Entwurf von Software für eingebettete Systeme

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1 Entwurf von Software für eingebettete Systeme Regelungstechnik: eine Einführung Wintersemester 2010/11 TU Chemnitz Fakultät für Informatik Professur Betriebssysteme Dr. Dirk Müller

2 Regelungstechnik: Übersicht Standardregelkreis Bezug zur Echtzeit Regelstrecken P-, I-, D-, TZ-, PT1-, PT2-Glied fortgeschrittene Regelungsmaßnahmen Stabilität und Bode-Diagramm, Robustheit (analoge) Regler P-, I-, PI-, PD-, PID-Regler digitale Regler Stellungs- und Geschwindigkeitsalgorithmus Probleme: begrenzte Genauigkeit Zusammenfassung 2/61

3 Einführung biologische Beispiele für Regelung historisch-technologische Bsp. aufrechter Gang (Sensoren, Aktuatoren, Regler) Körpertemperatur (gleichwarme Tiere) Pupillenöffnung im Auge photopisches (Adaptation) Sehen mit S-, MFliehkraftregler von James Watt Kohlrausch-Knick und L-Zapfen skotopisches Sehen mit Stäbchen Alltagsbeispiele Quelle: basiert auf Heizungssysteme Kühlschränke Belichtungsautomatik im Fotoapparat ABS im Auto Netzspannungs- und Frequenzregelung des europäischen Versorgungsnetzes 3/61

4 Fliehkraftregler Dampfmaschine erreicht nach Anlaufphase ihre Arbeitsgeschwindigkeit 1788 James Watt und Matthew Boulton, vorher schon bei Windmühlen verwendet Gegenkraft: Gewichtskraft Drosselklappe wird mit zunehmender Drehzahl immer weiter geschlossen: negative Rückkopplung Problem: Riemen kann reißen, dann Selbstzerstörung möglich Fliehkraftregler im Science Museum London Quelle: Fotograf: Mirko Junge 4/61

5 Regelung bei Windmühlen Verstellung von Jalousieklappenflügeln ermöglicht Anpassung an Windgeschwindigkeit und Haltung einer Arbeitsdrehzahl: Fliehkraftregelung weitere Regelung bei Windmühlen: Flügelnachführung als Anpassung an die Windrichtung Malchower Mühle im Landkreis Müritz, Mecklenburg-Vorpommern Quelle: Fotograf: Aeggy 5/61

6 Mechanik und Evolution manchmal auch Zusammenhänge zur Evolutionstheorie gesehen, so Alfred Russel Wallace (1858): The action of this principle is exactly like that of the centrifugal governor of the steam engine, which checks and corrects any irregularities almost before they become evident; and in like manner no unbalanced deficiency in the animal kingdom can ever reach any conspicuous magnitude, because it would make itself felt at the very first step, by rendering existence difficult and extinction almost sure soon to follow. Quelle: [5] Evolution: Mutation, Rekombination, Selektion Regelungstechnik: Führung, Störung, Regelung Gemeinsamkeit: Prinzip der negativen Rückkopplung 6/61

7 Steuern DIN Das Steuern die Steuerung ist der Vorgang in einem System, bei dem eine oder mehrere Größen als Eingangsgröße andere Größen als Ausgangsgrößen aufgrund der dem System eigentümlichen Gesetzmäßigkeit beeinflussen. Kennzeichen ist der offene Wirkungsablauf über das einzelne Übergangsglied oder die Steuerkette. keine Rückkopplung, open loop 7/61

8 Regeln DIN Das Regeln, die Regelung, ist ein Vorgang, bei dem fortlaufend eine Größe, die Regelgröße (zu regelnde Größe), erfasst, mit einer anderen Größe, der Führungsgröße, verglichen und im Sinne einer Angleichung an die Führungsgröße beeinflusst wird. Kennzeichen für das Regeln ist der geschlossene Wirkungsablauf, bei dem die Regelgröße im Wirkungsweg des Regelkreises fortlaufend sich selbst beeinflusst. Störung (dynamisch) Rückkopplung, closed loop - Stellen Vergleichen Messen 8/61

