Teil C Modelle von ZF. Kap. XI : Allgemeine Theorie Innerer Modelle. 1 Relative Konsistenzbeweise

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1 Teil C Modelle von ZF Kap. XI : Allgemeine Theorie Innerer Modelle 1 Relative Konsistenzbeweise Eine (formale) Theorie T ist widerspruchsfrei (konsistent) gdw aus T kein Widerspruch beweisbar ist - wir werden in diesem Fall Con(T) schreiben. 1.1 Definition Ist σ eine Aussage ohne freie Variable, so gilt σ in M gdw σ M, Ist T eine Theorie, so ist M ein Modell von T gdw σ M für jedes Axiom σ von T. (Ist außerdem M transitiv, so heißt es transitives (Standard-)Modell.) Nach dem GÖDELschen Unvollständigkeitssatz kann man für Theorien T (so wie sie hier betrachten werden) die Existenz eines Modells, welches eine Menge ist, nicht überzeugend beweisen, zumindest reichen dafür die Axiome von T nicht aus; stattdessen werden wir nur relative Konsistenzbeweise führen können, und zwar meistens nach dem Prinzip der relativen Interpretation (dabei steht T ϕ für " ϕ ist in T beweisbar"): 1.2 Satz S und T seien Theorien der mengentheoretischen Sprache LST, M sei eine (möglicherweise echte!) Klasse, so daß man in T beweisen kann, daß M Modell von S ist: Dann gilt: T M Ø σ M für alle Axiome σ von S ("M ist Interpretation von S in T"). Con(T) Con(S). Beweis: Wäre S widerspruchsvoll, so gäbe es einen Satz σ, so daß S σ σ. Ein Beweis muß endlich sein und kann insbesondere nur endlich viele Axiome von S benutzen, etwa σ 1,..., σ n. Somit müßte (allein mit logischen Axiomen) gelten: σ 1... σ n σ σ, und dieses würde auch in T gelten. In T kann man jedoch nach Voraussetzung (σ 1... σ n ) M beweisen und somit auch (σ σ) M, womit man in T einen Beweis von σ M σ M, also einen Widerspruch in T erhält. 1.3 Beispiele für Interpretationen: (i) ZF - sei die Theorie ZF ohne das Fundierungsaxiom, WF die Klasse der fundierten Mengen, d.h. WF = V α On α. Dann ist WF eine Interpretation von ZF in ZF -, und somit gilt: Con(ZF - ) Con(ZF). 1

2 Mit ähnlichen, allerdings Nichtstandard-Interpretationen (Permutationsmodellen) kann man zeigen, daß auch gilt: Con(ZF - ) Con(ZF - + Fund), so daß das Fundierungsaxiom unabhängig von den übrigen ZF-Axiomen ist. (ii) Es sei M = V ω die Menge der Mengen von endlichem Rang (= Menge der erblich-endlichen Mengen HF). In ZF (oder auch nur ZF - ) kann man beweisen, daß alle Axiome von ZF bis auf das Unendlichkeitsaxiom Un in HF gelten, Un in HF tatsächlich falsch ist. Somit ist HF eine Interpretation von T = ZF - Unendlichkeitsaxiom + Un in ZF, also ist T widerspruchsfrei, wenn ZF widerspruchsfrei ist, insbesondere ist Un aus den übrigen ZF- Axiomen nicht beweisbar (falls ZF widerspruchsfrei ist). (iii) Es sei M = {Ø}. Offensichtlich gelten die Axiome Ext, Null, Aussonderung relativiert nach M, also gilt Con(Ext + Null) Con(Ext + Null + AusS), ein - recht triviales - Beispiel, daß es auch möglich sein kann, aus der Widerspruchsfreiheit einer