Nichtlineare Widerstände

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1 Nichtlineare Widerstände 2.Übung am 31 März 2006 Methoden der Physik 2 SS2006 Prof. Wladyslaw Szymanski Tobias Krieger Elisabeth Seibold Nathalie Tassotti

2 1. Bestimmung des Innenwiderstands einer Spannungsquellen Eine ideale Spannungsquelle hat einen Innenwiderstand von Null Ohm. Der Stromfluss einer idealen Spannungsquelle ist unabhängig vom Stromfluss I aus zum angeschlossenen Verbraucher. Es zeigt sich jedoch dass reelle Spannungsquellen wie Batterien einen Innenwiderstand R I besitzen. Dieser bildet sich bei Primärelementen hauptsächlich aus dem Zustand des Elektrolyten (chemisch-galvanische Widerstände). Nimmt die Konzentration im Laufe der Betriebsdauer ab, das heißt bei zunehmender Entladung, wird der Innenwiderstand größer und der zu entnehmende maximale Spannungswert kleiner. Dieser Innenwiderstand begrenzt auch den maximalen Kurzschlussstrom. Der Strom ergibt sich laut ohmschen Gesetzes durch I Kurz = U quelle Ri was wiederum bedeutet, dass wenn R i gegen Null geht, der Strom gegen Unendlich steigt. Zum Glück passiert dass äußerst selten. Wir können uns eine Batterie als eine Serienschaltung von idealen Spannungsquellen mit einem Widerstand vorstellen. Wird nun die Batterie über einen geschlossen Stromkreis durch eine Last (Verbraucher, Widerstand) belastet, so fließt ein Strom I L. Der Lastwiderstand bekommt nicht die volle Quellenspannung geliefert, da bereits ein Teil am Innenwiderstand der Batterie abfällt. Es ergibt sich daraus dass die Klemmspannung an einer Spannungsquelle sich folgendermaßen zusammensetzt U Klemme = U Quelle! U Abfall _ Ri Der innere Spannungsabfall U Abfall_Ri ergibt sich wieder aus dem ohmschen Gesetz U Abfall _ Ri = I L R i und daraus ergibt sich das die Klemmspannung gleich U Klemme = U Quelle! U Abfall _ Ri = U Quelle! I L R i ist. Daraus können wir folgern, dass die Klemmspannung an der eine beliebige Last liegt, mit steigendem Strom zurückgeht. Ist der Strom sehr hoch, so bricht die Klemmspannung zusammen. Liegt an der Spannungsquelle keine Last an, bzw. ist der Lastwiderstand (beinahe) unendlich hoch, so bezeichnet man die Quellspannung auch als Leerlaufspannung. Ein

3 gutes Voltmeter besitzt einen sehr hohen Widerstand, so dass fast kein Strom fließt. Wir können die dann gemessene Spannung als Leerlaufspannung annehmen. Laut der Maschenregel von Kirchhoff gilt dass in einem geschlossen Stromkreis entlang einer Masche, die Summe der Spannungen gleich Null ist. 1.1 Versuchsaufbau I last R innen + I last R last! U leer = 0 Wie wollen den Innenwiderstand einer Spannungsquelle, in unserem Fall einer Batterie, bestimmen. Bei unserem Versuch stehen uns eine Batterie, zwei Multimeter und ein veränderbarer Lastwiderstand zur Verfügung. Das eine Multimeter wird als Amperemeter in Serie in den Stromkreis geschalten, das zweite Multimeter wird als Voltmeter parallel zur Spannungsquelle und zum Lastwiderstand gehängt. Über das Amperemeter wird der jeweilige Laststrom gemessen, das Voltmeter gibt uns die aktuelle Klemmspannung wieder. In einer Reihe von Messungen (25 Wertepaare) messen wir bei verschieden Lastwiderständen die Klemmspannung und den Laststrom. Am Anfang und Ende der Messung messen wir zusätzlich die Quellspannung. Die Batterie wird im Laufe des Versuches belastet, wodurch die Quellspannung im Laufe der Messreihe sinkt. Der Versuch beginnt mit dem höchsten Widerstandswert des Lastwiderstandes und wird kontinuierlich verringert. Zu Anfang fließt ein entsprechend kleiner Strom (bei einer hohen Klemmspannung) der bei sinkendem Widerstand entsprechend ansteigt (bei zurückgehender Klemmspannung). Anhand der dadurch ermittelten Wertetabelle wird der Innenwiderstand bei unterschiedlichen Belastungen ermittelt. Die Daten werden außerdem grafisch ausgewertet. U q_anfang = 8,48 Volt U q_ende = 7,92 Volt R L_max = 119,9 Ohm R l_min = < 1 Ohm

