Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Auf den Spuren von Leibniz. Doris Walkowiak, Görlitz VORANSICHT. 11 und 12 (G8) 7 Stunden. Klasse Dauer Inhalt

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1 Reihe 11 S 1 Verlauf Material Auf den Spuren von Leibniz die Differenzialrechnung anwenden Doris Walkowiak, Görlitz Klasse Dauer Inhalt Ihr Plus 11 und 12 (G8) 7 Stunden Gottfried Wilhelm Leibniz ( ), einer der bedeutendsten Mathematiker und Philosophen des 17./18. Jahrhunderts Gipsbüste, Leibniz Bibliothek Hannover Differenzenquotient; Differenzialquotient; Faktor-, Summen- und Potenzregel; GTR; Eigenschaften von Funktionen; mathematische Modellierung; Ableitung im Kontext von Physik und Wirtschaft GEONExT-Dateien und Excel-Tabellen Foto: picture-alliance / dpa Das mathematische Wissen anwenden und damit Probleme aus unterschiedlichsten Bereichen lösen zu können, sind zentrale Anforderungen an unsere Schülerinnen und Schüler. Gerade die Differenzialrechnung bietet vielfältige Ansätze für problemorientiertes, fachübergreifendes und praxisnahes Arbeiten. Nicht nur in der Physik, wo man die Bewegungsgesetze herleiten kann, spielt die Differenzialrechnung eine Rolle. Auch in der Wirtschaft zur Berechnung von Grenzkosten oder zur Maximierung des Gewinns, in der Natur bei Wachstums- und Zerfallsprozessen, im Bauwesen bei der Geländegestaltung oder zur Ermittlung des Materialbedarfs kann man auf die Differenzialrechnung nicht verzichten. Das vorliegende Material gibt hierzu einige Anregungen.

2 Reihe 11 S 2 Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Dem Problemlösen als überfachlicher Kompetenz kommt in der Mathematik gerade in der Sekundarstufe 2 eine besondere Bedeutung zu. Dabei geht es darum, problemhafte Aufgaben zunächst zu erfassen und zu beschreiben. Anschließend wendet man Techniken für deren Lösung an. Die Lösung hinterfragt man kritisch und modiiziert sie gegebenenfalls. Dies erfordert umfangreiches fachübergreifendes Wissen und die Fähigkeit zu komplexem und logischem Denken. Dabei spielt insbesondere die Modellbildung eine große Rolle. Praktische Sachverhalte muss man auf ihren mathematischen Kern reduzieren, Lösungsansätze bestätigen oder auch verwerfen und die Ergebnisse kritisch bewerten. Darüber hinaus lernen die Schülerinnen und Schüler in diesem Beitrag, die ihnen zur Verfügung stehenden Informationsquellen und Hilfsmittel, wie Lehrbücher, Internet, graischen Taschenrechner (GTR) und Excel-Tabellen, zielgerichtet einzusetzen. Voraussetzungen für den Einsatz der Materialien Fast alle Materialien dienen der Festigung und Anwendung, setzen also voraus, dass Sie die entsprechenden Inhalte vorher vermittelt haben. Eine Ausnahme bilden die Materialien M 1 und M 2, die für die Erarbeitung (bzw. Wiederholung) des Differenzen-/ Differenzialquotienten gedacht und als Selbstlerneinheit konzipiert sind. Zur graischen Veranschaulichung empiehlt sich ein Computer. Die vorliegenden GEONExT-Dateien wurden mit Version 1.73 erstellt und können direkt als HTML-Datei in einem gängigen Browser (mit integrierter Java-Plattform) geöffnet werden. Dazu muss sich die Datei geonext.jar im selben Ordner wie die Beispiele beinden. Bei allen Materialien wird der sichere Umgang mit dem graischen Taschenrechner (GTR), z.b. bei der Bestimmung von Extrema, Ableitungen, Integralen, Tangenten, und beim Lösen von Gleichungen, vorausgesetzt (hier verwendet: TI-84). Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz Zentrale Leitidee der Klassenstufen 11 und 12 ist der funktionale Zusammenhang. Die Schülerinnen und Schüler vertiefen und erweitern ihre Kenntnisse durch die Einführung weiterer Funktionsklassen, Begriffe und Arbeitsweisen. Allg. mathematische Kompetenz K 2, K 3, K 4, K 5 Leitidee L 4 Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler... erstellen ein mathematisches Modell und wenden ihr Wissen über Funktionen an, um komplexe, realitätsnahe Aufgaben (auch aus anderen Fachgebieten) zu lösen, bestimmen Eigenschaften von Funktionen rechnerisch und mithilfe des GTR, lösen auch Gleichungen mit dem GTR, um Problemlöseverständnis zu entwickeln und nicht nur schematisch umfangreiche Rechnungen durchzuführen. Anforderungsbereich II, III

