VORLESUNG MASSIVBAU III

Transkript

1 1 Zeitabhängiges Material- und Systemverhalten Prof. Dr.-Ing. J. Hegger Wintersemester 21/211

2 Einführung 2 Prinzip des Freivorbaus

3 Einführung 3 Freivorbaugerät

4 Einführung 4 Freivorbau 38 Weidatalbrücke, Bj. 27

5 Einführung 5 Freivorbau Vorbauwagen Spannglieder

6 6 Entwicklung der Betonfestigkeit Festigkeitsklasse des Zements Betondruckfestigkeit in % der 28-Tage-Festigkeit nach nach DIN EN Tagen 7 Tagen 9 Tagen 18 Tagen 52,5 N; 42,5 R 7 bis 8 8 bis 9 1 bis bis 11 42,5 N; 32,5 R 5 bis 6 65 bis 8 15 bis bis 12 32,5 N 3 bis 4 5 bis bis bis 13 Richtwerte für die Festigkeitsentwicklung von Beton aus verschiedenen Zementen 2 C Lagerung nach Betonkalender 27

7 7 Entwicklung der Betonfestigkeit f cm t) = βcc( t) ( f cm β cc ( t) = exp s 1 28 t / t 1 1/ 2 Festigkeitsklasse des Zementes 32,5 N 32,5 R 42,5 N 42,5 R 52,5 N Beiwert s,38,25,2 Beiwert s deutscher Normzemente nach Model Code 9

8 8 Entwicklung der Betonfestigkeit 1,4 1,2 1 βcc,8,6,4,2 32,5N 32,5R; 42,5N 42,5R; 52,5N Tage 1 1 log(t) Beiwert β cc für die Druckfestigkeit nach Model Code 9 über die Zeit t

9 9 1,2 Entwicklung des E-Moduls 1 E cm = 9.5 ( f + 8) ck 1/3,8 c E c ( ) E ( t) = β ( t) E 28 βε,6 32,5N mit,4 32,5R; 42,5N E [ β t ] 1/2 β ( t) = ( ) cc,2 42,5R; 52,5N log(t) 28 Tage Beiwert β E für den E-Modul nach Model Code 9 über die Zeit t

10 1 Vergleich der Lagerung bei 5 C mit der bei 2 C Festigkeitsklasse des Zements Betondruckfestigkeit bei 5 C-Lagerung in % der Werte bei 2 C Lagerung nach nach DIN Tagen 7 Tagen 28 Tagen 52,5 N; 42,5 R 6 bis bis 9 9 bis 15 42,5 N; 32,5 R 45 bis 6 6 bis bis 9 32,5 N 3 bis bis 6 6 bis 75 Richtwerte für die Festigkeitsentwicklung von Beton aus verschiedenen Zementen bei 5 C Lagerungstemperatur nach Betonkalender 27

11 11 Einfluss der Dauerstandsfestigkeit α = Kurzzeitfestigkeit Dauerstandsfestigkeit ~,85

12 12 Kriechen, Schwinden, Relaxation Kriechen: Spannungen konstant, Verformung nimmt zu ε c ε c Kriechverformung Anfangsverformung t (Zeit) Schwinden: lastunabhängige Verformung ε c Relaxation: Verformung konstant, Spannung nimmt ab σ ε c t (Zeit) Schwindverformung σ t (Zeit) Spannungsabfall durch Relaxation

13 13 Kriechen Stauchung Spannung Schwinden + ɛc,pl

14 14 DIN (Kriechen + Schwinden) a) Kriechen und Schwinden sind voneinander unabhängig. b) Es wird eine lineare Beziehung zwischen Kriechverformung und den kriecherzeugenden Spannungen angenommen. c) Einflüsse aus ungleichmäßiger Temperatur- und Feuchtigkeitsverteilung innerhalb des Querschnitts werden vernachlässigt. d) Die Gültigkeit des Superpositionsgesetz wird auch für Einflüsse vorausgesetzt, die zu unterschiedlichen Altersstufen des Betons auftreten. e) Diese Annahmen gelten auch für Beton unter Zugbeanspruchung.

