Helmut Harbrecht Büro Department Mathematik und Informatik Spiegelgasse 1 Universität Basel

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1 Helmut Harbrecht Büro Department Mathematik und Informatik Spiegelgasse 1 Universität Basel helmut.harbrecht@unibas.ch Einführung in die Numerik: Vorlesung (mdl. Examen, 3 KP) Mo 14:15 16:00 Uhr Vesalianum Nebengebäude, Grosser Hörsaal (EO.16) Di 11:15 12:00 Uhr Geographie, Hörsaal 5-01 Übung (Hausaufgaben + Schlussklausur, 4 KP) Mo Uhr Biozentrum, Sitzungszimmer 106 Frederik Steiner Mo Uhr Spiegelgasse 5, Seminarraum Dennis Tröndle Mi Uhr Spiegelgasse 5, Seminarraum Lars Bugiera Numerik für Studierende der Naturwissenschaften: Vorlesung inkl. Übung (nur montags, Hausaufgaben + Schlussklausur, 4 KP) Mi Uhr Biozentrum, Sitzungszimmer 106 Ilja Kalmykov Mi Uhr Biozentrum, Hörsaal 103 Dimitri Felder Mi Uhr Biozentrum, Hörsaal 102 Rahel Dohrau

2 Testatkriterien 50% der Punkte aus den theoretischen Aufgaben (für 12954: nur von den Aufgaben ohne Sternchen) 50% der Punkte aus den Programmieraufgaben (diese sind zusammen mit den Übungsaufgaben in gedruckter Form (Quelltext und Plots) abzugeben) Bestehen der Schlussklausur am um 16:15 18:15 Uhr

3 Weitere Informationen Die Übungsblätter sind jeweils montags um 14 Uhr in den Briefkästen des Fachbereichs Mathematik oder zu Beginn der Vorlesung abzugeben. Der Übungsbetrieb startet am Mittwoch, den In der ersten Übungseinheit gibt es eine Einführung in MATLAB. Erlaubte Hilfsmittel in der Klausur: ein (doppelseitig) beschriebenes A4-Blatt (per Hand geschrieben oder getippt, dann jedoch mindestens 12pt Schriftgrösse, keine Beispielaufgaben), kein Taschenrechner. Begleitend zur Vorlesung findet das Programmierpraktikum: Numerik am Computer (2 KP) statt ( um 16:15 Uhr werden im Hörsaal 1 des Pharmazentrums die Gruppen eingeteilt. Anwesenheit ist Pflicht!) Zusätzlich gibt es das Projekt: Einführung in die Numerik (24341) (1 KP) zum Thema Differentialgleichungen: Ausgabe des Projekts: Freitag, der Besprechung der Aufgaben: Montag, der Abgabe des Projekts: Freitag, der Das erste Übungsblatt ist bereits online auf der Vorlesungswebseite:

4 Fragen?

5 1. Grundlagen 1.1 Einführung Ziel der Numerik: Das Ziel der Numerik ist die Konstruktion ökonömischer und stabiler Algorithmen. Speziell gilt es, mögliche Fehlerquellen zu berücksichtigen. Diese ergeben sich durch Modellierungsfehler, durch Fehler in den Eingangsdaten und durch Fehler im Algorithmus. Mit den letztgenannten werden wir uns zuerst befassen.

6 Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, um die Eulersche Zahl e numerisch zu approximieren, wie zum Beispiel: 1. Einerseits erhält man e, indem man den Grenzwert ( e x = lim ) n n n für x = 1 bildet. 2. Eine andere Möglichkeit ist, die Funktion für x = 1 auszuwerten. e x = x n n=0 n! = lim m m n=0 3. Da ln(x) Umkehrfunktion von e x ist, ist e die Nullstelle von g(x) = ln(x) 1, das heisst, wir suchen ein x mit g(x )! = 0. Dabei kann verwendet werden. ln(x) = x 4. Schliesslich kann e aus dem Anfangswertproblem 1 1 t dt x n n! y = y, y(0) = 1 = y(1) = e bestimmt werden, da y(x) = e x die eindeutige Lösung dieses Problems ist.

7 Wir wollen unsere Diskussion hier an dieser Stelle auf die ersten beiden Varianten beschränken. Die Varianten 3 und 4 können erst später behandelt werden, wenn die zugrundeliegende Theorie bereitgestellt wurde. Für die erste Variante berechnen wir den Ausdruck e e (1) m = Bei der zweiten Variante bestimmen wir ( 1 + x n) n für n = 10 m, m = 1,2,3,... (1.1) e e (2) m = m n=0 1 n! für m = 1,2,3,... (1.2) Beide Varianten können einfach mit Hilfe der vier Grundoperationen numerisch umgesetzt werden und liefern uns somit Algorithmen. Die Resultate und die zugehörigen Approximationsfehler (i) = e e (i) m für i = 1,2 sind in folgender Tabelle aufgeführt.

8 m n e (1) m (1) m e (2) m (2) m m = 1 n = m = 2 n = m = 3 n = m = 4 n = m = 5 n = m = 6 n = m = 7 n = m = 8 n = m = 9 n = m = 10 n = m = 11 n = m = 12 n = m = 13 n = m = 14 n = m = 15 n = m = 16 n = Bei Variante 1 stellen wir fest, dass der Fehler (1) ab m = 9 wieder wächst. Ab m = 16 erhalten wir überhaupt keine Approximation mehr. Variante 2 hingegen liefert sehr schnell eine gute Approximation an e, welche gleichmäßig in m konvergiert. Um zu verstehen, was bei der ersten Variante für m = 16 passiert, müssen wir uns die Zahlendarstellung im Computer näher ansehen.