Vorlesung Stochastische Finanzmathematik Einführung

Transkript

1 Vorlesung Stochastische Finanzmathematik Einführung Pascal Heider Institut für Numerische Mathematik 30. März 2011

2 Einleitung Frage: Ist der Kurs einer Aktie absicherbar? Beispiel: Sie besitzen eine Daimler Aktien mit heutigem Kurswert Euro. Sie möchten sich versichern, daß Sie die Aktie innerhalb eines Jahres zum heutigen Wert verkaufen können. Geht das? Wie geht das? Wie teuer ist so eine Versicherung? Wer kennt sich damit aus?

3 Finanz-Risiken Mehr Beispiele: Person Basis, underlying Risiko Geldanleger Wertpapier Kurssprünge (in einem Jahr) Landwirt Ernte Preisverfall (in 3 Monaten) Maschinenbauer Lieferung ins Ausland Wechselkursschwankung (in 5 Monaten) Wir benötigen: Unser Problem: Instrumente zur Absicherung finanzieller Risiken Der zukünftige Preis ist unbekannt!

4 Terminhandel Lege heute den Kauf / Verkauf fest, der in der Zukunft stattfindet. Gehandelt werden zum Beispiel: Rohstoffe, Aktien, Wechselkurse,...

5 Optionen Eine Aktien-Option ist das Recht (nicht die Verpflichtung), eine Aktie innerhalb einer bestimmten Zeitspanne zu einem vorherbestimmten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Eine Verkaufs-Option heißt Put. Eine Kaufs-Option heißt Call. Abkürzungen: t ist die Zeit, t = 0 entspricht heute, T ist die Laufzeit, d.h. die Zeitspanne bis zur Fälligkeit

6 Optionen Eine Option heißt Amerikanisch, falls sie vor Fälligkeit ausgeübt werden kann, also für 0 t T. Eine Option heißt Europäisch, falls sie nur bei Fälligkeit ausgeübt werden kann, also für t = T. Beispiel: Ein Put auf eine Daimler-Aktie, die bis zum zu einem Preis von K = 40 ausgeübt werden kann, kostet bei der Bank Paribas 8, 70 Euro.

7 Versichern (Hedgen) mit Optionen Ein Put soll sichern, dass bei t = T jede Aktie mindestends den Wert K. Man nennt K den Ausübungspreis oder Strike. Man hat 2 Alternativen: Verkaufe Aktie zum Tagespreis S (sinnvoll falls S > K ). Übe die Option aus und verkaufe die Aktie zum Preis K (sinnvoll falls S K ).

8 entweder Verkauf zum Tagespreis S (s oder Verkauf durch Ausüben der Option Versichern (Hedgen) mit Optionen Der Wert der Option bei Fälligkeit (t = T ) ist somit: Auszahlungsfunktion (payoff): V K Wert t = T K S

9 Spekulieren mit Optionen Angenommen, Sie haben 1000 Euro gespart und wollen in die Daimler AG für ca. 1 Jahr investieren. Man kan folgende Marktpreise ablesen: Die Daimler Aktie steht heute bei einem Kurs von 34 Euro. Eine Call-Option der Commerzbank auf Daimler mit Laufzeit bis zum mit Strike K = 32 Euro kostet 5, 30 Euro.

10 Spekulieren mit Optionen A. Sie wetten auf steigenden Kurs was können Sie tun?! Strategie 1 Für die 1000 Euro können Sie 29 Aktien kaufen und behalten 14 Euro. Strategie 2 Für die 1000 Euro können Sie 188 Optionen kaufen und behalten 3, 60 Euro.

11 Spekulieren mit Optionen Mögliche Szenarien: Kurs in einem Jahr Strategie 1 Strategie 2 Verkaufe Aktien: Option ist im Geld: S = = = Verkaufe Aktien: Option ist im Geld: S = = = Verkaufe Aktien: Option ist im Geld: S = = = Verkaufe Aktien: Option ist am Geld: S = = = 4.60 Verkaufe Aktien: Option ist aus dem Geld: S = = = 4.60

12 Spekulieren mit Optionen Mit Optionen können Sie sogar auf fallende Kurse setzen! Angenommen, Sie glauben, dass die Daimler Aktien innerhalb eines Jahres fällt. Am Markt finden Sie: Eine Put-Option von Commerzbank auf Daimler mit Laufzeit bis zum mit Strike K = 34 Euro kostet 4, 90 Euro. Sie kaufen 204 Optionen und behalten 0.40 Euro.

13 Spekulieren mit Optionen Mögliche Szenarien: Kurs in einem Jahr Put-Strategie Option ist im Geld: S = = Option ist im Geld: S = = Option ist am Geld: S = = 0.4 Option ist aus dem Geld: S = = 0.4

