Theorie zufälliger Matrizen

Transkript

1 Theorie zufälliger Matrizen Susanna Röblitz (geb. Kube) Disputationsvortrag Berlin, 17. Dezember 2008

2 1,000,000 $ Kernphysik Multivariate Statistik /29 Susanna Röblitz

3 1,000,000 $ Kernphysik Zufallsmatrizen Multivariate Statistik /29 Susanna Röblitz

4 Zufallsmatrix Zufallsmatrix: Einträge sind Zufallsvariablen gegeben Verteilung der Matrix A gesucht Verteilung von f (A) (z.b. Eigenwerte, Eigenvektoren) für N /29 Susanna Röblitz

5 Kernphysik Schrödinger-Gleichung ı t ψ = Hψ Atomkern (Neutronenwechselwirkung): H oft unbekannt oder zu komplex H H zufällige hermitesche Matrix Hypothese: Die charakteristischen Energien eines chaotischen Systems verhalten sich lokal wie die Eigenwerte einer Zufallsmatrix. [E.P. Wigner(1951), C.E. Porter, N. Rosenzweig (1960), F. Dyson (1962)] /29 Susanna Röblitz

6 Multivariate Statistik A = [x 1,..., x n ] Stichprobe aus X N m (µ, Σ) empirische Kovarianz-Matrix S = 1 n 1 n (x i x)(x i x), x = 1 n i=1 n i=1 x i (n 1)S = ZZ W m (n 1, Σ) [J. Wishart (1928)] Anwendungsbeispiel: Hauptkomponentenanalyse Eigenwertverteilung? /29 Susanna Röblitz

7 Ein Milleniumproblem (1,000,000 $) Riemannsche Zeta-Funktion Im ζ(s) = n=1 1 n s = p prim 1 1 1/p s Re s C, R(s) > 1 Nullstellen geben Auskunft über Verteilung der Primzahlen! Riemannsche Vermutung (1859, Hilbert 1900): Nullstellen im kritischen Streifen liegen auf Geraden {s R(s) = 1/2} Hilbert-Pólya-Vermutung: Die Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion entsprechen den Eigenwerten des Operators 1 + ıt, T hermitesch 2 1/ /29 Susanna Röblitz

8 Numerische Verifizierung Wahrscheinlichkeitsdichte der Abstände der Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion (30000 Nullstellen, n 10 12, 10 21, ) 1 Wahrscheinlichkeit normalisierte Abstände http// tables/index.html /29 Susanna Röblitz

9 Weitere Anwendungen lineare Gleichungssysteme zufällige Graphen Datenkomprimierung (compressed sensing) Quantenfeldtheorie /29 Susanna Röblitz

10 1. Welche Zufallsmatrizen gibt es? 2. Was möchte man darüber wissen? 3. Wie bekommt man diese Informationen? /29 Susanna Röblitz

11 Ensemble von Zufallsmatrizen Hermite Laguerre Jacobi (Gauß) (Wishart) (MANOVA) H = (A + A )/2 W = A A J = A/(A + B) A G β (n, n) A G β (m, n) A W β (m 1, n) B W β (m 2, n) /29 Susanna Röblitz

12 Fragestellung Abstände benachbarter Eigenwerte Abstand zwischen k Eigenwerten mittlere Anzahl von Eigenwerten in einem fixen Intervall Verteilung des größten/kleinsten Eigenwertes... Wie kann man diese Statistiken bestimmen? /29 Susanna Röblitz

13 Monte-Carlo-Verfahren 1. Matrixverteilung wählen 2. Stichprobe ziehen (N N Matrix A generieren) 3. Eigenwert berechnen 4. Statistik aufstellen Problem: sehr zeitaufwändig für große N Ziel: effiziente Berechnung /29 Susanna Röblitz

14 Der klügere Weg Drei Schritte zum Erfolg 1. dünn besetztes Matrixmodell 2. Skalierung der Matrix 3. Vernachlässigen kleiner Einträge (cutoff) Werkzeugkasten numerische lineare Algebra orthogonale Polynome Differentialoperatoren /29 Susanna Röblitz

15 Das Hermite-Ensemble Hermite-Ensemble = Gaußsches Ensemble H β = (A + A )/2, A G β (n, n) Name β Eigenschaft Invarianz orthogonal (GOE) 1 (R) symmetrisch A Q AQ unitär (GUE) 2 (C) hermitesch A U H AU symplektisch (GSE) 4 (H) selbst-dual A S D AS z.b. GUE: A=randn(N)+i*randn(N); H=(A+A )/2; /29 Susanna Röblitz

16 Tridiagonales Matrixmodell [Trotter (1984), Dimitriu, Edelman (2002)] Eine beliebige N N Matrix A β N aus dem β-hermite-ensemble ist orthogonal ähnlich zu 2G χ(n 1)β H β N 1 χ (N 1)β 2G χ(n 2)β , β > 0 2β χ 2β 2G χβ χ β 2G Es gibt kein vollbesetztes Matrixmodell für β 1, 2, 4, jedoch ein tridiagonales Modell für beliebige β > 0! Eigenwerte bleiben erhalten! /29 Susanna Röblitz

17 β χ r r G [B. Sutton (2005)] H β N β H N = N 1 N 1 0 N Das Modell ist deterministisch! Frage: Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix? H N = QΛQ /29 Susanna Röblitz

