Hans P. Geering Regelungstechnik

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1 Hans P. Geering Regelungstechnik

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3 Hans P. Geering Regelungstechnik Mathematische Grundlagen, Entwurfsmethoden, Beispiele Vierte, neubearbeitete und erweiterte Auflage Mit 118 Abbildungen, 107 Aufgaben und Losungen Springer

4 Professor Dr. Hans P. Geering ETH Zurich Institut fiir MeB- und Regeltechnik CH Ziirich Schweiz ISBN-13: Die deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Geering, Hans P.: Regelungstechnik : Mathematische Grundlagen, Entwurfsmethoden, Beispie Ie I Hans P. Geering. - 4., wesentlich iiberarb. und erw. AutI. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hongkong; London; Mailand; Paris; Santa Clara; Tokyo: Springer 1996 ISBN-13: e-isbn-13: DOl: / Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte. insbesondere die der Obersetzung. des Nachdrucks. des Vortrags. der Entnahme von Abbildungen und Tabellen. der Funksendung. der Mikroverfilmung oder Vervielfiiltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen. bleiben. auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehalten. Eine Vervielfiiltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annallme. dab solche N amen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daller von jedermann benutzt werden diirften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze. Vorschriften oder Richtlinien (z.b. DIN. VDI. VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein. so kann der Verlag keine Gewiilu fiir die Richtigkeit. Vollstiindigkeit oder Aktualitat iibernehmen. Es empfiehlt sich. gegebenenfalls fur die eigenenarbeiten dievollstiindigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung hinzuzuziehen. Herstellung: PRODUserv. Springer-Produktions-Gesellschaft. Berlin Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Umschlaggestaltung: Struve & Partner. Heidelberg SPIN: / Gedruckt auf saurefreiem Papier

5 Vorwort zur vierten Auflage Dieses Buch ist aus einem Skript zur Vorlesung Mej1- und Regeltechnik I und II entstanden, welche der Autor seit vielen Jahren an der Abteilung fur Maschinenbau und Verfahrenstechnik der Eidgenossischen Technischen Hochschule in Zurich liest. Dabei handelt es sich um eine einfuhrende Vorlesung im dritten und vierten Semester des Studiums, welche im funften Semester durch ein Praktikum abgerundet wird. Die Lehrziele dieses Textes sind: die Forderung des Verstandnisses fur dynamische Vorgange in Regelstrecken, Sensoren, Aktoren und Regelsystemen, die Befahigung zur Analyse linearer MehrgroBensysteme im Zeitbereich und im Frequenzbereich im deterministischen und im stochastischen Fall und das Beherrschen von wichtigen klassischen und modernen Methoden fur den Entwurf von robusten Ein- bzw. MehrgroBenreglern. 1m einleitenden Kap. 1 werden die Bausteine und die Signale eines Regelsystems anhand von SignalfluBbildern eingefuhrt und die wichtigsten Fragestellungen und Ziele der Regelungstechnik aufgefuhrt. Der Analyse-Teil umfabt die Kap. 2, 4, 8, 10 und 11 sowie Teile der Kap. 9 und 12. 1m Kap. 2 wird das dynamische Verhalten von linearen, zeitinvarianten Systemen mit Hilfe der Laplace-Transformation untersucht. Dabei werden die Ubertragungsfunktion und der Frequenzgang eingefuhrt und der Zusammenhang zwischen der Stabilitat und der Pollage des Systems aufgezeigt. 1m Kap. 4 werden sowohl zeitinvariante als auch zeitvariable, lineare Systeme mit Hilfe der Zustandsraum-Darstellung im Zeitbereich behandelt, wobei auch die strukturellen Eigenschaften Steuerbarkeit, Stabilisierbarkeit, Beobachtbarkeit und Detektierbarkeit eines linearen dynamischen Systems diskutiert werden. Stochastische Signale werden im Kap. 8 im Zeitbereich (Autokovarianzfunktion und Autokovarianzmatrix) und im Kap. 10 im Frequenzbereich (Spektrum und Matrix der spektralen Leistungsdichten) beschrieben. In den Kap. 9 u. 11 wird das dynamische Verhalten des Zustandsvektors und der Ausgangssignale linearer dynamischer Systeme im Zeitbereich bzw. im Frequenzbereich berechnet, deren Eingangssignale stochastisch sind. Das Kap. 12 gibt eine Ubersicht uber die entsprechenden Analysemethoden fur zeitdiskrete lineare Systeme.

