer neuen Elementarwelle sein kann 1. Als Wellenfront bezeichnet man hierbei alle Punkte, die zur gleichen Zeit vom Sender der Wellen ausgesandt worden sind. Eine Wellenfront verläuft somit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, wobei bei Elementarwellen sich diese in konzentrischen Kreisen vom Sender entfernen. Die 1 vgl. 1, S. 182

5 -2- Frequenz wird dadurch nicht beeinträchtigt. Treffen nun die parallelen Wellenfronten des Laserslichtes auf die Blende, kann das Huygenssche Prinzip angewendet werden. Durch die Entstehung von Elementarwellen erreichen die Lichtwellen Stellen, die durch die geometrische Optik nicht erklärbar sind, den sogenannten geometrischen Schattenraum 2 (vgl. Ausbreitungsrichtung der Pfeile in Abb.(1)). Wenn dies nicht durch ein Mediumswechsel, wie bei der Brechung oder Reflexion, sondern an Kanten oder Spalten geschieht, spricht man von Beugung (engl. dif- fraction). Voraussetzung für die Anwendung des Huygensschen Prinzips ist, dass ein Wellensystem vorliegend ist. Deshalb ist es sowohl bei Lichtwellen als auch bei Wasserwellen anwendbar. Abbildung 1: An jedem gelben Punkt entsteht eine Elementarwelle Interferenz Zur besseren Veranschaulichung wird der einleitend beschriebene Versuchsaufbau auf das Wassermodell übertragen. Es ist zu beobachten, dass es einen Bereich gibt, in denen die Wellenfronten, wie in Abb. (1) dargestellt, wieder nahezu parallel verlaufen. Die an der Öffnung entstandenen Elementarwellen überlagern sich gegenseitig sie interferieren. Welle 1 φ = π/2 Welle 2 φ = π/4 Interferenz φ=(3π)/8 2 Im Folgenden habe eine Welle die Phase 0 < ϕ < π (positive Auslenkung) und fällt auf ei- ne zweite Welle ebenfalls mit der Phase 0 < Abbildung 2: Interferenz zweier Wellen ϕ < π. Um herauszufinden, in welcher Phase (also auch mit welcher Auslenkung) sich die resultierende Welle zur selben Zeit befindet wird das Superpositionsprin- 2 vgl. a1

6 -3- zip angewendet. Dies bedeutet eine additive Überlagerung der Auslenkungen der Wellenzüge 3. Es ist zu beachten, dass sich durch Superposition die resultierende Amplitude verstärkt hat. Dies nennt man dann eine konstruktive Interferenz. Wenn zwei Wellen in der gleichen Phase ϕ = 1π (Amplitude einer Welle) oder ϕ = 3 π (Am- 2 2 plitude mit negativen Vorzeichen) und derselben Amplitude interferieren nennt man diesen speziellen Fall eine vollständige konstruktive Interferenz. Die Amplitude hat sich verdoppelt. Analog dazu hat eine destruktive Interferenz eine abschwächende Wirkung. Auch hier gibt es einen Spezialfall: die vollständige destruktive Interferenz, bei der die Amplitude der resultierenden Welle vollständig ausgelöscht wird. Dabei müssen beide Wellen um die Hälfte ihrer Wellenlänge verschoben sein. Die Phasendifferenz muss also ϕ = π ergeben Kohärenz 1 2 Verändert sich die Beziehung der Phasen zweier bzw. mehrerer Wellen in einem bestimmten Zeitraum t um nicht mehr als ϕ = 2π, so sind sie kohärent 4 (lat. cohaerere: zusammenhängen). Ist dieser Wert größer wird von Inkohärenz gesprochen. Kohärent sind z.b. Wellen, die die gleiche Wellenlänge aufweisen. Dabei wird zwischen einer räumlichen und zeitlichen Kohärenz unterschieden. Bei der zeitlichen Kohärenz, betrachtet man den Zeitraum t, indem die Wellen ein feste Phasenbeziehung aufweisen. Diese maximale Zeit der zeitlichen Kohärenz nennt man Kohärenzzeit t c. Analog dazu, betrachtet man bei der räumlichen Kohärenz die Strecke s. Die während der gesamten Kohärenzzeit zurückgelegten Strecke wird als Kohärenzlänge s c bezeichnet. 3 vgl. a2 4 vgl. 2, S.29f.

