Zum Stabilitätsnachweis nach Theorie 2. Ordnung in DIN :

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1 Zum Stabilitätsnachweis nach Theorie 2. Ordnung in DIN : Ulrich Quast 1 Vorwort Der Autor hat die Stützenbemessung und die Grundlagen des Stabilitätsnachweises schon mehrfach beschrieben, zuletzt in [1]. Im Frilo-Magazin 1 (2001) wurden die Grundlagen beschrieben und ihre Anwendung mit einem einfachen Beispiel gezeigt [2]. Mit kommentierenden Erläuterungen zu einem Praxisbeispiel einer sehr schlanken Stütze aus vorgespanntem Schleuderbeton entsprechend Bild 1 werden hier zusätzliche Angaben zum Stabilitätsnachweis nach Theorie 2. Ordnung in DIN : gemacht. Das Modellstützenverfahren nach (1) sollte schon allein wegen der sehr kleinen Lastausmitte e 0 / D a = 0,07 < 0,1 nicht angewendet werden. Das Beispiel erfordert eine nichtlineare Berechnung. Die Verfahren und Methoden nichtlinearer Berechnungen verständlich zu beschreiben, kann nicht Aufgabe eines kurzen Beitrages sein. Es sei beispielsweise auf die Veröffentlichungen [3, 4] verwiesen. Stabilitätsnachweise können wegen des Umfanges der numerischen iterativen Berechnungen nur programmgestützt durchgeführt werden. Es werden die im Internet bereit gestellten Programme [5] verwendet. Maste und Stützen aus Schleuderbeton werden nur von wenigen Herstellern produziert. Wegen der großen Verdichtung beim Schleudern sind Festigkeitsklassen größer C 55/67 die Regel und C 80/95 wird häufig für vorgespannte Schleuderbetonstützen ausgeführt. Zur weiteren Information sei auf [6 bis 11] verwiesen. Der Autor war gelegentlich im Auftrag der Fa. Pfleiderer gutachtlich zur Anwendung von Schleuderbetonstützen tätig. Auch das hier behandelte Beispiel wurde begutachtet und wurde in ähnlicher Form ausgeführt. Neben besonders schlanken vorgespannten Schleuderbetonstützen haben sich auch Schleuderbetonstützen mit normaler Schlankheit und sehr großen Bewehrungsverhältnissen bewährt [12]. C 80/95, D a / D i = 70 / 30 cm, l col = l 0 = 25,40 m, x1 = - 40 mm l 0 / h = 25,40 / 0,70 = 36,3; λ = l 0 / i = 25,40 / 0,1904 = 133 Bewehrung (Anordnung nach Werksnorm, siehe Bild 7, 8): 12 Ø 28 BSt 500 S, 48 Litzen Ø 1/2 St 1570/1770, Vordehnung ε p = 4,2 mm/m Ständige Last: F k = 2926 kn Wind: w k = 1,96 kn/m Eigengewicht: g k = 7,85 kn/m e 0 / D a = 0,07 < 0,1 Bild 1: System der vorgespannten Schleuderbetonstütze FRILO-Magazin 21

2 2 Rechenannahmen 2.1 Teilsicherheitsbeiwerte Schleuderbetonstützen unterliegen einer werksmäßigen und ständig überwachten Herstellung. Die Überprüfung der Festigkeit am fertigen Bauteil und das Aussondern von Stützen mit zu geringer Festigkeit wird sichergestellt. Deshalb darf der Teilsicherheitsbeiwert für Beton nach (7) gegenüber 1,5 auf γ c = 1,35 verringert werden. Für den hier behandelten C 80/95 ist er mit dem Faktor γ c nach (3) zu vergrößern: γ c = 1 / (1,1 80/500) = 1 / 0,94. Endgültig ist der Teilsicherheitsbeiwert für Beton dann γ c = 1,35 / 0,94 = 1,436. Die Teilsicherheitsbeiwerte für den verwendeten Betonstahl BSt 500 S und den Spannstahl St 1570/1770 sind nach Tabelle 2, Zeile 1, Spalte 2, γ s = 1, Imperfektionen Die 25,40 m lange Stütze wird mit der Annahme gelenkiger Lagerung an den Enden als Einzeldruckglied nachgewiesen, l 0 = l col = h ges. Auf die konstruktive Ausbildung ihrer Verbindung mit der Ortbetonkonstruktion muss hier nicht eingegangen