Forschen und entdecken im Mathematikunterricht Lernbegleitung mit Forschertipps

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1 Forschen und entdecken im Mathematikunterricht Lernbegleitung mit Forschertipps Priska Fischer Portmann Dozentin Fachdidaktik Mathematik, Fachschaftsleitung, PH Zug Studienleitung Zertifikatskurs Integrative Begabungs- und Begabtenförderung CAS IBBF PH Luzern Workshop 11. Februar 2015 Lehrertag GDM Tagung Basel

2 Leitfragen Welche Aufgabenstellungen laden zum Forschen und Entdecken ein? Wie kann das Forschen und Entdecken bei der Bearbeitung reichhaltiger Aufgabenstellungen unterstützt, begleitet und ausgewertet werden? Inwiefern helfen Forschertipps um Lernende mit unterschiedlichem Potenzial beim Forschen und Entdecken zu fordern? Schlüsselbegriffe Natürliche Differenzierung Niveaustreuung, Niveauangemessenheit Lehrerintervention mit Forschertipps Mathekonferenz / Forschertreff 2

3 Ausgangslage: Aufgabenstellungen, die zum Forschen und Entdecken einladen, finden sich in jedem neuzeitlichen Mathematiklehrmittel. Reichhaltige Aufgabenstellungen laden 2. Klasse zum Forschen und entdecken ein. 3. Klasse 5. Klasse Beispiele aus dem Schweizer Zahlenbuch Klasse 3

4 Reichhaltige Aufgabenstellungen (Wittmann 1992) Merkmale Bieten reichhaltige Möglichkeiten für mathematische Aktivitäten (Entwicklung von inhaltlichen Kompetenzen aber auch von Prozesskompetenzen) Natürliche Differenzierung (offene Differenzierung, Selbstdifferenzierung) Für alle das «gleiche Lernangebot» (z.b. eine übergeordnete Problemfrage fachliche Rahmung) Offenheit in der Aufgabenstellung ermöglicht dem Lernenden die Wahl des Bearbeitungsweges, der Hilfsmittel, der Darstellungsweisen, z.t. auch der Problemstellung selbst Die unterschiedlichen Zugangsweisen, Bearbeitungswege und Erkenntnisse laden zum Austausch ein (zum mit- und voneinander lernen) Niveaustreuung gewährleistet und Niveauangemessenheit? 4

5 Niveaustreuung bei der Aufgabe «Zahlenmauern (ZM) mit gleichen Basiszahlen» Wähle vier Zahlen mit gleichem Abstand und setze sie in die erste Reihe der Zahlenmauer. Berechne die Zahlenmauer. (Beispiele für Basiszahlen: 1,2,3,4 oder 1,3,5,7 oder andere) Setze nun die gleichen vier Zahlen in einer anderen Reihenfolge in die unterste Reihe. Rechne wiederum die Zahlenmauer fertig. Versuche dies ein paar Mal. Was entdeckst du?

6 Forscherfragen zu Zahlenmauern mit gleichen Basiszahlen Welche Zahlen entstehen in den Decksteinen? Bilde möglichst verschiedene. Vergleiche sie mit den Basiszahlen! Was fällt dir auf? Wie viele Mauern mit verschiedenen Decksteinen gibt es? Wie findet man den grössten / kleinsten Deckstein? Beschreibe! Welche Beziehungen gibt es zwischen den Zahlen verschiedener Stockwerke? Untersuche die gefundenen Muster auch bei Mauern mit neu gewählten Basiszahlen mit einem anderen Abstand. Was stellst du fest? Wie sieht es aus, wenn du Zahlenmauern mit 5 Basiszahlen wählst? Beschreibe deine Beobachtungen! Versuche sie zu erklären! 6

7 Niveaustreuung in Aufgabe ZM mit gleichen Basiszahlen Schülerbeispiel 7

8 Schülerbeispiel Hengartner et.al (2010). Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte. Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. Zug: Klett und Balmer 8

