Elementarteilchenphysik

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1 Elementarteilchenphysik Notizen zur Vorlesung ES 2002/ Juni TEIL I: KAPITEL 1-5 Autoren: V. Blobel, A. Meyer, B. Naroska Institut für Experimentalphysik Universität Hamburg WS 2002/03

2 ii Physikalische Konstanten 1 Größe Symbol, Gleichung Wert Lichtgeschwindigkeit im Vakuum a c m s 1 Plancksche Konstante h (40) J s Plancksche Konstante, reduziert h (63) J s (20) MeV s Elementarladung e (49) C (15) esu Umrechnungsfaktor hc (59) MeV fm Umrechnungsfaktor ( hc) (23) GeV2 mbarn Elektronenmasse m e (15) MeV/c (54) kg Protonmasse m p (28) MeV/c (10) kg (12) u (37) m e Deuteronmasse m d (57) MeV/c 2 Atomare Masseneinheit b (1g)/(N A Mol) (28) MeV/c (28) MeV c (10) kg permittivity of free space c ε F m 1 permeability of free space c µ 0 4π 10 7 N A N A 2 Feinstrukturkonstante d α = e 2 /4πε 0 hc 1/ (61) Klassischer Elektronenradius r e = e 2 /4πε 0 m ec (38) m Comptonwellenlänge des Elektrons λ e/2π = h/m ec = r eα (35) m Bohrscher Radius e a = r eα (24) m Wellenlänge eines 1 ev-teilchens hc/e (37) 10 6 m Rydberg-Energie e hcr = m ec 2 α 2 / (40) ev Thomson-Wirkungsquerschnitt σ T = 8πre/ (18) barn Bohrsches Magneton µ B = e h/2m e (52) MeV T 1 Kernmagneton µ N = e h/2m p (28) MeV T 1 Zyklotronfrequenz/Feld (Elektron) ωcycl e /B = e/me (53) 1011 rad s 1 T 1 Zyklotronfrequenz/Feld (Proton) ω p cycl /B = e/me (29) 107 rad s 1 T 1 Gravitationskonstante f G N (85) m 3 kg 1 s (86) hc(gev/c 2 ) 2 Standard-Gravitationsbeschleunigung g g m s 2 Avogadrosche Zahl N A (36) mol 1 Boltzmann-Konstante k (12) JK (73) 10 5 ev K 1 Molarvolumen h N A k(273.15)/101325pa) (19) 10 3 m 3 mol 1 Wiensche Konstante b = λt max (24) 10 3 m K Stefan-Boltzmann-Konstante σ = π 2 k 4 /60 h 3 c (19) 10 8 W m 2 K 4 Fermi Kopplungskonstante G F /( hc) (1) 10 5 GeV 2 Schwacher Mischungswinkel sin 2 ϑ(m Z ) (24) W ± Bosonenmasse m W 80.41(10) GeV/c 2 Z 0 Bosonenmasse m Z (7) GeV/c 2 Kopplungskonst. der starken WW α s(m Z ) 0.119(2) a Exakt. Das Meter ist die Strecke, die Licht im Vakuum im 1/ Teil einer Sekunde zurücklegt. b Masse des 12 C-Atoms/12. c Exakt. ε 0 µ 0 = 1/c 2. d Bei Q 2 = 0. Bei Q 2 m 2 W ist der Wert etwa 1/128. e Kernmasse angenommen. f Absolute Messungen von G N im Labor gibt es nur bei Entfernungen 10 1±1 m. g Exakt. Auf Meereshöhe. h Ideales Gas bei STP. j Im MS Schema. 1 Grundlage ist 1986 Adjustment of the Fundamental Physical Constants by E.R. Cohen and B.N. Taylor, Rev. Mod. Phys. 59, 1121 (1987). Der gesamte Satz der 1986 Konstanten (und eventueller neuer Werte) ist zu finden unter Die letzte Gruppe von Konstanten stammt aus der Review of Particle Physics, The European Physical Journal C, 1998.

3 Inhaltsverzeichnis LITERATUR vii 1 Einführung Die Teilchen des Standardmodells Elektron Photon Antiteilchen; Positron e Elektron-Neutrino und Antineutrino Weitere Leptonenfamilien Hadronen, Quarks Baryonenzahl Quarks Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme Kräfte, Teilchenaustausch, Reichweite Das Yukawa Potential Relativistische Wellengleichungen Relativistische Kinematik Spezielle Relativitätstheorie Lorentztransformation Vierervektoren Energie und Impuls Einheiten und Dimensionen Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle Kinematik von Teilchenreaktionen Wirkungsquerschnitt Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten Goldene Regel Flußfaktor und Wirkungsquerschnitt Teilchenzerfälle Glossar Teilchenbeschleuniger Einleitung Strahloptik und Betatronschwingungen Beschleunigung und Synchrotronschwingungen Synchrotronstrahlung Strahlungsdämpfung und Quantenanregung

4 iv INHALTSVERZEICHNIS 3.5 Teilchenquellen und Vorbeschleuniger Kreisförmige und lineare Collider Kosmische Beschleuniger Einige Beschleunigeranlagen Erhaltungssätze und Symmetrien Symmetrieeigenschaften Räumliche Translation und Impulserhaltung Drehimpuls Addition von Drehimpulsen Spin-Statistik-Theorem Spin 1/ Isospin und Flavour-Symmetrien Interim: Entdeckung der Seltsamkeit Isospin Isospin und das π-n-system Diskrete Symmetrien Parität Parität von Drehimpulszuständen Parität von Fermionen und Antifermionen Das elektromagnetische Feld und Photonen Die Eigenparität des π Quarkmodell Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung Ladungskonjugation C-Parität Experimentelle Tests der C-Invarianz Verletzung der C-Invarianz in schwacher Wechselwirkung G-Parität CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen CP -Eigenzustände Oszillationen der Seltsamkeit K 0 -Regeneration CP -Verletzung Zeitumkehr Das CP T -Theorem Zusammenfassung und Quantenzahlen Teilchennachweis und Detektoren Wechselwirkung von Teilchen mit Materie Wechselwirkung schwerer geladener Teilchen: IONISATION Eigenschaften der Bethe Bloch Formel Vielfachstreuung Čerenkovstrahlung Energieverlust von Elektronen: Bremsstrahlung Wechselwirkung von Photonen mit Materie Starke Wechselwirkung von Teilchen mit Materie

5 INHALTSVERZEICHNIS v 5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen Impulsmessung Szintillatoren Blasenkammer Proportional- und Driftkammern Halbleiterdetektoren/Mikro-Vertexdetektoren Kalorimeter Elektromagnetische Kalorimeter (Schauerzähler) Hadronische Kalorimeter Ein Speicherringdetektor Feynmandiagramme und Test der QED Teilchen-Antiteilchen Elementare Prozesse und Feynman-Graphen in der QED Einige Reaktionen und Tests der QED Feynmanregeln und Berechnung von σ (e + e µ + µ ) Der Bosonpropagator Test der QED: anomales magnetisches Moment des Myons Quarks und Hadronen Einleitung Die Entdeckung der schweren Quarks Die leichten Hadronen Die leichten Mesonen Die leichten Baryonen Massenaufspaltung der Baryonen Supermultipletts Farbe Farbladungen und Confinement Gluonen e + e Hadronen Hadronisierung Entdeckung der Gluonen Spin des Gluons Die laufende starke Kopplung α s Nochmal: Zerfall des J/ψ Tiefunelastische Streuung: Struktur des Nukleons Einleitung Elastische Streuung Elastische Streuung an Punktladungen Elastische Streuung an einer Ladungsverteilung Elastische Elektron Proton Streuung Unelastische Streuung Kinematik von unelastischer Streuung Quark Parton Modell Quarkverteilungen im Nukleon Quarkladungen

6 vi INHALTSVERZEICHNIS Quarkimpulssummen Gluonen Strukturfunktion F 2 (x, Q 2 ) bei HERA QCD-Dynamik QCD-Konsistenztests Die Suche nach Quarksubstruktur Schwache Wechselwirkungen Zerfall des Pions und Struktur der schwachen Wechselwirkung Neutrinostrahlen und Entdeckung der neutralen schwachen Wechselwirkung Universalität der schwachen Wechselwirkung Leptonuniversalität Fermi-Kopplungskonstante Schwache Wechselwirkung von Quarks Die Z 0 und W ± Bosonen Entdeckung der Z 0 und W ± Bosonen Paritätsverletzung beim W Zerfall Präzisionsvermessung des W Bosons Z 0 Produktion an e + e Speicherringen Anzahl der Neutrinos Mischung von 3 Familien: CP Verletzung und Top Quark Entdeckung des Top Quarks Neutrinophysik Neutrino Entdeckung und Nachweis Bestimmung der Neutrinomasse Neutrino mass and oscillations Dirac and Majorana mass Neutrino oscillations (Zeitentwicklung) Experimente zu Neutrino Oszillationen Neutrinos von der Sonne Nachweis Sudbury Neutrino Observatory (SNO) Atmosphärische Neutrinos

7 INHALTSVERZEICHNIS vii LITERATUR Als begleitendes Buch zur Vorlesung geeignet: Martin + Shaw Particle Physics Verlag: John Wiley & Sons (2nd edition 1997) Mein Kommentar: Ausgezeichnete Einführung, enthält alle Themen, auch moderne, allerdings ist die Behandlung etwas oberflächlich. David Griffiths Einführung in die Elementarteilchenphysik Deutsche Ausgabe vergriffen Harper and Row Publishers, 1987 (englisch) Mein Kommentar: Exzellente etwas theoretisch orientierte Einführung. Moderne Entwicklungen nicht enthalten. Die beiden folgenden Bücher gehören zusammen und man braucht beide. E. Lohrmann Einführung in die Elementarteilchenphysik Verlag: B.G. Teubner Stuttgart, 2. Auflage 1990 E. Lohrmann Hochenergiephysik Verlag: B.G. Teubner Stuttgart, 4. Auflage 1992 Mein Kommentar: Ausgezeichnete Bücher, enthalten alles, was man braucht (und vieles mehr!!!!). Die Erklärungen sind äußerst knapp gehalten. Auch geeignet: D.H. Perkins Introduction to High Energy Physics Verlag: Addison Wesley, 4th edition, 2000 Mein Kommentar: Generationen haben damit gearbeitet. 4. Auflage enthält alle modernen Entwicklungen. Teilweise viele Worte und wenig Rechnung. Deutsche Ausgabe von 3. Auflage mit einigen Fehlern.

8 viii INHALTSVERZEICHNIS C. Berger Teilchenphysik Verlag: Springer 2001, 2. Auflage brandneu. Mein Kommentar: Sehr schönes Buch, ein etwas anderer Zugang als in Hamburg üblich. Ferner (nicht als alleinige Literatur geeignet): K. Bethge + U.E. Schröder Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen Verlag: Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt, 2. überarbeitete Auflage 1991 B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche Teilchen und Kerne Verlag Springer, 5. Auflage 1999, eher Denkweise der Kernphysik I.S. Hughes Elementary Particles Verlag: Cambridge University Press, 3. Auflage 1991 Mein Kommentar: Viel ausführlicher als Lohrmann, enthalten vieles, was man braucht. Starke Betonung des hadronischen Sektors. Weiterführende Literatur (theoretisch) F. Halzen, A.D. Martin Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics John Wiley & Sons O. Nachtmann Elementarteilchenphysik; Phänomene und Konzepte F. Vieweg & Sohn Spezielle Bücher für apparative Kapitel R. Fernow Introduction to experimental particle physics Cambridge University Press K. Kleinknecht Detektoren für Teilchenstrahlung Teubner Studienbücher W.R. Leo Particle Physics Experiments Springer Verlag 1987

9 Kapitel 1 Einführung Die Elementarteilchenphysik beschäftigt sich wie der Name sagt mit den elementaren oder auch fundamentalen Bausteinen der Natur. Allgemein versteht man darunter Teilchen, die nicht weiter zusammengesetzt sind. Im Laufe der Zeit hat sich mit verbesserten Experimenten der Begriff und seine Anwendung geändert. Im 19. Jahrhundert während der Entwicklung des periodischen Systems der Elemente, hielt man die Atome sicher für die fundamentalen Teilchen, später ihre Bausteine. Die ersten fundamentalen Teilchen, die entdeckt wurden, und die wir heute immer noch als solche akzeptieren, waren das Elektron und das Photon. Die anderen Teilchen, die das Atom bilden, Protonen und Neutronen im Atomkern, sind nicht elementar. Sie bestehen heutiger Kenntnis nach aus Quarks. Ob Quarks weiter teilbar sind oder nicht, weiss man nicht. Man weiss, daß sie Ausdehnungen weniger als m haben, wie alle heute bekannten Elementarteilchen. Die Suche nach Substruktur geht weiter. Wie geht man in der Teilchenphysik vor, um Erkenntnisse zu gewinnen? Das ist eine schwierige Sache, weil man viele der Teilchen mit herkömmlichen Methoden gar nicht sehen kann. Man muß Geräte bauen, die einem Information liefern: das sind heute (noch) zumeist Beschleuniger und Speicherringe, in denen man durch Kollisionen bei den höchsten erreichbaren Energien versucht, die Struktur der Teilchen zu verstehen. Hand in Hand damit geht ein Verständnis der Kräfte, die zwischen den Teilchen wirken. In der Teilchenphysik pflegt man nicht von Kräften zu sprechen, sondern von Wechselwirkungen. Es ist aber dasselbe gemeint. Der Ausdruck Wechselwirkung wird bevorzugt, weil er sich z.b. leichter auf Zerfälle anwenden läßt: man sagt, ein Teilchen zerfällt über die schwache Wechselwirkung. Die Wechselwirkungen, die in der Teilchenphysik wichtig sind, sind: Elektromagnetische Wechselwirkung Schwache Wechselwirkung Starke Wechselwirkung Es gibt eine weitere Wechselwirkung, die Gravitationswechselwirkung. Diese ist jedoch in der Praxis der Teilchenphysik so klein, daß man sie vernachlässigen kann. Vermutlich ist sie aber prinzipiell sehr wichtig: heutzutage ist man der Meinung, daß man die Masse der Teilchen nur verstehen kann, falls man die Gravitation in die Beschreibung der Wechselwirkungen einbezieht (Superstringtheorie, Supergravitation). Eine erstaunliche Tatsache ist eben angeklungen: man hat trotz vieler Jahrzehnte Experimentieren und theoretischer Untersuchungen kein Verständnis der Masse der Elementarteilchen.

10 2 Einführung Der vielzitierte Higgsmechanismus würde das nicht wesentlich ändern: er würde sagen, wie die Teilchen ihre Masse bekommen, aber nicht, wie groß dieselbe ist. Der Wert der Masse ist dann immer noch ein freier Parameter. Wechselwirkung wird in der Teilchenphysik durch den Austausch von Teilchen beschrieben: Es sind die elementaren Bosonen, Teilchen mit Spin 1, die die Wechselwirkung vermitteln. Das Konzept des Teilchenaustauschs ist zunächst fremd. Man muß sich aber klar machen, daß man z.b. in einem Streuexperiment nur die Wirkung dieser Wechselwirkung sieht: Nehmen wir an, Teilchen A treffe auf Teilchen B. Nach der Kollision sind Energie und Impuls geändert. Falls Teilchen B in Ruhe ist, kann ich versuchen die Änderung durch ein geeignetes Potential zu beschreiben, wie z.b. bei der Streuung geladener Teilchen im Coulombfeld eines Atomkerns, wo man dann die wohlbekannte Formel für Rutherfordstreuung erhält. Dieses Bild ist nicht Lorentz-invariant. I.a. sind beide Teilchen, A und B, mit relativistischen Geschwindigkeiten bewegt. Weiterhin können Teilchen zerfallen: A A 1 + A 2, z.b. π µ ν oder n p e ν. Man muß sich noch einmal klarmachen, daß bei einem Zerfall neue Teilchen entstehen können: das Elektron ist nicht im Neutron enthalten. Es stellt sich heraus, daß man eine konsistente Beschreibung erhält, wenn man Wechselwirkung zwischen Elementarteilchen durch Teilchenaustausch beschreibt. Austauschteilchen sind: Wechselwirkung Austauschteilchen Name Masse [GeV/c 2 ] Elektromagnetische γ Photon 0 Schwache W +, W, Z 0 Intermediäre Bosonen 80,80,91 Starke g (8) Gluonen 0 Beispiele: Elektromagnetische Wechselwirkung wird vermittelt durch Photonenaustausch, z.b. e lastische Streuung eines Elektrons an einem Proton wird symbolisch durch folgendes Diagramm (Feynmandiagramm) 1.1 versnschaulicht: Zeit e γ p e e e p Abbildung 1.1: Feynmandiagramm für die Streuung eines Elektrons an einem Proton. Dargestellt ist elektromagnetische Wechselwirkung mit Austausch eines Photons. Die Kopplungsstärke des Photons an die Teilchen ist durch den Betrag deren elektrischer Ladung gegeben. Schwache Wechselwirkung, Austausch eines W ± im Zerfall eines Neutrons: n p e ν ist in Abb. 1.2 skizziert. Starke Wechselwirkung, Gluonenaustausch zwischen Quarks: Quarks im Proton werden durch Gluonenaustausch zusammengehalten.

11 1.1 Die Teilchen des Standardmodells 3 Zeit p e ν e W ± n Abbildung 1.2: Zerfall eines Neutrons über W-Austausch. Anmerkung: Die Kernkraft, die zwischen Neutronen und Protonen wirkt, wird in der Kernphysik auch als starke Wechselwirkung bezeichnet. Man versteht sie heute als Restkraft der starken Kraft zwischen Quarks (wie man van-der-waals Kräfte als Reste elektromagnetischer Kräfte auffassen kann). Die Eigenschaften der Reaktionen zwischen Elementarteilchen kann man zum großen Teil auf die Eigenschaften der Austauschteilchen zurückführen, wie z.b. auf die Masse der Austauschteilchen. Wir werden bald sehen, wie diese mit der Reichweite zusammenhängt. Das Teilchenaustauschbild wird uns sehr bald sehr geläufig sein! Elementarteilchenphysik beschäftigt sich also mit den fundamentalen Teilchen und den Wechselwirkungen zwischen ihnen. Das Ziel ist, die Beobachtungen nicht nur zu verstehen, sondern auch in mathematischen Gesetzen Theorien zu fassen. Diese Gesetze sollten möglichst Vorhersagen machen können für weitere Beobachtungen. Diese sollten nachprüfbar sein. Nach Prüfung muß möglicherweise die Theorie geändert oder erweitert werden. Dann gibt es neue Vorhersagen, usw. Der heutige Stand des Wissens über Elementarteilchen ist in einer Theorie zusammengefaßt, die bescheiden das Standard Modell der Teilchenphysik genannt wird. Auch die Kosmologie hat ein Standard Modell, die Sonne wird ebenfalls durch ein Standard Modell beschrieben. Das Standard Modell ist der Maßstab, an dem man die Beobachtungen sozusagen mißt. Aus vielerlei Gründen ist man überzeugt, daß dieses Standard Modell der Teilchenphysik nicht die letzte Wahrheit ist. Es ist aber schon eine gute Näherung. Die Experimente, die eine Abweichung suchen, laufen auf der ganzen Welt auf Hochdruck. Sie sind möglicherweise Zeugen der ersten Anzeichen, daß es tatsächlich bröckelt: darauf kommen wir gegen Ende der Vorlesung zurück. 1.1 Die Teilchen des Standardmodells Elektron 1874 George J. Stoney und Herrmann v. Helmholtz: atomare Struktur der Elektrizität aus der Interpretation der Elektrolyse 1897 Joseph J. Thompson: Entdeckung des Elektrons Das Experiment von J.J. Thompson hat bereits viele Aspekte typischer Experimente der Teilchenphysik: geladene Teilchen werden in einem (longitudinalen) elektrischen Feld beschleunigt,

12 4 Einführung die Bestimmung der Geschwindigkeit v bzw. von q/m erfolgt durch Ablenkung in elektrischen und magnetischen Feldern, und eine Ortsbestimmung erfolgt durch einen Fluoreszenzschirm Photon 1900 Max Planck: Strahlung des schwarzen Körpers Emission und Absorption sind quantisiert Albert Einstein: Erklärung des photoelektrischen Effekts (maximale kinetische Energie von Elektronen ist unabhängig von der Intensität der Strahlung) elektromagnetisches Feld ist quantisiert Arthur H. Compton: Korpuskelcharakter des Photons. λ C ist die Compton-Wellenlänge des Elektrons Antiteilchen; Positron e Paul A. M. Dirac: Dirac-Gleichung λ = 2λ C (1 cos ϑ) = 2λ C sin 2 ϑ 2 (1.1) mit λ C = h m e c = m (1.2) Dirac versuchte, eine Wellengleichung zur Beschreibung eines relativistischen Elektrons aufzustellen. Dabei gibt es entsprechend der relativistischen Energieformel E 2 = p 2 c 2 = m 2 e c4 gemäß E = ± p 2 c 2 + m 2 e c4 Lösungen, die Zustände negativer Energie darstellen. Dies stellte ein Problem dar: Elektronen würden unter Abstrahlung von Energie in Zustände negativer Energie übergehen. Ein Erklärungsversuch war, daß im Vakuum die Zustände negativer Energie mit Elektronen gefüllt sind (sie bilden den sogenannten Diracsee); ein fehlendes Elektron mit Energie E e < 0 entspricht dann einem Positron e + mit Energie E e + > C. D. Anderson: Nebelkammerbild mit positivem Elektron. Die heutige Interpretation der Zustände negativer Energie wurde von Feynman und Stückelberg gefunden: Teilchen negativer Energie (E < 0), die rückwärts in der Zeit laufen, entsprechen Antiteilchen positiver Energie (E > 0, die vorwärts in der Zeit laufen. Mit dieser Interpretation lassen sich alle Prozesse mit Teilchen und Antiteilchen beschreiben Elektron-Neutrino und Antineutrino Die Geschichte der Erfindung des Neutrinos durch Pauli 1930 ist bekannt: In Stichworten: β Zerfall kontinuierliches Leptonspektrum Energieerhaltung unsichtbares Teilchen. Später wurde das im Neutron Zerfall entstehende Teilchen als ν e identifiziert. Erster experimenteller Nachweis 1958 durch Reines und Cowan Weitere Leptonenfamilien 1936 Anderson und Neddermeyer: Entdeckung des Myons in der kosmischen Strahlung. Das Myon, mit Symbol µ, hat die gleichen elektromagnetischen Eigenschaften wie das Elektron, es hat jedoch eine höhere Masse m µ = MeV/c 2. Es entsteht z.b. durch kosmische Strahlung in der oberen Atmospäre und kann die Erde erreichen. Es zerfällt in ein Elektron und weitere nicht beobachtete Teilchen: µ e +?. Der Zerfall µ e + γ wurde nicht beobachtet.

13 1.1 Die Teilchen des Standardmodells Direkter Nachweis des Myon-Neutrinos: ν µ e µ ν e ; ν µ n µ p; ν µ p µ + n. Intensive Neutrinostrahlen zur Untersuchung der Eigenschaften von Neutrinos und Hadronen Martin Perl (SLAC): e + e τ + τ mit der Masse m τ = MeV/c 2. Das zugeordnete Neutrino ν τ ist erst im Jahr 2000 am Experiment DONUT im Fermilab in der Nähe von Chicago nachgewiesen worden. Man hat also drei Familien von Leptonen, die man schematisch so darstellt: ( ) ( ) ( ) νe νµ ντ e, µ, τ Entsprechend die Antileptonen: ( e + ν e ), ( µ + ν µ ), ( τ + ν τ ) Leptonen sind Fermionen, d.h. Spin 1 Teilchen. Die geladenen Leptonen nehmen an der elektromagnetisch Wechselwirkung teil, die ungeladenen Neutrinos nicht. Alle Leptonen nehmen an 2 der schwachen Wechselwirkung teil aber nicht an der starken. Leptonenzahl Für Leptonen gilt ein strikter Erhaltungssatz: Die Zahl der Leptonen minus die Zahl der Anti-Leptonen ist erhalten. Darüber hinaus ist auch die Leptonfamilienzahl erhalten: Es gibt eine Elektron-Leptonzahl, eine für Myonen und eine für Tauonen. Hier ist die Regel für die Elektronen-Leptonzahl: L e = N(e ) N(e + ) + N(ν e ) N(ν e ) (1.3) N(e ) ist z.b. die Zahl der Elektronen im Zustand. D.h. für einzelne Teilchen ist L e (e ) = 1 oder L e (ν e ) = 1. Alle Teilchen der zweiten Leptonenfamilie sowie alle Quarks haben L e = 0. Da die neutralen Neutrinos nicht an der elektromagnetisch Wechselwirkung teilhaben, gilt für diese Erhaltung von N(e ) N(e + ), Elektronen und Positronen können nur paarweise erzeugt werden. In schwachen Wechselwirkungen ist das komplizierter! Einige Eigenschaften von Leptonen sind in Tabelle 1.1 aufgeführt.

14 6 Einführung Teilchen Masse Lebensdauer L τ L µ L e L Ladung [MeV/c 2 ] [s] Leptonenzahl Elektron e stabil e-neutrino ν e < Myon µ µ-neutrino ν µ < Tau τ τ-neutrino ν e < Antiteilchen Positron e stabil Anti-e-Neutrino ν e < Myon µ Anti-µ-Neutrino ν µ < Tau τ Anti-τ-Neutrino ν e < Tabelle 1.1: Einige Eigenschaften von Leptonen Hadronen, Quarks Bisher haben wir Leptonen erwähnt: e ±, ν, ν e,.... Diese Teilchen sind dadurch charakterisiert, daß sie nicht an der starken Wechselwirkung teilnehmen. Teilchen mit starker Wechselwirkung nennt man Hadronen, es gibt zwei große Klassen: 1. Baryonen: Die leichtesten Baryonen sind Proton und Neutron. Alle Baryonen - bis auf das Proton - sind instabil und zerfallen, wobei zum Schluß immer ein Proton entsteht. Es gilt ein Erhaltungssatz für die Baryonenzahl. Baryonen sind auch Fermionen, haben also halbzahligen Spin. Das Proton hat Spin 1 2, es gibt aber auch Baryonen mit Spin 3 2, z.b. das. 2. Mesonen: das leichteste Meson ist das Pion: π +, π, π 0. Für Mesonen gilt kein spezieller Erhaltungssatz, sie können beliebig erzeugt werden und zerfallen, natürlich unter Beachtung der anderen Erhaltungssätze. Mesonen haben ganzzahligen Spin, das leichteste Meson ist das Pion. Es gibt drei Ladungszust ande π +, π, π 0, und es hat z.b. Spin 0. Ein weiteres berühmtes Meson, das J/ψ hat Spin 1. Hadronen sind aus Quarks aufgebaut: Baryonen aus drei Quarks, Mesonen aus Quark und Antiquark. Messungen der Zerfallsbreite des Z 0 am LEP-Speicherring zeigen, daß die Zahl der leichten Neutrinos gleich drei ist. Experimente zum Nachweis der von der Sonne emittierten Neutrinos und der in der Atmosphäre erzeugten Neutrinos geben Hinweise auf eine von Null verschiedene Ruhemasse der Neutrinos (Neutrinooszillationen) Baryonenzahl Warum ist das Proton stabil? Experimente zeigen, daß die Lebensdauer des Protons τ p > Jahre ist (das Alter des Universums ist Jahre). Dies führt auf die Einführung einer Baryonenzahl B, die offenbar sehr gut erhalten ist. Man ordnet p und n die Baryonenzahl B = +1 zu, und den Antiteilchen p und n die Baryonenzahl

15 1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme 7 B = 1. Die Baryonenzahl ist offenbar in Teilchenreaktionen erhalten Quarks n p e ν e p \ π 0 γ, e ν e, eγ p p p p p p... Anti-Baryon-Erzeugung Das Quarkmodell wurde 1964 unabhängig von zwei Physikern eingeführt, Murray Gell-Mann und Zweig. Sie konnten durch nur drei Teilchen all Eigenschaften der bekannten Hadronen erkl aren 1 Das Quarkmodell war sehr erfolgreich, als in den folgenden Jahren immer mehr Hadronen entdeckt wurden. Es hatte einen Nachteil: die Quarks konnten experimentell nicht nachgewiesen werden. Viele Physiker haben sie deshalb nur für nützliche mathematische Hilfsgrößen gehalten. Die Quarks als tatsächliche Teilchen wurden erst durch zwei experimentelle Ergebnisse anerkannt: Streuexperimente am Nukleon ab 1968, die zweifelsfrei belegten, daß Nukleonen Quarks enthalten. Weiterhin trug die Entdeckung der schweren Quarks 1974 dazu bei. Heute wird die Wechselwirkung der Quarks durch die Quantenchromodynamik beschrieben. Austauschteilchen ist das Gluon. 1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme Kräfte, Teilchenaustausch, Reichweite In Abschnitt 1 stellten wir fest, daß die Kräfte in der Elementarteilchenphysik mit dem Teilchenaustausch zusammenhängen. In diesem Abschnitt werden wir uns mit diesem wichtigen Gedanken weiter auseinandersetzen. A B X g g A B Abbildung 1.3: Elastische Streuung über Austausch eines Teilchens X, welches mit der Stärke g an A und B koppelt. Das Feynmandiagramm in Abb. 1.3 stellt die elastische Streuung zweier Teilchen A und B mit den Massen M A und M B dar, der über den Austausch eines dritten Teilchens X der Masse 1 Der Name Quarks wurde von Gell-Mann eingeführt, einem der Erfinder des Quarkmodells. Er soll ihn aus einem Buch von James Joyce haben: Finnegans Wake. Dort kommt eine Satz vor: Three Quarks for Muster Mark. Damals war noch nicht bekannt, daß es mehr als drei Quarks gibt. Zweig nannte sie Aces (Asse).

16 8 Einführung M X erfolgt. Die Kopplungsstärke g für Teilchen X an Teilchen A und B soll gleich sein. Im Ruhesystem des einlaufenden Teilchens A stellt der untere Vertex den virtuellen Prozeß A(M A c 2, 0) A(E A, p) + X(E X, p) (1.4) dar, wobei E X = (p 2 c 2 + MX 2 c4 ) 1/2 und E A = (p 2 c 2 + MA 2c4 ) 1/2 ist. Der Energieunterschied zwischen den End und Anfangszuständen ist also gegeben durch E = E X + E A M A c 2 pc für p (1.5) M X c 2 für p 0 (1.6) E M X c 2 für alle p. Da eine solche Energieverletzung nur für einen Zeitraum τ h E aufrecht erhalten werden kann, bekommen wir: r R h M X c als die Maximaldistanz, über die X sich ausbreiten kann, bevor es von Teilchen B absorbiert wird. Diese Maximaldistanz wird Reichweite der Wechselwirkung genannt. Die elektromagnetische Wechselwirkung hat eine unendliche Reichweite, weil das ausgetauschte Teilchen ein masseloses Photon ist. Dagegen wird die schwache Wechselwirkung mit dem Austausch sehr schwerer Teilchen assoziiert den W und Z Bosonen mit den Massen (1.7) was einer Reichweite von M W = 80.3 Gev/c 2 (1.8) M Z = 91.2 GeV/c 2 (1 GeV = 10 9 ev), (1.9) R W h M W c fm (1 fm = m) (1.10) entspricht. In vielen Anwendungen ist diese Reichweite sehr klein verglichen mit der de Broglie Wellenlänge aller beteiligten Teilchen. Die schwache Wechselwirkung kann dann in etwa durch eine Reichweite 0 oder durch eine Punktwechselwirkung angenähert werden, was der Grenze M X entspricht, wie in Abb. 1.4 gezeigt Das Yukawa Potential Mit der Einschränkung, daß M A groß wird, können wir die Streuung von B an A nähern durch die Streuung an einem statischen Potential, dessen Quelle A ist. Dieses Potential wird in der Regel spinabhängig sein. Indessen kann man seine Haupteigenschaften auch bei Vernachlässigung des Spins verstehen. Den Austausch von Spin 0 Bosonen, die durch die Klein Gordon Gleichung beschrieben werden, kann man folgendermaßen ausrechnen : h 2 2 φ(x, t) t 2 = h 2 c 2 2 φ(x, t) + M 2 X c4 φ(x, t). (1.11)

17 1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme 9 B B B B X M X 8 A A A A Abbildung 1.4:. Für statische Lösungen reduziert sich dies zu 2 φ(x) = M 2 X c2 h 2 φ(x), (1.12) wobei wir φ(x) als statisches Potential interpretieren. Für MX 2 = 0 ist diese Gleichung identisch mit der, der das elektrostatische Potential Folge leistet, und für eine Ladung e, die mit einer Punktladung +e am Ursprung wechselwirkt, ist die Lösung wobei r = x bedeutet. Die entsprechende Lösung von 1.12 ist V (r) = eφ(r) = e2 4πɛ 0 1 r, (1.13) V (r) = g2 4π e r/r r, (1.14) wobei R = h/m X c die Reichweite bedeutet, und wir nehmen gleiche Kopplungsstärken g für Teilchen X an die Teilchen A und B an. g ist ein Kopplungsparameter ähnlich wie bei der elektromagnetischen Wechselwirkung die Kopplungsstärke durch die Ladung gegeben wird. Man kann analog zur Feinstrukturkonstante der QED einen dimensionslosen Parameter definieren: α s = g2 4π hc analog α = e2 4πɛ 0 hc α s charakterisiert die Stärke der Wechselwirkung bei kurzen Entfernungen r R. (1.15) Diese Form des Potentials wird Yukawa Potential genannt, nach Hideki Yukawa, der 1935 als erster den Begriff von Kräften infolge massiven Teilchenaustausches einführte. Für M X 0 reduziert sie sich auf die bekannte Coulombformel in Gleichung 1.13, während sie für sehr große M X in etwa punktförmig ist. Die effektive Kopplungsstärke der zuletzt genannten Näherung und ihren Halbwertsbereich kann man am besten unter Berücksichtigung der entsprechenden Streuamplitude verstehen.

18 10 Einführung 1.3 Relativistische Wellengleichungen Wir gehen von der Annahme aus, daß ein Teilchen mit Impuls p im freien Raum durch die de Broglie Wellenfunktion 2 Ψ( x, t) = Ne i( p x Et)/ h (1.16) mit der Frequenz ν = E/h und der Wellenlänge λ = h/p beschrieben wird. Hier bedeutet p = p und N eine Normierungskonstante, die im folgenden nicht relevant ist. Die entsprechende Wellengleichung ist abhängig von der Relation zwischen Energie E und Impuls p. Nicht relativistisch ist E = p 2 2m, (1.17) und die Wellenfunktion Gleichung (1.16) erfüllt die nicht relativistische Schrödinger Gleichung i h Ψ h2 ( x, t) = t 2m 2 Ψ( x, t). (1.18) Dabei sind Energie- und Impulsoperator: Relativistisch gilt: Ê = i h t und p = h i (1.19) E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4, (1.20) wobei m die Ruhemasse ist und die entsprechende Wellengleichung ist: h 2 2 Ψ( x.t) t 2 = h 2 c 2 2 Ψ( x, t) + m 2 c 4 Ψ( x, t), (1.21) was leicht überprüft werden kann, indem man (1.16) in Gleichung (1.21) einsetzt und dabei die Beziehung (1.20) benutzt. Diese Gleichung wurde 1924 zum ersten Mal von de Broglie vorgeschlagen, wird aber jetzt in der Regel Klein Gordon Gleichung 3 genannt. Ihr Hauptmerkmal ist die Existenz negativer Energielösungen. Für jede ebene Wellenlösung der Form: Ψ( x, t) = N e i( p x E pt)/ h (1.22) Impuls p und positiver Energie gibt es auch eine Lösung E = E p + p 2 c 2 + m 2 c 4 mc 2 die dem Impuls p und der negativen Energie Ψ( x, t) Ψ ( x, t) = N exp[i( p x + E p t)/ h], (1.23) E = E p = p 2 c 2 + m 2 c 4 mc 2. 2 Wir benutzen die Notation x = (x 1, x 2, x 3 ) (x, y, z). 3 Diese Autoren haben elektromagnetische Wechselwirkungen in die Gleichung mit einbezogen, somit ist sie für geladene Spin 0 Bosonen anwendbar.

