Elementarteilchenphysik

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1 Elementarteilchenphysik Notizen zur Vorlesung ES 2002/ Juni TEIL I: KAPITEL 1-5 Autoren: V. Blobel, A. Meyer, B. Naroska Institut für Experimentalphysik Universität Hamburg WS 2002/03

2 ii Physikalische Konstanten 1 Größe Symbol, Gleichung Wert Lichtgeschwindigkeit im Vakuum a c m s 1 Plancksche Konstante h (40) J s Plancksche Konstante, reduziert h (63) J s (20) MeV s Elementarladung e (49) C (15) esu Umrechnungsfaktor hc (59) MeV fm Umrechnungsfaktor ( hc) (23) GeV2 mbarn Elektronenmasse m e (15) MeV/c (54) kg Protonmasse m p (28) MeV/c (10) kg (12) u (37) m e Deuteronmasse m d (57) MeV/c 2 Atomare Masseneinheit b (1g)/(N A Mol) (28) MeV/c (28) MeV c (10) kg permittivity of free space c ε F m 1 permeability of free space c µ 0 4π 10 7 N A N A 2 Feinstrukturkonstante d α = e 2 /4πε 0 hc 1/ (61) Klassischer Elektronenradius r e = e 2 /4πε 0 m ec (38) m Comptonwellenlänge des Elektrons λ e/2π = h/m ec = r eα (35) m Bohrscher Radius e a = r eα (24) m Wellenlänge eines 1 ev-teilchens hc/e (37) 10 6 m Rydberg-Energie e hcr = m ec 2 α 2 / (40) ev Thomson-Wirkungsquerschnitt σ T = 8πre/ (18) barn Bohrsches Magneton µ B = e h/2m e (52) MeV T 1 Kernmagneton µ N = e h/2m p (28) MeV T 1 Zyklotronfrequenz/Feld (Elektron) ωcycl e /B = e/me (53) 1011 rad s 1 T 1 Zyklotronfrequenz/Feld (Proton) ω p cycl /B = e/me (29) 107 rad s 1 T 1 Gravitationskonstante f G N (85) m 3 kg 1 s (86) hc(gev/c 2 ) 2 Standard-Gravitationsbeschleunigung g g m s 2 Avogadrosche Zahl N A (36) mol 1 Boltzmann-Konstante k (12) JK (73) 10 5 ev K 1 Molarvolumen h N A k(273.15)/101325pa) (19) 10 3 m 3 mol 1 Wiensche Konstante b = λt max (24) 10 3 m K Stefan-Boltzmann-Konstante σ = π 2 k 4 /60 h 3 c (19) 10 8 W m 2 K 4 Fermi Kopplungskonstante G F /( hc) (1) 10 5 GeV 2 Schwacher Mischungswinkel sin 2 ϑ(m Z ) (24) W ± Bosonenmasse m W 80.41(10) GeV/c 2 Z 0 Bosonenmasse m Z (7) GeV/c 2 Kopplungskonst. der starken WW α s(m Z ) 0.119(2) a Exakt. Das Meter ist die Strecke, die Licht im Vakuum im 1/ Teil einer Sekunde zurücklegt. b Masse des 12 C-Atoms/12. c Exakt. ε 0 µ 0 = 1/c 2. d Bei Q 2 = 0. Bei Q 2 m 2 W ist der Wert etwa 1/128. e Kernmasse angenommen. f Absolute Messungen von G N im Labor gibt es nur bei Entfernungen 10 1±1 m. g Exakt. Auf Meereshöhe. h Ideales Gas bei STP. j Im MS Schema. 1 Grundlage ist 1986 Adjustment of the Fundamental Physical Constants by E.R. Cohen and B.N. Taylor, Rev. Mod. Phys. 59, 1121 (1987). Der gesamte Satz der 1986 Konstanten (und eventueller neuer Werte) ist zu finden unter Die letzte Gruppe von Konstanten stammt aus der Review of Particle Physics, The European Physical Journal C, 1998.

3 Inhaltsverzeichnis LITERATUR vii 1 Einführung Die Teilchen des Standardmodells Elektron Photon Antiteilchen; Positron e Elektron-Neutrino und Antineutrino Weitere Leptonenfamilien Hadronen, Quarks Baryonenzahl Quarks Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme Kräfte, Teilchenaustausch, Reichweite Das Yukawa Potential Relativistische Wellengleichungen Relativistische Kinematik Spezielle Relativitätstheorie Lorentztransformation Vierervektoren Energie und Impuls Einheiten und Dimensionen Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle Kinematik von Teilchenreaktionen Wirkungsquerschnitt Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten Goldene Regel Flußfaktor und Wirkungsquerschnitt Teilchenzerfälle Glossar Teilchenbeschleuniger Einleitung Strahloptik und Betatronschwingungen Beschleunigung und Synchrotronschwingungen Synchrotronstrahlung Strahlungsdämpfung und Quantenanregung

4 iv INHALTSVERZEICHNIS 3.5 Teilchenquellen und Vorbeschleuniger Kreisförmige und lineare Collider Kosmische Beschleuniger Einige Beschleunigeranlagen Erhaltungssätze und Symmetrien Symmetrieeigenschaften Räumliche Translation und Impulserhaltung Drehimpuls Addition von Drehimpulsen Spin-Statistik-Theorem Spin 1/ Isospin und Flavour-Symmetrien Interim: Entdeckung der Seltsamkeit Isospin Isospin und das π-n-system Diskrete Symmetrien Parität Parität von Drehimpulszuständen Parität von Fermionen und Antifermionen Das elektromagnetische Feld und Photonen Die Eigenparität des π Quarkmodell Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung Ladungskonjugation C-Parität Experimentelle Tests der C-Invarianz Verletzung der C-Invarianz in schwacher Wechselwirkung G-Parität CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen CP -Eigenzustände Oszillationen der Seltsamkeit K 0 -Regeneration CP -Verletzung Zeitumkehr Das CP T -Theorem Zusammenfassung und Quantenzahlen Teilchennachweis und Detektoren Wechselwirkung von Teilchen mit Materie Wechselwirkung schwerer geladener Teilchen: IONISATION Eigenschaften der Bethe Bloch Formel Vielfachstreuung Čerenkovstrahlung Energieverlust von Elektronen: Bremsstrahlung Wechselwirkung von Photonen mit Materie Starke Wechselwirkung von Teilchen mit Materie

