Bemessungswerkzeug für zwangsbeanspruchte dünne Sohlplatten im Betriebszustand. Prof. Dr.-Ing. Erhard Gunkler Dipl.-Ing.

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1 Bemessungswerkzeug für zwangsbeanspruchte dünne Sohlplatten im Betriebszustand Detmold, September 2002

2 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 2 1 Einführung in die Aufgabenstellung Die Bemessung von Sohlplatten für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit zur Beschränkung der Rissbreite gehört zu den üblichen Aufgaben in der Baupraxis. Vor dem Hintergrund zunehmenden Kostendruckes kommt hierbei der wirtschaftlichen Bemessung eine besondere Bedeutung zu. Erhebliche Bewehrungseinsparungen gegenüber Berechnungen mit vereinfachten Rechenannahmen sind möglich, wenn im Lastfall Zwang die rechnerische Zwangsschnittgröße kleiner ist als die Rissschnittgröße. Zur Bestimmung der Zwangsschnittgröße ist die Kenntnis von Verformungsgrößen erforderlich, die von der Interaktion zwischen Bauwerk und Untergrund abhängen. Diese wurden im vorliegenden Beitrag aus der Literatur entnommen und sind im Anhang zu diesem Beitrag unter [A1] bis [A6] zusammengestellt. Hier wird ein Bemessungswerkzeug vorgestellt, das modular in sechs Einzelschritten eine wirtschaftliche Rissbreitenbeschränkung auf der Grundlage von DIN (07/2001) gestattet. Im Folgenden werden die Rechengrundlagen bewusst kurz angegeben und anschließend das modulare Bemessungswerkzeug vorgestellt. Ein Bemessungsbeispiel gestattet eine schnelle Einarbeitung. 2 Berechnungsgrundlagen 2.1 Ursachen der Betonverformungen (Schritt 1) Ursachen für Betonverformungen sind u.a. Hydratationswärmeabfluss, Kriechen, Relaxation, Schwinden sowie meteorologische Einwirkungen. Für den hier betrachteten Betriebszustand werden nur Schwindverformungen und meteorologische Einwirkungen berücksichtigt, die als hygrothermische Verformungen bezeichnet werden. Zur Ermittlung der Schwindverformungen muss sowohl die Betonfestigkeitsklasse also auch die Zementart und die relative Luftfeuchte bekannt sein ([A1] und [A2]). Zur vereinfachten Erfassung der meteorologischen Einflüsse wird für Mitteleuropa ein Anhaltswert von 30 K als zentrischen Zwang auslösende mittlere Temperatur angegeben [3]. Dieser Wert liegt jedoch weit auf der sicheren Seite und ergibt zum Teil zu große Verformungen. Zur genaueren Bestimmung der meteorologischen Einflüsse wird die Anwendung des Diagramms in Bild 1 empfohlen.

3 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 3 Bild 1: Temperaturverläufe in Bodenplatten in Abhängigkeit von der Bauteildicke [2] Die Entstehung hygrothermischer Verformungen in ihrer vollen Höhe wird durch angrenzende Bauteile und, besonders bei Bodenplatten, durch den Untergrund behindert. Die Höhe der Verformungsbehinderung wird durch den Behinderungsgrad k rechnerisch berücksichtigt (siehe Abs. 2.3) 2.2 Äußere Lasten (Schritt 2) Äußere Lasten wie Eigengewicht, Verkehrslast, Wasserfüllung u.a. werden als Gebrauchslasten berücksichtigt. Sie beeinflussen die Höhe des Behinderungsgrades der Sohlplatte. 2.3 Verformungsbehinderung (Schritt 3) Hier werden ausschließlich auf PE-Folien gelagerte Bodenplatten (Bild 2) behandelt. Für dünne Sohlplatten ist auch seine Anwendung für Lagerung auf Kiestragschicht oder Unterbeton möglich. Davon abweichende Lagerungsbedingungen (viskose Gleitschichten sowie Pfahlstützungen oder gegliederten Unterseiten von Bodenplatten) müssen gesondert untersucht werden [3]. Bild 2: prinzipieller Aufbau der betrachteten Bodenplatten