6 VI Vorwort Der Synthese-Teil umfabt die Kap. 3, 5, 6, 9.5 und Teile des Kap m Kap. 3 werden klassische Methoden des Entwurfs zeitkontinuierlicher RegIer und der Analyse der Stabilitat von Regelsystemen behandelt. Das Kap. 5 gibt eine EinfUhrung in die optimale Regelung linearer Systeme mit ZustandsvektorrtickfUhrung. 1m Kap. 6 wird einerseits der Luenberger-Beobachter und andererseits die LQG/LTR-Methode fur den Entwurf robuster dynamischer RegIer mit Ausgangsvektorrtickftihrung vorgestellt. Das Kap. 9.5 befabt sich mit dem Kalman-Bucy-Filter. Das Kap. 12 gibt eine Ubersicht tiber die entsprechenden Synthesemethoden ftir den Entwurf digitaler RegIer und zeitdiskreter Filter. 1m Kap. 7 werden einige systemtheoretische Betrachtungen zum Stellen und Messen angestellt, welche insbesondere die Behandlung stochastischer Signale und den Entwurf von optimalen Filtern in den Kap und 12.5 motivieren. Jedes Kapitel schliebt mit einer Sammlung von Aufgaben abo Die Losungen zu den Aufgaben werden am Ende des Textes angegeben. Der Anh. 2 ist eine Arbeitsunterlage zum Skizzieren von Bode-Diagrammen und Spektren. Die Anh. 1 U. 3-5 enthalten Zusammenfassungen der fur die Regelungstechnik wichtlgsten Fakten betr. komplexe Zahlen, lineare Algebra, Linearisierung von Differentialgleichungen und Wahrscheinlichkeitstheorie. Dieser Stoff wird als bekannt vorausgesetzt. Diese Zusammenfassungen sollen dem Leser den Querbezug zwischen dem Text und den mathematischen Grundlagen in den genannten Gebieten erleichtern. Allen Assistenten des Instituts fur MeB- und Regeltechnik der ETHZ, die zur Entstehung dieses Werkes beigetragen haben, danke ich hiermit bestens. Besonders mochte ich die folgenden Herren erwahnen, denen ich zu speziellem Dank verpflichtet bin: Ch. Roduner, E. Shafai, K. Ruhm, Ch. Onder, U. Christen, M. Busenhart, U. Thoni und B. Scherrer. Anderungen gegeniiber der 3. Auflage: Erweiterung der Aufgabensammlung. Zusatzlicher Anhang betr. komplexe Zahlen. Uberarbeitung der Bilder. Zurich, Mai 1996 H. P. Geering

7 Inhaltsverzeichnis Liste der verwendeten Symbole Einleitung... 4 Literatur zu Kapitel 1 9 Aufgaben zu Kapitel Analyse linearer zeitinvarianter Systeme im Frequenzbereich Die Bewegungsgleichungen Die Laplace-Transformation 2.3 Lasung der Bewegungsgleichungen System 1. Ordnung System 2. Ordnung System n. Ordnung 2.4 Die Ubertragungsfunktion 2.5 StabiliUit 2.6 Der Ftequenzgang Dezibel-Skala fiir Ftequenzgiinge Klassifizierung linearer Systeme Stationiire Antwort auf periodisches Eingangssignal 2.7 Literatur zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel Behandlung einfacher regelungstechnischer Probleme im Frequenzbereich Lineare Reglerbausteine 3.2 Klassische Folgeregelung Allgemeine Gleichungen des Regelsystems Regelstrecke 1. Ordnung mit P-, 1- und PI-RegIer

8 VIn Regelstrecke 3. Ordnung mit P-Regler 3.3 Das Nyquist-Kriterium Das spezielle Nyquist-Kriterium Das allgemeine Nyquist-Kriterium Nyquist-Kriterium fur MehrgroBen-Regelsysteme 3.4 Regelung mit Vorsteuerung Allgemeine Gleichungen des Regelsystems Beispiel 3.5 Literatur zu Kapitel Aufgaben zu Kapit.el 3 Inbalt Analyse linearer Systeme im Zeitbereich 4.1 Der Zustandsvektor und die Bewegungsgleichung 4.2 Ubergang von einer Differentialgleichung hoherer Ordnung auf eine Vektordifferentialgleichung erster Ordnung Steuerbare Standardform Beobachtbare Standardform Zustandsraummodelle minimaler Ordnung Koordinatentransformationen Ubergang von der Vektordifferentialgleichung 1. Ordnung auf die Ubertragungsmatrix Losung der Bewegungsgleichung Die homogene Bewegungsgleichung Die spezielle inhomogene Bewegungsgleichung Der allgemeine Fall Beispiele Eigenschaften der Transitionsmatrix Stabilitat Lineares zeitvariables System Lineares zeitinvariantes System Steuerbarkeit und Stabilisierbarkeit Fragestellung Zeitvariable Systeme Zeitinvariante Systeme Stabilisierbarkeit und Polvorgabe Beobachtbarkeit und Detektierbarkeit

