Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2006 im Fach Mathematik. 10. Mai 2006

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 006 im Fach Mathematik 0. Mai 006 Arbeitsbeginn: 0.00 Uhr Bearbeitungszeit: 0 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: - beiliegende Formelübersicht (eine Doppelseite) - Wissenschaftlicher Standard-Taschenrechner (nichtgrafikfähig, nichtprogrammierbar, nicht symbolisch rechnend) Bearbeiten Sie bitte die Aufgaben 7, 8b und 9b auf dem Aufgabenblatt. Alle anderen Aufgaben bearbeiten Sie bitte auf gesondertem Papier. Sie können maximal 56 Punkte erreichen. Denken Sie an Begründungen und vergessen Sie bei Textaufgaben nicht den Antwortsatz, denn jede Frage erfordert eine Antwort. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar dokumentiert sein. Falls Sie eine Lösung durch Probieren finden, müssen Sie Ihre Überlegungen unbedingt ausreichend kommentieren. Name, Vorname: Klasse: Seite von 5

2 Mittlerer Schulabschluss 006, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben. Aufgabe (6 Punkte) Das Diagramm stellt prozentuale Gewinne während eines Jahres bei verschiedenen Geldanlagen dar: Frau Vorsicht legte Bundesschatzbrief 5,0% für ein Jahr auf dem Sparbuch an, Herr Waghals Sparbuch,5% kaufte für den gleichen Betrag Bundesschatzbriefe Sparbrief 4,7% und Frau Reich legte 000 als Festgeld an. Gold 7,% Festgeld,5% a) Ich bekomme,5 % mehr Zinsen, also bekomme ich 50 mehr als Sie, Frau Vorsicht, behauptet Herr Waghals. Ist seine Behauptung richtig? Begründen Sie! b) Frau Reich sagt: Ich bekomme % mehr Zinsen, also 00 mehr als Sie, Frau Vorsicht. Begründen Sie, warum Frau Reich nicht so argumentieren kann.. Aufgabe (6 Punkte) Um Wein herzustellen, werden die Trauben vor der Kelterung gemahlen und zerquetscht. Das Ergebnis nennt man Maische. 00 Liter Maische ergeben im Durchschnitt 75 Liter Wein. Handelsübliche Weinflaschen fassen 0,7 Liter. a) Wie viel Liter Wein produziert eine Winzergenossenschaft, die 0000 Liter Maische verarbeitet. b) Wie groß ist der prozentuale Anteil des Abfalls beim Maischen? c) Ein Winzer hat Wein aus einem Fass in 50 Flaschen abgefüllt. Wie viel Liter Wein waren in dem Fass? d) Familie Müller ergänzt ihre Weinvorräte. Frau Müller bevorzugt Weißwein und kauft 6 Flaschen zu einem Preis von jeweils,65. Herr Müller kauft seinen Lieblingsrotwein für insgesamt 7,54. Außerdem legen sie noch drei Flaschen Sekt für einen Preis von jeweils 6,79 zu ihrem Einkauf. Frau Müller stellt mit Entsetzen fest, dass sie nur noch 70 im Portmonee hat. Reicht das Geld? Begründen Sie! Seite von 5

3 Mittlerer Schulabschluss 006, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben. Aufgabe (4 Punkte),4 0³ a) Berechnen Sie und runden Sie das Ergebnis auf Zehntel. 8, 0 4 6x 5z b) Vereinfachen Sie soweit wie möglich! 5z 8x c) Lösen Sie die Klammern des Terms (a + 6x) (8a 6x) auf und fassen Sie so weit wie möglich zusammen. 4. Aufgabe ( Punkte) In der Mathematikstunde wird die Gleichung ( x + 6)² + 6 x = ( x + )( x ) - 4 von den Schülern gelöst. Anna und Jens stellen ihre Lösungswege vor: Anna Jens x² x = x² x² +x x = x² x² +7 - x = x² - 5 x² +x +7 = x² -5 x = 77 x = -7 Wer hat richtig gerechnet? Begründen Sie. 5. Aufgabe (6 Punkte) Um die Heizkosten zu schätzen, wird ermittelt, wie groß der umbaute Raum, d. h. das Volumen eines Gebäudes ist. Das abgebildete Nur-Dach-Haus ist 6 m breit, 0 m lang und bis zur Spitze des Daches 7,0 m hoch. a) Wie groß ist der umbaute Raum, wenn die Dicke der Wände nicht berücksichtigt wird? b) Berechnen Sie die Größe des Winkels an der Spitze des Daches. Seite von 5

4 Mittlerer Schulabschluss 006, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 6. Aufgabe (6 Punkte) Gegeben sind die Punkte A( ) und B(4 ). a) Tragen Sie die Punkte in ein Koordinatensystem ein. b) Bestimmen Sie einen Punkt C mit ganzzahligen Koordinaten so, dass ein rechtwinkliges Dreieck ABC entsteht. c) Berechnen Sie die Länge der Hypotenuse und die Länge einer der beiden Katheten des entstandenen Dreiecks. 7. Aufgabe (6 Punkte) Für ein Klassenfest soll Hans 4 Flaschen Saft und Flaschen Mineralwasser für insgesamt 7,4 einkaufen. Er verwechselt die Zahlen und kauft stattdessen Flaschen Saft und 4 Flaschen Mineralwasser. Dadurch reduziert sich der Preis um 8,40. a) Entscheiden Sie bei jedem der Gleichungssysteme, ob es den Sachverhalt der Aufgabe richtig darstellt! ) I 4 x + y = x + 4 y II 7,4 8,40 = 8,84 richtig falsch ) I 4 x + y = 7,4 II x + 4 y = 8,84 richtig falsch ) I 4 x + y = 7,4 II x + 4 y = 7,4 8,40 richtig falsch 4) I 4 x + y = 7,4 II y + 4 x = 8,84 richtig falsch b) Was haben Sie berechnet, wenn Sie x bzw. y richtig ausgerechnet haben? Schreiben Sie genau auf, wofür die Variablen x und y in dieser Aufgabe stehen. x: y: 8. Aufgabe (9 Punkte) a) Geben Sie die Funktionsgleichung f (x) zu dem abgebildeten Graphen G an. b) Zeichnen Sie in das vorgegebene Koordinatenkreuz den Graph G zu der Funktion mit f (x) = x. c) Berechnen Sie y so, dass der Punkt P(00 y) auf G liegt. d) Bestimmen Sie die Gleichung des Graphen G, der auf G senkrecht steht und denselben y-abschnitt hat. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen bzw. Ihre Überlegungen. G y x -8 Seite 4 von 5

5 Mittlerer Schulabschluss 006, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 9. Aufgabe (4 Punkte) a) Geben Sie einen möglichst einfachen b) Schraffieren Sie eine Fläche in der Term für den Flächeninhalt der Figur, die den Flächeninhalt a b a + b hat. schraffierten Fläche in Figur an. A = ( ) ( ) r b b b t a s a Figur Figur 0. Aufgabe (6 Punkte) (Bevölkerungszahlen 004, Welt 6,4 Milliarden USA 9,6 Millionen China, Milliarden Indien,086 Milliarden Nigeria 7, Millionen Pakistan 59, Millionen Indonesien 8,7 Millionen a) Überprüfen Sie die Aussage im Zeitungsausschnitt, dass sich die Weltbevölkerung bis 050 fast verdoppeln wird. b) Berechnen Sie aus dem Zeitungsartikel, wie viele US-Bürger 004 gelebt haben. Vergleichen Sie mit der angegebenen Zahl in der Tabelle. c) Stimmt es, dass in Indien im Jahr 050 mehr Menschen leben werden als in China? Rechnen Sie nach! Seite 5 von 5

6 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 006 im Fach Mathematik 0. Mai 006 LÖSUNGEN und BEWERTUNGEN