4 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 4 Die Interaktion zwischen Bodenplatte und Untergrund wird über den Reibungskoeffizienten µ erfasst. Die Größe des Reibungskoeffizienten kann für Standardanwendungen [A6] entnommen werden. Damit wird ein resultierender Behinderungsgrad k res und die maßgebende Dehnung für die Sohlplatten ermittelt. 2.4 Rissbreitenbegrenzung nach DIN (Schritt 4 bis 6) Zunächst ist die rechnerische Zwangsschnittkraft F zwang = k res ε ew E So A ct (Gl. 1) zu bestimmen (Schritt 4). Diese ist mit der Risskraft F cr zu vergleichen. Ist F zwang größer als F cr ist die rissbreitenbegrenzende Mindestbewehrung nach DIN zu berechnen aus A S k = c k f ct,eff σ s A ct (Gl. 2) Hierin gehen u.a. die wirksame Zugfestigkeit des Betons zum betrachteten Zeitpunkt (f ct,eff ) sowie die zulässige Stahlspannung σ s der Bewehrung in Abhängigkeit vom Grenzdurchmesser ein [A5]. Abweichend von Gl. 2 darf nach DIN , Abschn (2) für Stahlbetonbauteile und bei Bauteilen mit Vorspannung ohne Verbund die Mindestbewehrung nach der Gleichung Fzwang (Gl. 3) A s = σs bestimmt werden, wenn F zwang < F cr ist. Die Anforderungen an die Rissbreitenbegrenzung sind zu berücksichtigen.

5 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 5 3 Bemessungswerkzeug Schritt 1: Dehnungen infolge lastunabhängiger Einwirkungen Schritt 2: Vertikale Spannungen Schritt 3: Berücksichtigung der Lagerungsbedingungen (nach Sommer [3])

6 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 6 Schritt 4: Bestimmung der zentrischen Zwangskraft Schritt 5: Ermittlung der zentrischen Risskraft

7 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 7 Schritt 6: Rissbreitenbeschränkung nach DIN

8 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 8 [A1] Bestimmung der Schrumpfdehnung ε cas nach Bild 20, DIN zum Zeitpunkt t = für Normalbeton [A2] Bestimmung der Trockenschwinddehnung ε cds nach Bild 21, DIN zum Zeitpunkt t = für Normalbeton

9 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 9 [A3] Betonfestigkeitsklassen und Festigkeitswerte Auszug aus Tabelle 9, DIN C 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/ /115 f ck f ct,m 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 E cm [A4] Grenzdurchmesser d s * in mm und rechnerische Rissbreite w k gemäß DIN für Betonrippenstählen Stahlspannung σ s N/mm² Grenzdurchmesser der Stäbe in mm in Abhängigkeit vom Rechenwert der Rissbreite w k w k = 0,4 mm w k = 0,3 mm w k = 0,2 mm

10 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 10 [A5] Mittlere Bodenkenngrößen für Vorentwürfe [4] Bodenart Steifemodul E S [MN/m²] nichtbindige Böden Sand, locker, rund 20 bis 50 Sand, locker, eckig 40 bis 80 Sand, mitteldicht, rund 50 bis 100 Sand, mitteldicht, eckig 80 bis 150 Sand, dicht, eckig 150 bis 250 Kies ohne Sand 100 bis 200 Naturschotter, scharfkantig 150 bis 300 bindige Böden Ton, halbfest 5 bis 10 Ton, schwer knetbar, steif 2 bis 5 Ton, leicht knetbar, weich 1 bis 2,5 Geschiebemergel, fest 30 bis 100 Lehm, halbfest 5 bis 20 Lehm, weich 4 bis 8 Schluff 3 bis 10 Klei, org., tonarm, weich 2 bis 5 Klei, stark org., tonreich, weich 0,5 bis 3 Torf 0,4 bis 1 Torf unter mäßiger Vorbelastung 0,8 bis 2

