Didaktik der Geometrie

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1 Jürgen Roth Didaktik der Geometrie Modul 5: Fachdidaktische Bereiche 4.1

2 Inhalt Didaktik der Geometrie 1 Ziele und Inhalte 2 Begriffsbildung 3 Konstruieren 4 Argumentieren und Beweisen 5 Problemlösen 6 Entdeckendes Lernen 4.2

3 Didaktik der Geometrie Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen 4.3

4 Inhalt Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen 4.1 Beweisen? 4.2 Niveaustufen des Beweisens 4.3 Beispiel: Satzgruppe des Pythagoras 4.4 Beweisen als Tätigkeit 4.4

5 Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen 4.1 Beweisen? 4.5

6 Was ist ein Beweis? Ein Beweis ist eine logische Operation, die unter Zuhilfenahme von allgemein akzeptierten Gedankengängen aus schon gegebenen Voraussetzungen neue Erkenntnisse gewinnt. Lexikon der Mathematik eines mathematischen Satzes SS ist dessen logische Zurückführung auf andere mathematische Sätze SS 1, SS 2,, SS nn. Ist SS mit Hilfe von SS 1, SS 2,, SS nn bewiesen, so folgt die Gültigkeit des Satzes SS aus der Gültigkeit der Sätze SS 1, SS 2,, SS nn. Das bedeutet: Wenn SS 1, SS 2,, SS nn wahre Aussagen sind, dann ist auch SS eine wahre Aussage. Wenn man die Gültigkeit der Sätze SS 1, SS 2,, SS nn anerkennt, dann kann man die Gültigkeit von SS nicht bestreiten. Holland, G. (2001). Geometrie in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S

7 Warum Beweisen? Anwendungsaspekt Ist die Allgemeingültigkeit einer Aussage nicht anschaulich klar, so dient ein Beweis dieser Aussage dazu einzusehen, dass anschaulich klar, dann kann ein Beweis dazu dienen, zu verstehen, warum die Aussage allgemeingültig ist. Struktureller Aspekt Spielt in der Sek. I praktisch keine Rolle Deduktiver Aspekt Kann man den Satz mit Hilfe bereits bekannter Sätze herleiten? (Prozessziel des Beweisens) Aspekt des Problemlösens Beweisfindung nicht Beweisdarstellung steht im Vordergrund Ziel des Beweisens: Beitrag zu Prozesszielen des Problemlösens 4.7

8 Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen 4.2 Niveaustufen des Beweisens 4.8

9 Verschiedene Begründungsweisen Erfahren von Handlungsspielräumen und Sachzwängen Konstruiere ein Dreieck mit folgenden Innenwinkelgrößen: αα = 40, ββ = 55, γγ = 100 Probieren Messen α β γ α + β + γ 31 44, ,

10 Verschiedene Begründungsweisen Sonderfälle Innenwinkelsumme im Rechteck: 4 90 = 360 Innenwinkelsumme im rechtw. Dreieck: = 180 γ 1 γ = αα γγ ββ + γγ 2 α Klassischer Beweis β = αα γγ ββ + γγ 2 = αα + ββ + γγ 1 + γγ =γγ 180 = αα + ββ + γγ C Winkelverschiebung

11 Niveaustufen des Beweisens Stufe des Argumentierens Nur mündliche Argumentation Bezugnahme auf die Beweisfigur Veranschaulichende Hilfsmittel Beweisverständnis wird nicht angestrebt Ziel Unterschied zwischen einer Vermutung und der Einsicht in das Warum erfahren Tätigkeiten Argumente angeben Argumente aufgreifen und weiterführen oder widerlegen Beweisgedanken verstehen & in eigenen Worten wiedergeben 4.11

12 Niveaustufen des Beweisens Stufe des inhaltlichen Schließens Notation als Sequenz von Beweisschritten Die Schülertätigkeit beschreibende Darstellung keine lückenlose Angabe der benutzten Sätze Bezug auf die Beweisfigur bei Aussagen zur Anordnung erlaubt Ziel Sicherung und/oder Verständnis der Allgemeingültigkeit Tätigkeiten Die zum Beweis benutzten Sätze angeben Einen Beweis schriftlich reproduzieren Fallunterscheidungen durchführen einfache Beweise selbst finden 4.12