7 MSA 006, schriftliche Prüfung Mathematik Musterlösung für die Lehrkraft Alternative, korrekte Lösungswege sind oft möglich und entsprechend zu bepunkten. Punkte sind nur bei nahezu vollständig und korrekt erbrachter, mit der Musterlösung vergleichbarer Teilleistung zu geben. Halbe Punkte sind nicht vorgesehen. Fehlerfortsetzung ist wie üblich zu bepunkten. Die Angabe von Einheiten muss (spätestens) im Schlusssatz korrekt erfolgen, während der Rechnung sollten Sie so wie in Ihrem Vorunterricht bewerten. Die Formulierungen der Antwortsätze sind lediglich als Beispiele zu verstehen und meist nur notwendig, wenn Rechnungen oder Maßeinheiten noch erforderlich sind. Ein Antwortsatz mit falsch berechneten Werten wird nur dann gewertet, wenn die Ergebnisse nicht völlig abwegig sind. Wird ein falsches Ergebnis allerdings erkannt und entsprechend kommentiert, so wird dies als Antwortsatz gewertet. Anforderungsbereich I II III Aufgabe Lösungsskizze a Ja, seine Behauptung ist richtig. Mögliche Begründung: Zinsen nach einem Jahr: Frau Vorsicht: Z V 0000,5 = = Herr Waghals: Z W ,0 = = ¼ 50 ¼ ¼ 4 b Begründung z.b. durch Rechnung: Zinsen nach einem Jahr: Frau Vorsicht: Z V 0000,5 = = 50 (s. o.) ,5 Frau Reich: Z R = = ¼ 50 ¼ ¼ oder Frau Reich kann nicht so argumentieren, da ihr angelegtes Kapital ein anderes ist. a 75 % von 0000 l sind gesucht. oder 75 = x x = 5000 Die Genossenschaft produziert 5000 l Wein. b 00 % - 75 % = 5 % BE Leitidee c 50 0,7 = 05; 05 Liter Wein waren in dem Fass. L K d Begründung durch Rechnung: 7,54 ¼,65 ¼ 6 + 6,79 ¼ = 69,8 ¼ L K5 Ja, es reicht. Sie mussten 69,8 ¼EH]DKOHQ a,9 b 0z² c 4a² - 8ax + 48ax - 6x² = 4a² + 0ax 6x² (6) L L L K K5 K Seite von 4

8 MSA 006, schriftliche Prüfung Mathematik Musterlösung für die Lehrkraft 4 Jens hat richtig gerechnet. Begründung z. B. durch Testeinsetzung. Anna: bzw. Finden des Fehlers in der Rechnung von Anna o. ä. 5a Das Haus hat die Form eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche. Die Frontseite des Hauses ist die Grundfläche A G des Prismas, die Länge des Hauses ist die Höhe h des Prismas. (Diese Erläuterung ist nicht verlangt.) h g c VP = AG h mit A G = c = 6, h g = 7,, h = 0 7, 6 A G = =,9 V P =,9 0 = 9 Der umbaute Raum beträgt 9 m³. 4 5b α tan = 7, α = α = 44 6a Koordinatensystem mit Beschriftung zeichnen Punkte eintragen 6b (Alle Punkte auf der Geraden zu x = - bzw. x =4 und die Punkte ( 5) und ( -) auf dem Thaleskreis über AB sind möglich.) Wahl einer korrekten Lösung, z. B. C (- 4). (Eine zeichnerische Lösung ist auch möglich.) 6c z. B.: erste Kathete b =, zweite Kathete c = 6 a² = b² + c² 7a 7b () a = 40 6, ) falsch ) richtig ) richtig 4) falsch x: Preis für eine Flasche Saft y: Preis für eine Flasche Mineralwasser L4 L L L L4 K5 K K K K5 K K Seite von 4

9 MSA 006, schriftliche Prüfung Mathematik Musterlösung für die Lehrkraft 8a f (x) = x + 8b 8c y = 00 = 98 P(00 98) G. 8d f ( x) = x + Vorgehen: entweder zeichnerisch und Gleichung ablesen oder m = und gleicher y-abschnitt ( n n m = ) 9a Breite: (s r) t (s r) oder t s t r 9b z. B L4 L K5 K 0a 0b 0c Auswahl richtiger Werte 9, Milliarden 45, % und nicht 00 %, 6,4 Milliarden also bei weitem keine Verdoppelung. (Auch andere Überlegungen sind leicht möglich, z. B. * 6,4 > 9,, also bei weitem keine Verdoppelung). 40 Mio x Mio = ; x 9, Diese Angaben stimmen fast überein.,086 Mrd Indien (+ 50 %):,086 Mrd + =,69 Mrd China (+ 0%):, Mrd +, Mrd 0, =,4 Mrd Die Behauptung ist richtig. (9) Summe 56 L5 K6 K6 Bewertungstabelle Note in % ab ca. 95 % ab ca. 80 % ab ca. 65 % ab 50 % ab ca. 0 % darunter Anzahl BE Seite von 4

10 6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW Mittlerer Schulabschluss 006 im Fach Mathematik Abschließendes Gutachten für... Erreichte Bewertungseinheiten:... von 56 NOTE... Datum Name und Dienstbezeichnung ZWEITGUTACHTER Nach vollständiger Durchsicht der Arbeit und der Korrektur schließe ich mich dem vorstehenden Gutachten an. Das Gutachten der Arbeit ist vom Erst- und Zweitgutachter gemeinsam erstellt und unterschrieben worden. Nach vollständiger Durchsicht der Arbeit und Korrektur schließe ich mich dem vorstehenden Gutachten nicht an. Mein Zweitgutachten ist beigefügt.... Datum Name und Dienstbezeichnung Seite 4 von 4

11 6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 006 im Fach Mathematik Nachschreiber 7. Juni 006 Arbeitsbeginn: 0.00 Uhr Bearbeitungszeit: 0 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: - beiliegende Formelübersicht (eine Doppelseite) - Wissenschaftlicher Standard-Taschenrechner (nichtgrafikfähig, nichtprogrammierbar, nicht symbolisch rechnend) Sie können maximal 56 Punkte erreichen. Denken Sie an Begründungen und vergessen Sie bei Textaufgaben nicht den Antwortsatz, denn jede Frage erfordert eine Antwort. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar dokumentiert sein. Falls Sie eine Lösung durch Probieren finden, müssen Sie Ihre Überlegungen unbedingt ausreichend kommentieren. Name, Vorname: Klasse: Seite von 4

12 Mittlerer Schulabschluss 006, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben Nachschreiber. Aufgabe (6 Punkte) a) Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen! x (x +,6y 6y ) + (x 6y) b) Geben Sie als Dezimalzahl an! 4, 0 - c) Berechnen Sie! 4, , 0 8 d) Geben Sie die Summe als Dezimalzahl an! Aufgabe (8 Punkte) Ein gleichseitiges Dreieck ABC hat die Seitenlänge von 7cm. a) Konstruieren Sie dieses Dreieck. b) Beschreiben Sie eine Möglichkeit, wie man die Höhe h c bestimmen kann. c) Nun wird im Abstand von zwei Zentimetern eine Parallele zur Seite AB gezeichnet, welche die Seite AC im Punkt D schneidet. Berechnen Sie AD.. Aufgabe (5 Punkte) Für Dekorationszwecke werden Quadrate mit der Seitenlänge von,5 cm und Kreise mit gleichen Flächeninhalten benötigt. a) Ermitteln Sie den Durchmesser der Kreise. b) Die rechteckigen Blätter, aus denen die Flächen ausgeschnitten werden sollen, haben eine Größe von 4 x 0 cm. Wie viele solcher Blätter sind mindestens nötig, um 0 Quadrate auszuschneiden? Skizzieren Sie. 4. Aufgabe (7 Punkte) Der Kelch des abgebildeten Glases ist cm hoch und hat einen oberen Durchmesser von 5,5 cm. a) Eine Flasche Orangensaft (Inhalt 0,7 l ) soll in 8 der Gläser verteilt werden. Passt der gesamte Inhalt der Flasche in 8 derartige Gläser hinein, wenn nichts überlaufen soll? Begründen Sie! b) Berechnen Sie, wie viel Liter Orangensaft in ein solches Glas passt, wenn es bis cm unter den Rand gefüllt wird. Seite von 4