11 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 11 [A6] Reibungskoeffizienten µ nach [3] Anwendung von PE-Folien Reibungsuntersuchungen an Gleitfolien haben zu folgenden Ergebnissen geführt: - zweilagige PE-Baufolien besitzen auf flügelgeglättetem Unterbeton einen Reibungskoeffizienten der Größenordung µ = 0,5 0,75 (Bild A6.1) - kaschierte und geschmierte Gleitfolien setzen den Reibungskoeffizienten herab; ihre Wirksamkeit ist sehr an die Randbedingungen geknüpft; Versuche ergaben Ergebnisse zwischen µ = 0,4 0,55 Bild A6.1: Reibungsverhalten von handelsüblichen Bau- und Gleitfolien in Abhängigkeit vom Verschiebungsweg Bodenplatten auf Kiesbett und Unterbeton Der Reibungskoeffizient zwischen Erdreich und rauer Betonfläche liegt bei geringer vertikaler Belastung bzw. dünnen Sohlplatten (d < 1 m) wesentlich über dem inneren Reibungswinkel von Sand (ϕ = 33 ). Werte für den Reibungskoeffizienten siehe Bild A6.2 Bild A6.2: maximaler Reibungskoeffizient von Sohlplatten auf nichtbindigem Boden in Abhängigkeit von der Sohlplattendicke (bzw. vertikaler Vorbelastung) Detailliertere Informationen zu den Lagerungsbedingungen von Sohlplatten siehe [3].

12 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 12 4 Beispiel Bemessen werden soll eine 60 m lange und 50 cm dicke Betonplatte für den Betriebszustand. Die Platte soll auch im Betriebszustand frei bewittert werden. Der Rissbreitennachweis wird für eine Rissbreite von w k = 0,2 mm geführt. Vorgaben: Beton C 40 / 50: Druckfestigkeit f ck = 40 MN/m² Zugfestigkeit f ctm = 3,5 MN/m² E-Modul E cm = MN/m² Wärmeausdehnungskoeffizient α T = 1, /K Abmessungen der Platte: Länge l = 60 m Breite b = 40 m Dicke h = 0,50 m Zementart: CEM ΙΙΙ / A 32,5 Belastung: Verkehrslast q = 30,0 kn/m² Eigengewicht γ = 25,0 kn/m³ Baufolie: PE-Folie 2 0,2 mm Erdreich: Kies ohne Sand E s 150 MN/m² Anwendung des Bemessungsalgorithmus 1. Schritt: Ermittlung der lastunabhängigen Einwirkungen Schwinden: Schrumpfdehnung ε cas Anwendung Bild 20, DIN [A1] (f ck = 40 MN/m², Zement 32,5) Ablesung: ε cas = -0,11

