Prozessautomatisierung 1 Praktikum

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1 Johannes Kepler Universität Linz Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Prozessautomatisierung 1 Praktikum u P d y M c e Identifikation Stand: WS 2016/17 Sven-Olaf Lindert

2 Organisation Ansprechpersonen Bei Fragen zu den Aufgaben stehen Ihnen am Institut Sven-Olaf Lindert zur Verfügung. Praktikumsdurchführung Das Praktikum wird grundsätzlich in Zweiergruppen absolviert. Die Gruppeneinteilung erfolgt in der Vorbesprechung. Die Aufgabenstellungen werden zeitgerecht auf der Institutshomepage im Downloadbereich zur Verfügung gestellt. Alle PraktikumsteilnehmerInnen müssen mit der Lösung der Aufgabenstellungen vertraut sein. Um dies zu überprüfen werden in unregelmäßigen Abständen Einzelaufgaben gestellt. Rechnerraum Der Rechnerraum (MT Science Park 4. Stock) steht allen PraktikumsteilnehmerInnen zur Verfügung. Sie können Ihre Keplerkarten für die Dauer des Praktikums freischalten lassen. Folgende Punkte sind zu beachten: Der Rechnerraum muss nach dem Benützen wieder ordnungsgemäß verlassen und versperrt werden. Zu zwischenspeichern Ihrer Daten nutzen Sie bitte das Laufwerk E:\>. Bitte legen Sie keine Dateien dauerhaft auf den Rechnern ab. Die Laufwerke werden gelegentlich von den Studentendaten gesäubert, d.h. bringen Sie ins Praktikum ihre Daten auf einem Datenträger (USB-Stick, externe Festplatte, CD,...) mit. Stecken Sie keine dspace-verbindungskabel bei laufenden Rechnern um! Bei unsachgemäßer Behandlung kann es zur Beschädigung der dspace-karten kommen. Sollten die Arbeitsplätze nicht für den Betrieb der Streckensimulatoren vorbereitet sein, so wenden Sie sich bitte an einen Institutsangestellten. 1

3 Sollten bei den Rechnern technische Gebrechen auftreten, so ist dies ebenfalls am Institut zu melden! Es ist nicht möglich mit den Laborrechnern ins Internet zu gelangen. Nutzen Sie die Software Maple 2015, Matlab R2015a und dspace Control Desk 5.4. Es sind auch andere installiert. Kontrollieren Sie, ob ihre Dateien kompatibel sind. Im Praktikum kann keine Rücksicht auf nicht funktionierende Ausarbeitungen genommen werden, und es ist nicht möglich das Praktikum mit einem privaten Rechner zu absolvieren! 2

4 Praktikum 1 Identifikation mit nicht parametrischen Modellen, Handentwurf nach Schneider Die erste Übung des PAT1 Praktikums steht im Zeichen der Identifikation dynamischer Systeme und dem Handentwurf nach Schneider. 1.1 Identifikation mit nicht parametrischen Modellen Im Gegensatz zu den parametrischen Verfahren, welche in PAT2 behandelt werden, werden hier so genannte nicht-parametrische Methoden vorgestellt. Bei diesen Methoden geht es also nicht darum Parameter einer Übertragungsfunktion, sondern den Frequenzgang der Übertragungsfunktion zu schätzen. Dabei ist das Ergebnis der Schätzung, wenn die Messsignale verrauscht sind und diese Identifikation als Basis für einen späteren Reglerentwurf dienen soll, nicht immer zufriedenstellend. In diesem Praktikum sollen aber Möglichkeiten, wie die Identifikation mit diesen sehr verbreiteten Methoden dennoch gelingen kann, aufgezeigt werden. Die Identifikation soll hier in 3 Schritten erfolgen: 1. in der Simulation 2. am Streckensimulator 3. am realen Modell. Zuerst werden die zu identifizierenden Modelle vorgestellt, nicht zuletzt deshalb, da diese während des gesamten Praktikums eingesetzt werden. Hinweis. Verwenden Sie für die mathematische Modellbildung das Computeralgebraprogramm Maple. Substituieren Sie die Parameter gegen ihre numerischen Werte erst am Ende Ihrer Berechnungen. 3