7 Bedingungen an die Lichtquelle 1 Voraussetzung für Beugungsversuche ist das bereits erwähnte kohärente Licht. Die am besten dafür geeignete Lichtquelle ist ein Laser, weil dieser ausschließlich Licht mit nur einer bestimmmten Wellenlänge λ ausstrahlt. Hingegen strahlt eine normale Lichtquelle ein ganzes Spektrum von Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen aus. Folge ist, dass inkohärente Wellenzüge interferieren und eine sogenannte Schwebung erzeugen. Dabei ändert sich im Laufe der Zeit periodisch die Amplitude des resultierenden Wellenzuges. Das bedeutet, dass nichts über die Lichtintensitätsverteilung auf dem Schirm gesagt werden kann. Neben der Wellenlänge sollte auch die Amplitude jeder Welle gleich groß sein, um die Berechnung der Intensitätsverteilung in Kapitel 1.8 zu vereinfachen. Ebenfalls sollte die Lichtquelle ein hohe Kohärenzlänge besitzen, da der Abstand der Blende, aus Gründen, die im folgenden Kapitel näher erläutert werden, zur Schirm möglichst groß sein sollte. Allenfalls kann sich das Interferenzmuster auf dem Schirm verfälschen. Desweiteren sei gesagt, dass die Größe der Spaltöffnung in Hinblick zur Wellenlänge des Lichtes möglichst klein sein sollte, um das Interferenzmuster deutlicher erkennbar und leichter auswertbar zu machen. Nähere gründe dafür finden sich im Kapitel 1.7 zum Einfachspalt. 1. Der Doppelspalt 2 Wie bereits geschrieben, entstehen an der Öffnung des Einzelspaltes aus dem einleitenden Text unendlich viele Elementarwellen. Wie man gleich sehen wird, ist es jedoch zunächst einfacher die Beugung an einem Doppelspalt zu verinnerlichen. Thomas Young (* ) führte diesen Veruch 1802 erstmals durch. Dabei fällt auf eine Ebene mit zwei kleinen Öffnungen A und B kohärentes Licht. Zur Berechnung des Interferenzmusters wird zunächst nur eine Elementarwelle pro Öffnung berücksichtigt. Diese breiten sich in alle Richtungen aus, wodurch es naheliegend ist, dass sich zwei Wellen im Punkt P auf dem Schirm treffen werden. vgl. 3, S.22

8 -- Fällt P auf den Mittelpunkt M des Schirm, so sind die Wegstrecken der zwei Wellen gleich lang. M bildet gleichzeitig den Mittelpunkt des Interferenzmusters, da für alle anderen Fälle sich nach Abb. (3) ein sogenannter Gangunterschied δ bildet. Für diesen gilt: δ = AP BP. Der Winkel α im Dreieck ABC kann ausgedrückt werden in: g A α M' B α' C δ Abbildung 3: Wellen aus A und B treffen sich in P a P M d sin(α) = δ g Ebenfalls gilt für das Dreieck M MP : tan(α ) = d a Allgemein muss für den Versuch der Abstand a der Blende zum Schirm viel größer, als der Abstand g zwischen den Öffnungen sein. Es gilt also a g, wodurch der Winkel α sehr klein wird und beide Strahlen zu P nährungsweise parallel zueinander sind. Für diesen Winkel gilt deshalb die Kleinwinkelnährung: sin(α) tan(α ) δ g d a 1 Nach der Nährung lässt sich der Gangunterschied δ mit leichter ablesbaren Wer- ten beschreiben: δ = d g a (1) 1..1 Lage der Maxima und Minima Ist der Gangunterschied δ ein ganzes Vielfaches k der Wellenlänge λ, d.h. δ = k λ, so fallen auf den Punkt P Max zwei gleichphasige Wellen. Somit findet dort eine vollständige konstruktive Interferenz statt und stellt ein Helligkeitsmaximum dar.

