Inklusion und Exklusion

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Kornelius Ziegler
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1 Inklusion und xklusion ufgaben ufgabe 1: Wie groß ist die nzahl der natürlichen Zahlen zwischen 1 und 100 (jeweils einschließlich), die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind? ufgabe 2: Wie groß ist die nzahl der natürlichen Zahlen zwischen 1 und 100 (jeweils einschließlich), die weder durch 3 noch durch 5 teilbar sind? ufgabe 3: Wie groß ist die nzahl der natürlichen Zahlen zwischen 1 und 100 (jeweils einschließlich), die nicht durch 2, nicht durch 3 und nicht durch 5 teilbar sind? ufgabe 4: Das unten skizzierte System funktioniert, wenn ein Weg von nach existiert, der nur über funktionstüchtige lemente verläuft, d.h. es fällt aus wenn beide Komponente und ausfallen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert das System, falls jede Komponente unabhängig von der anderen mit einer Wahrscheinlichkeit p funktioniert? ufgabe 5: Das unten skizzierte System funktioniert, wenn ein Weg von nach existiert, der nur über funktionstüchtige lemente verläuft, d.h. es fällt aus wenn die Komponente sowie zusätzliche mindestens eine der Komponenten und K 3 ausfallen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert das System, falls jede Komponente unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit p funktioniert? K 3 ufgabe 6: Das unten skizzierte System funktioniert, wenn ein Weg von nach existiert, der nur über funktionstüchtige lemente verläuft, d.h. es fällt aus wenn die Komponente oder die beiden Komponenten und K 3 ausfallen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert das System, falls jede Komponente unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit p funktioniert? K 3

2 ufgabe 7: Das unten skizzierte System funktioniert, wenn ein Weg von nach existiert, der nur über funktionstüchtige lemente verläuft, d.h. es fällt aus wenn einer der Komponenten und K 4 oder die beiden Komponenten und K 3 ausfallen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert das System, falls jede Komponente unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit p funktioniert? K 3 K 4 ufgabe 8: Das unten skizzierte System funktioniert, wenn ein Weg von nach existiert, der nur über funktionstüchtige lemente verläuft. lle Komponenten des gleichen Typs fallen immer gleichzeitig aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert das System, falls jeder Komponententyp unabhängig von dem anderen mit einer Wahrscheinlichkeit p funktioniert? ufgabe 9: Das unten skizzierte System funktioniert, wenn ein Weg von nach existiert, der nur über funktionstüchtige lemente verläuft, d.h. es fällt aus wenn die Komponenten und mindestens eine der Komponenten und K 3 sowie zusätzlich mindestens eine der drei Komponenten K 4,K 5 und K 6 ausfallen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert das System, falls jede Komponente unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit p funktioniert? K 3 K 4 K 5 K 6 ufgabe 10: Das unten skizzierte System funktioniert, wenn ein Weg von nach existiert, der nur über funktionstüchtige lemente verläuft. lle Komponenten des gleichen Typs fallen immer gleichzeitig aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert das System, falls jeder Komponententyp unabhängig von dem anderen mit einer Wahrscheinlichkeit p funktioniert? K 3 K 3

3 Lösungen ufgabe 1: Mit S = {1, 2, 3,..., 100}und 1 = {x x S, x ist teilbar durch 2 } = {2, 4,..., 100}, und 2 = {x x S, x ist teilbar durch 3 } = {12, 15,..., 99}, folgt 1 2 = {x x S, x ist teilbar durch 2 und durch 3, also durch 6 } = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96}. Für die Mächtigleiten dieser Mengen gilt S = = 50, 2 = = 16. Nach dem Prinzip der Inklusion und xklusion erhält man somit für die gesucht nzahl 1 2 = = 33 ufgabe 2: Mit S = {1, 2, 3,..., 100} und 1 = {x x S, x ist teilbar durch 3 } = {3, 6,..., 99} und 2 = {x x S, x ist durch 5 teilbar} = {5, 10,..., 100} folgt 1 2 = {x x S, x ist teilbar durch 3 und durch 5, also durch 15} = {15, 30,..., 90} Für die Mächtigkeiten dieser Mengen gilt S = = 33 2 = = 6 Nach dem Prinzip der Inklusion und xklusion erhält man somit das für die gesuchte nzahl 1 2 = = 53 ufgabe 3: Mit S = {1, 2, 3,..., 100}und 1 = {x x S, x ist teilbar durch 2 } = {2, 4,..., 100}, und 2 = {x x S, x ist teilbar durch 3 } = {12, 15,..., 99}, und 3 = {x x S, x ist teilbar durch 5 } = {15, 20,..., 95} folgt 1 2 = {x x S, x ist teilbar durch 2 und durch 3, also durch 6} = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96}. 1 3 = {x x S, x ist teilbar durch 2 und durch 5, also durch 10} = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}. 2 3 = {x x S, x ist teilbar durch 3 und durch 5, also durch 15} = {15, 30, 45, 60, 75, 90} = {x x S, x ist teilbar durch 2, durch 3 und durch 5, also durch 30 } = {30, 60, 90} Die entsprechenden Mächtigkeiten sind S = 100, 1 = 50, 2 = 33, 3 = = = = = 3 Nach dem Prinzip der Inklusion und xklusion erhält man somit für die gesucht nzahl = 100 ( ) + ( ) 3 = 26

