Statisches System und Auflagerdetail A

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1 .9 Bemessungsbeispiel.9. Einachsig gespannte Decke Eingangswerte h/d 8 cm / 5 cm Stützweite l = 4,0 m (Einfeldträger, direkte Lagerung) Verkehrslast q k =,5 kn/m Eigengewicht (Decke + Ausbau) g k = 6,0 kn/m Beton C0/5 Gitterträger Standardträger, s T = 6,5 cm, h GT = cm (Untergurt 5, Obergurt 8, Diagonale 5) Innenbauteil Expositionsklasse XC d A h A h Auflager _> 3 5 l b, net Längsbewehrung d s = 6-6 mm Querbewehrung SysproTEC-Fertigplatte, Beton _> C0/5 A g, q 4,0 m Bild.3: Statisches System und Auflagerdetail A Der Bemessungswert der einaxialen Betondruckfestigkeit f cd und der Stahlstreckgrenze f yd ergibt sich nach DIN 045- bzw. nach Abschnitt, Tabelle.3, weiter vorne: f ck γ c f cd = α = 0,85 0/,5 =,33 MN/m f yk γ c f yd = = 500/,5 = 435 MN/m für gerippte Stäbe 85

2 Unter Anwendung folgender Gleichung nach DIN sind verschiedene Lastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit zu berücksichtigen. E d = Σ γ G,j G Q, Q k, + Σ γ Q,i ψ 0, Q k,i j j> Es ergibt sich somit folgende Lastkombination für die einwirkende Bemessungslast q d : q d =,35 g k +,5 q k =,35 6,0 +,5,5 = 0,35 kn/m Daraus folgen die Bemessungsschnittgrößen zu: Moment in Feldmitte: Querkraft am Auflager: 4,0 M Ed = 0,35 = 0,7 knm/m 8 4,0 V Ed = 0,35 = 0,7 kn/m Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit Die Bemessung für Biegung erfolgt nach dem Bemessungsverfahren mit dimensionslosen Beiwerten. Da keine Normalkräfte wirken, entspricht das Moment in der Schwereachse M Ed dem Moment M Eds auf Höhe der Bewehrung. Es gilt: µ Eds = M Eds = 0,007 = 0,08 b d f cd,0 0,5,3 Aus der Bemessungstabelle in Bild.8 lassen sich damit die Beiwerte ablesen: ω = 0,08; x/d = 0,09; σ sd = 457 N/mm Mit σ sd = 457 N/mm ist der ansteigende Ast der Spannungs-Dehnungs-Linie nach Bild 7 der Norm erfasst. Die erforderliche Bewehrung berechnet sich zu: a s,erf = (ω b d f cd ) = (0,08,0 0,5,3) 0 4 = 3,0 cm /m σ sd 457 Gewählt: Ø 8/8 und Untergurte der Gitterträger ( Ø 5 / 6,5 = > a s = 0,63 cm /m) Damit insgesamt a s,vorh = 0,63 +,79 = 3,4 cm /m > 3,0 cm /m Die Zulagebewehrung wird nicht über die Bauteillänge abgestuft, so dass mehr als die geforderten 50 % der Feldbewehrung über das Auflager gezogen werden. Mindestbewehrung nach Tabelle.0: M cr =,9 knm/m < M Ed = 0,7 knm/m 86