13 Mittlerer Schulabschluss 006, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben Nachschreiber 5. Aufgabe ( Punkte) In dem Diagramm ist das Abbrennen zweier Kerzen dargestellt. h Kerze Höhe der Kerzen in cm 0 5 Kerze Zeit in Stunden t a) Welche Höhe haben beide Kerzen nach Stunden? b) Wann sind die Kerzen gleich hoch? c) Geben Sie zwei Bedingungen an, die erfüllt sein müssen, damit diese Fragen überhaupt beantwortet werden können? d) Geben Sie die Zuordnungsvorschrift für Kerze an! e) Schreiben Sie einen Text so, dass Ihre Mitschüler anhand dieses Textes die beiden Graphen zeichnen können. f) Tragen Sie in das vorgegebene Koordinatensystem den Graphen einer kugelförmigen Kerze ein, die innerhalb von 0 Stunden vollständig abbrennt. 6. Aufgabe (9 Punkte) Historische Stadtrundfahrt Preistafel Einzelkarte Person 8 ¼ Kleingruppe 6 Personen 45 ¼ Großgruppe 5 Personen 05 ¼ a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 5 Personen zu zahlen? b) Wie viel Karten bekommt man für 4 ¼" c) Für 8 Personen rechnet Yannic einen Preis von 5 ¼ aus. Clara meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Clara Recht? (Begründung) d) Wie viel Euro spart eine einzelne Person, wenn sie in einer Großgruppe von 0 Personen mitfährt gegenüber dem Einzelpreis und gegenüber dem Kleingruppenpreis? e) Entscheiden Sie, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Begründen Sie Ihre Entscheidung! Seite von 4

14 Mittlerer Schulabschluss 006, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben Nachschreiber 7. Aufgabe (5 Punkte) Vögel sind unterschiedlich gute Gleitflieger. Ihre Gleitflugfähigkeit wird durch die sogenannte Gleitzahl bewertet. Diese ist das Verhältnis (der Quotient) aus Höhenverlust und geflogener Strecke beim Gleiten ohne Flügelschlag. Vogel Bussard Adler Kondor Möwe Albatros Gleitzahl : 5 : : 4 : 4 : 4 a) Welcher der angegebenen Vögel ist der beste Gleiter. Begründen Sie mit den Angaben aus der Tabelle! b) Bestimmen Sie für zwei Vogelarten den Gleitwinkel. c) Welche Flugweite (zurückgelegte Entfernung) erreicht eine Möwe, wenn sie während ihres Gleitfluges eine Höhe von 80 m überwinden? 8. Aufgabe (4 Punkte) a) Kreuzen Sie die richtige Antwort an: In der Grafik ist dargestellt, wie sich der Gaspreis in Berlin von dem anderer deutscher Städte unterscheidet. wie viel eine Kilowattstunde in einem durchschnittlichen Haushalt kostet. um wie viel Prozent sich der Gaspreis geändert hat. wie viel ein durchschnittlicher Haushalt im Jahr bezahlen muss. b) Wie viel kostete eine Kilowattstunde in einem durchschnittlichen Haushalt im Juli 004? c) Wie viel musste ein durchschnittlicher Haushalt in Berlin im Jahr 00 für Gas bezahlen? Seite 4 von 4

15 MSA 006, schriftliche Prüfung Mathematik Musterlösung - Nachschreiber Alternative, korrekte Lösungswege sind oft möglich und entsprechend zu bepunkten. Punkte sind nur bei nahezu vollständig und korrekt erbrachter, mit der Musterlösung vergleichbarer Teilleistung zu geben. Halbe Punkte sind nicht vorgesehen. Fehlerfortsetzung ist wie üblich zu bepunkten. Die Angabe von Einheiten muss (spätestens) im Schlusssatz korrekt erfolgen, während der Rechnung sollten Sie so wie in Ihrem Vorunterricht bewerten. Die Formulierungen der Antwortsätze sind lediglich als Beispiele zu verstehen und meist nur notwendig, wenn Rechnungen oder Maßeinheiten noch erforderlich sind. Ein Antwortsatz mit falsch berechneten Werten wird nur dann gewertet, wenn die Ergebnisse nicht völlig abwegig sind. Wird ein falsches Ergebnis allerdings erkannt und entsprechend kommentiert, so wird dies als Antwortsatz gewertet. Anforderungsbereich Aufgabe Lösungsskizze a) x +7,8xy 8xy + x xy +6y = 4x 4,xy 8xy + 6y BE Leitidee b) 0,04 L K L I II III c) 49,5 L K d) 0,65 L K a) Sauberkeit, Genauigkeit, richtige Bezeichnungen L K4 b) - Höhe konstruieren und abmessen, oder c) c - rechnerisch: h c halbiert c, es gilt: h² = b². cm cm 4 sinα = ; AD = ; AD = AD sin 60 a) Fläche eines Quadrats: A= (,5 cm)² = 56,5 cm² 4A Kreisfläche: A = π d ² ; d = ; d 4, cm 4 π cm; AD, cm b) Es sind nur Blätter nötig. z. B. L L L K K K K5 L K 4a) 4b) V = π r² h 87,cm³ = 0,087 l; 0,7 : 0,087 = 8,05 (oder: Das Fassungsvermögen von 8 Gläsern beträgt 8 0,087 l = 0,0696 l ) Es bleibt noch ein ganz kleiner Rest in der Flasche. r r 0 0cm =, r =,5 cm cm V = 65,445 cm³ = 0,065 dm³ = 0,065 l 5a) Höhe von Kerze : 9 cm; Höhe von Kerze : 6,5 cm L4 K5 5b) Nach ca. 8 Stunden Brenndauer L4 K5 5c) z. B.: Die Form sollte zylindrisch bzw. prismenförmig sein. Zeit und Abbrenngeschwindigkeit müssen proportional zueinander sein. 5d) K (t) = - t + 5 L4 K5 L L L4 K K K Seite von

16 MSA 006, schriftliche Prüfung Mathematik Musterlösung - Nachschreiber 5e) z. B.: Zwei Kerzen und unterschiedlicher Länge (l = 5 cm, l = cm) werden zum Zeitpunkt t = 0 s angezündet und brennen gleichmäßig ab. Die Brenndauer für Kerze beträgt,5 Stunden und für Kerze 4 Stunden. 5f) $EEUHQQHQHLQHUNXJHOI.HU]H L4 K6 KLQFP L4 K4 WLQ6WXQGHQ 6a) Die Gruppe muss 40 Euro zahlen. L K 6b) Für 4 Euro bekommt man Karten. L K 6c) Eine Großgruppe und Einzelkarten sind günstiger: = 9. Clara hat Recht. 6d) Einzelkarte: 8 Euro Einzelpreis in der Großgruppe: 7 Euro Ersparnis: Euro Einzelpreis in der Kleingruppe: 7,50 Euro Ersparnis: 0,50 Euro 6e) Quotientengleichheit prüfen: 8 : = 8 ; 45 : 6 = 7,5 ; 05 : 5 = 7 Die Zuordnung ist nicht proportional 7a) Der beste Gleiter ist der Kondor, da er bei einem Höhenverlust von m eine Stecke von 4 m zurücklegt. 7b) 7c) z. B. für den Kondor:WDQ 4 DOVR,7. Albatros:,4 ; Bussard:,8 ; Möwe: 4, ; Adler: 4,8 Möwe: 4m x = ; x = 4 80 m; x = 0m m 80m 8a) Kästchen L4 K4 8b),75 Cent L5 K4 8c) Abnahmemenge pro Jahr: kwh 5 000,75 cent = 50 cent =,50 Euro (9) Summe L5 L L4 L4 L L L5 K K K K K K K4 Bewertungstabelle Note in % ab ca. 95 % ab ca. 80 % ab ca. 65 % ab 50 % ab ca. 0 % darunter Anzahl BE Seite von

