Inhaltsverzeichnis. 1 Rationale Zahlen 2. 2 Zuordnungen 3. 3 Geometrie 5. 4 Prozentrechnung 9. 5 Zinsrechnung Terme/Gleichungen 13

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1 Inhaltsverzeichnis Rationale Zahlen Zuordnungen Geometrie 5 4 Prozentrechnung 9 5 Zinsrechnung 6 Terme/Gleichungen 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung 5

2 Rationale Zahlen ddition/ Subtraktion negativer Zahlen Man unterscheidet zwei Fälle:. eide Zahlen haben das gleiche Vorzeichen: Das Ergebnis erhält das gemeinsame Vorzeichen und die eträge werden addiert = +9 (Das gemeinsame Vorzeichen ist +) 9 = 9 (Das gemeinsame Vorzeichen ist ). eide Zahlen haben unterschiedliche Vorzeichen: Das Ergebnis erhält das Vorzeichen des größeren etrags und man berechnet die Differenz der eträge. +7 = +5 (Das Vorzeichen des größeren etrags ist +) + 7 = +5 (Das Vorzeichen des größeren etrags ist +) + 7 = 5 (Das Vorzeichen des größeren etrags ist ) 7 + = 5 (Das Vorzeichen des größeren etrags ist ) Negative Zahlen und Klammern Wenn ein + vor der Klammer steht, lässt man einfach die Klammer und das + vor der Klammer weg: 75 + ( 5) = 75 5 = 40 Wenn Schulden hinzugefügt 75 + ( 5) = 75 5 = 60 werden, wird man ärmer. Wenn ein vor der Klammer steht, müssen die Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden, danach lässt man die Klammer und das vor der Klammer weg. 75 ( 5) = = 60 Wenn Schulden weggenommen 75 ( 5) = = 40 werden, wird man reicher. Multiplikation/Division von rationalen Zahlen Das Ergebnis der Multiplikation/Division zweier rationaler Zahlen erhält man, indem man. die Zahlen ohne Vorzeichen miteinander multipliziert/dividiert,. das Vorzeichen ermittelt: sind die Vorzeichen gleich, ist das Ergebnis positiv. (+ mal + ergibt + und - mal - ergibt +) sind die Vorzeichen unterschiedlich, ist das Ergebnis negativ. (+ mal - ergibt - und - mal + ergibt -) sp.: (+) ( 5) = 5 (+) : ( 4) = 0, 5 ( 6, ) ( ) = +, (, 5) : ( ) = 0, 5

3 Zuordnungen Zuordnungen In vielen lltagssituationen findet man einen Zusammenhang zwischen ereichen von Größen. Zu einer Größe aus dem ersten ereich gehört eine Größe aus dem zweiten ereich. Solche Zuordnungen werden durch einen Pfeil bezeichnet. eispiel: Gewicht Preis Zeit Temperatur lter Körpergröße Zuordnungen werden in Tabellen, in Schaubildern oder in Pfeilbildern dargestellt. Manchmal werden sie auch durch eine Rechenvorschrift beschrieben. Proportionale Zuordnungen Zuordnungen, bei denen sich die eine Größe verdoppelt (halbiert), verdreifacht (drittelt) usw. wenn sich die andere Größe auch verdoppelt (halbiert), verdreifacht (drittelt), usw. nennt man proportionale Zuordnungen. sp.: kg Äpfel kostet e, dann kosten kg Äpfel 4 e und kg kosten 6 e, usw.. Masse (kg) Preis (Euro) 4 6 : Masse (kg) Preis (Euro) : : 0,67 Graph einer proportionalen Zuordnungen Die Wertepaare einer Zuordnung kann man als Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen. ei einer proportionalen Zuordnung liegen alle diese Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung (0 0). Um den Graph zu zeichnen benötigst du nur ein Wertepaar. Preis in Euro : Masse in kg