5 INHALTSVERZEICHNIS v 5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen Impulsmessung Szintillatoren Blasenkammer Proportional- und Driftkammern Halbleiterdetektoren/Mikro-Vertexdetektoren Kalorimeter Elektromagnetische Kalorimeter (Schauerzähler) Hadronische Kalorimeter Ein Speicherringdetektor Feynmandiagramme und Test der QED Teilchen-Antiteilchen Elementare Prozesse und Feynman-Graphen in der QED Einige Reaktionen und Tests der QED Feynmanregeln und Berechnung von σ (e + e µ + µ ) Der Bosonpropagator Test der QED: anomales magnetisches Moment des Myons Quarks und Hadronen Einleitung Die Entdeckung der schweren Quarks Die leichten Hadronen Die leichten Mesonen Die leichten Baryonen Massenaufspaltung der Baryonen Supermultipletts Farbe Farbladungen und Confinement Gluonen e + e Hadronen Hadronisierung Entdeckung der Gluonen Spin des Gluons Die laufende starke Kopplung α s Nochmal: Zerfall des J/ψ Tiefunelastische Streuung: Struktur des Nukleons Einleitung Elastische Streuung Elastische Streuung an Punktladungen Elastische Streuung an einer Ladungsverteilung Elastische Elektron Proton Streuung Unelastische Streuung Kinematik von unelastischer Streuung Quark Parton Modell Quarkverteilungen im Nukleon Quarkladungen

6 vi INHALTSVERZEICHNIS Quarkimpulssummen Gluonen Strukturfunktion F 2 (x, Q 2 ) bei HERA QCD-Dynamik QCD-Konsistenztests Die Suche nach Quarksubstruktur Schwache Wechselwirkungen Zerfall des Pions und Struktur der schwachen Wechselwirkung Neutrinostrahlen und Entdeckung der neutralen schwachen Wechselwirkung Universalität der schwachen Wechselwirkung Leptonuniversalität Fermi-Kopplungskonstante Schwache Wechselwirkung von Quarks Die Z 0 und W ± Bosonen Entdeckung der Z 0 und W ± Bosonen Paritätsverletzung beim W Zerfall Präzisionsvermessung des W Bosons Z 0 Produktion an e + e Speicherringen Anzahl der Neutrinos Mischung von 3 Familien: CP Verletzung und Top Quark Entdeckung des Top Quarks Neutrinophysik Neutrino Entdeckung und Nachweis Bestimmung der Neutrinomasse Neutrino mass and oscillations Dirac and Majorana mass Neutrino oscillations (Zeitentwicklung) Experimente zu Neutrino Oszillationen Neutrinos von der Sonne Nachweis Sudbury Neutrino Observatory (SNO) Atmosphärische Neutrinos

7 INHALTSVERZEICHNIS vii LITERATUR Als begleitendes Buch zur Vorlesung geeignet: Martin + Shaw Particle Physics Verlag: John Wiley & Sons (2nd edition 1997) Mein Kommentar: Ausgezeichnete Einführung, enthält alle Themen, auch moderne, allerdings ist die Behandlung etwas oberflächlich. David Griffiths Einführung in die Elementarteilchenphysik Deutsche Ausgabe vergriffen Harper and Row Publishers, 1987 (englisch) Mein Kommentar: Exzellente etwas theoretisch orientierte Einführung. Moderne Entwicklungen nicht enthalten. Die beiden folgenden Bücher gehören zusammen und man braucht beide. E. Lohrmann Einführung in die Elementarteilchenphysik Verlag: B.G. Teubner Stuttgart, 2. Auflage 1990 E. Lohrmann Hochenergiephysik Verlag: B.G. Teubner Stuttgart, 4. Auflage 1992 Mein Kommentar: Ausgezeichnete Bücher, enthalten alles, was man braucht (und vieles mehr!!!!). Die Erklärungen sind äußerst knapp gehalten. Auch geeignet: D.H. Perkins Introduction to High Energy Physics Verlag: Addison Wesley, 4th edition, 2000 Mein Kommentar: Generationen haben damit gearbeitet. 4. Auflage enthält alle modernen Entwicklungen. Teilweise viele Worte und wenig Rechnung. Deutsche Ausgabe von 3. Auflage mit einigen Fehlern.

8 viii INHALTSVERZEICHNIS C. Berger Teilchenphysik Verlag: Springer 2001, 2. Auflage brandneu. Mein Kommentar: Sehr schönes Buch, ein etwas anderer Zugang als in Hamburg üblich. Ferner (nicht als alleinige Literatur geeignet): K. Bethge + U.E. Schröder Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen Verlag: Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt, 2. überarbeitete Auflage 1991 B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche Teilchen und Kerne Verlag Springer, 5. Auflage 1999, eher Denkweise der Kernphysik I.S. Hughes Elementary Particles Verlag: Cambridge University Press, 3. Auflage 1991 Mein Kommentar: Viel ausführlicher als Lohrmann, enthalten vieles, was man braucht. Starke Betonung des hadronischen Sektors. Weiterführende Literatur (theoretisch) F. Halzen, A.D. Martin Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics John Wiley & Sons O. Nachtmann Elementarteilchenphysik; Phänomene und Konzepte F. Vieweg & Sohn Spezielle Bücher für apparative Kapitel R. Fernow Introduction to experimental particle physics Cambridge University Press K. Kleinknecht Detektoren für Teilchenstrahlung Teubner Studienbücher W.R. Leo Particle Physics Experiments Springer Verlag 1987

9 Kapitel 1 Einführung Die Elementarteilchenphysik beschäftigt sich wie der Name sagt mit den elementaren oder auch fundamentalen Bausteinen der Natur. Allgemein versteht man darunter Teilchen, die nicht weiter zusammengesetzt sind. Im Laufe der Zeit hat sich mit verbesserten Experimenten der Begriff und seine Anwendung geändert. Im 19. Jahrhundert während der Entwicklung des periodischen Systems der Elemente, hielt man die Atome sicher für die fundamentalen Teilchen, später ihre Bausteine. Die ersten fundamentalen Teilchen, die entdeckt wurden, und die wir heute immer noch als solche akzeptieren, waren das Elektron und das Photon. Die anderen Teilchen, die das Atom bilden, Protonen und Neutronen im Atomkern, sind nicht elementar. Sie bestehen heutiger Kenntnis nach aus Quarks. Ob Quarks weiter teilbar sind oder nicht, weiss man nicht. Man weiss, daß sie Ausdehnungen weniger als m haben, wie alle heute bekannten Elementarteilchen. Die Suche nach Substruktur geht weiter. Wie geht man in der Teilchenphysik vor, um Erkenntnisse zu gewinnen? Das ist eine schwierige Sache, weil man viele der Teilchen mit herkömmlichen Methoden gar nicht sehen kann. Man muß Geräte bauen, die einem Information liefern: das sind heute (noch) zumeist Beschleuniger und Speicherringe, in denen man durch Kollisionen bei den höchsten erreichbaren Energien versucht, die Struktur der Teilchen zu verstehen. Hand in Hand damit geht ein Verständnis der Kräfte, die zwischen den Teilchen wirken. In der Teilchenphysik pflegt man nicht von Kräften zu sprechen, sondern von Wechselwirkungen. Es ist aber dasselbe gemeint. Der Ausdruck Wechselwirkung wird bevorzugt, weil er sich z.b. leichter auf Zerfälle anwenden läßt: man sagt, ein Teilchen zerfällt über die schwache Wechselwirkung. Die Wechselwirkungen, die in der Teilchenphysik wichtig sind, sind: Elektromagnetische Wechselwirkung Schwache Wechselwirkung Starke Wechselwirkung Es gibt eine weitere Wechselwirkung, die Gravitationswechselwirkung. Diese ist jedoch in der Praxis der Teilchenphysik so klein, daß man sie vernachlässigen kann. Vermutlich ist sie aber prinzipiell sehr wichtig: heutzutage ist man der Meinung, daß man die Masse der Teilchen nur verstehen kann, falls man die Gravitation in die Beschreibung der Wechselwirkungen einbezieht (Superstringtheorie, Supergravitation). Eine erstaunliche Tatsache ist eben angeklungen: man hat trotz vieler Jahrzehnte Experimentieren und theoretischer Untersuchungen kein Verständnis der Masse der Elementarteilchen.

