VORANSICHT II/D. Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt. Die Beugung verhindert den exakten Blick auf unsere Welt immer! Der Beitrag im Überblick

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1 8. Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt 1 von 18 Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt Matthias Borchardt, Bonn Warum hat ein billiges Kaufhaus-Fernrohr ein besseres Auflösungsvermögen als das riesige Radioteleskop in Effelsberg? Wie groß müsste ein Fernrohr sein, damit die Mondlandefähren, die von den Amerikanern auf dem Mond zurückgelassen wurden, sichtbar würden? Welche Bedingungen muss ein Mikroskop erfüllen, um extrem kleine Bakteriophagen noch erkennen zu können? Fragen dieser Art lernen Ihre Schüler zu beantworten, indem sie sich die physikalischen Zusammenhänge zwischen der Beugung und dem Auflösungsvermögen schrittweise erarbeiten. Zwei kleine Computersimulationen dienen dabei als dynamische Werkzeuge. Sie ermöglichen einen anschaulichen Zugang zum Thema. Die Beugung verhindert den exakten Blick auf unsere Welt immer! Der Beitrag im Überblick Klasse: 11/12 Dauer: 7 Stunden Ihr Plus: ü starker Anwendungsbezug ü 2 Computersimulationen Inhalt: Beugung und Interferenz an Spalt und Kreisblenden Auflösungsvermögen von Fernrohren und Mikroskopen Prüfungsaufgaben

2 2 von Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt Fachliche und didaktisch-methodische Hinweise Fachlicher Hintergrund Die Beugung als typisches Wellenphänomen wird in der Oberstufe im Rahmen der Wellenoptik behandelt. Sie gehört zum Lehrplan eines Grund- und Leistungskurses. Oft bleibt es allerdings bei einer eher theoretischen Betrachtung des Phänomens. Dass Beugung die Ursache für das begrenzte Auflösungsvermögen optischer Geräte ist, wird meist nur kurz gestreift, obwohl über die physikalisch-technischen Aspekte hinaus diesem Thema auch interessante erkenntnistheoretische Fragestellungen innewohnen. Beugung verhindert nämlich den exakten Blick auf unsere Welt sowohl im makroskopischen wie auch im mikroskopischen Bereich. Selbst wenn wir schnelle Elektronen als Sondenteilchen einsetzen, um kleine Strukturen weiter aufzulösen, unterliegen wir aufgrund der Welleneigenschaften bewegter Teilchen dieser wellenphysikalischen Begrenzung. Letztendlich lässt sich sogar die Heisenberg sche Unschärferelation ( x p h) mit dem Phänomen der Beugung in Zusammenhang bringen. Hinweise zur Gestaltung des Unterrichts Die Materialien M 2 M 4 bauen aufeinander auf und sollten daher in der vorliegenden Reihenfolge behandelt werden. Es hat sich bewährt, dass die Schüler die Arbeitsblätter in Partnerarbeit studieren. Ob Sie die Lösungen einsammeln und bewerten oder nicht, steht Ihnen frei. Binnendifferenzierung Für Experten bzw. schnelle/interessierte Schüler dient das Thema Beugung an Mikroskop-Objektiven (M 5). Computer mit Internetzugang notwendig Für die Bearbeitung der Materialien sind manchmal Rechercheaufträge auszuführen. Auch verwenden Ihre Schüler zwei Computerprogramme als Arbeitsmittel. Sie sind nützliche Werkzeuge, um die physikalischen Zusammenhänge dynamisch und anschaulich darzustellen. Daher ist es notwendig, dass Ihre Schüler einen Arbeitsplatz mit Internetzugang haben. Voraussetzungen für die erfolgreiche Durchführung der Unterrichtseinheit Ihre Schüler sind mit den Grundlagen der Wellenoptik vertraut, haben die Beugung und Interferenz von Licht am Einzelspalt im Unterricht kennengelernt, wissen, wie es zu Maxima und Minima bei der Intensitätskurve hinter einem Einzelspalt kommt, und können die physikalischen Zusammenhänge erklären, haben eine Formel zur quantitativen Beschreibung der Minima im Unterricht behandelt und angewendet. Das für die Bearbeitung der Materialien notwendige Basiswissen wird im Wiederholungsblatt (M 1) noch einmal zusammenfassend dargestellt und erklärt.

