(c) Projekt Neue Statistik Lernmodul: Klumpenstichproben. Klumpenstichproben

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1 Klumpenstichproben Worum geht es in diesem Modul? Definition der Klumpenstichprobe Varianten der Klumpenstichprobe Zur Definition von Klumpen Auswahlwahrscheinlichkeit der Einzelelemente Ziehung der Klumpenstichprobe Vorteile der Klumpenstichprobe Nachteil der Klumpenauswahl: Der Designeffekt Ursache für den Klumpeneffekt Einflussfaktoren auf den Designeffekt Vergleich Klumpenstichprobe und geschichtete Stichprobe: Unterschiede Vergleich Klumpenstichprobe und geschichtete Stichprobe: Vor- und Nachteile Resümee Worum geht es in diesem Modul? Im Modul "Klumpenstichproben" werden zunächst die Rahmenbedingungen dargestellt, die die Anwendung von Klumpenstichproben erforderlich machen. Anschließend wird die praktische Durchführung einer Klumpenstichprobe dargestellt. Die Vor- und Nachteile, die durch die Anwendung einer Klumpenstichprobe entstehen, werden gegeneinaner abgewogen. Hierbei wird dem "Klumpeneffekt" eine zentrale Rolle zu kommen, daher werden Enstehung und Konsequenzen von Klumpeneffekten diskutiert. Abschließend wird die Bedeutung des Intraklassenkorrelationskoeffizienten (ICC) erläutert. Beispiel: Problemstellung für eine Klumpenstichprobe Will man die Ausbreitung der sogenannten Traberkrankheit (englisch: "scrapie") bei Schafen innerhalb Schottlands untersuchen, entsteht das Problem, dass es keine vollständige Liste aller einzelnen Schafe gibt. Man zieht daher aus einer Liste von Farmen in Schottland mit einer Zufallsstichprobe zunächst einzelne Farmen, und innerhalb jeder so ausgewählten Farm zufällig einzelne Herden. Diese Stichprobe besteht also aus Schafen innerhalb "natürlicher" Klumpen, in diesem Fall also den Herden. In diesem Beispiel sind die Herden wiederum Bestandteil "natürlicher" Klumpen, nämlich der Farmen. Schauen Sie sich dazu die : Flashanimation ' Animation Klumpenstichprobe ' siehe Online-Version Page 1

2 an. Definition der Klumpenstichprobe Anschauliche Definition der Klumpenauswahl Bei einer Klumpenauswahl werden Gruppen von Elementen der Grundgesamtheit durch eine einfache Zufallsstichprobe ausgewählt. Die Auswahlregeln der Zufallsstichproben werden also nicht auf die Elemente der Grundgesamtheit selbst angewandt, sondern auf Gruppen. Im einfachsten Fall gelangen in die Stichprobe alle Elemente der ausgewählten Gruppen. Formale Definition der Klumpenstichprobe Zerlegt man eine Grundgesamtheit in disjunkte Teilgesamtheiten vom Umfang, mit und wählt aus diesen Mengen zufällig aus, so heißen die Teilgesamtheiten Klumpen und das Auswahlverfahren Klumpenauswahl. bedeutet hier also die Anzahl der Klumpen in der Grundgesamtheit, der Klumpen in der Stichprobe, Klumpens und die Anzahl von Einheiten innerhalb eines die Anzahl von Einheiten innerhalb sämtlicher Klumpen. die Anzahl Vorsichtshalber sei darauf hingewiesen, dass die Notation für die Zahl der Klumpen und die Zahl der Elemente innerhalb der Klumpen in der statistischen Literatur nicht einheitlich ist. Varianten der Klumpenstichprobe Flächenstichproben Eine bedeutende Variante der Klumpenstichprobe ist die Flächenstichprobe. Bei Flächenstichproben wird eine Fläche in Teilflächen zerlegt, die dann als Klumpen aufgefasst werden. Beispiele für solche Flächenstichproben sind Einteilungen nach administrativen Einheiten, wie z.b. Regierungsbezirken. Innerhalb solch kleinerer administrativer Einheiten liegen in der Regel eher Listen der Einzelelemente vor. Ein anderes Beispiel für eine Flächenstichprobe ist eine Einteilung einer Insel in annähernd gleich große Teilgebiete, bei denen dann in zufällig ausgewählten Teilgebieten alle Brutstätten von Vögeln untersucht werden. Flächenstichproben spielen eine besondere Rolle bei Bevölkerungsbefragungen, da angenommen wird, dass sich jeder Einwohner eines Landes eindeutig einer Fläche (seinem Wohnort) zuordnen lässt. Viele Bevölkerungsstichproben basieren daher auf Klumpenstichproben mit Wohnorten als Klumpen. Mehrstufige Klumpenstichproben Wie die Animation Klumpenstichprobe zeigt, können auch innerhalb der ausgewählten Klumpen wiederum Stichproben gezogen werden. Im Beispiel wurde eine Klumpenstichprobe (Herden) innerhalb einer Klumpenstichprobe (Farmen) gezogen. Bei Flächenstichproben der allgemeinen Page 2