4 Umgekehrt proportionale Zuordnungen Wenn sich die eine Größe verdoppelt, verdreifacht, usw., die andere Größe aber halbiert, drittelt usw., handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Zuordnung. lle Punkte der umgekehrt proportionalen Zuordnung liegen auf einer Kurve, diese Kurve heißt Hyperbel. sp.: Gewinn pro Persin in Euro nzahl der Personen Gewinn pro Persin in Euro : : : 4 40 Dreisatz nzahl der Personen evor du mit dem Verfahren rechnest, musst du sicher sein, dass es sich um eine proportionale oder umgekehrt proportionale Zuordnung handelt. Man geht in Schritten vor:. Ein gegebenes Wertepaar aufschreiben.. Zwischenwert berechnen.. Gesuchten Wert berechnen. sp.: Proportionale Zuordnung: Umgekehrt proportionale Zuordnung Masse (kg) Preis (Euro) 4 : : 6 nzahl der Personen Gewinn pro Persin in Euro : :4 4 40

5 Geometrie ezeichnung von Dreiecken c b β a Punkte: Die drei Punkt eines Dreiecks werden mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet. Seiten: Seiten werden mit kleinen uchstaben bezeichnet. Die Seite a liegt dem Punkt gegenüber usw.. Winkel: Die Winkel werden nach dem Scheitelpunkt gekennzeichnet:, β, Winkelsumme Dreieck β Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt 80 : + β + = 80 Dreiecksformen nach Winkeln drei spitze Winkel ein rechter Winkel ein stumpfer Winkel. β β spitzwinkliges Dreieck: lle Winkel sind kleiner als 90. rechtwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist 90 groß. stumpfwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist größer als 90. β

6 Dreiecksformen nach Seitenlänge asis b gleichschenklig a=c Schenkel a c β Schenkel asiswinkel: = b gleichseitig a=b=c c = β = gleichschenkliges Dreieck: Zwei Seiten sind gleich lang. Diese Seiten heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt asis. Die asiswinkel sind gleich groß gleichseitiges Dreieck: lle drei Seiten sind gleich lang. ei einem gleichseitigen Dreieck sind auch alle drei Winkel gleich groß. Jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenklig. a β

7 Kongruenzsatz SSS Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich) wenn sie in allen Seiten übereinstimmen. Planfigur b a c β Konstruktionsbeschreibung eispiel: gegeben: a=4cm, b=5cm, c=,5cm Konstruiere. die Seite c. den Kreis um mit dem Radius b=5cm. den Kreis um mit dem Radius a=4cm 4. den Schnittpunkt der Kreise, das ist der Punkt. Kongruenzsatz SWS Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Planfigur b a c β Konstruktionsbeschreibung eispiel: gegeben: a=4cm, b=5cm, = 70 Konstruiere. die Seite b mit den Punkten und. den Winkel. den Kreis um mit dem Radius a=4cm und erhalte. 4. die Seite c.

8 Kongruenzsatz WSW Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in einer Seite und den anliegenden Winkeln übereinstimmen. Planfigur b a c β Konstruktionsbeschreibung eispiel: gegeben: b=5cm, = 40, = 70 Konstruiere. die Seite b mit den Punkten und. den Winkel. den Winkel. den Schnittpunkt der beiden Schenkel, das ist der Punkt. Kongruenzsatz SSW Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen. Planfigur b a c β Konstruktionsbeschreibung eispiel: gegeben: c=5cm, b=7cm, β = 00 Konstruiere. die Seite c mit den Punkten und. den Winkel β. den Kreis um mit dem Radius b=7cm. den Schnittpunkt des Kreises mit dem freien Schenkel, das ist der Punkt.