3 8. Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt 3 von 18 Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz Allg. physikalische Kompetenz F 1, F 2, E 2, E 3, K 1 F 4, F 5, E 1, E 2, E 3, K 5 F 1, F 2, F 3, F 4, E 1, E 2, K 1, K 3, K 5 Die Schüler Inhaltsbezogene Kompetenzen wiederholen wellentypische Phänomene wie die Beugung am Einzelspalt, erfahren, wie das Rayleigh-Kriterium zur Definition des Auflösungsvermögens optischer Öffnungen lautet, und wenden dieses Wissen in neuen Kontexten an, erarbeiten, von welchen Parametern das Auflösungsvermögen von Fernrohren und Mikroskopen abhängt. Anforderungsbereich Für welche Kompetenzen und Anforderungsbereiche die Abkürzungen stehen, finden Sie auf der beiliegenden CD-ROM 37. Mediathek Zwei Simulationsprogramme: Beugung am Einzelspalt (auch für Schüler geeignet): Auflösungsvermögen von Mikroskop-Objektiven: htm Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York S Spionagesatelliten: I II, III II, III Radioteleskop Effelsberg Foto: Max-Planck-Institut für Radioastronomie

4 4 von Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt Materialübersicht V = Vorbereitungszeit SV = Schülerversuch Ab = Arbeitsblatt/Informationsblatt D = Durchführungszeit LV = Lehrerversuch Fo = Folie M 1 Die Beugung am Einzelspalt frischen Sie Ihr Wissen auf! D: 45 min M 2 Scheibchenweise Sterne im Fernrohr D: 45 min M 3 D: 45 min M 4 D: 90 min M 5 M 6 D: 45 min r Taschenrechner r Computersimulationen Doppelt! Oder etwa doch nicht? r Taschenrechner r Internet r Computersimulationen Scharf sehen eine Sache von Größe (LEK) r Taschenrechner r Internet Verschleiert Strukturen der Mikrowelt r Taschenrechner Das Auflösungsvermögen von Fernrohren LEK D: 60 min r Taschenrechner Die Erläuterungen und Lösungen zu den Materialien finden Sie ab Seite 13.

5 8. Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt 5 von 18 M 1 Die Beugung am Einzelspalt frischen Sie Ihr Wissen auf! Die Beugung am Einzelspalt Trifft kohärentes, monochromatisches Licht auf einen Einzelspalt, so entsteht auf dem Beobachtungsschirm eine Intensitätsverteilung, die ein ausgeprägtes Hauptmaximum und sehr schwache Nebenmaxima auf weist. Bei der Erklärung dieses Phänomens ist die Entstehung des ersten Minimums von besonderem Interesse, denn dessen Lage bestimmt die Ausdehnung des Hauptmaximums auf dem Schirm und damit das Auflösungsvermögen von optischen Öffnungen. Im Weiteren soll daher die Frage beantwortet werden, wie dieses erste Minimum entsteht und unter welchem Winkel es zu finden ist. Huygens sches Prinzip Gerade Wellenfronten treffen auf einen Einzelspalt. Nach dem Huygens schen Prinzip ist jeder Punkt einer Wellenfront innerhalb der Öffnung Ausgangspunkt einer Elementarwelle. Dort, wo auf dem Beobachtungsschirm das erste Minimum zu erkennen ist, überlagern sich die Elementarwellen offenbar so, dass sie sich gegenseitig komplett auslöschen. Diese destruktive Interferenz lässt sich verstehen, wenn wir in Gedanken die Reihe der Elementarwellenerzeuger in zwei Hälften teilen und überlegen, wie die Wellen im Auftreffpunkt miteinander interferieren (s. Abb.). Dazu wählen wir den Winkel α so, dass zwischen den Elementarwellen 1 und 6 ein Gangunterschied von /2 entsteht. Dann nämlich löschen sich diese beiden Wellen aus. Der Gangunterschied /2 gilt aber auch für das Wellenpaar 2 und 7 genauso wie für 3 und 8, aber auch für 4 und 9 usw. Jede Elementarwelle