Algorithmen für Ad-hoc- und Sensornetze

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1 Algorithmen für Ad-hoc- und Sensornetze VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten Fabian Fuchs 5. Nov (Version 1) INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK - LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK (PROF. WAGNER) KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Thema heute: Lokalisierung Warum wir Knotenpositionen brauchen Zuordnung der Daten (was tun, wenn s brennt?) Georouting Topologiekontrolle... Was tun, wenn (alle/einige/viele) Knoten ihre Positionen nicht kennen, weil GPS/Galileo nicht zur Verfügung steht ist schwer, groß, teuer (verglichen mit SmartDust) kostet Energie funktioniert nicht überall (drinnen, im Wald) ist nicht besonders genau jedem Knoten die Position einprogrammieren nicht geht VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (2/40)

3 Thema heute: Lokalisierung Warum wir Knotenpositionen brauchen Zuordnung der Daten (was tun, wenn s brennt?) Georouting Topologiekontrolle... Was tun, wenn (alle/einige/viele) Knoten ihre Positionen nicht kennen, weil GPS/Galileo nicht zur Verfügung steht ist schwer, groß, teuer (verglichen mit SmartDust) kostet Energie funktioniert nicht überall (drinnen, im Wald) ist nicht besonders genau jedem Knoten die Position einprogrammieren nicht geht VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (2/40)

4 Überblick Überblick: Entfernungs- und Richtungsschätzung Lokalisierung mit Ankerknoten Ankerfreie Lokalisierung: Virtuelle Koordinaten Komplexitätsbetrachtungen Heuristiken zur ankerfreien Lokalisierung VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (3/40)

5 Was man alles messen kann Entfernungen Zusammenhang im Kommunikationsgraphen sehr grobe Information über benachbarte Lage von Knoten RSSI: Received Signal Strength Indicator Sendestärke bekannt Distanz lässt sich theoretisch schätzen in der Praxis recht ungenau ToA: Time of Arrival Bestimmung von Signallaufzeiten (roundtrip time) TDoA: Time Difference of Arrival Laufzeitvergleiche zweier Signale (z. B. Radio / Ultraschall) Richtungen AoA: Angle of Arrival Phasenverschiebung in Antennenarrays gerichtete Antennen Zusatzhardware (Laser etc.) VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (4/40)

6 Was man alles messen kann Entfernungen Zusammenhang im Kommunikationsgraphen sehr grobe Information über benachbarte Lage von Knoten RSSI: Received Signal Strength Indicator Sendestärke bekannt Distanz lässt sich theoretisch schätzen in der Praxis recht ungenau ToA: Time of Arrival Bestimmung von Signallaufzeiten (roundtrip time) TDoA: Time Difference of Arrival Laufzeitvergleiche zweier Signale (z. B. Radio / Ultraschall) Richtungen AoA: Angle of Arrival Phasenverschiebung in Antennenarrays gerichtete Antennen Zusatzhardware (Laser etc.) VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (4/40)

7 Überblick Überblick: Entfernungs- und Richtungsschätzung Lokalisierung mit Ankerknoten Ankerfreie Lokalisierung: Virtuelle Koordinaten Komplexitätsbetrachtungen Heuristiken zur ankerfreien Lokalisierung VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (5/40)

8 Lokalisierung mit Ankerknoten Wenn GPS/Einprogrammieren so teuer ist, reicht es vielleicht, wenn einige Knoten, sogenannte Ankerknoten, ihre Position kennen? Wenn jeder Knoten genug Anker sieht : Trilateration bei bekannten Enfernungen Drei Anker für eindeutige Lokalisierung Triangulation bei bekannten Winkeln Zwei Anker für eindeutige Lokalisierung Bei gestörten Werten und/oder mehr Ankern Least Squares Verfahren etc. Schätztheorie Was, wenn wir nur wenige Anker haben? Einige Knoten haben dann vielleicht keine Anker in ihrer Nachbarschaft! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (6/40)

9 Lokalisierung mit Ankerknoten Wenn GPS/Einprogrammieren so teuer ist, reicht es vielleicht, wenn einige Knoten, sogenannte Ankerknoten, ihre Position kennen? Wenn jeder Knoten genug Anker sieht : Trilateration bei bekannten Enfernungen Drei Anker für eindeutige Lokalisierung Triangulation bei bekannten Winkeln Zwei Anker für eindeutige Lokalisierung Bei gestörten Werten und/oder mehr Ankern Least Squares Verfahren etc. Schätztheorie Was, wenn wir nur wenige Anker haben? Einige Knoten haben dann vielleicht keine Anker in ihrer Nachbarschaft! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (6/40)

10 Lokalisierung mit Ankerknoten Wenn GPS/Einprogrammieren so teuer ist, reicht es vielleicht, wenn einige Knoten, sogenannte Ankerknoten, ihre Position kennen? Wenn jeder Knoten genug Anker sieht : Trilateration bei bekannten Enfernungen Drei Anker für eindeutige Lokalisierung Triangulation bei bekannten Winkeln Zwei Anker für eindeutige Lokalisierung Bei gestörten Werten und/oder mehr Ankern Least Squares Verfahren etc. Schätztheorie Was, wenn wir nur wenige Anker haben? Einige Knoten haben dann vielleicht keine Anker in ihrer Nachbarschaft! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (6/40)