4 1.2 Messergebnisse - Innenwiderstand Batterie Messung UK[V] I[A] 1 8,39 0,04 2 8,37 0,05 3 8,36 0,06 4 8,34 0,07 5 8,33 0,08 6 8,31 0,09 7 8,29 0,11 8 8,27 0,12 9 8,23 0, ,21 0, ,20 0, ,18 0, ,16 0, ,10 0, ,04 0, ,01 0, ,96 0, ,91 0, ,83 0, ,69 0, ,50 0, ,78 1, ,30 1, ,61 2, ,53 2,76 Anhand der Gegenüberstellung von Klemmspannung und Strom können wir bereits erkennen, dass sich Strom und Spannung am Schluss der Messung nicht linear ändern. Eine grafische Auswertung weist eine entsprechende stark abfallende bzw. ansteigende Kurve auf. Wir gehen bei unserem Versuch davon aus, dass der verstellbare Lastwiderstand linear vom maximalen bis zum minimalen Wert einstellbar ist.

5 1.3 Messauswertung Anhand der Daten der Messreihe lässt sich mit Hilfe des ohmschen Gesetzes leicht der Gesamtwiderstand des Stromkreises ermitteln: Es ergeben sich folgende Werte: R g = U K I l UK[V] I[A] RG[Ohm] 8,39 0,04 209,75 8,37 0,05 167,40 8,36 0,06 139,33 8,34 0,07 119,14 8,33 0,08 104,13 8,31 0,09 92,33 8,29 0,11 75,36 8,27 0,12 68,92 8,23 0,14 58,79 8,21 0,15 54,73 8,20 0,16 51,25 8,18 0,17 48,12 8,16 0,18 45,33 8,10 0,23 35,22 8,04 0,26 30,92 8,01 0,27 29,67 7,96 0,30 26,53 7,91 0,33 23,97 7,83 0,40 19,58 7,69 0,51 15,08 7,50 0,65 11,54 6,78 1,29 5,26 6,30 1,69 3,73 4,61 2,09 2,21 4,53 2,76 1,64 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 Widerstand 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 Gesamtwiderstand 0, U-R-I Messung 0, Messung 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 UK[V] I[A] RG[Ohm] Der Gesamtwiderstand fällt leicht exponentiell ab. Dies entspricht dem Verlauf von Strom und Spannung.

6 Zur Berechnung des Innenwiderstands der Batterie nehmen wir den Mittelwert der gemessenen Quellspannungen. daraus folgt das die mittlere Spannung U qm = U a + U e 2 U qm = 8,48 + 7,92 2 = 8,2V ist. Wir verwenden zur Bestimmung des Innenwiderstandes die bereits oben gezeigte Formel U Klemme = U Quelle! U Abfall _ Ri = U Quelle! I L R i! R i = U k " U qm "I l UK[V] I[A] Ri[Ohm] 8,39 0,04 4,75 8,37 0,05 3,40 8,36 0,06 2,67 8,34 0,07 2,00 8,33 0,08 1,63 8,31 0,09 1,22 8,29 0,11 0,82 8,27 0,12 0,58 8,23 0,14 0,21 8,21 0,15 0,07 8,20 0,16 0,00 8,18 0,17 0,12 8,16 0,18 0,22 8,10 0,23 0,43 8,04 0,26 0,62 8,01 0,27 0,70 7,96 0,30 0,80 7,91 0,33 0,88 7,83 0,40 0,92 7,69 0,51 1,00 7,50 0,65 1,08 6,78 1,29 1,10 6,30 1,69 1,12 4,61 2,09 1,72 4,53 2,76 1,33 Innenwiderstand Ri 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 Verlauf Innenwiderstand