aus der oberen hat also einen Partner in der unteren Hälfte, mit dem zusammen sie sich auslöscht. Die beschriebene Situation tritt genau dann ein, wenn zwischen den Rand-Elementarwellen (hier 1 und 11) ein Gangunterschied von besteht. Daraus ergibt sich die folgende mathematische Bedingung für die Entstehung des ersten Minimums: sin( α ) =, wobei D die Breite des Spal- D tes ist (vgl. Abbildung). In ähnlicher Weise lässt sich das Auftreten des zweiten Minimums erklären das Wellenbündel wird dabei in vier Teilbündel aufgeteilt. Auslöschung findet dann statt, wenn zwischen den Randwellen ein Gangunterschied von 2 besteht. Bei den Nebenmaxima stellt man sich vor, dass das Wellenbündel in eine ungerade Anzahl von Teilbündeln zerlegt wird. Bei bestimmten Winkeln führt das dazu, dass sich eine gerade Anzahl von Teilbündeln auslöscht (s. Erklärung des ersten Minimums), ein Teilbündel aber übrig bleibt. 1 D α /2 α zum ersten Minimum 1 Auch wenn die oberen Ausführungen die Entstehung der Intensitätsverteilung sehr anschaulich begreiflich machen, sollte nicht unerwähnt bleiben, dass es sich hierbei um ein sehr vereinfachendes Modell handelt, das nur bedingt in der Lage ist, die Intensitätskurve quantitativ zu beschreiben. Dies ist nämlich nur mit mathematisch aufwendigen Verfahren möglich, die allerdings in der Schule nicht zur Verfügung stehen.

6 8. Wie Beugung das Aulösungsvermögen begrenzt 7 von 18 b) Nun betrachten wir die Situation unter Berücksichtigung der Beugung an der Objektivöffnung. Der Durchmesser des Beugungsscheibchens auf der Fotoplatte wird begrenzt durch das erste Minimum der Beugungsigur. Zur Erinnerung Für den Winkel α, unter dem das erste Minimum hinter einem Einzelspalt zu inden ist, gilt die Beziehung: sin(α) =, D wobei D der Durchmesser (Breite) der Öffnung ist. Oben wurde bereits erwähnt, dass sich bei einer kreisförmigen Öffnung die Lage des ersten Minimums etwas verschiebt. Daher gilt für Kreisblenden eine leicht abgewandelte Formel, nämlich: sin(α) = 1,22. D Berechnen Sie nun, welchen Durchmesser db das Beugungsscheibchen bei einem Fernrohr mit einer Öffnung von 15 cm und einer Brennweite von 2 m hat. Das Licht des Sterns soll eine Wellenlänge von 500 nm aufweisen. T H C Gehen Sie davon aus, dass das Bild des Beugungsscheibchens ungefähr in der Brennebene des Fernrohrobjektivs, also im Abstand von 2 m von der Öffnung, entsteht. Nehmen Sie die untere Abbildung zu Hilfe. I S N Intensitätskurve Beugungsscheibchen A R O Objektivöffnung V Beobachtungsebene c) Wenn Sie richtig gerechnet haben, sollten Sie erkannt haben, dass ohne Beugungseffekte tatsächlich ein fast punktförmiges Bild des Sterns in der Beobachtungsebene entstehen könnte. Beugung verhindert das. Was Sie im Fernrohr sehen, entspricht keineswegs der Ausdehnung des Sterns, sondern es ist das Beugungsscheibchen des Sternenlichts. Eine höhere Vergrößerung des Fernrohrs führt dann lediglich dazu, dass diese Beugungsscheibchen mitvergrößert werden ein Gewinn an Aulösung ist damit nicht verbunden. Die Größe des Scheibchens lässt also keine Aussagen über die Größe des Sterns zu vielmehr wird die Ausdehnung des Beugungsscheibchens durch andere Parameter festgelegt. Formulieren Sie die physikalischen Zusammenhänge abschließend noch einmal in prägnanten Je desto -Sätzen. Je die Öffnung des Teleskops ist, desto Beugungsscheibchen. Je die Wellenlänge ist, desto wird das wird das Beugungsscheibchen.