9 Steuern vs. Regeln Steuerung Datenfluss nur vorwärts Steuerkette kann nur auf Störgrößen reagieren, die beim Design (Kennlinie) berücksichtigt wurden keine Einführung von Instabilität z.b. Raumheizung mit Außentemperaturfühler Regelung Datenfluss im Kreis Regelkreis kann Störungen mindern oder beseitigen (negative Rückkopplung) kann zum Aufschwingen (Instabilität) führen z.b. Raumheizung mit Innentemperaturfühler 9/61

10 Standardregelkreis Energie r - e Regler K u Regelstrecke G z y Daten internat. DINGröße Symbol Symbol r w Führungsgröße Bemerkung y x Regelgröße Ist-Wert e xd Regeldifferenz Fehler e = r y bzw. xd = w - x inverser Wert: Regelabweichung xw = -xd u y Stellgröße Stellwert z z Störgröße externer Einfluss Soll-Wert 10/61

11 Charakteristiken der Regelung Rückkopplung (Regelkreis) Linearisierung Reduktion der Parameterempfindlichkeit Gefahr von Oszillationen (Schwingungen), Instabilität Vergleich zwischen Führungsgröße und Regelgröße oft automatisch, aber Lenken eines Kfz: Handregelung Gegenkopplung, aber durch Totzeiten kann es zu Mitkopplung und damit Schwingung kommen kontinuierlich, Störungen werden fortlaufend bekämpft Zeitabhängigkeit der Führungsgröße r(t) = const. Festwertregelung r(t) erst Führung, dann Störungskorrektur r(t) variiert stark: Folgeregelung (z.b. Servosysteme) 11/61

12 Ort(e) der Störung(en) wesentlich, wo Störgrößen z wirken (vor, am Anfang, am Ende oder nach der Regelstrecke) aber: für LTI-Systeme ist eine Zusammenfassung zu einer Störgröße nach der Regelstrecke äquivalent mgl. auch: explizite Unterscheidung in Führungs- und Störverhalten z' Störstrecke G' r - e Regler K u Regelstrecke G z + y Ziel: y(t)=r(t), unabhängig von z'(t) Praxis: Kompromiss nötig; Führungsverhalten vs. Störverhalten vs. Gefahr von Instabilität 12/61

13 Bezug zur Echtzeit (1/2) harte EZS häufig eingebettete Systeme Verkehrswesen Medizintechnik Flugzeug Auto Schienenfahrzeuge Intensivstation Regelung mechanischer/biologischer Größen, wobei eine zu hohe Latenz (EZ-Bed.) eine zu hohe Regelabweichung über eine zu lange Zeit nach sich zieht so, dass lebensgefährliche oder sachwertgefährdende Zustände eintreten können Integration von e bzw. e über t betrachtet beides 13/61

14 Bezug zur Echtzeit (2/2) e(t3): hier speziell Überschwingweite r y t2 r t y t dt t1 Latenz bzw. Ausregelzeit, bis z.b. 3% Abweichung t1 t2 t3 t Abweichung e und Integral und liefern Ideen für erste Strecken und Regler => P-Regler und I-Regler 14/61

15 Gütemaße Fehlerintegrale werden minimiert Optimierungsprobleme für Reglerentwurf 1. Lineare Regelfläche 2. Betragslineare Regelfläche 3. Quadratische Regelfläche 4. Zeitbeschwerte betragslineare R.-fl. 5. Zeitbeschwerte quadratische R.-fl. I 1 = e t dt 0 I 2= e t dt 0 2 I 3= e t dt 0 linear nur bei starker Dämpfung oder I 4= e t t dt 0 Monotonie sinnvoll Quadrat leichter auszuwerten als Betrag, I 5 = e2 t t dt 0 bestraft, größere Abweichungen stärker Zeitbeschwerung bestraft spätere Abweichungen stärker e t 0, nutze diesen Grenzwert e als Bezug falls lim t 15/61

16 Regelstrecke muss analysiert werden, um passenden Regler auswählen zu können: y = G(u) häufig Kombination aus versch. einfachen Modulen Proportionalglied (P-Glied) Integrator (I-Glied) Totzeitglied Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied) Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied) Problem für Echtzeit und für Regelung allgemein Analyse mit Einheitssprungfunktion am Eingang, also Kategorisierung nach Sprungantwort (durch Versuch) y u 1 Regelstrecke t??? t 16/61