11 Lokalisierung mit Ankerknoten Wenn GPS/Einprogrammieren so teuer ist, reicht es vielleicht, wenn einige Knoten, sogenannte Ankerknoten, ihre Position kennen? Wenn jeder Knoten genug Anker sieht : Trilateration bei bekannten Enfernungen Drei Anker für eindeutige Lokalisierung Triangulation bei bekannten Winkeln Zwei Anker für eindeutige Lokalisierung Bei gestörten Werten und/oder mehr Ankern Least Squares Verfahren etc. Schätztheorie Was, wenn wir nur wenige Anker haben? Einige Knoten haben dann vielleicht keine Anker in ihrer Nachbarschaft! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (6/40)

12 Lokalisierung mit wenigen Ankern Typisches Vorgehen Knoten schätzen Abstände/Richtungen zu Ankern über mehrere Hops und wenden dann Triangulation/Trilateration an. Furchtbar viele Verfahren und Heuristiken unklare Problemstellung Dichte, Verteilung von Ankerknoten Was kann man aus algorithmischer Sicht beitragen? Im folgenden nehmen wir immer an, dass wir keine weiteren Messungen haben, sondern nur den Verbindungsgraphen und das UDG-Modell. VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (7/40)

13 Algorithmus HOP Idee In großen Unit-Disk-Graphen könnte die Länge eines kürzesten Weges stark genug mit der Entfernung korrellieren! 1 Berechne Hop-Distanz zu Ankerknoten Broadcasts von Ankerknoten genügen 2 Wähle Position so, dass Abstände der Hop-Distanz bestmöglich entsprechen Wie gut funktioniert ein solcher Ansatz? VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (8/40)

14 Algorithmus HOP Idee In großen Unit-Disk-Graphen könnte die Länge eines kürzesten Weges stark genug mit der Entfernung korrellieren! 1 Berechne Hop-Distanz zu Ankerknoten Broadcasts von Ankerknoten genügen 2 Wähle Position so, dass Abstände der Hop-Distanz bestmöglich entsprechen Wie gut funktioniert ein solcher Ansatz? VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (8/40)

15 Kompetitivität: Vorbereitung Problem: UDG-Lokalisierung anhand von Ankerknoten Gegeben: Unit-Disk-Graph G = (V, E) mit entsprechender Einbettung p : V R 2, Ankerknoten V A V mit bekannten Positionen Gesucht: Knotenpositionen p : V R 2 mit geringen Fehlern Err(v) := p(v) p(v). In die Berechnung der p(v) dürfen keine p(v) für ein v V A einfließen! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (9/40)

16 Optimalität, Kompetitivität Definition: Optimaler Algorithmus Ein optimaler Algorithmus wählt zu einem Graphen G und Ankerpositionen die Knotenpositionen, die den maximalen Fehler über alle möglichen Einbettungen minimieren. Das muss nicht leicht sein, ist aber ein guter Vergleich: Kein Algorithmus ist im worst-case besser! Definition: Kompetitivität Ein Algorithmus ALG heißt c-kompetitiv, wenn immer gilt: Err ALG (v) c Err OPT (v) + k für alle v V und ein k R. VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (10/40)

17 Optimalität, Kompetitivität Definition: Optimaler Algorithmus Ein optimaler Algorithmus wählt zu einem Graphen G und Ankerpositionen die Knotenpositionen, die den maximalen Fehler über alle möglichen Einbettungen minimieren. Das muss nicht leicht sein, ist aber ein guter Vergleich: Kein Algorithmus ist im worst-case besser! Definition: Kompetitivität Ein Algorithmus ALG heißt c-kompetitiv, wenn immer gilt: Err ALG (v) c Err OPT (v) + k für alle v V und ein k R. VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (10/40)

18 Kompetitivität von HOP Satz HOP ist bereits in einer Dimension nicht kompetitiv. A ɛ 2ɛ v B ɛ Für bel. k setze Anker A = 0, B = (k 1)(1 + ɛ) + k( ɛ) Jeder Algo, der nur Hops zählt, setzt v bestenfalls in die Mitte! macht ein Algo es besser, drehen wir die Instanz um! Fehler in Θ(k)! Ist das bereits optimal? VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (11/40)

19 Kompetitivität von HOP Satz HOP ist bereits in einer Dimension nicht kompetitiv. A ɛ 2ɛ v B (k 1)(1 + ɛ) k( ɛ) Für bel. k setze Anker A = 0, B = (k 1)(1 + ɛ) + k( ɛ) Jeder Algo, der nur Hops zählt, setzt v bestenfalls in die Mitte! macht ein Algo es besser, drehen wir die Instanz um! Fehler in Θ(k)! Ist das bereits optimal? VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (11/40)

20 Kompetitivität von HOP Satz HOP ist bereits in einer Dimension nicht kompetitiv. A ɛ 2ɛ k hops v k hops B (k 1)(1 + ɛ) k( ɛ) Für bel. k setze Anker A = 0, B = (k 1)(1 + ɛ) + k( ɛ) Jeder Algo, der nur Hops zählt, setzt v bestenfalls in die Mitte! macht ein Algo es besser, drehen wir die Instanz um! Fehler in Θ(k)! Ist das bereits optimal? VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (11/40)