5 Praktikum 1. Identifikation Prozessidentifikation im Frequenzbereich Hinweis. Implementieren Sie die mathematischen Modelle in Matlab/Simulink so, dass Sie die Modellparameter schnell ändern können. Dabei ist es günstig, in so genannten m-files zuerst die Parameter zu spezifizieren und dann die (mit Maple) symbolisch berechneten Ausdrücke anzuführen. Dies ermöglicht vor allem eine einfache Dokumentation der eigenen Vorgangsweise bei der Bearbeitung der Aufgaben. Hinweis. Matlab/Simulink bietet in der aktuellen Version Objekte zur Handhabung von s-, z- (und q-) Übertragungsfunktionen und Zustandsdarstellungen an (Befehle tf, ss,... ). Diese Objekte können Sie dann unmittelbar in Ihre Simulink-Simulation inkludieren (Simulink / Control System Toolbox / LTI System) Prozessidentifikation im Frequenzbereich Neben der Identifikation im Zustandsraum kann das Übertragungsverhalten eines LTI- Systems besonders einfach durch seine Übertragungsfunktion dargestellt werden. Bei der Identifikation im Frequenzbereich soll nun der Frequenzgang eines Übertragungssystems bestimmt werden Identifikation mittels FFT Fouriertransformation zeitkontinuierlicher Signale Die Fouriertransformation eines kontinuierlichen Zeitsignals f(t) berechnet sich zu ˆf(jω) = + f(t)e jωt dt. Die hinreichende Bedingungen für die Existenz der Fouriertransformierten ist f(t) 1 = + f(t) dt < oder f(t) 2 = + f(t) 2 dt <. Die inverse Fouriertransformation ergibt sich zu f(t) = 1 2π + ˆf(jω)e jωt dω. 4

6 6 Praktikum 1. Identifikation Prozessidentifikation im Frequenzbereich B! 6 = Bild 1.1: Abgetastetes Zeitsignal. Die Diskrete Fouriertransformation (DFT) Grundlagen Tastet man ein Signal f(t) zu äquidistanten Zeitpunkten kt a mit der Abtastzeit T a ab, so steht man vor der Aufgabe, zu einer endlichen Folge von gemessenen Abtastwerten (f k ) (genauer zu deren periodischer Fortsetzung) die zugehörige Fouriertransformierte zu bestimmen (siehe Bild 1.1). Dies geschieht mit Hilfe der diskreten Fouriertransformation N 1 ˆf n = f m e j 2π N mn mit n = 0,1,...,N 1, (1.1) m=0 welche eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zweier Zahlen-N-Tupel darstellt. Die inverse diskrete Fouriertransformation lautet f m = 1 N N 1 n=0 ˆf n e j 2π N nm mit m = 0,1,...,N 1. (1.2) Gleichung (1.1) kann man auch in Form eines linearen Gleichungssystems ˆf 0 ˆf 1. ˆf N = 1 e j 2π N e j 2π N (N 1) e j 2π N (N 1) e j 2π N (N 1)(N 1) }{{} A f 0 f 1. f N 1 (1.3) anschreiben. Da die Matrix A unitär 1 ist, lässt sich zwischen der µ-ten und der (N µ)- 1 Eine unitäre Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix deren Spalten orthonormal sind. Somit ist U 1 = U, mit U als transponierte konjugiert komplexe der Matrix U. 5

7 Praktikum 1. Identifikation Prozessidentifikation im Frequenzbereich ten Zeile nachfolgender Zusammenhang N 1 N 1 ˆf N µ = f k e j 2π N k(n µ) = f k e j2πk e j 2π N kµ = ˆf µ k=0 angeben. Dies bedeutet aber, dass in (1.3) N Zeilen weggelassen werden können, da sich 2 die µ-te Zeile als konjugiert Komplexe der (N µ)-ten Zeile ergibt. Es folgt schließlich ˆf 0 ˆf 1. ˆfN 2 1 Parameterwahl k= = 1 e j 2π N e j 2π N (N 1) e j 2π N( N 1) 2 e j 2π 1) N (N 1)(N 2 Besteht die Anzahl der Abtastwerte aus einer Potenz von 2 d.h., f 0 f 1. f N 1. (1.4) N = 2 γ mit γ N, (1.5) so ergeben sich weitere Vereinfachungen in (1.4), die man in weiterer Folge auch algorithmisch in Form des so genannten FFT-Algorithmus (Fast Fourier Transform) implementiert. Es handelt sich dabei um einen Divide and Conquer -Algorithmus. Wenn die Anzahl der Abtastwerte keine Potenz von 2 ist, so kann der Messdatenvektor immer mit Nullen auf eine solche Anzahl erweitert werden. In der angelsächsischen Literatur spricht man dabei von zero-padding 2. Vor der Berechnung der FFT müssen 2 Parameter festgelegt werden, nämlich die Beobachtungsdauer (genauer implizit angenommene Periodendauer) T und die Anzahl der Abtastwerte N. Dabei gilt für die Beobachtungsdauer T die Beziehung T = NT a mit der Abtastzeit T a. Die Beobachtungsdauer legt die kleinste auflösbare Frequenz ω 0 = 2π fest. Die Anzahl der Messwerte N, welche bei gegebener Beobachtungsdauer durch die Abtastzeit T a festgelegt wird, bestimmt die Frequenzdiskretisierung T bzw. die maximal auflösbare Frequenz ω g = Nω 0 = π 2 T a. Matlab stellt eine fertige FFT-Routine (Befehl fft) zur Verfügung, wobei für die Rückgabeparameter die Korrespondenzen nach Bild 1.2 gelten. Aufgabe 1.1 Schreiben Sie unter Verwendung der FFT Routine von Matlab ein Programm mit dem Aufruf 2 [ω,betrag,phase] = fkl(uk,yk,ta,n) Achtung: Bei der Berechnung der FFT mit Matlab wird intern automatisch zero-padding verwendet, wenn die Anzahl der Abtastwerte keine Potenz von 2 ist. 6

8 ) ) Praktikum 1. Identifikation Prozessidentifikation im Frequenzbereich A E J B C A ) 6 ) * A N. K H E A H J H = I B H E A H J A ) 6 ) * A N. H A G K A K 4 A K 1 K M. K A K 1 K M C M M C K 4 A K 1 K M C M Bild 1.2: Matlab-Indizierung bei der FFT. zur Berechnung des Frequenzganges eines LTI Systems, wobei als Eingabe die Abtastfolgen der Eingangs- und Ausgangsgröße (u k ) bzw. (y k ), die Abtastzeit T a und die Anzahl der Messpunkte N dienen und als Ergebnis ω, G z (e jω ) db und arg(g z (e jω )) geliefert wird. Hinweis. Abbildung 1.3 zeigt das zugehörige Simulink-Bild. Die FFT der Ausgangsfolge dividiert durch die FFT der Eingangsfolge gibt G z (e jω ). Testen Sie Ihr Programm in Simulink anhand verschiedener Übertragungsfunktionen. Bereiten Sie den Vergleich so auf, dass in einem Diagramm das Bodediagramm der nominellen und der indentifizierten Übertragungsfunktion dargestellt werden können! J E K E A H E? D A I - E C = C I I E C = K J 1 5 O I J A O J 5? F A 6 = 6 = K 6 9 H I F =? A O 6 9 H I F =? A Bild 1.3: Frequenzkennlinien mittels FFT. 7