9 Inhalt IX Fragestellung Zeitvariable Systeme Zeitinvariante Systeme Detektierbarkeit und Polvorgabe Literatur zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel Entwurf von Reglern mit linearer Zustandsriickfiihrung Warum lineare Zustandsruckfiihrung? Das zeitvariable LQ-Regulator-Problem Problemstellung Lasung des Regulatorproblems Verifikation del' Lasung und Kommentare Beispiel: System 1. Ordnung Das zeitinvariante LQ-Regulator-Problem Konservative Problemstellung Lasung des Regulatorproblems Kommentare Beispiel: System 3. Ordnung Literatur zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel Entwurf von Reglern mit linearer Ausgangsriickfiihrung Der L uenberger-beo bachter Das Separations-Theorem MehrgraBen-Folgeregel ung Struktur des Folgeregelungssystems LQG/LTR: eine Methode fur den Entwurf robuster RegIer Kommentare Fallstudie: Otto motor Literatur zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel Systembetrachtungen zum Messen und Stellen Literatur zu Kapitel Aufgabe zu Kapitel 7 160

10 x Inba,lt 8 Beschreibung von Zufallsprozessen im Zeitbereich 8.1 Dynamische Messung Zufallsprozesse und ihre Kennzeichnung im Zeit bereich Der ZufallsprozeB als unendliche Familie von Zufallsvariablen Der momentane Erwartungswert Autokorrelationsfunktion, Autokovarianzfunktion, Autokovarianzmatrix " Stationare Zufallsprozesse Stationiire, ergodische Zufallsprozesse WeiBes Rauschen Literatur zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel Analyse stochastischer linearer dynamischer Systeme im Zeit bereich Farbiges Rauschen als Eingangsvektor.... WeiBes Rauschen als Eingangsvektor Stationiires weibes Rauschen als Eingangsvektor Beispiele System 1. Ordnung Unterkritisch gedampftes System 2. Ordnung Das Kalman-Bucy Filter Problemstellung Li:isung des Optimierungsproblems Verifikation der Optimalitat des Kalman-Bucy-Filters Kommentare Literatur zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel Beschreibung stationarer Zufallsprozesse im Frequenzbereich Spektrum oder spektrale Leistungsdichte eines stationaren Zufallsprozesses Interpretation des Spektrums Beispiele... 20l 10.4 Behandlung des Erwartungswerts des Signals Eigenschaften des Spektrums Literatur zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel

11 11 Analyse stochastischer linearer zeitinvarianter dynamischer Systeme im Frequenzbereich Problemstellung Spektrum des Ausgangsvektors Dezibel-Skala fur Spektren Beispiele Literatur zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel Digitale Regelung Grundsatzliche Funktionsweise Signalabtastung Amplituden-Abtastung Die Z-Transformation Das Abtasttheorem von Shannon Der Impuls-Abtaster Signalrekonstruktion Analyse zeitdiskreter linearer Systeme Analogie zur Differentialgleichung n-ter Ordnung Ubergang von einer diskreten Bewegungsgleichung h6herer Ordnung zu einem Zustandsraummodell Umsetzung eines zeitkontinuierlichen Zustandfiraummodells in ein zeitdiskretes Zustandsraummodell Zusammenhang zwischen der Laplace-Transformation und der Z-Transformation Stochastik Zeitdiskrete Zufallsprozesse Analyse stochastischer linearer Systeme Das zeitdiskrete Kalman-Bucy Filter Aquivalente weibe Rauschprozesse Synthese zeitdiskreter RegIer Reglerentwurf im Zeitbereich Reglerentwurf im Frequenzbereich Wahl der Regelrate Literatur zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel

12 XII Inbalt Losungen zu den Aufgaben 259 Anhang 1. Komplexe Zahlen 277 Anhang 2. Bode-Diagramme 281 Anhang 3. Lineare Algebra 286 Anhang 4. Linearisierung eines nichtlinearen dynamischen Systems um eine Nominaltrajektorie herum 302 Anhang 5. Wahrscheinlichkeitslehre 304 Sachverzeichnis 317