21 Kompetitivität von HOP Satz HOP ist bereits in einer Dimension nicht kompetitiv. A ɛ 2ɛ k hops v k hops B (k 1)(1 + ɛ) k( ɛ) Für bel. k setze Anker A = 0, B = (k 1)(1 + ɛ) + k( ɛ) Jeder Algo, der nur Hops zählt, setzt v bestenfalls in die Mitte! macht ein Algo es besser, drehen wir die Instanz um! Fehler in Θ(k)! Ist das bereits optimal? VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (11/40)

22 Kompetitivität von HOP Satz HOP ist bereits in einer Dimension nicht kompetitiv. A 1 ɛ 1 2ɛ k hops v k hops k-1 skips k/2 skips ɛ B Definition: Skip Für einen Graph G = (V, E) bilden zwei Knoten u, w V einen Skip, falls {u, w} E und v, so dass {u, v}, {v, w} E. Skips belegen Mindestabstände! In diesem Fall grenzen sie die Position bis auf O(kɛ) ein! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (12/40)

23 Kompetitivität von HOP Definition: Skip-Pfad Ein Pfad A = v 0, u 1, v 1,..., u s, v s = v ist ein Skip-Pfad der Länge s zwischen A und v, wenn wenn d G (A, v i ) < d G (A, v i+1 ) d G (v i, v i+1 ) > 1 (also (v i, v i+1 ) E) Die Länge eines längsten solchen Pfades ist die Skip-Entfernung von v zu A. Hops sind obere Schranke an Entfernung zum Anker. Skips sind untere Schranke! Wie berechnet man Hop- und Skip-Distanzen? VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (13/40)

24 Kompetitivität von HOP Definition: Skip-Pfad Ein Pfad A = v 0, u 1, v 1,..., u s, v s = v ist ein Skip-Pfad der Länge s zwischen A und v, wenn wenn d G (A, v i ) < d G (A, v i+1 ) d G (v i, v i+1 ) > 1 (also (v i, v i+1 ) E) Die Länge eines längsten solchen Pfades ist die Skip-Entfernung von v zu A. Hops sind obere Schranke an Entfernung zum Anker. Skips sind untere Schranke! Wie berechnet man Hop- und Skip-Distanzen? VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (13/40)

25 Erinnerung: Hop-Berechnung Wie berechnet man Hop-Distanzen? jeder Knoten v startet mit h v =. hört ein Knoten v von einem Nachbarn u mit h u + 1 < h v, verringert er h v zu h v = h u + 1. wenn ein Knoten sein h v verringert, teilt er das allen Nachbarn mit. Startschuss: Ankerknoten verringert seinen Abstand auf h A = 0. Wenn man hops zu mehreren Ankern berechnen will, muss der jeweilige Anker Teil der Nachricht sein! Ich, v habe meinen hop-abstand zu Anker A auf h v reduziert. VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (14/40)

26 Erinnerung: Hop-Berechnung Wie berechnet man Hop-Distanzen? jeder Knoten v startet mit h v =. hört ein Knoten v von einem Nachbarn u mit h u + 1 < h v, verringert er h v zu h v = h u + 1. wenn ein Knoten sein h v verringert, teilt er das allen Nachbarn mit. Startschuss: Ankerknoten verringert seinen Abstand auf h A = 0. Wenn man hops zu mehreren Ankern berechnen will, muss der jeweilige Anker Teil der Nachricht sein! Ich, v habe meinen hop-abstand zu Anker A auf h v reduziert. VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (14/40)

27 Wie berechnet man Skips? jeder Knoten v startet mit s v = 1. hört ein Knoten v von einem Nicht-Nachbarn u mit s u + 1 > s v, erhöht er s v zu s v = s u + 1. wenn ein Knoten sein s v erhöht, teilt er das allen Zwei-hop-Nachbarn mit. Startschuss: Jeder Nachbar v des Ankerknoten und A selbst erhöht seinen Abstand auf s v = 0. Wie verhindert man Aufschaukeln? Beleg für Erhöhung sind nur Nicht-Nachbarn u, die echt zwischen v und Anker A liegen Dann liegt ein Nachbar mit niedrigerem Hop-Abstand dazwischen! 1 A VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (15/40)

28 Wie berechnet man Skips? jeder Knoten v startet mit s v = 1. hört ein Knoten v von einem Nicht-Nachbarn u mit s u + 1 > s v, erhöht er s v zu s v = s u + 1. wenn ein Knoten sein s v erhöht, teilt er das allen Zwei-hop-Nachbarn mit. Startschuss: Jeder Nachbar v des Ankerknoten und A selbst erhöht seinen Abstand auf s v = 0. Wie verhindert man Aufschaukeln? Beleg für Erhöhung sind nur Nicht-Nachbarn u, die echt zwischen v und Anker A liegen Dann liegt ein Nachbar mit niedrigerem Hop-Abstand dazwischen! 1 1 A VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (15/40)

29 Wie berechnet man Skips? jeder Knoten v startet mit s v = 1. hört ein Knoten v von einem Nicht-Nachbarn u mit s u + 1 > s v, und zwar über einen Nachbarn w A mit h w < h v, erhöht er s v zu s v = s u + 1. wenn ein Knoten sein s v erhöht, teilt er das allen Zwei-hop-Nachbarn mit. Startschuss: Jeder Nachbar v des Ankerknoten und A selbst erhöht seinen Abstand auf s v = 0. Wie verhindert man Aufschaukeln? Beleg für Erhöhung sind nur Nicht-Nachbarn u, die echt zwischen v und Anker A liegen Dann liegt ein Nachbar mit niedrigerem Hop-Abstand dazwischen! 1 A v w u VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (15/40)

30 Algorithmus HS (Hop & Skip) 1 Berechne Hop-Distanz zu allen Ankerknoten 2 Berechne Skip-Distanz zu allen Ankerknoten 3 Schneide Intervalle aus Skip- und Hop-Distanz für alle Anker 4 Wähle Punkt, der über das verbleibende Intervall den möglichen Fehler minimiert (s < dist E (A, v) h) Satz (ohne Beweis) HS ist 1-kompetitiv in einer Dimension. [O Dell, Wattenhofer, 2005]. Man kann zeigen, dass wirklich jede Position im Schnitt der Intervalle angenommen werden kann In zwei Dimensionen: Fehlende Kompetitivität von HOP bleibt, aber von HS bleibt nur die Idee, auch untere Schranken für die Länge von Pfaden zu verwenden. VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (16/40)

31 Algorithmus HS (Hop & Skip) 1 Berechne Hop-Distanz zu allen Ankerknoten 2 Berechne Skip-Distanz zu allen Ankerknoten 3 Schneide Intervalle aus Skip- und Hop-Distanz für alle Anker 4 Wähle Punkt, der über das verbleibende Intervall den möglichen Fehler minimiert (s < dist E (A, v) h) Satz (ohne Beweis) HS ist 1-kompetitiv in einer Dimension. [O Dell, Wattenhofer, 2005]. Man kann zeigen, dass wirklich jede Position im Schnitt der Intervalle angenommen werden kann In zwei Dimensionen: Fehlende Kompetitivität von HOP bleibt, aber von HS bleibt nur die Idee, auch untere Schranken für die Länge von Pfaden zu verwenden. VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (16/40)

32 Überblick Überblick: Entfernungs- und Richtungsschätzung Lokalisierung mit Ankerknoten Ankerfreie Lokalisierung: Virtuelle Koordinaten Komplexitätsbetrachtungen Heuristiken zur ankerfreien Lokalisierung VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (17/40)

33 Ankerfreie Lokalisierung Viele Anwendungen funktionieren mit plausiblen Koordinaten so gut wie mit echten (Georouting,...). Ohne Ankerknoten kann es keine echte Lokalisierung geben Freiheitsgrade je nach Eingabe Verschiebungen (immer) Drehungen (fehlende absolute Richtungsinformation) Spiegelungen (fehlende Richtungsinformation) Skalierungen (fehlende Entfernungsinformation) schon das Wissen, es mit UDG/qUDG zu tun zu haben, trägt Entfernungsinformation! Vorsicht: plausible Koordinaten können auch völlig von der Realität abweichen! Trotzdem: Oft sind plausible Koordinaten besser als keine! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (18/40)

34 Unit-Disk-Graph Einbettung Wenn wir davon ausgehen, dass ein Graph ein Unit-Disk-Graph ist, wie schwer ist es dann, eine Einbettung zu finden, die das belegt? (Erinnerung: Eigenschaft UDG zu sein ist unabhängig von der Einbettung!) Mindestens so schwer, wie zu entscheiden, ob ein Graph ein Unit-Disk-Graph ist! Angenommen wir haben Algorithmus, um UDGs einzubetten wende Algo auf irgendeinen Graphen an und teste, ob Ausgabe den Graphen als UDG einbettet (das sind höchstens zusätzliche O(n 2 ) Operationen) VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (19/40)

35 Unit-Disk-Graph Einbettung Wenn wir davon ausgehen, dass ein Graph ein Unit-Disk-Graph ist, wie schwer ist es dann, eine Einbettung zu finden, die das belegt? (Erinnerung: Eigenschaft UDG zu sein ist unabhängig von der Einbettung!) Mindestens so schwer, wie zu entscheiden, ob ein Graph ein Unit-Disk-Graph ist! Angenommen wir haben Algorithmus, um UDGs einzubetten wende Algo auf irgendeinen Graphen an und teste, ob Ausgabe den Graphen als UDG einbettet (das sind höchstens zusätzliche O(n 2 ) Operationen) VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (19/40)

36 Unit-Disk-Graph Erkennung Problem: UDG-Erkennung Entscheide, ob ein gegebener Graph G = (V, E) ein Unit-Disk-Graph ist. Satz Unit-Disk-Graph-Erkennung ist NP-schwer. VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (20/40)

37 Erinnerung: Reduktion Beweis der NP-Schwere von A durch Reduktion 1 Nimm bekanntes NP-schweres Problem B. 2 Zeige, dass es Abbildung von Instanzen von B auf Instanzen von A gibt, die in Polynomialzeit berechenbar ist, Ja/Nein-Instanzen auf Ja/Nein-Instanzen abbildet Dann muss unser Problem auch NP-schwer sein Mit einem Algo für unser Problem plus Polynomialzeit kann man ein NP-schweres Problem lösen Dann kann man jedes NP-schwere Problem damit lösen VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (21/40)

38 Erinnerung: Erfüllbarkeitsproblem 3SATISFIABILITY Es ist NP-schwer, zu entscheiden, ob eine Formel in Konjunktiver Normalform (KNF) erfüllbar ist, auch unter der Einschränkung, dass jede Klausel nur drei Literale enthält jedes Literal in maximal drei Klauseln erscheint (diese Forderung gehört nicht zum üblichen 3-SAT Problem!) Bsp: (x 1 x 2 x 3 ) (x 2 x 3 x 4 ) (x 1 x 3 x 4 ) Wie bilden wir eine solche Formel auf einen Graphen ab, der genau dann ein UDG ist, wenn die Formel erfüllbar ist? VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (22/40)

39 Erinnerung: Erfüllbarkeitsproblem 3SATISFIABILITY Es ist NP-schwer, zu entscheiden, ob eine Formel in Konjunktiver Normalform (KNF) erfüllbar ist, auch unter der Einschränkung, dass jede Klausel nur drei Literale enthält jedes Literal in maximal drei Klauseln erscheint (diese Forderung gehört nicht zum üblichen 3-SAT Problem!) Bsp: (x 1 x 2 x 3 ) (x 2 x 3 x 4 ) (x 1 x 3 x 4 ) Wie bilden wir eine solche Formel auf einen Graphen ab, der genau dann ein UDG ist, wenn die Formel erfüllbar ist? VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (22/40)

40 Schritt 1: Orientierbarer Graph (x 1 x 2 x 3 ) (x 2 x 3 x 4 ) (x 1 x 3 x 4 ) C 1 C 2 C 3 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 Formel ist erfüllbar es gibt Kantenrichtungen mit für jede Klausel C gilt outdeg(x) 1 für jede Variable x gilt: indeg(x) = 0 oder indeg(x) = 0 VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (23/40)

41 Schritt 1: Orientierbarer Graph (x 1 x 2 x 3 ) (x 2 x 3 x 4 ) (x 1 x 3 x 4 ) C 1 C 2 C 3 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 Formel ist erfüllbar es gibt Kantenrichtungen mit für jede Klausel C gilt outdeg(x) 1 für jede Variable x gilt: indeg(x) = 0 oder indeg(x) = 0 VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (23/40)

42 Schritt 2: Gadgets (x 1 x 2 x 3 ) (x 2 x 3 x 4 ) (x 1 x 3 x 4 ) C 1 C 2 C 3 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 Klassischer Gadgetbeweis: Baue Struktur nach aus Variablen, Klauseln, Drähten und Kreuzungen so dass gültige Einbettungen genau gültigen Orientierungen entsprechen VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (24/40)

43 Einbettungen von Kreisen Lemma Enthält ein Graph einen knoteninduzierten Kreis, muss der in jeder Einbettung als Unit-Disk-Graph planar eingebettet werden. knoteninduzierter Kreis: Menge von Knoten, die als Kreis verbunden sind (keine weiteren Kanten!) sollte uns bekannt vorkommen! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (25/40)

44 ú$ßåœã»ßä éeä0 9åŒãEéEñÖß Eécá ßÖçJä 8õCâYãUécä à=úcãwåaß àtöoáœâ;écáoé àáœâyßäyè àaàšáüécä ï5ögú.ã»ïlç]äyç áòläyçeú ô ã àšçjñíyáœßçjä éjï*ç êyáœãeïßöäáœâyßóàcê écê ãwåßóàcáœçuéjïyï]ðuçjåœáüécå ãwøláœåüét ã åœáœßóæ4ãeà écåœç íyä ï]á âyã èjã ãwå áœß ætãeà éjàoàšâ çcú$äßä Schritt 2.1: Drähte ^ßÖèJí åœã;0 ô, çjå áréeå- ]ß àoé]úîé çcë æ4çjä;àšáœåüécßäyßöäyè9é ãeé ï á ç B n } B - - çeú á â écáaéeñöñæ4ç ð»ê çjäyã ä*áüàâ éw ã ãwãwä ï*ãeàœætåœß ãeï ö5úcãæwéeäkê åœãeà=ãwä*áaéeäkãwø écðuêyñöãaàšâ çcú$ßäyè âyçeúvæ4ç ð»ê çjäyãwäláràéeåœã æ4ç äyäyãeætáœãeï5ô çjá ãá â écá.áœãwå ð»ßöä;écñ à<écñöúîé YàGâ éw ã áœâyãìàœéeð»ãà=áœå í æ4áœí åœã é ãeé ï ãwåœá ãwø9æ4çjä äyãeæ4á ãeï á ç(á=úcç]â ßÖäYè ã» ãwåœá ß æ4ã àc 0 9é(ærâ éeßöä9 ãwåœá ãwø5ô7oßèjíyå ã K9àŠâYçEú à âyçeú á=úcçætçjð»ê çjä ãwä*áüàcéeåœãoætçjäyäyã æ4áœãeï ö*á=úcçæ4ç åœäyã åràcßöäá âyß à$æwé àšã ô ^ßÖèJí åœã50 <kßöå ãú$ßöá âºðuçjåœáüécå Kreise als Käfige und Stabilisatoren áréeßöä(æ écèjã ààëžçjå éeñöñ^åœãeéeñöß Eécá ßÖçJä;à4ô õcâyãoã ãeæ4á çcë.á âyãð»ç åœáüécå ß àá çàšíyå åœç íyä ï]ãeé æ¾ââyßöäyè ã in Käfigen nur sehr begrenzt Platz! je zwei Käfige durch zwei adjazente å áœãwøú$ßöáœâ àšðéeñöñæwéeèjãeàtô]õcâ ã ãeéjï éeä ïæ¾â;écßöä9ãeï*è ãeàæ écäyäyç áoæ4å ç à àécä 9çcë áœâ ãéjïyïlãeï b Gelenkknoten verbunden c ã»ãeïlèjãeà A-5ã ð»ðé -(à=ßöä æ4ãáœâ ã ãeéjï ß à ßÖä ïlãwê ãwä ï*ãwäláçeë éeñöñ.æwéeèjã ãwåœá ß æ4ã àécä ï á âyã a d Stabilisatoren auf folgenden Folien écßä»ß àßöä ï*ã êùã ä ï*ãwäláçcëécñöñ weggelassenÿíyá.áœâyãá=ú.çâyßäyèjã ã åœáœßóæ4ãeàtôoð ñ àšç ö*äyã ßÖáŒâ ãwåcá âyã ãeéjï»äyç åcá âyã écßä» ãwåœá ãwøoæ écä ããwð! ùã ïyï*ãeïßä àšßóï*ãéeä0 Uçcë^áŒâ ã æwécè ãeàcætåœãeéeáœãeï jeder Käfig kann nur einen blauen Knoten áœâyãðuçjåœáüécå.àšßä æ4ã éeñöñ æ¾â æwécè ãeàéeåœã aufnehmen %E( æwécè ãeà4ô,8 á$ßóààâ;écårï]á ç»à=ãwãá âyãí ä ï*ãwå ñ LßÖäYèà=áŒåŒí;æ4áŒíYå ãçeëáœâyã æ4çjðuêùç äyãwälárà çjå árécå$ ã åœáœßóæ4ãeà.écåœãà=âyçeú$ä[ô õcâyãå ãwðéeßöäyßäyèæ4çjðuêùç äyãwälá ï*ß éeèjåüécðàtöùá âyãwåœãtëžçjåœã ö ï*ç»äyç á zeigt Richtung des Drahtes an ú éeä0 (ðuçjåœáüécå ã åœáœßóæ4ãeàtö ŸíYáaáŒâYã àšâyç íyñ ï< ùãíyä ïlãwårà=áœç çlï áœç ß ïlãwä*á ß ã ï"ú$ßöá âºá âyã á ãwåœðußöä éeñùçeëgá âyã íyêyê ãwåìæ4çjå äyãwå ô ùãêyå ãeàšãwäláwô, çjå árécå ßóà çåœã íyßåœãeï"ú$â ãwäášú.çæ4çjðuêùç äyãwälárà$éeåœãaæ4çjä äyãeæ4á ãeï5ô <Kã àœé áœâ éeááœâ ã *žåœãeà=ê[ô»ö $ö l+5$áœã åœð»ßä écñ ß à Û4Ô½þtÓLÕŠþ /*žåœãeà=ê[ô Köfö 5.ß ë<ßöáüà ô%8,ä(áœâyã àšãuæwéjà=ãeà4ö[áœâ ãoßöä æ4ßóï*ãwäláá ãwåœðußöä éeñi ãeé ï ðé àšßð»êyñ éjï<*½ñóée ãwñöñãeï m5ß àcãwð! ãeïyï*ã ï"ßöä à=ß ï*ãìßöárà æwéeèjã ö éeä ïºá â écá$ßá$ß àcçjå ßÖãwäLáŒã ï ãwá âyãwå-löyß ë^á âyãaéjïcû é æ4ãwälá$ñößöá ãwåréeñc(,æwéeèjãaß àcçlæwæ4í êyßöãeï»ßä]éoåœã écñöß Eécá ßÖç ä[ô VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (26/40) Lehrstuhl *žåœãeà=ê[ô AlgorithmikCö ö OßèJíYå ã;k)(õcú.çæ4ç äyäyãeæ4á ãeïæ4çjå äyãwåüà4ôkõcâyã ÄáŒã åœð»ßä écñçcëaá âyãñöçeúcãwåætçjåœä ãwå"â;éjà ùã ãwä 2Àã æwécññáœâ éeá(é ñößáœãwåüécñ ætçjð»ê çjä ãwä*áußöäváœâyã9èjå ß ïvï*åréwú$ßöä è â;éjà ÜJÕ a cøtõ3c áœãwå ð»ßöä;écñ àt ú$âyãwå ãeéjà[ãeé æ¾â ñößáœãwåüécñ çeë áœâyãá åœíyá âoàšã áœáœßäyèìæ4çjð»ê ç äyãwälá^ée çe ãwâ;éjàþ cü?4õ½ÿ A CÀá ãwåœðußöä éeñ à4ô!õcâyã íyälí àšã ïáœåœí áœâàšã áœáœßäyèá ãwåœð»ßä écñóà[écå ãäyç áæ4ç äyäyãeæ4á ãeïáœçìáœâyã æwéeèjãeà^çcë^éeä0 açjá âyãwåæ4ç ð»ê çjäyã ä*á ã ré àšç å8 ãeï; ]á âyã

45 Schritt 2.2: Klauseln b T a T c T d T b R a R d R b B a B d B ñ éeí àšã æ4çjðuêùç äyãwäláï*åüéwú$ägú$ßöá â éeä ï áœãwå ð»ßöä éeñcç åœßöã ä*á ãeï Kö$éEä ï l áœã ï ô Im wesentlichen ein Käfig, der 2 blaue Knoten aufnehmen kann Mind. einer der 3 ausgehenden Drähte ist auswärts gerichtet! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (27/40)

46 ãwáœá ßÖäYèUæ4ç ð»ê çjäyãwälá ß à àšâyçeú$ä]ßäˆoßèjíyå ã Schritt 2.3: Variablen &Jô:8,árà$âYãEécå áß à éoê écßåçeë$ætçjäyäyã æ4áœãeï a TL d a TL TR d TR a R d R a BL d BL a BR d BR õcâyã(á åœíyá âvàšãwá áœßäyèæ4ç ð»ê çjäyãwälá äyèáœçáœâyã íyä äyãwè éeáœãeïñößáœãwåüécñ,ô VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (28/40) ï*åréwú$äkú$ßöá âkáœâyãc(,ætñöí à=áœãwåßöäká âyãˆc(,æwéeèjã

47 Schritt 2.4: Kreuzungen a T b T c TdT a L d L c L b L a R d R c R br b B a B c B OßèJíYå ã%0 õcâyã»ætåœç à às(žçe ãwåaæ4çjð»ê ç äyãwäláïlåréwú$ä ú$ßöá âká âyã décä;ï ÒáŒãwå ð»ßöä éeñ à$çjå ßÖãwäLáŒãEï Fabian Kö éeä ïºá âyã Fuchs Algorithmen géeä ï;l8áœãwå ð»ßöä éeñ àgçjå ßÖãwäLáŒã ï{fô für Ad-hoc- und Sensornetze VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (29/40) d B

48 Schwere UDG-Erkennung Satz Unit-Disk-Graph-Erkennung ist NP-schwer. Zu 3SAT-Formel konstruiere Graphen G wie beschrieben Eine erfüllende Belegung der Variablen verrät uns eine eine Einbettung als UDG Knotenpositionen übernehmen wir dann aus unseren Zeichnungen der Gadgets nur die Einbettung der roten Elemente passen wir an Eine Einbettung als UDG verrät uns eine erfüllende Belegung der Formel Die exakten Knotenpositionen sind dann nicht wichtig kombinatorische Einbettung der roten Elemente reicht! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (30/40)

49 Unit-Disk-Graph-Approximation Wenn es schwer ist, einen Graphen als UDG einzubetten, kommt man dann wenigstens dicht heran? Definiere Qualität einer Einbettung p als q(p) := max {u,v} E p(u) p(v) min {u,v} E p(u) p(v) q(p) 1: Einbettung belegt UDG, sonst nur 1/q(p)-Quasi-Unit-Disk-Graph! Man kann den Beweis noch so aufbohren, dass er folgende Reduktion liefert: Formel erfüllbar Graph einbettbar mit q < 1 Formel nicht erfüllbar Graph nicht einbettbar mit q < 2. VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (31/40)

50 Was genau bedeutet das? Es ist NP-schwer, einen Unit-Disk-Graphen zu erkennen also gibt es keinen Polynomialzeitalgorithmus, der UDG entsprechend einbettet. Es ist auch schwer, zu erkennen, ob man einen Graphen mit Qualität < 2 einbetten kann Also sind auch 1/ 2-Quasi-Unit-Disk-Graphen schwer zu erkennen Damit ist auch UDG-Approximation schwer! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (32/40)

51 Beste bekannte Approximation Satz (ohne Beweis) Es gibt einen Algorithmus mit polynomieller Laufzeit, der mit hoher Wahrscheinlichkeit eine Einbettung mit Qualität in O(log 2.5 n log log n) berechnet. Mit hoher W keit: p > 1 1/n Ganz grobe Skizze: 1 LP-Lösung liefert echte Metrik auf Knoten (Definitheit, Dreiecksungleichung) 2 Knoten werden geschickt in R n eingebettet 3 Einbettung wird zufällig auf den R 2 projiziert 4 Ergebnis wird nach festen Regeln verfeinert (z.b. Erzwingen von Minimaldistanzen) Gleich mehrere schwere Geschütze! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (33/40)