15 15 DIN Berechnung der Schwindverformung Schwinden = Schrumpfen + Trocknungsschwinden ε cs ( t) = ε cas ( t) + ε cds ( t, ts ) mit ε ε cas cds ( t) = ε cas( fcm ) βas ( t) ( t, ts ) = ε cds ( fcm ) βrh ( RH ) βds ( t ts )

16 16 DIN Schrumpfen ε cas Grundschrumpfmaß Zeitfunktion ( t) = ε cas( fcm ) βas ( t) Schrumpfmaß Hierbei ist: ε 2,5 fcm 6 cas( fcm ) = α as fcm das Grundschrumpfmaß wobei α as α as = Beiwert für den Einfluss des Zementtyps -1 für langsam erhärtende Zemente (S) für normal oder schnell erhärtende Zemente (N,R) 1 für schnell erhärtende hochfeste Zemente (RS) β (,2 t ) as t) = 1 exp / ( t 1 Beiwert für die zeitliche Entwicklung

17 17 DIN Trocknungsschwinden ε cds Grundwert Beiwert Zeitfunktion ( t, ts ) = ε cds ( fcm ) βrh ( RH ) βds ( t ts ) Hierbei ist: mit β RH β ( t ds ε f 1 cm 6 ( α ) exp α cds( fcm ) = ds1 ds2 1 3 RH 1,55 1 βs1 4% RH 99% ( RH ) für < = 1, 25 β für RH 99% t s ) = s1 h 35 h ( t t ) 1 s 2 + / t 1 ( t ts )/ t1 der Grundwert Beiwert für den Einfluss der Feuchte Beiwert für die zeitliche Entwicklung ts Anfang des Trocknungsschwindens t1 Bezugswert 1 Tag

18 18 Schwinden: Einfluss der Zementart,6 Randbedingungen: Schwindmaß εcs [ ],5,4,3,2,1, Tage t f ck = 4 N/mm² RH = 65 % h = 1 mm Legende schnell erhärtende hochfeste RS-Zemente normal und schnell erhärtende N-, R-Zemente langsam erhärtende S- Zemente

19 19 Schwinden: Einfluss der Bauteildicke Schwindmaß εcs [ ],4,35,3,25,2,15,1,5 Randbedingungen: f ck = 4 N/mm² RH = 65 % S-Zement Legende wirksame Bauteildicke = 1 mm wirksame Bauteildicke = 15 mm, Tage t

20 2 Schwinden: Einfluss der Luftfeuchtigkeit Schwindmaß εcs [ ],5,4,3,2,1 Randbedingungen: f ck = 4 N/mm² S-Zement h = 1 mm Legende RH = 5 % RH = 9 % RH = 99 % (Wasserlagerung), Tage t

21 DIN Endschwindmaß - Schrumpfen ε cs = ε cas + ε cds ε cs ε cas ε cds Schwinddehnung des Betons zum Zeitpunkt t = Schrumpfdehnung zum Zeitpunkt t = Trocknungsschwinddehnung zum Zeitpunkt t = 21 Legende 1 Festigkeitsklasse des Zements 32,5 2 Festigkeitsklasse des Zements 32,5R; 42,5 3 Festigkeitsklasse des Zements 42,5R; 52,5; 52,5R Schrumpfdehnung ε cas zum Zeitpunkt t = für Normalbeton nach DIN 145-1, Bild 2

22 DIN Endschwindmaß - Trocknungsschwinden 22 Legende h wirksame Querschnittsdicke = 2 Ac / u 1 Festigkeitsklasse des Zements 32,5 2 Festigkeitsklasse des Zements 32,5R; 42,5 3 Festigkeitsklasse des Zements 42,5R; 52,5; 52,5R Trocknungsschwinddehnung ε cds zum Zeitpunkt t = für Normalbeton nach DIN 145 1, Bild 21

23 23 Endschwindmaße nach EC 2 Tabelle 3.4 ε S (t, ) Lage Relative Luftfeuchte Wirksame Bauteildicke des Bauteils [%] 2 A c /u in [mm] 15 6 innen 5 -,6 -,5 außen 8 -,33 -,28 Endschwindmaße ε cs, (in ) für Normalbeton