13 Niveaustufen des Beweisens Stufe des formalen Schließens Beweisen hauptsächlich unter dem Gesichtspunkt der Geometrie als formaler Theorie Ziel: Ein in Beweiszeilen dargestellter Beweis. Jede Zeile ist entweder eine Voraussetzung oder folgt aus darüber stehenden Beweiszeilen. Tätigkeiten Als Sequenz von Beweiszeilen notieren Auf Schlüssigkeit und Lückenlosigkeit überprüfen Beweise durch Einfügen zusätzlicher Schritte verfeinern Verschiedene Beweise zum selben Sachverhalt im Hinblick auf die verwendeten Beweismittel bewerten 4.13

14 Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen 4.3 Beispiel: Satzgruppe des Pythagoras 4.14

15 Satz des Pythagoras Satzgruppe des Pythagoras C Bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke. Zu ihr gehören folgende Sätze: A b q D h c p a B Satz des Pythagoras Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse. aa 2 + bb 2 = cc 2 b² A b C c a c² a² B

16 Kathetensatz und Höhensatz Kathetensatz Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat ein Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. aa 2 = cc pp und bb 2 = cc qq b² c q c p a² Höhensatz Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Höhenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. h 2 = pp qq A h² q C h D p p q B 4.16

17 Logische Struktur der Satzgruppe Satz Kehrsatzproblematik! Satz des Pythagoras Ägyptische Seilspanner Logische Abhängigkeit der Sätze: A b² b C Satz des Pythagoras Kathetensatz Satz des Pythagoras Höhensatz Kathetensatz Höhensatz Höhensatz Satz des Thales Satz des Pythagoras Höhensatz Satz des Thales Kathetensatz a c c² a² B b² c q c p a²? A h² q C h D p p q B A C M B 4.17

18 Übergänge in der Satzgruppe des Pythagoras: Beweisideen Pythagoras Kathetensatz bzw. Höhensatz Anwendung des Satzes des Pythagoras auf die Teildreiecke Arithmetische Umformungen Höhensatz + Satz d. Thales Satz d. Pythagoras / Kathetensatz Einzeichnen eines geeigneten Thaleskreises Anwendung des Höhensatzes auf ein geeignetes Teildreieck Kathetensatz Höhensatz Mehrfache Anwendung des Kathetensatzes auf (Teil-)Dreiecke

19 Satz des Pythagoras Beweistypen bzw. -methoden (1) Kongruenzbeweis (2) Abbildungsbeweis (3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit (4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit (5) Arithmetischer Beweis (6) Ähnlichkeitsbeweis (7) Methoden der analytischen Geometrie

20 Kongruenzbeweis Beweis: (I) AAAA BBBB AA ΔCCCCCC = AA ΔAAAAAA Euklid: Die Elemente H C J A L1 G B F (II) CCLL 1 BBBB AA ΔLL1 EEEE = AA ΔCCCCCC (III) Zu zeigen: ΔAAAAAA ΔCCCCCC (1) AAAA = EEBB (2) FFFFAA = CCBBEE (3) BBFF = BBBB SSWWWW ΔAAAAAA ΔCCCCCC A ΔAAAAAA = AA ΔCCCCCC 1, 2,(3) AAΔCCCCCC = AA ΔLL1 BBBB [Hypotenuse cc] [90 + ββ] [Kathete aa] Kongruenzbeweis D aa 2 = cc LL 1 BB [Kathetensatz 1. Teil] L2 E Analog ergibt sich: bb 2 = cc AALL 1 aa 2 + bb 2 = cc LL 1 BB + cc AALL 1 = cc LL 1 BB + AALL 1 = cc cc = cc 2 [Kathetensatz 2. Teil]

21 Abbildungsbeweis (Im Unterricht über Flächeninhaltsvergleiche) Scherung Drehung Scherung C C C C A B A B A B A B C C C A B A B A B

22 Prinzip der Zerlegungsgleichheit Stuhl der Braut

23 Prinzip der Ergänzungsgleichheit Altindischer Ergänzungsbeweis c² a² b²

24 Prinzip der Ergänzungsgleichheit Puzzle-Beweis Roth: Pythagoras Ergänzungsbeweispuzzle Arbeitsblatt (Textdatenbank) 4.24

25 Prinzip der Ergänzungsgleichheit Puzzle-Beweis Roth: Pythagoras Ergänzungsbeweispuzzle Arbeitsblatt (Textdatenbank) 4.25

26 Prinzip der Ergänzungsgleichheit Puzzle-Beweis Roth: Pythagoras Ergänzungsbeweispuzzle Arbeitsblatt (Textdatenbank) 4.26

27 Prinzip der Ergänzungsgleichheit Puzzle-Beweis Roth: Pythagoras Ergänzungsbeweispuzzle Arbeitsblatt (Textdatenbank) 4.27