7 Wir gehen bei dieser Messreihe von einem festen U qm = 8,2 V aus. Die reelle Quellspannung ändert sich jedoch mit jeder Messung. Der Mittelwert unseres Innenwiderstandes beträgt R im = 1,18 Ohm. Daraus können wir eine Standartabweichung σ von 1,068 Ohm bestimmen. Nehmen wir zur Berechnung des Innenwiderstands nur den letzten Wert, da hier der kleinste Lastwiderstand (<1 Ohm) verwendet wurde, ergibt sich ein Innenwiderstand in Höhe von R i = 1,5 Ohm. Wie bereits festgestellt, nimmt die Quellspannung im Verlaufe des Versuches ab. Berücksichtigen wir diesen Rückgang (anhand einer Exponentialfunktion) zeigt sich folgendes Bild vom Innenwiderstand. UK[V] I[A] Uq[V] Ri[Ohm] 8,39 0,04 8,48 2,25 8,37 0,05 8,48 2,12 8,36 0,06 8,47 1,87 8,34 0,07 8,47 1,84 8,33 0,08 8,46 1,68 8,31 0,09 8,44 1,50 8,29 0,11 8,42 1,22 8,27 0,12 8,40 1,12 8,23 0,14 8,38 1,09 8,21 0,15 8,36 1,01 8,20 0,16 8,34 0,88 8,18 0,17 8,32 0,82 8,16 0,18 8,30 0,76 8,10 0,23 8,28 0,76 8,04 0,26 8,25 0,82 8,01 0,27 8,23 0,82 7,96 0,30 8,20 0,79 7,91 0,33 8,17 0,78 7,83 0,40 8,13 0,76 7,69 0,51 8,10 0,80 7,50 0,65 8,07 0,87 6,78 1,29 8,03 0,97 6,30 1,69 8,00 1,00 4,61 2,09 7,96 1,60 4,53 2,76 7,92 1,23 Nehmen wir die abnehmende Quellspannung als Basis zur Berechnung des Innenwiderstandes der Batterie ergibt sich für den Mittelwert R im =1,18 Ohm. Die Standartabweichung beträgt jetzt nur mehr σ = 0,46 Ohm.

8 1.4 Diskussion - Innenwiderstand einer Batterie Wir sehen bei all unseren Diagrammen dass es bei Messung 24 einen deutlichen Ausreißer nach oben gibt. Wir nehmen an, dass dieser Ausreißer aufgrund eines schlechten Kontaktes im verstellbaren Lastwiderstand zustande kam. Dieser schlechte Kontakt bewirkte höchstwahrscheinlich eine Überbrückung des Widerstandes wodurch die Batterie tatsächlich kurzzeitig kurzgeschlossen war. Ideal wäre ein Vertauschen der Messergebnisse 24 und 25. Einen wesentlichen Einfluss auf unsere Messwerte hat sicherlich die Tatsache, dass wir an diesem Tag die letzte Versuchsgruppe mit der gleichen Spannungsquelle waren. Diese war am Ende des Tages schon einigermaßen belastet, wodurch keine schönen Kennlinien erzielbar waren. Der Kurvenverlauf unseres Innenwiderstandes liegt der Gegebenheit zugrunde, dass wir es ja nicht mit einer idealen Spannungsquelle zu tun haben, sondern mit einer reellen Batterie. Nimmt zu Anfang bis ca. Messung 14 der Innenwiderstand relativ schön linear ab, steigt er dann wieder kontinuierlich an. Je entleerter die Batterie wird, desto höher wird der Innenwiderstand. Auch haben wir einen relativ hohen Innenwiderstand von ca. 1,2 Ohm. Auch das lässt sich aufgrund des bereits verbrauchten Zustandes der Batterie zum Zeitpunkt der Messung erklären. Der Innenwiderstand einer Batterie steigt mit dem Ausgleich der Ladungen. Er hat keinen linearen Verlauf.