17 6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW Mittlerer Schulabschluss 006 im Fach Mathematik Abschließendes Gutachten für...(nachschreiber) Erreichte Bewertungseinheiten:... von 56 NOTE... Datum Name und Dienstbezeichnung ZWEITGUTACHTER Nach vollständiger Durchsicht der Arbeit und der Korrektur schließe ich mich dem vorstehenden Gutachten an. Das Gutachten der Arbeit ist vom Erst- und Zweitgutachter gemeinsam erstellt und unterschrieben worden. Nach vollständiger Durchsicht der Arbeit und Korrektur schließe ich mich dem vorstehenden Gutachten nicht an. Mein Zweitgutachten ist beigefügt.... Datum Name und Dienstbezeichnung Seite von

18 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 008 im Fach Mathematik Arbeitsbeginn: 0.00 Uhr Bearbeitungszeit: 0 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: - beiliegende Formelübersicht (eine Doppelseite) - Wissenschaftlicher Standard-Taschenrechner (nichtgrafikfähig, nichtprogrammierbar, nicht symbolisch rechnend) Bearbeiten Sie bitte die Aufgabe a, b und 9a auf dem Aufgabenblatt. Alle anderen Aufgaben bearbeiten Sie bitte auf gesondertem Papier. Denken Sie an Begründungen und vergessen Sie bei Textaufgaben nicht den Antwortsatz, denn jede Frage erfordert eine Antwort. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar dokumentiert sein. Falls Sie eine Lösung durch Probieren finden, müssen Sie Ihre Überlegungen unbedingt ausreichend kommentieren. Es sind maximal 65 Punkte zu erreichen. Name, Vorname: Klasse:

19 Mittlerer Schulabschluss 008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben. Kalkül (0 Punkte) a) Geben Sie den kleinsten und den größten Wert an. 4 0 ; 0,4; 6 ; ; kleinster Wert: größter Wert: b) Welche Umformung ist jeweils richtig? Kreuzen Sie an. ) (x 8) 7 7x 8 7x 56 x 56 ) 7a 7 + 7a 6 7a 6 c) Berechnen Sie schrittweise den Wert des Terms d) Addiert man zu einer Zahl und multipliziert das Ergebnis mit 4, so erhält man. Wie heißt die gesuchte Zahl? Begründen Sie. e) Auf einer Landkarte mit einem Maßstab von : ist eine Strecke cm lang. Wie viel km lang ist die Strecke in Wirklichkeit?. Trigonometrie (5 Punkte) a) Geben Sie von den beiden spitzen Winkeln des Dreiecks jeweils den Sinus als Längenverhältnis zweier Seiten an. b) Wie groß ist der Winkel β, wenn gilt: tan β =? c) Berechnen Sie die Länge der Seite a, wenn gilt: γ = 60 und b = cm. Seite von 6 MSA08_Ma_Set_A.doc

20 Mittlerer Schulabschluss 008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben. Lostrommel (4 Punkte) Eine Lostrommel wird mit 50 Lotterielosen gefüllt. Die Hälfte der Lose sind Nieten. Bei 5 Losen gibt es je einen Gewinn im Wert von Euro, bei weiteren fünf Losen bekommt man je einen Gewinn im Wert von, die anderen Gewinnlose sind Hauptgewinne. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Niete zu ziehen? b) Susanne zieht als erste ein Los und hat einen Hauptgewinn. Rebecca zieht als zweite ein Los. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch einen Hauptgewinn hat? Notieren Sie Ihren Lösungsweg. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit in Prozent mit einer Stelle nach dem Komma an. 4. Brandenburger Tor (6 Punkte) Ein Tourist in Berlin möchte das Brandenburger Tor fotografieren und stellt sich dafür in die Mitte vor das Tor. Er kann mit seinem Fotoapparat Bildausschnitte mit einem Winkel von 80 aufnehmen. Das Tor ist 65 m breit. a) Fertigen Sie eine Skizze des Sachverhaltes (von oben gesehen) an und beschriften Sie diese. b) In welcher Entfernung vom Tor muss sich der Tourist aufstellen, wenn das Bild die ganze Breite des Tores aufnehmen soll? Schreiben Sie Ihren Lösungsweg auf. 5. Gartentor (8 Punkte) Auf die beiden Pfeiler eines Tores soll je eine Kugel aus Sandstein gelegt werden. Die Kugeln haben einen Durchmesser von 5 cm. Jede Kugel wird aus einem Würfel hergestellt. Seine Kantenlänge ist genauso groß wie der Kugeldurchmesser. a) Berechnen Sie, wie viele m³ Abfall bei der Herstellung der beiden Kugeln entstehen. b) Die Herstellung pro 00 cm² Kugeloberfläche kostet 0,94. Wie hoch sind die Kosten für beide Kugeln zusammen? Schreiben Sie Ihren Lösungsweg auf. Seite von 6 MSA08_Ma_Set_A.doc

21 Mittlerer Schulabschluss 008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 6. Bootsfahrt (0 Punkte) Ein Bootsverleih vermietet Kajaks und Canadier in verschiedenen Größen. Bootstyp Std. 4 Std. Tag Montag Freitag Wochenende Samstag + Sonntag -er/-er Canadier er Canadier er Canadier er Canadier er Kajak er Kajak er Kajak Preisangaben in Euro a) Die Klasse 0e (0 Schülerinnen und Schüler) leiht sich auf ihrem Wandertag bei diesem Bootsverleih für zwei Stunden Kajaks aus. Berechnen Sie, ob es für die Klasse billiger ist, -er oder -er Kajaks auszuleihen. Kajak b) Eine Gruppe von neun Personen plant für Mittwoch einen ganztägigen Ausflug mit Canadiern. Die Gruppe will für das Mieten der Boote höchstens 90 Euro ausgeben. Welche Bootstypen können für diesen Betrag gemietet werden, so dass die neun Personen Platz finden? Berechnen Sie alle Möglichkeiten. Canadier c) Der Bootsverleiher vermietet die Boote am liebsten für eine ganze Woche. Die Kunden sollen dafür einen Preisvorteil von 0 % erhalten. Berechnen Sie, welchen Preis der Bootsverleiher als Wochenmiete für einen -er Canadier verlangen kann. Seite 4 von 6 MSA08_Ma_Set_A.doc

22 Mittlerer Schulabschluss 008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 7. Schulnachrichten (4 Punkte) Einige dieser Meldungen enthalten Fehler. Nennen Sie die Meldungen, in denen die mathematische Aussage nicht mit dem Text übereinstimmt und beschreiben Sie den Fehler. a) Drei Fünftel aller Schüler der Einstein-Schule beteiligen sich an der Mathematikolympiade. Letztes Jahr waren es mit 50 % noch weniger. b) Jeder vierte Schüler (4%) der Klassenstufe 0 ist aktives Mitglied eines Fußballvereins. Meldungen aus dem Schulalltag c) Ein Zwanzigstel aller Realschüler schaffte die Prüfungen zum Mittleren Schulabschluss nicht. Letztes Jahr waren es immerhin nur 4 %. d) Bei der Vorbereitung des Tages der offenen Tür beteiligte sich dieses Jahr nur jeder dritte Schüler. Letztes Jahr war es noch jeder Fünfte. 8. Gleichung (6 Punkte) Maria und Alexander stellen ihre Hausaufgabe vor. Sie sollten die folgende Gleichung lösen: (x 5)(4x ) = 7 + 8x² Maria 8x² 0x + x + 5 = 7 + 8x² Alexander 8x² x 0x + 5 = 7 + 8x² a) Wer hat falsch umgeformt? Begründen Sie. b) Lösen Sie die Gleichung: 4x² 5x 0 + 8x = 4x² 8 (Eine Probe ist nicht erforderlich.) Seite 5 von 6 MSA08_Ma_Set_A.doc