3 Der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft darf bei direkter Lagerung und gleichmäßig verteilten Lasten nach DIN 045-, Abschnitt 0.3.() in einem der statischen Nutzhöhe d entsprechenden Abstand vom Auflagerrand ermittelt werden: V * Ed = 0,7 - (0,058 { + 0,5) 0,35 = 8,5 kn/m { /3 Auflagerbreite d Bemessungswert der Tragkraftfähigkeit V Rd,ct ohne erforderliche Querkraftbewehrung V Rd,ct = [0, κ (00 ρ l f ck ) /3 ] b w d Mit der Fläche der gewählten Zugbewehrung a s,vorh beträgt der Längsbewehrungsgrad ρ I a s,vorh,79 0 ρ l = = -4 = 0,0086 b w d,0 0,5 Die Untergurtstäbe der Gitterträger werden nicht verankert (siehe Seite 99) und sind daher nicht für den Längsbewehrungsgrad ρ I anzusetzen. Unter Berücksichtigung des Einflusses der Bauteilhöhe k = + 00 / 50 =,5 κ=,0 ergibt sich: V Rd,ct = [0,,0 (00 0,0086 0) /3 ],0 0,5 = 0,047 MN/m > V * Ed = 0,085 MN/m Verbundfuge zwischen Fertigteil und Ortbeton Die einwirkende Schubkraft V Ed berechnet sich zu: F cdj F cd V ed v * Ed = = 8,5 /(0,9 0,5) = 37,0 kn/m z Ohne Anordnung einer Verbundbewehrung beträgt der Bemessungswert der aufnehmbaren Schubkraft: v Rd,ct /3 = [0,04 η β ct f ck ] b = [0,04,0,0 0 /3 ],0 0 3 = 8,0 kn/m > 37,0 kn/m In diesem Beispiel wird eine raue Oberflächenbeschaffenheit der Fuge angenommen. Es ist somit rechnerisch keine Verbundbewehrung zur Übertragung der Schubkraft erforderlich. 87

4 Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit Spannungsnachweise für Betondruckspannungen und Betonstahlspannungen können entfallen, da es sich um ein nicht vorgespanntes Tragwerk im üblichen Hochbau handelt und die Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie ermittelt und nicht mehr als 5 % umgelagert wurden (DIN 045-,.. (3)). Eine Begrenzung der Rissbreite ist nicht erforderlich, da es sich um eine biegebeanspruchte Platte in Innenräumen mit h 0 cm handelt (DIN 045-,.. ()). Die Biegeschlankheit l/d der Platte beträgt: l = 4,0 = 6,7 < zulässig l = 35 bzw. 50 = 37,5 d 0,5 d 4,0 Somit ist der Nachweis zur Begrenzung der Verformung nach DIN 045-,.3. () erfüllt. Konstruktion Die am Auflager ankommende Bewehrung ist zu verankern. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Untergurtstäbe der Gitterträger 0,5 bis cm vor den Stirnseiten der Fertigplatte im Beton enden. Sie werden bei dem Nachweis der Verankerung nicht mit berücksichtigt. Die Zulagebewehrung (Ø 8/8; a s =,79 cm /m) wird nicht abgestuft und kann somit vollständig zur Verankerung herangezogen werden. Das Grundmaß der Verankerungslänge l b beträgt für die 8 mm-bewehrungsstäbe in einem Beton C 0/5 gemäß Abschnitt l b = 47 d S = 37,8 cm. Dabei wird die Bewehrung mit f yd ermittelt. Bei reiner Biegung ist die zu verankernde Zugkraft an den Endauflagern gleich der einwirkenden Querkraft V Ed. Der erforderliche Bewehrungsquerschnitt bestimmt sich durch: V erf a s = Ed 0,7 = = 0,48 cm /m f yd 43,5 Die tatsächlich erforderliche Verankerungslänge l b,net beträgt damit: A l b,net = α a l b s,erf 0,48 =,0 37,8 = 6,5 cm A s,vorh,79 Die Mindestverankerungslänge l b,min berechnet sich für Zugstäbe zu 0,3 α a l b = 0,3 37,8 =,3 cm (maßgebend) l b,min = { 0 ds = 8 cm Bei direkter Lagerung darf abgemindert werden (DIN 045-, 3.. (8)): {,3 = 7,53 cm (maßgebend) 3 l b,dir = 6 ds = 4,8 cm Diese Verankerungslänge kann bei einer Auflagertiefe von 7,5 cm sicher eingehalten werden. 88