Theorie die Widerspruchsfreiheit einer stärkeren Theorie zu folgern, was aber nicht dem bereits erwähnten GÖDELschen Unvollständigkeitssatz widerspricht, da hier sehr ausdrucksschwache Theorien vorliegen. Weitere interessante Anwendungen werden wir später noch kennenlernen. Um nachzuprüfen, ob eine Aussage relativiert nach M gilt, ist es zweckmäßig, für eine möglichst große Klasse von Formeln zu wissen, daß sie bei der Relativierung unverändert bleiben, d.h. bezüglich M absolut sind. Wichtigstes Hilfsmittel für transitive M ist das für eine Theorie T relativierte Lemma 1.5 aus Teil B.I, das sich verallgemeinern läßt vom Fall einer transitiven Menge a auf eine transitive Klasse M und von Σ 1 - auf Σ- Formeln: 1.4 Lemma M sei transitives Modell von T. (i) Ist ϕ(a ) eine 0 T -Formel, so gilt in T: a M [ ϕ(a ) ϕ M (a ) ] Absolutheit von 0 T -Formeln, (ii) Ist ϕ(a ) eine ΣT-Formel, so gilt in T: a M [ ϕ M (a ) ϕ(a )] Aufwärts-Absolutheit von ΣT-Formeln, (iii) Ist ϕ(a ) eine Π T -Formel, so gilt in T: a M [ ϕ(a ) ϕ M (a )] Abwärts-Absolutheit von Π T -Formeln, (iv) Ist ϕ(a ) eine T -Formel, so gilt in T: a M [ ϕ(a ) ϕ M (a ) ] Absolutheit von T -Formeln. 2

3 2 Formalisierung des Wahrheits- und Definierbarkeitsbegriffes 2.1 Die Gültigkeit einer Aussage σ in einer Struktur M = (M,E) haben wir im Falle E = - Beziehung auf M durch die Relativierung erklärt; wollen wir definieren, daß eine unendliche Menge von Aussagen Σ (wie etwa die Axiome von KP oder ZF) in M gelten, so können wir dies mittels der Relativierung nur durch die unendlich vielen Aussagen σ M für alle Axiome σ in Σ ausdrücken, nicht aber durch eine einzelne Formel. Um den Wahrheitsbegriff - wie auch den Definierbarkeitsbegriff - aber durch eine mengentheoretische Formel ausdrücken zu können, müssen wir metamathematische Formulierungen wie "für alle Aussagen σ" bzw. "es gibt eine Formel φ mit der freien Variablen v 1 " mengentheoretisch ausdrücken, und dazu müssen die Formeln selbst Mengen sein, was wir durch geeignete Codierung (oder "GÖDELisierung") erreichen werden. Metamathematische Aussagen werden dann in einer formalen Sprache wiedergegeben, wobei man darauf zu achten hat, was bei dieser Formalisierung an (intuitiven) Eigenschaften möglicherweise verloren geht. Wir beginnen zunächst mit dem metamathematischen (intuitiven) Wahrheitsbegriff: Die Interpretation der logischen Zeichen wird durch ihre übliche Bedeutung festgelegt; für die nicht-logischen Zeichen (also die -Beziehung) und den Bereich, über welchen die Variablen "sprechen" muß man eine Interpretation vorgeben; es sei also M = (M,E) für ein nicht-leeres M (deren Elemente die Mengen im Sinne von M sein werden) und eine 2-stellige Relation E auf M (also E M x M, E wird die -Beziehung im Sinne von M sein). 