24 24 Kriechen - Kriechverformung Kriechverformung (, ) = ε φ( t, t ) ε t t cc ce(28) ε cc = elastische Verformung x Kriechbeiwert Gesamtverformung (, ) = ( ) + (, ) ε t t ε t ε t t c ce cc (, ) = ( ) + ε (, ) ε t t ε t φ t t ε c ce ce(28) c ( t t ) ( ) ( ) ( ) ( 28) σ t σ t, = + φ t, t ( ) Ec t Ec Kriechbeiwerte bezogen auf den E-Modul E c (28)

25 25 Superpositionsgesetz von Boltzmann Allgemeine kontinuierliche Form: t εce(28) ( τ) εcc ( t) = φ( t, τ ) dτ τ Kriechzahl t Schonzeitfaktor } φ( t, t ) = φ { β ( t ) βc ( t t ) Grundwert Zeitfunktion elastische Verformung c ( ) σ t εce (28) = E (28) φ ( ) σ τ t εcc ( t) = β ( τ ) βc ( t τ ) dτ Ec ( 28) τ t

26 26 Diskrete Spannungsstufen: φ j εcc t) = σi c i= ( 28) ( ti ) βc( t i ) ( β t E

27 27 Einfluss der Betonspannung auf die Gesamtverformung ( t ) ( t t ) ϕ β β c ( t ) ( t t ) ϕ β β 1 c 1 ( t ) ( t t ) ϕ β β 2 c 2 ( ) ( ) ε ce ϕ β t β t t,1 1 c 1

28 28 Verfahren nach Trost ( ) ce cc c elast. Verformung Kriechverformung c ( ) t σ t 1 σ τ ε + ε = ( 1 + φ( t, t )) + ( 1 φ( t, τ) ) dτ E E + τ t ( ) t ( ) ( ) 1 ( ) σ t σ t σ t σ τ ε + ε = ( 1 + φ( t, t )) + + φ( t, τ ) dτ E E E τ ce cc c c c t

29 29 Verfahren nach Trost ε ( t ) σ E ( + φ( t, t )) ( t) σ( t ) σ 1 t E [ 1+ ρt φ( t )] ce + εcc = +, c c Kriechverformung elast. Verformung ρ t ( ) t σ τ φ( t, τ ) dτ σ ( ti ) φ( t, ti ) τ τi σ ( t) σ ( t ) φ( t, t ) σ t σ t φ t, t = = ( ) ( ) ( ) ρ t = Relaxationsbeiwert (Alterungsbeiwert),8 ( tj) ( t, tj) m ( ) σ j σ j εc t = [ 1+ φ( t, tj) ] +, j= 1 E E [ 1+ ρt φ( t tj) ]

30 3 DIN Berechnung der Kriechzahl Die Kriechzahl zu einem beliebigen Zeitpunkt t kann wie folgt ermittelt werden: ( ) φ( t, t ) = φ ( t ) β t, t c Hierin sind: ϕ o (t o ) β c (t,t o ) Grundkriechzahl Beiwert zur Beschreibung des zeitlichen Verlaufs des Kriechens unter Lasteinwirkung

31 31 DIN Berechnung der Kriechzahl ) = ϕ βc, ( t ) ϕ( t, t t Grundkriechzahl Zeitfunktion Kriechzahl Hierbei ist: ( f ) ϕ = ϕ β β ( t ) RH cm die Grundkriechzahl β,3 ( t t) / t1 c ( t, t) = βh + ( t t) / t1 Beiwert zur Beschreibung des zeitlichen Verlaufs

32 32 DIN Berechnung der Kriechzahl ( f ) ϕ = ϕ β β ( t ) RH cm Grundkriechzahl mit φ RH RH 1 = α 1 α 2 h 3,1 h1 β ( f ) = β ( t cm ) = 16,8 f cm,1 + ( t 1,eff / t 1 ),2 Beiwert für den Einfluss der Luftfeuchtigkeit Beiwert für den Einfluss der Betonfestigkeit Beiwert für den Einfluss des Alters bei Belastungsbeginn 9 t,eff = t + 1 1,2 2 + ( t / t1) α,5

33 33

34 34 Kriechzahl: Einfluss des Belastungszeitpunktes Kriechzahl ϕ (t -t ) 2,5 2 1,5 1,5 Randbedingungen: wirksame Bauteildicke = 1 mm f ck = 4 N/mm² RH = 65 % Legende Belastung nach 14 Tagen Belastung nach 56 Tagen, Belastungstage t -t