19 1.3 Relativistische Wellengleichungen 11 entspricht. Wir müssen feststellen, dass die Energie E sowohl positive wie negative Werte annehmen kann. Diese Energie enthält aber keinen potentiellen Anteil, sie ist vielmehr die Summe von Ruheund kinetischer Energie, also eine Größe, die in jedem Fall positiv sein muss. Man könnte versucht sein, die negativen Energiewerte und die zugehörigen Wellenfunktionen als physikalisch sinnlos einfach zu ignorieren. Das führt zu mathematischen Schwierigkeiten, da die Wellenfunktionen mit positiver Energie für sich allein kein voll ständiges Funktionensystem bilden. Die negativen Werte für E sind offensichtlich mit der Doppeldeutigkeit der Wurzel von 1.20 verknüpft und diese wiederum mit der zweiten Zeitableitung in der Klein-Gordon-Gleichung. Paul Dirac versuchte daraufhin, eine Gleichung zu konstruieren, die nur die erste Ableitung nach der Zeit enthält. Die Lorentz-Invarianz erfordert dann, dass auch die räumlichen Ableitungen nur in erster Ordnung vorkommen. Die Dirac-Gleichung lautet für ein freies Teilchen i h Ψ t = i h c ( α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 ) Ψ + β mc 2 Ψ (1.24) x 3 Dabei muss man Ψ als einen vierkomponentigen Wellenfunktionsvektor und die Parameter α und β als 4 x 4-Matrizen wählen. Die Hoffnung, die negativen Energiewerte damit vermeiden zu können, trog jedoch, denn die Dirac-Wellenfunktionen müssen auch die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen, die eine Konsequenz der relativistischen Energie-Impuls-Relation und der Form der Operatoren Gl der Operatoren ist. Da sich Dirac außerstande sah, die negativen Energiezustände zu eliminieren, machte er die kühne Annahme, dass sie tatsächlich existieren, aber normalerweise sämtlich mit Elektronen besetzt sind. Nach seiner Deutung ist der Grundzustand, oft auch das Vakuum genannt, nicht leer, sondern enthält unendlich viele Elektronen negativer Energie. Das Pauli-Prinzip verbietet den Übergang eines normalen Elektrons von seinem Zustand positiver Energie in ein negatives Energieniveau, so dass man normalerweise von den vielen negativen Niveaus nichts merkt. Durch ein γ-quant mit einer Energie von mehr als 2 m c 2 könnte jedoch ein Elektron von einem negativen auf ein positives Energieniveau angehoben werden. Das verbleibende Loch im See der Elektronen mit E 0 sollte sich wie ein Teilchen mit positiver Ladung und positiver Energie verhalten. Aufgrund dieser Überlegungen hat Dirac die Existenz von Antiteilchen vorhergesagt und damit eine der revolutionärsten Ideen der theoretischen Physik hervorgebracht 4. Experimentell wurde das erste Antiteilchen 1931/2 von Anderson in der kosmischen Höhenstrahlung entdeckt (s.o.). Das nächste wurde systematisch gesucht, es war das Antiproton, welches 1955 am Beschleuniger BEVATRON (USA) erzeugt wurde. Im Rahmen der Teilchenphysik hat dieses Bild eines Sees von Elektronen jedoch Nachteile, so ist es auf Bosonen überhaupt nicht anwendbar, da sie nicht dem Ausschließungsprinzip gehorchen. Eine andere Interpretation stammt von Stückelberg und Feynman. Danach besitzen die Wellenfunktionen mit negativen Energiewerten selber keine physikalische Signifikanz, erhalten sie aber dadurch, dass man die Zeitrichtung umkehrt. Sie entsprechen dann den Wellenfunktionen der Antiteilchen, die mit positiver Energie zeitlich vorwärts laufen. 4 Das Diracsche Bild ist später mit großem Erfolg auf Halbleiter übertragen worden.

20 12 Einführung Wir wollen diese Idee an dieser Stelle nicht weiter besprechen, sondern kommen im Kapitel elektromagnetische Wechselwirkung nochmal darauf zurück. Hier halten wir fast, daß es zu jedem Teilchen ein Antiteilchen gibt, bei welchem alle ladungsartigen Quantenzahlen umgedreht sind, also Baryonenzahl, Leptonzahlen, elektrische Ladung, magnetisches Moment, etc.

21 Kapitel 2 Relativistische Kinematik Die folgenden Bezeichnungen werden in diesem Kapitel benutzt: Umrechnungsfaktoren: Größe Beschreibung Einheit c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum m s 1 E = Energie ev T = Kinetische Energie ev M, m = Masse (Ruhemasse) ev/c 2 M = Matrixelement λ = Charakteristische Wechselwirkungslänge p = Impuls (3-Impuls) ev/c P, p = Viererimpuls ev/c η = Vierergeschwindigkeit σ = Wirkungsquerschnitt barn Größe Zahlenwert c = m s 1 h = (20) MeV s h c = (59) MeV fm ( h c) 2 = (23) GeV 2 mbarn barn = m Spezielle Relativitätstheorie Lorentztransformation Inertialsysteme. Ein Inertialsystem ist ein System, in dem jeder Körper, auf den keine äußere Kraft wirkt, seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung beibehält: v = konstant. Inertialsysteme haben eine konstante Relativgeschwindigkeit gegeneinander. In Inertialsystemen sind die physikalischen Gesetze gleich, zum Beispiel gelten die Maxwellschen Gleichungen in gleicher Weise in allen Inertialsystemen. Daraus folgt, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen im Vakuum in allen Inertialsystemen gleich c ist. Die Lorentztransformation gibt den Übergang zwischen den Ortskoordinaten und der Zeit zwischen zwei Systemen O und O an, die sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v = (v, 0, 0) bewegen. Die Geschwindigkeit wird oft durch die dimensionslose Größe β = v/c

22 14 Relativistische Kinematik ausgedrückt. Die Lorentztransformation ist mit γ = 1/ 1 β 2 gegeben durch: x = γ(x vt) x = γ(x + vt ) y = y y = y z = z z = z ( t = γ t xv ) ( ) t = γ t + x v c 2 c 2. y v y O O x z x z Abbildung 2.1: Die Bezugssysteme O und O Relativität der Gleichzeitigkeit. Wenn sich im System O zwei Ereignisse A und B zur gleichen Zeit, aber an anderem Ort ereignen, dann ereignen sie sich nicht zur gleichen Zeit im System O. Aus den Transformationsformeln folgt für t A = t B t A = t B + γv c 2 (x B x A ). Ereignisse, die in einem System gleichzeitig stattfinden, sind in anderen System nicht gleichzeitig. Längenkontraktion und Zeitdilatation. Diese in der Gleichung (2.1) ausgedrückten Eigenschaften sind charakteristisch für Lorentz-Transformationen. Bewegte Objekte erscheinen in Bewegungsrichtung um den Faktor γ verkürzt. Im System O befinde sich ein Stab der Länge L mit einem Ende bei x = 0 und mit dem anderen Ende bei x = L. Im System O muß die Position der beiden Enden zur gleichen Zeit, z.b. t = 0, registriert werden; zu diesem Zeitpunkt ist das eine Ende bei x = 0, das andere bei x = L /γ, und damit ist mit L = L /γ die Länge verkürzt. Dies wird als Längenkontraktion bezeichnet. Dimensionen senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung bleiben unverändert. L = L /γ (2.1) Für bewegte Objekte läuft die Zeit langsamer ab. Wenn für eine Uhr im System O am Ort x = 0 die Zeit t von 0 bis T läuft, dann beginnt sie im System O bei t = 0 und läuft, bis t = T bei x = 0 ist; dies ist t = γt, d.h. das Zeitintervall ist in O mit T = γt verlängert. Diese Zeitdilatation wird beim Teilchenzerfall nachweisbar. Die mittlere Lebensdauer τ von Teilchen wird stets im Ruhesystem angegeben. Bewegte Teilchen haben eine um den Faktor γ größere mittlere Lebensdauer. Dieser Effekt wird Zeitdilatation genannt. Myonen werden in der oberen Atmosphäre der Erde durch kosmische Strahlung erzeugt und können bei hohem Impuls

23 2.1 Spezielle Relativitätstheorie 15 trotz der kurzen Lebensdauer von τ = sec die Erdoberfläche erreichen. Allgemein ist die mittlere Zerfallslänge L = γβcτ = (p/m) τ bei einer mittleren Lebensdauer von τ. Addition der Geschwindigkeiten. Ein Teilchen bewege sich im System O mit der Geschwindigkeit u in x-richtung. Im System O legt es eine Strecke x = γ ( x + v t ) in der Zeit t = γ ( t + (v/c 2 ) x ) zurück, d.h. x t = x + v t t + (v/c 2 ) = ( x / t ) + v 1 + (v/c 2 ) ( x / t ). Daraus folgt die Transformationformel bzw. Additionsregel für Geschwindigkeiten: u = u + v 1 + (u v/c 2 ). (2.2) Der Nenner stellt eine relativistische Korrektur dar, die bei kleinen Geschwindigkeiten vernachlässigt werden kann. Für u = c ist auch u = c: die Lichtgeschwindigkeit ist für alle Inertialsysteme gleich. Die Transformationsformel ist kompliziert, weil bei der durch v d r dt definierten Geschwindigkeit sowohl der Zähler als auch der Nenner sich bei Lorentztransformationen ändern Vierervektoren Die vier Koordinaten eines Zeit-Raum-Punktes werden zu einem Vierervektor X (ct, x, y, z) = (ct, r) zusammengefaßt. Ein Vierervektor enthält einen raumartig genannten Vektor r und eine zeitartig genannte Komponente ct: X = (ct, r). Die Lorentztransformation eines Vierervektors entlang der x-richtung läßt sich mit Matrizen schreiben: ct γ βγ 0 0 ct cosh ω sinh ω 0 0 ct βγ γ 0 0 x sinh ω cosh ω 0 0 x X = x y z = y z = mit cosh ω = γ und tanh ω = sinh ω/ cosh ω = β. Die Größe ω entspricht einem imaginären Drehwinkel und wird als Rapidität (Schnelligkeit) bezeichnet und häufig zur Beschreibung von Teilchenerzeugung verwendet. Bei Verwendung der Rapidität ω wird die Lorentztransformation ähnlich zur Drehung eines räumlichen Vektors (zum Beispiel um die z-achse): ( ) ( ( ) x cos ϑ sin ϑ x y = mit x sin ϑ cos ϑ) 2 + y 2 = x y 2 + y 2. Die Länge des Vektors ( x 2 + y 2 bzw. x 2 + y 2 ) ist invariant gegenüber Drehungen (nur positive relle Längen sind physikalisch sinnvoll). y z

24 16 Relativistische Kinematik Auch wenn sich die einzelnen Komponenten eines Vierervektors bei einer Transformation ändern, bleibt der folgende Ausdruck unverändert: I = (ct ) 2 x 2 y 2 z 2 = (ct cosh ω x sinh ω) 2 ( ct sinh ω + x cosh ω) 2 y 2 z 2 = (ct) 2 x 2 y 2 z 2 unter Benutzung der Beziehung cosh 2 ω sinh 2 ω = 1. Eine solche Größe, die in jedem Inertialsystem den gleichen Wert hat, wird Invariante genannt. Das Quadrat eines Vierervektors ist invariant gegenüber Lorentz-Transformation X 2 X X = (ct) 2 r 2 invariant unter Lorentztransformationen und wird nach seinem Vorzeichen klassifiziert: > 0 zeitartig (ct) 2 r 2 = 0 lichtartig < 0 raumartig. Das Skalarprodukt zwischen zwei Vierervektoren wird definiert als X 1 X 2 = c 2 t 1 t 2 r 1 r 2. Es ist ebenfalls invariant unter Lorentztransformationen. Alle 4-Tupel, die sich wie der Raumzeit- Vierervektor X transformieren, sind Vierervektoren Energie und Impuls Vierergeschwindigkeit. Die Vierergeschwindigkeit ist eine für die Definition des relativistischen Impulses nützliche Größe. Der Vektoranteil ist definiert als zurückgelegte Strecke, dividiert durch Eigenzeit (mit Eigenzeit τ = t/γ und dτ = dt/γ) : η d r dτ = γ d r dt = γ v Für diese Geschwindigkeit gilt η = γ v beim Vergleich mit der normalen Geschwindigkeit v. Definiert man als nullte Komponente η 0 = d(ct)/dτ = γc, so erhält man den Vierervektor η = dx dτ = γ (c, v x, v y, v z ). Bei Lorentz-Transformationen zwischen Systemen O und O ist die Vierergeschwindigkeit einfacher zu handhaben: nur der Zähler d r wird transformiert, denn der Nenner dτ is eine Invariante. Dagegen müssen bei der normalen Geschwindigkeit sowohl Zähler als auch Nenner transformiert werden; dies führt zu der komplizierten Additionsregel (2.2) der Geschwindigkeiten. Das Quadrat der Vierergeschwindigkeit ist, wie erwartet, eine Invariante gegenüber Lorentztransformationen: η η = γ ( 2 c 2 vx 2 v2 y ) v2 z = γ 2 c ( 2 1 v 2 /c 2) = c 2 Relativistischer Impuls. Die klassische Definition von Impuls ist Masse Geschwindigkeit. Bei der relativistischen Verallgemeinerung dieses Begriffs stellt sich die Frage, welche der beiden Geschwindigkeiten benutzt werden sollte (bei Geschwindigkeiten v c ist γ 1 und

25 2.1 Spezielle Relativitätstheorie 17 beide Geschwindigkeiten sind gleich). Bei Benutzung der Geschwindigkeit v ist das Gesetz der Impulserhaltung inkonsistent mit dem Relativitätsprinzip. Die Definition des Impulses durch p = m η dagegen ist konsistent mit dem Relativitätsprinzip: wenn Impulserhaltung in einem Inertialsystem gilt, gilt sie in allen. Damit wird allerdings nicht das Gesetz der Impulserhaltung bewiesen, denn dies ist eine experimentelle Frage. Die Definition sorgt jedoch für die Konsistenz zwischen den Inertialsystemen. Mit der Definition des Impulses durch p m η = γm v = m v 1 v2 /c 2 und mit der nullten Komponente P 0 = γmc = E/c erhält man einen Vierervektor des Impulses: ( ) E P = c, p x, p y, p z mit P P = E2 c 2 p2 = m 2 c 2 Für die relativistische Definition der Energie gilt dann die Formel E = γmc 2 = mc 2 1 v2 /c 2 = mc2 1 β 2 E 2 = (pc) 2 + ( mc 2)2. Nichtrelativistischer Bereich. Bei kleinen Geschwindigkeiten v c (d.h. β 1) sind relativistische Impulse p = m η und nichtrelativistische Impulse p = m v gleich. Die Energieformel kann durch eine Reihenentwicklung nach Potenzen von β = v/c dargestellt werden: E = mc2 1 β 2 = mc2 ( β β ) = mc mv mv2 β Der erste Term ist konstant und wird als Ruheenergie bezeichnet. Der nächste Term ist die klassische kinetische Energie. Die relativistische Verallgemeinerung der kinetischen Energie ist die Differenz T = γmc 2 mc 2 = mc 2 (γ 1). Masselose Teilchen. Für elektromagnetische Strahlung gilt nach der Elektrodynamik die Beziehung E = p c. Die gleiche Beziehung gilt für masselose Teilchen, denen ein Viererimpuls ( ) E P = c, p zugeordnet wird. Masselose Teilchen wie das Photon (und das Neutrino?) bewegen sich mit der Lichtgeschwindigkeit c. Erhaltung des Viererimpulses. Die Viererimpuls-Erhaltung wird bei allen kinematischen Rechnungen vorausgesetzt. Bisher gibt es keine experimentellen Anzeichen dafür, daß der Viererimpuls in Teilchenreaktionen nicht erhalten sein könnte. Beispiel: Stoß zweier Lehmklumpen Zwei Lehmklumpen gleicher Masse m stoßen, jeder mit der Geschwindigkeit 3/5 c, frontal aufeinander. Wegen der Impulserhaltung p 1 + p 2 = 0 ist der beim Stoß entstehende Lehmklumpen in Ruhe. Aus der Energieerhaltung folgt für die Masse M des entstehenden Lehmklumpens Mc 2 = 2E m = 2mc 2 1 (3/5) 2 = 5 2 mc2. Bei der Kollision wird die kinetische Energie in Ruheenergie umgewandelt, daher ist die Masse größer als die Summe der Massen des Anfangszustandes.

26 18 Relativistische Kinematik Einheiten und Dimensionen Es ist in der Hochenergiephysik üblich, Faktoren von Potenzen von c in kinematischen Formeln wegzulassen und von hier ab wird diese Konvention im Skript benutzt, außer in Sonderfällen. Die Schreibweise von Vierervektoren und ihren Quadraten vereinfacht sich daher zu P = (E, p) P P = E 2 p 2 = m 2. Einheiten für Energie, Impuls und Masse sind einheitlich Vielfache von ev. Praktisch bedeutet dies, daß für Energie, Impuls und Masse die folgenden Einheiten benutzt werden: Energie [MeV] Impuls [MeV/c] Masse [ MeV/c 2 ] Die Geschwindigkeit wird durch die dimensionlose Größe β = v/c angegeben. Es gelten die Beziehungen: β = p 1 γ = E = E βγ = p 1 β 2 m m Oft wird auch die Plancksche Konstante h = 1 gesetzt. In den Endformeln muß man sich dann die Faktoren aus Dimensionsbetrachtungen ergänzt denken. Für diese Umrechnungen sind die Angaben am Beginn des Kapitels nützlich. Die Lorentztransformation des Viererimpulses schreibt sich in diesen Einheiten so: β = v/c v γ = 1/ 1 β 2 P = (E, p x, p y, p z ) mit P P = E 2 p 2 = m 2 p x = γ(p x βe) p x = γ(p x + βe ) p y = p y p y = p y p z = p z p z = p z E = γ (E βp x ) E = γ (E + βp x ). Man nennt die Impulskomponente in Richtung der Boost-Achse oft Longitudinalimpuls, hier p = p x. Die Komponente senkrecht zur Boostrichtung heißt dann Transversalimpuls, hier p = p T = p 2 y + p2 z. 2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle Teilchenreaktionen und Zerfälle sind bestimmt einerseits durch die Dynamik (Kräfte) und anderseits durch die Kinematik (Impuls- und Energieerhaltung). In der Teilchenphysik muß die relativistische Kinematik benutzt werden. Die Anwendung der relativistischen Kinematik unter Beachtung der Erhaltung des Viererimpulses bei der Reaktion ist wichtig und erfordert oft Geschick. Elastische Streuung. Bei der elastischen Streuung zwischen Teilchen erfolgt lediglich ein Impulsübertrag zwischen den Teilchen, die bei der Reaktion unverändert bleiben (gleiche Massen

27 2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle 19 vor und nach der elastischen Reaktion). Beispiele für elastische Streuung sind die elastische Proton-Proton- und π-proton-streuung: p + p p + p π + + p p + π + Unelastische Streuung. Klassisch erfolgt bei einer unelastischen Reaktion eine Umwandlung zwischen kinetischer Energie und innerer Energie (Wärme, potentielle Energie,... ). Relativistisch erfolgt eine Umwandlung zwischen kinetischer Energie und Ruheenergie (Massen von Teilchen sind nicht erhalten, es gibt Erzeugung neuer Teilchen) 1. Beispiele für unelastische Streuung sind die Reaktionen: π + p K 0 + Λ π + + p p + π + + π + + π e + p e + n + π + + π + + π a b n Abbildung 2.2: 2 n-teilchen-reaktion Kinematik von Teilchenreaktionen In einer Teilchenreaktion entsteht durch den Stoß von zwei Teilchen a und b (Anfangszustand) in einem Wechselwirkungsprozess ein Endzustand mit (allgemein) n Teilchen (Abbildung 2.2). Wegen Energie- und Impulserhaltung gilt für die Viererimpulse die Beziehung P a + P b P 1 + P P n. Bei kinematischen Rechnungen wird soweit möglich Gebrauch von Invarianten gemacht, die in einem beliebigen System berechnet werden können. In Fixed-Target-Experimenten werden Strahlteilchen (beam particles) auf ein ruhendes Target mit Target-Teilchen geschossen. Bei diesen Experimenten gilt p b = 0 und das Bezugssystem mit p b = 0 wird Laborsystem genannt. Das Strahlteilchen trägt den Gesamtimpuls. Impulse im Schwerpunktsystem (CMS) werden durch einen Stern gekennzeichnet. Im Schwerpunktsystem verschwindet die Summe der Impulse: p a + p b = 0 und i p i = 0. Rechnungen im Schwerpunktsystem sind oft einfacher als in anderen Systemen. Ergebnisse aus dem CMS können dann durch Lorentztransformationen in andere Systeme übertragen werden. Bei Speicherringexperimenten mit gleichen Impulsbeträgen der beiden Strahlteilchen ist das Schwerpunktsystem mit dem Laborsystem identisch (bei Kreuzungswinkel Null). 1 Tatsächlich gibt es keinen Unterschied zur klassischen Physik: die Masse einer gespannten Feder ist größer als die Masse einer ungespannten Feder; nur sind in der Kern- und Teilchenphysik die Anregungsenergien von gleicher Größenordnung wie Ruheenergien.

28 20 Relativistische Kinematik Abbildung 2.3: Blasenkammeraufnahme mit der Reaktion K + p p + π + K 0. Das K 0 zerfällt als K 0 S in ein π+ π -Paar. Gesamtenergie. Eine wichtige Invariante von Reaktionen ist das Quadrat der Gesamtenergie W im Schwerpunktsystem; die Energie W ist die Energie, die für Wechselwirkungen, insbesondere für Teilchenerzeugung, insgesamt zur Verfügung steht. Das Quadrat der Gesamtenergie wird mit s bezeichnet und kann direkt aus den Viererimpulsen der Teilchen berechnet werden: s = (P a + P b ) 2 = (P 1 + P P n ) 2, wobei die Viererimpulsen in einem beliebigen System gegeben sein können. Viererimpulse im Laborsystem (Fest-Target-Experimente). Die Viererimpulse der beiden Teilchen des Anfangszustands sind P a = (E a, p a ) mit P 2 a = m2 a P b = (m b, 0) Das Quadrat der Gesamtenergie ergibt sich aus s = (P a + P b ) 2 = P 2 a + P 2 b + 2P a P b (2.3) = m 2 a + m2 b + 2E am b (2.4) Eine wichtige Anwendung ist die Berechnung der Schwellenenergie für eine Endzustand mit zwei Teilchen der Massen m 1 und m 2. Die Schwellenenergie im Schwerpunktsystem ist gegeben durch s = (m 1 + m 2 ) 2 und im Laborsystem entspricht dies einer Strahlenergie E Lab a = (m 1 + m 2 ) 2 m 2 a m2 b 2m b. (2.5)

29 2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle 21 Im Laborsystem sind die Geschwindigkeit und der γ-faktor des Schwerpunktsystems gegeben durch β CM = p a E a + m b γ CM = E a + m b s. Viererimpulse im Schwerpunktsystem (Speicherring-Experimente). Die Viererimpulse der beiden Teilchen des Anfangszustands sind P a = (E a, + p ) P b = (E b, p ) Das Quadrat der Gesamtenergie ergibt sich aus s = (P a + P b ) 2 = (E a + E b, 0) 2 = (E a + E b ) Teilchen-Reaktion. Bei einer Reaktion mit zwei Teilchen im Anfangszustand und zwei Teilchen im Endzustand gemäß Abbildung 2.4 sind neben dem Quadrat der Gesamtenergie s zwei weitere Invarianten t und u üblich. Diese Invarianten folgen aus der Vierer-Impuls- Erhaltung P a + P b = P 1 + P 2. Sie sind definiert durch a b 1 2 Abbildung 2.4: 2 2-Teilchen-Reaktion t = (P a P 1 ) 2 = (P b P 2 ) 2 u = (P a P 2 ) 2 = (P b P 1 ) 2 mit s + t + u = m 2 a + m2 b + m2 1 + m2 2 ; Bei der Interpretation der Teilchenreaktion durch den Austausch eines (virtuellen) Teilchens mit Impuls q = P a P 1 nach Abbildung 2.5 entspricht die Invariante t der Masse des ausgetauschten Teilchens. Die Invariante t hat bei gleichen Massen der Teilchen (m a = m 1 ) ein negatives Vorzeichen. Die Invariante t hängt mit dem Streuwinkel ϑ des gestreuten Teilchens im P a P 1 P a P 1 Abbildung 2.5: Impulsübertrag

30 22 Relativistische Kinematik Schwerpunktsystem zusammen. Dazu wird die Invariante t im Schwerpunktsystem berechnet: t = (P a P 1 ) 2 = m 2 a + m 2 1 2E ae p a p 1 cos ϑ dabei hängen die Energien und Impulse im Schwerpunktsystem nur von der Gesamtenergie und den Massen ab. Die Energien im Schwerpunktsystem sind Ea = 1 2 ( s + m 2 s a mb) 2 E1 = 1 2 ( s + m 2 s 1 m2) 2 Die Impulse im Schwerpunktsystem sind gegeben durch Eb = 1 2 ( s m 2 s a + mb) 2 E2 = 1 2 ( s m 2 s 1 + m2) 2 p a p 1 ϑ p b p 2 Abbildung 2.6: Die Impulse im Schwerpunktsystem p a = p b = λ (s, m 2 a, m 2 b ) 2 s p 1 = p 2 = λ (s, m 2 1, m 2 2) 2 s dabei wurde die Hilfsfunktion λ (a, b, c) = a 2 + b 2 + c 2 2ab 2bc 2ca benutzt. Kinematik des Zweikörperzerfalls. Ein Teilchen der Masse M zerfällt in zwei Teilchen der Massen m 1 und m 2 ; für die Vierervektoren gilt P = P 1 + P 2 Für das Quadrat des Vierervektors P (Größen im Schwerpunktsystem werden durch einen Stern gekennzeichnet) gilt nach den Regeln der relativistischen Kinematik P 2 = M 2 = (P 1 + P 2 ) 2 = m m E 1 E 2 2 p 1 p 2 Im Schwerpunktsystem sind die Beträge der Impulse der beiden Teilchen gleich ( p 1 = p 2 = p ) und mit cos ϑ = 1 und unter Beachtung von M = E 1 + E 2 erhält man M 2 = m m E 1 E p 2 = m m E 1 (M E 1) + 2 ( E 2 1 m 2 1). Diese Gleichung läßt sich nach E 1 auflösen mit dem Ergebnis, E 1 = M 2 + m 2 1 m 2 2 2M (2.6) Für den Betrag des Schwerpunktimpulses gilt p 1 = p 2 = [(M 2 (m 1 + m 2 ) 2 ) (M 2 (m 1 m 2 ) 2 )] 1/2. 2M

31 2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle 23 Drei-Teilchen-Zerfall. Bei dem Zerfall eines Teilchens der Masse M mit Viererimpuls P in drei Teilchen der Massen m 1, m 2 und m 3 (Energien E 1, E 2 und E 2 im Ruhesystem von M) definiert man die Viererimpulse P ij = P i + P j mit Pij 2 = m 2 ij. Es gelten die Beziehungen M 2 + m m m 2 3 = m m m 2 13 m 2 12 = (P P 3) 2 = M 2 + m 2 3 2ME 3. Im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens liegen alle drei Teilchenimpulse in einer Ebene. Für den Betrag des Impulses des 3. Teilchens im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens gilt p 3 = [(M 2 (m 12 + m 3 ) 2 ) (M 2 (m 12 m 3 ) 2 )] 1/2 2M Der maximale Wert wird erreicht, wenn m 12 = m 1 +m 2, d.h. wenn Teilchen 1 und 2 mit gleicher Geschwindigkeit in die gleiche Richtung fliegen. Beispiel: Erzeugung des Υ in der e + e -Annihilation Das Υ-Meson hat eine Masse von M = 9.46 GeV/c 2. In einem e + e -Speicherring mit gleichen Strahlenergien E ist eine Strahlenergie E = M/2 = 4.73 GeV erforderlich. Wollte man das Υ-Meson durch Reaktionen von Positronen der Energie E lab mit ruhenden Elektronen erzeugen, wäre nach der Formel M 2 = s = 2m 2 e + 2m ee lab eine Strahlenergie von E lab = GeV erforderlich. Man erkennt an dem Ergebnis dieser Rechnung die Vorteile des Speicherring-Prinzips. Beispiel: Stoß eines hochenergetischen Teilchens mit einem ruhenden Elektron Die maximale kinetische Energie, die von einem Teilchen der Masse M und des Impulses p = Mγβ auf ein freies Elektron in einem einzigen Stoß übertragen werden kann, ist gegeben durch T max = 2m 2 c 2 β 2 γ γm 2 /M + (m 2 /M) 2. m 2 ist die Masse des Elektrons. Dieser Ausdruck wird meist durch die für M 2γm 2 gültige Näherung T max = 2m 2 c 2 β 2 γ 2 = 2m 2 c 2 (P/M) 2 ersetzt. Zahlenbeispiel: Ein Proton von 10 GeV/c Impuls kann in einem Stoß auf ein ruhendes Elektron maximal eine kinetische Energie von 116 MeV übertragen. Der Energieverlust durch Stöße mit Elektronen ist also gering. Beispiel: Zerfall des geladenen Pions in Ruhe Das geladene Pion zerfällt gemäß π µ + ν in ein geladenes Muon und ein Neutrino, dessen Masse in dieser Rechnung als Null angenommen wird. Erhaltung von Energie und Impuls erfordert die Beziehung P π = P µ + P ν (2.7)

32 24 Relativistische Kinematik wobei der Vierervektor P π des in Ruhe befindlichen geladenen Pions durch P π = (m π, 0) gegeben ist. Aus der Gleichung (2.7) folgt P ν = P π P µ und Quadrieren dieser Gleichung ergibt und als Ergebnis folgt unmittelbar: P 2 ν = P 2 π + P 2 µ 2P π P µ 0 = m 2 π + m2 µ 2m πe µ E µ = m2 π + m2 µ 2m π (vgl. Gleichung (2.6)). Zur Berechnung des Impulses geht man wieder von Gleichung (2.7) aus und quadriert die Beziehung P µ = P π P ν : P 2 µ = P 2 π + P 2 ν 2P π P ν m 2 µ = m2 π 2m πe ν und wegen E ν = p ν = p µ folgt für den Impuls des Myons: p µ = m2 π m2 µ 2m π In diesem Fall führt die Rechnung mit Viererimpulsen zu einfachen Formeln. Invariante Masse Kurzlebeige Teilchen kann man oft nur durch Untersuchung ihrer Zerfallsprodukte studieren. Das K 0 Meson zerfällt z.b sec nach der Erzeugung in 2 Pionen, K 0 π + π. Erzeugt man in einem Experiment K 0 Mesonen, so werden die Viervektoren der Pionen (P 1, P 2 ) gemessen und man hat für das K Meson: P K = P 1 + P 2 Die Masse des K Mesons ist durch das Quadrat des Vierimpulses gegeben: m 2 K = P 2 K = (P 1 + P 2 ) 2 ) = P P P 1 P 2 = 2 m 2 π + 2 (E 1 E 2 p 1 p 2 ) Wenn man also Energie und Impuls der Zerfallsteilchen kennt, kann man die Masse des Mutterteilchens bestimmen. I.a. werden in einem Experiment viele Teilchen erzeugt. In Abb werden z.b. in π + p Kollisionen 5 Teilchen erzeugt: π + pπ + π π 0. Die Invariante Masse von 3 Teilchen, π + π π 0, ist aufgetragen. Man sieht über einem Kontinuum eine grosse Resonanz bei ca. 780 MeV/c 2. Man interpretiert diese als kurzlebiges Teilchen, genannt ω, welches in die 3 Pionen zerfällt. Bei ca. 500 MeV/c 2 sieht man eine weitere kleinere Resonanz, die dem η entspricht. Nicht alle π + π π 0 Zustände kommen aus den beiden Teilchen. Es gibt zusätzlich einen nicht resonanten Untergrund. Ein weiteres Beispiel ist in Abb zu sehen. Dort ist die invariante Masse von einem µ + µ Paar aufgetragen, dass bei HERA erzeugt wird. Man sieht eine deutliche Resonanz bei 3.1 GeV/c 2. Sie wird als Meson mit Namen J/ψ interpretiert. Bei ungefähr 3.7 GeV/c 2 ist ein angeregter Zustand zu sehen. Das J/ψ wird uns später noch beschäftigen.

33 2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle 25 Abbildung 2.7: Invariante Masse von π + π π 0 Wechselwirkungen. Kombinationen in π + p Events 6000 H1 Data Fit M ee,µµ [GeV] M ee,µµ [GeV] Abbildung 2.8: Invariante Masse von e + e und µ + µ Paaren in e p Wechelwirkungen bei HERA.