17 Ausgleich Systeme mit Ausgleich beschränkte Sprungantwort Selbstregelungseigenschaft asymptotisches Verhalten Systeme ohne Ausgleich unbeschränkte Sprungantwort keine Selbstregelungseigenschaft Praxis: Beschränkung durch Anschlag/Sättigung t t 17/61

18 Proportionalglied (P-Glied) sofortige proportionale Reaktion am Ausgang keine Verzerrung y= K u Symbol Verstärkungsfaktor K Beispiele Mechanik Hebel, Getriebe Elektronik Näherung: starrer Körper In Wirklichkeit gibt es eine kleine Verzögerung. Verstärker, Spannungsteiler Sensoren, bei denen das Zeitverhalten vernachlässigt werden kann 18/61

19 Integrator (I-Glied) integriert, wandelt unstetiges in stetiges Signal auf Regelstrecke; verzögert; kein Ausgleich Symbol verstärkt niedrige Frequenzen, unterdrückt hohe Phasenverschiebung konstant -90 Beispiele Mechanik Beschleunigung => Geschwindigkeit => Weg Zufluss in einen Speicher (Volumenstrom => Füllhöhe) Elektronik Strom => Kondensatorspannung 19/61

20 Totzeitglied, TZ-Glied Laufzeiten von Material oder Signalen Symbol Achtung! vs. Totzeit durch Synchronisation y=u t T Beispiele Mechanik Förderband Elektronik Gleichverteilung im Intervall [0;max] z.b. Erkennung eines Signals am Mikroprozessor ebenso vs. Verzögerungszeit z.b. Massenträgheit Rechenzeit A/D-Wandler D/A-Wandler 20/61

21 Beispiel: Förderband Art der Regelstrecke von Betriebsmodus abhängig TZ-Glied: Regelung des Eingangsvolumenstroms dve/dt dva/dt dva/dt dve/dt ω Va P-Glied: Regelung der Drehzahl ω dva/dt 21/61

22 Verzögerungsglied 1.Ordnung (PT1-Glied) verzögerte Proportionalität Symbol zuerst wie I-Glied, später wie P-Glied charakterisiert durch Zeitkonstante T und Verstärkungsfaktor K T y y=k u Elektronik Beispiele RC-Tiefpass bei T liegen 1-1/e, also ca. 63% des Endwertes, an Sprungantwort y= K 1 e Grenzfall T 0 t T liefert P-Glied 22/61

23 Simulation eines PT1-Gliedes Ausgangspunkt: I-Glied mit Stromdifferenz (Masse, Energie, el. Strom) aus Zu- und Abfluss am Eingang Erweiterung durch Rückkopplung (genauer: Gegenkopplung), die den Zufluss sukzessive und proportional (P-Glied) zur gespeicherten Menge reduziert - Resultat: PT1-Glied somit Gegenkopplungsprinzip bereits in Gliedern und Reglern, fraktale (selbstähnliche) Struktur Ausgleich 23/61

24 Verzögerungsglied 2.Ordnung (PT2-Glied) gedämpfte Schwingung Symbol Beispiele Mechanik Grenzfälle: Oszillator ohne Dämpfung Reihenschaltung zweier PT1-Glieder Elektronik Mechanischer Schwinger (Feder-Masse-System) elektrischer Schwingkreis (RLC-Schwingkreis) manchmal auch Grenzfälle einbezogen Gleichstrommotor (Spannung=>Drehzahl) unter Berücksichtigung der Induktivität 24/61

25 D-Glied differenziert Symbol tritt in der Praxis nicht auf trotzdem füllt es eine Lücke in der Modellierung y= K u Einheitssprung zum Messen ungeeignet, da er (ideal) auf einen Dirac-Impuls führt besser: Rampe unterdrückt niedrige Frequenzen, verstärkt hohe Frequenzen Phasenverschiebung konstant /61

26 Regelung mit Störgrößenaufschaltung z r - e Regler K u Regelstrecke G y Kombination aus Steuerung und Regelung korrigiert schnell, da bereits die Störung direkt für die Regelung genutzt wird Voraussetzung: Störung ist messbar 26/61