35 35 Kriechzahl: Einfluss der Bauteildicke Kriechzahl ϕ (t -t ) 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,8,6,4,2, Belastungstage t -t Randbedingungen: t = 28 Tage f ck = 4 N/mm² RH = 65 % Legende wirksame Bauteildicke = 1 mm wirksame Bauteildicke = 15 mm

36 36 Kriechzahl: Einfluss der Luftfeuchtigkeit Kriechzahl ϕ (t -t ) 2,5 2 1,5 1,5 Randbedingungen: wirksame Bauteildicke = 1 mm t = 28 Tage f ck = 4 N/mm² Legende RH = 5 % RH = 1 %, Belastungstage t -t

37 37 Kriechzahl: Einfluss der Betonfestigkeit Kriechzahl ϕ (t -t ) 2,5 2 1,5 1,5 Randbedingungen: wirksame Bauteildicke = 1 mm t = 28 Tage RH = 65 % Legende fck = 2 N/mm² fck = 5 N/mm², Belastungstage t -t

38 38 Experimentelle Ermittlung der Endkriechzahl - Verfahren nach Ross ε ε ( ) cc t t ε ( ) cc t cc = t a + b t = a + b t t 1 1 ( ) = lim = lim = t a + b t t a b + b { t εcc( ) Kriechverformung φ(, t ) = = ε ( t ) elast. Verformung ce Die zeitabhängige Kriechstauchung wird mit einem Hyperbelansatz angenähert Umformung der Funktion zu einer Geradengleichung 4 Endkriechzahl Ermittlung der Kriechstauchung zum Zeitpunkt t

39 39 Berechnungsbeispiel: elastische Dehnung bei Belastungsbeginn am 28. Tag ε ce (28) =,41 Kriechdehnung ε cc [ ] 1,4 1,2 1,8,6,4, Belastungszeit t [Tage] Belastungszeit / Kriechdehnung t/ε cc [Tage/ ] a α tan α = b =, Belastungszeit t [Tage] Die Endkriechzahl ergibt sich zu: φ ε ( ) 1/ b 1,28 = = = = 3,3 ε (28) ε (28), 732, 41 ( ) cc ce ce

40 4 Endkriechzahl nach DIN 145-1, Bild 18 Legende Festigkeitsklasse des Zements 32,5 Festigkeitsklasse des Zements 32,5R; 42,5 Festigkeitsklasse des Zements 42,5R; 52,5 h = 2A c / u u Umfang des Querschnitts Ac Querschnittsfläche Endkriechzahl ϕ (,t ) für Normalbeton und für trockene Umgebungsbedingungen (innen, RH = 5 %)

41 41 Endkriechzahl nach DIN 145-1, Bild 19 Legende Festigkeitsklasse des Zements 32,5 Festigkeitsklasse des Zements 32,5R; 42,5 Festigkeitsklasse des Zements 42,5R; 52,5 h = 2A c / u u Umfang des Querschnitts Ac Querschnittsfläche Endkriechzahl ϕ (,t ) für Normalbeton und für feuchte Umgebungsbedingungen (außen, RH = 8 %)

42 42 Endkriechzahlen nach EC 2 Tabelle 3.3 Vereinfachtes Verfahren Alter bei wirksame Bauteildicke 2 A c /u in [mm] Belastung t trockene Umgebungsbedingung Endkriechzahlen ϕ (,t ) für Normalbeton feuchte Umgebungsbedingung [Tage] (innen) (außen) RH=5% RH=8% 1 5,5 4,6 3,7 3,6 3,2 2,9 7 3,9 3,1 2,6 2,6 2,3 2, 28 3, 2,5 2, 1,9 1,7 1,5 9 2,4 2, 1,6 1,5 1,4 1, ,8 1,5 1,2 1,1 1, 1,