34 26 Relativistische Kinematik Wirkungsquerschnitt Die Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden einer bestimmten Teilchenreaktion ist durch den Wirkungsquerschnitt gegeben. Klassisches Bild der Streuung am Potential. Bei klassischer Berchnung eines Wirkungsquerschnitts stellt man einen mathematischen Zusammenhang zwischen dem Streuwinkel ϑ und dem Stoßparameter b (impact parameter) her; der Stoßparameter ist gleich dem Abstand, mit dem das Projektil am Streuzentrum vorbei fliegen würde, wenn es keine Streuung gäbe. Der Zusammenhang ϑ(b) hängt von dem speziellen Potential des Streuzentruns ab. Bild Einlaufende Teilchen, die durch die Fläche dσ = b db dϕ (Kreisring) auftreffen, werden um den Winkel ϑ in das Raumwinkelelement dω = sin ϑdϑdϕ gestreut: dσ = D(ϑ, ϕ) dω Der Proportionalitätsfaktor D(ϑ, ϕ) heißt differentieller Wirkungsquerschnitt, das Integral über den gesamten Raumwinkel ist der totale Wirkungsquerschnitt: dσ = D(ϑ, ϕ) dω σ tot = D(ϑ, ϕ) dω differentieller Wirkungsquerschnitt totaler Wirkungsquerschnitt Streuung an harter Kugel. Das Projektil wird elastisch an einer Kugel mit Radius R getreut. Dann ist der Zusammenhang zwischen Stoßparameter b und Streuwinkel gegeben durch b = R cos (ϑ/2). Dann ist der differentielle Wirkungsquerschnitt dσ dω = b db sin ϑ dϑ R cos (ϑ/2) R R2 = sin (ϑ/2) = sin ϑ 2 4 Der differentielle Wirkungsquerschnitt hängt nicht vom Streuwinkel ab (isotrope Streuung). Nach der Integration über den Azimutwinkel ϕ ergibt sich der differentielle Wirkungsquerschnitt dσ d cos ϑ = π R2 2 Integration über beide Winkel ergibt den totalen Wirkungsquerschnitt R 2 σ tot = dω = πr2 4 also die Fläche, die die harte Kugel abdeckt. Rutherford-Streuung. Ein Teilchen der elektrischen Ladung q 1 streut an einem stationären Teilchen der Ladung q 2. Die klassische Mechanik ergibt den Zusammenhang zwischen Stoßparameter b und Streuwinkel ϑ auf Grund der Coulombkraft zwischen den elektrischen Ladungen: b = q 1q 2 cot (ϑ/2) 2E Die Ergebnisse für den differentiellen und den totalen Wirkungsquerschnitt sind ( ) 2 dσ dω = q 1 q 2 4E sin 2 (ϑ/2) ( q1 q ) 2 π 2 sin ϑ σ tot = 2π 4E sin 2 (ϑ/2) dϑ = 0

35 2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle 27 Der divergierende totale Wirkungsquerschnitt hängt mit der unendlichen Reichweite des Coulomb- Potentials (1/r-Gesetz) zusammen. Tatsächlich gibt es eine Abschirmung durch andere Atome und Experimente haben eine endliche Winkelauflösung. Bei Integration über ϑ nicht von 0 bis π, sondern von einem Wert ϑ min, ist das Integral endlich. Der Wirkungsquerschnitt einer Reaktion kann in Festtarget- und in Speicherring-Experimenten experimentell bestimmt werden. Festtarget-Experiment. Bei einem Festtarget-Experiment wird ein Strahl von N 1 Teilchen pro Zeiteinheit, N 1, auf ein festes Target der Dicke dx gelenkt. Das Target hat eine Teilchendichte n 2, die gegeben ist durch n 2 = N A[Teilchen/mol] ρ[g/cm 3 [ ] ] Teilchen A[g/mol] cm 3 (A = Atomgewicht, N A = Avogadro-Zahl, ρ = Dichte). Die Zahl der Wechselwirkungen der Strahlteilchen (Index 1) pro Zeiteinheit, N, mit den Teilchen des Targets (Index 2) ist proportional zum Wirkungsquerschnitt σ der Dimension Fläche: ( ) N = N 1 n 2 dx σ. Geometrisch kann man sich das (dimensionslose) Produkt n 2 dx σ als Anteil der Querschnittsfläche des Target vorstellen, der durch die Targetteilchen abgedeckt wird. Die übliche Einheit des Wirkungsquerschnitts σ ist 1 barn = m 2. Der Faktor L = N 1 n 2 dx wird Luminosität genannt. Abbildung 2.9: Zur Definition des Wirkungsquerschnitts Bei den Wechselwirkungen unterscheidet man zwischen elastischen Wechselwirkungen (zum Beispiel p p p p) und inelastischen Wechselwirkungen (zum Beispiel p p p n π + ): totaler Wirkungsquerschnitt elastischer Wirkungsquerschnitt inelastischer Wirkungsquerschnitt = σ tot = σ el + σ inel = σ el = σ inel Die Abschwächung der Intensität eines Teilchenstrahls bei Durchgang durch eine Materieschicht durch Wechselwirkungen mit den Teilchen des Targets folgt aus der differentiellen Beziehung dn 1 (x) = N 1 (x) n 2 dx σ; die Anzahl der Teilchen 1 in der Eindringtiefe x folgt dem Exponentialgesetz N 1 (x) = N 0 1 e n 2 σ x = N 0 1 e x/l = N 0 1 e µ x

36 28 Relativistische Kinematik mit der mittleren freien Weglänge l zwischen Wechselwirkungen bzw. mit dem Absorptionskoeffizienten µ = 1/l: mittlere freie Weglänge l = 1 n 2 σ = A 1 N A σ ρ }{{} λ [g/cm 2 ] Die Größe λ ist eine charakteristische Länge mit der Einheit [g/cm 2 ]. Durch Division durch die Dichte ρ (Einheit [g/cm 3 ]) erhält man die Länge in der gewohnten Einheit [cm]. Man unterscheidet bei λ nach dem verwendeten Wirkungsquerschnitt; Stoßlänge (collision length) λ T Wechselwirkungslänge (interaction length) λ I λ 1 T λ 1 I = N A A σ tot = N A A σ inel Werte der collision length und interaction length sind für viele Materialien im PDG Booklet angegeben. Bei einer Mischung mehrerer Elemente mit Gewichtsanteilen w j für das Element j lautet die Formel λ 1 w j σ j = N A. A j Speicherring-Experiment. Die beiden im Gegensinn umlaufenden Strahlen sind in Form von Paketen gespeichert, in denen N 1 und N 2 Teilchen gespeichert sind. Wenn f die Frequenz ist, mit der die Teilchenpakete kollidieren, dann ist die Rate Ṅ der Reaktionen gegeben durch N = ( ) N1 N 2 f A }{{ eff } L = Luminosität σ = L σ bei einer effektiven Überlappungsfläche der Strahlen von A eff. Bei Teilchenstrahlen homogener Dichte der Breiten a x und a y wäre A eff = a x a y die Querschnittsfläche der Strahlen. Tatsächlich folgt die Dichteverteilung in Teilchenstrahlen eher einer Gaußverteilung und dann ist die effektive Fläche gegeben durch A eff = 4πσ x σ y, wobei σ x und σ y die Standardabweichungen der Teilchendichten senkrecht zur Flugrichtung sind. Die Anzahl von Ereignissen ist N = σ L dt, wobei L dt die integrierte Luminosität ist. In Experimenten an Speicherringen wird die integrierte Luminosität im allgemeinen durch Messung einer Reaktion mit bekanntem Wirkungsquerschnitt σ bestimmt durch L dt = N/σ. Typische Werte von Wirkungsquerschnitten. Für Hadron-Hadron-Stöße bei hohen Energien (starke Wechselwirkung) ist bei hohen Energien die Energieabhängigkeit nur schwach. Für p p-streuung ist der totale Wirkungsquerschnitt bei Strahlimpulsen von 10 bis 100 GeV/c etwa σ = 40 mb. Das Proton erscheint dabei als absorbierende Scheibe mit dem Radius r = 1.2 fm und der Fläche σ = π( m) 2 40mb = m 2. Der Wirkungsquerschnitt für inelastische Reaktionen von Protonen und Neutronen ist etwa gleich groß und verhält sich für Targets der Massenzahl A wie σ inel A Für π p-streuung ist die Abhängigkeit von der Pion Energie in Abb zu sehen im Vergleich zu Streuung von Photonen (elektromagnetische Wechselwirkung) und Neutrinos (schwache Wechselwirkung). Bei e + e -Speicherring-Experimenten bezieht j

37 2.3 Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 29 Abbildung 2.10: Vergleich der Wirkungsquerschnitte für die Streuung von Pionen (starke Wechselwirkung), Photonen (elektromagnetische Wechselwirkung) und Neutrinos (schwache Wechselwirkung) als Funktion des Impulses des einlaufenden Teilchens (Festtarget). man sich oft auf den Wirkungsquerschnitt für die Erzeugung von µ-paaren. Der Wirkungsquerschnitt dieser Reaktion ist σ ( e + + e µ + + µ ) = 4πα2 3s = 86.8 nb s [in GeV 2 ]. Bei einer Gesamtenergie von 10 GeV ist der Wirkungsquerschnitt σ = nb = m 2. In der schwachen Wechselwirkung ist der Zahlenwert des Wirkungsquerschnitts um viele Größenordnungen kleiner. Bei 10 GeV/c Strahlimpuls ist der Wirkungsquerschnitt für ν p-wechselwirkungen etwa 70 fb = m Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten In diesem Kapitel werden einige Ergebnisse aus der Quantenmechanik wiederholt, die aber nur z.t. in der Vorleung gebracht werden.

38 30 Relativistische Kinematik Goldene Regel Für Teilchenzerfälle muß die Zerfallsrate Γ, und für Teilchenreaktionen der Streuquerschnitt σ berechnet werden. Für beide Probleme sind (1) die Amplitude für den Prozess und (2) der verfügbare Phasenraum zu berechnen. Die Amplitude enthält die dynamische Information der beteiligten Wechselwirkung; der Phasenraumfaktor enthält nur die kinematische Information, und hängt ab von den Massen, Energien und Impulsen der beteiligten Teilchen. Diese Rechnungen basieren im einfachsten Fall auf der quantenmechanischen Störungstheorie. Die Übergangsrate für einen gegebenen Prozess ist nach der Goldenen Regel von Fermi Übergangsrate = 2π h M 2 ρ(e) (2.8) durch die Amplitude M und den Phasenraum-Faktor ρ(e) bestimmt. Darin ist M die Amplitude für den Übergang von einem Anfangszustand a in einen Endzustand b. Der Beweis wird im folgenden skizziert. Nichtrelativistische Störungsrechnung. Die Herleitung geht aus von der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung i h ψ t = H 0ψ (2.9) Dabei ist H 0 der Hamilton-Operator für stationäre Zustände. Man bestimmt die stationären Zustände, indem man den Ansatz ψ = u n ( r) e ient/ h in die Schrödinger Gleichung (2.9) einsetzt. Man erhält die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung H 0 u n = E n u n, (2.10) die gelöst werden muß. Die Eigenfunktionen u n bilden ein vollständiges Orthonormalsystem mit der Eigenschaft u m u n d r = δ nm. (2.11) Wenn sich das System in einem Eigenzustand u n mit Energieeigenwert E n befindet, dann bleibt es in diesem Zustand; Übergänge zu anderen Zuständen finden nicht statt. Nun wird ein System betrachtet, in dem Übergänge zwischen Zuständen durch einen Wechselwirkungsterm H int nach Abbildung 2.11 bewirkt werden. Der Hamiltonoperator des Systems ist durch H = H 0 + H int gegeben. In nullter Näherung kann der Zustand dieses Systems noch durch die Energien E n und die Eigenfunktionen u n beschrieben werden. Ein bestimmter Anfangszustand a kann also durch die Eigenfunktionen u n beschrieben werden, ist jedoch nicht mehr stationär. Der Störoperator H int bewirkt Übergänge in andere Zustände, zum Beispiel in den Zustand b. Die Abbildung 2.11 zeigt die Streuung eines im Zustand a einfallenden Teilchens in den Zustand b. Zur Berechnung der Übergangsrate geht man aus von der Schrödinger-Gleichung i h ψ t = (H 0 + H int ) ψ. (2.12)

39 2.3 Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 31 a H int b Abbildung 2.11: Der Wechselwirkungsoperator H int bewirkt den Übergang von dem ungestörten Eigenzustand a in einen ungestörten Eigenzustand b. Die Wellenfunktion ψ wird als Entwicklung nach den ungestörten Eigenfunktionen angesetzt: ψ = n c n (t)u n e ient/ h. (2.13) Die Koeffizienten c n (t) sind Funktionen der Zeit und c n (t) 2 gibt die Wahrscheinlichkeit an, das System zur Zeit t im Zustand n mit der Energie E n zu finden. Einsetzen in die Schrödinger- Gleichung (2.12) ergibt: i h n ċ n u n e ient/ h + n E n c n u n e ient/ h = n c n (H 0 + H int ) u n e ient/ h (2.14) Da die Funktionen u n Lösungen der Eigenwertgleichung (2.10) sind, heben sich der zweite Ausdruck auf der linken Seite und der erste Ausdruck der rechten Seite heraus; es verbleibt i h n ċ n u n e ient/ h = n c n H int u n e ient/ h. (2.15) Die Gleichung wird von links mit u m multipliziert und über den ganzen Raum integriert; unter Beachtung der Orthonormalität der Funktionen u n nach Gleichung (2.11) erhält man i hċ m = n m H int n c n e i(em En)t/ h (2.16) mit der Abkürzung für das Matrixelement des Wechselwirkungsoperators H int : m H int n = u m ( r)h intu n ( r) d r. (2.17) Die Beziehungen (2.16) für alle m sind äquivalent zur Schrödinger-Gleichung (2.12). Nun wird eine Näherungslösung dieser Gleichung (2.16) bestimmt. Man nimmt an, daß sich das System zunächst in einem speziellen Zustand a des ungestörten Systems befindet (Anfangszustand). Für die Entwicklungskoeffizienten gilt dann c a (t) = 1 c n (t) = 0 für n a t < t 0 (2.18) Bei einer schwachen Störung treten während der Beobachtungszeit nur wenige Übergänge auf; der Anfangszustand wird kaum gestört und die anderen Zustände werden nicht wesentlich bevölkert. Dann kann man die Annahme c a (t) 1 c n (t) 1 für n a t > t 0 (2.19)

40 32 Relativistische Kinematik machen. Mit dieser Annahme wird die Gleichung (2.16) vereinfacht zu ċ m = 1 i h m H int a e i(em Ea)t/ h. (2.20) Wenn die Störung H int zur Zeit t 0 eingeschaltet wird und danach konstant bleibt, ergibt die Integration für m a bis zur Zeit t = T c m = 1 i h m H int a T 0 e i(em Ea)t/ h dt = m H int a E m E a [ 1 e i(e m E a)t/ h ]. (2.21) Die Wahrscheinlichkeit, das System nach einer Zeit T in einem bestimmten Zustand m zu finden, ist durch das Absolutquadrat des Koeffizienten c m (T ) gegeben: P ma (T ) = c m (T )c m(t ) = 4 m H int a 2 sin 2 [(E m E a ) T/ (2 h)] (E m E a ) 2. (2.22) Ist die Differenz zwischen den Energien E m und E a groß, so wird die Übergangswahrscheinlichkeit wegen des Quadrats der Differenz im Nenner klein sein, und Übergänge in solche Zustände können für größere Zeiten T vernachlässigt werden. Wenn dagegen für eine Gruppe von Zuständen m die Energie im Kontinuum nahe bei E a liegt, kann das Matrixelement m H int a praktisch unabhängig von m sein und man schreibt b H int a. Die Übergangswahrscheinlichkeit wird dann durch den Faktor sin 2 [(E m E a ) T/ (2 h)] (E m E a ) 2 bestimmt, dessen Abhängigkeit von der Energiedifferenz E m E a in der Abbildung 2.12 gezeigt wird. Nur in dem Energiebereich von E a E bis E a + E mit E = 2π h/t ist die Übergangswahrscheinlichkeit wesentlich von Null verschieden, und mit wachsender Zeit T nimmt die Breite E ab. Die Rechnung ergibt also den aus der Heisenbergschen Unschärferelation bekannten Zusammenhang. P 2π h/t 2π h/t 0 2π h/t E Abbildung 2.12: Übergangswahrscheinlichkeit P als Funktion der Energiedifferenz E = E m E a. Es treten hauptsächlich Übergänge auf zu Energien, die nahe bei der ursprünglichen Energie liegen. Die Gleichung (2.22) ergibt die Übergangswahrscheinlichkeit vom Anfangszustand a in einen der möglichen Endzustände m. Die totale Übergangswahrscheinlichkeit in alle Zustände des durch E gegebenen Energieintervall ist die Summe über die individuellen Übergänge: P (T ) = m P ma = 4 b H int a 2 m sin 2 [(E m E a ) T/ (2 h)] (E m E a ) 2. (2.23)

41 2.3 Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 33 Dabei wurde das Matrixelement als unabhängig von m angenommen. Dies ist gegeben, wenn E/E a 1 gilt. Quantitativ bedeutet diese Bedingung T 2π h E a sec E a [in MeV]. (2.24) Schließlich können die diskreten Energiezustände E m durch ein Kontinuum ersetzt werden, man schreibt für die Energie E(N) und ersetzt die Summe in Gleichung (2.23) gemäß m dn durch ein Integral: P (T ) = 4 b H int a 2 sin 2 [(E(N) E a ) T/ (2 h)] (E(N) E a ) 2 dn (2.25) Zur Berechnung des Integrals kann man die Grenzen nach ± ausdehnen und eine Variablensubstitution vornehmen: x = (E(N) E a) T 2 h dn = dn de de = 2 h T dn de dx. Damit wird die Übergangswahrscheinlichkeit P (T ) = 4 b H int a 2 dn T + sin 2 x dx. (2.26) de 2 h x 2 Dass Integral hat den Wert π und damit wird die Übergangswahrscheinlichkeit P (T ) = 2πT h b H int a 2 dn de (2.27) Die Übergangswahrscheinlichkeit ist proportional zur Zeit T. Die Übergangsrate w ba zwischen den Zuständen a und b ist P (T )/T und damit erhält man die goldene Regel: Der letzte Faktor ist der Phasenraumfaktor w ba = 2π h b H int a 2 dn de dn de (2.28) = ρ (E) (2.29) und wird auch Zustandsdichte genannt; er gibt die Anzahl der verfügbaren Zustände pro Energieintervall an. Phasenraumfaktor. Für ein einzelnes Teilchen ist die Anzahl der Endzustände in einem Volumen V mit Impulsen im Element d 3 p gegeben durch V d 3 p/(2π) 3. In einem Kasten des Volumens V = L 3 werden die periodischen Randbedingungen erfüllt, wenn die erlaubten Werte der Komponente p x gegeben sind durch Lp x = 2πn, wobei n eine ganze Zahl ist. Daher ist die Zahl der erlaubten Zustände im Intervall p x bis p x + dp x gegeben durch Ldp x /(2π). Relativistische Wellenfunktionen werden i.a. so normiert, daß die Dichte 2E/V, wobei V ein Normierungsvolumen ist, das sich bei der Berechnung von physikalischen Größen wie Wirkungsquerschnitten weghebt. Damit erhält man Zahl der Endzustände/Teilchen = V d3 p (2π) 3 2E

42 34 Relativistische Kinematik Dieser Ausdruck ist lorentzinvariant. Bei n-teilchen-zuständen ergibt sich die Zahl der verfügbaren Zustände als Produkt der Ein- Teilchen-Ausdrücke. Durch Multiplizieren mit der Deltafunktion (2π) 4 δ (4) (P 1 + P P n P a P b ) wird die Energie- und Impulserhaltung sichergestellt. Damit erhält man den folgenden Phasenraumfaktor n dφ (P a + P b, P 1, P 2,...) = (2π) 4 δ (4) d 3 p i (P 1 + P P n P a P b ). (2.30) (2π) 3 2E i Flußfaktor und Wirkungsquerschnitt Die quantenmechanische Rechnung von Wirkungsquerschnitten beruht auf der Anwendung der Goldenen Regel. Dabei ist noch der Flußfaktor zu berücksichtigen, der die experimentellen Bedingungen berücksichtigt. Flußfaktor. Der Flußfaktor ist definiert als Produkt aus dem Fluß der einlaufenden Teilchen j a und der Dichte der Targetteilchen. Relativistische Wellenfunktionen werden i.a. so normiert, daß die Dichte 2E/V, wobei V ein Normierungsvolumen ist, das sich bei der Berechnung von physikalichen Größen wie Wirkungsquerschnitten weghebt. Mit dieser Normierung ist der Fluß der einlaufenden Teilchen und die Dichte der Targetteilchen ρ b gegeben durch ( v = relativgeschwindigkeit der Teilchen a b) i=1 j a = v V/(2E a ) ρ b = 2E b V Man kann den Flußfaktor in einem Lorentzinvarianten Ausdruck schreiben: F = v 4E ae b = 4 (P V 2 V 2 a P b ) 2 m 2 a m2 b Da die rechte Seite Lorentzinvariant ist, genügt es, die Gültigkeit in einem Inertialsystem zu zeigen. Im Laborsystem mit P a = (E a, p a ) und P b = (m b, 0) ist das Produkt der Vierervektoren P a P b = E a m b. Daher ist (P a P b ) 2 m 2 a m2 b = E 2 a m2 a m b = v E a E b Damit ergibt sich folgender Ausdruck für den differentiellen Wirkungsquerschnitt: dσ = 1 4 (P 1 P 2 ) m 2 1m 2 2 M 2 dφ (P a + P b, P 1, P 2,... ) Fermi s Goldene Regel Der Wirkungsquerschnitt ist proportional dem Quadrat des Übergangsmatrixelements M M = ψ f H int ψ i das nach den Feynman-Regeln berechnet wird und das die Dynamik (Kräfte, Wechselwirkungen) der Reaktion beschreibt; dabei sind Ψ i und Ψ f die Wellenfunktionen des Anfangszustandes (i, initial state) und des Endzustandes (f, final state) und H int ist der Wechselwirkungsoperator.

43 2.3 Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten Teilchenzerfälle Lebensdauer und Zerfallsbreite. Der Teilchenzerfall ist ein statistischer Prozess. Für ein einzelnes Teilchen kann es keine Vorhersage für die tatsächliche Lebensdauer geben, sondern es kann nur eine mittlere Lebensdauer τ definiert werden, die dem Mittelwert der Lebensdauer für ein Ensemble von vielen instabilen Teilchen entspricht. Die Zerfallswahrscheinlichkeit für ein einzelnes Teilchens in der Zeit dt ist Γ dt, unabhängig von t, mit einer charakteristischen Konstante Γ mit der Einheit [s 1 ], genannt Zerfallsrate. Die Zeit des Zerfalls eines einzelnen Teilchens folgt der exponentiellen Dichteverteilung f(t) = 1/Γ exp( Γt). Für N Teilchen folgt aus der differentiellen Veränderung der Teilchenzahl dn = N Γ dt das exponentielle Zerfallsgesetz Für die mittlere Lebensdauer τ ergibt sich τ = 0 0 N(t) = N 0 e Γt t N(t) dt N(t) dt = Γ e Γt Γ 2 Wenn es mehrere Zerfallskanäle (Index i) gibt, definiert man einzelne Zerfallsraten Γ i mit der totalen Zerfallsrate Γ total = Γ i und τ = 1 Γ i total Als Verzweigungsverhältnisse B i definiert man die Verhältnisse Γ i /Γ total (mit i B i = 1.) Ähnlich wie sich Wirkungsquerschnitte für die verschiedenen Wechselwirkungen unterscheiden, so hat man auch für die Lebensdauern große Unterschiede je nach Wechselwirkung, die den Zerfall beherrscht, s. Abb Resonanzen. Kurzlebige Teilchen werden Resonanzen genannt. Im Experiment lassen sich oft nur die Zerfallsteilchen messen. Zur Suche nach neuen kurzlebigen Teilchen müssen in möglichst vielen Zerfällen die Impulse gemessen werden, bei einem Zweiteilchenzerfall also p 1 und p 2. Durch Teilchenidentifierung können den beiden Teilchen Massen m 1 und m 2 zugeordnet werden; oft erfolgt die Massenzuordnung auch ohne Teilchenidentifizierung (Massenhypothesen). Damit sind die Vierervektoren der beiden Zerfallsteilchen bekannt; durch m 12 = (P 1 + P 2 ) (P 1 + P 2 ) kann die Zweiteilchenmasse m 12 berechnet werden (m 12 wird auch effektive oder invariante Masse des Zweiteilchensystems genannt). In der Häufigkeitsverteilung dn/dm 12 der Massen m 12 kann die Resonanz durch ein Maximum identifiziert werden. Berechnung von Zerfallsraten. Betrachtet wird der Zerfall eines Teilchens der Masse M in n Teilchen; für die Vierervektoren gilt P = P 1 + P P n. Die Berechnung der Übergangsrate, d.h. die Wahrscheinlichkeit für den Übergang in den n- Teilchen-Endzustand mit bestimten Impulsen, ist gegeben durch 0 = 1 Γ Übergangsrate = (2π)4 2M M 2 dφ (P, P 1, P 2,... ) Fermi s Goldene Regel

44 36 Relativistische Kinematik Abbildung 2.13: Vergleich von charakteristischen Lebensdauern für Zerfälle über starke, elektromagnetische und schwache Wechselwirkung. Abbildung 2.14: Blasenkammeraufnahme mit dem Zerfall eines K + in drei Pionen: K + π + π + π. Die beiden positiven Pionen zerfallen gemäß π + µ + ν µ. Die Myonen kommen nach einer Reichweite von ca. 1.1 cm zur Ruhe, und zerfallen dann gemäß µ + e + ν µ ν e ; das Positron ist jeweils durch eine Spirale sichtbar. Das negative Pion zerfällt gemäß π µ ν µ ; das negative Myon wird am Ende seiner Reichweite eingefangen.

45 2.3 Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 37 Die Herleitung dieser Formel ist analog zur Diskussion beim Wirkungsquerschnitt. Die Zerfallsrate Γ für den Zerfall in diesen Endzustand erhält man durch Integration über alle Impulse. Anwendung: Zerfall π 0 γγ Im Schwerpunktsystem kann der Vierervektor des π 0 als P = (M, 0) geschrieben werden. Die Delta-Funktion δ 4 (P p 1 p 2 ) kann man daher als Produkt δ(m E 1 E 2 ) δ 3 ( p 1 p 2 ) schreiben. Da die Massen der Zerfallsteilchen in diesem Fall verschwinden (m 1 = m 2 = 0), ist E 1 = p 1 und E 2 = p 2. Die Zerfallsrate Γ erhält man durch Integration der Übergangsrate alle Impulse: Γ = 1 (2π) 4 1 2M (2π) 6 4 = 1 2M (2π) 2 M 2 p 1 p 2 δ (M p 1 p 2 ) δ ( p 1 p 2 ) d 3 p 1 d 3 p 2 M 2 p 1 2 δ (M 2 p 1 ) d 3 p 1 Das zerfallende π 0 hat Spin 0, daher kann das Matrixelement M nur von p 1 abhängen: 1 M 2 Γ = 2M (4π) 2 p 1 2 δ (M 2 p 1 ) 4π p 1 2 dp 1 = 1 M 2 δ (M 2 p 8πM 1 ) dp 1 mit δ (M 2 p ) = 1 ( ) M 2 δ 2 p 1 ergibt die Zerfallsrate Γ = 1 16πM M 2 Bei der Berechnung von M 2 muß berücksichtigt werden, daß der Endzustand durch zwei identische Teilchen gebildet wird (Bose-Statistik). Bei einem Zerfall in zwei Teilchen mit gleichen Massen m 1 = m 2 0 wäre die Zerfallsrate Γ = p 1 8πM 2 M 2 Breit-Wigner-Resonanzkurve. Betrachtet wird ein instabiles Teilchen a der Masse M a (Resonanz), das durch Zerfall in einen Zustand b übergeht: a b. Entsprechend der exponentiellen Zerfallswahrscheinlichkeit ( e Γ t ) muß der Absolutbetrag der Amplitude für den Zustand a einen exponentiellen Faktor e Γ/2 t enthalten. Dieser Faktor kommt in der Wellenfunktion zu dem energieabhängigen Faktor e ı E t hinzu. Die zeitliche Änderung des Zustandes b wird beschrieben durch i ċ b (t) = c a (t) b H }{{} int a + c b (t) b H }{{ int b } e Γ/2 t vernachlässigen Durch Einsetzen der zeitabhängigen Faktoren und mit E a = M erhält man i ċ b (t) = b( x) H int a( x) e +i(e b E a)t e Γ/2 t

46 38 Relativistische Kinematik Abbildung 2.15: Breit-Wigner Resonanzkurve (nicht-relativistisch) Der Exponentialfaktor enthält im Exponenten einen Imaginärteil sowie einen Realteil (Γ) entsprechend der zeitlichen Annahme des Betrags der Amplitude. Durch Integration über die Zeit erhält man die Amplitude des Zustands b T c b = b( x) H int a( x) e [ Γ 2 i(e b E a)]t dt i 0 1 = b( x) H int a( x) Γ/2 i (E a E b ) für T Das Betragsquadrat ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem Zerfall a b einen Zustand b mit der Energie E b zu finden, wenn die Masse der Resonanz M = E a ist und beschreibt damit die Massenunschärfe einer kurzlebigen Resonanz. c b c b = c b (T ) 2 = 2π Γ b( x) H int a( x) 2 Γ/2π (E b M) 2 + Γ 2 /4 }{{} nichtrelat. Breit-Wigner Kurve Der Verlauf der Breit-Wigner Kurve ist analog zu Resonanzkurven aus der Mechanik und dem Elektromagnetismus. In dieser für kurzlebige Resonanzen charakteristischen Breit-Wigner Kurve ist die Breite bei halber maximaler Höhe (FWHM = full width at half maximum) gleich dem Parameter Γ, Skizze in Abb Der Parameter wurde vorher in der Einheit [s 1 ] benutzt, bei einem Bezugssystem, in dem h = 1 ist. Zur Umrechnung der Energieunschärfe in die übliche Energieeinheit muß Γ mit h multipliziert werden: E = hγ mit h = MeV s. Die Beziehung Γ τ = 1 ist dann die Heisenbergsche Unschärferelation E t = hγ τ = h. Ein Beispiel ist in Abb zu sehen.

47 2.3 Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 39 Abbildung 2.16: Illustration der Begriffe Resonanz, Breit-Wigner Verteilung und Phasenraum.

48 40 Relativistische Kinematik Breit-Wigner-Kurve Delta-Funktion Energie Glossar Exklusive Reaktionen Eine Reaktion, bei der sämtliche Teilchen des Endzustandes betrachtet werden, wird als exklusive Reaktion bezeichnet. Exponentielle Zeitverteilung Die Zerfallszeit t eines einzelnen instabilen Teilchen folgt einer exponentiellen Verteilung. Im Ruhsystem des Teilchens ist der Parameter die Zerfallskonstante Γ mit der Dimension [s 1 ]. Der Erwartungswert der Zerfallszeit ist t = τ = 1/Γ, die mittlere Lebensdauer. Die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung ist f(t) dt = 1/τ exp( t/τ) dt Die Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall bis zur Zeit t 0 ergibt sich durch Integration: t0 0 f(t) dt = 1/τ t0 0 e t/τ dt = e t/τ t 0 0 = 1 e t 0/τ sodaß die Überlebenswahrscheinlichkeit für eine Zeit t 0 oder grøßer gegeben ist durch e t0/τ. Bei Bewegung mit Energie E bzw. Impuls p ist die Überlebenswahrscheinlichkeit eines Teilchens der Masse M für eine Zeit t 0 oder größer, und die Wahrscheinlichkeit für das Zurücklegen einer Flugstrecke x 0 oder größer gegeben durch gegeben durch P (t 0 ) = e (M/E)Γt 0 P (x 0 ) = e (M/ p )Γx 0 Festtarget-Experiment In einem Festtarget-Experiment treffen die Strahlteilchen der Masse m a auf die Teilchen des Targets mit Masse m b, die sich in Ruhe befinden. Die Gesamtenergie im Schwerpunktsystem ist W = s = m 2 a + m2 b + 2E am b, für große Energien bei Vernachlässigung der Massen also proportional zu 2E a m b. Die Gesamtenergie im Schwerpunktsystem nimmt also nur mit der Wurzel der Strahlenergie E a zu. Fermi s Goldene Regel Freie Weglänge Impuls Inertialsystem Systeme, in denen das 1. Newtonsche Gesetz gilt, heißen Inertialsysteme. Aus F = 0 folgt v = konstant. Inertialsysteme haben eine konstante Relativgeschwindigkeit gegeneinander. In Inertialsystemen sind die physikalischen Gesetze gleich, zum Beispiel gelten die Maxwellschen Gleichungen in gleicher Weise in allen Inertialsystemen. Daraus folgt, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen, die Lichtgeschwindigkeit c, im Vakuum in allen Inertialsystemen gleich c ist. Dies wurde experimentell durch das Michelson-Experiment gezeigt.

49 2.3 Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 41 Inklusive Reaktionen Eine Reaktion, bei der nicht sämtliche Teilchen der Reaktion betrachtet werden, wird als inklusive Reaktion bezeichnet. Beispiel für inklusive Reaktionen sind solche Reaktionen, bei denen nur eines der Teilchen im Endzustand, zum Beispiel π +, betrachtet werden, oder die zum totalen Wirkungsquerschnitt beitragenden Reaktionen. Längenkontraktion Lebensdauer Die Lebensdauer eines instabilen Teilchens wird i.a. im Ruhesystem des Teilchens gegeben. Jedes instabile Teilchen hat eine wohldefinierte mittlere Lebensdauer τ. Lichtgeschwindigkeit Die Vakuuumlichtgeschwindigkeit c ist in allen Inertialgeschwindigkeiten gleich. Der Zahlenwert ist festgesetzt als c = m s 1. Daraus abgeleitet ist das Meter als Lichtweg im Vakuum in 1/ einer Sekunde. Lorentz-Transformation Luminosität Die Luminosität L ist in einem Streuexperiment der Proportionalitätsfaktor zwischen dem Wirkungsquerschnitt σ und der Reaktionsrate N entsprechend N = L σ. Die Einheit der Luminosiät ist [[m] 2 s 1 ]. Die integrierte Luminosität L dt multipliziert mit dem Wirkungsquerschnitt σ ergibt die Anzahl der Reaktionen. Masse Masse m ist stets die Masse im Ruhesystem des Teilchens, die Ruhemasse. Der Begriff der relativistischen Masse m rel (oder bewegten Masse) ist überflüssig und wird nicht benutzt; die Definition m rel = γm unterscheidet sich von der Energie lediglich um den konstanten Faktor c 2. Matrixelement Poisson-Verteilung Bei einer erwarteten Anzahl N von Teilchenreaktionen folgt die tatsächlich stattfindende Anzahl n einer Poisson-Verteilung, die durch P N (n) = e N N n gegeben ist. Erwartungswert und Varianz σ 2 (Quadrat der Standardabweichung) sind bei der Poisson-Verteilung gegeben durch N. Die beobachtete Anzahl n von Reaktionen hat daher bei einem Erwartungswert von N die Standardabweichung σ = N. Rapidität Die Rapidität wird bei y = 1 2 ln ( E + pz E p z n! ) ( ) E + pz = ln m T ( = tanh 1 pz ) E Die Rapidität hat ein einfaches Verhalten bei Lorentz-Transformationen in z-richtung: bei einer Geschwindigkeit β verändert sich die Rapidität gemäß y y tanh 1 β. Damit bleibt die Form der Rapiditätsverteilung dn/dy unverändert. Für p m kann die Rapidiät mit cos θ = p z /p entwickelt werden in y = 1 2 ln cos2 (ϑ/2) + m 2 /(4p 2 ) +... sin 2 (ϑ/2) + m 2 /(4p 2 ) +...