14 Der Kursverlauf Idee: MITTWOCH,. FEBRUAR MITTWOCH, FEBRUAR 2010 ES DEUTSCHLAND 10. FEBRUAR 2010 FINANCIAL TIMES FINANCIAL DEUTSCHLAND TIMES DEUTSCHLAND Finde ein mathematisches Modell für den Kurs S(t)! IZES BÖRSENINDIZES ZINSEN ZINSEN DEVISEN DEVISEN ROHSTOFFE ROHSTOFFE BÖRSENINDIZES ZINSEN DEVISEN n Dax in Punkten 5498 Tops und 5498Flops Dax Tops im und Dax Flops zum Vortag* in Punkten Tops im Dax zum Bund-Future Vortag* und Flops im Dax Bund-Future in Punkten in Punkten 123,32 Euro 123,32 Kurs in $ Bund-Future Euro Kurs in $ 1,3833 CRB 1,3833 Index in Punkten in Punkten Euro CRB Index in +0,2 % 5498 zum Vortag* 0,59 123,32 +0,0184 Kurs in $ 1,38 Deutsche +0,2 % Bank +0,2 % +2,8 0,59 +0,0184 Deutsche Bank +2,8 0,59 +0, Deutsche 124,5 Bank 124,5 +2,8 1,42 1, MAN MAN +2,5 124,5 1,42 +2, ,0 MAN 124,0 +2,5 1,40 1, ThyssenKrupp ThyssenKrupp +2,3 +2,3 124,0 1, ThyssenKrupp 123,5 123,5 +2,3 1,38 1, ,3 Fresenius 1,3 SE Fresenius SE 123,5 1, ,3 123,0 Fresenius 123,0 SE 1,36 1, ,1 2,1 Volkswagen Volkswagen 123,0 1, ,1 122,5 Volkswagen 122,5 1,34 1, Do FrMi MoDo 5300 DiFr 2,5 Mo Di 2,5 SAP * Veränderung SAP in % * Veränderung Mi in % Do Fr Mi Mo Do 122,5Di Fr Mo DiMi Do Mi Fr Mo Do 1,34Di Fr Mo DiMi Do Mi Fr Mi Do Fr Mo Di 2,5 SAP * Veränderung in % Mi Do Fr Mo Di Mi Do Fr Mo D Euro Stoxx FTSE FTSE 100Nikkei Nikkei Hang Seng Hang Seng Bund 10 J Bund 10 J3-M-Euribor 3-M-Euribor in in in sfr in sfr WTI-Öl ($/Barrel) WTI-Öl ($/Barre Gold 0,2 % Euro Stoxx % 50 FTSE 100% Nikkei % Hang Seng Bund 10 J 3-M-Euribor in in sfr j 2668 j ,2 % +0,4j 5112 l ,4 % 0,2l 9933 j ,2% +1,2j j 3,200 +1,2 % +0,055 j 3,200 k 0,661 +0,055 +0,000 k 0,661 j 0, ,000 +0,0037 j 0,8795 j+0,0037 1, ,0039 j 1,4689 j+0, ,79 +1,90 j 73,79j 1 Nasdaq j ,2 Dow % Jones j ,4 Micex % l ,2 US-Staatsanleihe % j J US-Staatsanleihe +1,2 % j 3, J +0,055 in k 0,661 $ +0,000 in j 0, ,0037 Weizen ( /Scheffel) j 1, ,00 S&P 500 Nasdaq Dow Jones Micex US-Staatsanleihe 10 J US-Staatsanleihe 30 J in $ in Weizen ( /Schef Kupfe 2,0 % j 2162 S&P % +1,7 500 % j Nasdaq % +2,2 % j 1338 Dow % +1,2 Jones % j 3,620 % Micex +0,060 j 4,540 US-Staatsanleihe +0,043 j10 123,99 J US-Staatsanleihe +2,19 j30 89,63 J in +0,37 l 479,50 $ in 4,50 j ,0 j ,7 j ,2 j ,2 j 3,620 +0,060 j 4,540 +0,043 j 123,99 +2,19 j 89,63 +0,37 l 479,50j 6 18:30 Schlusskurse Uhr MESZ; oder Veränderungen, Stand jsofern 1078 nicht anders vermerkt, +2,0 % zum Vortag; jquelle: 2162 Bloomberg (aus 18:30 Uhr MESZ; Financial Veränderungen, sofern Times, nicht anders vermerkt, ) zum +1,7 Vortag; % Quelle: Bloomberg j ,2 % j ,2 % j 3,620 +0,060 j 4,540 +0,043 j 123,99 +2,19 j 89,63 +0, Schlusskurse oder Stand 18:30 Uhr MESZ; Veränderungen, sofern nicht anders vermerkt, zum Vortag; Quelle: Bloomberg LL STREET WALL STREET RENTEN/DEVISEN RENTEN/DEVISEN WALL STREET RENTEN/DEVISEN e Starke Zahlen Starke Zahlen Hoffnung Zahlen für Griechen schiebt Euro gen sorgen für sorgen für für Kursauftrieb Hoffnung Hoffnung für Griechen für Griechen schiebt schie Eu VON MAREIKE SCHEFFER VON MAREIKE SCHEFFER UND ANDRÉ KÜHNLENZ, UND ANDRÉ FRANKFURT KÜHNLENZ, VON MAREIKE FRANKFURT SCHEFFER Kursauftrieb UND ANDRÉ KÜHNLENZ, FRANKFURT auf offnungen Hilfen für auf das Hilfen für ie das Nervosität ie der Nervosität Anleger hat der Anleger hat FIN die nächste, die es fällt nächste nic zuhalten, so zuhalten, ein Mar Die Investoren Die seien Invest sichert, ob eine sichert, Rettu ob

15 Vorgeschlagene Literatur Steven E. Shreve Stochastic Calculus for Finance II. Continuous-Time Models Nicholas H. Bingham, Rüdiger Kiesel Risk-Neutral Valuation: Pricing and Hedging of Financial Derivatives