9 Schülerbeispiel Hengartner et.al (2010). Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte. Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. Zug: Klett und Balmer 9

10 Niveaustreuung in Aufgabe ZM mit gleichen Basiszahlen Schülerbeispiel Hengartner et.al (2010). Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte. Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. Zug: Klett und Balmer 10

11 Niveaustreuung - Niveauangemessenheit Niveaustreuung Niveauangemessenheit??? 11

12 Welche unterrichtlichen Bedingungen sind notwendig, damit Lernprozesse bei selbstdifferenzierender Aufgabenstellung tatsächlich niveauangemessen verlaufen?» ( ) Allerdings konnte in dieser Studie systematisch belegt werden, dass sich die Niveauangemessenheit in einer selbstdifferenzierenden Lernumgebung nicht von selbst einstellt, sondern durch geeignete Kontextbedingungen unterstützt werden muss.» (Scherres, 2013, S. 199) «Die Analyseergebnisse dieser Studie geben Anlass zu der Annahme, dass mathematische Arbeitsniveaus bei der selbstdifferenzierenden Würfelnetzaufgabe im möglichen Wirkungszusammenhang mit unterrichtlichen Kontextbedingungen wie Metakognition, Lehrerintervention und Kooperation stehen.» (ebenda S. 201) 12

13 Lehrerinterventionen Hilfreich sind adaptive Interventionen, um individuelle Arbeitsprozesse situativ hinsichtlich ihrer Niveauangemessenheit zu unterstützen (Scherres 2013). Modifiziertes Ablaufmodell einer Lehrerintervention bei einer selbstdifferenzierenden Aufgabenstellung nach Leiss 2007, in Scherres 2013, S

14 Adaptive Lehrerinterventionen erfordern (vgl. Scherres 2013 S. 43) Stand des Arbeitsprozesses erfassen (Diagnose: prozessbezogene Fragestellungen ermöglichen Einblick in das Vorgehen der Lernenden) Individuelle Bewertung des Arbeitsniveaus hinsichtlich der Angemessenheit bezüglich Leistungspotenzial des Lernenden Mathematische Inhalte, die zur Lösung der Aufgabe benötigt werden, «abrufbereit» halten (adaptiv) Impulse (Forschertipps) formulieren Ziel: Lernende können eigenverantwortlichen Arbeitsprozess auf angemessenem mathematischem Niveau wieder aufnehmen 14

15 Vier Interventionsebenen Vgl. Leiss 2007, S. 79 Forschertipps/Impulse Organisatorische Interventionen Sollen reibungslosen und sinnvoll organisierten Ablauf von Arbeitsprozessen unterstützen. Beisp: Sortiert die bearbeiteten Aufgaben. Affektive Interventionen Sollen emotionale Aspekte im Lösungsprozess extrinsisch beeinflussen. Beisp: Da hast du etwas besonders Interessantes entdeckt. Strategische Interventionen Beinhalten Unterstützungen aus dem Bereich der Metakognition. Beisp: Wie ist es dir gelungen zu dieser Ausgangszahl noch weitere passende Beispiele zu finden? Findest du noch andere? Inhaltliche Interventionen Mathematische Hilfestellungen zur vorliegenden Problemsituation Beisp: Einer deiner Decksteine passt nicht zu den anderen. Da hat sich wohl ein Fehler eingeschlichen. 15

16 Fokus: Niveaustreuung UND Niveauangemessenheit Welche Forschertipps ermöglichen die hier aufgeführten Lernergebnisse? 16

17 Forschertipps Ordne die Basiszahlen nochmals neu an und berechne die neue Zahlenmauer. Was vermutest du: Wie gross wird dann der Deckstein? Du wirst mehrere unterschiedlich grosse Decksteine erhalten, wenn du die Basissteine immer wieder anders verteilst. Suche alle möglichen Decksteine! Gehe dabei «schlau» vor! 17