50 42 Relativistische Kinematik Als Näherung der Rapidität wird die Pseudorapidität η benutzt, wenn Masse und Impuls des Teilchens nicht gemessen sind; die Pseudorapidität η ist definiert durch Resonanz η = ln (ϑ/2) und entspricht näherungsweise der Rapidität für p m und ϑ 1/γ. Speicherring-Experiment Teilchenstreuung, -reaktion Teilchenzerfall Vierervektor Wirkungsquerschnitt Zeitdilatation Zerfallsrate Zerfallskanal Übergangsmatrixelement Verzweigungsverhältnis Wechselwirkung

51 Kapitel 3 Teilchenbeschleuniger Dieses Kapitel stammt von R. Heuer und P. Schmüser. Es ist leicht geändert gegenüber der jetzigen Version in Bergmann-Schäfer, Band IV. Dort wird es demnächst in einer Neuauflage erscheinen. 3.1 Einleitung Die wichtigsten Instrumente der experimentellen Elementarteilchenphysik sind Hochenergiebeschleuniger und Speicherringe, mit denen Elektronen oder Protonen, aber auch Positronen oder Antiprotonen auf Energien von vielen GeV beschleunigt werden, sowie komplexe Nachweisapparaturen zur Registrierung und Identifikation der bei einer Reaktion erzeugten Teilchen. In diesem Abschnitt soll auf die physikalischen Grundprinzipien dieser Instrumente und die technische Verwirklichung eingegangen werden. Teilchenbeschleuniger enthalten in der Regel drei verschiedene Elemente: 1. Eine Teilchenquelle, meist in Verbindung mit einem Vorbeschleuniger, 2. Beschleunigungsstrecken zur schrittweisen Erhöhung der Energie und 3. magnetische Felder zur Führung und Fokussierung des Teilchenstrahls. 3.2 Strahloptik und Betatronschwingungen Die Beschleunigung und Ablenkung geladener Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern wird durch die Lorentz-Kraft bewirkt F = d p dt = e ( E + v B) Dieser Ausdruck gilt auch für Geschwindigkeiten nahe c, wobei p = m 0 v/ (1 v 2 /c 2 ) der relativistische Impuls ist. Abgesehen vom Betatron werden bei allen Hochenergie-Beschleunigern elektrische Wechselfelder zur Energieerhöhung der Teilchen eingesetzt. Für die Ablenkung und Fokussierung relativistischer Teilchen sind jedoch Magnetfelder wesentlich effektiver: bei v c entspricht die Ablenkwirkung eines mit Elektromagneten leicht erreichbaren Feldes von 2 Tesla der eines elektrischen Feldes von 600 MV/ m, welches weit jenseits der technischen Möglichkeiten liegt. Die meisten Hochenergie-Beschleuniger sind kreisförmig; die Beschleunigungs- und Ablenkstrecken werden immer wieder durchlaufen. Dies gilt insbesondere für Speicherringe, in denen

52 44 Teilchenbeschleuniger Abbildung 3.1: Prinzip eines der ersten Linearbeschleuniger mit Driftröhren (Wideroe) Abbildung 3.2: Prinzip eines Zyklotrons. Links der Magnet mit der spiralförmigen Teilchenbahn und austretendem Strahl. Rechts eine Vergrößerung der Teilchenbahn in den beiden Vakuumgefäßen ( D-Dosen=DEEs ). Im Zwischenraum ist das hochfrequente Beschleunigungsfeld angeordnet.

53 3.2 Strahloptik und Betatronschwingungen 45 Abbildung 3.3: Prinzipbild eines Synchrotrons (rechts); links ist eine Beschleunigungseinheit (cavity) skizziert. der Teilchenstrahl nach dem Ende des Beschleunigungsvorgangs für viele Stunden umläuft. Wir beschränken uns im Folgenden auf Synchrotrons (Abb. 3.3), die durch eine energieunabhängige Sollbahn charakterisiert sind; die magnetischen Führungs- und Fokussierungsfelder werden synchron mit dem Teilchenimpuls erhöht. In Abb. 3.1 und 3.2 sind andere Beschleunigertypen skizziert: ein Linearbeschleuniger und ein Zyklotron. Wir betrachten jetzt die Bewegung von Teilchen mit konstantem Impuls p 0 in einem Kreisbeschleuniger, der in der horizontalen Ebene liegt. Ein homogenes Magnetfeld B 0 wird in vertikaler Richtung angelegt, um die Teilchen mit Ladung e auf eine Kreisbahn mit dem Krümmungsradius ρ zu bringen: B 0 = p 0 eρ Das homogene Führungsfeld allein reicht nicht aus, einen Strahl ohne Intensitätsverlust zu beschleunigen und zu speichern. Die Teilchen legen in einem Speicherring enorme Entfernungen zurück ( km) und würden sich infolge der unvermeidlichen Strahldivergenz rasch von der Sollbahn entfernen und die Wand des Vakuumrohres treffen, wenn magnetische Linsen sie nicht immer wieder zur Sollbahn zurücklenken würden. Für diese Linsen kommen die in Elektronenmikroskopen verwendeten Solenoidspulen nicht in Frage, da sie nur im Streufeldbereich fokussieren und für relativistische Teilchen viel zu schwach sind. Die Alternative sind Quadrupolmagnete (Abb. 3.4), deren Feldkomponenten sich in der Form B x = g y B y = g x (3.1) schreiben lassen. Dabei wird mit x (y) die horizontale (vertikale) Abweichung der Teilchen von der Achse des Magnets bezeichnet und g ist der Gradient; typische Werte sind 20 T/m für Quadrupole mit Eisenpolschuhen und T/m für supraleitende Quadrupole. Die auf

54 46 Teilchenbeschleuniger Teilchenimpuls und -ladung normierte Fokussierungsstärke ist K = e g/p. Ein Quadrupol der Länge l hat die Brennweite f = 1/(K l) (Näherung der dünnen Linse). Ein Nachteil im Vergleich zu optischen Sammellinsen ist, dass ein Quadrupol immer nur in einer Ebene fokussiert, in der dazu senkrechten Ebene dagegen defokussiert. Eine Fokussierung in beiden Richtungen wird erreicht, indem man Quadrupole mit alternierenden Gradienten periodisch aneinanderreiht. Das Alternating-Gradient-Synchrotron (AGS) in Brookhaven, USA, und das Protonensynchrotron (PS) beim CERN in Genf waren die ersten Protonenbeschleuniger mit AG-Fokussierung. Abbildung 3.4: Feldverlauf und Kräfte in einem Quadrupol auf ein positiv geladenes Teilchen, welches aus der Zeichenebene herausfliegt. Links ist ein horizontal fokussierender und rechts ein horizontal defokussierende Quadrupol dargestellt. Die Teilchen entfernen sich in dieser periodischen Magnetanordnung nur wenig von der Sollbahn, da sie durch die stark fokussierenden Quadrupollinsen immer wieder zurückgelenkt werden. Daher kann die Apertur der Magnete klein sein. Im HERA-Protonen-Speicherring ist der Strahlrohrdurchmesser nur 55 mm, obwohl die Protonen den 6.3 km langen Ring innerhalb der Speicherzeit von typisch 10 Stunden mehr als mal durchlaufen. Die Teilchen führen um die Sollbahn Schwingungen aus, die man Betatronschwingungen nennt, sie sind prinzipiell in Abb. 3.6 skizziert. Abbildung 3.5: Koordinatensystem zur Beschreibung der Teilchenbewegung im Beschleuniger. Bezeichnet man die Bahnkoordinate mit s und die Abweichungen von der Sollbahn mit x bzw. y (in Abb. 3.5 ist das übliche Koordinatensystem skizziert), so gelten folgende Differentialgleichungen:

55 3.2 Strahloptik und Betatronschwingungen 47 x (s) + K(s)x(s) = 0, y (s) K(s)y(s) = 0 (3.2) In einem horizontal fokussierenden Quadrupol (der vertikal defokussiert) gilt K(s) = K 0 > 0, in einem horizontal defokussierenden Quadrupol entsprechend K(s) = K 0 < 0. Die Lösungen von (3.2) sind quasiharmonische, amplituden- und frequenzmodulierte Schwingungen x(s) = A(s) cos(φ(s) Φ 0 ), wobei für die Amplituden- und Phasenfunktion gilt A(s) = a β(s), dφ ds = 1 β(s) und a eine Konstante der Dimension (Länge) 1/2 ist. Die Lösung y(s) hat die gleiche Form. Es tritt hier eine sehr wichtige Funktion auf, die Betafunktion, die die Ortsabhängigkeit der Amplitude und der Wellenlänge der Betatronschwingungen angibt: A(s) β(s), λ(s) = 2π β(s) Bei vorgegebener Magnetstruktur ist die Betafunktion eindeutig bestimmt. An jeder Stelle im Ring kann man ein Phasenraumdiagramm mit den Achsen x(s) und x (s) = dx/ds auftragen. Teilchentrajektorien mit gleichem Amplitudenfaktor a aber verschiedenen Phasen Φ 0 liegen auf einer Ellipse. Die Fläche der Ellipse, die einen bestimmten Prozentsatz des Strahls einschliesst (z.b. 90%), schreibt man in der Form F = π ɛ und definert damit einen weiteren wichtigen Strahlparameter, die Emittanz ɛ. Wenn man die Teilchen durch den Ring verfolgt, ändert die Ellipse ihre Form und Orientierung, aber die Fläche bleibt invariant. Dies ist eine Konsequenz des Liouville-Theorems über die Invarianz der Phasenraumdichte. Während der Beschleunigung schrumpft die Emittanz umgekehrt proportional zum Impuls p. Die normierte Emittanz ɛ n = ɛ/(m 0 c) sollte im Prinzip invariant bleiben von der Teilchenquelle bis hin zur maximalen Energie, sofern nichtlineare oder stochastische Effekte wie Synchrotronstrahlung, Streuung am Restgas im Vakuumrohr oder Störsignale in den Stromversorgungsgeräten vernachlässigt werden können. Im allgemeinen beobachtet man eine gewisse Emittanzaufweitung, die natürlich unerwünscht ist, weil sie den Strahlquerschnitt vergrößert und die Luminosität der Maschine herabsetzt. Der Beschleunigerring (Prinzipbild in Abb. 3.3) besteht im allgemeinen aus einer großen Zahl identischer FODO -Zellen, die jeweils einen fokussierenden Quadrupol F, einen defokussierenden Quadrupol D und zwei nichtfokussierende Element O enthalten, meist Dipolmagnete oder auch Driftstrecken. Die Periodizität der Magnetanordnung führt zu einer entsprechenden Periodizität der Betafunktion. Die Teilchentrajektorien dürfen jedoch keinesfalls periodisch sein, dies muss sogar strikt vermieden werden, denn sonst würden die unvermeidlichen Feldstörungen der Magnete bei jedem Umlauf mit der gleichen Phase durchlaufen werden (s. Abb. 3.6). Das Resultat wäre ein resonanzartiges Anwachsen der Schwingungsamplitude und letztendlich der Verlust des gesamten Strahls. Die Zahl der Betatronschwingungen pro Umlauf, auch Q-Wert genannt, darf also nicht ganzzahlig sein, weil sonst Dipol-Störfelder zum Strahlverlust führen. Aber auch halbzahlige Q-Werte sind verboten, um Resonanzen aufgrund von Quadrupolstörfeldern zu vermeiden. Ein Teilchenstrahl überdeckt immer ein gewisses Impulsband von p/p Die Brennweite der Quadrupole ist impulsabhängig. Die resultierenden chromatischen Fehler in der

56 48 Teilchenbeschleuniger Abbildung 3.6: Links: Prinzipskizze Betatronschwingung. Rechts: Horizontale gegen vertikale Q-Werte, die Linien deuten Resonanzen an, die beim Betrieb vermieden werden müssen. Strahloptik werden durch Sextupollinsen korrigiert. Aus diesem Grund sind auch drittelzahlige Q-Werte gefährlich. In supraleitenden Magneten gibt es darüberhinaus Multipolfehler, die durch permanente bipolare Ströme im supraleitenden Kabel erzeugt werden und Resonanzen noch höherer Ordnung zur Folge haben. Ein Diagramm der horizontalen und vertikalen Q Werte kann man in Abb. 3.6 sehen. 3.3 Beschleunigung und Synchrotronschwingungen Die Energieerhöhung der Teilchen wird traditionell Beschleunigung genannt, obwohl sich die Geschwindigkeit im relativistischen Bereich nur noch unwesentlich ändert. Was wirklich vergrößert wird, ist die bewegte Masse der Teilchen. Hochfrequente elektrische Felder werden dafür eingesetzt. Die Beschleunigungseinheiten sind Hohlraumresonatoren (Abb. 3.6), die im Stehwellen- oder Wanderwellenbetrieb arbeiten und zu TM-Schwingungen mit transversalem magnetischem und longitudinalem elektrischem Feld angeregt werden. Die Hochfrequenzleistung wird über Hohlleiter eingekoppelt. Die Wände des Hohlraumresonators müssen eine möglichst gute Leitfähigkeit haben, um Ohmsche Verluste gering zu halten. Normalerweise verwendet man Kupfer, aber in den letzten Jahren sind auch supraleitende Resonatoren aus Niob mit großem Erfolg gebaut und betrieben worden. Am TESLA-Testbeschleuniger werden Feldstärken bis 25 MV/m erreicht. In einem Kreisbeschleuniger muss die Frequenz des Hochfrequenz-(HF)-Systems an die Umlauf-

57 3.3 Beschleunigung und Synchrotronschwingungen 49 Abbildung 3.7: Prinzip der Energie- und Phasenfokussierung, oben für nicht-relativistische Teilchen (v c) und unten für relativistische Teilchen (v c). Im relaticvistischen Fall wird das Referenzteilchenmit Impuls p 0 mit zwei Teilchen verglichen, die eine Impulsabweichung haben. Beim Umlauf n sollen alle drei Teilchen den Resonator mit der Sollphase ψ 0 der HF durchlaufen. Beim Umlauf (n+1) passiert nur das Referenzteilchen den Resonator mit der Sollphase ψ 0 und erhält den nominellen Energiezuwachs E 0. Das Teilchen mit p > p 0 kommt später an und erhält einen kleineren Energiezuwachs, das Teilchen mit p < p 0 kommt früher und erhält einen größeren Energiezuwachs. Die Folge sind annähernd harmonische Schwingungen um die Energie und Phase des Referenzteilchens. frequenz der Teilchen angepasst werden. Als Referenz wählen wir ein Teilchen mit Sollimpuls p 0 und stellen die Bedingung auf, dass bei jedem seiner Durchgänge durch den HF-Resonator die HF-Phase denselben Wert Φ 0 hat, so dass dieses Referenzteilchen immer den gleichen Energiezuwachs erhält. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Hochfrequenz f HF ein ganzzahliges Vielfaches der Umlauffrequenz f 0 des Referenzteilchens ist: f HF = h f 0. Der Impuls p 0 wächst natürlich infolge der Energieerhöhung an, aber dies ist ein langsamer adiabatischer Prozess. In Protonenbeschleunigern muss die Frequenz f HF proportional zur Teilchengeschwindigkeit erhöht werden. In einem der Vorbeschleuniger für HERA ändert sich f HF um einen Faktor 3 zwischen der Anfangsenergie von 50 MeV und der Endenergie von 7 GeV. Elektronen sind meist so nahe an der Lichtgeschwindigkeit, dass die Frequenz konstant gehalten werden kann. Die Synchronisation von Hochfrequenzphase und Teilchendurchgang wird dadurch erschwert, dass im Strahl nicht nur Teilchen mit Sollimpuls p 0 vorhanden sind. Teilchen mit p = p 0 + p haben im allgemeinen eine andere Umlaufzeit als das Referenzteilchen mit p = p 0. In

58 50 Teilchenbeschleuniger Elektronenbeschleunigern ist in sehr guter Näherung v = c. Elektronen mit p > p 0 haben eine größere Umlaufzeit als das Referenzteilchen, weil ihr Bahnradius in den Dipolmagneten größer ist. In Protonenbeschleunigern ist häufig beim Beginn der Beschleunigung v deutlich kleiner als c, dann haben Protonen mit p > p 0 eine kürzere Umlaufzeit als das Referenzteilchen. Mit wachsender Energie geht v c, so dass bei hohen Protonenenergien die Situation wie bei Elektronen wird. Wir betrachten einen Elektronenkreisbeschleuniger mit einer einzelnen Beschleunigungsstrecke. Abb. 3.7 zeigt, dass die Phase der Hochfrequenzspannung während des Teilchendurchgangs zwischen 90 und 180 gewählt werden muß, damit ein Strahl mit einem endlichen Impulsband ± p nicht auseinanderläuft. Wenn T 0 die Umlaufzeit für das Referenzteilchen mit p = p 0 ist, so braucht ein Elektron mit p > 0 eine Zeit T > T 0, es kommt somit bei einer kleineren HF- Amplitude an der Beschleunigungsstrecke an und erhält einen geringeren Energiezuwachs als das Referenzteilchen. Umgekehrt ist es für ein Elektron mit p < 0. Die Konsequenz ist, dass die Teilchen annähernd harmonische Schwingungen um die Energie und Phase des Referenzteilchens durchführen. Die Frequenz dieser Synchrotronschwingungen ist wesentlich geringer als die der Betatronschwingungen. Im HERA-Protonenspeicherring gibt es Betatronschwingungen pro Umlauf, aber nur Synchrotronschwingungen. Aus Abb. 3.7 ist ersichtlich, dass nur die Teilchen in einem begrenzten Phasenintervall um die Sollphase Φ 0 beschleunigt werden. Teilchen, die stark davon abweichen, werden abgebremst. Daher besteht der Strahl aus kurzen Paketen ( bunches ) von Teilchen. Elektronen müssen zur Kompensation des Energieverlustes durch Synchrotronstrahlung auch nach Erreichen der Endenergie ständig nachbeschleunigt werden. Sie sind daher stets aus Strahlpaketen aufgebaut. Bei einem Protonenspeicherring könnte man nach Erreichen der Endenergie die Beschleunigungsspannung abschalten und eine gleichförmig über den Umfang verteilte Strahlintensität erreichen, aber das ist für Collider-Experimente unerwünscht. Im Speicherbetrieb wählt man daher Φ 0 = 180 und bewahrt damit die Paketierung des Protonenstrahls, ohne den Teilchen im Mittel Energie zuzuführen. 3.4 Synchrotronstrahlung In den Dipolmagneten eines Kreisbeschleunigers erfahren die geladenen Teilchen eine Zentripetalbeschleunigung, die nach den Gesetzen der Elektrodynamik zur Abstrahlung von Energie führt. Die abgestrahlte Leistung P wächst quadratisch mit der Energie E 0 der Teilchen und der Größe des Magnetfeldes B an; sie ist umgekehrt proportional zur vierten Potenz der Ruhemasse m 0. e 2 P = 2 e 2 c 3 3 4πɛ 0 (m 0 c 2 ) 4 E2 0 B 2 Für vorgegebenen Krümmungsradius ρ ist B = p 0 /(eρ) E 0 /(eρc), und der Energieverlust pro Umlauf wird Numerisch ergibt sich: ( ) 4 U 0 = e2 E0 1 eɛ 0 m 0 c 2 ρ U 0 [kev ] = E4 0 ρ

59 3.4 Synchrotronstrahlung 51 wobei E 0 in GeV und ρ in m einzusetzen ist. Abbildung 3.8: a) Axialsymmetrische Strahlungsverteilung eines bewegten Elektrons im Schwerpunktsystem; b) Scharf nach vorne gebündelte Verteilung im Laborsystem. Beim Elektron Positron Speicherring PETRA mit ρ = 192 m beträgt der Energieverlust pro Umlauf U 0 = 60 MeV für E 0 = 19 GeV. Im Large Electron Positron Ring LEP am CERN wächst diese Zahl auf 2.8 GeV bei einer Strahlenergie von 100 GeV an. Diese enormen Verluste müssen ständig durch ein äußerst leistungsfähiges Hochfrequenzbeschleunigungssystem ausgeglichen werden. LEP wird der größte Kreisbeschleuniger für Elektronen bleiben, Energien von vielen 100 GeV bis TeV lassen sich nur noch mit Linearbeschleunigern realisieren. Für Elektronen im GeV Bereich ist die Synchrotronstrahlung scharf nach vorn gebündelt (s. Abb. 3.8) und erstreckt sich vom sichtbaren Licht bis in den Röntgenbereich. Die Abstrahlung ist umgekehrt proportional zur vierten Potenz der Masse des Strahlteilchens und ist bei den heutigen Protonenbeschleunigern vernachlässigbar. Im Large Hadron Collider LHC wird ein Proton von 7 TeV etwa 10 kev pro Umlauf verlieren. Das ist für das HF System und die Strahldynamik unerheblich, bedeutet aber eine starke Wärmebelastung für das Kryogeniksystem der supraleitenden Magnete Strahlungsdämpfung und Quantenanregung. Die Synchrotronstrahlung in Elektronenkreisbeschleunigern hat neben ihren negativen Auswirkungen auch einige positive Einflüsse: sie wirkt sich günstig auf die Strahlstabilität aus. Die zur Kompensation der Strahlungsverluste ständig erforderliche Nachbeschleunigung der Elektronen führt dazu, daß Betatron und Synchrotronschwingungen gedämpft werden. Die Abstrahlung der Photonen erfolgt nahezu parallel zur Flugrichtung des Elektrons, so daß die Longitudinal und Transversal Komponenten des Impulses gleichermaßen vermindert werden, während die Beschleunigungsstrecke nur die Longitudinalkomponente erhöht. Dadurch verringert sich kontinuierlich der Winkel zwischen Teilchenimpuls und Sollbahn. Die transversale Ausdehnung eines Strahlpakets wird kleiner, schrumpft allerdings nicht auf null, sondern auf Minimalwerte, die durch die Quantennatur der Strahlung und die daraus resultierenden statistischen Schwankungen bestimmt sind. Zudem hat ein Elektron mit p > 0( p < 0) eine höhere (geringere) Abstrahlung als das Referenzteilchen. Die Differentialgleichung für Synchrotronschwingungen erhält infolgedessen einen Dämpfungsterm, aber auch hier treten die Quantenfluktuationen auf, die ein Schrumpfen auf null verhindern. Die Energieverteilung in einem Elektron Positron

60 52 Teilchenbeschleuniger Speicherring wird durch eine Gaussfunktion beschrieben, deren Varianz quadratisch mit der Energie anwächst mit w(e) = 1 2π σ exp ( (E E 0 ) 2 / 2σ 2) (3.3) σ = 55 hc 64 3 E0 4 (m 0 c 2 ) 3 1 ρ. (3.4) Im ADONE Speicherring in Frascati (Italien) mit E 0 = 1.5 GeV betrug die Energieunschärfe σ = 0.9 MeV, im PETRA Ring mit E 0 = 19 GeV bereits 22 MeV. Diese beträchtliche, durch die Quantennatur der Synchrotronstrahlung verursachte Energiebreite der Elektronen und Positronenstrahlen ist sehr nachteilig bei der Untersuchung schmaler Resonanzen wie der ψ oder Upsilon-Teilchen. Die Dämpfung der Betatron und Synchrotronschwingungen bewirkt, daß Elektronen den Einfluß von Störungen rasch vergessen. Bei Protonen oder Ionen ist dies nicht der Fall. Jede von außen angeregte Schwingung, sei es durch Rippel im Magnetfeld oder Rauschen der Hochfrequenz, bleibt erhalten und vergrößert die Emittanz. Aktive Maßnahmen wie stochastische oder Elektronen Kühlung sind nötig, um die Oszillationen der individuellen Protonen oder Antiprotonen zu reduzieren. Kollektive Schwingungen lassen sich durch Oktupolmagnete dämpfen, da in höheren Multipolfeldern die Betatronfrequenz amplitudenabhängig wird, so daß die Phasenkohärenz der Teilchen allmählich verloren geht. Dieser Effekt wird Landau Dämpfung genannt, aber die Oszillation der einzelnen Protonen wird dabei nicht gedämpft. 3.5 Teilchenquellen und Vorbeschleuniger Eine ganze Kette von Beschleunigern ist nötig, um Teilchen auf Energien von vielen GeV oder sogar TeV zu bringen. Dafür gibt es physikalische, technische und finanzielle Gründe, von denen wir einige aufführen. 1. Normal- oder supraleitende Magnete haben nur einen begrenzten Bereich von etwa 1:20 zwischen dem niedrigsten nutzbaren Feld (Feldverzerrungen durch Remanenz im Eisen oder permanente Ströme im Supraleiter) und dem Maximalfeld (Sättigung im Eisenjoch oder kritischer Strom des Supraleiters). 2. Der Querschnitt eines Protonenstrahls sinkt umgekehrt proportional zur Energie, daher kann man bei hohen Energien die Apertur der Magnete reduzieren. 3. Auf niederenergetische Protonenpakete wirken stark defokussierende Kräfte aufgrund der elektrostatischen Abstoßung. Um eine Strahlaufweitung zu verhindern, benötigt man viele Quadrupole mit kurzer Brennweite. Bei relativistischen Teilchen heben sich abstossenden elektrischen und die anziehenden magnetischen Kräfte nahezu auf. Abb. 3.9 zeigt als Beispiel die Vorbeschleuniger für die Elektron-Proton-Speicherringanlage HERA. Die Elektronen aus einer Glühkathode werden auf 50 kev beschleunigt und in einen Wanderwellen-Linearbeschleuniger (LINAC I) eingeschossen, der sie auf eine Energie von 220 MeV bringt. In einem Synchrotron von 100 m Durchmesser (DESY II) wird die Energie auf 7.5 GeV erhöht. Ein zweites Synchrotron, der umgebaute Speicherring PETRA, beschleunigt

61 3.5 Teilchenquellen und Vorbeschleuniger 53 Abbildung 3.9: HERA und seine Vorbeschleuniger. die Elektronen auf 12 GeV, und von dort werden sie endlich in den HERA-Elektronenring eingeschossen. Auf der Protonenseite beginnt man zunächst mit einer lonenquelle, die negativ geladene Wasserstoffionen von 18 kev liefert. Die nächste Beschleunigerstufe ist ein elektrischer Hochfrequenz- Quadrupol. Dieser relativ neue Vorbeschleunigertyp hat bemerkenswerte Eigenschaften: er beschleunigt die Ionen auf 750 kev, fokussiert sie und macht aus dem gleichförmigen Strahl der lonenquelle einen paketierten Strahl. Dieser wird für den nachfolgenden Linearbeschleuniger (LINAC III) gebraucht, der die Ionenenergie auf 50 MeV erhöht. Die H Ionen werden danach in das Synchrotron DESY III eingeschossen. Sie durchlaufen eine dünne Kunststoff-Folie, in der beide Elektronen abgestreift und aus den negativ geladenen Ionen positiv geladene Protonen werden. Das Abstreifen der Elektronen ist ein stochastischer Effekt. Man kann damit das Liouville-Theorem umgehen und im Synchrotron eine höhere Phasenraumdichte als in den Vorbeschleunigern erzielen. Bei einer Energie von 7.5 GeV werden die Protonen in den PETRA- Ring geschossen, dort auf 40 GeV gebracht und danach in den HERA-Protonenring injiziert Kreisförmige und lineare Collider Die Experimente an Hochenergiebeschleunigern lassen sich in zwei Klassen unterteilen: Festtargetexperimente, bei denen ein hochenergetischer Teilchenstrahl auf stationäre Protonen oder Kerne trifft, sowie Experimente mit kollidierenden Strahlen. Messungen mit Myon-, Pion, Kaonoder Neutrinostrahlen sind notwendigerweise vom Festtargettyp. Sie haben den gravierenden Nachteil, dass ein Großteil der Strahlenergie in nutzlose Bewegungsenergie der Sekundärteilchen übergeht. Die für die Erzeugung neuer Teilchen relevante Energie W im Schwerpunktsystem ist (Gleichung 2.4) W = s = m m E 1 m 2 (3.5) wobei m 1 die Masse des Strahlteilchens und m 2 die Masse des Targetteilchens ist. Trifft ein 100 GeV-Pion auf ein ruhendes Proton, so verbleibt eine Schwerpunktsenergie von nur 14 GeV. Noch dramatischer wird dieser Verlust für Elektron-Positron-Wechselwirkungen: wollte man

62 54 Teilchenbeschleuniger ein Υ-Teilchen erzeugen, indem man einen Positronenstrahl auf ruhende Elektronen schießt, so müssten die Positronen die utopische Energie von GeV haben. In einem Speicherring mit gegenläufigen Elektronen- und Positronenstrahlen braucht man nur 4.73 GeV pro Strahl. Die Ereignisrate R = N an einem Collider ist R = L σ (3.6) Dabei ist σ der Wirkungsquerschnitt der betrachteten Reaktion und L die Luminosität des Speicherrings. Für einen Elektron-Positron-Speicherring mit N b Elektronen- und Positronenpaketen pro Strahl, die jeweils N bzw. N + Teilchen enthalten, wird die Luminosität L = N N + N b f 0 4πσ x σ y Hierin bedeuten f 0 die Umlauffrequenz und σ x, σ y die Varianzen der Ladungsverteilung der Strahlpakete am Wechselwirkungspunkt. Typische Werte sind 1 mm horizontal und < 0.1 mm vertikal. Heutige Collider erreichen L = bis cm 2 s 1. Die Luminosität ist umgekehrt proportional zum Strahlquerschnitt. Durch Minimalisierung der Betafunktion am Wechselwirkungspunkt (man spricht von Mini-Beta- oder sogar Mikro- Beta-Anordnungen) kann man L deutlich vergrößern. Dazu ist es erforderlich, Quadrupole sehr nah an den Wechselwirkungspunkt zu bringen und teilweise mit in den experimentellen Aufbau einzubeziehen. Eine Erhöhung der Teilchenzahlen N + und N steigert ebenfalls die Luminosität. Hierbei ist jedoch eine interessante Grenzbedingung gegeben: bei der Strahlkreuzung wirkt das Positronenpaket wie eine fokussierende Linse auf das Elektronenpaket und umgekehrt. Dadurch verändert sich der Q-Wert, d. h. die Zahl der Betatronschwingungen pro Umlauf. Die Q-Wert- Variation muß hinreichend klein sein (bei Elektron-Positron-Speicherringen erfahrungsgemäß < 0.025, bei Proton-Proton- oder Antiproton-Proton-Ringen eine Größenordnung weniger), damit Resonanzen vermieden werden, die die Strahlen instabil machen. In einer Tabelle sind einige der heute betriebenen oder im Bau oder der Planung befindlichen Großbeschleuniger und Collider aufgeführt. Der LEP-Speicherring wird der größte e + e Speicherring bleiben, da wegen der E 4 -Abhängigkeit der Synchrotronstrahlung eine signifikante Energieerhöhung nicht mehr durch Vergrößerung des Radius erreicht werden kann. Um Elektron-Positron-Wechselwirkungen im Bereich von 500 GeV und darüber studieren zu können, bleibt nur der Weg, Strahlen aus Linearbeschleunigern frontal aufeinander zu schießen. Ein erster Schritt ist mit dem SLC (Stanford Linear Collider) in Stanford gemacht worden. Dort werden Elektronen und Positronen im Linearbeschleuniger auf Energien zwischen 40 und 50 GeV gebracht. Die Pakete laufen hintereinander auf verschiedenen Flanken einer elektro-magnetischen Wanderwelle. Am Ende der Beschleunigung durchlaufen sie zwei entgegengesetzte 180 -Bögen und kommen in der Experimentierzone zur Kollision. Durch extrem feine Fokussierung sind Strahldimensionen unter 2 µm am Wechselwirkungspunkt erreicht worden. Für die geplanten Collider im 500 bis 1000 GeV-Bereich muss die Fokussierung noch wesentlich feiner werden, damit trotz der einmaligen Strahlkreuzung Luminositäten von cm 2 s 1 oder mehr erzielt werden können. Die Untersuchungen an der Final Focus Test Beam Facility in Stanford beweisen, dass dies möglich sein sollte. 3.6 Kosmische Beschleuniger Kosmische Strahlung wurde 1912 von Viktor Hess in Ballonflügen entdeckt. Man muß unterscheiden zwischen der Strahlung, die auf die Erdatmosphäre trifft: primäre kosmische Strahlung

63 3.6 Kosmische Beschleuniger 55 und der sekundären, die wir auf der Erdoberfläche messen. Weit unterhalb der Erdoberfläche ändert sich die Zusammensetzung wiederum, was durch die unterirdischen Neutrinoexperimente ausgenutzt wird. Abbildung 3.10: Das Spektrum der kosmischen Strahlung. Die primäre Komponente der kosmischen Strahlung besteht vorwiegend aus Protonen und zu einem winzigen Bruchteil aus Elektronen und schweren Kernen. Die Energiespektren sind zudem sehr verschieden. Die hadronische Komponente entspricht etwa 98%, davon sind wiederum 87% Protonen, 12% α Teilchen und 1% schwere Kerne (bis Fe, Co, Ni). Das Energiespektrum wird meist logarithmisch dargestellt (Abb. 3.10). Weiterhin ist ein starker Neutrinofluß vorhanden, der aber nur schwer nachzuweisen ist. Die Teilchen mit den höchsten Energien überhaupt sind in der kosmischen Strahlung registriert worden: Energie/Nukleon ev. Es ist Gegenstand heutiger Forschung, die Mechanismen und Orte der Beschleunigung aufzufinden. Unsere Galaxis ist zweifellos eine Quelle kosmischer Strahlung. Die höchsten Energien kommen aber von außerhalb der Galaxis, z.b. von Supernovae und AGNs. AGNs (Active Galactic Nuclei) sind ein Oberbegriff für viele sehr verschiedenartige Objekte, die beobachtet werden. In denen spielen sich wilde Prozesse ab, so daß es auch zur Beschleunigung und Emission von hochenergetischen Teilchen kommt.