27 Kaskadenregelung z1 r - e K2 - K1 u G1 z2 G2 y divide et impera (teile und herrsche) von innen nach außen flexibel, aber auch teurer (alles zweimal) kombinierbar mit weiteren Maßnahmen begrenzte Regelung bei Teilausfall (Zuverlässigkeit) analog zu Strecken mit Ausgleich: innere Regelkreise Basis für Smith-Prediktor zur Totzeitregelung [12] 27/61

28 Robuste Regelung Entscheidung Modifikation Identifikation z r e - Regler K u Regelstrecke G y extra Meta-Rückkopplung auf Prozess-Regler-Ebene Verallgemeinerung: adaptive Regelung zeitliche Veränderung der Regelstrecke z.b.: Flugkörper mit abnehmender Masse (Verbrennung von Treibstoff) 28/61

29 Anforderungen an Regelung instabil (Aufschwingen) transient stationär stationär Störung: z t Beschränkung auf lineare zeitinvariante Regler transient Führung: r stationär Anfahren transient y somit als lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschreibbar Gütekriterien einer Regelung 1. Stabilität 2. Unempfindlichkeit und allgemeine Robustheit 3. Genauigkeit im Gleichgewicht (Stationärer Zust.) 4. Güte beim Einschwingen (Transienter Zustand) jeweils bei Führung und Störung 29/61

30 Stabilität r Lineare zeitinvariante Systeme 1. und 2. Ordnung stabil gdw. Sprungantwort gegen endlichen Wert geht alle Koeffiz. in Dgl vorhanden und gleiches Vorzeichen für höhere Ordnungen ist die Bedingung nur noch y 4 y y notwendig, aber nicht hinreichend u= 3 z.b.: Stabilisierung einer instabilen Strecke ges.: P-Regler, der stabilisiert y 4 y y K R r y = Einsetzen von u=k e liefert R 3 ablesbar, dass y 4 y 3K R 1 y K R 1/3 gelten muss z K R r= 3 - e P-Regler mit KR u Regelstrecke G y 30/61

31 Bode-Diagramm Hendrik Wade Bode ( , US-am. E-Techniker) bisher: (Einheits-)Sprungfunktion als Testfunktion jetzt: Sinusfunktion mit variierender Frequenz => Amplitude und Frequenz logarithmisch skaliert (Bode) liefert Sinus am Ausgang (wg. zeitinv. Linearglieder) Frequenzgang Amplitude und Phase als Funktion der Frequenz somit Reihenschaltung von Blöcken (Multiplikation) als Vektoraddition im Bode-Diagramm wichtige, sofort ablesbare Parameter: Durchtrittsfrequenz (Nullstelle des Amplitudengangs) Phasenrand (Differenz der Phase zu -180 bei Durchtrittsfrequenz; max. Verzögerung durch weiteres Totzeitglied, bei dem Kreis noch stabil bleibt) Amplitudenrand (Amplitude bei Phase -180 ; max. Verstärkungsfaktor, bei dem Kreis noch stabil bleibt) 31/61

32 Bode-Diagramm: Stabilität, Führung, Störung stabil gdw. positiver Phasenrand sonst geht Gegenkopplung in Mitkopplung über Je größer der Phasenrand ist, desto größer ist die Stabilitätsreserve des Regelkreises. Üblich sind Werte von 40 bis 70 für gutes Führungsverhalten und 20 bis 50 für gutes Störungsverhalten Die Durchtrittskreisfrequenz ist ein Maß für die Schnelligkeit des Regelkreises. Je höher sie ist, desto schneller reagiert der Regelkreis auf Änderungen der Führungsgröße oder Störungen. Nachteil: Begrenzungen und Nichtlinearitäten ignoriert => Optimierung im Zeitbereich, Simulation 32/61

33 Bode-Diagramm: Beispiel Phasenrand ist hier ca. 45 somit stabil wegen 20 <45 <50 und 40 <45 <70 sowohl gutes Störungs- als auch gutes Führungsverhalten Quelle: [2] 33/61