28 Arithmetischer Beweis Hinweis Ein Beweis wird hier arithmetisch genannt, wenn (evtl. anhand einer vorliegenden Figur) ausschließlich algebraische Umformungen durchgeführt werden. Beispiel Kathetensatz Satz des Pythagoras Vor: aa 2 = c pp uuuuuu bb 2 = cc qq aa 2 + bb 2 = cc pp + cc qq = cc (pp + qq) = cc cc = cc 2 bbb cc qq cc pp aa

29 Algebraischer Beweis Beweis von J.A. Garfield (1881 Präsident der U.S.A.) (1) AA Trapez = AA Δ1 + AA Δ2 + AA Δ3 = 1 2 aabb aabb cc2 AA Trapez : Flächeninhalt des Trapezes = aabb cc2 (2) AA Trapez = aa+cc h = aa+bb (aa + bb) 2 2 aa + bb 2 = 1 2 aa ΔΔ 11 cc ΔΔ 33 cc ΔΔ 22 bb = 1 2 aa2 + 2aabb + bb 2 Gleichsetzen der Terme aus (1) und (2) liefert: 1 2 aa2 + 2aabb + bb 2 = aabb cc2 aa 2 + 2aabb + bb 2 = 2aabb + cc 2 aa 2 + bb 2 = cc 2 2 2aaaa bb aa 4.29

30 Ähnlichkeitsbeweis C A b q D h c p a B ΔAAAAAA ΔAAAADD ΔCCCCDD (wwww) h = qq pp h h 2 = pp qq Höhensatz bb = cc qq bb aa = cc pp aa bb 2 = cc qq aa 2 = cc pp Kathetensatz 4.30

31 Kriterien zur Auswahl von Beweismethoden Eigentätigkeit Großteil der Schüler muss in der Lage sein, durch Eigentätigkeit, den Beweis oder die entscheidende Beweisidee selbst zu entdecken bzw. einen wesentlichen Beitrag dazu zu leisten Vielfalt Schüler sollen unterschiedliche Beweismethoden kennen lernen Anschauen und Begreifen Beweis lässt sich gut visualisieren oder enaktiv erarbeiten. Verständnis fördern Beweis ist leicht durchschaubar Beweis erleichtert eine wichtige Erkenntnis Beispiel: Satzgruppe des Pythagoras: Aussagen über Flächeninhalte Sollte beim Beweis direkt erkennbar sein 4.31

32 Satzgruppe des Pythagoras Anwendungen Ebene Geometrie Berechnungen Diagonale des Rechtecks Höhe & Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks Abstand zweier Punkte (im Koordinatensystem) Kreistangenten und Sehnen Reguläre n-ecke Kosinussatz Konstruktionen Flächenverwandlung Strecken der Länge nn 3 Raumgeometrie Berechnungen Raumdiagonalen Längen im Raum

33 Satzgruppe des Pythagoras Anwendungen Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat Kathetensatz Höhensatz q l c b 4.33

34 Satzgruppe des Pythagoras Anwendungen Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat Kathetensatz Ausgangspunkt: Figur zum Kathetensatz b² a² c q Kann man ein Quadrat der Figur konstruieren, wenn man ein Rechteck hat? c q Konstruktion der entsprechenden Kathete. c p Welche Schritte sind notwendig? 4.34

35 Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen 4.4 Beweisen als Tätigkeit 4.35

36 Beweisen als Tätigkeit Beweisen Beweisfindung = Problemlösen Beweisdarstellung Vorwärtsarbeiten direkt indirekt beschreibend symbolisch Rückwärtsarbeiten heuristische Hilfsmittel verständlich evtl. unübersichtlich übersichtlich evtl. unverständlich Spezialfall Analogon Voraussetzung & Behauptung erschließen Skizze Hilfslinien 4.36

37 Beweisdarstellung Aussage Jeder Punkt PP der Mittelsenkrechten mm einer Strecke [AAAA] ist gleich weit von den beiden Endpunkten der Strecke entfernt. Voraussetzung (1) PP mm (2) mm AAAA (3) MM mm AAAA (4) AAAA = BBBB mm PP Behauptung AAAA = BBBB AA MM BB 4.37