9 2 Bestimmung des Innenwiderstandes einer Glühlampe Alle Formeln die wir zur Festlegen des Innenwiderstandes benötigen, wurden in verwandter Form bereits im Kapitel 1 Innenwiderstand von Spannungsquellen näher besprochen. Eine Glühlampe gehört bei elektrischen Bauteilen in die Gruppe der Verbraucher und stellt einen Widerstand dar, bei dem der fließende Strom in Wärme umgewandelt wird und über Wärmestrahlung indirekt Licht in unseren Alltag bringt. In ihr wird ein dünner Draht aus einer Legierung von Wolfram mit Osmium vom Strom zum Weißglühen gebracht. Damit der Draht nicht verbrennt, befindet er sich in einem Glaskolben, aus dem die Luft mit ihrem Sauerstoff entfernt würde und der dafür mit Stickstoff, Argon oder Krypton gefüllt ist. Da die Lichtausbeute mit zunehmender Temperatur ansteigt, hat man den Draht zur Verminderung des Wärmeverlustes gewendelt. Auch die Füllung mit den teuren Edelgasen dient demselben Zweck, da sie, besonders Krypton, eine sehr kleine Wärmeleitfähigkeit besitzen. Der Glühfaden in der Lampe setzt dem Strom einen gewissen Widerstand entgegen, deshalb wird er auch als Widerstand bezeichnet. Es gibt verschiedenartige Widerstände. Lineare- und Nichtlineare Widerstände. Lineare Widerstände kennzeichnen sich dadurch, dass ihr Widerstandswert immer konstant bleibt (temperaturunabhängig). Nichtlineare Widerstände ändern ihren Widerstandswert bei Einfluss verschiedener physikalischer Größen. Bei PTC (Positiver Temperatur Coeffizient) nimmt der Widerstand bei steigender Temperatur zu. Man nennt ihn deshalb auch Kaltleiter. Je höher die Temperatur eines Stoffes, desto heftiger bewegen sich die Moleküle. Für die Elektronen, die zur Leitfähigkeit beitragen, ist es schwieriger durchzukommen. Zu den Kaltleitern gehören alle Metalle, also auch der Wolframfaden aus unserer Glühlampe. 2.1 Versuchsaufbau Eine Batterie wird in Serie mit einem verstellbaren Lastwiderstand und einer Glühlampe geschalten. Zur Messung von Strom und Spannung kommen zwei Multimeter zum Einsatz. Das eine ist als Voltmeter geschalten und parallel zur Spannungsquelle und damit zur Glühlampe geschalten, dass andere dient als Amperemeter und ist in Serie in den Stromkreis gehängt. Die Stärke des fließenden Stromes und die anliegende Spannung werden bei verändertem Lastwiderstand aufgezeichnet. Mit Hilfe des ohmschen Gesetzes wird der Widerstand der Glühlampe berechnet. Dabei wird der Innenwiderstand der Batterie vernachlässigt. Der Lastwiderstand ist am Beginn der Messung auf den höchsten Widerstandswert gestellt