34 Bode-Diagramm Totzeitglied 34/61

35 Unempfindlichkeit + Robustheit Modellbildung: Abbildung, Verkürzung, Pragmatismus Beschreibungsfehler zeitlich konstante Parameterabweichungen Fertigungstoleranzen Messungenauigkeiten Modellvereinfachungen Betriebseinflüsse zeitlich veränderliche Parameterabweichungen Alterung (Verschleiß) Änderung der Umgebungsbedingungen (z.b. Temperatur) Betriebsänderungen (Brennstoffverbrauch, Laständerung, etc.) Untersuchen y=g(u) bei Variation von u Gegenkopplung: Verbesserung für kleine und mittlere f, aber Verschlechterung für hohe Frequenzen möglich Robustheit: allgemeinere Fehler zulässig (Ausfälle, Nichtlinearitäten) 35/61

36 P-Regler Proportionalregler, entspricht P-Glied, nur künstlich Symbol: P u t = K P e t als C-Code: u = Kp * e; sehr einfach, starrer Zusammenhang Fehler-Stellgröße lebt vom Fehler, schnelle Reaktion, bleibender Fehler Wechselspiel Genauigkeit vs. Stabilität brauchbar bei Führung, schlecht bei Störung als Faustregel (Grund: stationärer Sprungfehler) 36/61

37 I-Regler Integrierer, entspricht I-Glied, nur künstlich Symbol: I t u t = K I 0 e d 1 T = I Nachstellzeit KI als C-Code (unter Nutzung der Rechteckregel): esum += e; u = Ki * Ta * esum; träge, aber korrigiert Abweichungen vollständig Folge: Phasendrehung um konstante -90, größere Gefahr einer Instabilität 37/61

38 PI-Regler (Lag-Glied) naheliegende Parallelschaltung von P- und I-Regler, um deren Vorteile zu kombinieren Symbol: PI t u t = K P e t K I 0 e d KP T I= Nachstellzeit KI als C-Code: esum += e; u = Kp * e + Ki * Ta * esum; keine bleibende Regelabweichung genau und mittelschnell 38/61

39 PD-Regler (Lead-Glied) differenziert, lineare Extrapolation als Prognose Symbol: PD KD de t T = D u t = K P e t K D KP dt ; Vorhaltzeit als C-Code (lin. Extrapolation mit Differenzenquotient): u = Kp * e + Kd * (e ealt) / Ta; ealt = e; sehr schnelle Reaktion verstärkt ebenso Rauschen Anschlag zu großer Signale (Abschneiden) im Aktuator kleine bleibende Regelabweichung 39/61

40 PID-Regler (Lead-Lag-Glied) kombiniert P-, I- und D-Verhalten: König der klass. R. Symbol: Nachstellzeit T I =K P / K I PID Vorhaltzeit T D =K D / K P de t u t = K P e t K I 0 e d K D dt als C-Code: t esum += e; y = Kp*e + Ki*Ta*esum + Kd * (e ealt) / Ta; ealt = e; sehr schell und genau Parallelschaltung der 3 Verhaltenstypen P, I und D 40/61

41 PID: Wirkung einer Erhöhung der verschiedenen Koeffizienten Proportionalbeiwert schnellere Regelung Gefahr von Instabilität Integralbeiwert Differentialbeiwert schnellere kleinere Über Regelung schwingweite größere langsamere R. Überschwingwei Rauschverte stärkung 41/61

42 PID-Einstellregel nach Ziegler/Nichols empirisch, Amplitudenabnahme pro Schwingung 25% Methode des Stabilitätsrandes 1. zunächst Betrieb als reiner P-Regler, I- und D-Teil off 2. Vergrößerung von K P bis Dauerschwingung bei K krit 3. Messen der Periodendauer T krit 4. Setze K P =0,6 K krit K I =2K P /T krit K D =K P T Krit /8 bzw. bzw. T I =T krit /2 T D =T krit /8 in der Praxis oft andere Methoden, da instabiles System zerstört werden könnte (z.b. Tempomat, Kühlschrank) schwingendes Führungsverhalten, gutes Störverhalten 42/61

43 Sprungantworten klassischer Regler bei PT2-Strecke (Führung) Quelle: [2] 43/61

44 Störungsverhalten Klassischer Regler Quelle: [6], S /61

45 Eignung von Reglern für Strecken Regler P I PD PI PID (unnötig) (unnötig) Strecke P-Glied TZ-Glied PT1-Glied 2 PT1Glieder n PT1Glieder PT2-Glied höhere Ordnungen I-Glied mit PT1-Glied (unnötig) /61