werden. Imperfektionen werden als geometrische Ersatzimperfektion erfasst. Sie dürfen bei Einzeldruckgliedern als zusätzliche ungewollte Lastausmitte e a nach (33) angesetzt werden; sie müssen es aber nicht. Es muss auch ganz grundsätzlich nicht eine zur Verformungsfigur oder zur Knickbiegelinie affine Vorverformungsfigur wie nach DIN 1045 alt modelliert werden. Eine Schiefstellung des Tragwerks ist nach 7.2 (4) ausreichend. Die Auswirkung der Schiefstellung nach (4), α a1 = 1 / (100 h ges 0,5 ) = 1 / (100 25,4 0,5 ) = 1 / 504 darf nach 7.2 (6) beispielsweise auch durch äquivalente Horizontalkräfte ersetzt werden, was eigentlich in einer Norm nicht besonders zu erwähnen sein sollte. Stellt man sich jede Hälfte des Einzeldruckgliedes mit einem Winkel von α a1 gegen die Verbindungslinie der Stabenden vor, dann entsteht ein Einzeldruckglied mit Knick. Die an den Enden mittig angreifende Stützenlast F hat in Stützenmitte eine Ausmitte von α a1 l 0 / 2. Dies entspricht natürlich wieder der Lastausmitte e a nach (33). Die Biegewirkung von F am Einzeldruckglied mit Knick ist auch der Wirkung einer Horizontalkraft H a = 2 α a1 F in Stützenmitte gleichwertig: M a = α a1 l 0 F / 2 = H a l 0 / 4. In der programmgestützten Berechnung wird die Stütze als Einzeldruckglied mit Knick modelliert. Hierzu wird der Knoten 1 um x 1 = α a1 l 0 / 2 = / 504 = 25,2 mm nach links aus der Lotlinie verschoben. Der Betrag von x 1 wird zur Berücksichtigung der unter Gebrauchslast entstehenden Kriechverformungen auf x 1 = 40 mm vergrößert. Dieses Vorgehen wird im Abschn erläutert. 2.3 Spannungs-Dehnungs-Linien Beton Der Stabilitätsnachweis wird nach (7) mit unterschiedlichen Spannungs-Dehnungs-Linien für die Schnittgrößenermittlung einerseits und für die Ermittlung der Grenztragfähigkeit des kritischen Querschnitts andererseits durchgeführt. Dieses Vorgehen bezeichnet der Autor als doppelte Buchführung. Die Vorteile gegenüber der nichtlinearen Berechnung nach mit einem summarischen Sicherheitsbeiwert γ R = 1,3 für den Bauteilwiderstand wurden beispielsweise in [1, S. 397] und [13, 14] aufgezeigt. Die Angaben in DIN : , Tabelle 9, zur Spannungs-Dehnungs-Linie mit abfallendem Ast nach (62) für die Schnittgrößenermittlung sind druckfehlerbehaftet. In Tabelle 9, Zeile 7, wird nicht der aus der Beanspruchung mit σ c 0,4 f c ermittelte mittlere Sekantenmodul E cm angegeben, sondern der mittlere Ursprungsmodul E c0m. Die diesbezüglichen Erläuterungen im DAfStb-Heft 525 zu mit den Gleichungen (H.9-1) und (H.9-2) einerseits und den Erläuterungen zu andererseits zur Umrechnerei zwischen E cm und E c0 sind nicht gerade leicht nachvollziehbar. Einfacher ist es, den Term 1,1 E cm in (64) durch den jetzt in Tabelle 9 angegebenen Wert E c0m zu ersetzen: k = E c0m ε c1 / f c. Die Funktion der Spannungs-Dehnungs-Linie mit dem abfallenden Ast nach (62) ist zur numerischen Auswertung der analytischen Integrationswerte nicht ganz unproblematisch [4]. Die Spannungs-Dehnungs-Linie ohne fallenden Ast nach (65) für die Querschnittsbemessung kann als parametrisiertes Parabel-Rechteck-Diagramm bezeichnet werden. Der Exponent n der Parabel kann allgemeine Werte annehmen: 0 < n. Mit gleichen Werten n = k und gleicher Lage des Scheitels ε c2 = ε c1 könnte diese Funktion auch zur Schnittgrößenermittlung verwendet werden. Der abfallende Ast ist für nichtlineare Berechnungen