9 -6- Um den Abstand d von M zu P Max zu bestimmen, muss die Gleichung (1) nach d umgestellt und δ = k λ eingesetzt werden. Somit ergibt sich für das k-te Maxium (auch Maximum der k-ten Ordnung genannt) mit k N 0 und k < g, weil der λ Gangunterschied niemals größer, als der Spaltabstand werden kann: d k = kλ a g Es ergibt sich das Minimum P Min, wenn die zwei Wellen vollständig destruktiv interferieren. Also gilt für das k-te Minimum: d k = λ(k ) a g Für ein gut erkennbares Interfernzmuster ist es nötig, dass der Abstand eines Maxiumums bzw. Minimums d k (2) (3) zum Mittelpunkt möglichst groß ist. Aus der Gleichung (2) und (3) ist abzulesen, dass ein großer Abstand von der Blende bis zum Schirm a bei gleichzeitig geringen Abstand der Öffnungen g den Wert d k vergrößern kann. 1.6 Das optische Gitter 1 Nun wird die Zahl der Öffnungen auf N erhöht und statt des Doppelspaltes ein Mehrfachspalt, ein sogenanntes optisches Gitter, verwendet. Dabei ist der Abstand von einer Öffnung zur benachbarten konstant. Dieser Wert heißt Gitterkonstante g und ist definiert über den Quotienten aus der Länge l der Blende, und der Anzahl, der sich dort befindenen Öffnungen N. Folglich gilt für Gitterkonstante: l M' g α Δs δ Abbildung 4: Wellen aus den sechs Öffnungen treffen in P a P M d g = l N (4) 2 Unter der Bedingung a g verlaufen die Lichtstrahlen nährungsweise parallel. Dadurch ist der Gangunterschied s von den Wellen aus einer Öffnung zu den Wellen aus der benachbarten Öffnung immer gleich groß.

10 Lage der Maxima und Minima Aus der Gleichung d k = k g erkennt man, dass die Lage der Hauptmaxima unabhängig von der Anzahl der Spalte ist. Betrachtet man allerdings die Intensität des Maximums, fällt auf, dass diese beim Mehrfachspalt größer ist als beim Doppelspalt. Zur genaueren Bestimmung der Intensität ist zu wissen, dass die In- tensität I über das Quadrat der Amplitude A der Welle mal der Geschwindigkeit des Lichtes c mal der elektrischen Feldkonstante ɛ 0 definiert ist 6 : I = A 2 c ɛ 0. Folglich ist die Intensität proportional zum Quadrat der Amplitude: I A 2. Bei einem Mehrfachspalt von N Öffnungen gilt also für die Intensität eines Hauptmaximums: I (NA) 2 = N 2 A 2 N 2 () 1 Das bedeutet, dass ein Gitter in den Hauptmaxima eine viel größere Intensität aufweist, als bei einem vergleichbaren Doppelspalt. An der Stelle des Minmums des Doppelspaltes beträgt die Phasendiffernz ϕ = π. Es löschen sich alle zwei benachbarten Wellenzüge durch vollständige destruktive Interferenz aus. Wenn allerdings eine ungrade Anzahl an Öffnungen vor- liegt, bleibt das Licht einer Öffnung als Resthelligkeit über. Folglich ist an jener Stelle auf dem Schirm kein Helligkeitsminimum zu sehen. Stattdessen bildet die Resthelligkeit ein Nebenmaxima 7. Bei einem Dreifachspalt ergeben sich zwei Minima jeweils zwischen dem Haupt- und Nebenmaxima. Zur Bestimmung der Lage dieser Minima wird zunächst speziell auf einen Mehr- fachspalt mit N = 6 (wie in Abb. (4)) eingegangen. Für die vollständige destruktive Interferenz muss der Phasenunterschied von der Wellen aus der ersten Öffnung zur der vierten ϕ = π betragen. Das bedeutet für den Gangunterschied, der zwischen diesen beiden Öffnungen drei mal so groß ist, wie zwischen zwei benachbarten: 3 s = λ(k ). Gleiches gilt für die zweite und fünfte 2 bzw. für die dritte und sechste Öffnung. Daraus folgt für den Sechsfachspalt mit k N 0 und k < g λ : 6 2, S vgl. a3