2.3 Wir arbeiten in einer (formalen) Mengenlehre - der Basistheorie - (ZF oder eine geeignete Teiltheorie wie KP ; die mengentheoretische Sprache L ZF bezeichnen wir jetzt wie bei DEVLIN mit LST) und werden in dieser (als formaler Metatheorie) Syntax und Semantik einer formalen Sprache L V beschreiben (allgemeiner L A für eine Klasse A). L V entspricht der ZF-Sprache, enthält jedoch noch zusätzliche Konstanten x für beliebige Mengen x (bzw. für Mengen x A im Falle von L A ). Die Symbole und Formeln von L V werden Mengen in der Basistheorie sein. Es wird also wichtig sein zu unterscheiden zwischen den mengentheoretischen Formeln der Basistheorie (Sprache LST) und den Formeln der Sprache L V, die tatsächlich Mengen in der Basistheorie sind, häufig aber ähnlich wie bisher bezeichnet werden. 3

4 2.4 Definition Die Variablen der Sprache L V bezeichnen wir mit v n, als Code (GÖDELnummer) für v n wählen wir die Menge (2,n) (n ω), und Vbl(a) bezeichnet die LST-Formel y a x y (a = (2,x) Nz(x) ) (wobei Nz(x): "x ist natürliche Zahl" ). Beachte: a ist Variable der Sprache LST, Vbl(a) Formel der mengentheoretischen Sprache LST unserer Basistheorie, Vbl(a) drückt aus, daß a Code einer Variablen der Sprache L V ist. Die Konstanten x der Sprache L V kodieren wir durch die Mengen (3,x) für x V ; Const(a) bezeichne die Formel y a x y (a = (3,x)). 2.5 Eine Kodierung der Formeln von L V durch Mengen (dabei nehmen wir hier an, daß die einzigen logischen Verknüpfungen, und sind) sei wie folgt definiert: Der Code wird gemäß dem rekursiven Aufbau zugeordnet, wobei die logischen Zeichen als Funktionen aufgefaßt werden: x y erhält den Code (4,(x,y)), x = y den Code (5,(x,y)), Haben die Formeln ϕ bzw. ψ den Code x bzw. y, so erhält (ϕ ψ) den Code (6, (x, y) ), ( ϕ) den Code (7, x), ( v n ϕ ) den Code (8,(n,x)). 2.8 Satz Es gibt eine LST-Formel Sat(u,a), welche in KP+Un -definierbar ist und welche ausdrückt: "a ist ein Satz von L u (d.h. Fml(a,u) Fr(a,Ø)) und a ist wahr in der Struktur (u, ) unter der kanonischen Interpretation (d.h. x wird durch x interpretiert für jedes x in u)". # Statt Sat(u,a) werden wir auch schreiben: u = a oder = u a. Für eine einzelne Formel stimmt die Gültigkeit in (u, ) auch mit der entsprechenden Relativierung überein: 2.9 Satz ϕ(v 0,...,v n ) sei ein LST-Formel mit den angegebenen freien Variablen, φ die entsprechende Menge, welche ϕ(v 0,...,v n ) kodiert. Dann gilt in KP + Un: u [ x 0 u... x n u ( ϕ u (x 0,...,x n ) Sat(u, φ(x 0,...,x n )) ]. 4

5 2.10 Bemerkung Für die Gültigkeit einer einzelnen Formel ϕ(x 0,...,x n ) in einer Struktur (M, ), wobei M u.u. eine echte Klasse ist, greifen wir auf die frühere Definition mittels Relativierung zurück: ϕ M (x 0,...,x n ) In diesem Fall kann man (nach TARSKI) im allgemeinen keinen formalen Wahrheitsbegriff definieren, der simultan alle Formeln einschließt (Diagonalargument!). Dagegen läßt sich in der Theorie QM (mit dem imprädikativen Komprehensionsschema) eine Wahrheitsdefinition für echte Klassen (wie z.b. für V) angegeben, allerdings natürlich nur in Bezug auf Formeln der ZF-Sprache (nicht für Formeln 2. Stufe!). Wir