7 8 von Wie Beugung das Aulösungsvermögen begrenzt M 3 Doppelt! Oder etwa doch nicht? Punktförmige Lichtquellen, wie z. B. Sterne, werden in einem Fernrohr aufgrund von Beugung als kleine Scheibchen dargestellt (vgl. M 2). Dieses Phänomen begrenzt das Aulösungsvermögen des Fernrohrs also dessen Fähigkeit, zwei benachbarte Gegenstandspunkte als zwei getrennte Punkte wahrzunehmen. Um dies zu verstehen, sollen zwei eng zusammenstehende Sterne (Doppelsterne) betrachtet werden. Starten Sie das Programm Kreisblende.exe. Verändern Sie den Winkelabstand der beiden Sterne. Sie sehen, dass die beiden (gedachten) Sterne Beugungsscheibchen in der Bildebene des Fernrohrs erzeugen. Wenn sich diese Beugungsscheibchen überlagern, kann es für den Beobachter schwierig werden zu entscheiden, ob er tatsächlich zwei Sterne oder nur einen im Teleskop sieht. Das folgende Kriterium vom englischen Physiker John Rayleigh ( ) ermöglicht, diese Frage quantitativ zu entscheiden. Merke: Das Rayleigh-Kriterium: Zwei punktförmige Lichtquellen können gerade noch als getrennt wahrgenommen werden, wenn das Hauptmaximum der ersten Beugungsigur in das erste Minimum der zweiten Beugungsigur fällt. Aufgaben 1. Stellen Sie das Rayleigh-Kriterium mithilfe des Computerprogramms für verschiedene Fernrohröffnungen und Wellenlängen ein. Erklären Sie, wovon das Aulösungsvermögen eines Fernrohrs entscheidend abhängt. 2. Der Winkel, unter dem die beiden Sterne dem Beobachter noch gerade als getrennt erscheinen, entspricht dem Winkel, unter dem das erste Minimum der Beugungsigur auftritt. Dafür haben Sie bereits eine Formel kennengelernt (siehe M 2). Es gilt nämlich: sin( α= ) 1, 22. D Da wir es in der Regel mit extrem kleinen Winkeln zu tun haben, lässt sich der Sinus durch sein Argument ersetzen (Kleinwinkelnäherung), wobei wir den Winkel α im Bogenmaß (RAD) angeben: α= 1, 22. D Diese Formel eignet sich, um das Aulösungsvermögen eines Fernrohrobjektivs zu beurteilen. a) Berechnen Sie den Winkel α, unter dem ein astronomisches Fernrohr mit einem Objektivdurchmesser von 12 cm ein Doppelsternsystem (Sternfarbe: gelb, 580 nm) als solches wahrnehmen kann. Geben Sie den Winkel in Bogensekunden an. (Rechnen Sie das Bogenmaß in Gradmaß um und beachten Sie, dass eine Bogensekunde der Teil eines Grads ist.) b) Stellen Sie die Situation im Computerprogramm ein und überprüfen Sie Ihr Ergebnis. 3. Ihre Rechnung liefert das theoretische Aulösungsvermögen. Erdgebundene Teleskope erreichen aufgrund der Luftunruhe diese Werte in der Regel nicht. Inzwischen kommt man aber dem theoretischen Wert sehr nahe, indem man bei großen, professionellen Teleskopen sogenannte aktive Optiken (auch bekannt als adaptive Optiken ) verwendet. Recherchieren Sie im Internet, wie diese aufwendige Technik funktioniert. Fassen Sie das Wesentliche für Ihr Protokoll zusammen.