3 Bevölkerung werden in der Regel auch nicht alle Einwohner einer Gemeinde befragt, sondern lediglich eine Zufallsstichprobe der Gemeindemitglieder. In diesem Fall handelt es sich dann um eine mehrstufige Klumpenstichprobe mit Gemeinden als Klumpen der ersten Stufe und einer einfachen Zufallsstichprobe der Einwohner der ausgewählten Gemeinden auf der zweiten Stufe. Wir beschränken uns in diesem Modul auf den Fall, dass alle Elemente in jedem ausgewählten Klumpen in die Untersuchung eingehen. Dieser einfachste Fall wird als "one stage cluster sampling" bezeichnet. Beispiel: Einfache Anwendungen der Klumpenstichprobe - Für eine Befragung sollen einzelne Einwohner einer Stadt ausgewählt werden. Ein mögliches Verfahren besteht darin, aus den Gebäuden der Stadt eine Zufallsauswahl zu ziehen und innerhalb der Gebäude alle Bewohner zu befragen. Obwohl die Einwohner der Stadt die Grundgesamtheit bilden, werden in diesem Beispiel die Auswahlregeln auf Klumpen - die Gebäude - angewendet. - Möchte man eine Untersuchung der Wahlberechtigten der Stadt Leipzig durchführen, so könnte man aus den 329 Stimmbezirken der Stadt Leipzig eine Zufallsstichprobe von z.b. 10 Stimmbezirken ziehen. In jedem Stimmbezirk könnte man nun alle Wahlberechtigten befragen. - Vollständige Listen von Schulklassen existieren selbst innerhalb eines Bundeslandes nicht. Eine Möglichkeit trotzdem Zufallsstichproben von Schulklassen zu ziehen besteht darin, aus der verfügbaren Liste der Schulen zufällig einige Schulen auszuwählen und innerhalb jeder Schule jede Schulklasse in die Stichprobe aufzunehmen. Zur Definition von Klumpen Als Klumpen werden fast immer "natürliche" Gruppierungen der Elemente einer Grundgesamtheit verwendet. Die notwendige Bedingung für die Einteilung in Klumpen ist lediglich, dass die Einteilung jedes Element der Grundgesamtheit genau einer Klasse zu ordnet (also disjunkt und exhaustiv ist). Wünschenswert ist darüber hinaus, dass entweder Listen der Klumpen bereits existieren oder problemlos erstellt werden können. Typische Beispiele für "natürliche" Klumpen sind: Klumpen Unternehmen Schulklassen Wahlbezirke Regierungsbezirke Haushalte Elemente der Grundgesamtheit Arbeitnehmer Schüler Wähler Kommunen Personen Beispiel: Wie Hacker ihre Opfer finden... Häufig versuchen Hacker Zugang zu fremden Rechnern über das Internet zu erlangen. Page 3