10 2 Einführung Der vielzitierte Higgsmechanismus würde das nicht wesentlich ändern: er würde sagen, wie die Teilchen ihre Masse bekommen, aber nicht, wie groß dieselbe ist. Der Wert der Masse ist dann immer noch ein freier Parameter. Wechselwirkung wird in der Teilchenphysik durch den Austausch von Teilchen beschrieben: Es sind die elementaren Bosonen, Teilchen mit Spin 1, die die Wechselwirkung vermitteln. Das Konzept des Teilchenaustauschs ist zunächst fremd. Man muß sich aber klar machen, daß man z.b. in einem Streuexperiment nur die Wirkung dieser Wechselwirkung sieht: Nehmen wir an, Teilchen A treffe auf Teilchen B. Nach der Kollision sind Energie und Impuls geändert. Falls Teilchen B in Ruhe ist, kann ich versuchen die Änderung durch ein geeignetes Potential zu beschreiben, wie z.b. bei der Streuung geladener Teilchen im Coulombfeld eines Atomkerns, wo man dann die wohlbekannte Formel für Rutherfordstreuung erhält. Dieses Bild ist nicht Lorentz-invariant. I.a. sind beide Teilchen, A und B, mit relativistischen Geschwindigkeiten bewegt. Weiterhin können Teilchen zerfallen: A A 1 + A 2, z.b. π µ ν oder n p e ν. Man muß sich noch einmal klarmachen, daß bei einem Zerfall neue Teilchen entstehen können: das Elektron ist nicht im Neutron enthalten. Es stellt sich heraus, daß man eine konsistente Beschreibung erhält, wenn man Wechselwirkung zwischen Elementarteilchen durch Teilchenaustausch beschreibt. Austauschteilchen sind: Wechselwirkung Austauschteilchen Name Masse [GeV/c 2 ] Elektromagnetische γ Photon 0 Schwache W +, W, Z 0 Intermediäre Bosonen 80,80,91 Starke g (8) Gluonen 0 Beispiele: Elektromagnetische Wechselwirkung wird vermittelt durch Photonenaustausch, z.b. e lastische Streuung eines Elektrons an einem Proton wird symbolisch durch folgendes Diagramm (Feynmandiagramm) 1.1 versnschaulicht: Zeit e γ p e e e p Abbildung 1.1: Feynmandiagramm für die Streuung eines Elektrons an einem Proton. Dargestellt ist elektromagnetische Wechselwirkung mit Austausch eines Photons. Die Kopplungsstärke des Photons an die Teilchen ist durch den Betrag deren elektrischer Ladung gegeben. Schwache Wechselwirkung, Austausch eines W ± im Zerfall eines Neutrons: n p e ν ist in Abb. 1.2 skizziert. Starke Wechselwirkung, Gluonenaustausch zwischen Quarks: Quarks im Proton werden durch Gluonenaustausch zusammengehalten.

11 1.1 Die Teilchen des Standardmodells 3 Zeit p e ν e W ± n Abbildung 1.2: Zerfall eines Neutrons über W-Austausch. Anmerkung: Die Kernkraft, die zwischen Neutronen und Protonen wirkt, wird in der Kernphysik auch als starke Wechselwirkung bezeichnet. Man versteht sie heute als Restkraft der starken Kraft zwischen Quarks (wie man van-der-waals Kräfte als Reste elektromagnetischer Kräfte auffassen kann). Die Eigenschaften der Reaktionen zwischen Elementarteilchen kann man zum großen Teil auf die Eigenschaften der Austauschteilchen zurückführen, wie z.b. auf die Masse der Austauschteilchen. Wir werden bald sehen, wie diese mit der Reichweite zusammenhängt. Das Teilchenaustauschbild wird uns sehr bald sehr geläufig sein! Elementarteilchenphysik beschäftigt sich also mit den fundamentalen Teilchen und den Wechselwirkungen zwischen ihnen. Das Ziel ist, die Beobachtungen nicht nur zu verstehen, sondern auch in mathematischen Gesetzen Theorien zu fassen. Diese Gesetze sollten möglichst Vorhersagen machen können für weitere Beobachtungen. Diese sollten nachprüfbar sein. Nach Prüfung muß möglicherweise die Theorie geändert oder erweitert werden. Dann gibt es neue Vorhersagen, usw. Der heutige Stand des Wissens über Elementarteilchen ist in einer Theorie zusammengefaßt, die bescheiden das Standard Modell der Teilchenphysik genannt wird. Auch die Kosmologie hat ein Standard Modell, die Sonne wird ebenfalls durch ein Standard Modell beschrieben. Das Standard Modell ist der Maßstab, an dem man die Beobachtungen sozusagen mißt. Aus vielerlei Gründen ist man überzeugt, daß dieses Standard Modell der Teilchenphysik nicht die letzte Wahrheit ist. Es ist aber schon eine gute Näherung. Die Experimente, die eine Abweichung suchen, laufen auf der ganzen Welt auf Hochdruck. Sie sind möglicherweise Zeugen der ersten Anzeichen, daß es tatsächlich bröckelt: darauf kommen wir gegen Ende der Vorlesung zurück. 1.1 Die Teilchen des Standardmodells Elektron 1874 George J. Stoney und Herrmann v. Helmholtz: atomare Struktur der Elektrizität aus der Interpretation der Elektrolyse 1897 Joseph J. Thompson: Entdeckung des Elektrons Das Experiment von J.J. Thompson hat bereits viele Aspekte typischer Experimente der Teilchenphysik: geladene Teilchen werden in einem (longitudinalen) elektrischen Feld beschleunigt,

