Tschebyscheff-Polynome

Transkript

1 Institut für Numerische Mathematik Martin-Luther-Universiät Halle-Wittenberg 23. November 2006

2 1 Anwendung Definition Rekursionsgleichung 2 Symmetrie Nullstellen Extremwerte Asymtotisches Verhalten 3 Verhalten lineare Approximation 4 Tiefpass

3 Anwendung Anwendung Definition Rekursionsgleichung 1 bei Tiefpass 2 gleichmäßige Approximation 3 optimale Stützstellenwahl bei Interpolation 4 Diffentialgleichungen 5 Algebra: Kommuativer Ring mit Einselement

4 Anwendung Definition Rekursionsgleichung Definition für Parameterdarstellung Ein Tschebyscheff-Polynom T n ist ein Polynom vom Grad n Definition 1 für x [ 1, 1] T n (x) = cos nξ, x = cos ξ 2 für x (, 1] T n (x) = cosh nξ, x = cosh ξ 3 für x [1, ) T n (x) = ( 1) n cosh nξ, x = cosh ξ

5 weitere Parameterdarstellung Anwendung Definition Rekursionsgleichung Darstellung des Cosinus bzw. hyperbolischen Cosinus mit Hilfe von z = exp(iξ) bzw. z = exp(ξ) T n (x) = zn +z n 2, x = z+z 1 2

6 weitere Parameterdarstellung Anwendung Definition Rekursionsgleichung Darstellung des Cosinus bzw. hyperbolischen Cosinus mit Hilfe von z = exp(iξ) bzw. z = exp(ξ) T n (x) = zn +z n 2, x = z+z 1 2

7 Rekursionsgleichung Anwendung Definition Rekursionsgleichung Man erkennt, dass T 0 (x) 1 und T 1 (x) = x gilt. Für n 2 gilt die folgende Rekusion: T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x) Die Polynome sehen dann wie folgt aus: T n (x) = 2 n 1 x n + p 1 x n 1 + p 2 x n p n, n 1

8 Rekursionsgleichung Anwendung Definition Rekursionsgleichung Man erkennt, dass T 0 (x) 1 und T 1 (x) = x gilt. Für n 2 gilt die folgende Rekusion: T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x) Die Polynome sehen dann wie folgt aus: T n (x) = 2 n 1 x n + p 1 x n 1 + p 2 x n p n, n 1

9 Rekursionsgleichung Anwendung Definition Rekursionsgleichung Man erkennt, dass T 0 (x) 1 und T 1 (x) = x gilt. Für n 2 gilt die folgende Rekusion: T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x) Die Polynome sehen dann wie folgt aus: T n (x) = 2 n 1 x n + p 1 x n 1 + p 2 x n p n, n 1

10 Symmetrie Symmetrie Nullstellen Extremwerte Asymtotisches Verhalten Satz 1 Sei T n (x) ein Tschebyscheff-Polynom vom Grad n, dann gilt: T n (x) = ( 1) n T n ( x) Für gerade n sind die T n symmetrisch und für ungeade n sind sie punktsymmetrisch zum Ursprung.

11 Nullstellen 1 Symmetrie Nullstellen Extremwerte Asymtotisches Verhalten Die NST von T n, n 1 sind reell einfach liegen im Intervall ( 1, 1) und sind durch gegeben. x ν = cos ξ ν mit ξ ν = ν 1 2 n π und ν {1, 2,..., n}

12 Nullstellen 1 Symmetrie Nullstellen Extremwerte Asymtotisches Verhalten Die NST von T n, n 1 sind reell einfach liegen im Intervall ( 1, 1) und sind durch gegeben. x ν = cos ξ ν mit ξ ν = ν 1 2 n π und ν {1, 2,..., n}

13 Nullstellen 2 Symmetrie Nullstellen Extremwerte Asymtotisches Verhalten Die Folge ξ 1, ξ 2,..., ξ n ist offenbar gemäß 0 < ξ 1 < ξ 2 <... < ξ n < π geordnet, so dass die NST x ν absteigend geordnet sind: 1 > x 1 > x 2 >... > x n > 1 Das die x ν die NST von T n sind folgt direkt aus der Definition und es sind alle NST, da ein Polynom vom Grad n maximal n NST haben kann.