23 Mittlerer Schulabschluss 008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 9. Jägerlatein (5 Punkte) Jäger Huber und sein Hund Fiffi kommen von der Jagd und nähern sich ihrem Haus. Fiffi läuft dabei immer zwischen seinem Herrchen und dem Haus hin und her. A Entfernung B Entfernung C Entfernung vom Haus vom Haus vom Haus Zeit Zeit Zeit a) Entscheiden Sie bei jedem Diagramm, ob es zu der Geschichte passt oder nicht und kreuzen Sie an. Diagramm passt zur Geschichte passt nicht zur Geschichte A B C b) Erfinden Sie zu einem Diagramm, zu dem die Geschichte nicht passt, selbst eine kurze, passende Geschichte. 0. Funktionen (7 Punkte) Pitt und Kalle haben zwei Graphen zu linearen Funktionen gezeichnet. Pitt hat den ansteigenden Graphen gezeichnet, Kalle den fallenden. y f a) Welchen Graphen hat Kalle gezeichnet? b) Geben Sie für beide Graphen jeweils die Funktionsgleichung an. c) Pitt möchte den Schnittpunkt von zwei Graphen berechnen. Erklären Sie ihm schrittweise, wie er vorgehen muss x - - g Seite 6 von 6 MSA08_Ma_Set_A.doc

24 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 008 im Fach Mathematik. Juni 008 Lösungen und Bewertungen

25 MSA 008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft Seite von 8 MSA08_Ma_Set_E.doc

26 MSA 008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft Alternative, korrekte Lösungen und Lösungswege sind oft möglich und immer vergleichbar zu bepunkten, selbst wenn im Erwartungshorizont kein Hinweis darauf erfolgt. Halbe Punkte (Bewertungseinheiten, BE) sind nicht vorgesehen. Fehlerfortsetzung ist zu bepunkten. Die Angabe von Einheiten muss (spätestens) im Antwortsatz korrekt erfolgen, während der Rechnung sollten Sie so wie in Ihrem Vorunterricht bewerten. Fehler in der mathematischen Symbolsprache, z. B. der falsche Gebrauch des Gleichheitszeichens oder falsch gesetzte bzw. fehlende Klammern sind bei der Bewertung mit zu berücksichtigen. Die Formulierung der Antwortsätze ist ggf. nur als Beispiel zu verstehen. Ein Antwortsatz mit falsch berechneten Werten wird nur dann gewertet, wenn die Ergebnisse nicht völlig abwegig sind. Wird ein falsches Ergebnis allerdings erkannt und entsprechend kommentiert, so wird dies positiv gewertet. e km Zwischensumme 0 BE Aufgabe Lösungen a kleinster Wert: (= 0,04), größter Wert: 6 (= 4) Bem.: Abschreiben genügt. Ausrechnen ist nicht erforderlich. Wurzeln sind positive Zahlen. Deswegen ist 4 als Ergebnis von 6 und als kleinster Wert falsch. b ) 7x 8 7x 56 x 56 ) 7a 6 7a 6 c = = 00 Oder = = = Bem.: Fehlerfortsetzung im. Schritt gibt BE. Hinschreiben des Endergebnisses vom TR ohne Zwischenschritt gibt nur BE. d (Variablendefinition) x: gesuchte Zahl (Aufstellung der Gleichung) (x + ) 4 = (Äquivalenzumformungen) 4x + 8 = 8 4x = 4 : 4 (Ergebnis) x = (Antwortsatz) Die gesuchte Zahl ist. Bem.: Die beiden Äquivalenzumformungen sind austauschbar. Ist das Ergebnis falsch, kann es höchstens BE geben. Wenn die Variablendefinition fehlt, die Gleichung aber korrekt ist, kann die BE trotzdem gegeben werden. Ohne Ergebnis oder erläuternden Satz kann es höchstens BE geben. Oder Die Zahl heißt, denn + = ; 4 = Oder Die Zahl heißt. Das ergibt sich, wenn man rückwärts rechnet. : 4 = ; = Bem.: BE für das richtige Ergebnis, BE für die Begründung, z. B. durch Rechnung, Probe oder Rückwärtsrechnen. Standardbezug L K5 AB I Seite von 8 MSA08_Ma_Set_E.doc

27 MSA 008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft a () sin β = a b () sin γ = a c Bem.: Bei systematischen Fehlern, z. B. dem Vertauschen von Zähler und Nenner in beiden Angaben, kann BE gegeben werden. b β 4 Bem.: Die genaueren Werte,69,7 sind ebenso richtig, fehlerhafte Rundungen aber nicht. c cos γ = b ; cos 60 = ; a a a = = 4; a = 4 cm. cos 60 b Oder a = = = 4 cosγ 0,5 Übertrag 0 a Die Wahrscheinlichkeit beträgt 50 %. 5 Oder oder 50 b Für Rebekka sind in der Lostrommel noch 49 Lose, davon 4 Hauptgewinne. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auch Rebekka einen Hauptgewinn zieht, 4a beträgt deshalb Das sind ca. 8, %. Oder vergleichbare Beschreibung des Lösungsweges oder Baumdiagramm Brandenburger Tor 65m Sachgerechte Skizze l Sachgerechte Beschriftung α 80 L K5 AB I L K AB I L5 K AB I L5 K AB II L K4 AB I 4b Tourist α =,5 tan 40 = l,5 l = tan 40 8,7 Der Tourist muss in einer Entfernung von ca. 9 m vor dem Tor stehen. Oder Genaue, korrekte Konstruktion des Dreiecks in einem passenden Maßstab, Abmessen im Dreieck, Ergebnis: 9 m. Bem.: Richtig sind auch 8,7 m oder 8,7 m. Die Angabe weiterer Stellen führt zu BE Abzug.40 m oder 8 m sind nicht genau genug ( BE Abzug). Zwischensumme 5 L K AB II Seite 4 von 8 MSA08_Ma_Set_E.doc

28 MSA 008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft 5a V W = d³ = (5 cm)³ = cm³ Oder 0,40 m³ V K = 4 4 π r³ = π (6 cm)³ = 7 6 cm³ Oder 0,074 m³ Differenz: cm³ 7 6 cm³ = cm³ Oder 0,067 m³ Bei Kugeln bleiben 0,4 m³ Sandstein übrig. Oder Übertrag 5 L K AB II 5b V = V W V K = d³ 4 4 π r³ = (5 cm)³ π (6 cm) = cm³ Bem.: Weniger gültige Ziffern aber mindestens zwei sind auch richtig. Rundungen sind erst im Endergebnis vorzunehmen. Maßeinheiten müssen in der Rechnung nicht mitgeführt werden. A O = 4 π r² = 4 π (6 cm)² A O = cm² = 0,8495 m² 0,8 495 m² 94 = 59,7 m² Die Oberflächenbearbeitung kostet 59,7. Oder ca. 60 6a 5 -er Kajaks: 5 7 = 0 0 -er Kajaks: 0 8 = 60 Die Ausleihe von -er Kajaks ist günstiger. Bem.: Falls es durch einen Rechenfehler zu einem anderen Ergebnissatz kommen sollte, gilt das Prinzip der Fehlerfortsetzung, so dass nur BE für den Rechenfehler abzuziehen ist. 6b Dreier: 7 = 8 Fünfer und Vierer: = 76 Vierer und Dreier und Zweier: = 89 Fünfer: 4 = 8 6c Miete eines -er Canadiers für fünf Wochentage und ein Wochenende: = 9 Preis mit 0 % Preisnachlass: 9 0,9 = 7,70 Wenn der Bootsverleiher für eine Wochemiete 74 verlangt, dann spart der Kunde ca. 0 %. Bem.: 7 oder 7,70 sind auch richtig. Wenn ein erläuternder Text zur Rechnung fehlt, führt das zum Abzug einer BE. 7 Meldung b ist falsch. Jeder Vierte bedeutet, das sind 5 % und nicht 4 %. 4 Meldung d ist falsch. L4 K AB I L4 K AB II L4 K AB II L K AB II Jeder dritte heißt %. Das sind mehr als jeder fünfte, denn = 0 %. 5 Bem.: Wenn weitere, richtige Meldung zusätzlich als falsch angegeben werden, führt das zum Abzug von je BE pro Meldung. Zwischensumme 47 Seite 5 von 8 MSA08_Ma_Set_E.doc