38 Beweisdarstellung Beschreibend Wir betrachten die Dreiecke ΔAAAAAA und ΔMMMMMM und zeigen deren Kongruenz. mm mm ist Mittelsenkrechte der Seite [AAAA]. PP m steht also senkrecht auf der Seite [AAAA] und halbiert sie im Schnittpunkt MM. Damit ist die Seite [AAAA] des Dreiecks ΔAAAAAA genau so lang wie die Seite [MMMM] des Dreiecks ΔMMMMMM. AA MM Die bei MM liegenden Innenwinkel der beiden Dreiecke sind jeweils rechte Winkel und damit gleich groß. Schließlich ist die Seite [MMMM] beiden Dreiecken gemeinsam. Damit stimmen die beiden Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, sind also nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent. Da kongruente Dreiecke in allen sich entsprechenden Teilen kongruent sind, stimmen auch die dritten Seiten überein, d. h. die Strecken [AAAA] und [BBBB] sind gleich lang. BB Symbolisch Vor.: a) PP mm b) mm AAAA c) AAAA = BBBB Beh.: AAAA = BBBB Bew.: Beweisidee: ΔAAAAAA ΔMMMMMM (1) AAAA = BBBB Vor. c) (2) PPPPPP = BBBBBB = 90 Vor. b) (3) PPPP = PPPP Identität ΔAAAAAA ΔMMMMMM AAAA = BBBB (1);(2);(3);SWS entspr. Seiten in kongruenten Δ 4.38

39 Beweistechniken direkter Beweis pp qq indirekter Beweis (Beweis durch Kontraposition) qq pp Widerspruchsbeweis pp qq Abkürzungen: pp: Voraussetzung des Satzes qq: Behauptung des Satzes 4.39

40 Wiederspruchsbeweis Satz Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat, ist Lot zum Kreisradius durch diesen Punkt. Vor.: gg kk(mm; rr) = {PP} kk Beh.: gg PPPP MM Beweis (Widerspruchsbeweis) rr Annahme: gg kk(mm; rr) = {PP} und (gg, PPPP) 90 PP Der Fußpunkt QQ des von MM auf gg QQ gefällten Lotes ist von PP verschieden. Im rechtwinkligen Dreieck ΔPPPPPP gilt QQQQ < PPPP = rr, da dem größten Winkel die längste Seite gegenüberliegt. Der Punkt QQ gg liegt, wegen QQQQ < rr innerhalb des Kreises. Die Gerade gg schneidet kk(mm; rr) in zwei Punkten. Die Annahme war also falsch und es gilt (gg, PPPP) = 90. gg Widerspruch zur Vor.!! 4.40

41 Beweisen als lokales Ordnen Beweisen Aufbau einer Hierarchie von Sätzen von der Voraussetzung bis hin zur Behauptung der zu beweisenden Aussage. Das lokale Ordnen besteht in dieser Rückführung der Behauptung auf andere Aussagen. Suche nach geeigneten Sätzen. Entschieden, ob eine untergeordnete Aussage bewiesen werden muss. Voraussetzung: Fähigkeit, zwischen einem Satz und einer Definition zu unterscheiden. 4.41

42 Beweisen als lokales Ordnen Beispiel Zu zeigen: In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich groß. (Basiswinkelsatz) Aus folgt folgt folgt Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (die dritte Seite heißt Basis). In gleichschenkligen Dreiecken ist die Seitenhalbierende der Basis auch deren Mittelsenkrechte. Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch bzgl. der Mittelsenkrechten der Basis. die Behauptung des Basiswinkelsatzes. (Definition) (Beweisen!) (Beweisen!) 4.42

43 Lokales Ordnen Weigand et al. (2014): Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe I. Heidelberg: Springer Spektrum, S. 27f 4.43

44 Argumente für das Argumentieren und Beweisen Beweisen bedingt die Entwicklung vieler für den Alltag wichtiger Fähigkeiten: Notwendigkeit einer gemeinsamen Argumentationsgrundlage erkennen Schlüssigkeit und Wahrheitsgehalt von Aussagen beurteilen vollständig und richtig argumentieren generalisieren, spezialisieren, analogisieren Probleme lösen Phantasie und Akribie individuelle Leistungsbereitschaft und kooperatives Denken Bescheidenheit und Selbstbewusstsein Einsicht in (mathematische) Sachverhalte gewinnen Beweisen ist eine wesentliche Facette der Mathematik 4.44

45 Methodische Überlegungen zum Beweisen Erst Satzfindung, dann Beweisfindung! Satz ergibt sich meist aus einem Problem Auffälliges entdecken Besonderes Selbstverständliches Phasenmodell zum Beweisen im MU Verbalisieren des Satzes Einsicht in die Notwendigkeit einer Begründung Beweisfindung Verbalisieren des Beweises Rückblick Satz einordnen Variieren Weiterfragen 4.45