11 -8- d k = λ(k ) a g Allgemein ergibt sich daraus für die Lage des 1. Minimums für N Öffnungen: d k = λ(k + 1 N ) a g (6) Je mehr Öffnungen das Gitter besitzt, desto zahlreicher sind die Minima. Genauer gibt es bei N Spalte N 1 Minima. 1.7 Der Einfachspalt Bislang wurden bei den Modellen der Spaltversuche nur eine Elementarwelle P 1 pro Öffnung berücksichtigt. Nach dem Huygenssches Prinzip enstehen allerdings an jeder Öffnung unendlich viele Elementarwellen. Im Folgenden wird der eingangs dargestellte Versuch des Einfachspalts mit der Spaltgröße l genauer betrachtet. Dazu gilt weiterhin die Bedingung: a g, l α δ I II III Abbildung : Zone I und II interferien vollständig destruktiv damit alle Wellen, die auf den Punkt P auf dem Schirm auftreffen nährungsweise parallel sind. Analog zum Doppelspalt ist der Gangunterschied beim Einfachspalt definiert durch: a M d δ = d l a Lage der Maxima und Minima Ist der Gangunterschied gleich der Wellenlänge λ so werden die Elementarwellen im Modell in zwei Bündel zusammengefasst. Das Bündel I mit dem Gangunter- schied 0 δ < λ 2 mit dem Gangunterschied λ 2 interferiert dabei vollständig destruktiv mit dem Bündel II δ < λ. Treffen diese auf P ist ein Helligkeitsminimum zu sehen. Steigt der Gangunterschied auf δ = 3 λ, so sendet das Bündel 2

12 -9- III Resthelligkeit aus, die nur noch 1 der ursprünglichen gesammten Menge der 3 Elementarwellen beträgt. Diese ist dafür zuständig, dass auf dem Schirm ein Nebenmaxium zu sehen ist. Steigt δ weiter an, ist bei δ = 2λ wieder ein neues Miniumum zu sehen. Bei den folgenden Nebenmaxima nimmt die Resthelligkeit immer weiter ab. Folge ist, dass die Intensität der Nebenmaxima bei steigenden d k immer weiter fällt. Allgemein ergibt sich für die Minima mit k N und k < l : λ d k = kλ a l (7) Dabei kann diesmal k = 0 nicht in der Definitionsmenge enthalten sein, weil sonst der Gangunterschied ebenfalls null wird und P auf das Hauptmaximum fällt. Die Nebenmaxima sollten sich theoretisch immer genau zwischen den Dunkelstel- len befinden. In der Realität weicht dies jedoch geringfügig ab, wie später in der Intensitätsverteilung zu sehen ist, sodass sich das Maximum nur nährungsweise dort befindet. Der Gangunterschied muss demnach ungefähr die Hälfte der Wellenlänge λ sein. Allgemein beudeutet das: d k λ (k ) a l 1 Für den Fall, dass die Spaltgröße l gleich der Wellenlänge λ ist, heißt das für das erste Minimum, dass es einen Gangunterschied der Wellenlänge haben muss. Da der Spalt bereits so groß, wie die Wellenlänge ist, beudetet das für den Winkel α 90. Die Kleinwinkelnährung ist nicht mehr anwendbar und die Lage des Minimums betrüge: d min = tan(90 ) a Ist der Spalt aber sehr viel größer als die Wellenlänge, liegen die Maxima zu dicht aneinander, sodass sie nicht mehr erkennbar sind. 1.8 Intensitätsverteilung Zum besseren Verständnis der Verteilung der Intensität kann man das Modell des Zeigerformalismus einführen. Dabei wird die Amplitude einer Welle als Zeiger 2 (auch als Phasor oder Amplitudenvektor bezeichnet) dargestellt. Je länger der Zeiger ist, desto größer ist die Amplitude (vgl. Abb. (2)). Zusätzlich wird die

13 -- momentane Phase der Welle verarbeitet, indem der Zeiger um den entsprechenden Phasenwinkel auf einer Kreiseben rotiert 8. Als Phasenwinkel wird lediglich die Phasendifferenz zwischen Wellen bezeichnet. Es ist zu beachten, dass bei einem Gangunterschied von δ = λ die Phasendifferenz ϕ = 2π beträgt. Dieser Zusammenhang lässt sich ausdrücken in: ϕ = 2π δ λ (8) Beispiel am Doppelspalt Die einfachste Anwendung findet man wieder beim Doppelspalt, da man das Modell auf zwei Wellenzüge vereinfachen kann. Als Beispiel wird der Fall mit dem Gangunterschied von δ = λ in Abb. (6) dar- 12 gestellt. Es sind die beiden Zeiger der Amplituden A 1, A 2 und die durch Interferenz resultierende Amplitude A res zu sehen. A res A 2 A 1 Δφ =(π)/6 Abbildung 6: Die resultierende Amplitude A res bei δ = λ 12 Dabei ist der Anfang des zweiten Phasors am Ende des ersten gelegt. Nach der Gleichung (8) beträgt dann der Phasenwinkel ϕ = 1 π, der ebenfalls der Winkel 6 zwischen den beiden Zeigern ist. Nach der Hintereinanderlegung ergibt sich der resultierende Phasor A res. Nach dem Kosinussatz folgt für A res : A res = A A 2 2 2A 1 A 2 cos(π ϕ) (9) Bei Spaltversuchen wurde die Voraussetzung gesetzt, dass die Amplitude jeder Elementarwelle gleich groß ist. Das bedeutet, dass A 0 = A 1 = A 2 ist, wodurch die Gleichung (9) vereinfacht werden kann zu: I = cɛ 0 A res 2 = 2cɛ 0 A 0 2 2cɛ 0 A 02 cos(π ϕ) = 2cɛ 0 A 0 2 (1 cos(π ϕ)) = 2cɛ 0 A 0 2 (1 + cos( ϕ)) () 8 vgl. a4