überflüssig und eher störend. Je nach Querdehnbehinderung existiert er auch nicht [3]. Allein durch entsprechende Vorgabe der Parameterwerte können mit dem parametrisierten Parabel- Rechteck-Diagramm sowohl die Schnittgrößen als auch die Querschnittstragfähigkeiten berechnet werden. Im Bereich des aufsteigenden Astes bestehen für k = 2 überhaupt keine Unterschiede. Für Betonfestigkeitsklassen größer C 30/37, k 1,933, ergibt die Linie mit abfallendem Ast im Bereich des aufsteigenden Astes etwas größere Spannungen, wie 22 FRILO-Magazin

3 Bild 2: Spannungs-Dehnungs-Linien für Beton zur Schnittgrößenermittlung, f cd = (f ck + 8) / γ c = 88 / (1,5 / 0,94) = 61,27 N/mm 2, k = 9,5 88 1/3 2,9 / 88 = 1,393 = n Par, und zur Querschnittsbemessung, f cd = 0,85 f ck / γ c = 0,85 80 / (1,5 / 0,94)= 47,35 N/mm 2, n = 1,7, Tabelle 9, Zeile 10, im Grenzzustand der Tragfähigkeit dies aus Bild 2 für die Linien mit f c = 88 N/mm 2 zu ersehen ist. Die insgesamt größte Abweichung tritt beim Beton C 80/95 und bei ε c / ε c1 = 0,6 auf und beträgt auch nur 3,8 %. Aus diesem Grunde wurde das parametrisierte Parabel-Rechteck-Diagramm seit 30 Jahren vom Autor bevorzugt. In der bis geltenden Zulassung Z , Vorgespannte Schleuderbetonmaste aus hochfestem Beton, war das parametrisierte Parabel-Rechteck-Diagramm zur Berechnung der aufnehmbaren Schnittgrößen im Grenzzustand der Tragfähigkeit im Bild 1 und zur Berechnung der Verformung im Grenzzustand der Tragfähigkeit im Bild 2 der Zulassung angegeben. Insbesondere bei schlanken Druckgliedern ist zu berücksichtigen, dass der in Tabelle 9, Zeile 7, angegebene mittlere E-Modul E c0m im Einzelfall sowohl um 50 % unterschritten als auch überschritten werden kann. Es ist deshalb bei sehr schlanken Schleuderbetonstützen unerlässlich, den E-Modul E c für den verwendeten Beton nach DIN zu ermitteln. Er darf nach Heft 525, Seite 58, als E c0 verwendet werden. Im vorliegenden Fall wird der Wert aus Tabelle 9, Zeile 7, angesetzt: E c0 = E c0m = 9,5 (80 + 8) 1/3 = 42,26 GPa. Er ist kleiner als der Wert nach der genannten Zulassung. Weil der mittlere E-Modul E c0m im Einzelfall erheblich unterschritten werden kann, wird im Unterschied zu Betonstahl für den Bemessungswert E c0d = E c0m / γ c gesetzt. Dies ergibt sich in den Spannungs-Dehnungs-Linien automatisch, wenn der Exponent k = n = n Par = 1,393 belassen wird und die Festigkeit auf den Bemessungswert f cd = f c / γ c abgemindert wird. Aus Bild 2 ist auch zu ersehen, dass die Linie für die Querschnittsbemessung, n = 1,7 > k = 1,393, im Bereich kleiner Spannungen gegenüber der Linie für die Schnittgrößenermittlung größere Spannungen und insofern ein steiferes Bauteilverhalten ergibt Betonstahl Für hochduktilen Betonstahl BSt 500 S darf die Stahldehnung unter Höchstlast zur Schnittgrößenermittlung nach Tabelle 11 und (1) zu ε uk = 50 mm/m und zur Querschnittsbemessung mit ε su = 25 mm/m angesetzt werden. Diese Unterscheidung ist für schlanke Druckglieder in der Regel ohne Bedeutung, weil das Versagen in der Regel schon bei Erreichen des Fließzustandes eintritt. Die wirklichkeitsnähere Modellierung mit einem Übergangsbogen im Bereich der Fließdehnung ist für die Schnittgrößenermittlung ebenfalls unbedeutend, weil bei sehr schlanken Druckgliedern nur kleinere Dehnungen ausgenutzt werden können, siehe Bilder 7 und 8. Für beide Anwendungen wird mit der im Bild 3 gezeigten vereinfachten Spannungs-Dehnungs-Linie gerechnet. Bild 3 Spannungs-Dehnungs-Linie für Betonstahl zur Schnittgrößenermittlung und Querschnittsbemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit, f yd = 500 / 1,15 = 434,8 N/mm 2, ε yd = 500 / 200 / 1,15 = 2,174 mm/m FRILO-Magazin 23