46 Digitale Regler statt Operationsverstärker jetzt Mikroprozessoren Vorteile driftfreie Verarbeitung, d.h. kein Trend im systematischen Fehler (durch z.b. Temperaturabhängigkeit) leichtere Realisierung nichtlinearen Verhaltens, adaptiver Regelung, Mehrgrößenregelung, etc. Rekonfiguration per Software möglich (flexibler) Nachteile Abtastung (nötig wegen A/D- und D/A-Wandlung) wirkt im Mittel wie Totzeitglied mit halber Abtastzeit => Gefahr von Instabilität durch zusätzliche Phasenverschiebung quasikontinuierliches Verhalten erst bei Abtastzeit < 10% der bestimmenden Zeitkonstanten des Regelkreises [7] begrenzte Wortlänge reduziert Leistungsfähigkeit des Regelkreises oder kann ihn sogar instabil machen [7] 46/61

47 Zeitdiskret und quantisiert y endlicher Signalwertvorrat => quantisiert nur bestimmte Zeitwerte mit Signalwerten belegt=> zeitdiskret t Faustformel: digital = zeitdiskret + quantisiert periodisch zeitdiskret => Abtastung mit Abtastperiode/-intervall TA, empfohlene Werte laut [9]: Flussregelungen 1 s Flüssigkeitsstandregelungen 5 s Temperaturreglungen 30 s.. 10 min 47/61

48 Begrenzte Wortlänge Finite Word Length (FWL) 1.Quantisierung der Signale => Quantisierungsfehler 2.Überlauf bei Berechnungen => sehr großer Fehler durch Wrap-Around, überraschende Effekte bis hin zur Instabilität des vormals stabilen Systems möglich 3.Akkumulation von Rundungsfehlern bei arithmetischen Berechnungen 4.Quantisierung der Koeffizienten => Quantisierungsfehler 1. durch Auflösung des A/D-Wandlers bestimmt 2. bis 4. durch Design des Reglers/Filters bestimmt oft Zielkonflikt zwischen Verhinderung von 2. und Quelle: [11], S. 23f. Minimierung von 1., 3. und 4. 48/61

49 Fest- und Gleitkommaarithmetik Festkomma Gleitkomma xe B Bits für Größe der Zahl x m 2 mit 0,5 x m 1 Vorzeichenbit ist 0. Bit und ein weiteres (0.) für Vorzeichen der Mantisse Implementierung ein Implementierung fach, preiswert kompliziert, häufig auf schnell Coprozessor ausgelagert schlechter Kompromiss langsam guter Kompromiss zwischen Wertebereich und Genauigkeit zwischen Wertebereich Fehleranalyse einfach und Genauigkeit Fehleranalyse starke Argumente für Nutzung in eingebetteten kompliziert Quelle: [11], S. 28f. Echtzeitsystemen 49/61

50 Busse bei digitaler Regelung Echtzeitverhalten bei Datenübertragung notwendig (sonst beliebig lange Totzeit möglich => Katastrophe!) Punkt-zu-Punkt-Verbindungen (Extremfall Vollvermaschung) aufwändig, teuer, sicher Bussystem (gemeinsam genutztes Medium) Echtzeitverhalten meist durch zeitgesteuertes (TDMAoder tokenbasiertes) System; Zeitfenster sind optimal für Mess-, Steuerungs- und Regelaufgaben müssen dann mit dem Zyklus der Sensoren/Aktoren synchronisiert sein [4], S. 41 seltener ereignisgesteuerte Systeme (z.b. CAN) Trend zu Mischformen: FlexRay, TTCAN, TTEthernet, auch Feldbussysteme (z.b. Profibus, Interbus) 50/61

51 Digitale Realisierung PID-Regler Differentialgleichung im kontinuierlichen Fall t de t u t = K P e t K I e d K D dt 0 Differenzengleichung im zeitdiskreten Fall k KD u k =K P e k K I T A ei e k ek 1 TA i=0 Bezeichnungen Proportionalbeiwert KP r e PID Integrierbeiwert KI Differenzierbeiwert KD Abtastzeit TA digital Index der Abtastung k benutzt Rechteckregel und lineare Extrapolation mit dem Differenzenquotienten z D/A A/D u G y analog 51/61