14 -11- Es kann allerdings nicht die Phasendifferenz gemessen werden, sodass dieser Wert mit dem Gangunterschied der benachbarten Öffnungen s ausgedrückt wird. Es gilt: ϕ = 2π s λ s = d g a (11) (12) Gleichung (11) und (12) in () eingesetzt und die Intensität in Abhängigkeit zum Abstand zum Mittelpunkt d gestellt ergibt: [ ( 2 I(d) = cɛ 0 2A cos 2π d g )] a λ Dies erscheint auch mit den voherigen Überlegungen plausibel, da für d = 0 die erwartete Intensität I(0) = cɛ 0 4A 0 2 folgt (vgl. Gleichung ()) Berechnung beim optischen Gitter 1 Im folgenden soll die Anzahl der Spalte von zwei auf eine beliebig, endlich große Zahl anwachesen. Folglich entsteht wieder das optische Gitter, welches eine Vor- stufe im Verständnis zur Intensitätsverteilung des Einfachspaltes bildet. Wie im voherigen Abschnitt (1.8.1) wird dabei der Zeigerformalismus zu Hilfe genommen. Nur statt zwei werden N Amplitudenvektoren unter Berücksichtigung ih- res Phasenwinkels in das Modell wie in Abb.(7) eingetragen. Diese Vektoren werden als Sehnen eines Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M angesehen. Der Mittelpunktswinkel jeder Sehne ist im- mer gleich dem Phasenwinkel ϕ. Daraus ergibt sich für das Dreieck AMU: ( ) N ϕ sin = 2 A r M NΔφ (NΔφ)/2 Δφ Δφ A res U Δφ/2 Δφ Δφ V Δφ B Δφ Δφ Abbildung 7: Addition der Amplitudenvektoren 1 2 A res r = A res 2r (13)

15 -12- Dadurch wäre es ohne weiteres möglich die resultierende Amplitude A res zu berechnen, wenn der Radius r des gedachten Kreises im Modell bekannt wäre. Deshalb wird nach einem zweiten Dreieck gesucht, welches ebenfalls diesen Parameter enthält, um schließlich r zu eleminieren. Für das Dreieck BM V gilt: ( ) ϕ sin = 2 r = 1 2 A 0 r A 0 2 sin ( ϕ 2 = A 0 2r ) (14) 1 Nach einsetzten von r aus Gleichung (14) in Gleichung (13) ergibt dann sich nach A res aufgelöst: ( ) N ϕ sin = A res A sin( ϕ 2 ) A res = A 0 sin ( N ϕ 2 sin ( ) ϕ 2 = A res 2 sin ( ) ϕ 2 2 A 0 ) Das Quadrat aus A res ergibt die gesuchte Intensität I. Es wird die Phasendifferenz ϕ aus Gleichung (11) und der Gangunterschied s aus Gleichung (12) eingesetzt. Nach der in Abhängigkeit setzen der Strecke d ergibt sich dann für die Intensität: Somit lässt sich der Graph für die Intensität in Abhängigkeit der Strecke d ermitteln. In Abb. (8) ist dies in blau für vier und in rot für zwei Spalte dargestellt. Es ist deutlich zu sehen, dass sowohl ( ) I(d) = cɛ 0 A 2 res = I 0 sin2 Nπ d g sin ( ) (1) 2 π d g Abbildung 8: rot: N = 2; blau: N = 4 die Intensität in den Hauptmaxima zunimmt, also auch die Minima näher an das Hauptmaxima rücken. Dadurch grenzt sich das Maxima stärker ab und es ist auf dem Schirm deutlicher zu erkennen. I d

