Die dunklen Ringe liegen bei den Nullstellen dieser Besselfunktion: ϕ/2 = 1, 22π;2, 233π;3, 238π

Transkript

1 8 Statt I sin ϕ/ I 0 ϕ/, erhält man I I 0 J 1(ϕ/) ϕ/ Die dunklen Ringe liegen bei den Nullstellen dieser Besselfunktion: ϕ/ = 1, π;, 33π;3, 38π Die Größe der Beugungsfigur läßt sich abschätzen, indem man den Mittelwert bildet aus der Größe der Beugungsfigur des um- und inbeschriebenen Quadrats, wobei man diese mit der von Spalte gleicher Öffnung gleich setzt: Abb. 134: Abschätzung der Größe der Beugungsfigur an einer Kreisblende durch das Ergebnis für den Spalt sin α 1 = a 1 = D Mittelwert: sin α = a = sin α = 0.6 r D/ (D = a 1 = r) d) Das Auflösungsvermögen Durch die Beugung einer Welle am Rand einer Linse wird selbst bei Abwesenheit aller Linsenfehler ein Punkt in ein Scheibchen abgebildet. Zwei Punkte, die so nahe nebeneinander liegen, daß ihre Beugungsscheibchen sich überlappen, lassen sich nicht mehr trennen. Da die Größe des Beugungsscheibchens proportional /r ist, wird das Auflösungsvermögen um so besser, je kleiner und je größer r ist. Für Radioteleskope, die mit sehr großen Wellenlängen arbeiten, benötigt man große Öffnungen. Abb. 135: Beugung an der Pupille Beim Auge mit einem Blendenradius von r 10 3 m ergibt sich für

2 83 = m. α min r = Abb. 136: Die Größe des Beugungsscheibchens auf der Retina Dies ist ein Abstand von 1 cm in der Entfernung 100 m. Das Auge ist so aufgebaut, daß der Abstand der Detektoren auf der Retina dem durch die Optik bestimmten Auflösungsvermögen entspricht. Beim Mikroskop begrenzt die Blendenöffnung des Objektivs das Auflösungsvermögen. Die minimal auflösbare Winkeldifferenz ist sin α d = 0, 6 R Daraus ergibt sich die kleinste auflösbare Struktur zu a min = 0, 6 f R a min = 0, 6 f R Maßgeblich ist also die maximale Apertur des Objektivs. Da diese in der Größenordnung von 1 liegt, kann man Strukturen bis herab etwa zur Größe der Wellenlänge auflösen. Zu einem sehr ähnlichen Ergebnis für das Auflösungsvermögen kommt man mit einer fourieroptischen Betrachtung des Abbildungsverhaltens des Mikroskopes (s. Abschnitt f) in diesem Kapitel). e) N Spalte α) Spalte Abb. 137: Spalte endlicher Breite

3 84 Wir betrachten jetzt im Gegensatz zum vorigen Abschnitt Spalte endlicher Breite. Die Feldstärke an einer Stelle des Schirmes, d.h. bei einem bestimmten α, ergibt sich aus der Summe der Feldstärken, die von jedem Spalt einzeln erzeugt werden. Die Beugungsfigur eines Spaltes ist E 1 E 0 = sin ϕ/ ϕ/ mit ϕ/ = πb sin α Abb. 138: Zeigerdiagramm für zwei Spalte endlicher Breite Die Beugungsfigur beider Spalte ergibt sich aus der Überlagerung der Resultierenden der Einzelspalte E r = E cos ϑ/ (E = E 1 = E ) mit ϑ = πa sin α Die Intensitätsverteilung der Beugungsfigur eines Doppelspaltes wird also insgesamt I = sin ϕ/ I 0 ϕ/ (cos ϑ/) Abb. 140: Die Intensitätsverteilung der Beugungsfigur zweier Spalte endlicher Breite Der zweite Term beschreibt die feine Struktur. Sie ist identisch mit dem Interferenzbild von zwei punktförmigen Lichtquellen. Die Beugung an den Einzelspalten moduliert diese Verteilung β) N Spalte Durch die Addition der Erregung von N Spalten erhält man wie bei N punktförmigen Lichtquellen E N = sin Nϑ/ E 0 N sin ϑ/

4 85 mit ϑ/ = πa sin α Die Einhüllende bleibt wie beim Einzelspalt Die Gesamtverteilung ist also sin ϕ/ ϕ/ I N = sin ϕ/ sin Nϑ/ I 0 ϕ/ N sin (ϑ/) Abb. 141 Beugungsfigur bei Vielstrahlinterferenz Die feine Struktur wird durch die Beugung an der Begrenzung der gesamten Spaltanordnung erzeugt, die grobe Struktur durch Beugung am Einzelspalt. Durch Manipulation am Einzelspalt, z.b. durch spezielle Formgebung der Rillen eines Gitters kann man die Einhüllende verändern, so daß z.b. die größte Intensität in eine vorgegebene Beugungsordnung fällt, oder daß eine bestimmte Anzahl von Beugungsordnungen gleiche Intensität haben, alle anderen wegfallen. γ) Winkeldispersion und Auflösung eines Gitters Gitter werden in der Spektroskopie zur Frequenzanalyse eingesetzt. Wichtige Größen, die in diesem Zusammenhang interessieren, sind die Winkeldispersion dα und das Auflösungsver- d mögen, wobei die kleinste Wellenlängendifferez ist, die man noch gerade tren- nen kann. min min Abb. 14: Die Winkeldispersion eines Gitters Die Winkeldispersion ermitteln wir aus Abb. 14, wobei wir zulassen, daß ein Gangunterschied von n 0 Wellenlängen zwischen zwei benachbarten Wellen auftritt. n 0 heißt die Beugungsordnung. Ein Intensitätsmaximum erscheint unter dem Winkel sin α max = n a

5 86 Durch Differentiation erhält man cos αdα = n 0 a d dα d = n 0 a cos α (1) Für ein Gitter mit 100 Strich pro mm bei senkrechtem Einfall (α = 0) erster Beugungsordnung (n = 1) und einer Brennweite des abbildenden Systems von 0,5 m erhält man typischerweise d/dx = 16nm/mm. Das Auflösungsvermögen wird durch die Breite der feinsten Struktur in der Beugungsfigur gegeben. Ihre Intensitätsverteilung ist Das Argument im Sinus wird damit Bei kleinen Veränderungen der Richtung Eine Nullstelle liegt vor bei I(α) sin (Nϑ/) mit ϑ/ = πa sin α x = Nπa dx = Nπa sin α cos αdα dx = π d.h. dα = Na cos α () Aus (1) und () ergibt sich das Auflösungsvermögen = n 0 N Man erkennt, daß für das Auflösungsvermögen neben der Beugungsordnung die Gesamtzahl der Striche maßgebend ist. Ein Spektrograf kann also nur dann sein maximales Auflösungsvermögen bringen, wenn sein Gitter voll ausgeleuchtet ist. f) Fraunhoferbeugung als Fouriertransformation Zur Berechnung der Beugungsfigur betrachten wir einen etwas allgemeineren Fall: In einer Ebene, die durch die Koordinate ξ beschrieben wird, sei eine Feldstärkeverteilung E (ξ) vorgegeben. Bei Vorliegen eines Spaltes wäre E(ξ) eine Rechteckverteilung, die innerhalb der Abb. 143: Nochmal Beugung am Spalt

6 87 Spaltöffnung einen konstanten Wert annimmt, außerhalb verschwindet. Die Öffnung werde in Streifen gleicher Breite ξ unterteilt. Die resultierende Feldstärke für alle Strahlen, die die Öffnung unter einem gewissen Winkel α verlassen, ist dann E r = ξ(e 0 e iϕ 0 + E1 e iϕ 1 + E e iϕ +...) wobei der Phasenwinkel an der Stelle ξ gegeben ist ϕ n ϕ aus und folgt π = g(ξ) g(ξ) = ξ sin α ϕ = πξ sin α ξ πα durch den Gangunterschied zwischen dem Strahl Nr. 0 und dem mit s = ξ/. Nach dem Grenzübergang s 0 mierte von E(s) ist. Beispiele: E(α) = ξ Σ E n e i(ξ/)πα = Σ E(s)e isπα s erkennt man, daß E(α) die Fouriertransfor- Die Verteilung von E über einem Spalt ist eine Rechteckfunktion E(s) ~Rect(s/b). Die Fouriertransformierte einer Rechteckverteilung ist E(x) sin kx x, wie wir früher mit der geometrischen Methode ermittelt haben. Ein Gitter mit sinusförmiger Amplitudenverteilung E(s)~sin ks hat eine einzige Frequenz. Die Fouriertransformierte ist daher eine δ-funktion E(x) δ(x x 0 ) Ein solches Gitter beugt das Licht nur in eine bestimmte Richtung. Die Beugung an einer zweidimensionalen Struktur führt also zu einer zweidimensionalen Fouriertransformation dieser Struktur. Man nutzt diese Eigenschaft bei der Bildverarbeitung aus, um durch Manipulationen im Fourierraum Verbesserungen der Darstellung zu erzielen. So kann man durch Blenden in der Fourierebene höhere Fourierkomponenten herausfiltern Abb. 144: Auflösungsvermögen des Mikroskopes nach Abbé und so das Bild glätten. Hinzfügen von lokalen Phasenverschiebungen kann den Kontrast verbessern usw.. Als Beispiel betrachten wir die Abbildung beim Mikroskop nach Abbé (Ernst Abbé )

7 88 Da wir uns nach Fourier jedes Objekt als Überlageruung von sinusförmigen Amplitudenverteilungen mit unterschiedlichen Raumfrequenzen vorstellen können, betrachten wir speziell ein gitterförmiges Objekt. Nach Abb. 144 erzeugt das Objektiv hiervon ein vergrößertes Bild B. Andererseits führt die Beugung an dem Gitter zu einer Beugungsfigur in der Fourierebene. Diese besteht aus den Beugungsmaxima. Im Rahmen der Wellenoptik kann man das Bild B nun auch als Interferenzfigur der Sekundärquellen in der Fourierebene auffassen. Man erkennt, daß ein solches Interferenzmuster nur dann erzeugt werden kann, wenn mindestens neben dem Hauptmaximum ein Nebenmaximum in das Objektiv fällt, d.h. α = R min f α min = f R in größenordnungsmäßiger Übereinstimmung mit unserem früheren Ergebnis. 3. Fresnelbeugung Abb. 145: Zur Geometrie beim Kirchhoffschen Beugungsintegral Fresnelbeugung liegt vor, wenn mindestens eins der beiden - Lichtquelle oder Beobachter - eine endliche Entfernung zur beugenden Struktur hat. Gegenüber der Fraunhoferbeugung wird die Rechnung im wesentlichen durch zwei Tatsachen erschwert: Es treten bei den einzelnen Flächenelementen unterschiedliche Winkel zwischen Flächennormalen und Abstrahlrichtung auf. Die Fläche hat eine gewisse Richtcharakteristik, die wir mit θ(ϑ) bezeichnen. Dadurch, daß die einzelnen Strahlen unterschiedlich lang sind, ist die Licht- intensität der Elementarwellen am Ort der Beugungsfigur unterschiedlich. Man geht von kugelförmigen Elementarwellen aus mit I~1/r und setzt daher den Ortsfaktor für die Feldstärke ~1/r. Die Beugungsfigur ergibt sich dann nach Kirchhoff (Gustav Kirchhoff ) durch Integration über die gesamte beugende Öffnung E res = E 0 1 r θ(ϑ)ei;ϕ;(ξ,;η) dξdη Dieses Integral nennt man das Kirchhoffsche Beugungsintegral. Eine genauere Herleitung ergibt sich aus der Beugungstheorie. Nach Fresnel kann man die Ausbreitung von Licht von einer punktförmigen Quelle zum Beobachtungspunkt P so beschreiben: Wir betrachten eine Wellenfront, die bis zu einer Entfernung g fortgeschritten ist. Die Interferenz der Erregungen, die von den Flächenelementen da

8 89 Abb. 146: Ausbreitung von Licht nach Fresnel : Konstruktion der Fresnelschen Zonen auf dieser Wellenfläche ausgehen, ergeben die Gesamterregung in P. Um diese leichter behandeln zu können, unterteilen wir die Wellenfront in ringförmige Zonen. Im folgenden betrachten wir die Einfachheit halber einen Fall mit unendlich entfernter Quelle q. Die Breite der Zonen wird so gewählt, daß sich für Licht, das von ihren Begrenzungen ausgeht, ein Phasenunterschied von genau / ergibt. d.h. r n = r n-1 +/ r 1 = r 0 +/ r = r 0 +/ r n = r 0 +n/ Der Radius für die innere Begrenzung der nten Zone R n ist dann R n = r n r 0 = (r 0 + n/) r 0 = nr 0 wenn man den um /r 0 kleineren Term n /4 vernachlässigt. Der Flächeninhalt einer Zone ist A = π R n R n 1 = πr 0 und damit für alle Zonen gleich. Durch die Faktoren θ(ϑ) und 1/r erhält man für das Zeiger- diagramm kleine Abweichungen vom Kreis, d.h. eine Spirale (Abb. 148).

9 90 Abb. 148: Das Zeigerdiagramm bei Fresnelbeugung Zeichnet man die Erregung durch das Licht, das durch die Mitte der Figur tritt bei A, so ist der Beitrag des äußeren Randes der Fresnelzone Nr. 0 bei B, da hier ein Gangunterschied von / gegenüber dem Zentrum besteht. Die Zone Nr. 1 macht einen negativen Beitrag, da ihre Erregung am Rand eine Phasendifferenz von π gegenüber der am Rand der nullten Zone hat. Man erreicht den Punkt C. Die Beiträge der äußeren Zonen werden immer kleiner. Die Gesamtfeldstärke konvergiert gegen einen Wert, der etwa halb so groß wie die Erregung der mittleren Zone ist. E res = E 0 E 1 + E E = E 0 + E 0 E 1 + E + E E 3 + E Die Zusammenfassung ist so vorgenommen worden, daß sämtliche eckigen Klammern verschwinden, da der Mittelwert der Erregungen von zwei Zonen den Wert der Erregung der dazwischenliegenden Zone ergibt. E res E 0 / Abb. 149: Wirkungsweise der Fresnelschen Zonenplatte Eine Lochkamera kann man jetzt als eine Vorrichtung betrachten, die die Intensität verstärkt. Die Größe des Loches muß dem Radius der nullten Fresnelschen Zone entsprechen. R 1 = Die Feldstärke im Bild ist dann doppelt so groß wie ohne Loch, die Intensität 4 mal so groß. r 0 Abb. 150: Fresnelbeugung an einer Halbebene

10 91 Abb. 151: Die Cornu-Spirale Blendet man alle Zonen mit negativem Beitrag aus, so erhält man die sogenannte Fresnelsche Zonenplatte. Sie hat Abbildungseigenschaften wie eine Linse und wird als solche eingesetzt, wenn Linsen nicht herstellbar sind wie im Röntgenbereich. Als Unterschied zu Linsen ergeben sich aufgrund der verschiedenen Beugungsordnungen mehrere Brennweiten. Um die Fresnelbeugung an Spalten und dergleichen zu beschreiben, unterteilt man die sekundäre Wellenfront in gerade Streifen, wobei die Bedingung für die Berandung gleich bleibt r n = r n 1 / Das Zeigerdiagramm ist die sogenannte Cornu-Spirale. Beginnt man in dem Fußpunkt des Lotes vom Beobachtungspunkt P auf die Fläche, startet man im Zeigerdiagramm bei A. Die Abb. 15: Intensitätsverteilung für Fresnelbeugung an einer Halbebene Beiträge der rechten Hälfte der Ebene liegen auf dem rechten Ast der Spirale und konvergieren bei der hier durchgeführten Normierung gegen den Punkt (1,1), die Beiträge der linken Hälfte gegen (-1,-1). Der Beitrag der abgedeckten Zonen wird im Punkt S abgeschnitten. Für Beobachtungsorte im Öffnungsbereich der Blende ist S auf dem linken Ast, die Spitze von E r im Konvergenzpunkt des rechten Astes. E r hat Maxima und Minima. Für den Schattenbereich ist S ebenfalls auf dem rechten Ast. E r ändert sich monoton. An der Schattengrenze A erhält man die Hälfte der Feldstärke, die man ohne Blende erreicht. Die Intensität ist also 1/4.