4 Da es keine vollständige Liste von an das Internet angeschlossenen Rechnern gibt und eine vollständige Aufzählung aller möglichen Rechneradressen zu langwierig ist, verwenden Hacker - ohne dies zu wissen - eine Klumpenstichprobe zur ihres Problems. Rechneradressen sind im Internet über sogenannte IP-Adressen erreichbar. IP-Adressen bestehen aus mehreren Teilen, so lautet z.b. die IP-Adresse des Netzwerkes des Rechenzentrums der Universität Rostock Die letzte Gruppe in der Zahlenfolge entspricht einem einzelnen Rechner, die vorletzte Gruppe einem Subnetz des Rechenzentrums. Ein Hacker würde nun zunächst eine Stichprobe der Subnetze ziehen (ein Beispiel für ein solches Element wäre das Netz ). Innerhalb dieses Subnetzes würde er jede möglich Rechneradresse mit 0 beginnend ausprobieren und versuchen einen funktionierenden Rechner zu finden. Entsprechende Programme heißen "Port Scanner". Letztlich führen "Port Scanner" damit Klumpenstichproben durch. Entsprechend könnte man die Struktur der IP-Adressen nutzen um eine weltweite Stichprobe einzelner Rechner zu ziehen. Beispiel: Eine Klumpenstichprobe zur Untersuchung karzinogener Stoffe In der Medizin werden polychlorierte Biphenyle (PCBs) als potentiell krebserregende Stoffe betrachtet. PCBs werden aufgrund ihrer physikalischen Eigenschaften u.a. als Isolier- und Kühlungsflüssigkeit in Transformatoren und als Hydrauliköl verwendet. Möchte man eine Untersuchung des möglichen krebserregenden Effekts der PCBs durchführen, wäre es wünschenswert, eine Stichprobe von Personen zu untersuchen, die diesen Stoffen in besonderem Maße ausgesetzt sind. Eine solche Liste wird aber nicht zur Verfügung stehen. Man könnte aber z.b. argumentieren, dass sich Transformatoren vor allem in Elektrizitäts- und Umspannungswerken finden und Hydrauliköle vor allem bei Straßenbaumaschinen und in der Bergwerkstechnik. Daher würde man z.b. Listen von Elektrizitäts- und Umspannungswerken einerseits und Straßenbauunternehmen und Bergwerken andererseits zusammenstellen. Aus diesen Listen könnte man eine Klumpenstichprobe mit Unternehmen als Elementen durch eine einfache Zufallsstichprobe ziehen. Innerhalb der Unternehmen würde man dann die Wartungstechniker der entsprechenden Maschinen medizinisch untersuchen. Auswahlwahrscheinlichkeit der Einzelelemente In diesem Modul wird nur die einfachste Form einer Klumpenstichprobe betrachtet, bei der alle Elemente eines ausgewählten Klumpens Bestandteil der Stichprobe werden ("one stage cluster sampling"). Dies ist eine Variante der einfachen Zufallsstichprobe, bei der die Elemente der Zufallsstichprobe Klumpen sind. In diesem Fall hat jedes Element die gleiche Wahrscheinlichkeit in die Stichprobe zu gelangen wie der Klumpen, in dem sich das Element befindet. Die Auswahlwahrscheinlichkeit der Einzelelemente entspricht also der Auswahlwahrscheinlichkeit des Klumpens. Bezeichnet die Anzahl der Klumpen in der Stichprobe und die Zahl aller in der Population vorkommenden Klumpen, dann beträgt die Auswahlwahrscheinlichkeit für jeden Klumpen. Da die Auswahlwahrscheinlichkeit jedes Elements innerhalb eines Klumpens gleich 1 ist, ist die Auswahlwahrscheinlichkeit für ein Einzelelement ( ) *1, also gleich. Page 4

5 Ziehung der Klumpenstichprobe Bei der Klumpenstichprobe werden zufällig Klumpen einer Grundgesamtheit entnommen. Vorteile der Klumpenstichprobe Klumpenstichproben besitzen gegenüber einfachen Zufallsstichproben zwei Vorteile: Erstens bnötigen Klumpenstichproben keine Liste der Elemente der Grundgesamtheit und zweitens verursachen Klumpenstichproben häufig geringere Kosten als einfache Zufallsstichproben. Für Klumpenstichproben benötigt man nur eine Liste der Klumpen der Grundgesamtheit als Auswahlgrundlage, nicht hingegen eine Liste der Elemente der Grundgesamtheit. In vielen Anwendungsfällen ist eine Liste der Elemente der Grundgesamtheit aus praktischen, juristischen oder finanziellen Gründen nicht verfügbar. Sehr häufig kann dann trotzdem eine Klumpenstichprobe gezogen werden. Die häufig geringeren Kosten von Klumpenstichproben beruhen zum Teil auf dem Verzicht auf die Zusammenstellung der Liste der Elemente der Grundgesamtheit. Die wichtigste Ursache für die Kostenersparnis liegt aber in den Erhebungsbedingungen. In vielen Fällen ist die Untersuchung räumlich benachbarter Elemente finanziell deutlich günstiger als die Untersuchung zufällig verstreuter Elemente, da z. B. bei mündlichen Befragungen ein Großteil der Kosten auf die Fahrtkosten der Interviewer entfällt. Ähnlich erspart eine Befragung innerhalb einer Schulklasse oder während einer Vorlesung u.a. die Portokosten für den Versand der Fragebögen. Beispiel: Vorteile der Klumpenauswahl - Es soll eine Stichprobe aus den in Bayern zu Nutzzwecken gehaltenen Forellen gezogen werden. Eine Liste aller Forellen zu erstellen ist praktisch nicht möglich. Wesentlich einfacher wäre es, eine Liste aller ca Forellenteiche in Bayern zu erstellen. - Die Deutsche Bahn möchte wissen, wie viel Gepäckstücke ihre Kunden mit sich führen. Eine Liste aller Reisenden ist nicht verfügbar, wohl aber eine Liste der Züge, die als Klumpen dienen könnten. - Für einen Gesundheitssurvey soll eine Zufallsstichprobe von Krankenhauspatienten gezogen werden. Bei einer einfachen Zufallsstichprobe wären die Stichprobenmitglieder über viele verschiedene Krankenhäuser im ganzen Land verstreut. Nimmt man eine Page 5