29 MSA 008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft 8a Maria hat einen Fehler gemacht. Das positive Vorzeichen von x ist falsch, denn x ( ) = x 8b 4x² + x 0 = 4x² 8 4x² x 0 = x = : x = 4 9a Diagramm passt zur Geschichte passt nicht zur Geschichte A B C Übertrag 47 L4 K6, AB I L4 K5 AB I L4 K4 AB III 9b Hier muss individuell über die Korrektheit und Genauigkeit der Geschichte entschieden werden. Bei falscher Entscheidung in Aufgabe 9a gilt Fehlerfortsetzung. Beschreibung des Verhaltens von Herrn Huber, Beschreibung des Verhaltens von Fiffi. 0a Kalle hat den Graphen von g gezeichnet. L4, K4, 0b f(x) = 5 x AB I 4 g(x) = x + 4, dabei m = korrekt, n = 4 korrekt 0c Er muss die beiden Funktionsterme gleichsetzen, weil die Koordinaten des Schnittpunktes beide Gleichungen erfüllen müssen. Er ermittelt durch Umstellen und Auflösen dieser Gleichung die x-koordinate des Schnittpunktes. Diese setzt er dann zur Berechnung der y-koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein. Bem.: Für die drei Sätze sind Formulierungsalternativen denkbar. Bei mehreren kleinen Ungenauigkeiten können einzelne BE abgezogen werden. Summe 65 L4 K6 AB III Bewertungstabelle Note % 95 % 80 % 65 % 50 % 7 % darunter Anzahl BE Seite 6 von 8 MSA08_Ma_Set_E.doc

30 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Mittlerer Schulabschluss 008 im Fach Mathematik Abschließendes Gutachten für... Erreichte Bewertungseinheiten:... von 65 NOTE... Datum Name und Dienstbezeichnung

31 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Mittlerer Schulabschluss 008 im Fach Mathematik Abschließendes Gutachten für... Erreichte Bewertungseinheiten:... von 65 NOTE... Datum Name und Dienstbezeichnung ZWEITGUTACHTER Nach vollständiger Durchsicht der Arbeit und der Korrektur schließe ich mich dem vorstehenden Gutachten an. Nach vollständiger Durchsicht der Arbeit und der Korrektur schließe ich mich dem vorstehenden Gutachten nicht an. Mein Zweitgutachten ist beigefügt.... Datum Name und Dienstbezeichnung

32 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 008 im Fach Mathematik Arbeitsbeginn: Bearbeitungszeit: :00 Uhr 0 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: - beiliegende Formelübersicht (eine Doppelseite) - Wissenschaftlicher Standard-Taschenrechner (nichtgrafikfähig, nichtprogrammierbar, nicht symbolisch rechnend) Bearbeiten Sie bitte die Aufgaben d, und 7a auf dem Aufgabenblatt. Alle anderen Aufgaben bearbeiten Sie bitte auf gesondertem Papier. Denken Sie an Begründungen und vergessen Sie bei Textaufgaben nicht den Antwortsatz, denn jede Frage erfordert eine Antwort. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar dokumentiert sein. Falls Sie eine Lösung durch Probieren finden, müssen Sie Ihre Überlegungen unbedingt ausreichend kommentieren. Es sind maximal 65 Punkte zu erreichen. Name, Vorname: Klasse: Seite von 5

33 Mittlerer Schulabschluss 008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben. Berechnungen (9 Punkte) a) Berechnen Sie 0,7 + : 0,5 0,06 : 0, b) Berechnen Sie von 8. c) Subtrahieren Sie vom Produkt der Zahlen 6 5 und die Differenz der beiden Zahlen. Schreiben Sie den Term auf und rechnen Sie mit Brüchen. d) Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Kreuzen Sie an. richtig falsch ) 8 0 = 0 ) Die Quersumme von 4 ist 5. ) % von dm² ist cm² e) Geben Sie zwei verschiedene Möglichkeiten an, die Zahl 8 als Potenz zu schreiben.. Dreieck (5 Punkte) Für die Abbildung gilt: PQ RS. Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind und kreuzen Sie an. a) sin = PQ TQ wahr falsch α T α b) c) sin α = tan β = RS TS TR TS P Q d) cos = RS β TS R. β S e) cos = PQ β TQ. Karten ziehen ( Punkte) Für die Bildung von Arbeitsgruppen benutzt der Lehrer ein Kartenspiel mit Karten. Vier Karten sind Könige. Die Schülerinnen und Schüler ziehen verdeckt je eine Karte. Michael zieht als erster. Er hat einen König. Janine zieht als zweite. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie auch einen König zieht? Notieren Sie Ihren Lösungsweg. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit in Prozent an. Seite von 5

34 Mittlerer Schulabschluss 008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 4. Altersangaben (6 Punkte) Sven ist 6 Jahre älter als seine Schwester Claudia. Das Produkt beider Altersangaben ergibt 87. Stellen Sie eine Gleichung auf und berechnen Sie, wie alt beide Geschwister sind. 5. Bevölkerung (7 Punkte) Bevölkerungsentwicklung in Deutschland Die Zahl der Einwohner in Deutschland geht weiter zurück. Ende 006 lebten in der Bundesrepublik 8,5 Millionen Menschen (ca. 0, % weniger als ein Jahr zuvor). Entgegen dem Trend wuchs die Einwohnerzahl in Berlin 006 um 0, % auf Einwohner. Anzahl in Tausend Jahr Geburten Sterbefälle a) Wie hoch war das Bevölkerungsdefizit (Differenz zwischen Geburten und Sterbefällen) 006 in Deutschland? b) Berechnen Sie, um wie viele Einwohner sich die Bevölkerungszahl Berlins im Jahr 006 erhöht hat. c) Prüfen Sie durch eine Rechnung, ob die folgende Aussage richtig ist: 006 wurden in Deutschland fast ein Fünftel weniger Kinder geboren als 99. Seite von 5