52 PID-Stellungsalgorithmus Summe in der Differenzengl. soll eliminiert werden jeweils neuer Wert der Stellgröße u berechnet rekursiver Ansatz: u k =u k 1 q 0 ek q1 e k 1 q2 ek 2 KD Operationen per Schritt q = K K T 0 P I A von k+3 auf 3 Additionen TA von 3 auf 3 Multiplikationen KD von 3 auf 4 Zuweisungen q 1= K P 2 TA alte Werte von u und e mitführen Aufsummierung von e-werten entfällt KD q 2= q-werte sind Konstanten und TA werden initial berechnet ebenso kann dafür bereits noch vorher der Quotient q 2 berechnet und eingesetzt werden (spart 2 Divisionen) 52/61

53 PID-Geschwindigkeitsalgorithmus leichte Variation, berechne jeweils u k =u k u k 1 und integriere erst dann auf (numerisch laut Rechteckregel) kann auch in einem integrierenden Stellglied erfolgen u k =q0 ek q 1 ek 1 q2 ek 2 Name, da die Geschwindigkeit (Änderung) der Stellgröße berechnet wird Integralteil in q 0 darf hier nicht ignoriert werden, da sonst im eingeschwungenen Zustand mit ek =const. beliebig große Regeldifferenz möglich 53/61

54 PID-Implementierung bisher verwendete Gleichung für PID-Regler bei (typischen) Sprüngen in Führungs-/Störgröße ungünstig k KD u k =K P e k K I T A e i e k e k 1 TA i=0 Dirac-Impuls im P- und D-Term bei Sprung in der Führungsgröße Verbesserung durch Ersatz des Fehlers durch die negative Regelgröße im P- und D-Term verbesserte PID-Gleichung k KD u k = K P y k K I T A ei y k 1 y k Quelle: [10] TA i=0 54/61

55 Probleme der Digitalisierung Beschränkungen bei Genauigkeit und Wertebereich (bes. bei Festkomma-, auch bei Gleitkommaarithm.) Bereichsbegrenzung => Anfahr-Effekt (wind-up) kürzere Abtastzeit macht Koeffizienten größer => GeÜberlauf fahr eines (internen) Überlaufs steigt bei Anschlag langsamere Regelung, integraler Fehler wächst immer weiter => noch langsamere Regelung Gegenmaßnahme: viel größere interne Bereichsbegrenzung, d.h. Begrenzung erst direkt im D/AWandler Abschalten des Integralteils falls intern berechnete Größe über Anschlag liegt bzw. ebenso Begrenzung Abschneiden von Stellen => integraler Offset Unterlauf entspricht in etwa dem Ignorieren des Integralteils Gegenmaßnahme: intern mit mehr Nachkommastellen rechnen => Akkumulation führt schließlich zu Auswirkung in der D/A-Wandler) Dirk Müller: Entwurf von Stellgröße SW für eingeb. (am Systeme, WS 2010/11 55/61

56 Spezielle Diskrete Operatoren cleverere Lösung als Vergrößerung d. Wortlänge [7][11]: bei gleicher HW, nur durch bessere Algorithmen Sicherung der Stabilität sowie bessere Genauigkeit q x t =x t T A möglich normalerweise Shift-Operator x t, T A =0 Delta-Operator x t = q 1 x t T A x t Übergang vom x t =, sonst TA TA Shift- zum Delta-Operator sichert Konvergenz der zeitdiskreten Lösung gegen die kontinuierliche bei T A 0 [7][8][11] somit vereinheitlichte Betrachtung der zeitdiskreten und kontinuierlichen Lösung möglich, kleine Abtastzeiten sind kein Problem mehr [8][11], aber: T A 1 als Bedingung [11] sowie Grenzen durch Wertebereich der Parameter [11] Anwendung des Delta-Operators bes. bei preiswerter Festkommaarithmetik hohen sinnvoll Dirk Müller: Entwurf von SW fürund eingeb. Systeme,Abtastraten WS 2010/11 { } 56/61