12 4 Einführung die Bestimmung der Geschwindigkeit v bzw. von q/m erfolgt durch Ablenkung in elektrischen und magnetischen Feldern, und eine Ortsbestimmung erfolgt durch einen Fluoreszenzschirm Photon 1900 Max Planck: Strahlung des schwarzen Körpers Emission und Absorption sind quantisiert Albert Einstein: Erklärung des photoelektrischen Effekts (maximale kinetische Energie von Elektronen ist unabhängig von der Intensität der Strahlung) elektromagnetisches Feld ist quantisiert Arthur H. Compton: Korpuskelcharakter des Photons. λ C ist die Compton-Wellenlänge des Elektrons Antiteilchen; Positron e Paul A. M. Dirac: Dirac-Gleichung λ = 2λ C (1 cos ϑ) = 2λ C sin 2 ϑ 2 (1.1) mit λ C = h m e c = m (1.2) Dirac versuchte, eine Wellengleichung zur Beschreibung eines relativistischen Elektrons aufzustellen. Dabei gibt es entsprechend der relativistischen Energieformel E 2 = p 2 c 2 = m 2 e c4 gemäß E = ± p 2 c 2 + m 2 e c4 Lösungen, die Zustände negativer Energie darstellen. Dies stellte ein Problem dar: Elektronen würden unter Abstrahlung von Energie in Zustände negativer Energie übergehen. Ein Erklärungsversuch war, daß im Vakuum die Zustände negativer Energie mit Elektronen gefüllt sind (sie bilden den sogenannten Diracsee); ein fehlendes Elektron mit Energie E e < 0 entspricht dann einem Positron e + mit Energie E e + > C. D. Anderson: Nebelkammerbild mit positivem Elektron. Die heutige Interpretation der Zustände negativer Energie wurde von Feynman und Stückelberg gefunden: Teilchen negativer Energie (E < 0), die rückwärts in der Zeit laufen, entsprechen Antiteilchen positiver Energie (E > 0, die vorwärts in der Zeit laufen. Mit dieser Interpretation lassen sich alle Prozesse mit Teilchen und Antiteilchen beschreiben Elektron-Neutrino und Antineutrino Die Geschichte der Erfindung des Neutrinos durch Pauli 1930 ist bekannt: In Stichworten: β Zerfall kontinuierliches Leptonspektrum Energieerhaltung unsichtbares Teilchen. Später wurde das im Neutron Zerfall entstehende Teilchen als ν e identifiziert. Erster experimenteller Nachweis 1958 durch Reines und Cowan Weitere Leptonenfamilien 1936 Anderson und Neddermeyer: Entdeckung des Myons in der kosmischen Strahlung. Das Myon, mit Symbol µ, hat die gleichen elektromagnetischen Eigenschaften wie das Elektron, es hat jedoch eine höhere Masse m µ = MeV/c 2. Es entsteht z.b. durch kosmische Strahlung in der oberen Atmospäre und kann die Erde erreichen. Es zerfällt in ein Elektron und weitere nicht beobachtete Teilchen: µ e +?. Der Zerfall µ e + γ wurde nicht beobachtet.

13 1.1 Die Teilchen des Standardmodells Direkter Nachweis des Myon-Neutrinos: ν µ e µ ν e ; ν µ n µ p; ν µ p µ + n. Intensive Neutrinostrahlen zur Untersuchung der Eigenschaften von Neutrinos und Hadronen Martin Perl (SLAC): e + e τ + τ mit der Masse m τ = MeV/c 2. Das zugeordnete Neutrino ν τ ist erst im Jahr 2000 am Experiment DONUT im Fermilab in der Nähe von Chicago nachgewiesen worden. Man hat also drei Familien von Leptonen, die man schematisch so darstellt: ( ) ( ) ( ) νe νµ ντ e, µ, τ Entsprechend die Antileptonen: ( e + ν e ), ( µ + ν µ ), ( τ + ν τ ) Leptonen sind Fermionen, d.h. Spin 1 Teilchen. Die geladenen Leptonen nehmen an der elektromagnetisch Wechselwirkung teil, die ungeladenen Neutrinos nicht. Alle Leptonen nehmen an 2 der schwachen Wechselwirkung teil aber nicht an der starken. Leptonenzahl Für Leptonen gilt ein strikter Erhaltungssatz: Die Zahl der Leptonen minus die Zahl der Anti-Leptonen ist erhalten. Darüber hinaus ist auch die Leptonfamilienzahl erhalten: Es gibt eine Elektron-Leptonzahl, eine für Myonen und eine für Tauonen. Hier ist die Regel für die Elektronen-Leptonzahl: L e = N(e ) N(e + ) + N(ν e ) N(ν e ) (1.3) N(e ) ist z.b. die Zahl der Elektronen im Zustand. D.h. für einzelne Teilchen ist L e (e ) = 1 oder L e (ν e ) = 1. Alle Teilchen der zweiten Leptonenfamilie sowie alle Quarks haben L e = 0. Da die neutralen Neutrinos nicht an der elektromagnetisch Wechselwirkung teilhaben, gilt für diese Erhaltung von N(e ) N(e + ), Elektronen und Positronen können nur paarweise erzeugt werden. In schwachen Wechselwirkungen ist das komplizierter! Einige Eigenschaften von Leptonen sind in Tabelle 1.1 aufgeführt.

14 6 Einführung Teilchen Masse Lebensdauer L τ L µ L e L Ladung [MeV/c 2 ] [s] Leptonenzahl Elektron e stabil e-neutrino ν e < Myon µ µ-neutrino ν µ < Tau τ τ-neutrino ν e < Antiteilchen Positron e stabil Anti-e-Neutrino ν e < Myon µ Anti-µ-Neutrino ν µ < Tau τ Anti-τ-Neutrino ν e < Tabelle 1.1: Einige Eigenschaften von Leptonen Hadronen, Quarks Bisher haben wir Leptonen erwähnt: e ±, ν, ν e,.... Diese Teilchen sind dadurch charakterisiert, daß sie nicht an der starken Wechselwirkung teilnehmen. Teilchen mit starker Wechselwirkung nennt man Hadronen, es gibt zwei große Klassen: 1. Baryonen: Die leichtesten Baryonen sind Proton und Neutron. Alle Baryonen - bis auf das Proton - sind instabil und zerfallen, wobei zum Schluß immer ein Proton entsteht. Es gilt ein Erhaltungssatz für die Baryonenzahl. Baryonen sind auch Fermionen, haben also halbzahligen Spin. Das Proton hat Spin 1 2, es gibt aber auch Baryonen mit Spin 3 2, z.b. das. 2. Mesonen: das leichteste Meson ist das Pion: π +, π, π 0. Für Mesonen gilt kein spezieller Erhaltungssatz, sie können beliebig erzeugt werden und zerfallen, natürlich unter Beachtung der anderen Erhaltungssätze. Mesonen haben ganzzahligen Spin, das leichteste Meson ist das Pion. Es gibt drei Ladungszust ande π +, π, π 0, und es hat z.b. Spin 0. Ein weiteres berühmtes Meson, das J/ψ hat Spin 1. Hadronen sind aus Quarks aufgebaut: Baryonen aus drei Quarks, Mesonen aus Quark und Antiquark. Messungen der Zerfallsbreite des Z 0 am LEP-Speicherring zeigen, daß die Zahl der leichten Neutrinos gleich drei ist. Experimente zum Nachweis der von der Sonne emittierten Neutrinos und der in der Atmosphäre erzeugten Neutrinos geben Hinweise auf eine von Null verschiedene Ruhemasse der Neutrinos (Neutrinooszillationen) Baryonenzahl Warum ist das Proton stabil? Experimente zeigen, daß die Lebensdauer des Protons τ p > Jahre ist (das Alter des Universums ist Jahre). Dies führt auf die Einführung einer Baryonenzahl B, die offenbar sehr gut erhalten ist. Man ordnet p und n die Baryonenzahl B = +1 zu, und den Antiteilchen p und n die Baryonenzahl