18 Forschertipps Ordne die Mauern nach der Grösse der Decksteine. Suche alle möglichen Decksteine, die mit deinen Basiszahlen entstehen können. Wie viele sind es? Vielleicht musst du nicht immer die ganze Mauer ausrechnen. Gehe schlau vor! Weiterführend: Untersuche die gefundenen Decksteine und vergleiche sie mit den Basissteinen. Was entdeckst du? 18

19 Forschertipps Suche einen «Trick», wie man die Spitzenzahlen ohne zu rechnen finden kann. Schreibe den Trick für alle verständlich auf. 19

20 Forschertipps Ersetze die Basiszahlen mit unterschiedlichen Zeichen. «Rechne» dann mit diesen Zeichen weiter. Beschreibe, was du mit Hilfe deines «Geheimcodes» im Deckstein über die Basiszahlen sagen kannst. 20

21 1 Welche Lernergebnisse sind (vermutlich) von leistungsstarken Lernenden erstellt worden?

22 Grundlegende / erweiterte Anforderungen 5.1.2A LU Kriterien n.e e Bemerkungen Zahlenmauern A B Zu einer Zahlenfolge korrekte Zahlenmauern erstellen. Zu Zahlenmauern Strukturen entdecken und formulieren Mindestanforderungen Datum: +C Zu einer Zahlenmauer mindestens 3 verschiedenartige Strukturen finden und beschreiben (Stichworte: Zahlenfolgen, Abstände, Vielfache von Summen je Stockwerk etc.) +D Ohne Stockwerk 2 und 3 auszufüllen voraussagen (oder den entsprechenden Rechenweg) verbal beschreiben, welche Summenzahl im obersten Stock stehen wird. Gesamtbeurteilung n.e. / MA / EA Erweiterte Anforderungen Quelle: Beat Wälti, LU 5. Klasse siehe 22

23 Grundlegende / erweiterte Anforderungen 5.1.2A LU Kriterien n.e e Bemerkungen Zahlenmauern A B Zu einer Zahlenfolge korrekte Zahlenmauern erstellen. Zu Zahlenmauern Strukturen entdecken und formulieren Mindestanforderungen Datum: +C Zu einer Zahlenmauer mindestens 3 verschiedenartige Strukturen finden und beschreiben (Stichworte: Zahlenfolgen, Abstände, Vielfache von Summen je Stockwerk etc.) +D Ohne Stockwerk 2 und 3 auszufüllen voraussagen (oder den entsprechenden Rechenweg) verbal beschreiben, welche Summenzahl im obersten Stock stehen wird. Gesamtbeurteilung n.e. / MA / EA Erweiterte Anforderungen Quelle: Beat Wälti, LU 5. Klasse siehe 23

24 Inhaltliche und prozessbezogene Kompetenzen aufbauen Zahlenmauern mit gleichen Basissteinen erkunden Lehrplan 21 Prozessdimension Inhaltsdimension (Inhaltsbereich LP 21 ) (Handlungsaspekte LP21) Zahl und Variable Form und Raum Grössen Funktionen Daten Zufall Operieren und Benennen x Erforschen und Argumentieren FOKUS Mathematisieren und Darstellen x 24

25 Inhaltliche und prozessbezogene Kompetenzen aufbauen Zahlenmauern mit gleichen Basissteinen erkunden Lehrplan 21 Lehrplan 21 Erforschen und Argumentieren können Zahl- und Operationsbeziehungen erforschen Inhaltsdimension und Erkenntnisse austauschen. Grössen (Inhaltsbereich LP 21 können ) Aussagen, Vermutungen Form und Ergebnisse erläutern, überprüfen, Zahl und begründen. Funktionen können Muster und Variable bilden, beschreiben, Daten Prozessdimension weiterführen und verändern. Raum Zufall (Handlungsaspekte LP21) Operieren und Benennen x Erforschen und Argumentieren Mathematisieren und Darstellen FOKUS x 25