4 2.3.3 Spannstahl Für die in sofortigem Verbund liegenden Litzen aus Spannstahl St 1570/1770 ist nach (6) normale Duktilität mit εuk = εpu = 25 mm/m anzunehmen. Für die Schnittgrößenermittlung und für die Querschnittsbemessung wird mit der vereinfachten Linie nach Bild 4 gerechnet. Der Fließzustand wird nicht erreicht werden siehe Bilder 7 und 8. Die Vordehnung des Spannstahls nach Kriechen und Schwinden ist εp = εp = 4,2 mm/m. Die Spannstahlspannungen σp(ε + εp) ergeben sich aus der Spannungs-Dehnungs-Linie des Spannstahls. Hierzu sind die durch die Dehnungsebene definierten Dehnungen ε des Querschnitts um die Vordehnung εp zu vergrößern [15]. Die Dehnungsebene muss die Gleichgewichtsbedingung E = R[σ(ε)] erfüllen Betonzugversteifung Nach 8.5 (9) darf die Auswahl eines geeigneten Verfahrens in Abhängigkeit der Bemessungsaufgabe gewählt werden. Im Heft 525 werden die Annahme einer mittleren wirksamen Betonzugspannung zwischen den Rissen und die Reduzierung der ermittelten Stahldehnung genannt. Die Reduzierung der ermittelten Stahldehnungen erfolgt nach Maßgabe des sogenannten Dehnungssprunges (ε sr2 ε sr1 ) beim Reißen. Dieser Dehnungssprung wird mit kleinerer Betonzugzone infolge Längskraftbeanspruchung kleiner. Nach eigenen Vergleichsrechnungen kann die Zugversteifung in Druckgliedern wirklichkeitsnäher mit mittleren wirksamen Betonzugspannungen berücksichtigt werden [3, 4, 15]. Die mittlere wirksame Betonzugspannung kann erfahrungsgemäß zu f cm / 20 für die Schnittgrößenermittlung im Gebrauchszustand oder zu f cd / 20 für die Schnittgrößenermittlung im Grenzzustand der Tragfähigkeit angesetzt werden. Sie wird im gerissenen Zustand in Abhängigkeit der Betonstahldehnung ε s1 abgemindert und ist bei Erreichen des Fließdehnung null Kriechen Nur die im Gebrauchszustand unter quasi-ständigen Einwirkungen entstehenden Kriechverformungen sind beim Stabilitätsnachweis zu berücksichtigen. Sie müssen auch bei schlanken Druckgliedern in der Regel sehr klein sein. Die Hörer meiner vielen Vorträge zur Stabilität von Druckgliedern konnten mir nie Hinweise geben, wo Druckglieder mit Kriechverformungen bestaunt werden können. Zwischen den Dehnungen ε des Querschnitts entsprechend der die Gleichgewichtsbedingung E = R erfüllenden Dehnungsebene [15] und den zu Betonspannungen σ c entsprechend den nichtlinearen Spannungs-Dehnungs- Linien gehörenden Betondehnungen ε c (σ c ) und mit der vereinfachten Berücksichtigung ihrer Vergrößerung infolge Kriechen mit dem Faktor (1+ϕ) und mit Berücksichtigung der Schwinddehnung ε sh gilt die Verträglichkeitsbedingung ε = (1+ϕ) ε c (σ c ) + ε sh. Diese Beziehung kann umgeformt werden: ε c (σ c ) = (ε ε sh ) / (1+ϕ) = ε ε sh (ε ε sh ) ϕ / (1+ϕ) = ε ε sh ε cr. Mit ε cr = (ε ε sh ) ϕ / (1+ϕ) werden die infolge Kriechen entstandenen Kriechdehnungen erfasst. Sie verursachen die kriechbedingten Spannungsumlagerungen im Querschnitt vom Beton auf die Bewehrung und insbesondere auch das Nachlassen der Vorspannung. Die Auswirkungen der unter Gebrauchslast entstehenden Kriechverformungen auf den Grenzzustand