6 Klumpenauswahl vor, könnte man die Befragung auf wenige Krankenhäuser beschränken. Dies führt zu Einsparungen von Kosten. Nachteil der Klumpenauswahl: Der Designeffekt Der Nachteil der Klumpenauswahl besteht darin, dass Schätzungen der Populationsparameter höhere Standardfehler aufweisen als Schätzungen auf der Basis einer einfachen Zufallsstichprobe gleichen Umfangs. Man nennt dies allgemein den "Designeffekt" (abgekürzt: "deft"). Der Designeffekt ist definiert als das Verhältnis des Standardfehlers (SE) einer Stichprobenkenngröße eines gegebenen Stichprobenplans zum Standardfehler einer Stichprobenkenngröße einer einfachen Zufallsstichprobe. Am Beispiel des Mittelwerts lässt sich "deft" definieren als Die Folge eines Designeffekts größer als 1.0 ist eine Vergrößerung der Konfidenzintervalle um diesen Faktor. Will man z.b. das 95%-Konfidenzintervall eines Mittelwerts berechnen, so ergibt sich dies für eine einfache Zufallsstichprobe durch Bei einem Designeffekt ungleich 1.0 ergibt sich das 95%-Konfidenzintervall Bei Klumpenstichproben ist "deft" immer größer als 1.0, entsprechend sind die Konfidenzintervalle auf der Basis von Klumpenstichproben größer als die Konfidenzintervalle einfacher Zufallsstichproben gleichen Umfangs. In Hinsicht auf Klumpenstichproben wird der Designeffekt auch als "Klumpeneffekt" bezeichnet. Ursache für den Klumpeneffekt Der Klumpeneffekt rührt daher, dass die Verteilung der Elemente der Grundgesamtheit auf die Klumpen meist nicht unabhängig von den Eigenschaften der Elemente ist. Als Folge sind sich die Mitglieder eines Klumpens in vielen Merkmalen ähnlicher als die Mitglieder verschiedener Klumpen. So sind z.b. Haushalte innerhalb eines Straßenabschnitts in Hinsicht auf eine Vielzahl von Merkmalen (Einkommen, Bildung, Zahl der Personen im Haushalt etc.) einander ähnlicher als zufällig ausgewählte Haushalte. Entsprechend ähneln sich Mehrlinge (ob eineiig oder nicht) untereinander mehr als zufällig ausgewählte Neugeborene. Da bei Klumpenstichproben entweder der ganze Klumpen ausgewählt wird oder kein Page 6