43 43 DIN Kriechverformung mit Lastunabhängige Verformung wie z.b. Schwinden Lastabhängige Verformung σ = konst. (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) tot = n + + i ε t t ε t σ t J t t σ t J t t t J ( t, t ) 1 + Ec ( t ) φ E ( t, t ) c( 28) Kriechanteil i Verformung infolge Laständerungen = Kriechfunktion elastischer Anteil Hierin sind: t Betonalter bei der ersten Lastaufbringung auf den Beton in Tagen t Betonalter in Tagen zum betrachteten Zeitpunkt E c (t ) zugehöriger Elastizitätsmodul (Tangentenmodul) zum Zeitpunkt t E c (28) zugehöriger Elastizitätsmodul (Tangentenmodul) nach 28 Tagen ϕ(t,t ) Kriechzahl, bezogen auf die mit E c (28) ermittelten elast. Verformungen nach 28 d i

44 44 DIN Kriechverformung Kriechfunktion J ( t, t ) 1 = + Ec ( t ) φ E ( t, t ) c( 28) elast. Anteil Kriechanteil (, ) = ( ) + ( ) (, ) + ( ) (, ) ε t t ε t σ t J t t σ t J t t tot n Gesamtverformung t i 1 φ( t, t ) (, ) = ( ) + ( ) (, ) + ( ) ( ) + χ Ec ( t ) Ec ( 28) ε t t ε t σ t J t t σ t σ t tot n Der Relaxationskennwert χ hängt vom zeitlichen Verlauf der Dehnungen ab. Nach DIN kann er zu,8 angenommen werden. 1/ 2 t χ( t ) = 1/ t ( ) i i

45 45 DIN Endverformung infolge von Kriechen Kriechen des Betons ε c (, t ) = ϕ (, t ) cc σ ( t ) E c mit ϕ(,t ) Endkriechzahl; darf vereinfachend in Abhängigkeit von der Luftfeuchte aus Diagramm entnommen werden E c Elastizitätsmodul des Betons als Tangente im Ursprung der Spannungs- Dehnungslinie nach 28 Tagen. Vereinfachung: E c = 1,1 E cm E cm mittlerer Sekantenmodul des Betons nach DIN 145-1, Tabelle 9 oder 1 σ c kriecherzeugende Betonspannung Betonalter bei Belastungsbeginn in Tagen t

46 46 Relaxation Klassischer Relaxationsfall Randbedingung: ε(t) = ε(t ) Dehnung bleibt konstant

47 47 Relaxation Beispiel: σ σ ( ) ( ) ( t ) σ σ ( t) ( t ) ( ) ( ) ( t ) σ σ σ = φ( t, t ) [ 1+ ρt φ( t, t )] + t Ec Ec Ec (, t ) t φ( t t ) φ t = 1 Spannungsverlust infolge Relaxation 1+ ρ, φ( ) = 2,5 ; ρ =,8 ( t) 2,5 = 1 = 1 5 = 1 ( t ) 1+,8 2,5 6 6 t ( ( )) ( ) ( ) σ t σ t σ t σ t ε t = ε t = 1+ φ t,t ρ φ t, t ( t) [ 1+ ρt φ( t, )] ( ) t Ec Ec E c

48 48 Relaxation des Spannstahls Relaxationsverlust in % von σ p Klasse 1 ( Drähte ) Klasse 2 ( Litzen ) Klasse 3 ( Stäbe ) Klasse 1 Klasse Anfangsspannung / char. Zugfestigkeit in % σ p / f pk Klasse 2 Relaxationsverluste nach 1 h bei 2 C Klasse 1: Drähte Klasse 3: Stäbe Klasse 2: Litzen Zeit in Stunden Relaxationsverluste in % im Verhältnis zu 1 h Zeitlicher Verlauf der Relaxationsverluste

49 49 Relaxation des Spannstahls σ p = σ pg, 3 σ p,c+ s+ r mit: σ pg Anfängliche Spannung in den Spanngliedern aus Vorspannung und ständigen Einwirkungen σ p,c+s+r Änderung der Spannstahlspannung infolge Kriechen, Schwinden und Relaxation Anfangsspannung σ p Näherungsverfahren für die Spannstahlrelaxation σ pr (t= ) = 3 σ pr (t = 1 h) mit σ pr Spannungsverlust infolge Relaxation

50 5 Relaxation Zeitabhängiges Verhalten des Spannstahls Dehnungsverhalten von Stahl unter jeweils konstanter Spannung im Zeitstandversuch