der Tragfähigkeit können entweder durch Ansetzen bleibender Kriechdehnungen ε cr von unterschiedlicher Größe in jedem Stützenquerschnitt, durch Ansetzen einer gleichwertigen zusätzlichen Stützenvorkrümmung k cr oder durch Ansetzen einer gleichwertigen zusätzlichen Lastausmitte e cr berücksichtigt werden. Das erste Verfahren ist am aufwendigsten. Bild 4 Spannungs-Dehnungs-Linie für Spannstahl zur Schnittgrößenermittlung und Querschnittsbemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit, f p0,1d = 1570 /1,15 = 1365,2 N/mm 2, ε p0,1d = 1365,2 / 195 = 7,001 mm/m 24 FRILO-Magazin

5 Bild 5 Ausgewählte Zustandsgrößen nach Theorie 2. Ordnung für die Einwirkungskombination 1,35 F k + 1,5 w k + 1,35 g k Hier wird das dritte Verfahren als das einfachste Verfahren angewendet. Bei den genannten kleinen Kriechverformungen reicht es aus, sie vereinfacht zu ermitteln. Mit Ansetzen von k cr oder e cr werden keine Spannungsumlagerungen im Querschnitt erfasst. Die Endkriechzahlen ϕ sind für hochfesten Beton in der Regel vergleichsweise klein. Für die ausgeführte Stütze wurde mit ϕ = 1,0 gerechnet. Mit den (1+ϕ )-fachen Betondehnungen ε c wird die Kriechverformung nach Theorie 2. Ordnung ermittelt. Hierzu wird die verwendete Spannungs-Dehnungs-Linie für Beton in Richtung der Dehnungsachse mit (1+ϕ ) verzerrt. Für die Einzelstütze mit Knick nach 2.2 ergab sich die Kriechverformung nach Theorie 2. Ordnung unter Gebrauchslasten zu e 2cr = 31,1 mm. Die gesamte Lastausmitte war im belasteten Zustand also x 1 + e 2cr = 25,2 + 31,1 = 56,3 mm. Mit dem vergrößerten Wert x 1 = 40 mm errechnet sich die Gesamtverformung nach Theorie 2. Ordnung ohne Kriechen zu e 2 = 18,3 mm. Dies ergibt die gesamte Lastausmitte von x 1 + e 2 = ,3 = 58,3 mm > 56,3 mm. Die unter Gebrauchslasten entstehenden Kriechauswirkungen können also im Grenzzustand der Tragfähigkeit mit dem von x 1 = 25,2 mm auf x 1 = 40 mm vergrößerten Wert erfasst werden. Die Verringerung der im Spannbett aufgebrachten Vordehnung ε p0 des Spannstahls infolge Kriechen könnte auch durch eine Berechnung mit (1+ϕ )-fach verzerrter Spannungs-Dehnungs-Linie ermittelt werden. Hier wurde der Wert aus einer Nebenrechnung zu ε p = 4,2 mm/m übernommen. Hierbei war auch das Schwinden in der Größenordnung von ε sh = -0,2 mm/m berücksichtigt worden Schwinden Für die Schnittgrößenberechnung im Grenzzustand der Tragfähigkeit hat das Schwinden in der Regel nur einen vernachlässigbar kleinen Einfluss. Er bleibt hier deshalb außer Ansatz. Die Auswirkung auf die Verringerung der Vordehnung ε p des Spannstahls war in behandelt worden. 3 Ergebnisse 3.1 Traglastzustand Im Bild 5 werden ausgewählte Zustandsgrößen nach Theorie 2. Ordnung für die ungünstigste Einwirkungskombination gezeigt. Bei einer Gesamtausmitte der Längskraft von = 250 mm in Stützenmitte reißt der Querschnitt auf. Der gerissene Bereich ist aus der Darstellung der Gradienten dm / dk zu erkennen. Die Verringerung des Steifigkeitsgradienten ist eine Folge des Übergangs in den gerissenen Zustand II. Es ist zu vermuten, dass Längskräfte ungünstig wirken. Die Bestätigung kann im vorliegenden Fall nur das Ergebnis einer Berechnung für die Einwirkungskombination mit günstig wirkenden Längskräften, 1,0 F k + 1,5 w k + 1,0 g k liefern, weil das verwendete Programm nicht automatisch die erforderliche Bewehrung bestimmt. Bei Annahme günstig wirkender