3 Reihe 11 S 3 Verlauf Material Abkürzungen Kompetenzen K 1 (Mathematisch argumentieren); K 2 (Probleme mathematisch lösen); K 3 (Mathematisch modellieren); K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden); K 5 (Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen); K 6 (Kommunizieren) Leitideen L 1 (Zahl und Zahlbereich); L 2 (Messen und Größen); L 3 (Raum und Form); L 4 (Funktionaler Zusammenhang); L 5 (Daten und Zufall) Anforderungsbereiche I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Relektieren Minimalplan Der Zeitumfang für die Bearbeitung der Materialien beträgt in der Regel 45 Minuten, hängt aber stark von den Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler ab, problemorientierte Aufgaben zu lösen. Mit Ausnahme der Materialien M 1 und M 2 kann man die Aufgaben bzw. Beispiele losgelöst voneinander bearbeiten. Damit sind sie auch gut zur Binnendifferenzierung geeignet. Auf einen Blick Material M 1 Thema Von der Durchschnitts- zur Momentangeschwindigkeit Differenzenund Differenzialquotient M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 Einstieg über einen Begriff aus der Physik, die Momentangeschwindigkeit Differenzen- und Differenzialquotient auf einen Blick Wiederholungsblatt Im Gelände die 1. Ableitung anwenden Anstieg, Anstiegswinkel, Tangentengleichungen bestimmen, Potenz- und Wurzelfunktionen ableiten Mal langsam und mal schnell Ableitungen in der Physik Gleichmäßig beschleunigte Bewegung, harmonische Schwingung eines Fadenpendels, Potenz- und Winkelfunktionen ableiten, Kettenregel Minimum und Maximum Extremwertaufgaben lösen Kraftstoffverbrauch optimieren, Straßen und Geländestücke planen Kosten und Gewinne Aufgaben aus der Wirtschaft Grenzkosten berechnen, Cournot-Punkt bestimmen, Potenzfunktionen ableiten, Extremwertaufgaben lösen Überall Veränderungen die Differenzialrechnung anwenden Extremwertaufgaben, quadratische Regression mit GTR, waagerechter Wurf

