Dreieckskonstruktionen und Kongruenzsätze

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1 Dreieckskonstruktionen und Kongruenzsätze 27. Oktober 2009 Vertr. Prof. Dr. Katja Krüger Universität Paderborn Didaktik der Geometrie II (Klasse 7-10) 1

2 Inhalt Was sollen eigentlich Figuren sein? Kongruente Figuren Kongruenzsätze Beweisen mit Kongruenzsätzen Niveaustufen des Beweisens 2

3 Inhalte des Geometrieunterrichts Klasse 7-8 Klasse Figurenlehre 1. Ähnlichkeitsgeometrie Dreiecke, Schnittpunktsätze Spezielle Vierecke Kreis und Kreistangente Winkelsätze Prismen Ähnliche Figuren Strahlensätze Zentrische Streckung Ähnlichkeitssätze Ähnlichkeitsabbildungen 2. Kongruenzgeometrie Kongruente Figuren Kongruenzsätze für Dreiecke Beweisen mit Kongruenzsätzen Kongruenzabbildungen nach Holland: Geometrie in der Sekundarstufe 2007, S. 26) Gymnasium 2. Satzgruppe des Pythagoras 3. Darstellende Geometrie Schrägbild und Mehrtafelprojektionen 4. Messen und Berechnen Kreisumfang und -fläche Oberfläche und Volumen von Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel 5. Trigonometrie 3

4 Was sollen eigentlich ebene (und räumliche) Figuren sein? 4

5 Punktmengenauffassung Ebene und Raum werden als Menge von Punkten aufgefasst. Figuren werden dann als Teilmengen aufgefasst und sind ortsfest. -Vorteil: Anwendbarkeit der Mengensprache (z.b. und ) und somit präzise Bedeutungen der Operationen mit Figuren (z.b. Inzidenz, Abbilden) Nachteil: Probleme beim Anwenden von Geometrie im Alltag 5

6 Körperauffassung Ebene und Raum enthalten idealisierte Figuren und Körper. Sonst sind sie leer. Diese Objekte betrachtet man oft nicht als ortsfest, sondern als beweglich (allgemeiner als verformbar). Vorteil: Natürlicher als die Punktmengenauffassung. Nachteil: Schwierigkeiten beim Lernen des geometrischen Abbildungsbegriffs. 6

7 Für den Geometrieunterricht bis Klasse 10 genügt die Körperauffassung. Diese herrscht h in der Raumgeometrie schon immer vor (Prinzip der Bewegung). Im Lernprozess tritt die Körperauffassung vor der Punktmengenauffassung auf. Die bei der Punktmengenauffassung mögliche Präzisierung zahlt sich in der Sek I nicht aus. Geometrisches Denken n kann man auch bei der Körperauffassung lernen. 7

8 Kongruente Figuren Leitidee Raum und Form : Die Schülerinnen und Schüler beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens lö zur Analyse von Sachzusammenhängen. 8

9 Kongruente Figuren - gleiche Form und Größe Aus Mathematik heute 7, Ausgabe Hessen, Schroedel 1995, S.98 9

10 Kongruente Figuren und Kongruenzabbildungen Für zwei ebene Figuren f und g gilt: f heißt kongruent zu g, wenn es eine ebene Kongruenzabbildung gibt, die f auf g abbildet. Schreibweise f g. Lambacher Schweizer 6, Mathematik für Gymnasien. Hessenausgabe. Stuttgart: Klett 2006, S

11 Kongruente Figuren Gleichheit entsprechender Streckenlängen und Winkel Anmerkung: Dieser Satz folgt aus der Invarianz von Längen und Winkeln bei Kongruenzabbildungen. Zur Überprüfung von Kongruenz (s.o.) benötigt man die Umkehrung dieses Satzes. 11

12 Bedeutung des Kongruenzbegriffes Fundamentaler Begriff der ebenen und räumlichen Geometrie: Die Kongruenzrelation spielt bei der Berechnung von Flächenund Rauminhalten eine grundlegende Rolle (Zerlegungs- und Ergänzungsgleichheit) Die Kongruenzmethode dient als Mittel zum Beweisen. 12

13 Zerlegungsgleichheit Zwei Vielecke heißen zerlegungsgleich, l wenn man sie in kongruente Teilvierecke zerlegen kann. Zerlegungsgleiche l Flächeninhalte h lt haben denselben Flächeninhalt. 13

14 Flächeninhalt des Parallelogramms Zerlegungsgleiche Vielecke Ergänzungsgleiche Vielecke 14

15 Grundkonstruktionen eines Dreiecks Welche Daten eines Dreiecks müssen bekannt sein, damit alle Schüler dasselbe Dreieck konstruieren? 15

