Einführung in das rechnergestützte Arbeiten

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1 Karlsruher Institut für Technologie WS / Institut für theoretische Festkörperphysik Dr. Andreas Poenicke und Dipl.-Phys. Patrick Mack.. era@physik.uni-karlsruhe.de Lösungsvorschlag zu Übungsblatt Nr. zur Vorlesung Einführung in das rechnergestützte Arbeiten Matrizen Die Konstruktion von Matrizen wird in Matlab durch verschiedene Befehle erleichtert, die schon bestimmte Matrizen erzeugen. Z.B.: diag, eye, ones, zero, meshgrid (siehe Hilfe). Oft hilfreich ist auch, daß Matlab Matrizen durch Nulleinträge auf die entsprechende Dimension ergänzt. a) Der Befehl meshgrid kann genutzt werden zwei Matrizen X ij = i und Y ij = j zu erzeugen. Zu beachten ist, daß die nachfolgende Multiplikation als elementweise Operation nicht als Matrix- Multiplikation durchgeführt wird. [X Y] = meshgrid(:); A = X + Y B = X.* Y b) Matrizen lassen sich auch leicht aus Teilen anderer Matrizen zusammensetzen. Quell- und Zielbereiche werden in den Indizes angegeben. Beachten sie die Abkürzung : für ganze Zeilen/Spalten. C(:, :) = A(:, :); C(:, :) = B(:, :); det(c) trace(c) c) Der Befehl eye(m) erzeugt eine Einheitsmatrix der Dimension m m. Wird der Befehl diag mit einem Vektor als Argument aufgerufen gibt er eine Diagonalmatrix mit den Werten des Vektors als Diagonalwerte zurueck. ones(m,n) erzeugt eine m n-matrix mit dem Wert in allen Elementen, kann also genutzt einen Vektor nur mit en zu erzeugen. m= D=*eye(m) - diag( ones(, m- ), - ) + diag( ones(, m- ), ) eig(d)

2 Der Matlab-Befehl plot stellt Vektoren graphisch dar. Im Gegensatz zu z.b. Maple wird daher der Bereich der dargestellt werden soll nicht durch eine Option des Plot-Befehls sondern durch die Definition des Vektors selbst festgelegt. Bei Definition der Vektoren bietet sich oft der Befehl linspace an. t = linspace(,, 3); xi=.; x(, :) = exp(-xi * t).* cos( sqrt( - xi^) * t ); xi=.; x(, :) = exp(-xi * t).* cos( sqrt( - xi^) * t ); xi=; x(3, :) = exp(-xi * t).* cos( sqrt( - xi^) * t ); xi=; x(, :) = exp(-xi * t).* cos( sqrt( - xi^) * t ); plot(t, x) alternativ z.b. t=:/3: hold on xi=.; xi=. xi=. xi=. hold off 3 3 Abbildung : Beispiel zu Aufgabe )

3 3 Um die Felder plotten zu können, müssen wir sie erst diskretisieren. Entlang einer Achse verwenden wir den Ausdruck x:dx:x, der einen Vektor mit den Elementen (x,x + dx,x + dx,...,x ) erstellt. Weiterhin ist es hilfreich, zwei Felder zu haben die jeweils einfach dem x- bzw. den y-wert entsprechen. In Matlab erhalten wir diese recht komfortabel mit der Funktion meshgrid, welche als Parameter die Punkte entlang der x- und y-achse erwartet. a) Wichtig ist wieder, dass Matlab bei Feldern und Matrizen im Prinzip immer Matrix-Operationen durchführen will. Um punktweise Operationen zu erwingen ist immer ein Punkt vor dem Operator nötig, also x.*y, x./y etc.! [x,y] = meshgrid( -::, -:: ); surf( x, y, x.*y ); surf( x, y,./ ( + ( x.^ + y.^ ).^3 ) ); surf( x, y, exp( -( x.^ + y.^) ) ); Abbildung : Beispiele zu Aufgabe 3a) Andere Darstellungen ergeben sich durch Ersetzen von surf durch mesh, pcolor oder contour. b) Für die Darstellung von Vektorfeldern existiert die Funktion quiver, die an den Diskretisierungspunkten kleine Pfeile zeichnet. Die Syntax ist fast analog zur Darstellung skalarer Felder, nur dass jetzt zwei Argumente (x- und y-komponente) des darzustellenden Feldes übergeben werden müssen: [x,y] = meshgrid( -:.:, -:.: ); % Geringere Diskretisierungsdichte! quiver( x, y, -y, x ); quiver( x, y, -x./ sqrt( x.^ + y.^ ), -y./ sqrt( x.^ + y.^ ) ); quiver( x, y, -y, -x );

4 Abbildung 3: Beispiele zu Aufgabe 3b) a) In Matlab müssen Funktionen in einer Datei liegen, die den selben Dateinamen wie die Funktion selbst trägt und als Endung.m hat. Wir legen also eine Datei potential.m mit folgendem Inhalt an: function result=potential(x,y,x,y,q) end result= q./ sqrt((x-x).^+(y-y).^) Der Aufruf erfolgt wie in der Aufgabenstellung vorgegeben! Abbildung : Beispiele zu Aufgabe a)

5 b) Die Funktion besteht aus einer Schleife, die alle Zeilen der übergebenen Matrix durchgeht. Für jede Zeile wird die Funktion potential aus Teilaufgabe a) aufgerufen und zum Gesamtpotential hinzuaddiert. function resultat = potential(x,y,qlist) % Einfache Methode um die Matrix zu initialisieren resultat = *x; % Eine Schleife ueber alle Zeilen der Liste for( i = :length(qlist(:,)) ) resultat = resultat + potential(x,y,qlist(i,),qlist(i,),qlist(i,3)); end Der Aufruf erfolgt wie in der Aufgabenstellung vorgegeben. 8 8 Abbildung : Beispiel zu Aufgabe b)