9 5 E Praktikum 1. Identifikation Der Čuk-Konverter Der Čuk-Konverter Der Čuk-Konverter ist ein getaktetes Schaltnetzteil, dessen Aufgabe es ist, eine ungeregelte konstante Gleichspannung in eine in einem bestimmten Bereich beliebig vorgebbare Gleichspannung umzuwandeln. Die Vorteile von getakteten Schaltnetzteilen gegenüber linearen Spannungsreglern sind vor allem der weitaus höhere Wirkungsgrad und die Möglichkeit, die Ausgangsspannung über dem Niveau der Eingangsspannung zu regeln. Bild 1.4 zeigt das Schaltbild des Čuk-Konverters. E K A, 7 A K + /, / Bild 1.4: Schaltbild des Čuk-Konverters. Ist die Stellung des Schalters S gleich 0, dann wird der Kondensator C 1 über die Spule L 1 geladen und die Spule L 2 gibt einen Teil der gespeicherten Energie an den Ausgang ab. Wechselt der Schalter seine Stellung nach 1, dann wird die Energie der Spule L 1 über den Eingang nachgeladen, und der Kondensator C 1 transferiert einen Teil seiner Energie zur Spule L 2. Die Aufgabe des Kondensators C 1 besteht also primär darin, Energie zu speichern und vom Eingang zum Ausgang zu transferieren. Der Kondensator C 2 dient lediglich zur Glättung der Ausgangsspannung Mathematische Beschreibung Zufolge des Existenzsatzes von Differentialgleichungen gilt, dass für stückweise stetige Eingangsgrößen u die Zustandsgrößen des Systems ẋ = f(x,u) stetig sind. Bei einem RLC-Netzwerk mit konstanten Induktivitäten und Kapazitäten werden als Zustandsgrößen die Ströme durch die Induktivitäten und die Spannungen an den Kapazitäten herangezogen. Ein schaltendes Netzwerk wie der Čuk Konverter wird durch zwei Differentialgleichungssysteme der Form ẋ 1 = f 1 (x 1 ) t (it,(i+u)t] Schalter in 1 ẋ 2 = f 2 (x 2 ) t ((i+u)t,(i+1)t] Schalter in 0, i = 0,1,... (1.6) 8

10 N J Praktikum 1. Identifikation Der Čuk-Konverter mit glattem 3 f 1, f 2 und dem Tastverhältnis u, 0 u 1, beschrieben. Das Tastverhältnis u gibt dabei das Verhältnis der Einschaltzeit des Schalters (Schalter in Stellung 1) zur Periodendauer T an. Nun werden diese beiden Systeme durch die Bedingungen x 1 (it) = x 2 (it) x 1 ((i+u)t) = x 2 ((i+u))t) gekoppelt. Bild 1.5 veranschaulicht diesen Sachverhalt. N E 6 E K 6 E 6 Bild 1.5: Zu schaltenden Netzwerken. Ohne Beweis gilt nun unter gewissen Annahmen für T 0, dass das mathematische Modell eines schaltenden Netzwerkes Gl. (1.6) sich in der Form beschreiben lässt. ẋ = f 2 (x)+(f 1 (x) f 2 (x))u (1.7) Das Labormodell Bild 1.6 zeigt den schematischen Aufbau für das Labormodell des Čuk-Konverters. Dabei werden nachfolgende Bauteilwerte verwendet. L 1 = 50mH C 2 = 100µF S 1 = S 2 = 0.1Ω L 2 = 10mH R 1 = 0.76Ω G = 1/33.7S C 1 = 680µF R 2 = 1.08Ω U e = 12V Zur Messung der Zustandsgrößen werden Elektrometerverstärker und als Stellglied ein Pulsweitenmodulator (PWM) verwendet. Die Periodendauer des PWM-Signals kann als sehr klein im Vergleich zu den Zeitkonstanten des Modells betrachtet werden Aufgaben Aufgabe 1.2 Modellbildung des Čuk-Konverters (mit Maple). 1. Bestimmen Sie das mathematische Modell des Čuk Konverters nach Gl. (1.7). 3 Unter glatt versteht man, dass jede Komponente stetige Ableitungen von ausreichender Ordnung nach jedem Argument besitzt. 9