15 1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme 7 B = 1. Die Baryonenzahl ist offenbar in Teilchenreaktionen erhalten Quarks n p e ν e p \ π 0 γ, e ν e, eγ p p p p p p... Anti-Baryon-Erzeugung Das Quarkmodell wurde 1964 unabhängig von zwei Physikern eingeführt, Murray Gell-Mann und Zweig. Sie konnten durch nur drei Teilchen all Eigenschaften der bekannten Hadronen erkl aren 1 Das Quarkmodell war sehr erfolgreich, als in den folgenden Jahren immer mehr Hadronen entdeckt wurden. Es hatte einen Nachteil: die Quarks konnten experimentell nicht nachgewiesen werden. Viele Physiker haben sie deshalb nur für nützliche mathematische Hilfsgrößen gehalten. Die Quarks als tatsächliche Teilchen wurden erst durch zwei experimentelle Ergebnisse anerkannt: Streuexperimente am Nukleon ab 1968, die zweifelsfrei belegten, daß Nukleonen Quarks enthalten. Weiterhin trug die Entdeckung der schweren Quarks 1974 dazu bei. Heute wird die Wechselwirkung der Quarks durch die Quantenchromodynamik beschrieben. Austauschteilchen ist das Gluon. 1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme Kräfte, Teilchenaustausch, Reichweite In Abschnitt 1 stellten wir fest, daß die Kräfte in der Elementarteilchenphysik mit dem Teilchenaustausch zusammenhängen. In diesem Abschnitt werden wir uns mit diesem wichtigen Gedanken weiter auseinandersetzen. A B X g g A B Abbildung 1.3: Elastische Streuung über Austausch eines Teilchens X, welches mit der Stärke g an A und B koppelt. Das Feynmandiagramm in Abb. 1.3 stellt die elastische Streuung zweier Teilchen A und B mit den Massen M A und M B dar, der über den Austausch eines dritten Teilchens X der Masse 1 Der Name Quarks wurde von Gell-Mann eingeführt, einem der Erfinder des Quarkmodells. Er soll ihn aus einem Buch von James Joyce haben: Finnegans Wake. Dort kommt eine Satz vor: Three Quarks for Muster Mark. Damals war noch nicht bekannt, daß es mehr als drei Quarks gibt. Zweig nannte sie Aces (Asse).

16 8 Einführung M X erfolgt. Die Kopplungsstärke g für Teilchen X an Teilchen A und B soll gleich sein. Im Ruhesystem des einlaufenden Teilchens A stellt der untere Vertex den virtuellen Prozeß A(M A c 2, 0) A(E A, p) + X(E X, p) (1.4) dar, wobei E X = (p 2 c 2 + MX 2 c4 ) 1/2 und E A = (p 2 c 2 + MA 2c4 ) 1/2 ist. Der Energieunterschied zwischen den End und Anfangszuständen ist also gegeben durch E = E X + E A M A c 2 pc für p (1.5) M X c 2 für p 0 (1.6) E M X c 2 für alle p. Da eine solche Energieverletzung nur für einen Zeitraum τ h E aufrecht erhalten werden kann, bekommen wir: r R h M X c als die Maximaldistanz, über die X sich ausbreiten kann, bevor es von Teilchen B absorbiert wird. Diese Maximaldistanz wird Reichweite der Wechselwirkung genannt. Die elektromagnetische Wechselwirkung hat eine unendliche Reichweite, weil das ausgetauschte Teilchen ein masseloses Photon ist. Dagegen wird die schwache Wechselwirkung mit dem Austausch sehr schwerer Teilchen assoziiert den W und Z Bosonen mit den Massen (1.7) was einer Reichweite von M W = 80.3 Gev/c 2 (1.8) M Z = 91.2 GeV/c 2 (1 GeV = 10 9 ev), (1.9) R W h M W c fm (1 fm = m) (1.10) entspricht. In vielen Anwendungen ist diese Reichweite sehr klein verglichen mit der de Broglie Wellenlänge aller beteiligten Teilchen. Die schwache Wechselwirkung kann dann in etwa durch eine Reichweite 0 oder durch eine Punktwechselwirkung angenähert werden, was der Grenze M X entspricht, wie in Abb. 1.4 gezeigt Das Yukawa Potential Mit der Einschränkung, daß M A groß wird, können wir die Streuung von B an A nähern durch die Streuung an einem statischen Potential, dessen Quelle A ist. Dieses Potential wird in der Regel spinabhängig sein. Indessen kann man seine Haupteigenschaften auch bei Vernachlässigung des Spins verstehen. Den Austausch von Spin 0 Bosonen, die durch die Klein Gordon Gleichung beschrieben werden, kann man folgendermaßen ausrechnen : h 2 2 φ(x, t) t 2 = h 2 c 2 2 φ(x, t) + M 2 X c4 φ(x, t). (1.11)