4 ufgabe 4: Sei i das reignis, dass Komponente i funktioniert, für i = 1, 2. Dann ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit P () wie folgt: P () = P ( 1 2 ) = P ( 1 ) + P ( 2 ) P ( 1 2 ) = 2p p 2 Die gesucht Wahrscheinlichkeit ist 2p p 2. ufgabe 5: Sei i das reignis, dass Komponente i funktioniert, für i = 1, 2, 3. Und weiter sei B 1 := 1 B 2 := 2 3. Dann ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit P () wie folgt: P () = P (B 1 B 2 ) = P ( 1 ) + P ( 2 3 ) P ( 1 ( 2 3 )) = p + p 2 p 3 Mit einer Wahrscheinlichkeit von p + p 2 p 3 funktioniert das System. ufgabe 6: Sei i das reignis, dass Komponente i funktioniert, für i = 1, 2, 3. Und weiter sei B 1 := 1 2 B 2 := 1 3. Dann ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit P () wie folgt: P () = P (B 1 B 2 ) = P ( 1 2 ) + P ( 1 3 ) P (( 1 2 ) ( 1 3 )) = P ( 1 2 ) + P ( 1 3 ) P ( ) = p 2 + p 2 p 3 = 2p 2 p 3 Mit einer Wahrscheinlichkeit von p + p 2 p 3 funktioniert das System. ufgabe 7: Sei i das reignis, dass Komponente i funktioniert, für i = 1,..., 4. Und weiter sei B 1 := B 2 := Dann ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit P () wie folgt:

5 P () = P (B 1 B 2 ) = P ( ) + P ( ) P (( ) ( )) = P ( ) + P ( ) P ( ) = p 3 + p 3 p 4 = 2p 3 p 4 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2p 3 p 4 funktioniert das System. ufgabe 8: Sei i das reignis, dass Komponente i funktioniert, für i = 1, 2. Und weiter sei B 1 := 1 B 2 := 1 2. Dann ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit P () wie folgt: P () = P (B 1 B 2 ) = P ( 1 ) + P ( 1 2 ) P ( 1 ( 1 2 )) = P ( 1 ) + P ( 1 2 ) P ( 1 2 ) = P ( 1 ) = p Mit einer Wahrscheinlichkeit von p funktioniert das System. ufgabe 8: Sei i das reignis, dass Komponente i funktioniert, für i = 1, Und weiter sei B 1 := 1 B 2 := 2 3 B 3 := Dann ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit P () wie folgt: P () = P (B 1 B 2 B 3 ) = P (B 1 ) + P (B 2 ) + P (B 3 ) P (B 1 B 2 ) P (B 1 B 3 ) P (B 2 B 3 ) +P (B 1 B 2 B 3 ) = P ( 1 ) + P ( 2 3 ) + P ( ) P ( 1 ( 2 3 )) P ( 1 ( )) P (( 2 3 ) ( )) +P ( 1 ( 2 3 ) ( )) = p + p 2 + p 3 p 3 p 4 p 5 + p 6 = p + p 2 p 4 p 5 + p 6 Mit einer Wahrscheinlichkeit von p + p 2 p 4 p 5 + p 6 funktioniert das System. ufgabe 9: Sei i das reignis, dass Komponente i funktioniert, für i = 1, 2, 3.

6 Und weiter sei B 1 := 1 B 2 := 2 3 B 3 := Dann ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit P () wie folgt: P () = P (B 1 B 2 B 3 ) = P (B 1 ) + P (B 2 ) + P (B 3 ) P (B 1 B 2 ) P (B 1 B 3 ) P (B 2 B 3 ) +P (B 1 B 2 B 3 ) = P ( 1 ) + P ( 2 3 ) + P ( ) P ( 1 ( 2 3 )) P ( 1 ( )) P (( 2 3 ) ( )) +P ( 1 ( 2 3 ) ( )) = P ( 1 ) + P ( 2 3 ) + P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) +P ( ) = P ( 1 ) + P ( 2 3 ) P ( ) = p + p 2 p 3 Mit einer Wahrscheinlichkeit von p + p 2 p 3 funktioniert das System. Quelle: Stochastik Mit freundlicher Unterstüzung von:

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