8 8. Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt 9 von 18 M 4 Scharf sehen eine Sache von Größe (LEK) Die folgenden Aufgaben können Sie lösen, wenn Sie sich die Erkenntnisse aus den vorherigen Materialien ins Gedächtnis zurückrufen. Aufgabe 1 Ein Doppelsternsystem wird durch ein kleines Fernrohr beobachtet, dass einen Objektivdurchmesser von 8 cm hat. Die beiden Sterne werden gerade noch als getrennt wahrgenommen. Man weiß, dass das Sternsystem 650 Lichtjahre entfernt ist. Berechnen Sie den Abstand der beiden Sterne voneinander. Geben Sie das Ergebnis in Kilometern und in Lichtstunden an. (Nehmen Sie eine Wellenlänge von 500 nm an.) Die Situation lässt sich näherungsweise wie in der Abbildung darstellen. Beachten Sie, dass der Winkel in Wirklichkeit sehr klein ist. Daher dürfen Sie die Kleinwinkelnäherung tan( α) α verwenden. Aufgabe 2 a) Das Hubble-Teleskop (D = 2,4 m), das sich in einer Erdumlaufbahn beindet, hat den großen Vorteil, dass die Sicht auf astronomische Objekte nicht durch atmosphärische Störungen beeinträchtigt wird und daher das theoretische Aulösungsvermögen erreichbar ist. Berechnen Sie, welchen Abstand zwei Punkte auf der Mondoberläche mindestens haben sollten, damit sie vom Hubble-Teleskop noch als getrennt wahrgenommen werden. Abstand zum Mond: km, Wellenlänge des Lichts: 500 nm b) Es gibt Leute, die behaupten, die Amerikaner wären in den 60er- und 70er-Jahren des letzten Jahrhunderts gar nicht auf dem Mond gelandet, sondern hätten die Mondlandung trickreich in einem Filmstudio auf der Erde gedreht. Diese Verschwörungstheorie könnte man schnell entkräften, wenn man beispielsweise die Mondlandefähre (Abb. 1), die immerhin 4,30 m breit und 6 m hoch war, mit einem Fernrohr auf der Mondoberläche ausmachen könnte. Wenn man sich mit einer Aulösung von ca. 20 cm in der Abbildung der Mondoberläche zufrieden geben würde, könnte ein Bild der Fähre wie etwa in der zweiten Abbildung entstehen. α e Stern 2 a S Stern 1 NASA Berechnen Sie, welchen Durchmesser das Hubble-Teleskop haben müsste, um eine Aulösung von 20 cm auf der Mondoberläche zu erreichen. c) Wenn Sie richtig gerechnet haben, werden Sie festgestellt haben, dass solche Spiegeldurchmesser völlig unrealistisch sind. Berechnen Sie, auf welche Entfernung man das Hubble-Teleskop mit seinem 2,4 m-spiegel zur Mondoberläche heranbringen müsste, um eine Aulösung von 20 cm zu erhalten.

9 10 von Wie Beugung das Aulösungsvermögen begrenzt Aufgabe 3 Ein Teleskophersteller wirbt mit der folgenden Anzeige für sein neues Amateurinstrument: Einsteiger Linsen-Teleskop 70/700 mm auf Montierung... ein komplettes Einsteigerteleskop einfache Bedienung und viel Zubehör Technische Daten: Öffnung: 70 mm / Brennweite: 700 mm / f/10 Auflösungsvermögen: 1,64" Grenzgröße: 11 mag Okularauszug: 1,25" Auszug Montierung: azimutale Montierung stufenlos höhenverstellbares Alustativ Rechnen Sie nach, ob die Angabe bzgl. des Aulösungsvermögens (1,64 Bogensekunden) korrekt ist. Aufgabe 4 Verwenden Sie grünes Licht, also 500 nm. a) Das größte drehbare Radioteleskop der Welt steht in der Eifel in der Nähe von Effelsberg. Der Durchmesser des Teleskopspiegels beträgt 100 m. Mit diesem Teleskop wurden ausführliche Durchmusterungen des Himmels im Wellenlängenbereich von 21 cm unternommen. 2 Berechnen Sie, welchen Durchmesser ein optisches Teleskop haben müsste, um das gleiche Aulösungsvermögen wie das Effelsberger Teleskop zu liefern. Verwenden Sie für sichtbares Licht eine Wellenlänge von 500 nm. b) Berechnen Sie umgekehrt, welchen Durchmesser das Radioteleskop aufweisen müsste, um ein Aulösungsvermögen wie ein optisches Schulfernrohr mit 12 cm Öffnung zu haben. c) Überlegen Sie, woran es liegt, dass das Aulösungsvermögen dieses Radioteleskops trotz seiner riesigen Öffnung so unglaublich schlecht ist. d) Durch einen physikalischen Trick lässt sich das Aulösungsvermögen von Radioteleskopen enorm steigern. Recherchieren Sie im Internet, was man unter Very Long Baseline Interferometry (VLBI) versteht und wie diese Technik prinzipiell funktioniert. Fassen Sie das Wesentliche für Ihr Protokoll zusammen. 2 Gasansammlungen im Weltall aus neutralen Wasserstoffatomen geben eine charakteristische Strahlung im Radiowellenlängenbereich ab. Diese Strahlung entsteht durch die Änderung der Spinorientierung von Proton und Elektron in den Atomen.

10 12 von Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt M 6 Das Aulösungsvermögen von Fernrohren LEK Aufgaben 1. Herr Schmidt besucht am Tag der offenen Tür eine Sternwarte und darf einen Blick durch eines der großen Teleskope werfen. Bei hoher Vergrößerung erkennt er ein Doppelsternsystem, das sich ihm wie in der ersten Abbildung darstellt. Zu Hause beobachtet er das gleiche System mit seinem privaten klei nen Fernrohr und ist überrascht, dass er anstelle des Doppelsternsystems nur einen verwaschenen Fleck erkennen kann. Da er die gleiche Vergrößerung wie beim Teleskop in der Sternwarte eingestellt hat und sich die Wetterbedingungen nicht merklich verändert haben, ist er rat los, woran der Unterschied in der Bildqualität liegen könnte. Er vermu tet, dass die Optik seines Fernrohrs defekt ist, und entschließt sich, das Gerät an den Händler zurückzuschicken. Sie wissen natürlich, dass die Unterschiede in den beiden Bildern nicht durch eine defekte Optik zustande kamen. Erklären Sie die physi kalischen Zusammenhänge möglichst genau. Stellen Sie sich vor, Sie müssten dem Fernrohrbesitzer Herrn Schmidt, der naturwissenschaftlich gebildet und interessiert ist, genau erklären, warum sein Fernrohr nicht in der Lage ist, dieses Doppelsternsystem darzustellen. 2. Mit der Formel α= 1, 22 lässt sich das Auflösungsvermögen eines optischen Instru- D mentes quantitativ angeben. Beschriften und erklären Sie die untere Abbildung und leiten Sie damit die obere Formel her. Dabei dürfen Sie benutzen, was Sie über die Beugung und Interferenz am Einzelspalt wissen. Den Faktor 1,22 können Sie nicht herleiten begründen Sie aber, warum er in der Formel auftaucht. 3. Der Abstand von Doppelsternen wird oft als Winkel (in Bogensekunden) angegeben, unter dem die beiden Sterne von der Erde aus erscheinen. Es ist bekannt, dass die Sterne des oben erwähnten Doppelsternsystems einen Winkelabstand von etwa 0,25 Bogensekunden (0,25 ) haben. Berechnen Sie, welchen Durchmesser das Teleskop von Herrn Schmidt mindestens haben müsste, um die beiden Sterne als getrennt wahrzunehmen. (Verwenden Sie eine Lichtwellenlänge von 500 nm.) 4. Ein Spionagesatellit umkreist die Erde auf einer kreisförmigen Bahn. Er besitzt eine Kamera, die mit einen Teleskopspiegel von 80 cm Durchmesser ausgestattet ist. Die Kamera soll auf dem Erdboden Strukturen erkennen können, die im Bereich von etwa 30 cm liegen. Berechnen Sie, in welcher Höhe über dem Erdboden der Satellit die Erde umkreisen müsste, um diese Auflösung zu erreichen.