17 1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme 9 B B B B X M X 8 A A A A Abbildung 1.4:. Für statische Lösungen reduziert sich dies zu 2 φ(x) = M 2 X c2 h 2 φ(x), (1.12) wobei wir φ(x) als statisches Potential interpretieren. Für MX 2 = 0 ist diese Gleichung identisch mit der, der das elektrostatische Potential Folge leistet, und für eine Ladung e, die mit einer Punktladung +e am Ursprung wechselwirkt, ist die Lösung wobei r = x bedeutet. Die entsprechende Lösung von 1.12 ist V (r) = eφ(r) = e2 4πɛ 0 1 r, (1.13) V (r) = g2 4π e r/r r, (1.14) wobei R = h/m X c die Reichweite bedeutet, und wir nehmen gleiche Kopplungsstärken g für Teilchen X an die Teilchen A und B an. g ist ein Kopplungsparameter ähnlich wie bei der elektromagnetischen Wechselwirkung die Kopplungsstärke durch die Ladung gegeben wird. Man kann analog zur Feinstrukturkonstante der QED einen dimensionslosen Parameter definieren: α s = g2 4π hc analog α = e2 4πɛ 0 hc α s charakterisiert die Stärke der Wechselwirkung bei kurzen Entfernungen r R. (1.15) Diese Form des Potentials wird Yukawa Potential genannt, nach Hideki Yukawa, der 1935 als erster den Begriff von Kräften infolge massiven Teilchenaustausches einführte. Für M X 0 reduziert sie sich auf die bekannte Coulombformel in Gleichung 1.13, während sie für sehr große M X in etwa punktförmig ist. Die effektive Kopplungsstärke der zuletzt genannten Näherung und ihren Halbwertsbereich kann man am besten unter Berücksichtigung der entsprechenden Streuamplitude verstehen.

18 10 Einführung 1.3 Relativistische Wellengleichungen Wir gehen von der Annahme aus, daß ein Teilchen mit Impuls p im freien Raum durch die de Broglie Wellenfunktion 2 Ψ( x, t) = Ne i( p x Et)/ h (1.16) mit der Frequenz ν = E/h und der Wellenlänge λ = h/p beschrieben wird. Hier bedeutet p = p und N eine Normierungskonstante, die im folgenden nicht relevant ist. Die entsprechende Wellengleichung ist abhängig von der Relation zwischen Energie E und Impuls p. Nicht relativistisch ist E = p 2 2m, (1.17) und die Wellenfunktion Gleichung (1.16) erfüllt die nicht relativistische Schrödinger Gleichung i h Ψ h2 ( x, t) = t 2m 2 Ψ( x, t). (1.18) Dabei sind Energie- und Impulsoperator: Relativistisch gilt: Ê = i h t und p = h i (1.19) E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4, (1.20) wobei m die Ruhemasse ist und die entsprechende Wellengleichung ist: h 2 2 Ψ( x.t) t 2 = h 2 c 2 2 Ψ( x, t) + m 2 c 4 Ψ( x, t), (1.21) was leicht überprüft werden kann, indem man (1.16) in Gleichung (1.21) einsetzt und dabei die Beziehung (1.20) benutzt. Diese Gleichung wurde 1924 zum ersten Mal von de Broglie vorgeschlagen, wird aber jetzt in der Regel Klein Gordon Gleichung 3 genannt. Ihr Hauptmerkmal ist die Existenz negativer Energielösungen. Für jede ebene Wellenlösung der Form: Ψ( x, t) = N e i( p x E pt)/ h (1.22) Impuls p und positiver Energie gibt es auch eine Lösung E = E p + p 2 c 2 + m 2 c 4 mc 2 die dem Impuls p und der negativen Energie Ψ( x, t) Ψ ( x, t) = N exp[i( p x + E p t)/ h], (1.23) E = E p = p 2 c 2 + m 2 c 4 mc 2. 2 Wir benutzen die Notation x = (x 1, x 2, x 3 ) (x, y, z). 3 Diese Autoren haben elektromagnetische Wechselwirkungen in die Gleichung mit einbezogen, somit ist sie für geladene Spin 0 Bosonen anwendbar.

19 1.3 Relativistische Wellengleichungen 11 entspricht. Wir müssen feststellen, dass die Energie E sowohl positive wie negative Werte annehmen kann. Diese Energie enthält aber keinen potentiellen Anteil, sie ist vielmehr die Summe von Ruheund kinetischer Energie, also eine Größe, die in jedem Fall positiv sein muss. Man könnte versucht sein, die negativen Energiewerte und die zugehörigen Wellenfunktionen als physikalisch sinnlos einfach zu ignorieren. Das führt zu mathematischen Schwierigkeiten, da die Wellenfunktionen mit positiver Energie für sich allein kein voll ständiges Funktionensystem bilden. Die negativen Werte für E sind offensichtlich mit der Doppeldeutigkeit der Wurzel von 1.20 verknüpft und diese wiederum mit der zweiten Zeitableitung in der Klein-Gordon-Gleichung. Paul Dirac versuchte daraufhin, eine Gleichung zu konstruieren, die nur die erste Ableitung nach der Zeit enthält. Die Lorentz-Invarianz erfordert dann, dass auch die räumlichen Ableitungen nur in erster Ordnung vorkommen. Die Dirac-Gleichung lautet für ein freies Teilchen i h Ψ t = i h c ( α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 ) Ψ + β mc 2 Ψ (1.24) x 3 Dabei muss man Ψ als einen vierkomponentigen Wellenfunktionsvektor und die Parameter α und β als 4 x 4-Matrizen wählen. Die Hoffnung, die negativen Energiewerte damit vermeiden zu können, trog jedoch, denn die Dirac-Wellenfunktionen müssen auch die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen, die eine Konsequenz der relativistischen Energie-Impuls-Relation und der Form der Operatoren Gl der Operatoren ist. Da sich Dirac außerstande sah, die negativen Energiezustände zu eliminieren, machte er die kühne Annahme, dass sie tatsächlich existieren, aber normalerweise sämtlich mit Elektronen besetzt sind. Nach seiner Deutung ist der Grundzustand, oft auch das Vakuum genannt, nicht leer, sondern enthält unendlich viele Elektronen negativer Energie. Das Pauli-Prinzip verbietet den Übergang eines normalen Elektrons von seinem Zustand positiver Energie in ein negatives Energieniveau, so dass man normalerweise von den vielen negativen Niveaus nichts merkt. Durch ein γ-quant mit einer Energie von mehr als 2 m c 2 könnte jedoch ein Elektron von einem negativen auf ein positives Energieniveau angehoben werden. Das verbleibende Loch im See der Elektronen mit E 0 sollte sich wie ein Teilchen mit positiver Ladung und positiver Energie verhalten. Aufgrund dieser Überlegungen hat Dirac die Existenz von Antiteilchen vorhergesagt und damit eine der revolutionärsten Ideen der theoretischen Physik hervorgebracht 4. Experimentell wurde das erste Antiteilchen 1931/2 von Anderson in der kosmischen Höhenstrahlung entdeckt (s.o.). Das nächste wurde systematisch gesucht, es war das Antiproton, welches 1955 am Beschleuniger BEVATRON (USA) erzeugt wurde. Im Rahmen der Teilchenphysik hat dieses Bild eines Sees von Elektronen jedoch Nachteile, so ist es auf Bosonen überhaupt nicht anwendbar, da sie nicht dem Ausschließungsprinzip gehorchen. Eine andere Interpretation stammt von Stückelberg und Feynman. Danach besitzen die Wellenfunktionen mit negativen Energiewerten selber keine physikalische Signifikanz, erhalten sie aber dadurch, dass man die Zeitrichtung umkehrt. Sie entsprechen dann den Wellenfunktionen der Antiteilchen, die mit positiver Energie zeitlich vorwärts laufen. 4 Das Diracsche Bild ist später mit großem Erfolg auf Halbleiter übertragen worden.