14 Extremwerte Symmetrie Nullstellen Extremwerte Asymtotisches Verhalten Aus der Definition folgt, dass die T n, n 1 die Schranken -1 bzw. 1 genau n + 1 mal annehmen und zwar an den Stellen: x ν = cos x ν ξ ν mit x ν ξ ν = ν 1 n π und ν {1, 2,..., n, n + 1} T n ( x ν ) = ( 1) ν 1 mit ν {1, 2,..., n, n + 1} Da ein Polynom vom Grad n maximal n 1 Extrema besitzt bilden die x 2, x 3,..., x n die Menge der lokalen Extrema.

15 Extremwerte Symmetrie Nullstellen Extremwerte Asymtotisches Verhalten Aus der Definition folgt, dass die T n, n 1 die Schranken -1 bzw. 1 genau n + 1 mal annehmen und zwar an den Stellen: x ν = cos x ν ξ ν mit x ν ξ ν = ν 1 n π und ν {1, 2,..., n, n + 1} T n ( x ν ) = ( 1) ν 1 mit ν {1, 2,..., n, n + 1} Da ein Polynom vom Grad n maximal n 1 Extrema besitzt bilden die x 2, x 3,..., x n die Menge der lokalen Extrema.

16 Asymtotisches Verhalten Symmetrie Nullstellen Extremwerte Asymtotisches Verhalten Polynome verhalten sich wie ihre höchste Potenz, also verhalten sich alle T n wie folgt: lim x ± 2n 1 x n

17 gerade n gerade n ungerade n rot: T 2 (x) = 2x 2 1 grün: T 4 (x) = 8x 4 8 x blau: T 6 (x) = 2 x 6 48 x x

18 ungerade n gerade n ungerade n blau: T 3 (x) = 4x 3 3x rot: T 5 (x)16x 5 20 x 3 + 5x grün: T 7 (x) = 64x x x 3 7x

19 Verhalten Verhalten lineare Approximation Bei den meisten Anwendungen ist nur das Verhalten in [ 1, 1] von Interesse. max T x(x) = 1 1 x 1 Die T n sind die einzigen Polynome, die max T x(x) 1 erfüllen. 1 x 1

20 Verhalten Verhalten lineare Approximation Bei den meisten Anwendungen ist nur das Verhalten in [ 1, 1] von Interesse. max T x(x) = 1 1 x 1 Die T n sind die einzigen Polynome, die max T x(x) 1 erfüllen. 1 x 1

21 Polynomapproximation Verhalten lineare Approximation Man kann den sin und cos auch durch darstellen und diese Reihen konvergieren viel schneller als entsprechenden Taylorreihen. cos xπ = α ν T 2ν (x) und sin xπ = x β ν T 2ν (x) ν=0 ν=0

22 Polynomapproximation Verhalten lineare Approximation Man kann den sin und cos auch durch darstellen und diese Reihen konvergieren viel schneller als entsprechenden Taylorreihen. cos xπ = α ν T 2ν (x) und sin xπ = x β ν T 2ν (x) ν=0 ν=0

23 lineare Approximation Verhalten lineare Approximation blau: f (x) = e x Stützstellen: x 0,1 = ± 1 2 und grün: p 1 (x) = 1, x + 1, X: 0.71 Y: gesucht: min max f (x) p 1 (x) x I X: 0.71 Y:

24 Absolute Fehler g(x) = f (x) p 1 (x) Verhalten lineare Approximation

25 Tiefpass Tiefpass

26 Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 2 Preuß/Wenisch Numerische Mathematik Monatshefte für Mathematik 77, (1973) Teubner - Taschenbuch der Mathematik