Übung April Was ist Matlab? Aufgabe 1.1: Hochschule Bochum Sommersemester 2014 Vorlesung Autonome Roboter Prof. Dr.

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1 Hochschule Bochum Sommersemester 2014 Vorlesung Autonome Roboter Prof. Dr. Marco Schmidt Übung April 2014 Aufgabe 1.1: 1 Was ist Matlab? MATLAB ist ein Programm für numerische Berechnungen, das insbesondere die Matrizenrechnung unterstützt. Der Name kommt von MATRIX-LABORATORY. Es besteht aus einem MATLAB-Kern, der Algorithmen zur Durchführung wichtiger Matrizenoperationen wie Matrizenmultiplikation oder Eigenwertberechnung umfasst und auÿerdem über Funktionen für die graphische Aufbereitung der Ergebnisse verfügt. Typische Anwendungen sind: Numerische Berechnung aller Art Entwicklung von Algorithmen Modellierung, Simulation und Entwicklung von Prototypen technischer Probleme Analyse, Auswertung und graphische Darstellung von Datenmengen; Visualisierungen Wissenschaftliche und technische Darstellungen Applikationsentwicklung mit Aufbau einer grasche Benutzerschnittstelle Die drei Hauptkomponenten von MATLAB sind: 1. Berechnung: MATLAB verfügt über eine numerische, qualitativ hochwertige Programmsammlung. Dem Benutzer bleibt es dadurch erspart, Standardalgorithmen neu programmieren zu müssen. Er kann auf grundlegende, gut ausgetestete Programme zurückgreifen und darauf aufbauend eigene Algorithmen realisieren. Übung 1, Autonome Roboter, Page 1/10

2 2. Visualisierung: MATLAB verfügt über moderne Visualisierungsmöglichkeiten. Dadurch ist der Benutzer in der Lage, Daten auf die verschiedenste Weise zu visualisieren. 3. Programmierung: MATLAB verfügt über eine eigene höhere Programmiersprache. Dadurch stellt MATLAB ein oenes System dar. Der Benutzer hat somit die Möglichkeit, die Funktionali-tät von MATLAB durch eigene Programme beliebig zu erweitern. Dies kann dadurch geschehen, dass er MATLAB-Programme schreibt sogenannte m-files oder C bzw. FORTRAN-Code einbindet. Folgende Punkte tragen auÿerdem zum Erfolg von MATLAB bei: Syntax: benutzerfreundlich, intuitiv, kurz und einfach, lehnt sich stark an die mathematischen Schreibweisen an Toolboxen: In Form von Toolboxen lässt sich der Funktionsumfang von MATLAB auf vielen Gebieten erweitern Matrizen: reelle und komplexe Matrizen Symbolisches Rechnen: symbolische und numerische Berechnungen miteinander verknüpfen Prototyprealisierung: Algorithmen in anderen Programmiersprachen zu implementieren. Auch vorteilaft, einen Prototyp des Verfahrens in MATLAB zu realisieren - einfacher und schneller. Graken bearbeiten: zwei- und dreidimensionale Datenstrukturen für die Bildverarbeitung. Auch einfache Befehle. Bibliothek von mathematischen Funktionen: umfangreiche Sammlung von mathematischen Algorithmen und Funktionen, diese Funktionalität reicht von elementaren Funktionen über Eigenwertberechnungen bis hin zur schnellen Fourier-Transformation. Application Programm Interface(API): Programme in C und FORTRAN können in MATLAB eingebunden werden. SIMULINK: blockorientiertes, interaktives System zur Simulation linearer und nichtlinearer dynamischer Systeme. Es handelt sich um ein mausgesteuertes Grakprogramm, das ein Modell eines technischen oder physikalischen Systems, das als Blockdiagramm auf dem Bildschirm darzustellen ist, und dynamischen Einwirkungen nachbildet. Kann für lineare, nichtlineare, zeitkontinuierliche oder zeitdiskrete Prozesse eingesetzt werden. 2 Grundlagen von MATLAB 2.1 Vektoren Erzeugen eines Vektors in MATLAB a = [ ] Übung 1, Autonome Roboter, Page 2/10

3 a = Um die Bildschirmausgabe der Ergebnisse zu unterdrücken, einfach ein Semikolon anfügen: a = [ ]; Erzeugen eines Zeit-Vektors: t = 0:2:20 t = Vektormanipulation: b = a + 2 b = c = a + b c = Funktionen MATLAB enthält zahlreiche Standardfunktionen wie sin, cos, log, exp, sqrt, usw., auch Konstanten wie pi, und i bzw. j als Quadratwurzel von 1. sin(pi/2) ans= 1 Mit Befehl help [Funktion Name] erhält man die Beschreibung einer bestimmten Funktion. Man kann auch eigene Funktionen mit dem Schlüsselwort function einleiten. Übung 1, Autonome Roboter, Page 3/10

4 2.3 Zeichnen t=0:0.25:7; y = sin(t); plot(t,y) 2.4 Polynome Ein Polynom ist in MATLAB durch einen Vektor dargestellt. Man erzeugt einen Polynom, indem man einfach die Koezienten des Polynoms absteigend eingibt: Polynom: s 4 + 3s 3 15s 2 2s + 9 x = [ ] Mit dem Befehl x = [ ] kann man das Polynom s erzeugen Mit der MATLAB Funktion roots kann man die Wurzeln eines Polynoms nden: Übung 1, Autonome Roboter, Page 4/10

5 roots([ ]) ans = Matrizen Die beiden folgenden Befehle erzeugen dieselbe Matrix: B = [ ; ; ] B = [ ] B = Manipulation von Matrizen: a) Transponieren C = B' C = b) Matrizenmultiplikation D=B*C Übung 1, Autonome Roboter, Page 5/10