16 Berechnung beim Einfachspalt Für die Berechnung der Intensitätsverteilung des Einfachspaltes muss man im Prinzip nur die Menge der Öffnungen N des optischen Gitters gegen unendlich streben lassen. Allerdings ist die Gitterkonstante nicht mehr durch einen Wert anzugeben, weshalb sie im folgenden durch ihre Definition aus Gleichung (4) ersetzt wird. Weil die Intensität I 0 proportional zum Quadrat aus der Summe sämtlicher Wellen, die aus einer Elementarwelle an der Öffnung enstehen, ist, gilt: I 0 A 2 = (N A 0 ) 2. Da gesagt wurde, dass N gegen Unendlich strebt, kann hierbei nicht die absolute Intensität angegeben werden. Deswegen wird für die relative Inten- sitätsverteilung I 0 durch I 0 N 2 Gleichung (1) ergibt sich: I(d) = I 0 N 2 ersetzt. Nach Integration dieser Erkenntnisse in die sin 2 ( Nπ d l N sin 2 ( π d l N ) ) = I 0 N 2 sin ( ) 2 π d l sin ( 2 1 π d l N ) Nachdem die Anzahl der Öffnung gegen Unendlich strebt ergibt sich die Intensitätsverteilung des Einfachspaltes: I(d) = lim N I 0 sin ( ) 2 π d l [N 2 ( sin ( 1 N π d l λ a )) 2 ] (16) 1 Für kleine Winkel gilt nährungsweise sin ϕ = ϕ. Da 1 N lim sin 1 N N = lim 1 N N = 0 für N ist, folgt: Auf Gleichung (16) übertragen folgt: I 0 sin ( ) 2 π d l I(d) = [ ( 1 lim N 2 N N π d l ) ] 2 λ a = I 0 sin ( ) 2 π d l ( π d l ) 2 Nach Integration der Gleichung ist festzustellen, dass im Hauptmaximum etwa 90% der Gesamtintensität enthalten ist 9. 9 vgl. 2, S.316

17 Realer Intensitätsverlauf 1 Bislang wurde im Modell bei der Berechnung des Intensitätsverlaufs eines Mehrfachspaltes mit N > 1 angenommen, dass aus jeder Öffnung nur eine Elementarwelle für das Interferenzmuster zuständig ist. Nachdem allerdings die Verteilung des Einfachspaltes bekannt ist kann man den Mehrfachspalt um diese Erkenntnis erweitern. Dazu wird zunächst der Einfachspalt und deren Intensität in Richtung ϕ betrachtet. Dazu überlagert sich dann die ergebene Intensität eines Mehrfachspaltes unter gleichen Bedingungen, wie die der Richtung und Größe der Spaltöffnung. Daraus ergibt sich für die Intensitätsverteilung eines Mehrfachspaltes, wenn die Einfachspaltbeugung berücksichtigt wird: Dabei können neue Minima entstehen, wenn der Faktor des Einfachspaltes null ergibt. In Abb. (9) ist der relative Inten- sitätsverlauf eines Einfachspaltes mit einer Spaltgröße von l = ( ) ( ) I(d) = I 0 sin2 π d l ) sin2 Nπ d g 2 sin ( ) (17) 2 π d g ( π d l 1 I Abbildung 9: grün: N = 1; blau: N = 3; orange: N = 3 0,41mm in grün skizziert. Außerdem ist in blau und orange der relative Intensitätsverlauf eines Dreifachspaltes mit einem Spaltabstand von g = 0, 6mm einmal ohne und einmal mit Berücksichtigung der Einfachspaltbeugung dargestellt. Dabei übersteigt die relative Intensität des Mehrfachspaltes nie die des Einfachspaltes. d 1.9 Schlusswort 2 Alle vorangegangenen Überlegungen und Berechnungen basieren auf der Grundlage der Welleneigenschaft des Lichtes. Ob Licht wirklich eine Welle oder doch ein Teilchen ist, diskutierten 1689 Isaac Newton (* ) und Chritian Huygens (* ).