4 S 1 M 1 Von der Durchschnitts- zur Momentangeschwindigkeit Differenzen- und Differenzialquotient Achtung Geschwindigkeitskontrolle! Der Fahrer des weißen VW Golf, der gerade noch mit 130 Sachen auf der Landstraße gerast ist, tritt kräftig auf die Bremse. Doch es ist zu spät schon blitzt es. Das wird teuer! Schon 1671 beschäftigte sich Newton mit der Momentangeschwindigkeit und entwickelte etwa zeitgleich mit Leibniz die Differenzialrechnung. Aufgaben 1. Wie kann man die Geschwindigkeit eines Fahrzeuges bestimmen? 2. Ein Pkw legt eine Messstrecke von 1000 m in 48 s zurück. a) Berechnen Sie seine Geschwindigkeit in km/h. b) Für die in a) angegebene Strecke ist eine Geschwindigkeitsbegrenzung von 80 km/h vorgeschrieben. Hat der Fahrer sich an diese Geschwindigkeit gehalten? Begründen Sie. Sir Isaac Newton ( ) 3. Das folgende Weg-Zeit-Diagramm stellt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung dar. a) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Abschnitt von 100 m bis 1000 m bzw. von 100 m bis 500 m. Lesen Sie die Werte aus dem Diagramm ab. b) Zeichnen Sie die Anstiegsdreiecke und die zugehörigen Geraden in das Diagramm. Wie nennt man diese Geraden? Foto: picture-alliance / Mary Evans Picture Library c) Anstelle der Durchschnitts- soll die Momentangeschwindigkeit am 100-m-Messpunkt bestimmt werden. Wie lässt sich eine möglichst genaue Messung realisieren? d) Zeichnen Sie die zugehörige Tangente t ein. Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit mithilfe des Anstieges der Tangente t bei s = 100 m. Ein zweiter Punkt der Tangente ist (45 480). Radargerät Foto: Pixelio, Paul-Georg Meister

5 S 2 M 2 Differenzen- und Differenzialquotient auf einen Blick Fassen Sie Ihre Erkenntnisse aus dem Beispiel zur Momentangeschwindigkeit (M 1) zusammen. Füllen Sie die Lücken aus. Wählen Sie aus: Tangente, Sekante, Durchschnitts-, Momentan-, Differenzen-, Differenzial- geschwindigkeit geschwindigkeit s s Anstieg der : v = Anstieg der : v = lim t t 0 t quotient quotient Merke: Die 1. Ableitung berechnen Den Grenzwert des Differenzenquotienten für x x 0 nennt man die 1. Ableitung der Funktion f an der Stelle x o. Bezeichnung: f'(x 0) = f(x) f(x ) f'(x ) lim 0 x x 0 x x 0 0 Beispiel: Sei f(x) = x²; 1. Ableitung an der Stelle x 0 : 2 2 x x 0 (x x 0)(x + x 0) f (x 0 ) = lim = lim = lim (x + x ) = 2 x x x0 x x x x0 x x x x Allgemein gelten: 1. Potenzregel: f(x) = a x n f (x) = a n x n 1, a r (hier: f (x) = 2x). 2. Faktorregel: Ein konstanter Faktor a r bleibt beim Ableiten erhalten. 3. Summenregel: Summen werden gliedweise abgeleitet. f(x) = g(x) + h(x) f (x) = g (x) + h (x) Aufgabe für Experten Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mithilfe der Datei Differenzialquotient.html.