Längskräfte ist die Stützenverformung w = 107 mm. Der Gradient dm / dk wird nicht infolge Rissbildung verringert. Hiermit ist dann bestätigt, dass die Einwirkungskombination 1,35 F k + 1,5 w k + 1,35 g k maßgebend ist. Die im Bild 5 angegebene Stützenverformung von w = 210 mm kann mit dem angegebenen Wert der Verkrümmung k = 3,41 1/km kontrolliert werden: w 0,1 25,4 2 3,41 = 220 mm. Die Überprüfung des Mittenmoments nach Theorie 2. Ordnung ergibt: 1,5 1,96 25,4 2 / 8 + 1,35 ( ,85 12,7) (0, ,210) = 237, ,2 = 1258 knm. Die geringe Ausnutzung des Grenzzustandes E / R u in Stützenmitte von nur 0,61 < 1 bedarf weiterer Betrachtung. Sie könnte entweder darauf hindeuten, dass die Stütze überbemessen ist, oder darauf, dass das Erreichen der Traglast weit vor Erreichen der Querschnittstragfähigkeit eintritt, wenn sie nicht überbemessen ist. Zur eindeutigen Beantwortung ist es nützlich, wenn das Programm beispielsweise das Anwachsen der Verformung oder des Biegemoments in Abhängigkeit der FRILO-Magazin 25

6 Bild 6 Zunahme des Gesamtmoments in Stützenmitte M Etotd nach Theorie 2. Ordnung in Abhängigkeit der Steigerung der Einwirkung für die Einwirkungskombination 1,35 F k + 1,5 w k + 1,35 g k Einwirkung darstellt. Aus Bild 6 ist zu ersehen, dass sich der Gradient dm / de dem Wert null nähert. Die Traglast ist bei dm / de = 0 erreicht. Die Berechnung würde dann nicht mehr konvergieren. Dies ist hier der Fall, wenn die Einwirkung um mehr als 0,8 % vergrößert wird. Die Ergebnisse können also als Ergebnisse für den Traglastzustand angesehen werden. Die Stütze ist nicht überbemessen. Sie versagt vielmehr durch Stabilitätsverlust infolge beanspruchungsbedingter Steifigkeitsabnahme vor Erreichen der Querschnittstragfähigkeit. Der Dehnungszustand des Querschnitts in Stützenmitte infolge der Schnittgrößen nach Theorie 2. Ordnung, N Ed = kn und M Etotd = 1258 knm, wird im Bild 7 gezeigt. Der Bemessungswert der Festigkeit f cd = 61,27 N/mm 2 wird nicht erreicht, ε c max = mm/m < 2,9]. 3.2 Querschnittstragfähigkeit Aus Bild 8 ist der Dehnungszustand im Grenzzustand der Querschnittstragfähigkeit zu ersehen. Die Grenzdehnung ε cu = -2,4 mm/m wird erst für 1,25-fache Schnittgrößen nach Theorie 2. Ordnung erreicht. Die Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit ist 1/1,25 = 0, Erläuterungen zum Stabilitätsversagen Wie kann man verstehen, dass das Versagen der schlanken Stütze durch Stabilitätsverlust infolge beanspruchungsbedingter Steifigkeitsabnahme vor Erreichen der Querschnittstragfähigkeit eintreten muss? Dies wird mit dem Bild 9 erklärt. Der berechnete Gleichgewichtszustand nach Theorie 2. Ordnung ist auf der berechneten Moment-Verkrümmungs- Linie M R (k) mit G u markiert, M Etotd = 1258 knm und k tot = 3,41 1/km. Das Moment M 1 nach Theorie 1. Ordnung ist auf der M-Achse zugehörig zu k = 0 markiert. Die Verbindungsgerade M 1 G u tangiert die M/k-Linie. Diese Gerade kann als Einwirkungsgerade M E (k) nach Theorie 2. Ordnung in Abhängigkeit der Verkrümmung k aufgefasst werden. Sie erfüllt die Bedingung, wie die zu k l 2 proportionale Stützenverformung e 2 und damit auch das Zusatzmoment M 2 nach Theorie 2. Ordnung linear von der Verkrümmung k abzuhängen und sie erfüllt die Bild 7 Dehnungszustand des Querschnitts in Stützenmitte für die Schnittgrößen nach Theorie 2. Ordnung infolge 1,35 F k + 1,5 w k + 1,35 g k, N Ed = kn und M Etotd = 1258 knm, Abstand der Eckpunkte des Ersatzpolygons für D a = 0,70 m: z = 0,709 m Verkrümmung k = 1/r = ε / z = (0, ,900) / 0,709 = 3,41 1/km < k Modellstützenverfahren nach DIN , (39) = 2 K 2 ε yd / (0,9 d) 2 1 2,174 / 0,6 = 7,25 1/km 26 FRILO-Magazin