6 D = c) Elementweise Multiplikation E=[1 2;3 4]; F= [2 3;4 5]; G=E.*F G = d) Inverse X = inv(e) X = e) Eigenwerte eig(e) ans = Programmieren mit m-files: Scripts und Funktionen Bisher wurden nur Anweisungen zeilenweise eingegeben und von MATLAB verarbeitet. Algorithmen benötigen allerdings normalerweise mehrere Programmzeilen und sollten wieder verwendet werden. Hierfür eignen sich sogenannte m-files, die mit einem Editor erzeugt werden und unter einem Dateinamen mit der Endung.m abgespeichert werden. Übung 1, Autonome Roboter, Page 6/10

7 2.6.1 Script-Files Ein Script-File ist eine Folge von gewöhnlichen MATLAB-Anweisungen. Die Anweisungen in einem Script-File werden ausgeführt, wenn man den Dateinamen ohne das Kürzel in der Kommandozeile eingibt Function-Files Man kann eigene Funktionen schreiben und damit die Funktionalität von MATLAB erweitern. Variablen in MATLAB-Funktionen sind lokale Variablen. Die Übergabe einzelner Variablen erfolgt über eine Parameterliste im Funktionsrumpf. Ein Function-File muss mit dem Schlüsselwort function beginnen, dann folgen die Rückgabewerte, der Funktionsname und schlieÿlich die Parameter der Funktion. Ein Beispiel für ein Function-File: function [V,D,r] = MatrixEig(A) % Diese Funktion berechnet den Rang, die Eigenwerte und die % Eigenvektoren der quadratischen Matrix A. [m,n] = size(a); if m == n [V,D] = eig(a); r = rank(a); else disp("fehler: Die Matrix muss quadratisch sein!") end Deniert man eine Matrix A im MATLAB-Workspace und führt man diese Funktion aus, so erhält man in der Matrix V die Eigenvektoren, in D die Eigenwerte und in r den Rang der Matrix A. Ein paar Regeln sind beim Schreiben einer Funktion zu beachten: Der Dateiname und der Funktionsname müssen übereinstimmen. Der Name darf bis zu 31 Zeichen haben, das erste davon muss ein Buchstaben sein. Das Schlüsselwort function muss in der ersten Zeile stehen. Dort sind auch die Einund Ausga-beargumente anzugeben. Die Kommentarzeilen nach der ersten Zeile dienen als Hilfetext. Man bekommt sie mit help <functionname> am Bildschirm angezeigt. Die erste Zeile nennt man H1-Zeile. In einem Function-File können mehrere Funktionen deniert werden. Dabei gibt es eine Erstfunktion und weitere Unterfunktionen. Die Unterfunktionen können von der Erstfunktion aufge-rufen werden und sich gegenseitig aufrufen. Übung 1, Autonome Roboter, Page 7/10

8 Ein Function-File kann ein Script-File aufrufen. Funktionen können untereinander und mit dem MATLAB-Workspace über globale Variable kommunizieren. Wichtige Elemente einer Funktion sind: Die Function-Denition Zeile. Die H1-Zeile. Hilfe-Text. Der Function-Body. Kommentar. Weitere Hilfe ndet man unter dem MATLAB Menü Help/Using the Desktop oder in den Handbüchern im PDF-Format(\MATLAB\help\pdf_doc oder ähnlich). 3 Aufgabe 1. Lesen Sie in der MATLAB-Hilfe MATLAB \Getting Started. Probieren Sie die oben genannten Beispiele aus. Aufgabe 1.2: Denieren Sie die Variablen x = [ ], A = Interpretieren Sie die folgenden Befehle: x(1 : 3 : 7) x(6 : 2 : 1) [A; A(1 : 2, :)] A(:, 1 : 3 : 4) Übung 1, Autonome Roboter, Page 8/10

9 Aufgabe 1.3: Schreiben Sie ein MATLAB Function-File, welches folgende, stückweise zusammengesetzte Funktion deniert: x x 0 f(x) = x 2 0 < x < 2 4 x 2 Schreiben Sie ein MATLAB Script-File, welches das obige Function-File verwendet und die Funktion im Intervall [ 1, 3] zeichnet. Aufgabe 1.4: Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungen mit MATLAB: 17x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 4 5x 1 + 6x 2 + 7x 3 + 8x 4 = 3 9x x x x 4 = 2 13x x x x 4 = 1 Überprüfen Sie, ob der Vektor, den Sie aus Ihrer Methode erhalten, die Gleichungen wirklich lösen kann. (Hinweis: Lesen Sie in der MATLAB-Hilfe das Dokument "MAT- LAB\Mathematics\Matrices and Linear Algebra\Solving Linear Systems of Equationsünd lernen Sie, wie man mit MATLAB lineare Gleichungen lösen kann.) Aufgabe 1.5: Die Kreiszahl π kann approximiert werden mit folgender Gleichung: π = n=1 1 (2n 1) 2 (2n + 1) 2 1. Schreiben Sie in Matlab-Skript, welches die Näherung von π berechnet. Benutzen Sie hierfür eine while-schleife, die nach jeder Iteration prüft ob ihre Näherung mehr als die Fehler e von π abweicht. Falls Ihre Näherung weniger als e von π abweicht, wird der gefunden Wert ausgegeben und das Programm beendet. Übung 1, Autonome Roboter, Page 9/10

10 2. Nach wie vielen Iterationen bricht ihr Programm ab, wenn eine Abweichung e = verwendet wird? Total: 10 Points Übung 1, Autonome Roboter, Page 10/10