35 Mittlerer Schulabschluss 008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 6. Bleistift (8 Punkte) Ein neuer, noch ungespitzter Bleistift aus Holz hat die Form eines Zylinders. Er ist 9 cm lang und hat einen Durchmesser von 0,8 cm. Das zylinderförmige Loch für die Mine in der Mitte des Stiftes hat einen Durchmesser von 0, cm. a) Berechnen Sie, wie viel cm³ Holz ein solcher Bleistift enthält. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. b) Am Ende der Herstellung wird das erste Anspitzen maschinell vorgenommen. Vier Maschinen spitzen jeweils pro Minute 50 Stifte an. Wie viele Stifte könnten täglich angespitzt werden, wenn die Maschinen ohne Unterbrechung Tag und Nacht laufen? c) Jeweils sechs Bleistifte sollen in quaderförmige Verpackungen passen. Geben Sie die Innenmaße für zwei mögliche Verpackungen an (Länge, Breite, Höhe). Skizzieren Sie das Schrägbild oder eine andere perspektivische Darstellung einer der Verpackungen. 7. Stromtarife ( Punkte) Familie H. möchte den Stromanbieter wechseln. Sie vergleicht dazu zwei Angebote. Beide Tarife bestehen aus einer monatlichen Grundgebühr und einem Teil, der sich nach den verbrauchten Kilowattstunden (kwh) richtet. Grundgebühr (pro Monat) Verbrauchspreis pro kwh Anbieter Billig-Strom 4,90 9 Cent Anbieter Watt für wenig 8,0 6 Cent a) Berechnen Sie die beiden fehlenden Werte in der folgenden Tabelle und tragen Sie sie ein. monatlicher Verbrauch in kwh monatliche Gesamtkosten bei Billig-Strom 8,70,90,40 monatliche Gesamtkosten bei Watt für wenig,40 6,0 4,0 b) Stellen Sie die Kosten, die entstehen, für beide Anbieter jeweils durch einen Graphen dar. Zeichnen Sie beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem. c) Katrin benötigt in ihrer Ein-Zimmer-Wohnung monatlich ungefähr 0 kwh. Welcher Anbieter ist für sie günstiger? d) Geben Sie die Funktionsgleichung für einen der beiden Graphen an. e) Beschreiben Sie, wie Sie den Schnittpunkt der beiden Graphen rechnerisch ermitteln könnten. Seite 4 von 5

36 Mittlerer Schulabschluss 008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 8. Zeitungsmeldung ( Punkte) Quelle: Spiegel; 44/007 Der Mathematiklehrer sagt: Der Text enthält einen Widerspruch! Erläutern Sie den Widerspruch. Machen Sie einen Vorschlag, wie man Überschrift und Text korrekt formulieren könnte. 9. Brücke ( Punkte) C D (Die Skizze ist nicht maßstäblich.) A B Vom Punkt C zum Punkt D wird der Bau einer neuen Brücke geplant. Durch Messung im Gelände wurden ermittelt: AB = 65 m; AD = 5 m; α = 0 ; β = 0 a) Konstruieren Sie das Dreieck ABC in einem geeigneten Maßstab. Geben Sie den Maßstab an. Tragen Sie den Punkt D ein und ermitteln Sie die Brückenlänge durch Messen der Strecke CD. b) Wie groß ist der Winkel BCA? Begründen Sie. (Eine Messung ist hier keine Begründung.) c) Überprüfen Sie die Länge der Strecke A C in ihrer Konstruktion durch Berechnung. Seite 5 von 5

37 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 008 im Fach Mathematik. Juni 008 Lösungen und Bewertungen

38 MSA 008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft Alternative, korrekte Lösungen und Lösungswege sind oft möglich und immer vergleichbar zu bepunkten, selbst wenn im Erwartungshorizont kein Hinweis darauf erfolgt. Halbe Punkte (Bewertungseinheiten, BE) sind nicht vorgesehen. Fehlerfortsetzung ist zu bepunkten. Die Angabe von Einheiten muss (spätestens) im Antwortsatz korrekt erfolgen, während der Rechnung sollten Sie so wie in Ihrem Vorunterricht bewerten. Fehler in der mathematischen Symbolsprache, z. B. der falsche Gebrauch des Gleichheitszeichens oder falsch gesetzte bzw. fehlende Klammern sind bei der Bewertung mit zu berücksichtigen. Die Formulierung der Antwortsätze ist ggf. nur als Beispiel zu verstehen. Ein Antwortsatz mit falsch berechneten Werten wird nur dann gewertet, wenn die Ergebnisse nicht völlig abwegig sind. Wird ein falsches Ergebnis allerdings erkannt und entsprechend kommentiert, so wird dies positiv gewertet. b,5 oder 5 Lösungen oder 0,5 4 c = 9 Oder = Bem.: Gerundete Dezimalbrüche sind nicht korrekt. d richtig falsch ) 8 0 = 0 ) Die Quersumme von 4 ist 5. ) % von dm² ist cm² e 9² 4 Oder 8 oder 656 wahr falsch Janine zieht aus Karten mit noch Königen. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch einen König zieht, beträgt also, das sind ca. 9,7 %. Oder ca. 0 %. BE Zwischensumme 7 Aufgabe a Standardbezug L K5 AB I L K5 AB II L5 K AB II Seite von 7 MSA08_Ma_Set_E.doc

39 MSA 008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft Übertrag 7 4 x: Claudias Alter; Svens Alter: x + 6 x(x + 6) = 87 x + 6x 87 = 0 x / = ± x = ; x = 7 x als negative Zahl entfällt. Claudia ist Jahre, ihr Bruder Sven 7 Jahre alt. Oder x: Svens Alter; (x 6): Claudias Alter, mit entsprechend geänderter Gleichung und Rechnung. Bem.: Wenn der Kommentar zu x fehlt, kann die BE trotzdem gegeben werden. Die quadratische Gleichung kann auch mit Hilfe der quadratischen Ergänzung gelöst werden. Für das Ermitteln der Lösung durch systematisches, dokumentiertes Probieren werden maximal 4 BE gegeben. L4 K AB II 5a = L5, K4 AB I 5b = 00,% x 0,% x 08 Im Jahr 006 erhöhte sich die Bevölkerungszahl Berlins um 08. Oder 00, % entspricht Einwohnern L5 K5 AB II 5c % entspricht Einwohnern 00, , 0, % entspricht 08 Einwohnern 00, = 00% x x 8 % Der Geburtenrückgang betrug ca.9 %, das ist fast ein Fünftel. Oder Der Geburtenrückgang betrug ca.9 %, das ist weniger als ein Fünftel. Oder = 57000; : 5 = Die Aussage ist richtig, denn ein Fünftel von ist 66000; ist fast so groß. Oder Die Aussage ist falsch, denn ein Fünftel von ist und damit größer als Bem.: Es sind wegen der Formulierung... fast ein Fünftel... beide Interpretationen des Ergebnisses zugelassen ( Die Aussage ist richtig bzw. Die Aussage ist falsch. ). Zwischensumme 0 L5 K5 AB II Seite von 7 MSA08_Ma_Set_E.doc

40 MSA 008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft 6a V V Zylinder Holz = π r gesamt h = V V ; V Mine V Holz = π h (r² r Mine ² ) V Holz 8,95 cm³ h Holz = π π r h r Mine Ein (unangespitzter) Bleistift enthält ca. 8,95 cm³ Holz. Oder V gesamt = π 0,4² 9 9,55 V Mine = π 0,² 9 0,60, V Holz = 9,55 0,60 = 8,95 6b = Es können täglich Stifte angespitzt werden. 6c. Möglichkeit Länge: 9 cm; Breite: 4,8 cm; Höhe: 0,8 cm. Möglichkeit Länge: 9 cm; Breite:,4 cm; Höhe.,6 cm Oder 9 cm 4,8 cm 0,8 cm - räumliche Skizze - annähernd maßstabsgerecht Übertrag 0 L K5 AB II L, K AB I L K AB II,6 cm,4 cm 9 cm Bem.: Es kann auch eine andere räumliche Darstellung gewählt werden. Die Darstellung muss erkennbar sein, es muss nicht exakt konstruiert werden. 7a Fehlender Eintrag bei Billig-Strom : 4,40 Fehlender Eintrag bei Watt für wenig :,0 7b Koordinatensystem: - Sinnvolle Achseneinteilung - Sinnvolle Beschriftung Zwei Graphen mit geeigneter Kennzeichnung G f-watt G f-billig L4, K5 AB I L4 K4 AB II 7c Der Tarif bei Watt für wenig ist günstiger. L4, K AB I 7d f Billig (x) = 0,9x + 4,9 dabei m = 0,9 korrekt, n = 4,9 korrekt. Oder f Watt (x) = 0,6x + 8, ; n = 0,6 korrekt; n = 8, korrekt Übertrag 47 L4 K4 AB II Seite 4 von 7 MSA08_Ma_Set_E.doc