6 S 4 M 4 Mal langsam und mal schnell Ableitungen in der Physik Um Gleichungen herzuleiten, nutzt man in der Physik häuig Ableitungen. Die stehen doch alle in der Formelsammlung, werden Sie jetzt vielleicht denken. Ob das wirklich so ist, werden Sie bei den folgenden Beispielen sehen. Beispiel 1: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Aufgaben Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt folgendes Weg-Zeit- Gesetz: 1 2 s(t) = at + v0 t + s0 v 2 0 = Anfangsgeschwindigkeit; s 0 = Anfangsweg 1. Bilden Sie die 1. und die 2. Ableitung des Weges nach der Zeit. Welche Größen können Sie mit den erhaltenen Gleichungen berechnen? 2. Zeichnen Sie für die ersten 5 s die zugehörigen Diagramme, wenn a = 4 m/s², v 0 = 10 m/s und s 0 = Ein Körper bewegt sich entsprechend der folgenden Gleichung: s(t) = 0,5 t t 3 5t 2 + 4t (0 t 4s) a) Stellen Sie den Graphen der Funktion auf Ihrem GTR dar. b) Beschreiben Sie die Bewegung im angegebenen Zeitraum. c) Mit welcher Geschwindigkeit beginnt und endet die Bewegung? d) Wann ist die Geschwindigkeit am kleinsten [am größten]? Wie groß ist sie dann? e) Zu welchen Zeiten ist die Beschleunigung 0? Beispiel 2: Harmonische Schwingung eines Fadenpendels Eine harmonische Schwingung lässt sich z. B. durch folgende Gleichung beschreiben: y(t) = y max cos(ω t) mit ω = 2π f Kreisfrequenz Aufgaben 4. Bilden Sie wie im Beispiel 1 die 1. Ableitung y (t), um die Gleichung für die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t zu erhalten. Beachten Sie, dass es sich hier um eine verkettete Funktion handelt. 5. Ein Pendelkörper wird um 5 cm ausgelenkt und führt nach dem Loslassen 20 Schwingungen pro Minute aus. a) Zeichnen Sie mit Ihrem GTR das y-t-diagramm. Bogenmaß einstellen: MODE RADIAN! b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit nach 4 s und im tiefsten Punkt der Schwingung. c) Zeichnen Sie das v-t-diagramm. d) Nach welcher Zeit wird erstmals eine Geschwindigkeit von 5 cm/s erreicht?

7 S 6 M 6 Kosten und Gewinne Aufgaben aus der Wirtschaft Merke: Differenzialkosten Neben der Minimierung der Kosten ist es für ein Unternehmen auch wichtig, die Produktionsmenge zu ermitteln, bei der die Zunahme der Kosten am geringsten ist. Dabei bezeichnet man die Ableitung der Kostenfunktion K(x) an einer bestimmten Stelle x 0 als Differenzialkosten (Grenzkosten). Beispiel 1: Die Kosten eines Unternehmens steigern sich nach folgender Gesetzmäßigkeit: K(x) = 0,5x³ 21x² + 500x x Produktionsmenge in 1000 Stück Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Differenzialkosten und bestimmen Sie mit deren Hilfe, bei welchem Wert die Kostenzunahme am geringsten ist. Cournot-Punkt Um den maximal möglichen Gewinn eines Unternehmens zu ermitteln, muss man viele Faktoren berücksichtigen, insbesondere spielen Kosten und Umsatz eine wesentliche Rolle. Neben der Gewinnschwelle (= Break-even-Point: Umsatz = Kosten, d. h. Gewinn = ± 0) ist auch der sog. Cournot-Punkt wichtig. Dieser gibt in Abhängigkeit von den Kosten und dem Umsatz an, bei welcher Produktionsmenge man den maximalen Gewinn erzielt. Dabei gilt: Gewinn G(x) = U(x) K(x) U(x) Umsatzfunktion; K(x) Kostenfunktion Beispiel 2: Für die Firma Gutes Geschäft entwickeln sich die Kosten nach folgender Gesetzmäßigkeit: K(x) = x³ 9x² + 30x x Produktionsmenge in 100 Stück Laut Marktanalysen kann man bei einem Preis von 1,10 pro Stück die gesamte Produktionsmenge auch verkaufen. a) Geben Sie die Funktionsgleichung für den Umsatz an. b) Bei welcher Produktionsmenge wird Gewinn erzielt? c) Beschreiben Sie anhand der graischen Darstellung, bei welcher Stückzahl der Gewinn maximal wird. d) Berechnen Sie diesen Punkt (Cournot-Punkt). Wie groß ist der Gewinn? Für Experten Erstellen Sie eine Excel-Tabelle, die bei Angabe des Preises (in je Produktionseinheit) und der Stückzahl den Cournot- Punkt berechnet. Stellen Sie diesen Punkt graisch dar.