7 Bild 8 Dehnungszustand des Querschnitts in Stützenmitte für die Schnittgrößen nach Theorie 2. Ordnung infolge 1,35 F k + 1,5 w k + 1,35 g k im Grenzzustand der Querschnittstragfähigkeit, N Rd = kn und M Rd = 1572 knm, Ausnutzung: 4085 / 5106 = 0,8, 1258 / 1572 = 0,8 < 1 Die Bewehrung verbleibt im elastischen Bereich, ε s < ε yd = 2,174 mm/m Gleichgewichtsbedingungen für k = 0 und für k = k tot. Nach dem Modellstützenverfahren nach DIN , 8.6.5, gilt vereinfacht M E (k) = M tot (k) = M 1 0,1 N l 2 k. Hier ergibt sich aus Bild 9 für den Beiwert 0,1 in sehr guter Übereinstimmung 0,095. Der Traglastzustand G u ist dadurch gekennzeichnet, dass ein Gleichgewichtszustand bei Vergrößerung der Verkrümmung k nicht mehr möglich ist. Bei Vergrößerung der Verkrümmung wächst das widerstehende Moment M R (k) auf der M/k-Linie weniger als das einwirkende Moment auf der Einwirkungsgeraden M E (k) an. Das Versagen tritt beim berechneten Gleichgewichtszustand G u durch Gleichgewichtsverlust infolge beanspruchungsbedingter Steifigkeitsabnahme ein. Für Momente größer als M(G u ) ist kein Schnittpunkt und damit kein Gleichgewicht zwischen Einwirkung E und Widerstand R möglich. Die Abnahme der Steifigkeit entspricht der Abnahme des Gradienten dm R (k) / dk der M/k-Linie. Der Traglastzustand tritt deutlich vor Erreichen der für die Schnittgrößenermittlung maßgebenden Betongrenzdehnung ε c2 = ε cu = -3,1 mm/m bei k u = 7,43 1/km und M Ru = 2008 knm ein. Der im Bild 5 angegebene Wert E / R u = 0,61 wurde irrtümlich mit ε cu = -3,5 mm/m ermittelt; korrigiert ist er 1258 / 2008 = 0, Auswirkung der Vorspannung Durch die Vorspannung des Querschnitts vergrößert sich das Moment bei Erreichen des Dekompressions- oder Risszustandes. Ohne Vorspannung würde die M/k-Linie im Bild 9 bereits bei kleineren Momenten vom anfangs geraden Verlauf im ungerissenen Zustand I abweichen. Die Einwirkungsgerade M E (k) müsste entsprechend flacher verlaufen, um einen Gleichgewichtszustand zu ermöglichen. Dies bedeutet, dass entweder die Stützenlänge l oder die Längskraft N der Stütze betragsmäßig kleiner sein müsste. Durch die Vorspannung tritt das Aufreißen erst bei größeren Momenten auf. Der Steifigkeitsabfall tritt erst für größere Momente ein. Dies vergrößert die Stützentragfähigkeit, wenn sie vom beanspruchungsbedingten Steifigkeitsabfall abhängt. Bild 9 Veranschaulichung des Traglastzustandes mit den Schnittgrößen nach Theorie 2. Ordnung infolge 1,35 F k + 1,5 w k + 1,35 g k, N Ed = kn und M Etotd = 1258 knm, M 1 = , ,5 1,96 25,42 / 8 = 400 knm (M Etotd M 1 ) / (l 2 -N k tot ) = ( ) / (25, ,00341) = 0,095 FRILO-Magazin 27