64 56 Teilchenbeschleuniger 3.7 Einige Beschleunigeranlagen Lab Acc. Year Beams Energy (GeV) Experiments CERN LEP e + e Aleph, Opal, L3, Delphi LHC 07- pp Atlas, CMS, LHC-B, Alice DESY HERA 92- ep 320 ZEUS, H1, Hermes FNAL Tevatron 88- p p 1960 D0, CDF SLAC PEP-II 99- e + e 3+9 Υ(4S) BaBar KEK KEK-B 99- e + e 3+9 Υ(4S) Belle Cornell CESR 99- e + e Υ(4S) CLEO BNL RHIC 00- IonIon Star,Phenix,Brahms,Phobos

65 3.7 Einige Beschleunigeranlagen 57 SLAC 2 MILE ACCELERATOR

66 58 Teilchenbeschleuniger

67 Kapitel 4 Erhaltungssätze und Symmetrien 4.1 Symmetrieeigenschaften In der Physik spricht man von Symmetrieeigenschaften, wenn ein physikalisches System aus einem bestimmten Zustand durch eine Transformation in einen anderen möglichen Zustand übergeht, der sich vom ersten Zustand in gewissen Eingenschaften nicht unterscheidet: das System verhält sich invariant gegenüber einer Symmetrietransformation in bezug auf bestimmte Eigenschaften. Symmetrieeigenschaften hängen eng zusammen mit Invarianzeigenschaften und Erhaltungssätzen. Symmetrieeigenschaften werden mathematisch durch die Gruppentheorie behandelt. Eine Symmetriegruppe ist durch eine Transformationsvorschrift definiert; Beispiel ist die Gruppe der Rotationen im Raum. Invarianz gegenüber einer kontinuierlichen Symmetrietransformation bedingt die Existenz einer Erhaltungsgröße (Noethers Theorem, Emmy Noether 1918). Die Erhaltungsgröße ist dabei die Erzeugende der Gruppe. In der Teilchenphysik spielen drei Arten von Symmetrien eine besondere Rolle: Kontinuierliche Raum-Zeit-Symmetrien, Diskrete Symmetrien, und Kontinuierliche dynamische Symmetrien. Zu den kontinuierlichen Raum-Zeit-Symmetrien gehören die Zeitverschiebung, die räumliche Translation und die Rotation um eine beliebige Achse im Raum. Offenbar sind Naturgesetze invariant unter diesen Transformationen. Die aus der Invarianz folgenden Erhaltungssätze sind in der Tabelle 4.1 angegeben. Die Invarianzen bedeuten, daß die Bewegungsgleichungen bzw. die ein System beschreibende Lagrangefunktion eines Systems forminvariant gegenüber Lorentztransformationen sind. Symmetrie Erhaltungssatz Zeitverschiebung Energie Räumliche Translation Impuls Rotation Drehimpuls Eichtransformation Ladung Tabelle 4.1: Symmetrien und Erhaltungssätze Zu den kontinuierlichen dynamischen Symmetrien gehören Eichsymmetrien. Aus der Invarianz der Lagrange-Funktion elektrisch geladener Teilchen gegenüber globalen Phasentransformatio-

68 60 Erhaltungssätze und Symmetrien nen folgt die Erhaltung der elektrischen Ladung (Tabelle). Quantenmechanik-Wiederholung. Ein Zustand a wird durch eine Wellenfunktion ψ a ( r, t) beschrieben, die Lösung der Schrödinger-Gleichung i t ψ = Ĥψ ist (NB. h = 1, c = 1). Der Hamilton-Operator Quantenmechanik gibt es die Ersetzungen E i / t Ĥ ist der Operator der totalen Energie. In Operatoren der p 1/i Physikalischen Meßgrößen ist ein Operator F zugeordnet. Der Erwartungswert der physikalischen Meßgröße ist für den Zustand a gegeben durch den quantenmechanischen Erwartungswert F = a F a ψa F ψ a d 3 r Die Varianz (Unschärfe) der physikalischen Meßgröße ist gegeben durch den Erwartungswert ( ) 2 ( ) 2 ( F ) 2 = a F F a ψa F F ψa d 3 r Wenn die Wellenfunktion ψ a Eigenfunktion zu dem Operator F ist, gilt die Eigenwertgleichung F ψ a = f a ψ a mit dem Eigenwert f a. Der Eigenwert f a ist gleich dem Erwartungswert F, die Varianz (Unschärfe) ist dann Null, d.h. der Eigenwert ist eine Konstante der Bewegung. Eigenfunktionen zum Hamilton-Operator Ĥ können gleichzeitig Eigenfunktionen zu einem anderen Operator sein. Für einen Operator F gelte gleichzeitig mit Ĥψ a = E a ψ a auch die Eigenwertgleichung F ψ a = f a ψ a. Dann gilt auch Ĥ F ψ a = Ĥf aψ a = f a Ĥψ a = F Ĥψ a oder ] (Ĥ F F Ĥ) ψ a [Ĥ, F = 0 Das Ergebnis ist unabhängig von der Reihenfolge der Operatoren Ĥ und F ; man sagt, die Operatoren kommutieren. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz gemeinsamer Eigenfunktionen zu zwei Operatoren ist das Kommutieren der beiden Operatoren. Der Kommutator wird allgemein zu zwei Operatoren F und Ĝ durch [ F, Ĝ] F Ĝ Ĝ F als neuer Operator definiert. Wenn der Kommutator verschwindet (d.h. wenn die beiden Operatoren F und Ĝ vertauschbar sind), gibt es Lösungen, die gleichzeitig Eigenfunktionen zu den beiden Operatoren F und Ĝ sind. Weiterhin gilt für einen Operator F, der nicht explizit zeitabhängig ist: Kommutiert ein Operator mit dem Hamiltonoperator, so verschwindet die zeitliche Ableitung. Es handelt sich um eine Erhaltungsgröße.

69 4.1 Symmetrieeigenschaften Räumliche Translation und Impulserhaltung Wir wollen als einfachen Fall ein System von Teilchen betrachten, das im Raum um einen konstanten Vektor a verschoben werden soll. Falls es als ganzes verschoben wird und keine äußeren Kräfte wirken, so werden die physikalischen Eigenschaften ungeändert bleiben. In der QM drückt sich das als Invarianz des Hamiltonoperators aus. Der Ortsvektor der Teilchen des Systems x i wird transformiert nach: x i x i = x i + a (4.1) Wir betrachten nur eine infinitesimale Translation: δ x = a. Invarianz des Hamiltonoperators heißt dann: Ĥ( x 1, x 2,... ) = Ĥ( x 1 + δ x, x 2 + δ x,... ) Für ein einzelnes freies Teilchen ist diese Eigenschaft unmittelbar erfüllt, wie man an seinem Hamiltonoperator sieht: Ĥ = 1 2m 2 = 1 ( ) 2 2m x y z 2 Ĥ( x ) = Ĥ( x + δ x) = Ĥ( x) (4.2) Allgemein gilt: der Hamiltonoperator ist invariant unter Translation die durch folgenden Operator ausgedrückt werden kann: Ĥ( x 1, x 2... ) = Ĥ( x 1, x 2... ), (4.3) Dψ( x) ψ( x + δ x) (4.4) wo ψ( x) eine Wellenfunktion des Systems ist. Entwicklen wir rechts nach δ x, so erhalten wir: ψ( x + δ x) = ψ( x) + δ x ψ( x) Erinnern wir uns an die Definition des Impulsoperators: p = i, so gilt: D = 1 + iδ x p (4.5) Wir wenden D auf die Wellenfunktion: ψ ( x) = Ĥ( x)ψ( x) an. Dann Vergleich mit 4.4 gibt: Dψ ( x) = DĤ( x)ψ( x) (4.6) D ψ ( x) = ψ ( x + δ x) = Ĥ( x + δ x) ψ( x + δ x) = Ĥ( x) ψ( x + δ x) = Ĥ( x) D ψ( x) (4.7)

70 62 Erhaltungssätze und Symmetrien Hier haben wir jetzt die Invarianz des Hamiltonoperators 4.3 ausgenutzt. Vergleich mit 4.6 und 4.7 ergibt: [ DĤ( x) Ĥ( x) D]ψ( x) = 0 Da das für eine beliebige Wellenfunktion gilt, so folgt, daß der Kommutator von D und Ĥ verschwindet, das heißt D und auch p ist eine Erhaltungsgröße. [ D, ] [ p, Ĥ] = 0 Ĥ = 0 (4.8) Das kann man leicht auf ein System von N Teilchen verallgemeinern. Dann gilt, daß der totale Impuls p = N p i i=1 erhalten ist. In analoger Weise kann bewiesen werden, daß die Energieerhaltung in einem abgeschlossenen System gleichbedeutend ist mit der Invarianz gegenüber der Verschiebung der Zeitkoordinate. Drehimpulserhaltung ist gleichbedeutend mit der Invarianz gegenüber Rotationen. 4.2 Drehimpuls Dieses Kapitel bringt vor allem anfangs viel Wiederholung aus der Quanenmechanik, die nicht detailliert in der Vorleung gebracht wird. Insbesondere werden auch Auf und Absteigeoperatoren in der Teilchenphysik nicht nochmal besprochen. Drehimpulse in der Quantenmechanik (Wiederholung). Klassisch ist der Bahndrehimpuls definiert durch das Vektorprodukt von Orts- und Impulsvektor: Vektor L = r p mit Komponenten L x = yp z zp y L y = zp x xp z L z = xp y yp x (bei den Komponenten von L gilt für die Indizes die zyklische Vertauschung). Der Drehimpuls ist bei Bewegungen von Teilchen in einem Zentralfeld eine erhaltene Größe (z.b. Planetenbewegung). Der quantenmechanische Operator L = r p wird in üblicher Weise gebildet, indem für die Impulskomponenten der entsprechende Operator eingesetzt wird; er hat eine wichtige Bedeutung bei dreidimensionalen Problemen im Zentralpotential. Die Komponenten L x, L y und L z des Drehimpulsvektors L lassen sich als Operatoren in kartesischen und in Polarkoordinaten schreiben: L x = h ( y i z z ) = h ( y i L y = h ( z i x x ) = h z i L z = h ( x i y y ) = h x i sin ϕ ) + cot ϑ cos ϕ ϑ ϕ ( cos ϕ ) cot ϑ sin ϕ ϑ ϕ (4.9) (4.10) ϕ. (4.11) Der Operator für das Quadrat des gesamten Bahndrehimpulses ergibt sich durch Summation der Quadrate der Komponenten: [ ( L 2 = L 2 x + L 2 y + L 1 2 z = h 2 sin ϑ ) ] sin ϑ ϑ ϑ sin 2 ϑ ϕ 2

71 4.2 Drehimpuls 63 Der Operator enthält nur die Winkelkoordinaten ϑ und ϕ (und nicht die Koordinate r). Die eckige Klammer entspricht gerade dem Operatorteil der winkelabhängigen Wellengleichung (siehe unten, Gleichung (4.12)). Daraus ergibt sich direkt, daß die Wellenfunktion ψ auch Eigenfunktion zum Operator L 2 ist: L 2 ψ = l (l + 1) h 2 ψ. Kugelfunktionen (Wiederholung). Die Lösung ψ(r, ϑ, ϕ) der Schrödinger-Gleichung für ein Zentralpotential V (r) kann in Produktform ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r) Y (ϑ, ϕ) geschrieben werden. Die winkelabhängige Wellenfunktion Y (ϑ, ϕ) ist die Lösung der winkelabhängigen Wellengleichung 1 sin ϑ ϑ ( sin ϑ Y ϑ ) + 1 sin 2 ϑ 2 Y = l (l + 1) Y, (4.12) ϕ2 die das Potential V (r) nicht enthält. Die Lösungen sind die Kugelfunktionen Y lm (ϑ, ϕ), die von den Quantenzahlen l und m abhängen. Die Kugelfunktionen für l = 0, 1 und 2 sind: Y 0,0 = 1/4π Y 1,0 = 3/4π cos ϑ Y 1,±1 = 3/8π sin ϑ e ±iϕ Die Kugelfunktionen sind gleichzeitig Eigenfunktionen zu L 2 und zu L z : L 2 Y lm (ϑ, ϕ) = l (l + 1) Y lm (ϑ, ϕ) L z Y lm (ϑ, ϕ) = m l Y lm (ϑ, ϕ) Y 2,0 = 5/16π ( 3 cos 2 ϑ 1 ) Y 2,±1 = 15/8π cos ϑ sin ϑ e ±iϕ Y 2,±2 = 15/32π sin 2 ϑ e ±2iϕ (4.13) Kommutatoren. Für weitere Betrachtungen zum Drehimpuls ist die Benutzung von Kommutatoren vorteilhaft. Für die beiden Operatoren L x und L y ist der Kommutator [ Lx, L ] y ( Lx Ly L ) ( y Lx = h 2 x y y ) = i h L z (4.14) x und in entsprechender Weise gilt auch (zyklische Vertauschung der Indizes) [ Ly, L z ] = i h L x (4.15) [ Lz, L x ] = i h L y. (4.16) Diese Beziehungen zeigen, daß je zwei Komponenten des Drehimpulses nicht kommutieren. Es gilt jedoch: [ L2, L ] x = [ L2, L ] y = [ L2, L ] z = 0. Es ist also möglich, eine Eigenfunktion zum Operator L 2 und zum Operator einer Komponente von L zu bestimmen. üblicherweise werden Eigenfunktionen zu den Operatoren L 2 und L z betrachtet. Die Kommutatorregeln (4.14), (4.15) und (4.16) für die Drehimpulskomponenten sind tatsächlich allgemeiner als die ursprünglichen Gleichungen (4.9) bis (4.11). Sie bilden die Basis für die Algebra des Drehimpulses. Räumliche Rotationsinvarianz und Drehimpuls. Wir betrachten infinitesimale Rotationen. Bei der Rotation bleiben die Achsen fest, und das System wird gedreht, z.b. für eine Drehung um den Winkel δφ um die z Achse: x i x i = x i cos δφ + y i sin δφ (4.17) y i y i = x i sin δφ + y i cos δφ (4.18) z i z i = z i (4.19)

72 64 Erhaltungssätze und Symmetrien Falls Invarianz gegen Rotation vorliegt, so ist die den gedrehten Zustand beschreibende Funktion Ψ gleich der ursprünglichen Funktion am Punkt R 1 r, der durch die Drehung R nach r gedreht wird: Ψ ( r) = Ψ(R 1 r). Dies legt die Transformation Ψ = ÛΨ fest. Für eine infinitesimale Rotation ε = δφ um die z-achse erhält man damit (Für kleine Winkel benutzt man die Näherung: sin ε ε und cos ε 1.) Die infinitesimale Rotation kann in der Form ÛΨ(x, y, z) = Ψ(R 1 r) Ψ(x + εy, y εx, z) (4.20) ( = Ψ(x, y, z) + ε y Ψ ) x x Ψ (4.21) y = (1 iε(xp y yp x )) Ψ (4.22) Û = 1 iεĵ z (4.23) geschrieben werden. Der Operator Ĵ z wird der Generator der Rotationen um die z-achse genannt. Wegen ( ) ( ) ) 1 = Û Û = 1 + iεĵ z 1 iεĵ z = 1 + iε (Ĵ z Ĵ z + O(ε 2 ) folgt, daß der Generator Ĵ z hermitesch (J = J) ist und daher eine quantenmechanische Observable ist. Der Vergleich mit Gleichung (4.14) zeigt, daß der Generator Ĵ z identisch ist mit der dritten Komponente des Drehimpulsoperators J. Die Rotation um einen endlichen Winkel ϑ kann durch eine Folge von n infinitesimalen Rotationen aufgebaut werden: ) ( n Û(ϑ) = (Û(ε) = 1 i ϑ n z) nĵ e iϑĵ z n Entsprechende Hermitesche Operatoren können für Rotationen um die x- und y-achse eingeführt werden. Diese Operatoren erfüllen die Kommutatorregeln (mit zyklischer Vertauschung) analog zu den Relationen (4.14) bis (4.16). Schiebeoperatoren. In der formalen Herleitung der Eigenschaften des Drehimpulses in der Quantenmechanik geht man von dem Operator J aus, für dessen Komponenten J x, J y und J z (bzw. J 1, J 2 und J 3 ) die folgenden Vertauschungsregeln gelten: [J x, J y ] J x J y J y J x = ij z (+ zyklische Vertauschung der Indizes) (4.24) [ J 2, J x ] J 2 J x J x J 2 = 0 etc (4.25) Die Interpretation in Analogie zum klassischen Bahndrehimpuls wird nicht benötigt. Aus den Vertauschungsregeln folgt, daß es gemeinsame Eigenzustände zu J 2 und J z gibt; deren Eigenwerte werden mit j(j + 1) bzw. mit m bezeichnet. Schiebeoperatoren J + und J, auch genannt Aufsteige- und Absteige-Operatoren, werden eingeführt durch J + = J x + ij y mit J z J + J + J z = +J + J = J x ij y mit J z J J J z = J.

73 4.2 Drehimpuls 65 Mit diesen Beziehungen läßt sich die folgende Identität herleiten: J z (J + j m ) = (m + 1) (J + j m ). Daraus folgt, daß die Wellenfunktion (J + j m ) ein Eigenzustand zum Operator J z ist mit Eigenwert m+1. Entsprechend ist die Wellenfunktion (J j m ) ein Eigenzustand zum Operator J z mit Eigenwert m 1. Die Schiebeoperatoren, angewendet auf eine Wellenfunktion j m, ergibt also eine Änderung der z-komponente des Drehimpulses von +1 bzw. 1. Aus dieser Algebra läßt sich herleiten, daß die einzig möglichen j-werte j = 0, 1/2, 1, 3/2,... sind und daß m die Werte zwischen j und +j in Schritten von m = 1 annnehmen kann. Man erhält also aus den Vertauschungsregeln halbzahlige Werte des Drehimpulses. Damit kann auch der halbzahlige Spin s und der halbzahlige Gesamtdrehimpuls j beschrieben werden. Die folgende Zusammenfassung zeigt die Eigenschaften der Drehimpulsoperatoren: J z j m = m j m J 2 j m = j(j + 1) j m J + j m = j(j + 1) m(m + 1) j m+1 J j m = j(j + 1) m(m 1) j m+1. Die Schiebeoperatoren können auch zur Berechnung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten benutzt werden, die bei der Addition von Drehimpulsen auftreten Addition von Drehimpulsen Die Addition von Drehimpulszuständen erfolgt in der Quantenmechanik nach Regeln, die aus den Kommutatoreigenschaften folgen. Zwei Drehimpulse, J 1 und J 2, mit den Quantenzahlen j 1 und j 2 können zu einem resultierenden Drehimpuls J kombiniert werden, mit einer Quantenzahl j, die der Ungleichung j 1 j 2 j j 1 + j 2 Ein Drehimpulseigenzustand mit festen Werten von j und m hat allgemein keine festen Werte von m 1 und m 2. Quantenmechanisch entsteht der Eigenzustand mit den Quantenzahlen j und m durch Addition von j 1 und j 2 in allen möglichen Linearkombinationen, die die Beziehung m 1 + m 2 = m (4.26) erfüllen. In der ket-schreibweise ist die Addition von zwei Zuständen j 1 m 1 und j 2 m 2 zum Zustand j m zu betrachten. Bei der Zusammensetzung bzw. Zerlegung von Drehimpulszuständen treten Koeffizienten C auf, die Clebsch-Gordan-Koeffizienten heißen und tabelliert sind. Es gibt zwei äquivalente Formeln, wobei in den Summen jeweils die Bedingung m 1 + m 2 = m zu beachten ist: j 1 m 1 j 2 m 2 = j m = j 1, j 2 C j j 1 j 2 m m 1 m 2 j 1 m 1 j 2 m 2 (4.27) j 1 +j 2 j= j 1 j 2 C j j 1 j 2 m m 1 m 2 j m (4.28)

74 66 Erhaltungssätze und Symmetrien Die Berechnung der Koeffizienten erfolgt durch die Forderung, daß der Zustand j 1 j 2 j m Eigenzustand des Drehimpulsoperators L 2 und des Operators L z für die z-komponente ist. Die Koeffizienten sind nicht eindeutig festgelegt, unterschiedliche Konventionen unterscheiden sich um eine komplexen Faktor vom Betrag 1; hier wird die Konvention nach Condon and Shortley 1 benutzt. Die Tabelle 4.1 enthält die Clebsch-Gordan-Koeffizienten bis zur Dimension 2 2. Für ein zusammengesetztes System aus zwei Systemen wird auch die Abkürzung j 1 j 2 m 1 m 2 j 1 m 1 j 2 m 2 benutzt und für einen Zustand mit dem Satz von Drehimpulsquantenzahlen l, s, m l, m s wird die Schreibweise l, s, m l, m s benutzt. Beispiel: Addition von Drehimpulsen j 1 = 1/2 und j 2 = 1. Frage ist, welche Zustände gibt es? Der Gesmtdrehimpuls kann sein J = 3/2 oder 1/2. Wir betrachten die Zustände mit J = 3/2. Die Zustände mit m = ±3/2 können nur durch 3/2 +3/2 = /2 +1/2 (4.29) 3/2 3/2 = 1 1 1/2 1/2 (4.30) realisiert werden. Die Anwendung des Schiebeoperators J auf die Zustände mit j 1 = 1/2 und j 2 = 1 ergeben: J 1 +1 = J 1/2 +1/2 = 1/2 1/2 J 1 0 = J 1/2 1/2 = 0 (4.31) J 1 1 = 0 Der Schiebeoperator J wird nun auf beide Seiten der Gleichungen (4.29) angewendet, bei der Umformung werden die Eigenschaften (4.31) benutzt: J 3/2 +3/2 = J /2 +1/2 = (J 1 +1 ) 1/2 +1/ (J 1/2 +1/2 ) 3 3/2 +1/2 = /2 +1/ /2 1/2 Man erhält schließlich: 3/2 +1/2 = 2/ /2 +1/2 + 1/ /2 1/2 (4.32) Durch nochmaliges Anwenden von J auf 4.32 erhält man einen weiteren Zustand 3/2 1/2. D.h. zu J = 3/2 gibt es 4 Zustände, die sich aus Drehimpuls 1 und 1/2 zusammmensetzen lassen. Alle Zustände sind nochmal zusammengestellt: 3/2 +3/2 = /2 +1/2 (4.33) 3/2 +1/2 = 2/ /2 +1/2 + 1/ /2 1/2 (4.34) 3/2 1/2 = 2/ /2 1/2 + 1/ /2 +1/2 (4.35) 3/2 3/2 = 1 1 1/2 1/2 (4.36) 1 Condon and Shortley, The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York 1953.

75 4.2 Drehimpuls 67 1/2 1/2 1 +1/2 +1/ /2 1/2 1/2 1/2 1 1/2 +1/2 1/2 1/ / /2 +3/2 3/2 1/ /2 1 +1/2 +1/2 +1 1/2 1/3 2/3 3/2 1/2 0 +1/2 2/3 1/3 1/2 1/ /2 1/ /2 1/ /2 1/ /2 1 +1/ /3 2/ /3 1/ /3 1/3 3/2 1/3 2/3 3/2 1/15 8/15 6/15 1 1/ /3 1/6 1/ /6 1/2 1/ /3 0 1/ /6 1/2 1/ / / / /5 3/10 1/ /2 1/ /2 1/ /2 1 5/2 +5/2 5/2 3/2 +3/ /2 +3/ /2 0 1/ /2 +1/ /10 2/5 3/ /15 8/15 1/15 2/5 3/5 3/5 2/5 5/2 3/2 3/2 +3/2 1/5 4/5 4/5 1/5 5/2 +1/2 +1 1/2 2/5 3/5 5/2 3/2 0 +1/2 3/5 2/5 1/2 1/2 0 1/2 1 +1/ /2 +1/ /2 3/2 1/2 +1/2 +1/2 +1/2 +3/2 1/2 1/4 3/4 2 +1/2 +1/2 3/4 1/4 0 +3/2 1 1/10 2/5 1/2 +1/2 0 3/5 1/15 1/3 5/2 3/2 1/2 1/2 +1 3/10 8/15 1/6 1/2 1/2 1/ / /2 1/10 1/6 3/10 1/3 3/5 5/2 +5/2 +2 1/ / / /2 1/ /2 1 1/2 0 3/ /3 1/ /3 2/ /10 3/5 1/10 3/2 +1/2 8/15 1/15 2/5 3/5 2/5 5/2 3/2 2/5 3/5 3/2 3/2 1 1/2 2 +1/2 +1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 +1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 3/2 +1/2 1/6 1/3 5/2 1/2 3/2 1/2 1 3/2 0 Notation: m 1 m /5 2/ /2 3/2 4/5 1/5 1/5 4/5 2/5 3/5 J M 3/2 1 5/2 5/2 2 1/ /4 1/4 1/4 3/4 3/2 1/ /2 5/2 1 J M m 1 m 2 Coefficients /2 +3/ /2 7/2 +3/2 +1/2 1/2 1/ /2 7/2 5/2 +1/2 +3/2 1/2 1/ /2 1 +5/2 +5/2 +3/2 1/2 1/5 1/2 3/ /2 3/7 4/7 7/2 5/2 3/2 +1/2 +1/2 3/5 0 2/ /2 4/7 3/7 +3/2 +3/2 +3/2 1/2 +3/2 1/5 1/2 3/ /2 1/7 16/35 2/5 +3/2 3/2 1/20 1/4 9/20 1/4 +1 1/2 4/7 1/35 2/5 7/2 5/2 3/2 1/2 4 +1/2 1/2 9/20 1/4 1/20 1/ /2 2/7 18/35 1/5 +1/2 +1/2 +1/2 +1/ /2 +1/2 9/20 1/4 1/20 1/ /2 1/35 6/35 2/5 2/5 3/2 +3/2 1/20 1/4 9/20 1/ /2 12/35 5/14 0 3/ /2 1/ /2 1/ /2 18/35 7/2 5/2 3/2 4/35 27/70 1/2 1/2 3/2 +1/2 3/2 1/5 1/2 3/10 3/35 1/5 1/5 1/2 1/2 1/2 3/5 0 2/ /5 1/10 1/2 1/2 3/2 +1/2 1/5 1/2 3/ /14 1/2 2/7 +1 3/2 4/35 27/70 2/5 1/ /7 0 3/ /2 3/2 1/2 1/ /2 18/35 3/35 1/5 1/ /14 1/2 2/ /2 1/2 1/2 1/2 3 1/2 12/35 5/14 0 3/10 7/2 5/2 3/ /14 3/10 3/7 1/5 2 3/2 1/35 6/35 2/5 2/5 3/2 3/2 3/2 3/2 3/ /7 1/5 1/14 3/10 0 3/2 2/7 18/35 1/ /7 1/5 1/14 3/ /2 4/7 1/35 2/5 7/2 5/ /14 3/10 3/7 1/ /2 1/7 16/35 2/5 5/2 5/2 1 3/2 4/7 3/7 7/2 2 1/2 3/7 4/7 7/ /2 3/ /70 1/10 2/7 2/5 1/5 8/35 2/5 1/14 1/10 1/5 18/35 0 2/7 0 1/5 8/35 2/5 1/14 1/10 1/5 4 1/70 1/10 2/7 2/5 1/ /14 3/10 3/7 1/5 1 3/7 1/5 1/14 3/10 0 3/7 1/5 1/14 3/10 1 1/14 3/10 3/7 1/ /14 1/2 2/ /7 0 3/ /14 1/2 2/ / /2 1/2 1/2 1/ Abbildung 4.1: Clebsch Gordan-Koeffizienten mit der Zeichenkonvention von Condon and Shortley. Zu jedem Koeffizienten gehört noch die Quadratwurzel, d.h. 8/15 bedeutet 8/15.

76 68 Erhaltungssätze und Symmetrien Ähnlich kann man die Zustände zu J = 1/2 konstruieren Spin-Statistik-Theorem Systeme identischer Teilchen. Wenn zwei Teilchen identisch sind, sollten sie in der Wellenfunktion in gleicher Weise behandelt werden. Der physikalische Zustand sollte unverändert sein, wenn die beiden Teilchen vertauscht werden, daraus folgt die Forderung ψ(1, 2) = e iϕ ψ(2, 1) mit ψ(1, 2) 2 = ψ(2, 1) 2. Die zweifache Vertauschung führt zum ursprünglichen Zustand zurück, also folgt e 2iϕ = 1 und e iϕ = ±1. Aus der Identität von zwei Teilchen folgt also für deren Wellenfunktion unter Vertauschung der beiden Teilchen ψ(1, 2) = ±ψ(2, 1). Diese Symmetrieverhalten unter Vertauschung kann auf Systeme von n identischen Teilchen und die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für das gesamte System verallgemeinert werden. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für ein n-teilchensystem lautet: Ĥ(1, 2,..., n)ψ(1, 2,..., n; t) = i h Ψ(1, 2,..., n; t) t Der Hamilton-Operator ist symmetrisch gegenüber der Vertauschung von zwei identischen Teilchen, denn die Identität bedeutet gerade, daß die Teilchen ohne Änderung von Ĥ vertauscht werden können. Im folgenden soll Pij ein Operator sein, der die Teilchen i und j vertauscht. Der Operator wird zunächst auf den Hamilton-Operator eines n-teilchen-systems angewendet: und für identische Teilchen gilt P ij Ĥ(1, 2,..., i,..., j,..., n) = Ĥ(1, 2,..., j,..., i,..., n) Ĥ(1, 2,..., j,..., i,..., n) = Ĥ(1, 2,..., i,..., j,..., n). Der Hamilton-Operator selbst verhält sich also symmetrisch bei der Vertauschung von zwei identischen Teilchen. Daher erhält man bei der Anwendung des Vertauschungsoperators P ij auf die n-teilchen-schrödingergleichung das Ergebnis, daß entweder sowohl die Wellenfunktion Ψ(1, 2,..., n) als auch deren zeitliche Ableitung Ψ(1, 2,..., n)/ t sich symmetrisch verhalten oder sich antisymmetrisch verhalten. Daraus folgt, daß der Symmetriecharakter zeitlich konstant bleibt: die Wellenfunktion Ψ zum Zeitpunkt t und die Wellenfunktion Ψ + ( Ψ/ t)dt zum Zeitpunkt t + dt haben den gleichen Symmetriecharakter. Die nichtrelativistische Quantenmechanik kann keine Aussagen über den Symmetriecharakter von Wellenfunktionen für Systeme identischer Teilchen machen. In der Quantenfeldtheorie wurde im Spin-Statistik-Theorem die Beziehung zwischen Spin und Statistik bewiesen. Spin-Statistik-Theorem: Fermionen-Systeme (Pauli-Prinzip): Systeme identischer Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) werden durch Wellenfunktionen beschrieben, die sich bei der Vertauschung von je zwei Teilchen antisymmetrisch verhalten gemäß P ij Ψ(1, 2,..., i,..., j,..., n) = Ψ(1, 2,..., j,..., i,..., n),

77 4.2 Drehimpuls 69 Bosonen-Systeme: Systeme identischer Teilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen) werden durch Wellenfunktionen beschrieben, die sich bei der Vertauschung von je zwei Teilchen symmetrisch verhalten. Es wird nun wieder der Fall von zwei identischen Teilchen betrachtet, wobei ein Teilchen sich in einem Quantenzustand a und das andere Teilchen sich in einem Quantenzustand b befinden soll. Bei der Schreibweise der Zwei-Teilchen-Wellenfunktion als Produkt von zwei entsprechenden Ein-Teilchen-Wellenfunktionen verlangt das Spin-Statistik-Theorem eine der folgenden Wellenfunktionen: ψ S = 1 2 [ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ) + ψ a (r 2 )ψ b (r 1 )] (4.37) ψ A = 1 2 [ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ) ψ a (r 2 )ψ b (r 1 )] (4.38) Dabei sind ψ a und ψ b orthonormierte Wellenfunktionen, daher muß bei der Linearkombination der Faktor 1/ 2 stehen. Die Postulate verlangen nicht, daß die totale Wellenfunktion eines Systems identischer Teilchen als Linearkombination von Produkten von Einteilchen-Wellenfunktionen geschrieben werden kann. Falls dies jedoch möglich ist, stellen die obigen symmetrischen und antisymmetrischen Linearkombinationen die für einen Zwei-Boson- bzw. Zwei-Fermion-Zustand gültigen Wellenfunktionen dar. Die antisymmetrische Wellenfunktion verschwindet identisch, wenn die beiden Zustände a und b gleich sind, zwei Fermionen können also nicht den gleichen Zustand einnehmen Spin 1/2 Die Leptonen und die Quarks haben eine Spin von 1/2 und daher ist der Fall des Spins 1/2 der wichtigste Fall. Die beiden möglichen Spineinstellungen s m werden auf verschiedene Arten dargestellt: ( ) 1 1/2 1/2 0 ( ) 0 1/2 1/2 1 Der allgemeine Zustand kann in der Form α 1/2 +1/2 + β 1/2 1/2 ( α β ) mit α 2 + β 2 = 1 geschrieben werden. Dabei geben α 2 und β 2 die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß die Messung der z-komponente den Wert 1/2 bzw. 1/2 ergibt. Die Spinoperatoren Ŝ1, Ŝ2 und Ŝ3 mit der Eigenschaft [Ŝi, Ŝj] = iŝk mit zyklischer Vertauschung der Indizes sind analog zu den allgemeinen Drehimpulsoperatoren definiert; sie können durch die Pauli-Matrizen dargestellt werden in der Form S 1/2 σ. σ 1 = ( ) σ 2 = ( 0 i i 0 ) σ 3 = ( )

78 70 Erhaltungssätze und Symmetrien Beispiele für die Anwendung der Operatoren auf allgemeine Zustände sind: ) ) ( α Ŝ 1 β ( α β ( β α = 1 2 ) ( 1 0 ) ( α β ) Ŝ 2 1 = 1 4 ( ) α Ŝ 3 = 1 β 2 S ( ) 2 α = β 0 1 ) ( α β ) ( α β (Ŝ2 1 + Ŝ2 2 + Ŝ2 3 ) ( α β = 1 4 ) = 3 ( α 4 β ) Die letzte Zeile zeigt, daß der allgemeine Zustand ein Eigenzustand zum Operator S 2 ist mit dem Eigenwert s(s + 1) = 3/4. Zwei Spin 1/2 Teilchen. Das aus zwei Spin 1/2 Teilchen zusammengesetzte System hat einen Spin von 1 oder 0. Zum Spin 1 ergeben sich drei Zustände (Triplett): 1 +1 = 1/2 +1/2 1/2 +1/2 1 0 = 1/2 1/2 +1/2 1/2 1/2 + 1/2 1/2 1/2 1/2 +1/2 1 1 = 1/2 1/2 1/2 1/2 und zum Spin 0 ergibt sich ein Zustand (Singlett/Singulett): 0 0 = 1/2 1/2 +1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 +1/2 Bei einem System aus zwei identischen Spin 1/2 Teilchen verhält sich die Spinwellenfunktion des Tripletts symmetrisch unter Vertauschung und die Spinwellenfunktion des Singuletts antisymmetrisch unter Vertauschung der beiden Teilchen. Entsprechend dem Pauli-Prinzip muß dann die Ortswellenfunktion sich antisymmetrisch (Triplett) bzw. symmetrisch (Singulett) unter Vertauschung verhalten. 4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien Interim: Entdeckung der Seltsamkeit Im Jahre 1946 haben Rochester und Butler in Nebelkammern, in denen sie eine Bleiplatte als Target angebracht und die sie mit Höhenstrahlung bombardiert hatten, seltsame Teilchen beobachtet: Sie sahen aus wie ein V oder eine Gabel. Man interpretierte sie als langlebige, neutrale (im Detektor unsichtbare) Teilchen, die dann in zwei geladene zerfielen. Solche Teilchen wurden später häufig beobachtet, als man hochenergetische Teilchenstrahlen zur Verfügung hatte. Eine Prototyp Reaktion ist: Danach zerfallen die neutralen Teilchen: Λ pπ π p K 0 Λ K 0 π + π Λ ist ein Baryon, K 0 ein Meson, beide ungeladen, d.h. im Detektor nicht sichtbar (in Abb. 4.2 ist ein Blasenkammerbild von solch einer Reaktion zu sehen). Seltsam war, daß diese Teilchen

79 4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien 71 mit Wirkungsquerschnitten erzeugt wurden, die eindeutig auf starke Wechselwirkung hinwiesen. Andererseits erfolgte der Zerfall so langsam, daß ein meßbarer Zerfallsweg auftrat. Die Lebensdauern sind etwa Abbildung 4.2: Blasenkammeraufnahme einer Reaktion π p K 0 Λ mit nachfolgendem Zerfall Λ pπ und K 0 π + π. τ s, charakteristisch für schwache Wechselwirkung. Weiterhin traten diese neuen Teilchen immer paarweise auf (assoziierte Produktion). Man erfand eine additive Quantenzahl Seltsamkeit oder Strangeness S und definierte S Λ = 1 S K 0 = +1 Man postulierte, daß die Seltsamkeit in starker Wechselwirkung erhalten ist und in schwacher verletzt sein kann. π p K 0 Λ S Heute wissen wir, daß man ein neues Quark entdeckt hatte, das s Quark. Da in starken Wechselwirkungen die Quarksorte erhalten ist, können diese neuen Quarks nur paarweise als Quark Antiquark erzeugt werden.

80 72 Erhaltungssätze und Symmetrien MESONEN (B=0) Quarkinhalt Spin 0 Zustand Spin 1 Zustand S ud π + (140) ρ + (769) 0 uu, dd π 0 (135) ρ 0 (769) 0 du π (140) ρ (769) us K + (494) K + (892) 1 ds K 0 (498) K 0 (896) sd K 0 (498) K 0 (896) 1 su K (494) K (892) ss φ(1020) 0 Tabelle 4.2: Quarkzusammensetzung und Quantenzahlen einiger Mesonen. π = ud, p = uud K 0 = ds Λ = uds Beim Zerfall muß sich das s Quark umwandeln, was nur in schwacher Wechselwirkung erlaubt ist. Das Diagramm ist: Λ { d s u u d u } p W - -u d } π - Im folgenden gehen wir von Teilchen aus, die nur u, d und s Quarks und ihre Antiteilchen enthalten Isospin Schon kurz nach der Entdeckung des Neutrons 1932 hat W. Heisenberg postuliert, daß Proton und Neutron die beiden Zustände eines einzigen Teilchens, des Nukleons, sind. Dies wurde nahegelegt aus der Analyse von pp- und pn-streudaten und durch den Vergleich der Bindungszustände von Spiegelkernen wie 3 H, 3 He. Nach Abzug der Coulombkräfte sind die Kernkräfte zwischen pp, pn und nn offenbar identisch (im gleichen Spinzustand), man spricht von der Ladungsunabhängigkeit der Kernkräfte. Die relative Massendifferenz zwischen Proton und Neutron ist lediglich δm/m = 0.13%; sie wird auf die elektromagnetische Wechselwirkung zurückgeführt. Man kann Proton und Neutron als die beiden Einstellungen eines Teilchens auffassen. Dies legt der Vergleich mit den beiden Spineinstellungen eines Elektrons nahe: ohne Magnetfeld ist die Energie beider Einstellungen gleich, und mit Magnetfeld B 0 gibt es Energieunterschiede gemäß E 0 ± µ B B.

81 4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien 73 BARYONEN (B=1) Quarkinhalt Zustand Spin S uud p(938) 1/2 0 udd n(940) 1/ uds Λ(1116) 1/ uus Σ + (1189) 1/2 1 uds Σ 0 (1193) 1/2 1 1 dds Σ (1197) 1/ uss Ξ 0 (1315) 1/2 2 dss Ξ (1321) 1/2 2 Tabelle 4.3: Quarkzusammensetzung und Quantenzahlen einiger Baryonen. Analog zum Spin wurde daher ein Isospin I eingeführt mit Operatoren, die den gleichen Vertauschungsrelationen folgen wie der Drehimpuls J: [I j, I k ] I j I k I k I j = ii l mit zyklischer Vertauschung der Indizes und Auf- und Absteige-Operatoren I + = I 1 + i I 2 I = I 1 i I 2. Für das Nukleon mit Isospin 1 ergeben sich danach die zwei Isospinzustände Proton p und 2 Neutron n : p = 1/2 + 1/2 n = 1/2 1/2 In der Folgezeit wurden weitere Multipletts von Hadronen gefunden; die folgende Tabelle gibt einen Überblick. Innerhalb eines Multipletts sind die Massenunterschiede zwischen den verschieden geladenen Mitgliedern des Multipletts gering. Multiplett Isospin Teilchenmultipletts Singulett I = 0 η Λ Ω Dublett I = 1/2 K 0, K + K, K0 (n, p) (Ξ, Ξ 0 ) Triplett I = 1 (π, π 0, π + ) (Σ, Σ 0, Σ + ) Quartett I = 3/2 (, 0, +, ++ ) Für die Teilchenmultipletts wird eine Hyperladung Y definiert durch Hyperladung Y = B + S (B = Baryonenzahl, S = Seltsamkeit), und die elektrische Ladung Q (in Einheiten der Elementarladung) eines Teilchens eines Multipletts wird durch die dritte Komponente des Isospins bestimmt: Elektr. Ladung Q = I 3 + Y/2. Diese Beziehung heißt Gell-Mann Nishijima Beziehung.

82 74 Erhaltungssätze und Symmetrien Postulat: Die starke Wechselwirkung ist invariant unter Rotationen im Isospin-Raum. Physikalische Größen wie Wirkungsquerschnitt und Zerfallsrate hängen nur vom Betrag I des Isospins und nicht von der dritten Komponente I 3 ab, die die elektrische Ladung bestimmt. Beispiel: Verhältnis von Wirkungsquerschnitten. Mit Hilfe der Isospin-Invarianz läßt sich folgern, daß die Beziehung σ(pp π + d) σ(np π 0 d) = 2 für die Reaktionsquerschnitte σ gilt. Für die Reaktionsraten der beiden Reaktionen gilt bei Isospin-Invarianz σ Amplitude 2 I, I 3 A I, I 3 2. I Das Deuteron d hat Isospin 0 und das π-meson hat Isospin 1, der Endzustand beider Reaktion hat daher Isospin I = 1 mit der dritten Komponente I 3 = +1 bzw. 0. Der Anfangszustand pp ist ebenfalls ein reiner Zustand mit Isospin I = 1, dagegen gilt für den Anfangszustand np die Zerlegung n p = 1/2 1/2 1/2 +1/2 = 1/ /2 0 0 dieser Zustand hat also nur einen Anteil von 50% mit Isospin I = 1, daraus folgt das Verhältnis der Wirkungsquerschnitte Isospin und das π-n-system Nukleonresonanzen. Es gibt zwei Arten von angeregten Nukleonen oder Nukleonresonanzen, solche mit Isospin I = 1/2, bezeichnet mit N, und solche mit Isospin I = 3/2 ), bezeichnet mit (s. Abb.4.3). Die Lebensdauer der Zustände ist von der Größenordnung τ = sec und sie zerfallen über die starke Wechselwirkung in ein Nukleon (Proton oder Neutron) und in ein oder mehrere π-mesonen. Die möglichen Ladungszustände sind durch den Isospin festgelegt, siehe Tabelle. Resonanz Isospin Ladungszustände N I = 1/2 N 0 N + I = 3/ Betrachtet wird der Zerfall der einfach positiv geladenen Resonanzen N + und +. Nach der Tabelle der Clebsch-Gordan-Koeffizienten ergeben sich die folgenden Isospin-Zerlegungen: N + : 1/2, +1/2 = + 2/ /2 1/2 1/ /2 + 1/2 + : 3/2, +1/2 = + 1/ /2 1/2 + 2/ /2 + 1/2 Daraus ergeben sich die folgenden Verhältnisse der Zerfallswahrscheinlichkeiten: N + : Γ ( N + π + + n ) : Γ ( N + π + p ) = 2 : 1 + : Γ ( + π + + n ) : Γ ( + π + p ) = 1 : 2

83 4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien 75 Abbildung 4.3: Erzeugung von Resonanzen in π p Wechselwirkungen. Experimentell wird dieses aus dem Isospin-Formalismus folgende Ergebnis bestätigt. Isospin und π-n-reaktionen. Mit den zwei Ladungszuständen des Nukleons und den drei Ladungszuständen des Pions kann eine große Zahl von π-n-streuexperimenten unternommen werden. Der Isospin-Formalismus erlaubt es, die vielen möglichen Prozesse auf zwei unabängige Isospin-Amplituden M 1/2 (Gesamtisospin 1/2) und M 3/2 (Gesamtisospin 3/2) zurückzuführen, mit denen alle πn πn-prozesse beschrieben werden können. Der Verlauf der totalen und elastischen Wirkungsquerschnitte für π ± p- und π ± d-kollisionen als Funktion der Energie ist in Abbildung 4.4 gezeigt. Er zeigt insbesondere bei kleinen Energie eine deutliche resonante Struktur, die auf Nukleonresonanzen mit Isospin I = 1/2 und I = 3/2 zurückzuführen ist. In der π + p-streuung ist der Zwischenzustand ein reiner Isospin I = 3/2-Zustand, in dem daher nur + -Resonanzen auftreten können. Grundlage sind die beiden folgenden Annahmen: in Systemen von Hadronen werden die Isospins der Teilchen vektoriell wie Drehimpulse addiert; auch im Isospinraum können die Clebsch-Gordan-Koeffizienten benutzt werden. Der Hamilton-Operator der starken Wechselwirkung vertauscht mit dem Operator des Isospins. Der Isospin des π-n-systems setzt sich aus den Isospinzuständen des π-mesons und des Nukle-

84 76 Erhaltungssätze und Symmetrien Cross section (mb) π + p total 5 π + p elastic πp πd Center of mass energy (GeV) 50 π ± d total Cross section (mb) π p total π p elastic Laboratory beam momentum (GeV/c) Abbildung 4.4: Die totalen und elastischen Wirkungsquerschnitte für π ± p-kollisionen und π ± d- Kollisionen (nur totale Wirkungsquerschnitte) als Funktion des Strahlimpulses und als Funktion der Gesamtenergie im Schwerpunktsystem.

85 4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien 77 ons zusammen: πn = I, I 3 π I, I 3 N Die beiden einfachen Fälle π + p = 1, +1 π 1/2, +1/2 N = 1 3/2, +3/2 π n = 1, 1 π 1/2, 1/2 N = 1 3/2, 3/2 führen für das π-n-system auf reine Isospin-3/2-Zustände. Durch π + p- und π n-stöße wird also ein Isospin-3/2-Zustand gebildet, der dann wieder zu einem eindeutigen π + p bzw. π n- Endzustand führt. Die anderen π-n-zustände enthalten Anteile von Gesamtisospin 1/2 und 3/2. σ(π + p π + p) : σ(π p π 0 n) : σ(π p π p) = M3/2 2 : 2 9 M3/2 M 1/2 2 : 1 M3/2 + 2M 1/2 2 = 9 { 9 : 2 : 1 wenn I = 3/2 dominiert 0 : 1 : 2 wenn I = 1/2 dominiert Die Gültigkeit dieser Beziehungen läßt sich in Resonanzbereichen kontrollieren. Resonanzen im π-n-system mit Isospin I = 3/2 werden mit dem Buchstaben bezeichnet. Die erste Resonanz ist das (1232) mit einer Masse von etwa 1232 MeV/c 2, Spin 3/2 und Isospin 3/2. Man erkennt in der Abbildung 4.4 das berechnete Verhältnis von 9 : 1 zwischen σ(π + p π + p) und σ(π p π p) im Bereich dieser Resonanz. Resonanzen im π-n-system mit Isospin I = 1/2 werden mit dem Buchstaben N bezeichnet. Die Resonanz N(1520) (Masse bei 1520 MeV/c 2, Isospin 1/2 und Spin 3/2) ist im Wirkungsquerschnitt σ(π p π p) deutlich sichtbar; wie erwartet, sieht man im Wirkungsquerschnitt σ(π + p π + p) kein Maximum bei dieser Masse. Quark Baryonzahl B Spin J Isospin I I 3 Seltsamkeit S el. Ladung Q [e] u +1/3 1/2 1/2 +1/2 0 +2/3 d +1/3 1/2 1/2 1/2 0 1/3 d +1/3 1/ /3 u 1/3 1/2 1/2 1/2 0 2/3 d 1/3 1/2 1/2 +1/2 0 +1/3 s 1/3 1/ /3 Tabelle 4.4: Isospin und Quarks

86 78 Erhaltungssätze und Symmetrien 4.4 Diskrete Symmetrien Betrachtet werden die folgenden Operatoren: Raumspiegelung P : r r = r Ladungskonjugation Ĉ: alle ladungsartigen Quantenzahlen (wie elektrische Ladung, magnetisches Moment, B, L, Seltsamkeit, Charm,... ) werden umgekehrt; der Operator verwandelt Teilchen in Antiteilchen Invarianz des Systems unter diesen Operationen bedeutet für einen Eigenzustand von P oder Ĉ, daß Übergänge nur zu Eigenzuständen mit dem gleichen Eigenwert erfolgen können. Eigenwerte von P oder Ĉ sind multiplikative Quantenzahlen. Weiterhin wird noch der Operator Zeitumkehr T : t t = t betrachtet. Auch Kombinationen der Operatoren wie Ĉ P und Ĉ P T werden betrachtet. Nach dem CPT-Theorem sind alle Wechselwirkungen invariant unter dem Produkt CP T. Es gibt keine experimentellen Hinweise, die diesem Theorem widersprechen. Ursprünglich wurde allgemein angenommen, daß die Gesetze der Physik generell invariant unter den einzelnen Operationen P, Ĉ und T sind. Experimentell wurde jedoch 1956 gezeigt, daß Raumspiegelungssymmetrie in der schwachen Wechselwirkung maximal verletzt ist. Weiterhin wurde 1964 experimentell gezeigt, daß die schwache Wechselwirkung unter der Produkt- Operation ĈP nur angenähert invariant ist; hier ist die Verletzung von der Größenordnung Parität Die Paritätstransformation P besteht in der räumlichen Inversion der Koordinaten: r = (x, y, z) r = (x, y, z ) = r = ( x, y, z). Diese Operation ist in Abb. 4.5 illustriert und wird mit der Spiegelung an einer Ebene verglichen. Ein System heißt invariant gegenüber der Paritätstransformation, wenn der Hamilton-Operator unter der Operation ungeändert bleibt: ] Ĥ( r 1, r 2,...) = Ĥ( r 1, r 2,...) = Ĥ( r 1, r 2,...) [Ĥ, P = 0 Wenn dies gilt, sind die Paritäten von Anfangs- und Endzustand einer Reaktion gleich, und die Parität ist für gebundene Zustände eine gute Quantenzahl. Zustände von Atomen und Kernen sind mit großer Präzision Eigenzustände der Parität, wie die experimentelle Suche nach paritätsverletzenden Übergängen gezeigt hat. Dies zeigt, daß in starken und elektromagnetischen Wechselwirkungen Paritätserhaltung gilt. Dagegen ist die Paritätserhaltung in der schwachen Wechselwirkung verletzt; dies wird im Kapitel 4.6 diskutiert. Im folgenden wird die schwache Wechselwirkung nicht betrachtet und es wird untersucht, was aus der Paritätserhaltung in starken und elektromagnetischen Wechselwirkungen folgt. Der Paritätsoperator wird zunächst auf einen Ein-Teilchen-Zustand angewendet: P ψ( r, t) = P a ψ( r, t) (4.39)

87 4.5 Parität 79 Abbildung 4.5: a) Spiegelung an einer Ebene; b) Raumspiegelung (Paritätstransformation).

88 80 Erhaltungssätze und Symmetrien wobei der Index a das Teilchen kennzeichnet. Da die zweifache Anwendung des Paritätsoperators auf den ursprünglichen Zustand führt, gilt Pa 2 = 1 und P a = +1 oder 1. Für eine Impulseigenfunktion ψ p ( r, t) = exp [i ( p r Et)] ist P ψ p ( r, t) = P a ψ p ( r, t) = P a ψ p ( r, t) Ein Teilchen in Ruhe, d.h. p = 0, ist also ein Eigenzustand zum Paritätsoperator mit dem Eigenwert P a. Der Eigenwert P a wird Eigenparität, kurz Parität, des Teilchens genannt. Experimentell kann die Eigenparität von Teilchen, die in Reaktionen erzeugt oder vernichtet werden, bestimmt werden. Dagegen lassen sich aus dem Experiment keine Aussagen über die Eigenparität von Teilchen machen, die sowohl im Anfangs- als auch im Endzustand vorhanden sind. Die Verallgemeinerung der Gleichung (4.39) ist P ψ( r 1, r 2,... t) = P 1 P 2 ψ( r 1, r 2,... t) mit einem eigenen Faktor für jedes Teilchen. Parität ist eine multiplikative Quantenzahl Parität von Drehimpulszuständen Teilchen in definierten Drehimpulszuständen sind ebenfalls Eigenzustände der Parität. Die Wellenfunktion hat die Form ψ nlm ( r) = R(r)Yl m (ϑ, ϕ) mit den Polarkoordinaten r, ϑ und ϕ. In Polarkoordinaten bedeutet die Paritätstransformation r r = r, ϑ ϑ = π ϑ, ϕ ϕ = π + ϕ Für diese Transformation haben die Kugelfunktionen Yl m (ϑ, ϕ) die Eigenschaft Y m l (ϑ, ϕ) Y m l (π ϑ, π + ϕ) = ( 1) l Y m l (ϑ, ϕ) und es folgt P ψ nlm ( r) = P a ψ nlm ( r) = P a ( 1) l ψ nlm ( r) d.h. der Drehimpulszustand mit der Bahndrehimpulsquantenzahl l führt auf einen Faktor ( 1) l Parität von Fermionen und Antifermionen Bisher ist bei der Diskussion der Raumspiegelung die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung benutzt worden. Zustände z.b. mit Elektronen und Positronen werden dabei durch getrennte Wellenfunktionen beschrieben. In der relativistischen Beschreibung mit der Dirac-Gleichung beschreibt eine einzige vierkomponentige Wellenfunktion sowohl Elektronen als auch Positronen, und dadurch gibt es eine Beziehung zwischen den Eigenparitäten des Elektrons und Positrons. Die Analyse zeigt, daß die Dirac-Gleichung nur verträglich ist mit der Paritätserhaltung für P e + P e = 1 (4.40) d.h. mit entgegengesetzten Eigenparitäten von Elektron und Positron. Das gleiche Argument gilt für alle Fermion- und Antifermion-Eigenparitäten: P f P f = 1 mit der Bezeichnung f für das Antiteilchen des Fermions f.

89 4.5 Parität 81 Diese theoretische Vorhersage läßt sich experimentell überprüfen durch die Untersuchung der Reaktion e + + e γγ Im Parapositronium befinden sich ein Elektron und ein Positron in einem gebundenen Zustand mit der Bahndrehimpulsquantenzahl l = 0 (s-zustand). Die Parität des Anfangszustands ist daher P i = P e +P e ( 1) 0 = P e +P e. Durch eine Messung der Parität des Zwei-Photonensystems kann das Produkt P e + P e bestimmt werden. Indirekt ist diese Messung möglich durch Untersuchung der Polarisation der emittierten Photonen. Das Experiment bestätigt die theoretische Erwartung (4.40). Da Elektronen und Positronen stets in Paaren erzeugt oder vernichtet werden, ist die Bestimmung der Paritäten von Elektron bzw. Positron alleine nicht möglich. Das gleiche gilt für die anderen geladenen Leptonen (µ und τ). Nach Konvention ordnet man den Teilchen e, µ und τ die Eigenparität +1 und den Antiteilchen e +, µ + und τ + die Eigenparität 1 zu. Die gleiche Konvention wird für Quarks und Antiquarks benutzt. Auch für Protonen, Neutronen etc. wird die Eigenparität als +1 festgelegt, sodaß die Eigenparität der entsprechenden Antiteilchen 1 ist Das elektromagnetische Feld und Photonen Die Eigenparität des Photons kann aus den elektromagnetischen Feldgleichungen theoretisch hergeleitet werden. Diese Herleitung ergibt als Eigenparität des Photons P γ = 1. Diese Zuordnung ist im Einklang mit den beobachteten atomaren Übergängen durch Photonemission: es tritt immer eine Paritätsänderung an den Kernen auf Die Eigenparität des π Die Eigenparität des π wurde experimentell in der Reaktion π + d n + n gemessen. Negative Pionen werden in flüssigem Deuterium abgebremst und von einem Deuteriumatom eingefangen. Sie bilden ein pionisches Atom, in dem das Elektron durch das π ersetzt wird. Das π geht unter γ-emission über in einen s-zustand (l = 0, mit Wellenfunktion ψ π (0) 0), von dem aus es vom Deuteron absorbiert wird. Der Gesamtdrehimpuls des Anfangszustands ist 1 (Spin des Deuterons ist 1, Spin des π und Bahndrehimpuls sind Null). Der beobachtete Endzustand wird aus zwei Neutronen gebildet; dies ist ein System aus zwei identischen Fermionen, dessen Wellenfunktion antisymmetrisch gegenüber der Vertauschung der beiden Neutronen sein muß (Pauli-Prinzip). Diese Forderung legt den Bahndrehimpuls l zwischen den beiden Neutronen fest, wie die Tabelle zeigt, in der die möglichen Werte des Bahndrehimpulses l, der Gesamtspin S des nn-systems und der Symmetriecharakter der Wellenfunktion bei einem Gesamtdrehimpuls von 1 angegeben ist (s = symmetrisch, a = antisymmetrisch): Bahndrehimpuls Spin S des Symmetrie für Gesamtsymmetrie l nn-systems l -Anteil S -Anteil 0 1 s s s 1 0 a a s 1 1 a s a 2 1 s s s

90 82 Erhaltungssätze und Symmetrien Größe Raumspiegelung Skalar P (s) = +s Pseudoskalar P (p) = p Vektor (polarer Vektor) P ( v) = v Pseudovektor (axialer Vektor) P ( a) = + a Tabelle 4.5: Verhalten von Skalaren und Vektoren unter der Raumspiegelung P. In diesem Fall hat Vertauschen der Neutronen die gleiche Wirkung wie die Paritätsoperation; die räumliche Wellenfunktion ist symmetrisch für einen geraden Wert von l und antisymmetrisch für l = 1. Nur die Kombination S = l = 1 verhält sich antisymmetrisch, also liegt die Parität des Endzustandes mit ( 1) l = 1 eindeutig fest. Wegen Paritätserhaltung hat der Anfangszustand ebenfalls Parität 1, also ist P π ( 1) l P d = 1 Daraus folgt die negative Eigenparität des π mit P π = 1, denn für die Eigenparität des Deuterons gilt P d = PN 2 ( 1)l d = 1 beim Bahndrehimpuls der Nukleonen im Deuteron von l d = 0 oder = 2. Die Eigenparität des π 0 wurde unabhängig durch Messung der Spinkorrelation der beiden Zerfalls-Photonen bestimmt, sie ist ebenfalls 1. Die Parität aller Teilchen eines Isospin Multipletts ist gleich Quarkmodell Mesonen im Quarkmodell. Mesonen sind im Quarkmodell gebundene Zustände aus einem Quark q und einem Antiquark q. Bei einem relativen Bahndrehimpuls von l ist demnach die Parität des q q-zustandes gegeben durch P = ( 1) l P q P q Die Grundzustände haben relativen Bahndrehimpuls von l = 0. Es ergibt sich eine negative Eigenparität sowohl im Spin-Singlettzustand ( ) als auch im Spin-Triplettzustand ( ). Man nennt die Mesonen mit J P = 0 Pseudoskalare (Beispiel π, und die J P = 1 Vektormesonen (Beispiel ρ). Relative Bahndrehimpuls Spin-Parität Spinorientierung Singulett l = 0 J P = 0 pseudoskalare Mesonen Triplett l = 0 J P = 1 Vektormesonen 4.6 Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung Im Jahre 1956 kamen die beiden Theoretiker Lee und Yang zu dem Schluß, daß die schwache Wechselwirkung möglicherweise nicht invariant unter der Raumspiegelung P ist. Ausgelöst wurde diese Vermutung durch das sogen. τ θ-paradoxon: man beobachtete Zerfälle von zunächst

91 4.6 Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung 83 unbekannten Teilchen in zwei und in drei Pionen, bei denen der Endzustand offenbar unterschiedliche Parität hatte. Deshalb nahm man an, daß es sich um zwei Teilchen handelte: eins nannte man θ eins τ. Bald stellte man fest, daß sie gleiche Masse, Spin und Lebensdauer haben, es sich also um ein Teilchen handelte 2. Lee und Yang stellten fest, daß Paritätserhaltung in der starken und elektromagnetischen Wechselwirkung gut experimentell überprüft war, nicht jedoch in der schwachen Wechselwirkung. Das Transformationsverhalten verschiedener Größen unter der Raumspiegelung P ist in der Tabelle 4.5 angegeben. Polare Vektoren wie der Ortsvektor r oder der Impuls p ändern unter Raumspiegelung ihr Vorzeichen; dagegen bleibt ein axialer Vektor wie der Drehimpuls L = r p unter Raumspiegelung unverändert. Man definiert eine Größe als skalares Produkt eines polaren und eines axialen Vektors σ K p e, die die Emissionsrichtung des Elektrons mit Impuls p e relativ zum Kernspin σ K beschreibt. Unter der Paritätstransformation P ändert diese skalare Größe ihr Vorzeichen, man nennt diese Größe pseudoskalar. Wenn Invarianz unter P gegeben ist, so muß der Erwartungswert dieser Größe Null sein. Eine Messung muß also im Mittel Null ergeben; jeder von Null verschiedene Wert bedeutet Paritätsverletzung. Das Wu-Experiment. Historisch das erste Experiment, in dem Paritätsverletzung nachgewiesen wurde, war das Wu Experiment. Zur Untersuchung möglicher Paritätsverletzung wurde durch Wu et al. ein Experiment zum β-zerfall von 60 Co unternommen. 60 Co (Spin J = 5) zerfällt in einem reinen Gamow-Teller-Übergang in 60 Ni (Spin J = 4), wobei der totale Drehimpuls der Leptonen des Endzustands J = 1 ist. Aus Drehimpulserhaltung folgt, daß auch der Spin des Elektrons in die Richtung des Drehimpulses J zeigen muß. Durch Kühlung auf 0.01 K in einem Solenoiden wurde die 60 Co-Kerne ausgerichtet, und diese Ausrichtung konnte durch die Winkelverteilung der γ-strahlung von 60 Ni überprüft werden. Das Prinzip des Wu-Experimentes ist in Abb. 4.6 skizziert. Gemessen wurden die relativen Elektron-Intensitäten beim β-zerfall des 60 Co gegen die den Spin ausrichtende Feldrichtung. Die Ergebnisse waren konsistent mit einer Verteilung der Form ( ) σ p I(ϑ) = 1 + α = 1 + α v E c cos ϑ mit α = 1 ( σ ist der Einheitsvektor in Drehimpulsrichtung, p und E sind Impuls und Energie des Elektrons, und ϑ ist der Emissionswinkel des Elektrons relativ zur Drehimpulsrichtung). Die Abhängigkeit von der Elektronengeschwindigkeit v wurde im Bereich 0.4 < v/c < 0.8 überprüft. Die Messung einer von Null verschiedenen pseudoskalaren Meßgröße bedeutet, daß die Paritätserhaltung in der Wechselwirkung verletzt ist. Die longitudinale Polarisation oder Helizität ist definiert durch H = I + I α v I + + I c, wobei I + und I die Intensitäten für p parallel bzw. antiparallel zu σ sind. Das experimentelle Ergebnis aus β-zerfällen ist { +1 für e + α 1 für e, (4.41) 2 Heute nennen wir dieses Teilchen K Meson (Spin 0).

92 84 Erhaltungssätze und Symmetrien Abbildung 4.6: Prinzip des Wu Experiments, mit dem 1956 die Verletzung der Parität nachgewiesen wurde. d.h. beim β-zerfall werden die Elektronen mit Helizität 1, und Positronen mit Helizität +1 emittiert. Das Ergebnis der Gleichung (4.41) bedeutet für ein masseloses Teilchen vollständige Polarisation, H = +1 oder 1. Diese vollständige Polarisation wird daher für Neutrinos bzw. Antineutrinos erwartet. Die Helizität der Neutrinos wurde in einem klassischen Experiment von Goldhaber 1958 experimentell bestimmt, das Experiment ist z.b. im Buch von Perkins oder Martin-Shaw erklärt. Das Ergebnis dieses Experiments und auch späterer zur Helizität von Anti-neutrinos bestätigten die obigen Erwartungen. Das Neutrino Am Neutrino kann man besonders einfach die Paritätsverletzung sehen: In einem Experiment von Goldhaber 1958 wurde experimentell nachgewiesen, daß beim Neutrino der Spin immer entgegengesetzt zur Flugrichtung steht. D.h. präziser: wir nehmen an, daß das Neutrino exakt masselos ist, dann fliegt es mit Lichtgeschwindigkeit. Nehmen wir die Flugrichtung als Quantisierungsachse +z, dann ist p=(0,0,p). Die z Komponente des Spins ist immer Ŝz χ ν = 1/2, d.h. die Helizität H = m s /s = 1. Wir haben eine Richtung vorgegeben: den Impuls des Neutrinos (Polarvektor) und eine Axialvektor: S, den Spin des Neutrinos. Wenden wir den Paritätsoperator auf das Neutrino an, so kehrt sich p um, S aber nicht: jetzt wäre S z =+1/2. Das wird für das Neutrino nie beobachtet! Es gilt allgemein für Teilchen in schwacher Wechselwirkung: Teilchen nehmen polarisiert an schwacher Wechselwirkung teil: bei Teilchen ist der Spin vorwiegend entgegengesetzt zur Flugrichtung ausgerichtet, bei Antiteilchen in Flugrichtung. Vollständige Polarisation tritt auf, wenn die Teilchen masselos sind (und damit Lichtgeschwindigkeit haben).

93 4.7 Ladungskonjugation 85 Die Neutrinos sind nur schwer nachzuweisen, deshalb muß man ihre Helizität indirekt messen: das kann man z.b. über den Pionzerfall machen. Das geladene π ± zerfällt schwach, z.b.: π + µ + + ν µ. Die Lebensdauer ist lang, τ = s. Wir kennen den Spin des Pions: J P = 0 und wir wissen, daß das Neutrino Helizität 1 hat. Da Drehimpulserhaltung gilt, wissen wir auch, daß das Myon seinen Spin entgegengesetzt zur Flugrichtung hat. Man muß also die Polarisation der Myonen messen. Das Ergebnis solcher Experimente zeigte genau wie das Goldhaber Experiment, daß die Ausrichtung des Neutrino Spins entgegengesetzt zur Flugrichtung ist, für Antineutrinos dagegen in Flugrichtung. Diese Tatsache ist eine entscheidende Eigenschaft der schwachen Wechselwirkung, die dann in die Theorie eingebaut werden muß. 4.7 Ladungskonjugation Nach der Quantenfeldtheorie gibt es zu jedem Teilchen ein Antiteilchen. Das Antiteilchen hat bei allen ladungsartigen Quantenzahlen das umgekehrte Vorzeichen; zu den ladungsartigen Quantenzahlen gehören: elektrische Ladung, Baryonen- und Leptonenzahl, Seltsamkeit, Charm,.... Teilchen und Antiteilchen haben gleiche Masse, Lebensdauer und Spin. Der Operator Ĉ der Ladungskonjugation ersetzt alle Teilchen durch ihre Antiteilchen im gleichen Zustand, sodaß Ort, Impuls etc. ungeändert bleiben. Da die elektrische Ladung und das magnetische Moment jedes Teilchens im Vorzeichen umgedreht werden, bleiben die elektromagnetischen Wechselwirkungen unter dieser Operation unverändert; die Ladungskonjugation ist auch eine Symmetrie der starken Wechselwirkung. In der schwachen Wechselwirkung ist die Symmetrie der Ladungskonjugation verletzt. Im folgenden wird nur die starke und elektromagnetische Wechselwirkung betrachtet, bei der der Operator Ĉ der Ladungskonjugation mit dem Hamiltonoperator vertauscht: [Ĉ, Ĥ] = C-Parität Der Operator der Ladungskonjugation transformiert ein Teilchen b, dessen Zustand durch b bezeichnet wird, in sein Antiteilchen b: Ĉ b = b. (4.42) Teilchen und Antiteilchen sind gleich, wenn alle ladungsartigen Quantenzahlen gleich Null sind; Beispiele sind γ und π 0. Solche Teilchen α sind Eigenzustände zum Operator der Ladungskonjugation und man kann Ĉ α = C α α. (4.43) schreiben, wobei C α ein Phasenfaktor ist. Da eine zweite Transformation das Antiteilchen wieder zurück in das Teilchen transformiert, ist C 2 α = 1 und C α = ±1. Man könnte einen entsprechenden Phasenfaktor auch in Gleichung (4.42) einführen; dieser Faktor hat jedoch keine physikalischen Konsequenzen, weil die relative Phase von Teilchen und Antiteilchen nicht gemessen werden kann, und daher wird der Faktor nicht eingeführt. Die Teilchen γ, π 0... sind Eigenzustände von Ĉ mit Eigenwerten ±1, die durch die C-Erhaltung gemessen werden können. Teilchen-Antiteilchen-Paare sind Eigenzustände, wobei der Operator

94 86 Erhaltungssätze und Symmetrien Ĉ Teilchen b und Antiteilchen b vertauscht. Wenn der Zustand unter Vertauschung b b symmetrisch oder antisymmetrisch ist, dann ist Ĉ b b = b b = ± b b (4.44) und daher ist b b ein Eigenzustand unter Ĉ. Beispiel ist ein π+ π -Paar in einem Zustand mit Bahndrehimpuls L, für das Ĉ π + π ; L = ( 1) L π + π ; L (4.45) gilt, denn die Teilchen-Vertauschung vertauscht den relativen Ortsvektor in der räumliche Wellenfunktion. Bei Systemen aus Fermion-Antifermion gibt es insgesamt drei Faktoren mit dem Ergebnis Ĉ f f; S, L, J = ( 1) L+S f f; S, L, J. (4.46) Neben dem Faktor ( 1) L für den Bahndrehimpuls L gibt es den Faktor ( 1) S+1 von der Vertauschung der Teilchen in der Spinwellenfunktion; ein Faktor ( 1) kommt von der Fermion- Antifermion-Vertauschung. Das neutrale Pion, π 0, zum Beispiel ist ein uū- oder d d-zustand mit 1 S 0, d.h. mit L + S = 0 und daher ist die C-Parität im Quarkmodell C π 0 = Experimentelle Tests der C-Invarianz Der Wert der C-Parität des π 0 von C π 0 = +1 nach dem Quarkmodell wird durch seinen hauptsächlichen Zerfall π 0 γγ bestätigt: Ĉ π 0 = C π 0 π 0 Ĉ γγ = C γ C γ γγ = + γγ. Die C-Parität des Photons kann wie seine Parität aus dem Verhalten des klassischen elektromagnetischen Feldes hergeleitet werden. Da sich das Vorzeichen der elektrischen Ladung ändert, müssen auch das elektrische Feld und das Potential ihr Vorzeichen ändern und es gilt unter Ladungskonjugation A( r, t) C γ A( r, t) E( r, t) E( r, t) Φ( r, t) Φ( r, t) Einsetzen in die Gleichung E = Φ A t ergibt die C-Parität C γ = 1 für das Photon. C-Erhaltung kann durch die Untersuchung des möglichen Zerfalls des π 0 in drei Photonen geprüft werden. Dieser Zerfall wurde bisher experimentell nicht beobachtet und die untere Grenze R Γ(π0 γγγ) Γ(π 0 γγ) < wurde bestimmt. man kann daraus schließen, daß C-Erhaltung in starken und elektromagnetischen Wechselwirkungen gilt und daß die C-Parität des Photons negativ ist. Eine weitere Bestätigung kommt aus dem Zerfall von Positronium...

95 4.7 Ladungskonjugation Verletzung der C-Invarianz in schwacher Wechselwirkung Die C-Operation verwandelt ein ν in ein ν. Dabei wird weder der Impuls noch der Spin beeinflußt. D.h. wir bekommen ein Teilchen, was nicht existiert: ein ν mit Helizität 1. Hintereinanderausführen von P und Ĉ ergibt wieder einen existierenden Zustand, die Paritätsoperation verändert die relative Ausrichtung von Impuls und Spin, die Ladungskonjugation erzeugt ein Antiteilchen. Wir bekommen also ein Antineutrino mit Helizität +1, welches existiert G-Parität (Anmerkung: dieser Abschnitt wird in der Vorlesung ausgelassen!) Das Konzept der G-Parität erlaubt Auswahlregeln im Zerfall von Meson-Resonanzen; es läßt sich zurückführen auf Ladungskonjugations- und Isospin-Invarianz. Der Operator Ĉ der Ladungskonjugation kann nur für neutrale Systeme Eigenwerte haben. Durch Kombination mit Isospin-Rotationen kann ein Operator Ĝ = Ĉ R = Ĉ exp (iπi 2) definiert werden, der auch für einige geladenen Systeme die Formulierung von Auswahlregeln erlaubt. Die Operation Ĝ ist eine Rotation um 180 um die zweite Achse im Isospinraum, gefolgt von der Ladungskonjugation. Ein Zustand I I 3 = 0 wird betrachtet. Dieser Zustand verhält sich unter Isospinrotationen wie die Kugelfunktion Yl m (ϑ, ϕ) unter Rotationen in Ortsraum. Die R-Operation entspricht der Transformation ϑ π ϑ, ϕ π ϕ und dafür gilt Yl 0 ( 1) l Yl 0 und daher ist auch der Zustand I I 3 = 0 Eigenzustand zu R mit dem Eigenwert ( 1) I. Das neutrale Pion ist Eigenzustand von Ĉ mit Eigenwert +1, denn es gibt den Zerfallsmode π 0 γγ. Daher ist das π 0 Eigenzustand zum Operator Ĝ mit Eigenwert 1: Ĝ π 0 = π 0. Bei der Anwendung des Operators Ĝ auf ein geladenes Pion kehrt zunächst der Operator R das Vorzeichen der Komponente I 3 um, zum Beispiel π + π, und der Operator Ĉ ändert die Ladung erneut. Daher kann man schreiben Ĝ π + = ± π + Ĝ π = ± π Die geladenen Pionen sind also Eigenzustände zum Operator Ĝ, allerdings mit einer willkürlichen Phase bei der Operation Ĉ, zu der sie nicht Eigenzustände sind. Es ist üblich, für alle Elemente eines Isospin-Multipletts die gleiche G-Parität festzulegen, und daher kann man allgemein schreiben: Ĝ π = π. Die G-Parität ist eine multiplikative Quantenzahl und daher gilt für einen Zustand aus n Pionen Ĝ ψ(nπ) = ( 1) n ψ(nπ). Folgerung ist, daß ein Meson mit positiver G-Parität nur in eine gerade Zahl von Pionen zerfallen kann und ein Meson mit negativer G-Parität nur in eine ungerade Zahl von Pionen zerfallen kann.

96 88 Erhaltungssätze und Symmetrien Die η- und η -Mesonen haben Isospin I = 0 und eine C-Parität von +1, denn es gibt einen Zerfall in zwei Photonen. Der Zerfall über die starke Wechselwirkung in zwei Pionen ist wegen der Paritätserhaltung verboten. Da die beiden Mesonen positive G-Parität haben, ist ein Zerfall in drei Pionen durch starke Wechselwirkung ebenfalls verboten. Es bleibt ein die G-Parität verletzender elektromagnetischer Zerfall in drei Pionen. Die Zerfallsbreite der η- und η -Mesonen ist daher mit 1.18 kev bzw. 0.2 MeV sehr klein. 4.8 CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen Als klar war, daß die schwache Wechselwirkung die Parität und die C-Parität einzeln verletzt, hatte man angenommen, daß CP (Kombination von Ladungskonjugation und Parität) immer noch eine gute Symmetrie sei. Man hat also in der schwachen Wechselwirkung Eigenzustände zu CP zu betrachten CP -Eigenzustände Die neutralen K-Mesonen gehören zu den beiden in der Tabelle 4.6 angegebenen Isospin- Dubletts. Meson Quark-System Seltsamkeit Masse in MeV K + us S = K 0 ds S = K 0 sd S = K su S = Tabelle 4.6: Die beiden Dubletts der K-Mesonen. Die beiden neutralen Mesonen K 0 und K 0 haben entgegengesetzte Quarkzusammensetzung und unterschiedliche Seltsamkeit. Sie sind bei ihrer Erzeugung in Reaktionen der starken Wechselwirkung durch die Erhaltung der Seltsamkeit unterschieden (Eigenzustände der Seltsamkeit). Erzeugungsreaktionen sind unter anderem folgende: π + p K 0 + Λ π + p K 0 + K + p π + p K 0 + Λ + n + n π + + p K 0 + K + + p Die Schwellenenergien dieser Reaktionen sind unterschiedlich. Durch entsprechende Wahl der Strahlenergie kann ein reiner K 0 -Strahl erzeugt werden. Das ist auch möglich am pp Speicherring LEAR: p + p K + π + + K 0 p + p K + + π + K 0 K 0 und K 0 sind Teilchen und Antiteilchen. Sowohl das K 0 als auch das K 0 sind Eigenzustände zum Paritätsoperator, der Eigenwert ist 1 (pseudoskalare Mesonen). Sie sind nicht Eigen-

97 4.8 CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen 89 zustände zum Ladungskonjugationsoperator C. Es gelten folgende Beziehungen 3 : P K 0 = K 0 P K 0 = K 0 Ĉ K 0 = K 0 Ĉ K 0 = K 0 ĈP K 0 = + K 0 ĈP K 0 = + K 0 K 0 und K 0 unterscheiden sich in der Seltsamkeit um S = 2. Sie können beide durch die schwache Wechselwirkung in zwei oder drei Pionen zerfallen (erinnere: θ τ Rätsel!). Dabei gilt S = 1. Dadurch daß sie beim Zerfall den gleichen Endzustand haben, können die beiden Zustände sich mischen durch virtuelle Pion-Zwischenzustände: { } 2π K 0 K 0 3π u s d K 0 W W K 0 d u s W s d K 0 u u K 0 d s W Abbildung 4.7: Quarkdiagramme zum Übergang K 0 K 0. Es gibt weitere Diagramme, bei denen das u-quark durch c- oder t-quarks ersetzt ist. Diese Übergänge mit S = 2 sind von zweiter Ordnung in der schwachen Wechselwirkung. Im Quarkbild wird diese Umwandlung durch die Diagramme 4.7 beschrieben; in weiteren Diagrammen sind die u-quarks durch c- oder t-quarks ersetzt. Ein reiner K 0 -Zustand zur Zeit t = 0 wird in eine Überlagerung von K 0 und K 0 übergehen. Beim Zerfall in zum Beispiel zwei oder drei π-mesonen durch die schwache Wechselwirkung geht der Zerfall von einem CP -Eigenzustand aus. Die Linearkombinationen von K 0 und K 0, die Eigenzustände zu CP sind, werden als K 0 1 und K 0 2 bezeichnet: K1 0 = 1 ) ( K 0 + K 0 2 K2 0 = 1 ) ( K 0 K 0 2 CP = +1 CP = 1 Die beiden Endzustände aus zwei π-mesonen und drei π-mesonen haben den CP -Eigenwert +1 bzw. 1: π 0 π 0, π + π Wir hatten weiter oben bereits Parität und C-Parität von Zwei-Pionen Systemen angeschaut. Hier kommt jeweils + heraus, da sie aus dem Zerfall eines Spin 0 Teilchens kommen. 3 Warnung: Für die Vorzeichen der ladungstransformierten Zustände gibt es verschiedene Konventionen. Das hat aber auf die Argumentation dieses Kapitels keine wichtige Auswirkung.

98 90 Erhaltungssätze und Symmetrien π 0 π 0 π 0 Im drei-pion Zustand muß man den Drehimpuls zweier Pionen L 12 in ihrem Schwerpunktsystem betrachten. L 3 ist dann der Drehimpuls des dritten Pions um den Schwerpunkt der ersten beiden im Gesamtschwerpunktsystem. Da das K Spin 0 hat, muß gelten: L 12 + L 3 = 0 woraus wiederum folgt L 12 = L 3, wobei L i jeweils für die Drehimpulsquantenzahl steht. Deshalb ist die Parität des drei Pion Zustands: Die C Parität ist, falls die Bahndrehimpulse 0 sind: P = P 3 π ( 1)L 12 ( 1) L 3 = 1 (4.47) C = (C π 0) 3 = +1. Also haben wir CP = 1 wie erwartet. π + π π 0 Die Parität berechnet sich wie bei den drei neutralen Pionen (Gleichung 4.47). Für die C-Parität bekommen wir: C = C π 0 ( 1) L 12 = ( 1) L 12 Daher haben wir: CP = ( 1) L Der Drehimpuls des zwei-pionen Systems kann gemessen werden durch Messen der Winkelverteilung. Es kommt heraus L 12 = 0 und damit CP = 1. Der Q-Wert der beiden Zerfälle ist unterschiedlich, daher sind die Phasenraumfaktoren und damit die Zerfallsraten sehr unterschiedlich, wie in der folgenden Tabelle angegeben. Zustand ) Zerfall Lebensdauer K1 0 = 1 2 ( K 0 + K 0 2π CP = +1 τ 1 = sec ) K2 0 = 1 2 ( K 0 K 0 3π CP = 1 τ 2 = sec Oszillationen der Seltsamkeit Bisher sind die Amplituden der K1 0- und K0 2-Zustände ohne ihre Zeitabhängigkeit angegeben worden. Die zeitliche Entwicklung wird im Ruhesystem angegeben. Dann gibt es zwei Faktoren, einen Faktor e imt mit rein imaginärem Exponenten (Energie gleich Ruhemasse m) und einen Faktor e Γt/2, der die Zerfallswahrscheinlichkeit beschreibt. Die Massen und Zerfallskonstanten der beiden Zustände K1-0 und K2 0 werden mit m 1 und Γ 1 bzw. mit m 1 und Γ 1 bezeichnet. Die zeitliche Entwicklung wird dann durch die Amplituden beschrieben. K 0 1(t) = K 0 1(0) e (im 1+Γ 1 /2)t K 0 2 (t) = K0 2 (0) e (im 2+Γ 2 /2)t Zur Zeit t = 0 wird eine reiner K 0 -Zustand angenommen, der sich experimentell durch Wahl einer bestimmten Energie realisieren läßt. Wegen der Beziehung K 0 t=0 = 1 2 ( K 0 1 (0) + K 0 2 (0) )

99 4.8 CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen 91 1 m τ 1 = 0.5 Intensity K 0 K t/τ 1 Abbildung 4.8: Oszillationen der K 0 - und K 0 -Intensitäten für einen ursprünglich reinen K 0 -Strahl. Ein Wert von m τ 1 = 0.5 wurde angenommen. sind die Amplituden der K1 0- und K0 2 -Zustände zur Zeit t = 0 gleich: 1/ 2 K1 0(0) = 1/ 2 K2 0(0) = K 0. Aus dem reinen K 0 -Zustand wird sich im Laufe der Zeit eine Mischung von K 0 - und K 0 - Zuständen entwickeln auf Grund der Beziehungen K 0 (t) = 1 ( K (t) + K2(t) ) 0 K 0 (t) = 1 ( K (t) + K2(t) ) 0 zwischen den Amplituden. Die Intensitäten ergeben sich aus dem Betragsquadrat der Amplituden I(K 0 ) = K 0 (t) K 0 (t) 2 = I 0 ( e Γ 1 t + e Γ2t + 2e (Γ 1+Γ 2 )t/2 cos ((m 2 m 1 ) t) ) 4 I(K 0 ) = K 0 (t) K 0 (t) 2 = I 0 ( e Γ 1 t + e Γ2t 2e (Γ 1+Γ 2 )t/2 cos ((m 2 m 1 ) t) ) 4 mit I(0) = K 0 K 0 2 t=0. Diese Formeln enthalten einen Oszillationsterm mit der Frequenz m = m 2 m 1. Die Abbildung zeigt für den Zahlenwert m = 0.5Γ 1 den zeitlichen Verlauf der Intensitäten von K 0 und K 0. Experimentell konnte die Zahl der K 0 -Reaktionen als Funktion des Abstands von der K 0 -Quelle gemessen werden. Der Meßwert von m ist ( ± ) sec 1. Dies entspricht einer Massendifferenz von etwa MeV/c 2. Dieser Massenunterschied kann theoretisch durch Unterschiede in den Beiträgen verschiedener virtueller Zustände zur Selbstenergie in Prozessen zweiter Ordnung in der schwachen Wechselwirkung abgeschätzt werden K 0 -Regeneration Die K 0 1-K 0 2-Mischung führt auf einen Regenerationsprozess. Angenommen man hat zu Beginn einen reinen K 0 -Strahl. Wenn dieser für eine Zeit in der Größenordnung von 100 K 0 1 -

100 92 Erhaltungssätze und Symmetrien Lebensdauern durch Vakuum fliegt, ist praktisch die gesamte K1 0 -Komponente zerfallen (d.h. 50 % der ursprünglichen Intensität) und es bleibt die K2 0 -Komponente. Wenn dieser Reststrahl nun auf Materie trifft, wird es zu Reaktionen auf Grund der starken Wechselwirkung kommen, bei denen die Komponenten mit Seltsamkeit S = +1 und S = 1 entsprechend K 2 = 1 ) ( K 0 K 0 2 wesentlich sind. Nach Durchgang durch Materie mit nuklearen Wechselwirkungen (starke Wechselwirkung) sollte der Reststrahl aus 50 % K 0 und 50 % K 0 bestehen. Die Existenz von K 0 mit S = 1 in großer Entfernung von der Quelle eines reinen K 0 -Strahls mit S = +1 wurde experimentell durch Reaktionen wie K 0 + p Λ + π + bestätigt. Die K 0 - und die K 0 -Komponenten haben im Material unterschiedliche Wechselwirkungen; das K 0 enthält ein s-quark und kann Endzustände mit Hyperonen (zum Beispiel Λ) erzeugen. Nach Verlassen des Materials gibt es eine K 0 -Amplitude f K 0 und eine K 0 -Amplitude f K 0, wobei wegen der unterschiedlichen Wechselwirkungen f > f ist. Der ursprüngliche K2 0 -Strahl wird durch die Wechselwirkungen mit der Materie transformiert in 1 ) (f K 0 f K 0 = f f ( ) f K 0 + f K 0 + f + f 2 2 ( ) f K 0 f K 0 = 1 ( ) f f K1 + 1 ( ) f + f K2 2 2 Eine Komponente des K 1 -Zustands wird also regeneriert; experimentell kann diese Regeneration nachgewiesen werden durch die ππ-zerfälle des K CP -Verletzung Die neutralen K-Mesonen erlauben sehr empfindliche Tests der CP -Erhaltung. Tatsächlich wurde im Zerfall der neutralen K-Mesonen in einem historischen Experiment von Christensen, Cronin und Fitch 1964 eine kleine CP-Verletzung gefunden. Bei ihrer Apparatur handelt sich um ein Zwei-Arm Spektrometer, in dem Zerfallspionen gemessen und identifiziert werden. Das Prinzip des Experiments ist: man erzeugt einen K 0 Strahl, wartet bis alle K1 0 zerfallen sind und mißt die K2 0 Zerfälle. Drei Pion zerfälle dominieren, es wurde aber ein winziger Anteil von Zwei Pion Zerfällen gefunden. Im Experiment fand man z.b. in Drei Pion Zerfällen 45 ± 9 Zwei Pion Zerfälle. Die CP-Verletzung ist also ein winziger Effekt von der Größenordnung 10 3, im Gegensatz zur Paritätsverletzung, die maximal ist (falls das Neutrino masselos ist, hat es immer Helizität 1). Die Erklärung der CP-Verletzung ist bis heute nicht vollständig gelungen. Allerdings wurde gerade im letzten Jahr (2001/2002) ein großer Fortschritt erzielt: man hat zum ersten Mal CP-Verletzung auch in einem anderen System als dem K 0 System gemessen, nämlich in B 0 Zerfällen, s. später. Man kann für das K 0 System ganz allgemein ansetzen: K 0 S = K 0 1 ɛ K 0 2 (4.48) K 0 L = ɛ K0 1 + K0 2 (4.49) KS 0 ist dann das kurzlebige K0, KL 0 das langlebige. ɛ ist eine komplexe Zahl mit kleinem Betrag. Es gibt zwei Möglichkeiten für das Auftreten des Zwei Pionzerfalls von KL 0:

101 4.10 Zeitumkehr 93 Abbildung 4.9: Asymmetrie in der Zerfallsrate für Reaktionen 4.50 (bezeichnet als N ) und 4.51 (bezeichnet als N + ) aufgetragen gegen die Zeit. indirekt : der kleine Anteil ɛ K 0 1 ist dafür verantwortlich; direkt : K 0 2 selbst zerfällt in 2 Pionen. Kürzlich (circa 1999/2000) wurde experimentell geklärt, dass beide Teile vorhanden sind. CP-Verletzung ist wichtig, um zu verstehen, warum das Weltall heutiger Kenntnis nach nahezu ausschließlich aus Materie besteht. Man nimmt an, dass nach dem Urknall Materie und Antimaterie zunächst gleich häufig vorhanden war und die Asymmetrie erst bei der Abkühlung auftrat. Eine Grundvoraussetzung ist eine Unsymmetrie zwischen der Wechselwirkung von Materie und Antimaterie. CP-Verletzung liefert diese; man sieht das leichter an folgender Reaktion: K 0 L π + e ν e (4.50) K 0 L π e + ν e (4.51) Die beiden Reaktionen gehen durch die CP-Operation ineinander über. Man hat einen kleinen Unterschied in der Zerfallsrate gefunden, s. Abb Zeitumkehr Die Prüfung der Invarianz der Gesetze der Teilchenphysik gegenüber der Zeitumkehr T ist schwieriger als bei den Operatoren P und Ĉ. Alle Teilchen sind Eigenzustände zu P und einige Teilchen sind Eigenzustände zu Ĉ. Jedoch ist kein Teilchen Eigenzustand zu T und daher kann T-Erhaltung nicht einfach durch Multiplizieren von Quantenzahlen geprüft werden. Empfindliche Tests von Zeitumkehrinvarianz bestehen in der genauen Messung von Größen, die exakt Null sein sollten. Das klassische Beispiel ist das statische elektrische Dipolmoment des

102 94 Erhaltungssätze und Symmetrien Neutrons. Für ein Elementarteilchen müßte das elektrische Dipolmoment in die Spinrichtung zeigen, weil es keine andere definierte Richtung gibt. Jedoch ist das Dipolmoment ein Vektor und der Spin ein Pseudovektor, und ein nichtverschwindendes elektrisches Dipolmoment würde daher Paritätsverletzung bedeuten. Unter Zeitumkehr ändert der Spin sein Vorzeichen, nicht aber das Dipolmoment, und ein nichtverschwindendes elektrisches Dipolmoment würde daher auch T-Verletzung bedeuten. Die augenblickliche experimentelle Grenze für das elektrische Dipolmoment des Neutrons ist d < e cm Tabelle 4.7 zeigt das Verhalten verschiedener Größen unter den Operationen P und T. Um die Invarianz gegenüber der Zeitumkehr-Transformation zu testen, muß man eine Größe bilden, die bei der Operation T ihr Vorzeichen ändert, bei der Operation P jedoch nicht. Eine solche Größe ist σ ( p e p ν ), (4.52) die unter T ihr Vorzeichen ändert und die beim β-zerfall polarisierter Neutronen gemessen werden kann ( σ = Spin des Neutrons, p e = Impuls des Elektrons, p ν = Impuls des Neutrinos). Die Transformationseigenschaften unter T und P ergeben sich aus Tabelle 4.7. Wenn Invarianz unter T gegeben ist, muß die Messung der Größe in Gleichung 4.52 im Mittel Null ergeben. Die Messung ergab tatsächlich Null im Rahmen der Meßfehler. Bei dieser Messung wurde der Neutrino-Impuls durch Messung des Proton-Impulses und Ausnutzung von Impulserhaltung bestimmt. Transformation r p σ E B σ ( pe p ν ) Ort Impuls Spin Elektr. Feld Magnetfeld Raumspiegelung P r p + σ E + B + Zeitumkehr T + r p σ + E B Tabelle 4.7: Das Verhalten verschiedener Größen unter Raumspiegelung und Zeitumkehr. Prinzip des detaillierten Gleichgewichts. T -Invarianz führt zu einer Beziehung zwischen einer Reaktion und der zeitlich umgekehrten Reaktion. In der klassischen Physik ist diese beziehung vertraut, denn die Newtonschen Bewegungsgleichungen sind von zweiter Ordnung in der Zeit und daher sind sie invariant unter Zeitumkehr t t. In der Quantenmechanik werden durch die Zeitumkehr T die Teilchenimpulse und die z-komponenten der Spins im Vorzeichen umgedreht. Durch zusätzliche Raumspiegelung P können die Vorzeichen der Teilchenimpulse wiederum im Vorzeichen umgedreht werden. Wenn über die Spinprojektionen gemittelt wird, sollte sich Reaktionen a+b c+d und c+d a+b nur durch die Vertauschung von Anfangsund Endzustand unterscheiden, und die Reaktionsraten sollten bei Mittelung über die Spinzustände gleich sein. Diese Prinzip des detaillierten Gleichgewichts genannte Beziehung ist in der starken und der elektromagnetischen Wechselwirkung experimentell bestätigt worden. Spin des geladenen Pions. Der erste Hinweis darauf, daß der Spin des Pions gleich Null ist, kam durch die Anwendung des Prinzips des detaillierten Gleichgewichts auf die Reaktion p + p π + + d und die Umkehrreaktion π + + d p + p bei gleicher Schwerpunktsenergie. Die Messung der Wirkungsquerschnitte beider Reaktionen wurde mit unpolarisierten Teilchen durchgeführt; dies enspricht einer Mittelung über die möglichen Anfangszustände der Spins.

103 4.11 Das CP T -Theorem 95 Über die Endzustände der Spins wurde summiert. Für jeden Spin S f des Endzustands muß daher ein Faktor (2S f +1) berücksichtigt werden. Auch Fluß- und Phasenraumfaktoren müssen berücksichtigt werden. Die differentiellen Wirkungsquerschnitte sind gegeben durch dσ(pp π + d) d cos ϑ = (2S π + 1) (2S d + 1) 2π p 2 π v i v f M if 2 und dσ(π + d pp) d cos ϑ = (2S p + 1) 2 2π p 2 p v i v f M fi 2, wobei ϑ der Streuwinkel, p π und p p die Impulsbeträge des Pions und des Protons sind, und v i und v f die relativen Geschwindigkeiten der pp- bzw. π + d-paare im Schwerpunktsystem sind. Das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts besagt, daß die über Spins gemittelten Streuamplituden gleich sind: M if 2 = M fi 2. Für das Verhältnis der differentiellen Wirkungsquerschnitte ergibt dies dσ(pp π + d)/d cos ϑ dσ(π + d pp)/d cos ϑ = 3 ( pπ p p ) 2 (2S π + 1), wenn für S p und S d die bekannten Spinwerte 1/2 bzw. 1 eingesetzt werden. Das Verhältnis bestimmt den Wert des Pion-Spins. Die Messung der beiden Wirkungsquerschnitte Anfang der 50 Jahre ergab das Ergebnis S π = Das CP T -Theorem Alle Wechselwirkungen sind unter der kombinierten Operation der Ladungkonjugation Ĉ, der Raumspiegelung P und der Zeitumkehr T invariant. Man nennt dies das CP T -Theorem; in der Quantenfeldtheorie läßt sich zeigen, daß das Theorem in jeder relativistischen Quantentheorie gilt, in denen sich Signale nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Eine Folgerung aus dem CPT Theorem ist, daß Teilcheneigenschaften wie Masse, Betrag der Ladung und des magn. Momentes von Teilchen und Antiteilchen exakt gleich sein müssen. In Tabelle 4.8 sind experimentelle Grenzen an solchen Größen aufgeführt. Measured Quantity Limit or value (M K 0 M K 0)/(M K 0 + M K 0) < (M e + M e )/(M e + + M e ) < (M Λ M Λ )/(M Λ + M Λ ) ( 5 ± 5) 10 6 (Q p Q p )/e < ( Qp M p Q p M p ) /( Qp M p + Q p M p ) (8 ± 6) (µ e + µ e )/(µ e + + µ e ) (3 ± 5) (τ µ + τ µ )/(τ µ + + τ µ ) < 10 4 Tabelle 4.8: Experimentelle Grenzen an Differenzen zwischen Teilchen und Antiteilchen.

104 96 Erhaltungssätze und Symmetrien 4.12 Zusammenfassung und Quantenzahlen Tabelle 4.9 gibt einen Überblick über die in den starken, elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkungen gültigen Erhaltungssätze. Erhaltungssatz Wechselwirkung stark e.m. schwach Energie, Impuls, Drehimpuls ja ja ja Ladung Q, Baryonenzahl B ja ja ja Leptonzahl L, L e, L µ, L τ ja ja ja Parität, C-Parität ja ja nein Seltsamkeit, Charm, Bottom, Top ja ja nein Isospin ja nein nein CP ja ja nein T ja ja nein (??) CP T ja ja ja Tabelle 4.9: Tabelle der Erhaltungssätze und Wechselwirkungen Mit den Erhaltungssätzen verbunden sind Quantenzahlen, die den elementaren Teilchen zugeordnet werden können. Den Quarks und den Hadronen, sowie dem Photon und Gluon kann Spin und Parität, bezeichnet mit J P, zugeordnet werden. Teilchen, die Eigenzustände der Ladungskonjugation sind, kann darüberhinaus auch eine C-Parität zugeordnet werden, die zu J P C zusammengefaßt wird. Quarks und Hadronen kann weiterhin ein Isospin I zugeordnet werden; bei einigen Hadronen ist zusätzlich eine G-Parität möglich 4, die mit dem Isospin zu der Angabe von I G zusammengefaßt wird. Weitere Quantenzahlen wie Baryonen- und Leptonenzahl sind in der Tabelle 4.9 aufgeführt. Achtung: Die Tabelle stellt den Stand des Wissens um das Jahr 2002 dar. Modifikation können auftreten, z.b. wenn man bestätigt, daß Neutrinos Masse haben, und damit die L e,µ,τ nicht mehr separat erhalten sind. Die Verletzung wird aber sehr klein sein! 4 In dieser Vorlesung ausgelassen!

105 Kapitel 5 Teilchennachweis und Detektoren Detektoren sind i.a. nur geeignet zum Nachweis von Teilchen mit genügend großer Lebensdauer. Für kurzlebige Teilchen müssen andere Methoden verwandt werden, s. z.b. invariante Masse. Kann man den Spurverlauf eines Teilchens messen und damit z.b. die Krümmung im Magnetfeld, so kann man daraus Impuls und Ladung bestimmen. Falls es gelingt, auch die Teilchenenergie oder auch die Teilchengeschwindigkeit zu bestimmen, so kann man die Masse berechnen. Bei hohen Energien ist letzteres oft nicht möglich. Oft kann man aber indirekt über die Wechselwirkung der Teilchen mit der Detektormaterie oder mit anderer Materie auf ihre Natur schliessen... Wir diskutieren also zunächst die Wechselwirkung von Teilchen mit Materie. Überwiegend geschieht diese Wechselwirkung durch elektromagnetische Wechselwirkung: Ionisation Vielfachstreuung Čerenkovstrahlung Bremsstrahlung, e e + γ Paarbildung, γ e + + e Wichtige Ausnahme: Messung von Hadronen und Jets durch starke Wechselwirkung in hadronischen Kalorimetern. 5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie Wechselwirkung schwerer geladener Teilchen: IONISATION Basis vieler Detektoren ist die IONISATION, die ein geladenes Teilchen beim Durchqueren von Materie (gasförmig, flüssig oder fest) bewirkt. Durch Ionisation von Atomen bleiben bewegliche Elektronen und schwere Ionen zurück. Durch Anlegen elektrischer Felder werden die Ladungsträger auf Elektroden gesammelt und zu meßbaren Signalen verarbeitet. Anwendungen z.b.: Gasgefüllte Spurkammern Geigerzähler Proportionalkammern

106 98 Teilchennachweis und Detektoren Driftkammern Halbleiterzähler Quantitativ kann man den Energieverlust eines Teilchens durch Ionisation durch die Bethe Bloch Formel angeben. de dx = D n z 2 e [ln 2m ] ec 2 (βγ) 2 β (5.1) β 2 I D ist eine Ansammlung von Konstanten, n e ist die Zahl der Elektronen pro Volumeneinheit in der durchlaufenen Materie. β und z beschreiben das ionisierende Teilchen. Bedeutung der Größen: D= 4πα 2 ( hc)2 m e c 2 = MeV cm 2 z e Ladung des ionisierenden Teilchens β Geschwindigkeit β = v c n e Elektronendichte in der durchquerten Materie [cm 3 ] n e = N A Z ρ A N A Avogadrozahl Z Kernladungszahl A Atomgewicht [g] ρ Dichte [g/cm 3 ] I mittl. Ionisationsenergie [ev] 16 Z 0.9 ev Als Dimension für den spezifischen Energieverlust de/dx kommt in Gleichung 5.1 heraus: [MeV/cm]. Ebenfalls gebräuchlich ist es, durch die Dichte ρ zu dividieren und den Energieverlust differentiell in der sogenannten Massenbelegungsdichte X = ρx anzugeben: de dx [ MeV g/cm 2 ] = 1 de ρ dx Der spezifische Energieverlust ist in Abb. 5.1 dargestellt als Funktion von βγ. Zusätzlich ist die Skala für den Impuls mehrerer Teilchenarten angegeben. Eigenschaften der Bethe Bloch Formel Der spezifische Energieverlust de dx ist: unabhängig von der Masse des Teilchens nur abhängig von seiner Geschwindigkeit β ((βγ) 2 = β 2 /(1 β 2 )). Bei kleinen β ist die Abhängigkeit stark, 1/β 2. Z, d.h. der Anzahl Elektronen im Material Z A Da Z A für viele Stoffe 0.5 ist, ist die Abhängigkeit des Wertes des spezifischen Energieverlustes vom Medium gering. Der Verlauf von de zeigt ein Minimum bei βγ 3 4, danach steigt er dx

107 5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie de/dx (MeV g 1 cm 2 ) H 2 liquid He gas Fe Sn Pb Al C βγ = p/mc Muon momentum (GeV/c) Pion momentum (GeV/c) Proton momentum (GeV/c) Abbildung 5.1: Spezifischer Energieverlust in verschiedenen Materialien als Funktion von βγ (flüssiger Wasserstoff wird in der Blasenkammer benutzt.) Zusätzlich ist der Impuls für Myonen, Pionen und Protonen angegeben µ π K p D de/dx (kev/cm) e Momentum (GeV/c) Abbildung 5.2: Messung des Energieverlustes in einer Driftkammer in Abhängigkeit des Impulses.