9 4 Prozentrechnung Prozent-ruch-Dezimalbruch nteile können als ruch, Dezimalbruch oder Prozent geschrieben werden. Das Wort Prozent stammt vom italienischen per cento und kann mit von hundert übersetzt werden. 75% bedeutet also , 5 =,5 00 =, 5% Jeder Prozentsatz ist also ein ruchteil mit dem Nenner 00. 8% = 8 00 = 0, 08 Lerne auswendig! = 50% 4 = 5% 4 = 75% 5 = 0% 0 = 5% 8 =, 5% 0 = 0% =, % 00 = % 5 = 4% Der Prozentsatz ist gesucht Wieviel Prozent sind von 40? nteile können als ruch geschrieben werden: (siehe Karteikarte Prozent-ruch-Dezimalbruch) von 40 = 40 = 0, = 0% von 40 sind also 0% Der nteil (Prozentwert (W)) ist gesucht Wieviel sind 7% von 650m? Der nteil wird mit dem Dreisatzschema berechnet: 00% 650m % % = 45, 5m 7% von 650m sind 45,5m.

10 Das Ganze (Grundwert (G)) ist gesucht. 4kg sind 7% von? Das Ganze wird mit dem Dreisatzschema berechnet: 7% 4kg % % = 6 00 = 600kg 4kg sind 7% von 600kg.

11 egriffe/formel zur Prozentrechnung Das Ganze wird Grundwert (G) genannt. Der nteil vom Grundwert ist der Prozentwert (W). p ist die Prozentzahl. Den Prozentwert (W) berechnet man mit der Formel: W = G p 00 eispiel: Eine Hose kostete 80 e bevor sie um 5% ermäßigt wurde. G= 80, p=5, W=? W = W= Die Hose wurde um e ermäßigt und kostet jetzt noch 68 e. Wenn der Grundwert (G) oder die Prozentzahl (p) gesucht ist, setzt man alle gegebenen Werte in die Formel ein und löst die Gleichung auf. eispiele zur Prozentrechnung mit Formeln G gesucht: Michel bekam bei der Schülersprecherwahl 78 Stimmen, das waren 5% der abgegebenen Stimmen. G=?, p= 5, W=78 G 5 78 = = G 5 :5 :5 50 = G Es wurden 50 Stimmen abgegeben. p gesucht: Michaela bekam bei der Schülersprecherwahl 8 Stimmen. Es wurden 50 Stimmen abgegeben. G= 50, p=?, W= 8 50 p 8 = = 50 p :50 :50 5 = p Michaela bekam 5% der abgegebenen Stimmen.

12 5 Zinsrechnung egriffe/formel zur Zinsrechnung Die Zinsrechnung ist eine nwendung der Prozentrechnung. Während man die Prozentrechnung für alle beliebige Größen benutzt, geht es bei der Zinsrechnung immer um Geldbeträge, für die man Zinsen bekommt. Deshalb nutzt man andere egriffe: Prozentrechnung Zinsrechnung Grundwert (G) Kapital (K) Die Zinsen für ein Jahr berechnet Prozentzahl (p) Zinssatz (p) man mit der Formel: Prozentwert (W) Zinsen (Z) Z = K p 00 eispiel: Heinz legt für Jahr 500 e bei einem Zinssatz von,5 % an. K= 500, p=,5, Z=? Z = 500,5 00 Z=,5 e Hans bekommt,50 e Zinsen, insgesamt hat er nach einem Jahr 5,50 e. eispiele zur Zinsrechnung (K oder p gesucht) K gesucht: Michel bekommt nach einem Jahr 6,80 e Zinsen. Der Zinssatz beträgt,% K=?, p=,, Z=6,80 6,8 = K, = K, :, :, 55 = K Michel hat vor einem Jahr 55 e angelegt. p gesucht: Michaela hat 80 e angelegt. Nach einem Jahr hat sie 84,76 e. K= 80, p=?, Z= 4,76 80 p 4,76 = = 80 p :80 :80,8 = p Der Zinssatz beträgt,8%.