wenden uns nun dem Definierbarkeitsbegriff zu, wobei wir unter verschiedenen Möglichkeiten den Fall der Menge der definierbaren Teilmengen einer Menge a wählen, wobei in den jeweiligen Definitionen Elemente von a als Parameter zugelassen sind: 2.11 Definition Def(a): = {x a y ( y Fml a 1 x = {z a (a, ) = sub(y,0,z ) } ) } ; inhaltlich besteht Def(a) aus den Teilmengen x von a der Form (*) {z a (a, ) = ϕ(z,a 1,...,a n )}, bzw. (**) {z a ϕ a (z,a 1,...,a n )}, wobei ϕ eine mengentheoretische Formel ist und a 1,...,a n Elemente von a (Parameter) sind (in der formalisierten Fassung sind die Parameter dadurch berücksichtigt, daß die Formel y der Sprache L a angehört, welche Konstanten für Elemente von a zuläßt). Wir werden uns meistens auf die Darstellung (**) beziehen; nach 2.11 gehören diese Mengen jedenfalls zu Def(a), welches andererseits jedoch möglicherweise weitere Elemente enthalten kann (für den Fall von Formeln im non-standard Sinne) Satz (KP + Un) Def(a) ist eine Menge, und überdies ist die Funktion a Def(a) Σ-definierbar, b = Def(a) somit -definierbar. Beweis: Im Falle von ZF kann man das Potenzmengenaxiom benutzen, um aus Def(a) P(a) zu schließen, daß Def(a) stets eine Menge ist. Im Falle von KP + Un kann man wie folgt argumentieren: Fml 1 a ist eine Menge; auf dieser definieren wir eine Σ-Funktion f durch f : Fml a 1 > Def(a) mit f(y) = {z a (a, ) = sub(y,0,z ) } für y Fml a 1. Somit ist der Wertebereich von f = Fml a 1 eine Menge nach dem Σ-Ersetzungsaxiom. 5

6 Beachte: Ist a unendlich und wohlordenbar, so ist Def(a) gleichmächtig mit a (s.u.), während für beliebiges a nach dem Satz von CANTOR stets P(a) von größerer Mächtigkeit als a ist. Somit ist für unendliches (und wohlordenbares) a stets Def(a) P(a)! 2.13 Satz (i) Für jede LST-Formel ϕ(v o,..,v n ) und beliebige a 1,.., a n a ist {x a ϕ a (x,a 1,...,a n ) } Def(a), insbesondere (ii) Ø, a Def(a), und a 1,..,a n a {a 1,..,a n } Def(a). (iii) trans(a) a Def(a) P(a), (iv) trans(a) trans(def(a)), (v) x, y Def(a) x y, x y, x y Def(a). (vi) Ist M transitives Modell von KP+Un, so ist M abgeschlossen unter Def, und Def ist absolut bzgl. M : a M Def(a) M Def(a) M = Def(a) Definition Varianten des Definierbarkeitbegriffes: (i) Def(a,b) : = {x a y ( y Fml b 1 x = {z a (a, ) = sub(y,0,z ) } ) } ist für b a die Menge der Teilmengen, die in (a, ) mit Parametern aus b definierbar sind. (ii) Df(a) : = {x a y ( y Fml Ø 1 {x} = {z a (a, ) = sub(y,0,z ) } ) } ist die Menge der Elemente von a, für die es eine Formel φ(v o ) mit nur dieser freien Variablen (und ohne Parameter!) gibt, so daß x das einzige Element ist, welches die Formel φ(v o ) in (a, ) erfüllt. (Auch diesen Begriff könnte man wie in (i) für Parametermengen relativieren). Weitere Varianten ergeben sich, wenn man die mengentheoretische Sprache L V erweitert, etwa zu einer Sprache höherer Stufe oder zu infinitären Sprachen Lemma (i) b Df(a) {b} Def(a) (ii) trans(a) Df(a) = a Def(a) (iii) a 1,...,a n Df(a) b Def(a) {x a φ b (x, a 1,...,a n )} Def(a) (iv) b Def(a) Def(b) Def(a) (v) β Df(V γ ) V β Df(V γ ) Def(V β ) Def(V γ ). Der Begriff der definierbaren Elemente (Df) wird bei der Behandlung von HOD wieder auftauchen. 6