18 -1-1 Nach der Erklärung der Interferenzerscheinungen in den Spaltversuchen, die sich offensichtlich nur erklären lassen, wenn man Licht als Welle ansieht, scheint es hinfällig sich Licht als Teilchen vorzustellen, da es schwer vorstellbar erscheint, dass bei Teilchen ebenfalls Beugungserscheinungen eintreten können. Das Licht jedoch auch einen Teilchencharakter besitzt, zeigt folgender Versuch: Bei einem Doppelspaltversuch wird statt eines Schirmes eine Fotoplatte verwendet und unter geringer Lichtintensität in einem Raum ohne weitere Lichtquelle durchgeführt. Nach der Entwicklung, sind auf dieser viele kleine, stochastisch verteilte Punkte zu sehen. Jeder Punkt ist ein Hinweis darauf, dass ein Lichtteilchen (auch Lichtportion/Photon genannt) an der Stelle auf die Fotoplatte getroffen ist. Nach einer ausreichend langen Belichtung ist eine ähnliche Interferenzstruktur der Punkte, wie bei der Intensitätsverteilung der vorangegangenen Spaltversuche, zu sehen. D.h., dass die Fotoplatte aufgrund der Photonen an Stellen sich verfärbt hat, an der man nach der Vorstellung eines Teilchens es nie erwartet hätte. Dieses Phänomen lässt sich durch spätere Erkenntnisse aus der Quantenphysik erklären (Welle Teilchen Dualismus).

19 -16-2 Quellenverzeichnis 2.1 Bücher 1 Bader, Franz (Hrsg.); Dorn, Friedrich: Physik 12/13 Gymnasium Sek II. Schroedel Verlag im Bildungshaus Schroedel Diesterweg Bildungsmedien GmbH & CoKG, Hannover Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik. 3.Auflage. Springer-Verlag, Berlin 04 3 Bader, Franz (Hrsg.); Dorn, Friedrich (Hrsg.): Physik Oberstufe Gesamtband 12/13. Schroedel Schulbuchverlag GmbH, Hannover Jung, Walter (Hrsg.): Fischer Kolleg Abiturwissen Physik. Aktualisierte und überarbeitete Neuausgabe. S. Fischer GmbH Frankfurt am Main, 02 Meyer, Lothar (Hrsg.); Schmidt, Gerd-Dietrich (Hrsg.): Basiswissen Schule Physik Abitur. PAETEC Gesellschaft für Bildung und Technik mgh, Berlin und Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim Internetadressen a a1 /vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellen/huygens.vlu/ Page/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellen/huygens2.vscml.html a2 /vsengine/popup/vsc/de/glossar/s/su/superposition.glos.html a3 /vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/ interferenz a.vlu/page/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/ mehrfachspalt.vscml.html a4 /vsengine/popup/vsc/de/glossar/z/ze/zeigerformalismus.glos.html 2 b

20 -17- b1 /wiki/kohärenz (Physik) b2 /wiki/interferenz (Physik) 2.3 Bildquellen Abb. 1: on an aperture - Huygens-Fresnel principle.svg; erstellt von: Arne Nordmann Abb. 2, 3, 4,, 8 und 9: selbst erstellet mit Geogebra 3 und Inkscape 0.46 Abb. 6, 7 und : selbst erstellt mit Inkscape 0.46 Abb. 11(a) und 11(b): selbst fotografiert und bearbeitet mit Paint.NET 3.36 Abb. 12: selbst erstellt mit OpenOffice.org Diese Facharbeit wurde gesetzt mit L A TEX2 ɛ am 26. Februar 09.

21 -18-3 Versicherung Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbstständig angefertigt habe, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit, die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe. Verwendete Informationen aus dem Internet liegen vollständig (CD im Anhang) vor. Hiermit erkläre ich, dass ich einverstanden bin, wenn die von mir verfasste Facharbeit der schulinternen Öffentlichkeit zugänglich gemacht wird. Ort und Datum Unterschrift

22 -I- 4 Anhang - Versuchsprotokoll Materialliste Helium-Neon-Laser Blenden 1. individuell verstellbare Spaltgröße 2. Dia, mit verschiendenen Spalten: (a) l = 0, 1mm; N = 1 (b) l = 0, 1mm; N = 3; g = 0, 3mm (c) l = 0, 2mm; N = 3; g = 0, 3mm (d) l = 0, 2mm; N = 1 Projektionsschirm Halterungen Aufbau und Durchführung Schirm Blende Laser 0,01m 1,42m Abbildung : Versuchsaufbau 1 Der Laser wird so ausgerichtet, dass das Laserlicht senkrecht durch die Blende und auf den Schirm fällt. Dabei wird erst die Größe der Spaltöffnung und später zusätzlich der Abstand zweier Spalte variiert und das Verhalten, des auf den Schirm geworfenen Bildes, beobachtet. Desweiteren wird der Abstand eines Helligkeitsmaximus zum Mittelpunkt gemessen. Der Mittelpunkt bezeichnet den Punkt, der auf einer Linie mit dem Laser und Blende steht.