57 Stabilitätsbereiche: Lage der Polstellen kontinuierlicher Fall: Halbebene der negativen reellen Zahlen x = Ax Bu Shift-Operator: Inneres des Einheitskreises um Ursprung x k 1 = Ax k Bu k 1 Delta-Operator: Inneres des Kreises mit Radius 1/T A um 1/T A,0 1/T A x k 1 xk = A ' x k B ' u k TA 57/61

58 Beispiel Delta-Operator: Empfindlichkeit Aufgabe: Stabilität der beiden Systeme untersuchen q 2 1,9 q 0,9025 y [ k ]=0 stabil instabil q 2 1,9q 0,8925 y [ k ]=0 q 1 besser: Überführung in Delta-Form mit = TA (Annahme: Abtastzeit 0,1), äquivalent 2 0,25 y [ k ]=0 2 0,75 y [ k ]=0 Koeffizienten weichen viel stärker voneinander ab (400% vs. 1%) Stabilitätseigenschaften sofort ersichtlich aus Analogie zum stetigen Fall Fazit: Empfindlichkeit auf numerische Fehler in Koeffizienten ist viel kleiner, falls T A 1, vgl. [11], Entwurf S. 296ff. Dirk Müller: von SW für eingeb. Systeme, WS 2010/11 58/61

59 Optimierungsstrategien für digitale FWL-Regler i. Regler als Filter betrachtet, Optimierung auf Filterebene als Minimierung von FWL-Effekten ii. Abstand zwischen optimalem digitalen Regler und FWL-Regler minimieren iii. unter geg. Wortlängen FWL-Regler optimieren iv. Minimierung des Fehlers gegenüber einem zeitkontinuierlichen quantisierten System, globale Optimierung über alle möglichen FWLFilter angemessen sind nur Strategien iii. und iv. deutliche Überlegenheit gegenüber den naiven Quelle: [11], S. 220f. Ansätzen i. und ii. lokal global 59/61

60 Zusammenfassung Regler muss Stabilität, Robustheit sowie Genauigkeit und Güte bei Führung und Störung gewährleisten PID-Regler sind außer für Strecken mit reiner Totzeit (dort I-Regler verwenden) günstig P: Sprungfehler, I: korrigiert Fehler, D: beschleunigt mit Software sind sie schnell implementiert und angepasst => PID in Software Stellungs- und Geschwindigkeitsalgorithmus sind besser als eine direkte Umsetzung der PIDDifferenzengleichung Vorsicht ist bei den Datentypen geboten: Anfahreffekt, integraler Offset und Instabilität müssen durch größere interne Datentypen (größer als für D/A-Wandler nötig) u. spezielle diskrete Operatoren [7] bekämpft werden 60/61

61 Literatur [1] H. Gassmann: Einführung in die Regelungstechnik, Band 1, Verlag Harry Deutsch, Thun, Frankfurt am Main, 1992, 2. Auflage 1993 [2] Regelungstechnik, [3] PID-Regelalgorithmus, [4] W. Zimmermann, R. Schmidgall: Bussysteme in der Fahrzeugtechnik, 2. Auflage, Vieweg, Braunschweig, 2007 [5] Alfred Russel Wallace: On the tendency of varieties to depart indefinitely from the original type, Essay, Ternate/Indonesien, 1858 [6] H. Unbehauen: Regelungstechnik I, 6. Auflage, Vieweg, Braunschweig, 1989 [7] P. Piątek, W. Grega: Linear digital controller for high-speed dyna mical system, Preprints of the 30th IFAC Workshop on Real-Time Programming and 4th Int'l WS on Real-Time Software, S , [8] Goodwin, G.C., Middleton, R.H., Poor, H.V.: High-speed digital signal processing and control in Proceedings of the IEEE, vol.80, no.2, S , Feb 1992 [9] M. Tham: Discretised PID Controllers, 1998, [10] BESTune: Three Types of PID Equations, [11] M. Gevers, G. Li: Parametrizations in Control, Estimation and Filtering Problems, Springer, Heidelberg, 1993 [12] O.J.M. Smith: Closer control of loops with dead time, Chemical Engineering Progress, 53, pp , /61