5 .9. Hohe Querkraftbeanspruchung Zur Verdeutlichung der Bemessung der Verbundfuge bei hoher Schubbeanspruchung, wird die Platte aus Beispiel nun für ein Moment von 40 knm/m und einer Querkraft von 80 kn/m bemessen. Die Nachweise entsprechen dem Beispiel bis auf die Nachweise für Querkraft und für die Verbundfuge, daher wird nachfolgend nur noch auf diese beiden Nachweise eingegangen. Eingangswerte M Ed = 40,0 knm/m und V Ed = 80,0 kn/m Die Querkraft im Abstand d vom Auflager beträgt V * Ed = 70,0 kn/m Aus dem Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit für Biegung ergibt sich a s = 6,8 cm /m. Diese Längsbewehrung wird für die weiteren Nachweise angesetzt. Querkraftnachweis Der Bemessungswert ohne Querkraftbewehrung beträgt nach Tabelle.4 näherungsweise: V Rd,ct /d = 376 kn/m < V * Ed /d = 70 / 0,5 = 467 kn/m Damit ist Querkraftbewehrung erforderlich. Gewählt: Standardträger: s T = 6,5 cm; s d = 0 cm; Ø diag = 5 mm (0,96 cm, glatte Stäbe) dazwischen Querkraftträger Ø diag = 7 mm (0,385 cm ) Die Standardträger reichen nicht aus: a s,vorh = 0,96 / (0,65 0,0) = 3,4 cm /m V Rd,sy = a sw f yd z (cotθ + cotα) sinα = = 3,4 36,5 0,9 0,5 (, + cot 45) sin 45 = 4 kn/m Für die Querkraftträger wird mit a s,vorh = 0,385 / (0,65 0,0) = 6,8 cm /m: Zum Vergleich aus Tabelle.5 b: V Rd,sy = a sw f yd z [(cotθ + cot45 ) sin45 + (cotθ + cot90 ) sin90 ] = = 6,8 36,5 0,9 0,5 ((,0 +,0) 0,707 +,0)) = = 75 kn/m > V * Ed = 70 kn/m V Rd,sy = 543 (0,9 0,5) = 73 kn/m 89

6 Die maximale Druckstrebentragfähigkeit ist nach Tabelle.6 für α = 90 eingehalten. Mit 0,3 V Rd,max / z = 75 kn/m wird 0,3 V Rd,max = 75 0,9 0,5 = 7 kn/m > V Ed = 80,0 kn/m Nachweis der Verbundfuge Einwirkende Schubkraft V Ed = Fcdj VEd F z = 70 / (0,9 0,5) = 59 kn/m Bemessungswert v Rd,ct einer rauen Verbundfuge nach Tabelle.8: V Rd,ct = 8 kn/m < V Ed Folglich ist eine Verbundbewehrung entsprechend Tabelle.9 vorzusehen. Es ergibt sich für V Rd,sy = V Ed = 57 kn/m : cotθ =,4 a s,erf = 8,0 cm /m cd Damit sind die vorgesehenen Querkraft- und Standard-Gitterträger ausreichend..9.3 Zweiachsig gespannte Decke Eingangswerte h/d x (d y ) Stützweite 0 cm / 7,5 cm (4,0 cm siehe Erläuterung auf Seite 9) l x / l y = 5,5 m / 6,6 m (zweiachsig gespannte Platte, direkte Lagerung) Verkehrslast q k = 3,5 kn/m Eigengewicht (Decke + Ausbau) g k = 6,5 kn/m Beton C0/5 Gitterträger Standardträger, s T = 50 cm, h GT = 4 cm (Obergurt Ø 8, Untergurt Ø 5, Diagonale Ø 5) Innenbauteil Expositionsklasse XC Bemessungswerte: f cd =,33 MN/m f yd = 435 MN/m 90

7 d A h A h Auflager _> 3 5 l b, net Längsbewehrung d s = 6-6 mm Querbewehrung SysproTEC-Fertigplatte, Beton _> C0/5 A g, q x Draufsicht: 5,50 m y 6,60 m Schnitt - 5,50 m Bild.3: Statisches System und Auflagerdetail A Die Decke ist in x-richtung gelenkig an die Wand angeschlossen. In y-richtung liegt einseitig eine Einspannung vor. Es ergeben sich mit dem Verfahren nach Czerny [.0] für das Verhältnis l y /l x = 6,6 / 5,5 =, die in Tabelle.4 angegebenen Schnittgrößen. Feldmoment Feldmoment Stützmoment Querkraft Querkraft Querkraft x-richtung y-richtung y-richtung x-richtung y-richtung y-richtung (gelenkig) (eingespannt) m xm [knm/m] m ym [knm/m] m yerm [knm/m] q x [kn/m] q y,rm [kn/m] q y,erm [kn/m] Eigengewicht g = 6,5 kn/m 7,6 6,8 9,5 5,6,,9 Nutzlast q = 3,5 kn/m 4, 3,7 0,5 8,4 6,5,3 Tabelle.4: Schnittgrößen nach Czerny [.0] 9

8 Über die entsprechenden Sicherheitsbeiwerte ergeben sich die Bemessungsschnittgrößen: Feldmoment Feldmoment Stützmoment Querkraft Querkraft Querkraft x-richtung y-richtung y-richtung x-richtung y-richtung y-richtung (gelenkig) (eingespannt) m Ed, xm [knm/m] m Ed, ym [knm/m] m Ed, yerm [knm/m] q Ed, x [kn/m] q y,rm [kn/m] q y,erm [kn/m] 6,4 4,7 4, 33,7 6,0 49,5 Tabelle.5: Bemessungsschnittgrößen Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit Die Bemessung für Biegung erfolgt wie bei einachsig gespannten Platten nach dem Verfahren mit dimensionslosen Beiwerten. Es sind jedoch die unterschiedlichen statischen Nutzhöhen d x bzw. d y zu berücksichtigen. Die statische Nutzhöhe in x-richtung im Feld und in y-richtung im Stützbereich ergibt sich aus der Betondeckung (hier,5 cm) zu d x = 7,5 cm. In y-richtung wird die Längsbewehrung auf der Fertigteilplatte im Ortbeton angeordnet. Nach Bild.5 ist für die Bewehrung in y-richtung eine Betondeckung von c nom = c min = 0,5 cm einzuhalten. Dabei ist zur Verbundsicherung die Rautiefe von etwa 3 mm berücksichtigt. Mit einem Stabdurchmesser d s < 0 mm ergibt sich mit der Fertigteilplattendicke h = 5 cm eine statische Nutzhöhe in y-richtung von d y = 4 cm. Der maximal zulässige Höhenabstand zwischen den beiden Längsbewehrungen wird dabei eingehalten. Da keine Normalkräfte wirken, entspricht das Moment in der Schwerachse M Ed dem Moment M Eds auf Höhe der Bewehrung. Es gilt: M µ Ed,sx = Eds = = 0,047 (Feldbereich x-richtung) b. 0,064 d x. fcd,0. 0,75.,3 M Eds µ Eds,y = = = 0,066 (Feldbereich y-richtung) b. 0,047 d y. fcd,0. 0,4.,3 M µ Eds,y,erm = Eds = = 0, b. 0,04 d y. fcd,0. 0,75.,3 (Stützbereich y-richtung) Aus Tabelle.8 lassen sich die Beiwerte ablesen: ω x = 0,048 ; x x /d x = 0,073; σ sd,x = 457 N/mm ω y = 0,068 ; x y /d y = 0,079; σ sd,y = 457 N/mm 9

9 ω y,erm = 0,3; x y,erm /d y,erm = 0,6; σ sd,y,erm = 450 N/mm Dabei ist x y,erm = 0,6. 0,75 = 0,08 < 0,05 = h (Fertigplattendicke) eingehalten. Die erforderliche Bewehrung berechnet sich zu: a sx,erf = (ω x b d x f dc ) = (0,048,0 0,75,3) 0 4 =, cm /m σ sd,x 457 a sy,erf = (ω y b d y f dc ) = (0,068,0 0,4,3) 0 4 =,4 cm /m σ sd,x 457 a sy,erm,erf = (ω y,erm b d y,erm f dc ) = (0,3,0 0,75,3) 0 4 = 5,8 cm /m σ sd,y,erm 450 Gewählt: x-richtung: Ø 8/5 und Untergurte der Gitterträger ( Ø 5 / 50 = > a s = 0,78 cm /m) a sx,vorh = 0,78 +,0 =,79 cm /m >, cm /m y-richtung: im Feld Ø 0/5 und im Stützbereich Ø /5 a sy,vorh = 3,4 cm /m >,4 cm /m (Feldbewehrung) a sy,erm,vorh = 7,54 cm /m > 5,8 cm /m (Stützbewehrung) Mindestbewehrung nach Tabelle.0: Zulagebewehrung: M cr = 4,7 knm/m. Das Rissmoment ist kleiner als das Bemessungsmoment, und somit nicht maßgebend. wird nicht über die Bauteillänge abgestuft, so dass mehr als die geforderten 50 % der Feldbewehrung über das Auflager gezogen werden. Der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft darf bei direkter Lagerung und gleichmäßig verteilten Lasten nach DIN 045-, Abschnitt 0.3.() in einem der statischen Nutzhöhe d entsprechenden Abstand vom Auflagerrand ermittelt werden. Da diese Abminderung bei zweiachsig gespannten Platten relativ gering ist kann sie auf der sicheren Seite liegend vernachlässigt werden. Die Querkrafttragfähigkeit ist am Auflager zu prüfen: x-richtung: q Ed,x y-richtung: q y,rm mit gelenkiger Lagerung bzw. q y,erm mit Einspannung Mit den Parametern a) Längsbewehrungsgrad ρ l a sx,vorh,0 ρ l,x = =. 0-4 = 0,00 b w. d,0. 0,75 93

10 a sy,vorh 3,4 0 ρ l,y = = -4 = 0,00 b w d,0 0,4 a sy,erm,vorh 7,5 0 ρ l,y,erm = = -4 = 0,0043 b w d,0 0,75 b) Bauteilhöhe κ = + 00/75 =,07 κ=,0 κ = + 00/40 =,0 κ=,0 (x-richtung, y-richtung Stützbereich) (y-richtung Feldbereich) ergibt sich die Tragkraftfähigkeit V Rd,ct ohne Querkraftbewehrung aus der Interpolation mit den Werten der Tabelle.4 zu: V Rdx,ct V Rdy,ct = 70 0,75 = 47 kn/m > V Ed = 33,7 kn/m = 330 0,40 = 46 kn/m > V Ed = 6, kn/m V Rdy,erm,ct = 370 0,75 = 65 kn/m > V Ed = 49,5 kn/m Da für diese Platte gemäß Seite 66 keine Mindestquerkraftbewehrung gefordert wird, ist eine Querkraftbewehrung nicht erforderlich. In diesem Falle kann nach DIN 045- der Nachweis der Druckstrebentragfähigkeit entfallen. Verbundfuge zwischen Fertigteil und Ortbeton Anders als für die Querkraft muss die Verbundfuge nur in x-richtung und in y-richtung an der Einspannung nachgewiesen werden. Am gelenkigen Lager in y-richtung erfolgt die Lastabtragung ausschließlich über den Ortbeton, da sowohl die Druckzone als auch die Biegezugbewehrung im Ortbeton liegt. Die einwirkende Schubkraft V Ed berechnet sich zu: v Edx = F cdj = 33,7 = 4,0 kn/m z 0,9 0,75 F cd F cdj F cd V Ed V Ed v Edy,erm = = 49,5 = 34 kn/m z 0,9 0,75 Der Bemessungswert der aufnehmbaren Schubkraft v Rd,ct unter Annahme einer rauen Oberfläche ergibt sich nach Tabelle.8: { > v v Rd,ct = 8,0 kn/m Edx = 4 kn/m < v Edy,erm = 34 kn/m 94

11 Damit ist in x-richtung keine Verbundbewehrung erforderlich, für die y-richtung ist jedoch die notwendige Verbundbewehrung zu berechnen. Der aufnehmbare Schubkraft in bewehrten Fugen ist in Tabelle.9 angegeben: - cotθ = 3,0 - a s,erf = 3,0 cm /m Es wird ein Standardgitterträger (Ø diag 5 mm: 0,96 cm /m ) mit einer Höhe von 4 cm und einem Abstand von s T = 50 cm und s d = 0 cm verwendet. Die vorhandene Verbundbewehrung beträgt: a s,vorh = 0,96 / (0, 0,5) = 3,9 cm /m > a s,erf = 3,0 cm /m Die verwendeten Gitterträger sind somit ausreichend. Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit Für die Spannungsnachweise und die Rissesicherung gelten analog die Ausführungen zu Beispiel. Die Biegeschlankheit ist in beiden Richtungen nachzuweisen. Aufgrund der einseitigen Einspannung darf die Spannweite in y-richtung mit dem Faktor von 0,8 abgemindert werden (DIN 045-, Tabelle ). Da in x-richtung keine Einspannung vorliegt, darf die Spannweite in x-richtung nicht variiert werden. Die Ersatzstützweiten ergeben sich zu: { 5,5 m l i = 0,8. 6,6 = 5,8 (maßgebend) Die Biegeschlankeit l/d der Platte beträgt damit: l = 5,8 = 30, < zulässig l = 35 (bzw. 50 = 8,4 nicht erfüllt) d 0,75 d 5,8 Somit ist der Nachweis zur Begrenzung der Verformung nach DIN045- nur für einfache und nicht für höhere Anforderungen erfüllt. Nichttragende Wände unter der Decke sind daher nach DIN 045-, Abschnitt.3. (0) so zu konstruieren, dass sie Verformungen von etwas mehr als l/500 z. B. durch Anordnung einer Schattenfuge ohne Schaden aufnehmen können. 95

12 Verankerungslängen Der Nachweis für die x-richtung der am Auflager ankommende Bewehrung ist analog zu Beispiel. Beim Nachweis der y-richtung ist zu beachten, dass in dieser Richtung keine Gitterträger liegen und die Bewehrung im Ortbeton angeordnet ist. Diese Bewehrung (Ø 0/5; a s = 3,4 cm /m) wird nicht abgestuft und kann somit vollständig zur Verankerung herangezogen werden. Die Zahlenwerte für die Verankerung ergeben sich analog zu Beispiel für die 0-mm-Bewehrungsstäbe in einem Beton C0/5 (f bd =,3 N/mm ): d l b = s f yd 0,0 435 = = 473 mm = 47,3 cm 4 f bd 4,3 V Ed erf a s = = 6,0 = 0,60 cm /m f yd 43,5 l b,net = α a l b A s,erf =,0 47,3 0,60 = 9,0 cm A s,vorh 3,4 l b,min = { 0,3. α a. lb = 0,3. 47,3 = 4, cm 0.,0 = 0 cm Somit ergibt sich eine erforderliche Verankerungslänge von 4, cm, die aufgrund der direkten Lagerung mit dem Faktor /3 auf 9,5 cm abgemindert werden darf. Diese Verankerungslänge kann bei einer Auflagertiefe von 7,5 cm sicher eingehalten werden. Verankerung der unteren Bewehrung am eingespannten Auflager Das eingespannte Auflager entspricht in etwa einem Zwischenauflager. Daher ist die dort ankommende untere Bewehrung mindestens 6 d s = 6 cm über den Auflagerrand zu führen. Es wird empfohlen, wegen rechnerisch nicht berücksichtigte Beanspruchungen die Verankerungslänge größer als 6 d s zu wählen und die Stäbe bis über die Auflagermitte zu führen. Obere Bewehrung Bei der oberen Bewehrung ist der Nachweis als Ortbeton zu führen. Zu beachten ist, dass hierbei das Grundmaß der Verankerung infolge des oberen angesetzten Astes der Stahl-Spannungs-Dehungs-Linie mit σ Sd = σ Su /γ durchzuführen ist. 96