18 Orthogonale Polynome Hermitesches Polynom: Hermitesche Funktion: Drei-Term-Rekursion: xψ H n (x) = π H m(x)π H n (x)e x2 dx = δ mn ψ H n (x) = π H n (x)e x2 /2 n n ψh n 1(x) + 2 ψh n+1(x) /29 Susanna Röblitz

19 Drei-Term-Rekursion Matrixschreibweise: N N + 1 xψ H N (x) = 2 ψh N 1 (x) + ψn+1 H 2 (x) diag(x 1,..., x N ) [Ψ H j 1(x i )] i,j=1,...,n = [Ψ H j 1(x i )] i=1,...,n;j=1,...,n+1 T T = N 2 0 N 1 N 1 0 N /29 Susanna Röblitz

20 Drei-Term-Rekursion Seien z 1,..., z N die Nullstellen von π H N. diag(z 1,..., z N )[Ψ H j 1(z i )] i,j=1,...,n = [Ψ H j 1(z i )] i,j=1,...,n FH N F F = HN = QΛQ, Λ = diag(z 1,..., z N ), Q ij = ΨH N i (z j) KN 1 H (z j, z j ) Eigenwerte von H N = Nullstellen des Hermite-Polynoms πh N /29 Susanna Röblitz

21 Die Airy-Funktion Problem: Nullstellen sind unbeschränkt für N Airy-Funktion: Ai(x) = 1 π Nullstellen 0 > ξ 1 > ξ 2... [Szegö (1939)] 0 ( ) t 3 cos 3 + xt dt y Ai(x) x z N,k 2N 1 2 N 1/6 ξ k, z N,N+1 k 2N N 1/6 ξ k Um einen Grenzwert bilden zu können, muss man shiften und skalieren /29 Susanna Röblitz

22 Der Airy-Operator Setze h = N 1/3, H N H N = 2N 1/6 (H N 2NI N ) x k = hk (k = 1,..., N): ist Finite-Differenzen-Approximation an den Airy-Operator A = d 2 x auf [0, ), dx 2 Eigenwertzerlegung: RB: f (0) = 0, lim f (x) = 0 x A [Ai(x + ξ k )] = ξ k [Ai(x + ξ k )], 0 > ξ 1 > ξ 2 >... NST von Ai Die Eigenvektoren von H N sind diskretisierte Airy-Funktionen: H N v i = λ i v i, λ i = ξ i, v i (k) = Ai(x k + ξ i ), x k = kh (k = 1,..., N) /29 Susanna Röblitz

23 Cutoff Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 = ξ v 1 (k) = Ai(x k + ξ 1 ), x k = kh (k = 1,..., N) Ai(x+ξ 1 ) cutoff: Bestimme den Index k, so dass x v(i) < ε i > k Ai(x i + ξ 1 ) < ε i > k wähle ε = 2 52 : hk = x k < 16 k < 16/h = 16N 1/ /29 Susanna Röblitz

24 β < H β N H N β 2G G G 2G G G 2G G G 2G, β > 0 H β N = 2N 1/6 (H β N 2NI N ) ist Finite-Differenzen-Approximation an den stochastischen Airy-Operator A β = d 2 dx 2 x + 2 β dw auf [0, ), RB: f (0) = 0, lim x f (x) = 0 Behauptung: Die Verteilung des größten Eigenwertes von A β entspricht der Verteilung des größten Eigenwertes von H β N /29 Susanna Röblitz

25 Numerische Verifizierung Histogramme der Wahrscheinlichkeitsdichten des skalierten größten Eigenwertes (10 5 Wiederholungen, N = 10 9 ) β=1 β=2 β=4 Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit /29 Susanna Röblitz

26 Effizienz Berechnung des größten Eigenwertes (1 Durchlauf) Laufzeit in Sekunden (1 CPU, Opteron Prozessor, 2.2 MHz) Komplexität N = 10 4 N = 10 6 N = 10 9 N = vollbesetzt O(N 3 ) 180 (*) tridiagonal O(N) cutoff O(N 1/3 ) (*) out of memory /29 Susanna Röblitz

27 Zusammenfassung tridiagonales Matrixmodell Verallgemeinerung des Ensembles auf β > 0 Grenzwert N nur bei geeigneter Skalierung der Matrix Finite-Differenzen-Approximation an stochastischen Operator offene Probleme analytische Resultate für das Laguerre- und Jacobi-Ensemble analytische Resultate für allgemeine β > 0 stochastische Operatoren als möglicher neuer Zugang zur Riemannschen Vermutung /29 Susanna Röblitz

28 Literatur Einführung und Überblick: M. L. Mehta (2004), Random Matrices, Elsevier, Amsterdam. R. J. Muirhead (1982), Aspects of Multivariate Statistical Theory, John Wiley & Sons, New York. A. Edelmann, N.R. Rao (2005), Random matrix theory, Acta Numerica, Stochastische Operatoren: I. Dimitriu, A. Edelmann (2002), Matrix models for beta ensembles, J. Math. Phys., 43(11), B.D. Sutton (2005), The Stochastic Operator Approach to Random Matrix Theory, PhD thesis, MIT. A. Edelmann, B.D. Sutton (2007), From Random Matrices to Stochastic Operators, J. Statist. Phys., 127(6), /29 Susanna Röblitz

29 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! /29 Susanna Röblitz