108 100 Teilchennachweis und Detektoren Abbildung 5.3: Elektrische Feldlinien eines geladenen Teilchens in Ruhe (links) und eines mit γ = 3 bewegten (rechts). Abbildung 5.4: Energieverlust-Verteilung für π-mesonen und Elektronen in einer Schicht von 1.5 cm Argon mit 5% CH 4 bei Normalbedingungen. Die Histogramme sind Daten und die Kurven verschiedene Modellrechnungen. wieder an, allerdings nur logarithmisch. Dieser sogenannte relativistische Wiederanstieg hängt mit der relativistischen Verformung des elektrischen Feldes zusammen, welches das Teilchen umgibt (s. Abb. 5.3). Die Anzahl der Ionen und Elektronen, die durch den Energieverlust erzeugt werden, hängt von der Ionisationsenergie des Stoffes ab. Typische Werte sind 20 40eV für Gase und 3eV für Halbleiter. In Halbleitern entstehen also etwa 10 mal mehr Ionenpaare als in gasgefüllten Kammern, was u.a. zu einer guten Energieauflösung führt. Der diskutierte Ausdruck für die Bethe Bloch Formel 5.1 gilt nur für schwere Teilchen, z.b. Myonen, Pionen, Kaonen, Protonen, Deuteronen, etc. Für Elektronen ist bei hohen Energien der Energieverlust durch Bremsstrahlung wichtiger. Für den Energieverlust durch Ionisation muß bei Elektronen in der Bethe Bloch Formel eine Korrektur angebracht werden, die berücksichtigt, daß das Projektil die gleiche Masse hat wie das Atomelektron. Man kann die Formel 5.1 auf mehrere Arten herleiten, klassisch wurde sie z.b. von Bohr abgeleitet. Man findet solche klassischen Näherungsrechnungen in vielen Büchern [Lohrmann1,Leo]. Quantenmechanisch wurde sie von Bethe und Bloch abgeleitet. Die Bethe Bloch Formel gibt den mittleren Energieverlust an. Der Energieverlust, der in einzelnen Stoßprozessen stattfindet, fluktuiert um diesen Mittelwert. Die Verteilung ist asymmetrisch

109 5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie Pb Fe C R/M (g cm 2 GeV 1 ) H 2 liquid He gas βγ = p/mc Muon momentum (GeV/c) Pion momentum (GeV/c) Proton momentum (GeV/c) Abbildung 5.5: Reichweite in verschiedenen Materialien. und hat einen langen Ausläufer zu hohen Energien (Landauverteilung, s. Abb. 5.4). Grob ist die Erklärung dafür: dicke Absorber: viele Stöße Gaußverteilung dünne Absorber: viele Stöße mit kleinem de dx wenige mit großem de dx Reichweite Summiert man den Energieverlust auf, bis das Projektil alle Energie verloren hat, so erhält man die Reichweite: R = 0 E 1 de/dx de Bei niedrigen Energien kann man durch Messung der Reichweite auf die Energie schließen. Bei hohen Energien ist eine Messung der Reichweite meist nicht mehr möglich. Ein Überblick über die Reichweite ist in Abb. 5.5 gegeben Vielfachstreuung Die elastische Streuung geladener Teilchen an Atomkernen führt hauptsächlich zu einer Richtungsänderung (s. Skizze in Abb. 5.6). Der Energieübertrag ist i.a. klein. Der Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch die Rutherfordformel:

110 102 Teilchennachweis und Detektoren x/2 x s plane Ψ plane y plane θ plane Abbildung 5.6: Vielfachstreuung in einer Ebene in einer Materieschicht der Dicke x. Das Teilchen tritt von links ein. θ plane ist dasselbe wie θ x in Gl ( ) dσ Z z e 2 2 dω = 1 2 p v c sin 4 θ 2 Die kleinen Streuwinkel sind am wahrscheinlichsten, man hat daher meist viele kleine Ablenkungen. Man kann durch statistische Betrachtung eine Formel für die Ablenkung eines Teilchens in einer Ebene nach Durchlaufen einer Materieschicht x angeben. Die Verteilung des Winkels θ x in einer Ebene ist näherungsweise Gaußförmig mit einer Standardabweichung von: θ x = θ 2 = 13.6 MeV p β c x X 0 (5.2) Hierbei ist X 0 die Strahlungslänge (s. Gleichung 5.6). Die Formel gilt für ein einfach geladenes Teilchen, sonst muß noch mit z multipliziert werden. Man sieht an Gl. 5.2, daß die Vielfachstreuung groß wird für kleine Impulse. Vielfachstreuung kann in der Praxis leicht eine Begrenzung liefern z.b. für die Meßgenauigkeit von Impulsen, Richtungen, etc. und begrenzt damit auch die Möglichkeit, Massen zu messen Čerenkovstrahlung Effekt: Emission elektromagnetischer Strahlung (im optischen, vor allem aber auch im UV Bereich). Der Čerenkov-Effekt tritt beim Durchgang schneller, geladener Teilchen durch ein Medium mit Brechungsindex n > 1 auf. Die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist dann: c/n und Čerenkovstrahlung wird emittiert, falls die Geschwindigkeit des Teilchens die Bedingung erfüllt: v > c/n. v c : Teilchen polarisiert das Medium radialsymmetrisch, d.h. vor und hinter sich gleichermaßen: es resultiert keine Abstrahlung. n v > c : Teilchen überholt das von ihm erzeugte el.mag. Feld Entstehung einer Wellenfront n ähnlich Machschem Kegel Čerenkovstrahlung. cos θ c = c v n Da cos θ c 1 gelten muss, folgt obige Bedingung für die Teilchengeschwindigkeit. Beim Čerenkoveffekt hat man i.a. eine sehr geringe Lichtausbeute: der Energieverlust beträgt ca. 400 ev/cm; vgl. Ionisation: 2 MeV/cm. Trotzdem Einsatz zur Teilchenidentifikation bei bekanntem Impuls, früher

111 5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie 103 Abbildung 5.7: Links: Geometrische Konstruktion zur Veranschaulichung des Čerenkov-Effekt und der Čerenkov-Bedingung. Rechts: Skizze eines Cerenkovzählers, in dem man den Cerenkovwinkel messen kann. meist als Schwellencerenkov Zähler. Heutzutage wird oft eine Anordnung verwandt, die es erlaubt, den Čerenkovwinkel zu messen: RICH=Ring Imaging Cerenkov Counter (z.b. DELPHI Experiment) oder DIRC=Detection of internally reflected Čerenkovradiation im BABAR Experiment Energieverlust von Elektronen: Bremsstrahlung Elektronen verlieren ihre Energie hauptsächlich durch Bremsstrahlung, Abstrahlung von Photonen im Feld eines Kerns. Der Effekt ist nur für leichte geladene Teilchen wichtig. Bei heute in der Praxis erreichten Energien ist Bremsstrahlung nur wichtig für Elektronen (Ausnahme evtl. Astroteilchenphysik). Wahrscheinlichkeit, nach einer dünnen Schicht dx, ein Photon der Energie zwischen k und k+dk zu finden ist (Näherungsformel für hohe Energien E): Eigenschaften der Bremsstrahlung: Φ(E, k)dxdk dx dk X 0 k Emissionswinkel der Photonen ist klein: m E Photonenspektrum 1 k Bremsstrahlungsspektrum Mittlerer Energieverlust durch Bremsstrahlung: de = dx E k dk X 0 k=0 k = E dx (5.3) X 0 de E = dx (5.4) X 0 X 0 ist die sogenannte Strahlungslänge, die von der Materie abhängt. Die Energie eines Elektrons nach Durchqueren der Materieschicht x folgt durch Integration:

112 104 Teilchennachweis und Detektoren Positrons Lead (Z = 82) de E dx (X 0 1 ) Electrons Møller (e ) Ionization Bremsstrahlung (cm 2 g 1 ) Bhabha (e + ) Positron annihilation E (MeV) Abbildung 5.8: Normierter Energieverlust pro Strahlungslänge in Blei für Elektronen als eine Funktion der Elektronen oder Positronen Energie. E = E 0 exp ( x X 0 ). (5.5) E 0 ist die Anfangsenergie. X 0 ist also die Materiedicke, nach der die Energie eines Elektrons (im Mittel) auf 1/e abgenommen hat. Für hohe Energien ist X 0 durch folgenden Ausdruck gegeben: 1 X 0 = 4 Z 2 ( NA A ) ( ) 2 ( ) hc 183 α 3 ln mc 2 Z 1/3 Z und A charakterisieren das Material, α ist die Feinstrukturkonstante und mc 2 die Masse des Elektrons. Der Energieverlust durch Ionisation ist für Elektronen in Abhängigkeit von der Energie ungefähr konstant, wenn die Elektronenenergie nicht zu klein ist. Der Energieverlust durch Strahlung nimmt mit der Energie zu, s. Gl Daher dominiert bei hohen Energien der Verlust durch Abstrahlung. Man definiert die kritische Energie als die Energie, wo beide Verlustraten gleich sind (vgl. Abb. 5.8): de dx (E krit) rad = de dx (E krit) ion. Näherungsweise ist die kritische Energie gegeben durch: E krit 600 Z [MeV] Dies ist nur eine Faustformel. Bessere Näherungen (durch Anpassung an Daten) sind: Substanzen. E krit 610 Z [MeV] E krit 710 Z [MeV] für feste, flüssige für gasförmige (5.6)

113 5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie Mb (a) Carbon (Z = 6) experimental σ tot Cross section (barns/ atom) 1 kb 1 b σ p.e. σ Rayleigh κ nuc 10 mb σ Compton κ e 1 Mb σ p.e. (b) Lead (Z = 82) experimental σ tot Cross section (barns/ atom) 1 kb σ Rayleigh κ nuc 1 b σ Compton κ e 10 mb 10 ev 1 kev 1 MeV 1 GeV 100 GeV Photon Energy Abbildung 5.9: Gesamtwirkungsquerschnitt für Photonen als Funktion der Photonenenergie für verschiedene Prozesse. Dabei bezeichnet K n = e + e Paar Produktion am Kern; K e am Elektron; σ i ncoh bezeichnet Comptonstreuung an den Elektronen, der Rest ist nicht so wichtig Wechselwirkung von Photonen mit Materie Die Wechselwirkung von Photonen mit Materie ist auch eine elektromagnetischer Prozeß. Bei niedrigen Energien gibt es drei wichtige Prozesse, deren Wahrscheinlichkeit unterschiedlich von der Photonenergie k abhängt (vgl. auch Abb. 5.9 und 5.10): Photoeffekt, σ k 3 bei hohen Energien, darunter auch Kanten Comptonstreuung σ k 1

114 106 Teilchennachweis und Detektoren Tabelle 5.1: Strahlungslänge X 0, kritische Energie E krit und hadronische Absorptionslänge λ Had für einige Materialien. Material X 0 [g/cm 2 ] E krit [MeV ] λ Had [g/cm 2 ] H Al Ar Kr X e Fe Pb Bleiglas SF Plexiglas H 2 O NaI(Tl) Bi 4 Ge 3 O NaI P 0.5 Pb Fe Ar H 2 O C H Photon energy (MeV) Abbildung 5.10: Wahrscheinlichkeit P, daß eine Photonwechselwirkung zu einer e e + Paarbildung führt. e + e Paarbildung σ konstant Beim Photoeffekt wird ein Elektron durch das Photon herausgelöst, das Photon wird dabei vollständig absorbiert. Beim Comptoneffekt wird dagegen ein Photon am (fast) freien Elektron gestreut; γ + e γ + e. Paarbildung erfolgt nach der Reaktion: γ + Kern e + e + Kern. Die Anwesenheit des Kerns bei Paarbildung ist notwendig, um Impuls und Energie gleichzeitig zu erhalten ( Übung!).

115 5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie 107 Wegen der angegebenen Energieabhängigkeit der Wirkungsquerschnitte, ist bei hohen Energien, E > 10 MeV, nur noch Paarbildung wichtig wie man in Abb. 5.9 sieht. (Die Prozesse können außer am Kern auch an den Atomelelektronen (natürlich mit anderer Wahrscheinlichkeit) stattfinden.) Die Intensität eines γ Strahls nimmt durch Paarbildung exponentiell ab mit der durchlaufenen Materiedicke x: I = I 0 exp( 7x 9X 0 ) (Vgl. Formel 5.5 für den Energieverlust durch Bremsstrahlung!) Diese Formel gilt erst im asymptotischen Bereich, E > 1 GeV, d.h. weit oberhalb der Schwellenenergie von 2m e c 2 = 1.1 MeV Starke Wechselwirkung von Teilchen mit Materie Eine wichtige Wechselwirkung von Hadronen (π ±, K ±, K 0, p, n, etc) mit Materie ist die starke Wechselwirkung oder auch Kernwechselwirkung. Sie ist unabhängig von der Ladung des einfallenden Teilchens und nur Hadronen nehmen daran teil (Hadronen=Teilchen, die aus Quarks zusammengesetzt sind). Wir betrachten zunächst nur die Wechselwirkung mit Nukleonen, Protonen oder Neutronen. Der Wirkungsquerschnitt für irgendeine Reaktion von Pionen, σ T, ist in Abb. 4.4 als Funktion der Energie dargestellt. Er setzt sich zusammen aus dem inelastischen Wirkungsquerschnitt, den man auch Absorptionswirkungsquerschnitt σ abs nennt, und dem elastischen Wirkungsquerschnitt. Er zeigt bei niedrigen Energien eine komplizierte Struktur (Bildung von kurzlebigen Teilchen oder Resonanzen) und wird dann fast flach. Bei den höchsten Energien steigt er leicht an. Ein Strahl von Hadronen mit der Intensität I 0, der auf Materie fällt, wird nach der Wegstrecke x abgeschwächt gemäß: I = I 0 e x/λ ρ und A sind Dichte und Atomgewicht der durchlaufenen Materie. Die mittlere freie Weglänge zwischen zwei Wechselwirkungen ist dann: oder gebräuchlicher (in [g/cm 2 ]): λ coll = A N A ρ σ T X coll = A N A σ T Bei inelastischen Wechselwirkungen wird das Nukleon aufgebrochen und mindestens ein weiteres Teilchen (zumeist ein Pion) erzeugt. Dieser Wirkungsquerschnitt ist der für die Bildung von hadronischen Kaskaden wichtige Anteil. Man definiert dann die Absorptionslänge λ I : λ I = A σ inel. ρ N A Eine wichtige Frage für Detektoren von hadronischer Wechselwirkung ist: wie berechnet sich der Wirkungsquerschnitt an einem Kern aus dem an Nukleonen. Man setzt im allgemeinen an: σ abs (A) = σ 0 A α

116 108 Teilchennachweis und Detektoren und paßt sowohl σ 0 als auch α an die Daten an. Zahlenwerte sind z.b. σ 0 = 41.2 mb und α 0.7. Macht man ein einfaches geometrisches Modell des Kerns in dem man annimmt, daß die Kerndichte konstant ist, so ist das Volumen A. Nimmt man weiter an, daß Kerne Kugelgestalt haben, so gilt für den Radius: R A = R 0 A 1/3 Man würde dann für den Querschnitt des Kerns erwarten: σ = π R 2 0 A2/3, also α 2/3. Aus Experimenten weiß man: R fm (fm=10 15 m). 5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen Die Reaktionen, die beschrieben wurden, werden in vielfältigen Detektoren benutzt. Ein Experiment enthält meist eine Vielzahl von Komponenten und es gibt immer einen Optimierungsprozeß. Es haben sich einige Standarddetektorsysteme herausgebildet. An Beschleunigern hat man: Festtargetexperimente: Spektrometer mit Spurerkennung, Teilchenidentifikation; Targetkalorimeter für Neutrinoexperimente Speicherringexperimente: oft Solenoiddetektoren mit Spurerkennung, Kalorimetern, Myondetektoren Dazu kommen oft noch viele spezialisierte Komponenten. Ein wichtiger Detektortyp, der für die Neutrinophysik eingesetzt wird, ist ein großer WasserČerenkovdetektor Impulsmessung Die Bewegung eines Teilchens der Ladung q im Magnetfeld wird beschrieben durch: F L = d p dt = q ( v B) F L ist die Lorentzkraft. Falls das Magnetfeld homogen ist und Energieverluste durch Wechselwirkungen vernachlässigt werden, so bleibt der Impulsbetrag konstant und das Teilchen ändert nur seine Richtung und beschreibt eine helixförmige Bahn. Am einfachsten ist die Bewegung zu verstehen, falls das Magnetfeld senkrecht zur (anfänglichen) Bewegungsrichtung ist. In der Ebene senkrecht zu B resultiert eine Kreisbewegung mit Radius R. Benutzt man noch die Zentripetalkraft p 2 /(γm R), wobei γ m v = p ist, so erhält man für ein Teilchen der Ladung e: p = B R (5.7) Einheiten sind: [p] = GeV/c; [B] = T ; [R] = m. Messung von R durch Messung der Spurparameter ergibt dann den Impuls, genauer den Impuls transversal zur Flugrichtung: p T. Die erreichbare Genauigkeit kann man leicht durch Betrachten des Kreissegments mit Sehne l, Sagitta s und Radius R abschätzen. Es gelten folgende elementare Beziehungen (s. Abb. 5.11): s = R (1 cos θ 2 ) = 2 R sin2 θ 4 ; sin θ 2 θ 2 L 2 R Mit diesen Näherungen gilt: R = L2 8 s

117 5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen 109 Abbildung 5.11: Krümmungsgradius R, Ablenkwinkel θ und Sagitta s für ein geladenes Teilchen des Impulses p in einem homogenen Magnetfeld der Länge L. Setzt man dies in Gl. 5.7 ein, so folgt: p = 0.3 B L2 8 s Man kann annehmen, daß die relative Impulsauflösung durch die von der Sagitta s gegeben ist: p p = s s In einer Driftkammer misst man den Spurverlauf meist mehrfach. Für N äquidistante Punkte hat Glückstern eine Formel angegeben, die die erreichte Impulsauflösung mit der erreichten Genauigkeit ɛ eines Meßpunktes korreliert. Hier ist L die projizierte Spurlänge im Magnetfeld und es ist angenommen, daß N groß ist (N > 10). Man erhält dann für die Impulsauflösung: p p = s s = ɛ L N + 4 p 0.3 B Diese Formel wird Glücksternformel genannt, sie beruht auf statistischen Überlegungen zum Einfluß der N Messungen. Die Auflösung verbessert sich also schneller durch Erhöhen der Spurlänge als durch Erhöhen des Magnetfeldes oder der Auflösung der Meßpunkte. Praktisch erreichbar in Driftkammern: p T p T 0.01 p T (Auflösung der Koordinatenmessung etwa 100 µm). In Siliziumstreifendetektoren erreicht man 20 µm. In Zukunft sollen am LHC auch Siliziumdetektoren zur Impulsmessung benutzt werden Szintillatoren In einem Szintillationsmaterial wird die durch ein geladenes Teilchen übertragene Anregungsenergie in sichtbares Licht umgewandelt. Wichtige anorganische Szintillatoren sind Natriumiodid mit Thalliumzusatz oder Wismutgermanat (Bi 4 Ge 3 O 12, BGO). Sie zeichnen sich durch große Lichtausbeute und kleine Strahlungslänge aus, sind jedoch teuer und empfindlich und haben lange Lichtabklingzeiten (einige µs). Organische Szintillatoren lassen sich preisgünstig für großflächige Zähler herstellen. Der Szintillationsprozeß ist hier zweistufig: zunächst werden Molekülniveaus angeregt, bei deren Zerfall blaues oder UV-Licht emittiert wird. Dem Szintillator

118 110 Teilchennachweis und Detektoren Abbildung 5.12: a) Prinzip der Lichtauslese mit einem Fischschwanz -Lichtleiter; b) Prinzipieller Aufbau eines Photomultipliers. Das Elektrodensystem befindet sich in einem evakuierten Glaskolben. Der Photomultiplier wird meist durch einen Mu-Metall-Zylinder aus hochpermeablem Werkstoff gegen magnetische Streufelder abgeschirmt (auch gegen das Erdmagnetfeld) c) Wellenlängenschieberauslese eines Szintillators ist eine Wellenlängenschieber Substanz zugesetzt, die über Fluoreszenz daraus längerwelliges Licht macht. Die Lichtausbeute ist bei organischen Szintillatoren deutlich geringer, aber auch die Lichtabklingzeiten sind kürzer (einige ns), so daß Plastik-Szintillatoren für genaue Zeitmessungen eingesetzt werden können. Das Szintillationslicht wird über Lichtleiter aus Plexiglas auf die Photokathode eines Photomultipliers geleitet, s. Abb Die Quantenausbeute beträgt für Bialkali-Kathoden etwa 25%, d. h. auf 4 Photonen kommt im Mittel ein Photoelektron. Durch ein 10- bis 14-stufiges Sekundärelektronenvervielfacher (Dynoden)-System erreicht man Verstärkungsfaktoren von 10 6 bis 10 8, so daß ein einzelnes Photoelektron ein elektronisch meßbares Signal an der Anode des Photomultipliers liefert. Szintillationszähler mit Plastik-Szintillatoren werden häufig für Flugzeitmessungen eingesetzt. Bei Zählern von mehreren Metern Länge und etwa 20 cm Breite, deren Licht an beiden Schmalseiten mit Photomultipliern registriert wird, sind Zeitauflösungen von 0.2 ns erreichbar Blasenkammer Die Blasenkammer ist in den 60er Jahren eines der wichtigsten Instrumente der Elementarteilchenphysik gewesen, und viele neue Teilchen wurden in diesem Gerät entdeckt, das einen visuellen Zugang in die subatomare Welt eröffnete. Heute ist diese Aufgabe von abbildenden

119 5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen 111 Driftkammern übernommen worden. In einer Blasenkammer befindet sich ein verflüssigtes Gas, meist flüssiger Wasserstoff, unter Überdruck. Eine schnelle Expansion mit Hilfe eines Kolbens versetzt die Flüssigkeit in einen überhitzten Zustand. Entlang der lonisationsspur geladener Teilchen bilden sich Gasblasen, die mit Blitzlampen beleuchtet und durch mehrere Kameras stereoskopisch photographiert werden. Der große Vorteil einer Blasenkammer besteht darin, daß alle geladenen Teilchen sichtbar gemacht werden. Aus der Krümmung der Spuren in einem Magnetfeld von Tesla kann man die Teilchenimpulse berechnen. Die Blasenkammer ist als Detektor für Speicherringe nicht geeignet, weil sie nicht triggerbar ist, d. h. nicht durch ein externes elektronisches Signal für ein interessierendes Ereignis zum Ansprechen gebracht werden kann, da der Expansionsvorgang zu langsam verläuft Proportional- und Driftkammern Die wichtigsten Instrumente zur Messung von Teilchenspuren sind heute große gasgefüllte Proportional- und Driftkammern mit einer Vielzahl von Signaldrähten. Der Vorläufer solcher Kammern ist das Proportionalzählrohr, bei dem sich ein dünner Anodendraht (Durchmesser µm) konzentrisch in einem gasgefüllten Rohr befindet. Das elektrische Feld ist radial vom Anodendraht nach außen gerichtet und hat die Größe Abbildung 5.13: Vieldraht-Proportionalkammer; oben: schematischer Aufbau; unten: Äquipotentiallinien (gestrichelt) und elektrische Feldlinien in der Umgebung zweier Anodendrähte in der Ebene senkrecht zur Drahtrichtung. E(r) = U ln b a 1 r (5.8) a=drahtradius, b= Rohrradius, U =angelegte Spannung. Ein ionisierendes Teilchen erzeugt längs seiner Spur Elektron-Ion-Paare. Die Elektronen wandern zum Anodendraht und werden durch das hohe Feld in der Nähe des Drahtes so stark beschleunigt, dass Sekundärionisationsprozesse mit einer lawinenartigen Ladungsträgervermehrung auftreten. Die Gasverstärkung kann bis zu 10 5 betragen. Die Signalhöhe ist proportional zur Ionisationsdichte.

120 112 Teilchennachweis und Detektoren In einer Vieldraht-Proportionalkammer (Abb. 5.13) sind parallele Anodendra hte in 2 bis 3 mm Abstand angeordnet; der Drahtdurchmesser ist typisch 20 µm. Die Dra hte befinden sich zwischen Kathodenebenen. In der Na he der Anodendra hte ist das elektrische Feld anna hernd radial wie beim Za hlrohr. Als Fu llgase verwendet man Argon mit Beimischungen von CO2, CH4 oder anderen molekularen Gasen. Die ra umliche Auflo sung ist σ = d/ 12, wo d der Drahtabstand ist. Wesentlich bessere Auflo sungen sind mit Driftkammern mo glich. Hierbei nutzt man aus, Abbildung 5.14: Oben: Elektrische Feldlinien in einer planaren Driftkammer. Unten: A quipotentiallinien in einer Zelle einer Driftkammer (schematisch); +HV2: Potential des Anodendrahtes; HV1: Potential der Kathodendra hte; u brige Dra hte: Potential variierend zwischen 0 und HV1. dass die prima r erzeugten Elektronen mit nahezu konstanter Driftgeschwindigkeit zum Signaldraht wandern und die Gasversta rkung erst in unmittelbarer Na he des Drahtes einsetzt. Aus der Zeitdifferenz zwischen dem Signal auf dem Anodendraht und dem Durchtritt des ionisierenden Teilchens durch die Kammer kann man den Abstand der Teilchenspur vom Signaldraht berechnen. Eine Auflo sung von 200 µm ist in großen Driftkammern erreichbar, bei speziellen Kammern sind auch Werte unter 100 µm erzielt worden. Abb zeigt eine typische Driftkammerzelle. Trotz der wesentlich besseren Ortsauflo sung kann ein viel gro ßerer Signaldrahtabstand als bei einer Proportionalkammer gewa hlt werden. An den Elektron-Positron-Speicherringen benutzt man vorwiegend zylindrische Driftkammern mit tausenden von Signaldra hten, die in vielen konzentrischen Lagen angeordnet sind. Aus der Kru mmung der Spuren in einem Magnetfeld von 0.5 bis 2 Tesla ko nnen die Impulse aller geladenen Teilchen bestimmt werden. Fu r eine ausfu hrliche Darstellung verweisen wir auf Kleinknecht. In Abb und 5.16 ist der Querschnitt von Vieldrahtdriftkammern gezeigt.

121 5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen 113 Abbildung 5.15: Querschnitt durch die Argus Driftkammer mit einem Ereignis: e + e B 0 + B 0. Letzteres oszilliert in ein B 0. Die gemessenen Spuren sind Zerfallsprodukte der beiden B 0 Mesonen. Gezeigt ist eine Projektion in die Ebene senkrecht zu den kollidierenden e + e Strahlen durch den Kollisionspunkt.

122 Teilchennachweis und Detektoren Metallisierung (Al) Ausleseelektronik a) E p-halbleiter Verarmungszone n-halbleiter Leitungsband p + -Auslesestreifen E l E F Valenzband E v b) N l X - Sperrspannung n-silizium n + -Silizium ionisierendes Teilchen Metallisierung (Al) N e X Abbildung 5.17: Links: Prinzip eines Halbleiterdetektors für Präzisionsdetektoren, z.b. Mikrovertexdetektoren. Rechts: a) Energieniveaus am pn Übergang von dotierten Halbleitern im Bändermodell, b) Dichte der Ladungsträger Halbleiterdetektoren/Mikro-Vertexdetektoren Der Nachweis relativ langlebiger Teilchen (z.b. B-Hadronen) sowie die Bestimmung sekundärer Vertizes erlangt immer größere Bedeutung bei vielen teilchenphysikalischen Fragestellungen. Silizium-Mikrovertexdetektoren erlauben eine Ortsmessung mit einer Auflösung von etwa 10 µm und ermöglichen damit die präzise Vermessung von Spuren, deren Extrapolation zum Primärvertex und die Identifizierung von Zerfalls-(Sekundär)vertizes. Mikrostreifendetektoren sind grossflächige (Größenordnung 4-6 cm 2 ), meist 300 µm dicke Halbleiterdioden mit einer feinen, streifenförmigen Strukturierung der Elektroden mit Abständen von typischerweise 50 µm auf einer oder auch auf beiden Oberflächen (siehe Abb. 5.17). Es handelt sich um pn-grenzschichten, die bei einigen 100 V angelegter Spannung in Sperr-Richtung betrieben werden, wodurch eine an Ladungsträgern verarmte sensitive Region entsteht. Hochenergetische Teilchen erleiden beim Durchtritt durch eine solche Diode einen Energieverlust, der zur Erzeugung von etwa Elektron-Loch-Paaren führt, welche im elektrischen Feld zu den Elektrodenstreifen driften und dort elektronisch verstärkt werden. Die vom durchfliegenden Teilchen freigesetzte Ladung verteilt sich durch kapazitive Kopplung auf mehrere benachbarte Streifen. Der Ort des Teilchendurchgangs wird über den Schwerpunkt dieser Einzelladungen berechnet. Dies erlaubt die Bestimmung des Teilchendurchtrittspunkts mit einer Genauigkeit von wenigen Mikrometern. Hintereinander und in mehreren Lagen zylindrisch um den Wechselwirkungspunkt angeordnete Mikrostreifendetektoren bilden einen Mikro-Vertexdetektor, wie er in den Experimenten verwendet wird. Abb. zeigt schematisch den Schnitt durch einen solchen zweilagigen Mikro- Vertexdetektor senkrecht zur Strahlachse zusammen mit den rekonstruierten Spuren eines Ereignisses. Pixeldetektoren sind matrixförmig unterteilte Siliziumdetektoren mit noch besserer Ortsauflösung

123 5.3 Kalorimeter 115 von jeweils etwa 5 µm in beiden orthogonalen Richtungen. 5.3 Kalorimeter Elektromagnetische Kalorimeter (Schauerzähler) Bei hohen Energien lösen sowohl Photonen als auch Elektronen, die auf Materie treffen, elektromagnetische Schauer aus. Das sind Kaskadenprozesse, bei denen Bremsstrahlung und e + e Paarbildung abwechseln: γ e + e und e ± e ± γ (Zur Erinnerung: beide Prozesse finden nur im Feld eines Kernes statt.) Diese Schauerbildung ist in der Praxis das wichtigste Merkmal für die Wechselwirkung von Photonen und Elektronen. Abbildung 5.18: Stark vereinfachtes Modell zur Entwicklung eines elektromagnetischen Schauers. Um ein qualitatives Verständnis für die Schauer zu entwickeln, kann man ein stark vereinfachtes Modell von Heitler heranziehen. Heutzutage werden Schauer in allen Details im Computer simuliert. Im Heitler Modell (Skizze in Abb. 5.18) nimmt man an, daß nach einer Strahlungslänge X 0 1. ein Elektron der Energie E jeweils ein Photon abgestrahlt hat mit der Energie E/2 2. ein Photon der Energie E ein e + e Paar gebildet hat, die beide Energien E/2 haben Dieses ist zwar eine grobe Vereinfachung, aber plausibel, da sowohl Paarbildung als auch Bremsstrahlung durch X 0 charakterisiert sind. Folge: Nach jeder Strahlungslänge verdoppelt sich die Zahl der Teilchen, wenn man e +, e und γ als Teilchen zählt. Nach t Strahlungslängen hat man also 2 t Teilchen. Weiterhin halbiert sich die Teilchenenergie nach jeder Strahlungslänge, d.h. nach t Strahlungslängen hat man E(t) = E/2 t. Nach einigen Strahlungslängen gibt es etwa gleich viele e +, e und γ. e ± induzierte und γ induzierte Schauer unterscheiden sich kaum mehr. Der Schauer hört in diesem einfachen Modell schlagartig auf, wenn die Energie unter die kritische Energie sinkt. Dann dominiert Ionisation über Bremsstrahlung. An dieser Stelle hat dann die Teilchenzahl auch ihr Maximum erreicht. Sei t max die Tiefe, bei der das eintritt. Also:

124 116 Teilchennachweis und Detektoren (1/E 0 ) de/dt Energy Photons 1/6.8 Electrons 30 GeV electron incident on iron Number crossing plane t = depth in radiation lengths Abbildung 5.19: Links: Computersimulation für Elektronen von 30 GeV, die in Eisen aufschauern. Histogramm: normierter Energieverlust pro Strahlungslänge. Punkte: Zahl der Elektronen mit Energie größer 1.5 MeV (rechte Achse); Vierecke: Zahl der Photonen mit Energie größer 1.5 MeV skaliert auf dieselbe Zahl wie Elektronen. Rechts: Longitudinales Schauerprofil in Kupfer für Elektronen unterschiedlicher Energie. Die Spektren sind auf gleiche Fläche normiert. E/2 tmax = E krit E = 2 tmax E krit ln E = t max ln 2 E krit Und die Position des Schauermaximums ist: t max = ln(e/e krit) ln 2 An der Stelle haben wir dann eine Teilchenzahl: N max = 2 tmax = e tmax ln 2 = E 0 E krit Die Zahlen, die man mit diesem groben Modell berechnet, sind nur der Größenordnung nach richtig. Eine wesentliche Tatsache ist auch bei genaueren Rechnungen noch richtig: Die Tiefe t max des Schauermaximums nimmt nur logarithmisch (d.h. langsam) mit der Primärenergie zu. Für Blei, z.b. ist mit E krit = 7 MeV: E = 5 GeV t max = 9.5 E = 50 GeV t max = 12.8

125 5.3 Kalorimeter 117 Eine Computersimulation für Elektronen von 30 GeV, die in Eisen aufschauern, ist in Abb.5.19 zu sehen. Die laterale Ausdehnung des Schauers ist wesentlich bestimmt durch Vielfachstreuung im Material des Detektors. Man gibt einen Molièreradius an R M = X 0 21 MeV E krit. Nur etwa 10% der Gesamtenergie wird in einem Schauer außerhalb eines Zylinders mit Molièreradius deponiert, 99% sind innerhalb von 3.5 R M. Die Energieauflösung hängt im Endeffekt davon ab, wieviele Elektronen zum elektrischen Signal beitragen. Das wiederum hängt ab von: 1. Deponierte Energie in den aktiven Lagen des Detektors (Fluktuationen der Stichprobe, sampling fluctuations ) 2. Energieverluste longitudinal oder seitlich 3. Rauschen im Detektor und in der Elektronik 4. Überlagerung von Signalen ( pileup ) Falls die Fluktuationen der Poisson Statistik folgen, so ist die Standard Abweichung σ = N und σ(n) N = 1 N Falls N E, so ist auch die Energieauflösung 1/ E und wird besser mit höherer Energie. Es gibt homogene elektromagnetische Kalorimeter, die aus Einkristallen bestehen, z.b. NaI, CsI, Bleiglas oder BGO (s. z.b. auch im Abschnitt über Szintillatoren). Inhomogene Kalorimeter bestehen abwechselnd aus Absorber und Detektorschichten, Beispiele sind in Abb Als Absorber wird meist Pb gewählt, als Detektor z.b. Szintillator oder flüssiges Argon, evtl auch Proportionalkammern Hadronische Kalorimeter Hadronische Kalorimeter werden für die Messung hadronischer Kaskaden optimiert. Man kann die Energie von einzelnen Hadronen aber wichtiger noch von Jets messen. Jets sind je nach Energie mehr oder weniger kollimierte Bündel von Hadronen. Hadronen machen starke Wechselwirkung mit der Materie des Detektors, d.h. es werden Kaskaden von Pionen und anderen Hadronen erzeugt. Charakteristische Dimension von hadronischen Kalorimetern ist daher die Absorptionslänge λ I. Die Bauweise von hadronischen Kalorimetern ist wie bei inhomogenen elektromagnetischen Kalorimetern: Absorber wechselt ab mit Detektormaterial, s. Abb Da λ I wesentlich größer ist als X 0 sind hadronische Kalorimeter viel größer. In Abb und 5.22 ist die Ausdehnung eines hadronichen Schauers in Eisen und Kupfer verdeutlicht. Blei: X Beispiel: 0 = 0.56 cm, λ I = 17.1 cm Eisen X 0 = 1.76 cm, λ I = 16.7 cm Die Energieauflösung wird bestimmt durch die physikalischen Prozesse und durch statistische Fluktuationen. Bei Kernreaktionen hochenergetischer Teilchen entstehen drei Komponenten:

126 118 Teilchennachweis und Detektoren Abbildung 5.20: Verschiedene Bauweisen inhomogener Kalorimeter. A=Absorber, S=Szintillator, W=Wellenlängenschieber, LA=Flüssiges Argon, MWPC=Proportionalkammer. hochenergetische Hadronen: schnelle π ±, K ±, Nukleonen,... elektromagnetische Komponente: ausgelöst durch π 0 γ γ Kernfragmente hoher Masse, auch abgdampfte n, α Nur die erste Komponente trägt zur Ausbildung des hadronischen Schauers bei. Die zweite initiiert einen elektromagnetischen Schauer. Die dritte ist für den Nachweis verloren. Um eine gute Auflösung zu erreichen, muß man vor allem erreichen, daß der Schauer möglichst vollständig absorbiert wird und daß die hadronische und elektromagnetische Komponente mit ähnlicher Auflösung nachgewiesen werden. In einem sogenannten kompensierenden Uran Kalorimeter im ZEUS Detektor ist das erreicht worden und es hat folgende Auflösung: E/E 0.35 E wobei E in GeV einzusetzen ist Ein Speicherringdetektor Wir wollen hier als Beispiel in Abb den H1-Detektor vorstellen, der am Speicherring HERA Daten nimmt. Es sind viele verschiedene Detektorkomponenten zur Impuls- und Richtungsmessung sowie zur Identifikation der erzeugten Teilchen erforderlich, die dargestellt sind.

127 5.3 Kalorimeter 119 Abbildung 5.21: Mittlerer Anteil der Energie, der in Eisen deponiert wird, als Funktion der Dicke des Absorbers. Transversal ist der Absorber groß genug, so daß keine Verluste auftreten % 10 Depth in Iron (cm) % / Bock param. / CDHS data / CCFR data Depth in Iron (λ I ) Single Hadron Energy (GeV) 3 Abbildung 5.22: Links: Laterale Entwicklung eines hadronischen Schauers (ZEUS Uran Kalorimeter) in verschiedenen Tiefen. Rechts: Tiefe in Eisen, bei der 99% bzw. 95% eines hadronischen Schauers enthalten sind. Hauptkomponenten: zylinderförmige Spurenkammer (CJC), die zusammen mit dem Magnetfeld die Impulsbestimmung erlaubt. Das Magnetfeld ist solenoidförmig, d.h. B erzeugt Feldlinien parallel zum Strahl. Ein Kalorimeter umgibt die Spurkammer, es hat eine elektromagnetische Sektion und eine hadronische. Das Rückflußjoch des Magneten dient als Absorber für Hadronen. Myonen werden außen in darin befindlichen Spurkammern nachgewiesen.

128 120 Teilchennachweis und Detektoren 1 Strahlrohr und Strahlmagnete 2 Zentrale Spurkammern 3 Vorwärtsspurkammern mit Übergangsstrahlungsmodulen 4 Elektromagnetisches Kalorimeter (Blei/Flüssig Argon) 5 Hadronisches Kalorimeter (Edelstahl/Flüssig Argon) 6 Supraleitende Spule (B = 1.15 T) 7 Kompensationsmagnet (B = 4.83 T) 8 Helium Kälteanlage 9 Myon Kammern 10 Instrumentiertes Eisenjoch (Eisenplatten und Streamerrohrkammern) 11 Myon Toroidmagnet (B = 1.6 T) 12 rückwärtige Spurkammer und Kalorimeter 13 Vorwärtskalorimeter (Plug) 14 Betonabschirmung 15 Flüssig Argon Kryostat Abbildung 5.23: Der H1 Detektor.