GÖDELSCHES UNVOLLSTÄNDIGKEITS- THEOREM. Schöpfungsglaube und Astrophysik,

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1 1 GÖDELSCHES UNVOLLSTÄNDIGKEITS- THEOREM

2 KURZE MOTIVATION Die Dinge zeigen sich uns durch ihre Beziehung zu andern Dingen. Diese Beziehungen lassen sich durch innerhalb der Physik mittels mathematischer Methoden beschreiben. Untersuchung der Mathematik als beschreibendes System

3 p 1 + p 2 = n Goldbach (1742): Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werde. 8 = = 7+7 oder Etc.

4 David Hilbert (1900) Diese Überzeugung von der Lösbarkeit eines jeden mathematischen Problems ist uns ein kräftiger Ansporn während der Arbeit; wir haben in uns den steten Zuruf: Da ist das Problem, suche die Lösung. Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus * *Im Gegensatz zu: ignoramus et ignorabimus.

5 MATHEMATIK ALS FORMALES SYSTEM Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen lauten: (P1) 0 ist eine natürliche Zahl. (P2) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen eindeutig bestimmten Nachfolger n (P3) 0 ist kein Nachfolger. (P4) Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger. (P5) Induktionsaxiom: Wenn M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, die 0 enthält und mit jeder natürlichen Zahl n auch ihren Nachfolger n enthält, dann ist M = N. n + 0 := n Definition von Addition und Multiplikation n * 0 := n + m := (n + m) n * m := (n * m) + n

6 Konsistenz S: Ein formales System A: Eine Aussage (Satz) in S Folgt aus A ist beweisbar in S, dass A wahr ist? Nein! Nur falls A nicht beweisbar in S ist. Konsistentes System S (Logik): Falls A beweisbar in S folgt A nicht beweisbar in S

7 GÖDELS UNVOLLSTÄNDIGKEITS-THEOREM Kurt F. Gödel (1931) Jedes konsistente formale System im welchen eine gewisse Menge Arithmetik gemacht werden kann ist unvollständig

8 Beispiele Peano Arithmetik (PA) Zermelo-Fraenkel Set-Theorie (ZFC) Aber! Nicht jedes konsistente formale System ist unvollständig. Beispiele: - Presburger Arithmetik - elementare Theorie der reellen Zahlen

9 Nicht zu schnell sein! Religiöse Texte beinhalten alle antworten Vollständiges System Nicht konsistent Das Grundgesetz bildet ein formales System Konsistent (?) Nicht vollständig Existenz von Rechtanwälten

10 Unvollständigkeit und eine TOE Freeman Dyson (in : New York Review of Books): Now I claim that because of Gödel s theorem, physics is inexhaustible too... The theorem implies that even within the basic equations of physics, our knowledge will always be incomplete. Stephen Hawkings (in: Gödel and the end of physics.): Instead, we and our models are part of the universe we are Describing. Thus, a physical theory is self-referencing, like in Gödels Theorem. One might expect it to be either inconsistent, or incomplete. The theories we have so far, are both inconsistent and incomplete

11 Theologische Applikationen: Bibliography of Christianity and Mathematics; erste Edition 1983, Liste 13 Zitate aus den Inhaltsangaben: o Wir benutzen Gödels Theorem um zu zeigen, dass die Physik nie eine finale Theorie für Alles haben wird. o.benutzen Gödels Theorem um zu zeigen, dass der menschliche Geist mehr ist als bloß eine logische Maschine. o Gödels Theorem garantiert, dass es Wahrheiten gibt welche nur durch die Ratio und nicht durch mechanische Manipulation von festen Regeln erworben werden können --- diese Wahrheiten implizieren die Existenz Gottes

12 Einschränkungen Gottes (1) Es sei A nicht entscheidbar in S Frage: Kann Gott A in S beweisen?

13 Einschränkungen Gottes (1) Es sei A nicht entscheidbar in S Frage: Kann Gott A in S beweisen? Kann er sagen ob A wahr ist?

14 Einschränkungen Gottes (2) QM Peter Mittelstaedt (aus Text 9.4) Das bedeutet im Kontext der Theologie, daß auch göttliche Allwissenheit hier enden muß. Auch ein allwissendes Wesen kann nichts über Eigenschaften wissen, die es nicht gibt. Ein solches Wissen würde denselben Gesetzen der Quantenphysik widerspreche, Ein ähnliches Argument gilt in Hinblick auf die Allmacht Jede über die Unschärferelation hinausgehende Kenntnis und jede manipulierende Festlegung einer objektiv unbestimmten Eigenschaft würde ebenso die Naturgesetze verletzen wie ein entsprechender Eingriff in der klassischen Mechanik Naturgesetze nicht nur faktisch sonder notwendig. 14

15 Einschränkungen Gottes (3) Zeit Ulrich Beutler (aus Text 9.3) Auch Gott muss sich an die Zeitordnung und die Unumkehrbarkeit der Zeit halten. Er kann nur in Gegenwart und Zukunft, nicht aber in der Vergangenheit wirken, er kann nicht Geschehenes ungeschehen machen, und ein Ereignis kann nicht an einem bestimmten Raum- Zeit-Punkt zugleich stattfinden und nicht stattfinden usw.. sondern die Zeit entsteht erst mit dem gegenwärtigen Geschehen aus einer unerklärlichen Quelle, so dass Zeit eigentlich nur für die Vergangenheit, für die Zukunft aber noch gar nicht existiert Er wirkt in der Zeit und zwar genau am Schnittpunkt der gerade entstehenden Zeit im Jetzt. 15

16 Literatur 1.. Logical dilemmas : the life and work of Kurt Gödel / Dawson, John W [Dr.] - Wellesley, Mass. : Peters, Gödel's theorem : an incomplete guide to its use and abuse / Franzén, Torkel. - Wellesley, Mass. : Peters, [Gödel, Escher, Bach <dt.> ] Gödel, Escher, Bach : ein endloses geflochtenes Band / Hofstadter, Douglas R Aufl. - Stuttgart : Klett-Cotta, 1995 Vortrag zu finden (wer möchte) unter: