Didaktik der Geometrie

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1 Lektion 5: Ähnlichkeitsgeometrie, Körper Andreas Vohns Zugehöriges interaktives Video unter: Wintersemester 2017/8 Übersicht Übersicht Inhalte des Lehrplans Geometrische Modelle Modellbilden, Darstellen, Konstruieren Ähnlichkeitsgeometrie Ähnlichkeit und Strahlensätze Kreismessung Körper Objektbegriffe: Körper Volumensformeln für Körper 1

2 Übersicht: Inhalte des Lehrplans 5. Klasse: ausgehend von Objekten der Umwelt durch Idealisierung und Abstraktion geometrische Figuren und Körper sowie ihre Eigenschaften erkennen und beschreiben können, aufbauend auf die Grundschule Kenntnisse über grundlegende geometrische Begriffe gewinnen, Skizzen von Rechtecken, Kreisen, Kreisteilen, Quadern und ihren Netzen anfertigen können, Zeichengeräte zum Konstruieren von Rechtecken, Kreisen und Schrägrissen gebrauchen können, -Maßstabszeichnungen anfertigen und Längen daraus ermitteln können; Umfangs- und Flächenberechnungen an Rechtecken (und einfachen daraus zusammengesetzten Figuren), sowie Volums- und Oberflächenberechnungen an Quadern (und einfachen daraus zusammengesetzten Körpern) durchführen können, Formeln für diese Umfangs-, Flächen- und Volumsberechnungen aufstellen können; Winkel im Umfeld finden und skizzieren, Gradeinteilung von Winkeln kennen, Winkel mit dem Winkelmesser (Geodreieck) zeichnen können; einfache symmetrische Figuren erkennen und herstellen können. 6. Klasse: Dreiecke, Vierecke und regelmäßige Vielecke untersuchen, wesentliche Eigenschaften feststellen, -die Figuren skizzieren und konstruieren können, Erkennen, ob Angaben mehrdeutig sind oder überhaupt nicht in Konstruktionen umgesetzt werden können, kongruente Figuren herstellen können, die Kongruenz begründen können; 7. Klasse: Vergrößern und Verkleinern von Figuren, ähnliche Figuren erkennen und beschreiben; Formeln für Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken begründen und damit Flächeninhalte berechnen können, Umkehraufgaben lösen können, Gegenstände, die die Gestalt eines Prismas oder einer Pyramide haben, zeichnerisch darstellen können, Oberfläche, Rauminhalt und Gewicht von Gegenständen, die die Gestalt eines Prismas oder einer Pyramide haben, berechnen können; den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in ebenen Figuren nutzen können. 8. Klasse: den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in ebenen Figuren und in Körpern nutzen können, eine Begründung des Lehrsatzes des Pythagoras verstehen, Berechnungsmöglichkeiten mit Variablen darstellen können; Schranken für Umfang und Inhalt des Kreises angeben können, Formeln für die Berechnung von Umfang und Flächeninhalt des Kreises wissen und anwenden können, Formeln für die Länge eines Kreisbogens und für die Flächeninhalte von Kreisteilen herleiten und anwenden können; Formeln für die Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Drehzylindern und Drehkegeln sowie für die Kugel erarbeiten und nutzen können. Eigenschaften von Strecken- und Winkelsymmetralen kennen, und für Konstruktion anwenden können; Flächeninhalte von Figuren berechnen können, die sich durch Zerlegen o- der Ergänzen auf Rechtecke zurückführen lassen, Volumina von Prismen berechnen, möglichst in Anwendungsaufgaben. Geometrische Modelle Darstellen Wintersemester 2017/8 4 Modellbilden, Darstellen, Konstruieren Lehrplan Skizzen von [...] Quadern und ihren Netzen anfertigen Zeichengeräte zum Konstruieren von [...] Schrägrissen gebrauchen Maßstabszeichnungen anfertigen und Längen daraus ermitteln Gegenstände, die die Gestalt eines Prismas oder einer Pyramide haben, zeichnerisch darstellen 2

3 Geometrische Modelle Darstellen Wintersemester 2017/8 5 Modellbilden, Darstellen, Konstruieren Standards M8... in der Lesart dieser Lehrveranstaltung Modellbilden reale Gegenstände durch mathematische Figuren und Körper beschreiben und ggf. auch zeichnerisch... Darstellen Zeichnungen erstellen, denen geometrische Figuren als Gestaltungselemente zu Grunde liegen. Konstruieren Mit ausgewählten Werkzeugen, über die man gut Bescheid weiß, Zeichnungen regelgeleitet erstellen, aus denen man sich zutraut, auch Zusammenhänge über die zu Grunde liegenden Figuren zu entnehmen. Alle drei haben mit geometrischen Modellen zu tun Ähnlichkeit Ähnlichkeit...& Strahlensätze Wintersemester 2017/8 6 Intuitives Begriffsverständnis: Maßstab (1. Klasse) Expedition Mathematik 1 (Kraker, Plattner & Preis, 2007) 3