7 Element aus dem Klumpen, werden ganze Gruppen von Elementen mit ähnlichen Ausprägungen des Merkmals ein- oder ausgeschlossen. Aus diesem Grund variieren die Schätzungen zwischen verschiedenen Klumpen stark. Beispiel: Auftreten des Klumpeneffekts Man möchte aus einer Stichprobe der bayerischen Zuchtforellen deren Belastung mit Antibiotikarückständen schätzen. Dazu wird eine große Anzahl an Teichen als Klumpen mit Hilfe einer Zufallsstichprobe aus den ca Teichen in Bayern ausgewählt. Die Fische aus denselben Teichen werden ähnliche Belastungen mit Antibiotika aufweisen, da sie denselben Umwelteinflüssen und Aufzuchtbedingungen ausgesetzt sind. Da in den verschiedenen Forellenteichen Bayerns unterschiedliche Mengen an Antibiotikarückständen existieren, werden sich Fische aus demselben Teich bezüglich der Antibiotikabelastung ähnlicher sein als Fische aus verschiedenen Teichen. Einflussfaktoren auf den Designeffekt Die Größe des Standardfehlers bei Schätzungen aufgrund von Klumpenstichproben und damit die Größe des Designeffekts hängt von der Homogenität der Klumpen und der Anzahl der Elemente pro Klumpen ab: Je homogener die Klumpen und je mehr Elemente pro Klumpen, desto größer wird der Standardfehler und damit der Designeffekt. Die Homogenität der Klumpen wird mit dem sogenannten "Intraklassenkorrelationskoeffizienten" wiedergegeben. Um das lange Wort "Intraklassenkorrelationskoeffizienten" zu vermeiden, wird in der Regel entweder die Abkürzung ICC ("intraclass correlation coefficient") oder der griechische Buchstaben (sprich: "rho") verwendet. Sind jeweils alle Elemente innerhalb der Klumpen in Hinsicht auf ein Merkmal gleich, so sind die Klumpen vollständig homogen. In Hinsicht auf dieses Merkmal gibt es dann keine Varianz innerhalb der Klumpen. In diesem Fall erreicht sein Maximum von 1.0. Entspricht jeder Klumpen einer einfachen Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit, dann erreicht den Wert 0. Für große Stichproben lässt sich der Designeffekt einer Klumpenstichprobe für die Schätzung des Mittelwert mit annähern, wobei M die Anzahl der Elemente im Klumpen ist. Aus der Formel sieht man leicht, dass eine Klumpenstichprobe mit nur einem Element pro Cluster eine einfache Zufallsstichprobe ist: der zweite Summand wird dann 0 und "deft" damit 1. Aus der Formel sieht man ebenso, dass der Designeffekt auch dann gleich 1 ist, wenn Page 7

8 ist. Sind sich die Elemente der Klumpen untereinander genauso ähnlich wie durch eine einfache Zufallsstichprobe ausgewählte Elemente, ist der zweite Summand ebenfalls gleich 0, da dann ist. Je ähnlicher sich die Elemente der Klumpen untereinander sind, desto näher liegt bei 1. Mit wachsendem steigt also der Designeffekt. Da mit multipliziert wird, führt eine Vergrößerung der Klumpen unter sonst gleichen Umständen zu größeren Designeffekten. Der Designeffekt ist also umso kleiner, je heterogener die Klumpen und je kleiner die Anzahl der Elemente pro Klumpen ist. Diese Zusammenhänge verdeutlicht das Applet Klumpenstichprobe (b6b.jar). Der Intraklassenkorrelationskoeffizient Klumpen bezüglich eines betrachteten Merkmals. definieren. Üblich ist die Definition von ist ein Maß der Homogenität innerhalb der als die Pearson-Korrelation der lässt sich auf mehrere Arten Paare mit und, wobei N die Anzahl der Klumpen und M die Zahl der Elemente innerhalb der Klumpen bezeichnet. Die resultierende Formel ist ein wenig unhandlich: Etwas anschaulicher ist die vollkommen äquivalente Definition von als Anteil der Quadratsummen innerhalb der Klumpen zur Gesamtsumme der Quadratsummen: wobei within") und die Summe der Quadrate innerhalb der Klumpen ("sum of squares die Summe aller Quadrate ("sum of squares total") bedeutet. ist die Anzahl der Elemente im Klumpen. Entsprechend gilt Page 8