52 Noch ein schweres Problem Satz (ohne Beweis) Es ist NP-schwer, zu erkennen, ob man einen Graphen mit vorgegebenen Kantenlängen einbetten kann. Das gilt auch noch, wenn man sich auf UDGs einschränkt. VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (34/40)

53 Weitere Ergebnissen Wenn man Richtungen und Entfernungen kennt, ist Lokalisierung leicht (klar) schon beliebig kleine Fehler machen das Problem schwer es macht keinen Unterschied, ob man sich auf UDGs einschränkt Wenn man nur Richtungen kennt, kann man in Polynomialzeit eine entsprechende Einbettung finden wenn man aber nach einer entsprechenden UDG-Einbettung fragt, wird s schwer! Das Finden plausibler Koordinaten ist schon in den meisten idealisierten Fällen schwer! Heuristiken für dichte Graphen gehen davon aus, dass plausible Lösungen ziemlich eindeutig sind! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (35/40)

54 Weitere Ergebnissen Wenn man Richtungen und Entfernungen kennt, ist Lokalisierung leicht (klar) schon beliebig kleine Fehler machen das Problem schwer es macht keinen Unterschied, ob man sich auf UDGs einschränkt Wenn man nur Richtungen kennt, kann man in Polynomialzeit eine entsprechende Einbettung finden wenn man aber nach einer entsprechenden UDG-Einbettung fragt, wird s schwer! Das Finden plausibler Koordinaten ist schon in den meisten idealisierten Fällen schwer! Heuristiken für dichte Graphen gehen davon aus, dass plausible Lösungen ziemlich eindeutig sind! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (35/40)

55 Weitere Ergebnissen Wenn man Richtungen und Entfernungen kennt, ist Lokalisierung leicht (klar) schon beliebig kleine Fehler machen das Problem schwer es macht keinen Unterschied, ob man sich auf UDGs einschränkt Wenn man nur Richtungen kennt, kann man in Polynomialzeit eine entsprechende Einbettung finden wenn man aber nach einer entsprechenden UDG-Einbettung fragt, wird s schwer! Das Finden plausibler Koordinaten ist schon in den meisten idealisierten Fällen schwer! Heuristiken für dichte Graphen gehen davon aus, dass plausible Lösungen ziemlich eindeutig sind! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (35/40)

56 Eine Heuristik: AFL (Anchor-Free Localization) Grundidee Kräftebasierte Verfahren minimieren lokalen Stress iterativ ( u, v l uv ) 2 Problem {u,v E} Lokale Optima können Überlappungen aufweisen! Lösung? Finde überlappungsfreie Initiallösung! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (36/40)

57 Eine Heuristik: AFL (Anchor-Free Localization) Grundidee Kräftebasierte Verfahren minimieren lokalen Stress iterativ ( u, v l uv ) 2 Problem {u,v E} Lokale Optima können Überlappungen aufweisen! Lösung? Finde überlappungsfreie Initiallösung! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (36/40)

58 Eine Heuristik: AFL (Initiallösung) 1 Finde vier extremale und einen zentralen Knoten U N, U W, U S, U E, U C 2 Bestimme Hop-Entfernungen zu diesen Knoten 3 Bette Knoten anhand von Polarkoordinaten ein ρ v = d G (v, u C ) θ v = arctan d G(v, U N ) d G (v, U S ) d G (v, U W ) d G (v, U E ) Funktioniert nicht so gut, wenn das Gebiet komplexer wird! VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (37/40)

59 Weitere heuristische Ideen Dichte Netze erlauben gute lokale Lösungen viele lokale Lösungen zu berechnen skaliert gut! setze Lösungen iterativ oder hierarchisch zusammen Erkennen von inneren Knoten und Randknoten Ausnutzen von lokalen Strukturen Ausnutzen von statistischen Eigenschaften VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (38/40)

60 Weitere heuristische Ideen Dichte Netze erlauben gute lokale Lösungen viele lokale Lösungen zu berechnen skaliert gut! setze Lösungen iterativ oder hierarchisch zusammen Erkennen von inneren Knoten und Randknoten Ausnutzen von lokalen Strukturen Ausnutzen von statistischen Eigenschaften VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (38/40)

61 Zusammenfassung Ankerbasierte Lokalisierung fast ausschließlich Schätztheorie oder Heuristiken kaum algorithmische Analyse (wegen unklarer Parameter?) Ausnahme: Hop/HS zu eindimensionaler Lokalisierung Ankerfreie Lokalisierung klarere algorithmische Probleme vor allem Negativergebnisse Heuristiken für dichte Graphen, aber ohne Garantien VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (39/40)

62 Literatur 1 R. O Dell, R. Wattenhofer: Theoretical aspects of connectivity-based multi-hop positioning. In: Theoretical Computer Science 344:1, pp , H. Breu, D.G. Kirkpatrick: Unit Disk Graph Recognition is NP-Hard. In: Computational Geometry. Theory and Applications 9, F. Kuhn, T. Moscibroda, R. Wattenhofer: Unit Disk Graph Approximation. In: ACM Joint Workshop on Foundations of Mobile Computing (DIALM-POMC), 2004 VL 05 Lokalisierung und virtuelle Koordinaten (40/40)