7 3 Charakterisierung Innerer ZF-Modelle 3.1 Definition (vgl. mit Def. 1.1 auf S. 1) M ist ein ZF-Modell, falls ϕ M für jedes ZF-Axiom ϕ gilt, ein transitives ZF-Modell, falls M zusätzlich transitiv ist, und M heißt inneres ZF-Modell gdw trans(m) On M ϕ M für jedes ZF-Axiom ϕ. Transitive ZF-Modelle nennt man auch Standardmodelle. Innere Modelle sind wegen On M stets echte Klassen. ("Innere" bezieht sich darauf, daß M ein Klassenterm im Sinne von ZF, also durch eine ZF-Formel definierbar ist.) Da ZF unendlich viele Axiome besitzt, sind diese Definitionen jeweils Schemata! Wir wollen zunächst nachprüfen, was die Gültigkeit eines ZF-Axioms in M (im Sinne der Relativierung) für die einzelnen Axiome bedeutet. Bei den folgenden Charakterisierungen muß man die Gültigkeit der entsprechenden Axiome (z.b. des Potenzmengenaxioms in (iii)) selbst schon (für V) voraussetzen: 3.2 Satz M sei transitiv, M Ø. (i) Die Axiome Extensionalität, Nullmenge und das Fundierungsschemas gelten in M: Ext M, Null M, FundS M. (ii) Paarmengen- bzw. Summenaxiom gelten in M gdw M abgeschlossen ist unter der Paar- bzw. Vereinigungsmenge: Paar M x,y M {x,y} M, Sum M x M x M. (iii) Das Potenzmengenaxiom gilt in M gdw M abgeschlossen ist unter der relativierten Potenzmenge: Pot M x M P(x) M M. (iv) Ordinalzahlen sind absolut bzgl. M: x M ( Ord(x) M Ord(x) ), insbesondere On M = On M. (v) Das Unendlichkeitsaxiom gilt in M gdw M die Menge der natürlichen Zahlen enthält: Un M ω M. (vi) Das Aussonderungsaxiom für die Eigenschaft ϕ(x, x 1,...,x n ) sei das Axiom: AusS ϕ : x 1,...,x n y x ( x y x a ϕ(x, x 1,...,x n ) ). Dann gilt: AusS ϕ M x o M x 1,...,x n M {x x o ϕ M (x, x 1,...,x n ) } M. 7

8 (vii)das Ersetzungsaxiom für die Eigenschaft ϕ(x,y, x ) sei das Axiom ErsS ϕ x y z (ϕ(x,y, x ) ϕ(x,z, x ) y = z ) u y (y u x a ϕ(x,y, x )). Dann gilt: ErsS M ϕ u M x M [ x,y,z M (ϕ M (x,y, x ) ϕ M (x,z, x ) y = z ) {y M x u ϕ M (x,y, x )) } M, d.h. für F : = {x,y ϕ M (x,y, x )}: ErsS M ϕ u M x M ( F : M M F[u] M ). 3.3 Satz M sei transitives ZF-Modell (im Sinne der Relativierung, aber M möglicherweise eine Menge). Dann gilt: (i) On M = On M, (ii) x M P(x) M = P(x) M, (iii) α On M V M α = V α M, α On M ρ(α) M = ρ(α), (iv) α On M ( Card(α) Card(α) M ). (v) Ist außerdem strans(m), so α On M V M α = V α und somit M = V, falls On M, M = V α mit α = On M sonst. V ist also das einzige s-transitive innere ZF-Modell! 3.4 Hauptsatz über innere ZF-Modelle M ist inneres ZF-Modell gdw eine Folge (M α α On) existiert mit folgenden Eigenschaften: (I1) α Mg( M α ) (I2) α, β (α < β M α M β ) kumulativ (I3) λ (Lim(λ) M λ = ξ<λ M ξ ) stetig (I4) α trans(m α ) transitiv (I5) Def(M α ) M α+1 P(M α ) (I6) M = ξ On M ξ. 8