16 Alle Maße brauchen wir doch gar nicht Aus Maßstab 7, Hauptschule Nord, Schroedel 2000, S

17 Kongruenzsätze entdecken Ausganspunkt einer Lernsequenz: Gegeben seien die Seiten a und c eines Dreiecks. Zwei Seiten eines Dreiecks genügen nicht. Wähle eine dritte Größe: Sind dann die übrigen Dreiecksgrößen schon eindeutig festgelegt? Alternativ: Experimentieren mit Winkelfeldern und Streckenlängen aus Pappe (vgl. Rinkens-Skript S 75f.) 17

18 Grundkonstruktionen von Dreiecken Mathe live 7 (Gesamtschulen), Klett 2000, S. 81. Warum fehlt auf dieser Schulbuchseite der Ssw? 18

19 Sachaufgaben zu Dreieckskonstruktionen 19

20 Beweisen mit Kongruenzsätzen 20

21 Kongruenzsätze: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie.. 1. in allen drei Seiten übereinstimmen i (sss). 2. in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (sws). s) 3. in einer Seite und den anliegenden Winkeln übereinstimmen (wsw). 4. in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüber liegt, übereinstimmen (Ssw). usw. 21

22 In jedem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. 22

23 Die Mittellinie in einem Dreieck ist halb so lang wie die Grundlinie und parallel zu dieser. 23

24 Kongruenzmethode Bei vielen Beweisen in der Geometrie muss man auf die Gleichheit von Längen (oder Winkeln) schließen. Dazu sucht man in der Beweisfigur nach Paaren kongruenter Dreiecke, deren Kongruenz über die Kongruenzsätze bewiesen wird. 24

25 Niveaustufen des Beweisens Wie ausführlich und formal soll eine Beweis sein? (nach Holland 2007, Kap. 6.4) 25

26 Stufe des Argumentierens Geometrie als Lehre vom Anschauungsraum zielt auf das einsichtige und beziehungsreiche Lernen geometrischer Sätze und Verfahren. Für Aussagen, deren Allgemeingültigkeit nicht unmittelbar einsichtig ist, bedarf es dazu eines Beweises. Ziel: Aha-Erlebnis vermitteln durch geeignete gn Veranschaulichungen (Folien, Modelle, ) Kein schriftlicher Beweis, sondern mündliche Argumentation Bezugnahme auf Beweisfigur (diese variabel sehen, DGS) 26

27 Stufe des Argumentierens Aus Mathematik heute 7, Ausgabe Hessen, Schroedel 1995, S

28 Erste Beweisaktivitäten am Beispiel des Winkelsummensatzes 1. Entdeckung und Formulierung des Winkelsummensatzes an einer (vorgefertigten) Parkettierung mit kongruenten Dreiecken. 2. Argument: Der Winkelsummensatz gilt für alle Dreiecke, weil man die Ebene mit beliebigen kongruenten Dreiecken parkettieren kann. 3. Vertiefung auf der Niveaustufe uf des inhaltlichen n Schließens: Folgerung des Winkelsummensatzes aus dem Wechselwinkelsatz. 28

29 Stufe des inhaltlichen Schließens Ziel: Sicherung der Allgemeingültigkeit l i i der zu beweisenden Aussage. Notation ti des Beweises s als Sequenz von Beweisschritten. Übertriebene Ausführlichkeit wird vermieden. Weitgehend umgangssprachliche Darstellung. 29

30 Satz von Pythagoras: Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat so groß wie die beiden Kathetenquadrate zusammen. Argumentation durch Umlegen materieller kongruenter Dreiecke in einem Quadrat Inhaltliche Schlussfolgerung mittels Nachweis kongruenter Dreiecke mit Bezug auf Abbildung 30

31 Stufe des formales Schließens Auf dieser Stufe des Beweisens wird der Beweis vorrangig unter dem Aspekt der Geometrie als deduktiver Theorie gesehen. Der Beweis soll aufdecken, aus welchen anderen Sätzen der Beweis gefolgert g werden kann, die somit Gründe seiner Gültigkeit sind. Sequenz von Beweiszeilen Die verwendeten Sätze werden angegeben Lückenlose Darstellung 31

32 In jedem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. (aus Holland 2007, S. 129) 32

33 Kompetenz: Mathematisch argumentieren Dazu gehört: Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch h sind ( Gibt es?, Wie verändert sich?, Ist das immer so? ) und Vermutungen begründet äußern, mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Begründungen, Beweise), Lösungswege beschreiben und begründen. Quelle: KMK-Bildungsstandards für den mittleren Bildungsabschluss