23 -IIAuswertung Die folgenden Fotos zeigen die Ergebnisse, die auf dem Schirm zu sehen waren: (a) Spaltgro ße des Einfachspalts verkleinert (b) verschiedene Doppel- und Einfachspalte sich Abbildung 11: Bilder der Spaltversuche Abb. (11(a)) zeigt den Versuch, bei dem nach und nach die Spaltgro ße verkleinert wurde. Am Anfang ist nur ein heller Punkt vom Laser zu erkennen. Je kleiner die Blende gestellt wurde, desto eher konnte man rechts und links vom schwa cher werdenen Punkt Licht auf dem Schirm erkennen. Kurz bevor der Spalt geschlossen ist, kann man deutlich Helligkeitsstreifen feststellen. Ein heller wechselt sich mit einem dunklen Streifen ab. In Abb. (11(b)) sieht man das Interfernzmuster eines Spaltes mit l = 0, 1mm bzw. l = 0, 2mm. Zusa tzlich ist jeweils unterhalb dessen das Muster eines Doppelspaltes mit dem Spaltabstand g = 0, 3mm abgebildet. Jedoch war es mir nicht mo glich, den Abstand eines Helligkeitsmaximum zum na chsten zu ermitteln. Dies lag am zu geringen Abstand. Eine alternative Messung, die ich ausprobierte, war, die Nebenmaxima zu ignorieren und lediglich den Abstand eines Hauptmaximas 1 zum na chsten zu bestimmen. Dabei ließ sich besonders beim Doppelspalt mit einer Spaltgro ße von jeweils 0,2mm sehr schlecht ein Neben- vom Hauptmaximum unterscheiden. Fu r den Einfachspaltversuch mit den Spaltbreiten von l = 0, 1mm und l = 0, 2mm ergab sich folgendes:

24 -IIIl = 0, 1mm l = 0, 2mm Anzahl Abstand [mm] Anzahl Abstand [mm] , , ,8 6 4, ,9 Mittelwert 8,9 Mittelwert 4,7 Nachdem die Werte in ein Ordnungszahl-der-Maxima Abstand-zum-benachbarten- Maximum Diagramm aufgetragen wurden ergibt sich: Einfachspaltversuch Abstand zum nächsten in mm l=0,1mm l=0,2mm Maximum k-ter Ordnung Abbildung 12: In ein Diagramm aufgetragene Versuchsergebnisse Anhand der Tabelle und des Graphens lässt sich erkennen, dass der Abstand der Helligkeitsstreifen zum benachbarten mehr oder wenig konstant ist und dadurch dieser unabhängig voneinander ist. Aus der Gleichung (7) nach λ umgestellt und in Abhängigkeit von d gesetzt ergibt sich für k = 1: λ(d) = d l a Für d = 8, 9mm bzw. d = 4, 7mm ergibt sich für die Wellenlänge des Lasers: λ(8, 9mm) 0, 627µm = 627nm λ(4, 7mm) 0, 662µm = 662nm

25 -IV- Ergebnisbetrachtung Der Beschreibung des Lasers nach beträgt die ausgesandte Wellenlänge λ = 632, 8nm. Die Abweichung zum gemessenen Wert beträgt bei l = 0, 1mm lediglich, 8nm und beim größeren Spalt 29, 2nm. Die mögliche Ursache der Abweichung könnte die Spaltgröße sein. Schon ein Spalt, der 0, 046mm größer ist ergäbe die tatsächliche Wellenlänge des Lasers. Desweiteren ist der abgelesene Abstand auf dem Schirm recht gering, wodurch Messungenauigkeiten enstehen können. Um diese Werte zu vergrößern und damit die Fehlerquelle zu vermindern müsste man den Abstand von der Blende zum Schirm weiter vergrößern. Gleichzeitig muss man darauf achten, dass der Abstand nicht die Kohärenzlänge s c überschreitet.