41 MSA 008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft 7e 8 Seite 5 von 7 Zwischensumme 47 Man setzt die beiden Funktionsterme gleich, löst die entstehende Gleichung nach x auf und ermittelt die zweite Koordinate y durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen. Bem.: Es gibt Formulierungsalternativen. Formulierungen können durch Rechnungen ergänzt werden, dürfen aber nicht vollständig wegfallen. Erläuterung: Jede zweite entspricht = 50 %, das ist aber mehr als fast 50 %, also genesen die Frauen nicht schlechter, sondern besser. Korrektur der Überschrift: Schlaganfall: Frauen genesen etwas besser Korrektur des Textes:... Krankenhaus jede zweite Betroffene. Bei Männern sind es nur fast 50%. Oder Korrektur der Überschrift: Schlaganfall: Frauen und Männer mit fast gleichen Heilungschancen Korrektur des Textes:... offenbar jede... Bei Männern sind es ebenfalls fast 50 %. 9a Maßstab :000 o. a. Oder m in der Realität entspricht 0, cm in der Zeichnung o. a. Konstruktion Bem.: Alle Streckenlängen, auch die der Strecke CD, dürfen maximal mm von der korrekten Länge in dem gewählten Maßstab abweichen. Die Winkelgrößen dürfen maximal um von der gegebenen Winkelgröße abweichen. Beschriftung entsprechend der Skizze in der Aufgabe Korrektes Eintragen von D. Messung: CD =,5 cm (bzw. entsprechend bei einem anderen Maßstab) Die Brückenlänge beträgt ca. 5 m. Bem.: Wenn das Messergebnis nicht genannt wird und nur der Antwortsatz formuliert ist, kann die BE für die Messung trotzdem gegeben werden. 9b BCA (= ) = 40 Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 80. (α = 0, β = 0 ) Oder α + β + γ = 80 9c gemessen: AC = 5, cm (bei Verwendung des Maßstabes :000) AC AB = sin β sinγ 6,5cm sin 0 AC = 5, cm sin 40 Bem.: Wenn bei der Konstruktion oder bei der Messung ein Fehler gemacht wurde oder der Winkel γ falsch berechnet wurde, gilt das Prinzip der Fehlerfortsetzung und die BE kann trotzdem gegeben werden. Summe 65 Bewertungstabelle vom L4 K AB III L K6 AB I L K AB I L K5 AB I L K5 AB II Note % 90 % 75 % 60 % 45 % 0 % darunter Anzahl BE MSA08_Ma_Set_E.doc

42 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Mittlerer Schulabschluss 008 im Fach Mathematik Abschließendes Gutachten für... Erreichte Bewertungseinheiten:... von 65 NOTE... Datum Name und Dienstbezeichnung ZWEITGUTACHTER Nach vollständiger Durchsicht der Arbeit und der Korrektur schließe ich mich dem vorstehenden Gutachten an. Nach vollständiger Durchsicht der Arbeit und der Korrektur schließe ich mich dem vorstehenden Gutachten nicht an. Mein Zweitgutachten ist beigefügt.... Datum Name und Dienstbezeichnung

43 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Mittlerer Schulabschluss 008 im Fach Mathematik Abschließendes Gutachten für... Erreichte Bewertungseinheiten:... von 65 NOTE... Datum Name und Dienstbezeichnung

44 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 00 im Fach Mathematik 6. Mai 00 Arbeitsbeginn: 0.00 Uhr Bearbeitungszeit: 0 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: - beiliegende Formelübersicht (eine Doppelseite) - wissenschaftlicher Standard-Taschenrechner (nichtgrafikfähig, nichtprogrammierbar, nicht symbolisch rechnend) Bitte bearbeiten Sie die Aufgaben, die mit dem Symbol gekennzeichnet sind, auf dem Aufgabenblatt. Alle anderen Aufgaben bearbeiten Sie bitte auf gesondertem Papier. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar dokumentiert sein. Denken Sie an Begründungen und vergessen Sie bei Textaufgaben nicht den Antwortsatz. Falls Sie eine Lösung durch Probieren finden, müssen Sie Ihre Überlegungen erläutern. Es sind maximal 6 Punkte zu erreichen. Name, Vorname: Klasse:

45 Mittlerer Schulabschluss 00, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben. Kalkül ( Punkte) a) Lösen Sie die Gleichung (x + 4) = 45. b) Eine Wespe schlägt etwa -mal in der Sekunde mit den Flügeln. Wie viele Flügelschläge macht die Wespe in der Minute, wenn sie ihre Flügel immer gleich schnell bewegt? c) Ein Glücksrad ist in acht gleich große Felder eingeteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Drehen des Glücksrads eine Eins zu bekommen? d) Die Zahlenmauern entstehen durch Addition der Zahlen zweier benachbarter Steine. Tragen Sie die fehlenden Zahlen ein. 6 ² 7 5² Beispiel -9 6² e) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung x² = 0. f) Geben Sie eine Formel zur Bestimmung der Seitenlänge r an. g) Vergleichen Sie. Setzen Sie das richtige Relationszeichen (<; > oder =). 5 7 h) Ein Quader hat ein Volumen von 500 cm³. Welche Maße könnte er haben? Geben Sie eine Möglichkeit an. Seite von 6 MSA0_MAT_Set_A

46 Mittlerer Schulabschluss 00, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben. Zugspitze (5 Punkte) Auf der Zugspitze, dem höchsten Berg Deutschlands, wurden im Sommer 009 rund m² Gletscherfläche mit Matten abgedeckt. Die Matten sollen den Gletscher vor Sonnenwärme und Regen schützen und ihn damit erhalten. Jede Matte ist 5 m breit und 0 m lang. a) Berechnen Sie, wie viele Matten mindestens verlegt werden müssen. b) Die abgedeckte Schneemenge wurde auf m³ Volumen geschätzt. Berechnen Sie, wie hoch die Schneeschicht unter dieser Voraussetzung im Durchschnitt ist.. Flugzeug (5 Punkte) Ein Flugzeug startet auf der Startbahn an der Stelle S und Flugstrecke steigt mit einem Winkel von 7. a) Das Rathaus von Altenkirchen ist 9 km von der Stelle S entfernt. Das Flugzeug fliegt genau in S Entfernung Richtung Rathaus. Berechnen Sie, in welcher Höhe sich das Flugzeug beim Überfliegen des Rathauses befindet. Fertigen Sie dazu eine eigene passende Skizze an. b) Stellen Sie eine allgemeine Gleichung auf, mit der Sie aus der Flughöhe h die zurückgelegte Flugstrecke berechnen können. 4. Lesen (5 Punkte) Im Jahr 008 befragte die Stiftung Lesen Jugendliche und Erwachsene zum Leseverhalten. Eine Zeitung beschrieb die Ergebnisse der Befragung. a) Sind die folgenden Aussagen mathematisch korrekt formuliert (w) oder nicht (f)? Kreuzen Sie jeweils an. w f. Jeder vierte Erwachsene und Jugendliche liest nie Bücher. 99 waren es noch mehr, nämlich 0 %.. Ca. % aller Erwachsenen und Jugendlichen, also ungefähr ein Drittel, lesen mehr als 50 Bücher pro Jahr.. 5 von 500 der 4- bis 9-Jährigen erklärte, als Kind nie ein Buch geschenkt bekommen zu haben. Das sind immerhin 45 %. b) Begründen Sie eine Ihrer Entscheidungen. Seite von 6 MSA0_MAT_Set_A