8 Andererseits vergrößert die Vorspannung die Beanspruchung der Betondruckzone. Deshalb ist das Vorspannen von Druckgliedern nur für hochfesten Beton und für sehr schlanke Stützen sinnvoll [8, 10]. 4 Zusammenfassung Mit zunehmender Stützenschlankheit λ 0 / h in Verbindung mit abnehmender bezogener Lastausmitte e 1 / h tritt der Traglastzustand ohne Ausnutzen der für die Querschnittstragfähigkeit maßgebenden Grenzdehnungen ε cu oder ε su ein. Das Modellstützenverfahren liegt in solchen Fällen zu sehr auf der sicheren Seite [1, 2]. Das Stabilitätsversagen tritt durch beanspruchungsbedingte Steifigkeitsabnahme ein. Die Einwirkung nach Theorie 2. Ordnung kann im Momenten-Verkrümmungs-Diagramm vereinfacht durch die Einwirkungsgerade M E (k) = M tot (k) M 1 0,1 λ 0 2 N k dargestellt werden. Im Traglastzustand tangiert sie die Moment-Verkrümmungs-Linie, die als Widerstand des Querschnitts M R (k) aufgefasst werden kann. Vorspannung vergrößert das Rissmoment. Die Steifigkeitsabnahme tritt dann erst für größere Beanspruchungen ein. Dies begünstigt das Tragverhalten vorgespannter schlanker Stützen. Zur Aufnahme der Vorspannkraft muss die Betondruckzone entsprechend widerstandsfähig sein. Dies erfordert hochfesten Beton, der im Schleuderverfahren mit großer Zuverlässigkeit hergestellt werden kann. Die Vorspannwirkung wird bei der Spannungsintegration innerhalb der nichtlinearen Berechnung zweckmäßigerweise durch Vergrößern der Dehnungen ε des Querschnitts um die Vordehnung ε p des Spannstahls berücksichtigt, σ p = f(ε+ε p ). Die Querschnittsdehnung ε ist durch die Dehnungsebene definiert, die die Gleichgewichtsbedingung E = R erfüllt. Sie ist iterativ zu bestimmen und erfordert den Hauptteil des numerischen Rechenaufwandes [4], der nur programmgestützt zu bewältigen ist. Schrifttum [1] Quast, U. (2004): Stützenbemessung. Betonkalender 2, Ernst & Sohn, Berlin, [2] Quast, U. (2001): Bemessung von schlanken Bauteilen Stabilitätsnachweis. FRILO Magazin 1/2001, [3] Pfeiffer, U. und Quast, U. (2003): Nichtlineares Berechnen stabförmiger Bauteile. Beton- und Stahlbetonbau 98, H. 9, S [4] Pfeiffer, U. (2004): Die nichtlineare Berechnung ebener Rahmen aus Stahl- oder Spannbeton mit Berücksichtigung der durch das Aufreißen bedingten Achsendehnung. Dissertation, TU Hamburg-Harburg. [5] Programme ( ): INCA2, Interactive Non-linear Cross-section Analysis Biaxial (Berechnungen beliebiger Querschnitte), Stab2D-NL, Programm zur nichtlinearen Berechnung ebener Stabwerke. [6] PFLEIDERER AKTIENGESELLSCHAFT (2002): Produktinformation, [7] Lieb, H. und Rödle, M. (2000): Maßgeschneiderte Lösungen für den Mobilfunk. Bauingenieur 75, H. 4, S [8] Lieb, H. (2000): Berechnung und Produktion sehr schlanker Rundstützen. Bauingenieur 75, H [9] Hegel, J., Lieb, H. und Bauer, L. (2002): Vorgespannte hochfeste Stützen aus Schleuderbeton. Betonwerk und Fertigteil-Technik, S [10] Quast, U. (2002): Vorgespannte Stützen und Maste aus hochfestem Schleuderbeton. Beton- und Stahlbetonbau 97, H. 6, [11] Ožbolt, J., Mayer, U., Moschner, T. und Lieb, H. (2003): Nichtlineare Berechnung von dreidimensionalen Stab- und Seiltragwerken Theorie und Anwendung. Berechnung_Theorie_und_Anwendung. [12] Burtscher, S.L., Rinnhofer, G., Benko, V. und Kolleger, J. (2003): Zerstörende Großversuche an hochbewehrten Schleuderbetonstützen. Bauingenieur 78, H. 4, [13] Quast U. (2000): Zur Kritik an der Stützenbemessung. Beton- und Stahlbetonbau 95, H. 5, S [14] Quast, U. (2002): Ist das Konzept mit Teilsicherheitsbeiwerten überflüssig? FRILO Magazin 2002, [15] Quast, U. (2002): Elementare Stahlbetonberechnungen mit Euler, Gauß und Broyden. Beton- und Stahlbetonbau 97, H. 10, Als ausführlichere pdf-datei: >Veröffentlichungen. Der Autor: Univ.-Prof. i.r. Dr.-Ing. Ulrich Quast Immenweg Seevetal vormals Arbeitsbereich Massivbau der TU Hamburg-Harburg 28 FRILO-Magazin