20 12 Einführung Wir wollen diese Idee an dieser Stelle nicht weiter besprechen, sondern kommen im Kapitel elektromagnetische Wechselwirkung nochmal darauf zurück. Hier halten wir fast, daß es zu jedem Teilchen ein Antiteilchen gibt, bei welchem alle ladungsartigen Quantenzahlen umgedreht sind, also Baryonenzahl, Leptonzahlen, elektrische Ladung, magnetisches Moment, etc.

21 Kapitel 2 Relativistische Kinematik Die folgenden Bezeichnungen werden in diesem Kapitel benutzt: Umrechnungsfaktoren: Größe Beschreibung Einheit c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum m s 1 E = Energie ev T = Kinetische Energie ev M, m = Masse (Ruhemasse) ev/c 2 M = Matrixelement λ = Charakteristische Wechselwirkungslänge p = Impuls (3-Impuls) ev/c P, p = Viererimpuls ev/c η = Vierergeschwindigkeit σ = Wirkungsquerschnitt barn Größe Zahlenwert c = m s 1 h = (20) MeV s h c = (59) MeV fm ( h c) 2 = (23) GeV 2 mbarn barn = m Spezielle Relativitätstheorie Lorentztransformation Inertialsysteme. Ein Inertialsystem ist ein System, in dem jeder Körper, auf den keine äußere Kraft wirkt, seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung beibehält: v = konstant. Inertialsysteme haben eine konstante Relativgeschwindigkeit gegeneinander. In Inertialsystemen sind die physikalischen Gesetze gleich, zum Beispiel gelten die Maxwellschen Gleichungen in gleicher Weise in allen Inertialsystemen. Daraus folgt, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen im Vakuum in allen Inertialsystemen gleich c ist. Die Lorentztransformation gibt den Übergang zwischen den Ortskoordinaten und der Zeit zwischen zwei Systemen O und O an, die sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v = (v, 0, 0) bewegen. Die Geschwindigkeit wird oft durch die dimensionslose Größe β = v/c

22 14 Relativistische Kinematik ausgedrückt. Die Lorentztransformation ist mit γ = 1/ 1 β 2 gegeben durch: x = γ(x vt) x = γ(x + vt ) y = y y = y z = z z = z ( t = γ t xv ) ( ) t = γ t + x v c 2 c 2. y v y O O x z x z Abbildung 2.1: Die Bezugssysteme O und O Relativität der Gleichzeitigkeit. Wenn sich im System O zwei Ereignisse A und B zur gleichen Zeit, aber an anderem Ort ereignen, dann ereignen sie sich nicht zur gleichen Zeit im System O. Aus den Transformationsformeln folgt für t A = t B t A = t B + γv c 2 (x B x A ). Ereignisse, die in einem System gleichzeitig stattfinden, sind in anderen System nicht gleichzeitig. Längenkontraktion und Zeitdilatation. Diese in der Gleichung (2.1) ausgedrückten Eigenschaften sind charakteristisch für Lorentz-Transformationen. Bewegte Objekte erscheinen in Bewegungsrichtung um den Faktor γ verkürzt. Im System O befinde sich ein Stab der Länge L mit einem Ende bei x = 0 und mit dem anderen Ende bei x = L. Im System O muß die Position der beiden Enden zur gleichen Zeit, z.b. t = 0, registriert werden; zu diesem Zeitpunkt ist das eine Ende bei x = 0, das andere bei x = L /γ, und damit ist mit L = L /γ die Länge verkürzt. Dies wird als Längenkontraktion bezeichnet. Dimensionen senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung bleiben unverändert. L = L /γ (2.1) Für bewegte Objekte läuft die Zeit langsamer ab. Wenn für eine Uhr im System O am Ort x = 0 die Zeit t von 0 bis T läuft, dann beginnt sie im System O bei t = 0 und läuft, bis t = T bei x = 0 ist; dies ist t = γt, d.h. das Zeitintervall ist in O mit T = γt verlängert. Diese Zeitdilatation wird beim Teilchenzerfall nachweisbar. Die mittlere Lebensdauer τ von Teilchen wird stets im Ruhesystem angegeben. Bewegte Teilchen haben eine um den Faktor γ größere mittlere Lebensdauer. Dieser Effekt wird Zeitdilatation genannt. Myonen werden in der oberen Atmosphäre der Erde durch kosmische Strahlung erzeugt und können bei hohem Impuls

23 2.1 Spezielle Relativitätstheorie 15 trotz der kurzen Lebensdauer von τ = sec die Erdoberfläche erreichen. Allgemein ist die mittlere Zerfallslänge L = γβcτ = (p/m) τ bei einer mittleren Lebensdauer von τ. Addition der Geschwindigkeiten. Ein Teilchen bewege sich im System O mit der Geschwindigkeit u in x-richtung. Im System O legt es eine Strecke x = γ ( x + v t ) in der Zeit t = γ ( t + (v/c 2 ) x ) zurück, d.h. x t = x + v t t + (v/c 2 ) = ( x / t ) + v 1 + (v/c 2 ) ( x / t ). Daraus folgt die Transformationformel bzw. Additionsregel für Geschwindigkeiten: u = u + v 1 + (u v/c 2 ). (2.2) Der Nenner stellt eine relativistische Korrektur dar, die bei kleinen Geschwindigkeiten vernachlässigt werden kann. Für u = c ist auch u = c: die Lichtgeschwindigkeit ist für alle Inertialsysteme gleich. Die Transformationsformel ist kompliziert, weil bei der durch v d r dt definierten Geschwindigkeit sowohl der Zähler als auch der Nenner sich bei Lorentztransformationen ändern Vierervektoren Die vier Koordinaten eines Zeit-Raum-Punktes werden zu einem Vierervektor X (ct, x, y, z) = (ct, r) zusammengefaßt. Ein Vierervektor enthält einen raumartig genannten Vektor r und eine zeitartig genannte Komponente ct: X = (ct, r). Die Lorentztransformation eines Vierervektors entlang der x-richtung läßt sich mit Matrizen schreiben: ct γ βγ 0 0 ct cosh ω sinh ω 0 0 ct βγ γ 0 0 x sinh ω cosh ω 0 0 x X = x y z = y z = mit cosh ω = γ und tanh ω = sinh ω/ cosh ω = β. Die Größe ω entspricht einem imaginären Drehwinkel und wird als Rapidität (Schnelligkeit) bezeichnet und häufig zur Beschreibung von Teilchenerzeugung verwendet. Bei Verwendung der Rapidität ω wird die Lorentztransformation ähnlich zur Drehung eines räumlichen Vektors (zum Beispiel um die z-achse): ( ) ( ( ) x cos ϑ sin ϑ x y = mit x sin ϑ cos ϑ) 2 + y 2 = x y 2 + y 2. Die Länge des Vektors ( x 2 + y 2 bzw. x 2 + y 2 ) ist invariant gegenüber Drehungen (nur positive relle Längen sind physikalisch sinnvoll). y z

24 16 Relativistische Kinematik Auch wenn sich die einzelnen Komponenten eines Vierervektors bei einer Transformation ändern, bleibt der folgende Ausdruck unverändert: I = (ct ) 2 x 2 y 2 z 2 = (ct cosh ω x sinh ω) 2 ( ct sinh ω + x cosh ω) 2 y 2 z 2 = (ct) 2 x 2 y 2 z 2 unter Benutzung der Beziehung cosh 2 ω sinh 2 ω = 1. Eine solche Größe, die in jedem Inertialsystem den gleichen Wert hat, wird Invariante genannt. Das Quadrat eines Vierervektors ist invariant gegenüber Lorentz-Transformation X 2 X X = (ct) 2 r 2 invariant unter Lorentztransformationen und wird nach seinem Vorzeichen klassifiziert: > 0 zeitartig (ct) 2 r 2 = 0 lichtartig < 0 raumartig. Das Skalarprodukt zwischen zwei Vierervektoren wird definiert als X 1 X 2 = c 2 t 1 t 2 r 1 r 2. Es ist ebenfalls invariant unter Lorentztransformationen. Alle 4-Tupel, die sich wie der Raumzeit- Vierervektor X transformieren, sind Vierervektoren Energie und Impuls Vierergeschwindigkeit. Die Vierergeschwindigkeit ist eine für die Definition des relativistischen Impulses nützliche Größe. Der Vektoranteil ist definiert als zurückgelegte Strecke, dividiert durch Eigenzeit (mit Eigenzeit τ = t/γ und dτ = dt/γ) : η d r dτ = γ d r dt = γ v Für diese Geschwindigkeit gilt η = γ v beim Vergleich mit der normalen Geschwindigkeit v. Definiert man als nullte Komponente η 0 = d(ct)/dτ = γc, so erhält man den Vierervektor η = dx dτ = γ (c, v x, v y, v z ). Bei Lorentz-Transformationen zwischen Systemen O und O ist die Vierergeschwindigkeit einfacher zu handhaben: nur der Zähler d r wird transformiert, denn der Nenner dτ is eine Invariante. Dagegen müssen bei der normalen Geschwindigkeit sowohl Zähler als auch Nenner transformiert werden; dies führt zu der komplizierten Additionsregel (2.2) der Geschwindigkeiten. Das Quadrat der Vierergeschwindigkeit ist, wie erwartet, eine Invariante gegenüber Lorentztransformationen: η η = γ ( 2 c 2 vx 2 v2 y ) v2 z = γ 2 c ( 2 1 v 2 /c 2) = c 2 Relativistischer Impuls. Die klassische Definition von Impuls ist Masse Geschwindigkeit. Bei der relativistischen Verallgemeinerung dieses Begriffs stellt sich die Frage, welche der beiden Geschwindigkeiten benutzt werden sollte (bei Geschwindigkeiten v c ist γ 1 und

25 2.1 Spezielle Relativitätstheorie 17 beide Geschwindigkeiten sind gleich). Bei Benutzung der Geschwindigkeit v ist das Gesetz der Impulserhaltung inkonsistent mit dem Relativitätsprinzip. Die Definition des Impulses durch p = m η dagegen ist konsistent mit dem Relativitätsprinzip: wenn Impulserhaltung in einem Inertialsystem gilt, gilt sie in allen. Damit wird allerdings nicht das Gesetz der Impulserhaltung bewiesen, denn dies ist eine experimentelle Frage. Die Definition sorgt jedoch für die Konsistenz zwischen den Inertialsystemen. Mit der Definition des Impulses durch p m η = γm v = m v 1 v2 /c 2 und mit der nullten Komponente P 0 = γmc = E/c erhält man einen Vierervektor des Impulses: ( ) E P = c, p x, p y, p z mit P P = E2 c 2 p2 = m 2 c 2 Für die relativistische Definition der Energie gilt dann die Formel E = γmc 2 = mc 2 1 v2 /c 2 = mc2 1 β 2 E 2 = (pc) 2 + ( mc 2)2. Nichtrelativistischer Bereich. Bei kleinen Geschwindigkeiten v c (d.h. β 1) sind relativistische Impulse p = m η und nichtrelativistische Impulse p = m v gleich. Die Energieformel kann durch eine Reihenentwicklung nach Potenzen von β = v/c dargestellt werden: E = mc2 1 β 2 = mc2 ( β β ) = mc mv mv2 β Der erste Term ist konstant und wird als Ruheenergie bezeichnet. Der nächste Term ist die klassische kinetische Energie. Die relativistische Verallgemeinerung der kinetischen Energie ist die Differenz T = γmc 2 mc 2 = mc 2 (γ 1). Masselose Teilchen. Für elektromagnetische Strahlung gilt nach der Elektrodynamik die Beziehung E = p c. Die gleiche Beziehung gilt für masselose Teilchen, denen ein Viererimpuls ( ) E P = c, p zugeordnet wird. Masselose Teilchen wie das Photon (und das Neutrino?) bewegen sich mit der Lichtgeschwindigkeit c. Erhaltung des Viererimpulses. Die Viererimpuls-Erhaltung wird bei allen kinematischen Rechnungen vorausgesetzt. Bisher gibt es keine experimentellen Anzeichen dafür, daß der Viererimpuls in Teilchenreaktionen nicht erhalten sein könnte. Beispiel: Stoß zweier Lehmklumpen Zwei Lehmklumpen gleicher Masse m stoßen, jeder mit der Geschwindigkeit 3/5 c, frontal aufeinander. Wegen der Impulserhaltung p 1 + p 2 = 0 ist der beim Stoß entstehende Lehmklumpen in Ruhe. Aus der Energieerhaltung folgt für die Masse M des entstehenden Lehmklumpens Mc 2 = 2E m = 2mc 2 1 (3/5) 2 = 5 2 mc2. Bei der Kollision wird die kinetische Energie in Ruheenergie umgewandelt, daher ist die Masse größer als die Summe der Massen des Anfangszustandes.