9 Bei praktischen Anwendungen von Klumpenstichproben liegt immer über 0. Vergleich Klumpenstichprobe und geschichtete Stichprobe: Unterschiede Klumpenstichprobe und geschichtete Stichprobe werden gelegentlich verwechselt, da bei beiden Verfahren Gruppierungen vorgenommen werden. Es sollen daher die Unterschiede beider Verfahren hervorgehoben werden. Klumpenstichprobe ("cluster sampling") geschichtete Zufallsstichprobe ("stratified sampling") Jedes Element der Grundgesamtheit gehört zu genau Jedes Element der Grundgesamtheit gehört zu genau einem Klumpen. einer Schicht. In der Regel entsprechen die Klumpen "natürlichen" Gruppierungen. In der Regel entsprechen die Schichten willkürlich gewählten Merkmalen. Es wird eine einfache Zufallsstichprobe aus der Menge der Klumpen gezogen. Innerhalb eines ausgewählten Klumpens gelangen alle Elemente in die Stichprobe. Der Standardfehler ist um so kleiner, je inhomogener die Klumpen und je kleiner die Unterschiede zwischen den Klumpen sind. Alle Schichten werden berücksichtigt. Aus jeder Schicht wird jeweils eine Zufallsstichprobe gezogen. Der Standardfehler ist um so kleiner, je homogener die Schichten und je größer die Unterschiede zwischen den Schichten sind. Beispiel: Klumpenstichprobe Population von N Klumpen; jedes Element der Population ist in genau einem Klumpen Ziehung einer einfachen Zufallsstichprobe von Klumpen; alle Elemente innerhalb der Klumpen sind in der Stichprobe Vergleich Klumpenstichprobe und geschichtete Stichprobe: Vor- und Nachteile Die Unterschiede zwischen einer Klumpenstichprobe und einer geschichteten Stichprobe macht folgende Tabelle deutlich: Page 9

10 Klumpenstichprobe ("cluster sampling") Falls keine Listen der Elemente der Grundgesamheit existieren, sind Klumpenstichproben meist die einzige Möglichkeit Stichproben zu realisieren. Die Kosten der Datenerhebung sind häufig geringer als bei einfachen Zufallsstichproben. geschichtete Zufallsstichprobe ("stratified sampling") Die Kosten der Datenerhebung können geringer sein als bei einfachen Zufallsstichproben. Es ergeben sich größere Standardfehler als bei der einfachen Zufallsstichprobe. Es ergeben sich kleinere Standardfehler als bei der einfachen Zufallsstichprobe. Resümee Bei Klumpenstichproben wird eine einfache Zufallsstichprobe aus "natürlichen" Gruppen von Elementen, den Klumpen, gezogen. Im einfachsten Fall werden alle Elemente aus einem ausgewählten Klumpen gezogen ("one stage cluster sampling"). Klumpenstichproben besitzen gegenüber einfachen Zufallsstichproben zwei Vorteile: - Klumpenstichproben benötigen keine Liste der Elemente der Grundgesamtheit. - Klumpenstichproben verursachen häufig geringere Erhebungskosten als einfache Zufallsstichproben. Der Nachteil der Klumpenauswahl besteht darin, dass Schätzungen der Populationsparameter höhere Standardfehler aufweisen als Schätzungen auf der Basis einer einfachen Zufallsstichprobe gleichen Umfangs. Man nennt dies allgemein den "Designeffekt" (abgekürzt: "deft"). Die Größe des Designeffekts der Klumpenstichproben hängt vom Maß der Homogenität innerhalb der Klumpen und der Zahl der Klumpen ab. Dieses Modul beschränkte sich auf Klumpenstichproben mit Klumpen gleicher Größe. Bei praktischen Anwendungen finden sich eher Klumpen unterschiedlicher Größe; dies erfordert lediglich etwas kompliziertere Formeln als sie hier verwendet wurden. Schließlich finden sich in der Forschungspraxis häufig Kombinationen verschiedener Stichprobenverfahren (sogenannte "mehrstufige Auswahlverfahren"). Klumpenstichproben sind hierbei fast immer Bestandteil solcher mehrstufiger Verfahren. Die Deutsche Bahn AG führt regelmäßig Fahrgastbefragungen durch. Da es keine vollständige Liste von Fahrgästen gibt, liegt eine Klumpenstichprobe nahe. Welche der folgenden Klumpen erscheint Ihnen geeignet? Bitte formulieren Sie eine statistische Begründung für Ihre Entscheidung? a) Bahnhöfe b) Schaffner c) Wagennummern innerhalb von Zügen Page 10