11 8. Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt 13 von 18 Erläuterungen und Lösungen M 2 Scheibchenweise Sterne im Fernrohr In diesem Material wird der Übergang von der spalt- zur kreisförmigen optischen Öffnung thematisiert. Die Beugungsfiguren ähneln sich, weisen aber dennoch Unterschiede auf. Diese erschließen sich Ihren Schülern sehr anschaulich durch die Verwendung der beiden Computerprogramme. Das Material soll außerdem zeigen, welche Auswirkungen Beugungseffekte in der Praxis haben. Sie machen sich nämlich v. a. dann bemerkbar, wenn man an die Grenzen der verwendeten Optik geht, also mit extremen Vergrößerungen arbeitet oder an kleinsten Strukturen interessiert ist, was beim wissenschaftlichen Arbeiten mit optischen Systemen häufig der Fall ist, im Alltagsleben aber eher selten vorkommt. Lösungen (M 2) 1. a) Die Lage der Minima und Nebenmaxima unterscheidet sich bei den beiden Intensitätskurven der Unterschied ist nicht groß, führt aber zu einem Korrekturfaktor in der Winkelformel. Außerdem ist die Intensität der Nebenmaxima bei der Kreisblende deutlich schwächer als beim Spalt. Der erste Beugungsring ist daher auf dem Beobachtungsschirm kaum sichtbar. An den Kurven, die das Computerprogramm Beugungskurven.exe erzeugt, lässt sich beispielsweise ablesen: Bei einer verwendeten Wellenlänge von 500 nm tritt 0,5 1,0 1,5 das erste Minimum bei der Spaltblende bei einem Winkel α Winkel von 0,57 auf. Die Kurve für die Kreisblende hat ihr erstes Minimum dagegen bei 0,70. Die beiden Werte unterscheiden sich um den Faktor 0,7 = 1,228, was im Rahmen der Ablesegenauigkeit den theoretischen 0,57 Wert von 1,22 bestätigt. Für Experten: Man liest ab, dass die Intensität des ersten Nebenmaximums beim Spalt einen Wert von 4,83 % gegenüber dem Hauptmaximum aufweist und bei der Kreisblende 1,67 %. Die theoretischen Werte lauten 4,5 % und 1,75 %. b) Man erkennt sehr eindringlich, dass eine Verkleinerung der optischen Öffnung zu einer Vergrößerung der Ausdehnung des Hauptmaximums führt der Lichtfleck wird größer und diffuser. Auch die Wellenlänge beeinflusst die Größe des Beugungsscheibchens je kleiner die Wellenlänge ist (also je blauer), desto mehr schrumpft der Lichtfleck. 2. a) Es gelten die folgenden Werte: 8 m 18 Gegenstandsweite: g = , s 3 10 = 4, m. s Intensität Kreisblende Spaltblende Die Bildweite entspricht in etwa der Brennweite, wie man mithilfe der Linsenformel 9 leicht erkennen kann. Also ist b = 2 m, und die Gegenstandsgröße ist: G = 1, 4 10 m. Aus b B b 9 2m 10 = ergibt sich: B= G = 1,4 10 m 7 10 m = 0,7 nm. 18 g G g 4, m Diese Ausdehnung liegt weit unter der Wellenlänge des verwendeten Lichts und liegt bereits im Bereich von Atomdurchmessern ohne Beugung würde tatsächlich ein nahezu punktförmiges Abbild des Sterns entstehen.