8 S 7 M 7 Überall Veränderungen die Differenzialrechnung anwenden Aufgaben 1. Die Städte A und B sollen durch eine neue Straße miteinander verbunden werden. A beindet sich am Fuße eines Gebirges, B im Bergland. Die Kosten für den Straßenbau im Gebirge sind mit 3 Mio. /km dreimal so hoch wie in der Ebene. a) Berechnen Sie die Kosten, wenn A und B auf kürzestem Weg miteinander verbunden werden. b) An welchem Punkt C sollte die Straße ins Gebirge abzweigen, damit die Kosten minimal sind? Wie hoch sind diese? 2. Am Ende eines horizontalen Förderbandes wird ein Bauteil abgeworfen. Dabei entsteht folgende Tabelle: x [in m] 0 0,20 0,40 0,60 0,80 x max y [in m] h 1 0,24 0,20 0,14 0,05 0 a) Ermitteln Sie die Gleichung der Wurfparabel. b) Ermitteln Sie die Abwurfhöhe h 1, die Wurfweite x max und die Anfangsgeschwindigkeit v 0. c) Unter welchem Winkel schlägt das Teil auf dem Boden auf? 3. Die Population eines Tierbestandes hat man über 1½ Jahre hinweg beobachtet: Man kann sie durch folgende Funktion modellieren: f(x) = sin(π/4 x) sin(π/3 x) x Zeit in Monaten a) Wie viele Tiere sind nach 6 Monaten [10 Monaten] vorhanden? b) Wie groß ist die Zu- bzw. Abnahme des Bestandes zu diesen Zeiten? c) Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum der Population innerhalb der ersten 6 Monate. d) Wann nimmt die Anzahl der Tiere am stärksten ab bzw. zu? 4. Das jährliche Längenwachstum (in m) einer bestimmten Baumart kann man durch folgende Funktion beschreiben: 200 f(x) = x Alter in Jahren (x 20) a) In welchem Jahr ist das Längenwachstum am größten? b) In welchen Jahren nimmt die Länge des Baumes um 40 cm pro Jahr zu? c) Ab welchem Alter beträgt die Zuwachsrate nur noch 15 % des Maximalwertes?

9 S 1 Lösungen und Tipps zum Einsatz M 1 Von der Durchschnitts- zur Momentangeschwindigkeit Differenzen- und Differenzialquotient 1. Tachometer zwei Messpunkte; Zeit und Weg messen; v = s/t Radarkontrolle (beruht auf dem Dopplereffekt) Laserpistole (Laufzeitunterschied zwischen zwei Laser-Impulsen) 2. a) 3. a) s 1000 m m km v = = = 20, 83 = 75 t 48 s s h b) Kann sein, muss aber nicht. Da die Messstrecke relativ groß ist, könnte die Geschwindigkeit des Pkw zwischendurch auch höher oder niedriger gewesen sein. Gemessen wurde hier lediglich die Durchschnittsgeschwindigkeit. s 900 m m km v = = = 27, t 33 s s h s 400 m m km v = = = 21, t 19 s s h b) Die Geraden heißen Sekanten. c) Man reduziert das Zeitintervall auf einen möglichst kleinen Wert ( t 0). d) 380 m m km v = = 12,6 = 45,6 30 s s h 480 Tangente M 2 Differenzen- und Differenzialquotient auf einen Blick Zusammenfassung Durchschnittsgeschwindigkeit Momentangeschwindigkeit s s Anstieg der Sekante: v = Anstieg der Tangente: v = lim t t 0 t Differenzenquotient Differenzialquotient Tipp für Experten Zur Nutzung des GEONExT-Applets müssen sich die Dateien Differenzialquotient.html und geonext.jar in einem gemeinsamen Ordner beinden. Durch Verschieben des Punktes B können Sie die Sekante in eine Tangente überführen. Zur Kontrolle werden die Werte für den Differenzen- und den Differenzialquotienten mit angegeben. Die berechneten Werte stimmen mit diesen in etwa überein. Abweichungen kommen dadurch zustande, dass man die Punkte im Diagramm nur näherungsweise ablesen kann.