11 d) Züge e) Bahnverbindungen zwischen ausgewählten Orten c) d) würde größere Klumpen bedingen. E) würde zu noch stärkeren Klumpeneffekten führen. Ebenso würde b) gegenüber c) durch die hohe Fallzahl pro Schaffner zu deutlich größeren Klumpeneffekten führen. Für eine einstufige Stichprobe scheidet a) aus. Warum sind die Standardfehler bei Klumpenstichproben größer und bei geschichteten Stichproben kleiner als bei einfachen Zufallsstichproben? Bei Klumpenstichproben wird die Varianz in der Stichprobe unterschätzt, da die Elemente des Klumpens untereinander ähnlich sind. Die Standardfehler scheinen kleiner zu sein, als sie es tatsächlich sind. Bei geschichteten Stichproben werden a priori als heterogen betrachtete Gruppen als unabhängige Stichproben betrachtet. Deren gemeinsame Verteilung von Stichprobenkennwerten besitzt fast immer tatsächlich eine kleinere Varianz als die entsprechende Verteilung einfacher Zufallsstichproben. Wünscht man sich eine größere oder eine kleinere Varianz einer Stichprobenverteilung eines Kennwerts? Begründen Sie Ihre Antwort. Eine kleinere Varianz ist wünschenswert. Je kleiner die Varianz, desto kleiner die Konfidenzintervalle. Damit sind die Schätzungen der Grundgesamtheitsparameter umso präziser, je kleiner die Varianz der Stichprobenverteilung eines Kennwerts. Bitte schreiben Sie die Definitionsformel für den Designeffekt am Beispiel des Mittelwerts. Welches der folgenden Auswahlverfahren wird bei gleicher Stichprobengröße vermutlich den größten Standardfehler besitzen? a) einfache Zufallsstichprobe b) Klumpenstichprobe c) geschichtete Stichprobe en b) a) Können Sie sich eine Ursache für einen möglichen Klumpeneffekt in der Augenheilkunde vorstellen? Page 11

12 b) Bei medizinischen Untersuchungen gelten Studien, die an mehreren Krankenhäusern durchgeführt wurden ("multicenter studies") als besonders wünschenswert. Bitte formulieren Sie eine statistische Begründung. a) Menschen verfügen in der Regel über zwei Augen, die nicht unabhängig von einander sind, da sie über das gleiche physiologische System versorgt werden. b) Bei Klumpenstichproben wie z.b. Krankenhäusern, führt eine Vergrößerung der Zahl der Klumpen zur Verringerung von Klumpeneffekten. In diesem Fall handelt es sich bei den Klumpeneffekten um nicht kontrollierte Drittvariablen. Dazu könnten Infrastrukturmerkmale der Krankenhäuser oder selektives Patientengut gehören. Bei einer Klumpenauswahl werden a) einfache Zufallsstichproben aus Gruppen von Elementen der Grundgesamtheit gezogen b) Gruppen von Elementen der Grundgesamtheit durch eine einfache Zufallsstichprobe ausgewählt c) Grundgesamtheiten in Gruppen zerlegt, aus denen dann einfache Zufallsstichproben gezogen werden d) werden aus einfachen Zufallstichproben gezogene Elemente zu Gruppen zusammengefasst b) Was sind Vorteile der Klumpenauswahl? a) Klumpenstichproben führen zu genaueren Schätzungen b) Klumpenstichproben benötigen keine Liste der Elemente der Grundgesamtheit. c) Klumpenstichproben sind von Vorteil, da die Gruppierung in Klumpen so gut ist wie eine Zerlegung in Schichten d) Klumpenstichproben verursachen häufig geringere Kosten als einfache Zufallsstichproben b) und d) Insbesondere für dieses Kapitel empfehlen wir das auch in anderen Modulen hervorgehobene Lehrbuch von Sharon Lohr. Eine klarere und präzisere Darstellung ist derzeit nicht verfügbar. Lohr, S.L. (1999): Sampling: Design and Analysis. Pacific Grove: Duxbury Press. Intraklassenkorrelationskoeffizient ErklärungKlumpen vorgruppierte Teilmengen oder "natürliche" Gruppen (z.b. Schulklassen, Arbeitsgruppen) Page 12

13 ExplanationKlumpeneffektDa die Elemente innerhalb eines Klumpens untereinander fast immer ähnlicher sind als zufällig aus der Grundgesamtheit ausgewählte Elemente ist der Standardfehler einer Klumpenstichprobe fast immer größer als der Standardfehler einer gleich großen einfachen Zufallsstichprobe. Diese Eigenschaft einer Klumpenstichprobe bezeichnet man auch als "Klumpeneffekt". ErklärungKlumpenstichprobeBei einer Klumpenauswahl werden Gruppen von Elementen der Grundgesamtheit durch eine einfache Zufallsstichprobe ausgewählt. Die Auswahlregeln der Zufallsstichproben werden also nicht auf die Elemente der Grundgesamtheit selbst angewandt, sondern auf Gruppen. Im einfachsten Fall gelangen in die Stichprobe alle Elemente der ausgewählten Gruppen. Erklärung"litter effect Erklärung (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 13