10 und wird im Laufe der Messung kontinuierlich herab gesetzt. Wir erwarten, dass sobald der Widerstand des Lastwiderstandes klein genug ist, der Glühfaden anfängt zu glühen. Je wärmer die Lampe wird, desto stärker wird der Innenwiderstand ansteigen. U q_anfang =11,45V U q_ende =10,15V R l_max =14,7 Ohm; R l_min =2,2 Ohm 2.2 Messwerte Innenwiderstand einer Glühlampe Messung UK[V] I[A] 1 0,07 0,46 2 0,07 0,49 3 0,08 0,56 4 0,09 0,61 5 0,10 0,67 6 0,11 0,71 7 0,12 0,76 8 0,13 0,82 9 0,14 0, ,15 0, ,17 1, ,19 1, ,20 1, ,24 1, ,28 1, ,31 1, ,37 1, ,42 1, ,54 1, ,00 2, ,52 2, ,84 2, ,93 2, ,62 3, ,13 3,53

11 2.3 Messauswertung Durch laufendes herabsetzen des Lastwiderstandes steigt die Klemmspannung immer weiter an. Gleichzeitig kann ein höherer Strom fließen. Die Glühwendel wird erwärmt und beginnt zu leuchten. Durch den Temperaturanstieg steigt aber auch der Widerstandswert des Fadens. Den Innenwiderstand der Glühlampe berechnen wir mit dem ohmschen Gesetz. UK[V] I[A] RG[Ohm] 0,07 0,46 0,14 0,07 0,49 0,14 0,08 0,56 0,15 0,09 0,61 0,15 0,10 0,67 0,15 0,11 0,71 0,15 0,12 0,76 0,15 0,13 0,82 0,16 0,14 0,91 0,16 0,15 0,95 0,16 0,17 1,02 0,16 0,19 1,12 0,17 0,20 1,16 0,17 0,24 1,13 0,22 0,28 1,39 0,20 0,31 1,46 0,21 0,37 1,55 0,24 0,42 1,65 0,26 0,54 1,79 0,30 1,00 2,14 0,47 1,52 2,51 0,60 1,84 2,73 0,67 1,93 2,80 0,69 2,62 3,23 0,81 3,13 3,53 0,89 Wir können schön sehen wie ab Messpunkt 19 die Widerstandskurve stark ansteigt. Ab Punkt 21 glüht der Glühdraht. Dies entspricht unseren Erwartungen in Bezug auf die Widerstandskurve eines Leiters mit positiven Temperaturkoeffizienten. Der Anstieg ist nicht linear.

12 2.4 Diskussion Innenwiderstand einer Glühlampe Leider war die Batterie die wir für unsere Messung verwendeten nicht mehr die frischeste, sonst hätten wir noch klarere Kennlinien erzeugen können. Doch auch so ist uns eine gute Reproduktion der Theorie in Praxis gelungen. Die Diagramme zeigen, dass es sich bei dieser Lampe um einen nichtlinearen Widerstand handelt. Die Kurve der Funktion I = f(u) der Glühlampe lässt einen PTC - Charakter erkennen. Wenn der Strom bei der Glühlampe steigt, dann steigt auch der Widerstand. Die Kurve verläuft nicht linear, sondern parabelförmig. Aufgrund der vorhergegangenen Belastung der Batterie kann diese leider keine dauernd gleiche Quellspannung abgeben. Dies kann bei starken Belastungen zu einem, wie schon im Kapitel 1.1 erwähnt, Zusammenbruch der Spannung bei hohen Strömen führen. 3. Fazit Bei allen Messungen des Innenwiderstandes gibt es natürlich den Messfehler. Obwohl die digitalen Messgeräte heutzutage sehr genau messen, gibt es einen kleinen Rundungsfehler. Trotz der guten Kalibrierung ist es oft schwer einen spezifischen Wert abzulesen, vor allem wenn die Anzeige in der zweiten Komastelle auf und ab springt. Trotzdem sind wir der Meinung, dass die entstandenen Messfehler kaum Einfluss auf unsere Ergebnisse haben. Die von uns erarbeiteten Kurven widerspiegeln die Theorie und sind sehr anschaulich. Auch die Ausreißer sind innerhalb der Toleranz (und bestätigen die Regel). Teilweise sollten vielleicht die einstellbaren Widerstände ausgetauscht werden da diese schon den ein- oder anderen Wackelkontakt haben.