13 6 Terme und Gleichungen Terme und Variablen erechnungen kann man allgemein als Term aufschreiben. nstelle von Zahlen schreibt man dabei uchstaben. Diese uchstaben nennt man Variablen. Variablen sind Platzhalter für Zahlen. eispiel: Umfang eines Rechtecks Term: a + b Variablen: a steht für die Länge; b steht für die reite. Werte von Termen Wenn man für die Variablen Zahlen einsetzt, kann man den Wert des Terms berechnen. eispiel: a + b Setzt man für a=7 und b= ein, ergibt sich: 7 + = 0 Für a=7 und b= ist der Wert des Terms also 0. Gleichungen lösen I Du kennst schon seit der Grundschule Rechenterme mit Platzhaltern wie 7 + =. Gesucht wird die Zahl, die man einsetzen muss, damit die Gleichung wahr wird. Statt des Platzhalters nimmt man uchstaben (x;y;...). Sie heißen Variablen. Um sich ein mühsames Probieren zu ersparen, formt man die Gleichung so um, dass ihre Lösung die gleiche bleibt. Dabei gilt die Regel, dass man auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche rechnen muss. Du darfst auf beiden Seiten eine gleiche Zahl addieren x 4 = 5 +4 x 4 +4 = x = 9 eine gleiche Zahl subtrahieren 7 x+7 = x+7 7 = 7 x = 6 7 mit einer gleichen Zahl multiplizieren durch eine gleiche Zahl dividieren x = 6 x = 8 x = 6 : : x : = 8 : x = x = 6 eachte: x soll in der letzten Zeile alleine auf einer Seite stehen!

14 Gleichungen lösen II Häufig sind mehrere Schritte nötig, um eine Gleichung zu lösen. sp.: x + 5 = ls erstes musst du auf beiden Seiten addieren/subtrahieren (Strichrechnung): x + 5 = 5 x = 8 ls nächstes musst du auf beiden Seiten multiplizieren/dividieren (Punktrechnung): x = 8 : ( ) x = 6 Manchmal musst du auch auf beiden Seiten addieren/subtrahieren. sp.: x 7 = 7x x = 7x + 5 7x 5x = 5 : ( 5) x = Gleichungen lösen III ei längeren Gleichungen musst du zuerst die Gleichung vereinfachen. Dazu fasst du auf beiden Seiten Terme zusammen. 5x + 4x = 8x x + 0 Zusammenfassen 9x = 5x 5x addieren/subtrahieren 6x = + 6x = + : ( 6) dividieren/multiplizieren x =

15 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeiten Wenn bei einem Zufallsversuch alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, kann man die Wahrscheinlichkeit wie folgt bestimmen: Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses = nzahl aller Ergebnisse sp.: eim Wurf eines Würfels gibt es 6 Ergebnisse, nämlich die Zahlen von bis 6. lle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. lso ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl 6 Ereignisse ei einem Zufallsversuch führen häufig mehrere Ergebnisse zum Erfolg. lle Ergebnisse, die zum Erfolg führen heißen günstige Ergebnisse. Ein Ereignis besteht aus mehreren günstigen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnet man wie folgt: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = nzahl der guenstigen Ergebnisse nzahl der moeglichen Ergebnisse sp.:mit einem Würfel soll eine gerade Zahl gewürfelt werden. günstige Ergebnisse:, 4 und 6, also gibt es drei günstige Ergebnisse nzahl aller Ergebnisse: 6 (nämlich die Zahlen bis 6) Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl = 6 = Zweistufige Zufallsversuche g g g r b b r r r r r b g r b g r b g r b g. Zug. Zug Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich bei zweistufigen Zufallsversuchen mit einem aumdiagramm ermitteln. Produktregel Man berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert. sp.: P(b, r) = = 00 0 = 0, 0 = 0% Summenregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. sp.: P(zwei gleiche Kugeln) = P(r, r) + P(b, b) + P(g, g) = = 00 8 = 0, 8 = 8%