26 Forschen in vier Phasen Vier Bausteine: Zentrale argumentative Aktivitäten im Mathematikunterricht (Bezold 2010) «Eine aktuelle Studie zeigte, dass ca. ein Drittel der Grundschüler einer dritten Jahrgangsstufe (bei entsprechender Förderung) in der Lage sind, nicht nur mathematische Besonderheiten zu entdecken, sondern diese auch zu begründen.» (Bezold 2009) 26

27 27

28 Vier-Phasen-Unterrichtsmodell Forschertipps (?) Vier-Phasen-Unterrichtsmodell (Bezold 2012, S. 93) 28

29 Mathekonferenz - Forschertreff Video 29

30 Wortspeicher Zahlenmauern 30

31 Einblick in ein Lerntagebuch einer Schülerin 5. Klasse 31

32 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Viel Erfolg beim Forschen und Entdecken zusammen mit den Ihnen anvertrauten Lernenden! 32

33 Lehrmittelhinweise Schuljahr Wittmann, E.Ch., Müller, G., N. (1994) Handbuch produktiver Rechenübungen. Band 1: Vom Einspluseins zum Einmaleins Band 2: Vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen Stuttgart, Düsseldorf, Berlin, Leipzig: Klett Schulbuch-Verlag Hengartner, E., Hirt, U., Wälti, B. (2006) > siehe 2. Auflage 2010 Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte. Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. Zug: Klett und Balmer. Hirt, U., Wälti, B. (2008) Lernumgebungen im Mathematikunterricht. Natürliche Differenzierung für Rechenschwache bis Hochbegabte. Seelze-Velber: Klett/Kallmeyer Schweingruber, Thomas (2004) Auf zum MATHerhorn. Spannende Mathematik für Kinder. Oberentfelden: Sauerländer. 33

34 Lehrmittelhinweise Anders, K., Oerter A. (2009) Forscherhefte und Mathematikkonferenzen in der Grundschule. Konzept und Unterrichtsbeispiele (Klasse 3 und 4). Donauwörth: Auer Verlag GmbH Landwehr, Dorothe (2012). Mathe ist Trumpf : Materialien zum kompetenzorientierten Mathematikunterricht aus dem Projekt PIK AS / erarb. von den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Projekts. TU, Technische Universität Dortmund Siehe auch PIK AS Website der Uni Dortmund Siehe oben rechts «Themenfinder» 34

35 Literatur Bezold, Angela (2009). Förderung von Argumentationskompetenzen durch selbstdifferenzierende Lernangebote eine Studie im Mathematikunterricht der Grundschule. Hamburg: Verlag Dr. Kovac. Bezold, Angela (2010). Mathematisches Argumentieren in der Grundschule fördern was Lehrkräfte dazu beitragen können. (Elektronische Ressource) Kiel : IPN Leibniz-Institut f. d. Pädagogik d. Naturwissenschaften an d. Universität Kiel Bezold, Angela (2012). Förderung von Argumentationskompetenzen auf der Grundlage von Forscheraufgaben. Eine empirische Studie im Mathematikunterricht der Grundschule. In: mathematica didactica 35 (2012), S Online-Version : Leiss, Dominik (2007). «Hilf mir es selbst zu tun». Lehrerinterventionen beim mathematischen Modellieren. Hildesheim: Franzbecker Verlag. 35

36 Literatur Leuders, T., Prediger, S. (2012). Differenziert differenzieren. In: Rebecca Lazarides & Angela Ittel (Hrsg). Differenzierung im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht - Implikationen für Theorie und Praxis. Bad Heilbrunn : Klinkhardt. Scherres, Christine (2013). Niveauangemessenes Arbeiten in selbstdifferenzierenden Lernumgebungen. Eine qualitative Fallstudie am Beispiel einer Würfelnetz-Lernumgebung. Wiesbaden: Springer Spektrum. Wittmann, E. Ch. (1992). Wider die Flut der bunten Hunde und der grauen Päckchen: Die Konzeption des aktiv-entdeckenden Lernens und produktiven Übens. In G. N. Müller & E. Ch. Wittmann (Hrsg.), Handbuch produktiver Rechenübungen (S ). Stuttgart: Klett. 36