4 Ähnlichkeit...& Strahlensätze Wintersemester 2017/8 7 Ähnlichkeit Schulbuch-Erklärung: Ähnlichkeit (3. Klasse) Figürlich orientiert (Kraker, Plattner und Preis, 2009) Bei ähnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich groß und entsprechende Streckenlängen stehen im gleichen Verhältnis zueinander. Früher auch üblich: Abbildungsgeometrisch orientiert Zwei Figuren sind ähnlich, wenn eine Ähnlichkeitsabbildung (Verknüpfung von Kongruenzabbildung und zentrischer Streckung) existiert, die die eine auf die andere abbildet. Ähnlichkeit Ähnlichkeit...& Strahlensätze Wintersemester 2017/8 8 Figuren vergrößern und verkleinern Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009) 4

5 Ähnlichkeit...& Strahlensätze Wintersemester 2017/8 9 Ähnlichkeit Figuren vergrößern und verkleinern Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009) Ähnlichkeit...& Strahlensätze Wintersemester 2017/8 10 Strahlensätze Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009) 5

6 Ähnlichkeit...& Strahlensätze Wintersemester 2017/8 11 Strahlensätze: Begründung Ähnlichkeit...& Strahlensätze Wintersemester 2017/8 12 Strahlensätze: Begründung Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009) 6

7 Ähnlichkeit...& Strahlensätze Wintersemester 2017/8 13 Strahlensätze: Anwendungen Ähnliche Dreiecke Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009) Ähnlichkeit...& Strahlensätze Wintersemester 2017/8 14 Strahlensätze: Anwendungen Vermessungsprobleme: Messung kleiner und großer Strecken wird wechselseitig austauschbar (auch: unzugängliche Strecken können vermessen werden) Teilungsprobleme: Vorgegebene Strecken lassen sich in jedem (kommensurablen) Verhältnis teilen: (alte) Anwendung: Nomogramme (Rechenblätter) Bildquellen: Lambacher und Schweizer (1971) 7

8 Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 15 Didaktische Aufgaben Sachverhalte erarbeiten (Grundfragen des MU) Entdecken von Sachverhalten Induktiv, deduktiv o. Hypothesen widerlegen Beispiel: Quadrieren vergrößert. Formulieren der Sachverhalte als mathematische Aussagen Begründen der Aussagen Logische Struktur (Voraussetzung, Behauptung) herausarbeiten Ziele des Begründens Wahrheit einer Aussage sichern Einsicht in den Sachverhalt vermitteln Verstehen der Sachverhalte Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu (neuen) mathematischen Erkenntnissen führen Jürgen Roth Fachdidaktische Grundlagen 2 2 = 4 > = 9 > = 16 > 4 aa 2 > aa aa R\[0; 1] Fallunterscheidung y 3 2,5 1,5 0,5-1,5-1 -0,5 0,5 1 1,5 (Roth (2016) in Anlehnung an Vollrath und Roth, 2012, S. 248) x 146 Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 16 Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009) 8

9 Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 17 Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009) Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 18 Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009) 9

10 Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 19 Mathematik heute 9 (Realschule (DE); Griesel und Postel, 2002) Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 20 Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006) 10

11 Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 21 Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006) Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 22 Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006) 11

12 Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 23 Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006) Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 24 Nach einer Idee von Danckwerts und Vogel (2003) 12

13 Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 25 Ähnlichkeitsbeweis der Satzgruppe Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 26 Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006) 13

14 Ähnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 27 Mathematik heute 9 (Realschule (DE); Griesel und Postel, 2002) Ähnlichkeit Kreismessung Wintersemester 2017/8 28 Kreismessung Näherung Expedition Mathematik 4 (Kraker, Plattner & Preis, 2010) 14

15 Ähnlichkeit Kreismessung Wintersemester 2017/8 29 Kreismessung Iteration (mit DGS) Ähnlichkeit Kreismessung Wintersemester 2017/8 30 Kreismessung Iteration (mit Rechnung) Wir beschränken uns im Folgenden auf einbeschriebene n-ecke. Wir zeigen, wie man aus der Seitenlänge s n und dem Inkreisradius ρ n des regelmäßigen n-ecks diejenigen des regelmäßigen 2n-Ecks rekursiv berechnen kann (siehe Figur): Es sei AB = BC =... = s 2n die Seitenlänge des regelmäßigen 2n-Ecks und AC = s n diejenige des regelmäßigen n-ecks. Ferner sei x = PB = r ρ n, wobei ρ n = MP der Inkreisradius des regelmäßigen n-ecks ist. Nach dem Kathetensatz für Dreieck BCH gilt: s 2n ² = BC² = BP BH = x 2 r = (r ρ n ) 2 r H M C ρ n s 2n P r ρ 2n s n B Q A Damit erhält man: s 2n = 2 r (r ρ n) (I) für Dreieck MAQ ergibt: ρ 2n ² = r² (s 2n /2)² = r (r + ρ n )/2. Damit erhält man: ρ 2n = r (r +ρ n) / 2 (II) Krauter und Bescherer (2013) 15