13 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 13 Trockenschwindmaß ε cds Anwendung Bild 21, DIN [A2] wirksame Bauteildicke: h 0 = 2 A / u A = 0,50 1,0 = 0,50 m² u = 1,0 m (nur Oberseite) h 0 = 2 0,5 / 1,0 = 1,0 m = 1000 mm relative Luftfeuchte: RH = 80 % Ablesung: ε cds = -0,14 Gesamtschwindmaß: ε cs = 0,11 + 0,14 = 0,25 meteorologische Einwirkung: ϑ m = 30 K (Übernahme des Vorschlages) Temperaturdehnung: ε T = ϑ m α T = 30 1, = 0,33 Gesamtdehnung aus lastunabhängigen Einwirkungen: ε ew = 0,25 + 0,33 = 0,58 2. Schritt: Ermittlung der vertikalen Spannungen aus äußeren Lasten Eigengewicht: g d = 0,5 25,0 = 12,5 kn/m² Verkehrslast: q d = 3,0 10,0 = 30,0 kn/m² σ V = 42,5 kn/m² 3. Schritt: Berücksichtigung der Lagerungsbedingungen Lagerung auf PE-Folie: µ 0,6 (vorsichtige Annahme nach [A6]) a) Bestimmung des Behinderungsgrades für elastische Kopplung: 1 1 k. = = ( EA) So 1+ ( ,5) EA + 0,25 l E 0 + 0,25 60,0 150 elast = ( ) UB So Er 0,115 b) Behinderungsgrad bei Entkopplung von Sohlplatte und Boden: 3 σv , kµ = µ lµ = 0,6 3 d E ε 2 0, ,58 So So ew = 0,076 1 c) Entfernung von Plattenmitte, von der an ein Gleiten der Sohle zu erwarten ist µ σ 8 ε lso ² EA 0,6 42,5 10 = 0, , ,0² 3 v xres = = 3 k elast. ew So ψ ( ,5 ) 0,7 14,25 m x res = 14,25 m < 60 / 2 = 30 m es tritt eine teilweise Entkopplung der Sohlplatte auf

14 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 14 d) Berechnung eines resultierenden Verformungsbehinderungsgrades: k res xres 0,5 lso xres = k elast. + kµ 0,5 l 0,5 l So So 14,25 0,5 60,0 14,25 = 0, ,076 = 0,095 0,5 60,0 0,5 60,0 4. Schritt: Bestimmung der zentrischen Zwangskraft in Plattenmitte σ zwang = k res ε ew E so = 0,095 0, = 1,901 MN/m² F zwang = σ zwang A ct = 2,461 (0,5 1,0) = 0,950 MN 5. Schritt: Ermittlung der zentrischen Risskraft F cr = k c k f ct,m A ct mit: k c = 1,0 k = 0,8-0,3 0,2 / 0,5 = 0,68 f ct,m = 3,5 MN/m² A ct = 0,5 m² F cr = 1,0 0,68 3,5 0,5 = 1,190 MN > F zwang erforderliche Bewehrung kann für die kleinere Zwangskraft ermittelt werden!! 6. Schritt: Rissbreitenbeschränkung nach DIN Bemessung der Bewehrung zur Rissbreitenbeschränkung für die Zwangskraft Fzwang erf. A s = σs Bestimmung des Vergleichsdurchmessers: für Stabdurchmesser 10 mm * 4 ( h d) fct,0 fct,0 ds = ds ds k k h f f c t ct,eff ( 50 44) ct,eff 4 3,0 3,0 d * s = ,0 0, ,5 3,5 2 3,0 3,0 d * s = 14,12 = 12,1mm 10= 8,6 mm 3,5 3,5 Ablesen der Stahlspannung aus [A4]: σ s = 280 N/mm² Stahlspannung σ s Grenzdurchmesser der Stäbe in mm in Abhängigkeit vom Rechenwert der Rissbreite w k N/mm² w k = 0,4 mm w k = 0,3 mm w k = 0,2 mm erf. A s = 0,95 / 280 = 33, m²/m = 33,9cm²/m

15 Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 15 5 Literatur [1] DIN , Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton Teil 1: Bemessung und Konstruktion, Juli 2001 [2] Betonbau beim Umgang mit wassergefährdenden Stoffen, DAfStb-Richtlinie; Entwurf Juni 1996 [3] Wasserundurchlässige Becken und Behälter in Stahlbeton, Dissertation Rolf Sommer; Essen 1993 [4] Grundbau 1: Bodenmechanik und erdstatische Berechnungen, Konrad Simmer; 19. Auflage Stuttgart 1994 [5] Rissbreitenbegrenzung von Sohlplattenkonstruktionen aus Stahlbeton, Diplom Michael Fischer; Detmold 2001