16 Körper Wintersemester 2017/8 31 Raumvorstellung Pflichtlektüre Quelle: Arbeitsgemeinschaft Didaktische Innovation für Geometrie (2015) Körper Körperbegriffe Wintersemester 2017/8 32 Objektbegriffe: Körper Wahrnehmen und Beschreiben: (1. Klasse) Expedition Mathematik 1 (Kraker et al., 2007) 16

17 Körper Körperbegriffe Wintersemester 2017/8 33 Objektbegriffe: Körper Darstellen: Schrägrisse (1. Klasse) Expedition Mathematik 1 (Kraker et al., 2007) Körper Körperbegriffe Wintersemester 2017/8 34 Objektbegriffe: Körper Darstellen: Projektionen (GZ) (Krauter & Bescherer, 2013) 17

18 Körper Körperbegriffe Wintersemester 2017/8 35 Objektbegriffe: Körper Darstellen: Schrägrisse (6. Schulstufe (DE)) Bildquelle: Weigand (2004) Körper Körperbegriffe Wintersemester 2017/8 36 Objektbegriffe: Körper Konstruieren: Schrägrisse (3. Klasse) Das ist Mathematik 3 (2. Auflage; Reichel, Litschauer und Gross, 2003) 18

19 Körper Körperbegriffe Wintersemester 2017/8 37 Objektbegriffe: Körper Abfolge / Systematik Prisma Bildquelle: Weigand (2004) Körper Körperbegriffe Wintersemester 2017/8 38 Objektbegriffe: Körper Abfolge / Systematik Bildquelle: Weigand (2004), Affolter (2011) 19

20 Körper Volumen Wintersemester 2017/8 39 Volumen: Würfel und Quader Maßbegriff bilden: (1. Klasse) Quelle: Baireuther (1990, S. 85) Körper Volumen Wintersemester 2017/8 40 Volumen: Prisma Zerlegen (3. Klasse) Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009) 20

21 Körper Volumen Wintersemester 2017/8 41 Volumen: Pyramide Zerlegen (3. Klasse) Körper Volumen Wintersemester 2017/8 42 Volumen: Pyramide Schüttversuch, Zerlegen (3. Klasse) Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009) 21

22 Körper Volumen Wintersemester 2017/8 43 Volumen: Cavalieri-Prinzip Herleitung (anschaulich) Mathematik 9 (Griesel & Postel, 2002) Körper Volumen Wintersemester 2017/8 44 Volumen: Zylinder Näherung (4. Klasse) Expedition Mathematik 4 Kraker et al.,

23 Körper Volumen Wintersemester 2017/8 45 Volumen: Kegel Näherung (4. Klasse) Expedition Mathematik 4 Kraker et al., 2010 Körper Volumen Wintersemester 2017/8 46 Volumen: Cavalieri-Prinzip Kegelvolumen: Begründung Mathematik heute 9 (Griesel & Postel, 2002) 23

24 Körper Volumen Wintersemester 2017/8 47 Volumen: Cavalieri-Prinzip Kugelvolumen: Begründung Literatur Quelle: Howe (2013) Affolter, W. (Hrsg.). (2011). Das Mathematikbuch 7, Ausgabe A: Lernumgebungen. Stuttgart: Klett. Arbeitsgemeinschaft Didaktische Innovation für Geometrie. (2015). Raumvorstellung die vier Faktoren. Baireuther, P. (1990). Konkreter Mathematikunterricht. Bad Salzdetfurth: Franzbecker. Danckwerts, R. & Vogel, D. (2003). Dynamisches Visualisieren und Mathematikunterricht. Ein Ausloten der Chancen an zwei Beispielen. Mathematik lehren, (117), 19 22, 39. Griesel, H. & Postel, H. (Hrsg.). (2002). Mathematik heute 9, Realschule. Schulbuch. Schroedel Verlag. Heinrich, R., Hirsch, A., Rothkirsch, U., Schmidt, U., Schneider, C., Schunk, J. & Unger, M. (Hrsg.). (2006). Level 9 Mathematik: Lehrbuch für die Klasse 9 Gymnasium Sachsen. Berlin, Frankfurt a. M.: DUDEN PAETEC Schulbuchverlag. Howe, P. (2013). Herleitung des Kugelvolumens mit Halbkugel und Vergleichskegel (GeoGebra Applet, CC BY 3.0). Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2007). Expedition Mathematik 1: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner. Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2009). Expedition Mathematik 3: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner. Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2010). Expedition Mathematik 4: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner. Krauter, S. & Bescherer, C. (2013). Erlebnis Elementargeometrie. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. Lambacher, T. & Schweizer, W. (1971). Geometrie. Lambacher-Schweizer Mathematisches Unterrichtswerk. Stuttgart: Klett. Reichel, H.-C., Litschauer, D. & Gross, H. (2003). Das ist Mathematik: Lehrbuch und Aufgabensammlung für die 3. Klasse der allgemeinbildenden höheren Schulen und der Hauptschulen (2. Aufl.). Wien: öbv & hpt. Roth, J. (2016). Fachdidaktische Grundlagen: Vorlesungsfolien. Koblenz. Zugriff unter Vollrath, H.-J. & Roth, J. (2012). Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (2. Aufl.). Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. Weigand, H.-G. (2004). MaDiN:. 24