11 5 + / Praktikum 1. Identifikation Der Čuk-Konverter 1 I J H K A J A L A H I J H A H. E J A H B H K + K A E C = 5 + K + 1 I J H K A J A L A H I J H A H. E J A H B H K + 1 I J H K A J A L A H I J H A H. E J A H B H E 1 I J H K A J A L A H I J H A H. E J A H B H E Bild 1.6: Schematischer Aufbau des Labormodells. 2. Berechnen Sie den stationären Zustand x s als Funktion des stationären Tastverhältnisses u s. 3. Welche stationären Werte ergeben sich, wenn die Innenwiderstände R 1 und R 2 der Induktivitäten und die Widerstände der Strommessung S 1 und S 2 Null sind? 4. Bestimmen Sie die maximal mögliche Ausgangsspannung und das zugehörige Tastverhältnis. 5. Ermitteln Sie das linearisierte Modell um einen allgemeinen stationären Arbeitspunkt. 6. Berechnen und zeichnen Sie den Verlauf der Null- und Polstellen der Übertragungsfunktion G us (s) = û C 2 û Tastverhältnisses u s. des linearisierten Systems als Funktion des stationären 7. Zeichnen Sie das Bodediagramm der Übertragungsfunktion G 0.5 (s) für u s = 0.5 (in Matlab). Aufgabe 1.3 Implementieren des Simulationsmodells. 1. Implementieren Sie das mathematische Modell aus Aufgabe (1.2) als M-Code-S- Function (siehe Automatisierungstechnik Praktikum) in Simulink. 2. Um eine S-Function auf die dspace Hardware laden zu können, ist es notwendig, diese in der Sprache C zu schreiben, als so genannte C-Code-S-Function. Eine Einführung in diese genannten C-Code-S-Functions befinden sich in der Matlab Hilfe Simulink Block Creation Host-Specific Code. Dort finden Sie auch Beispiele. Der S-Function-Builder ist dabei ein empfehlenswertes Tool. Implementieren Sie die S-Function aus Punkt 1 als C-Code-S-Function. 10

12 Praktikum 1. Identifikation Der Čuk-Konverter 3. Testen Sie beide S-Functions ausführlich. Vergleichen Sie die Simulationsergebnisse und prüfen Sie diese auf Plausibilität. (Während des Praktikums ist keine Zeit C- Programme zu debuggen!) Aufgabe 1.4 Aufschalten einfacher Testsignale. 1. Ermitteln Sie an verschiedenen Arbeitspunkte für das nichtlineare Modell des Čuk- Konverters die Sprungantwort und die Antwort auf das Signal σ(t) σ(t T) mit geeigentem T in Simulink. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem des um den jeweiligen Arbeitspunkt linearisierten Modells. Hinweis. Arbeitspunktaufschaltung 2. Bestimmen Sie in Simulink für den Arbeitspunkt u s = 0.5 einige Punkte des Frequenzganges durch Aufschalten harmonischer Zeitfunktionen aus der Amplituden und Phasenverschiebung im eingeschwungenen Zustand. Vergelichen Sie wiederum das Ergebnis mit dem des linearisierten Modells. Aufgabe 1.5 FFT-Analyse. Zur rechnergestützten Ermittlung des Übertragungsverhaltens eines Abtastsystems betrachte man Bild 1.7. K 6 = 6 = K J O J 0 / I ) / Bild 1.7: Abtastsystem. O 1. Berechnen Sie die z- und die q-übertragungsfunktion für das linearisierte Modell des Čuk-Konverters G 0.5(s) (Arbeitspunkt u s = 0.5) bei einer Abtastzeit T a = 2ms in Matlab. 2. Schalten Sie in Simulink auf das nichtlineare Modell des Čuk-Konverters am Arbeitspunkt u s = 0.5 einen Impuls der Form nach Bild 1.8 auf und ermitteln Sie somit den Frequenzgang mit Ihrer Identifikationsroutine. Bestimmen Sie geeignete Werte für du, dt und t end mit 0.1 du+u s 0.75 so, dass das System einerseits gut angeregt, aber andererseits noch in guter Näherung im linearen Bereich betrieben wird. Vergleichen Sie die Ergebnisse, in dem Sie das errechnete und das identifizierte Bodediagramm übereinander legen. 11

13 Praktikum 1. Identifikation Der Torsionsschwinger, K J J J Der Torsionsschwinger Bild 1.8: Impulsfunktion. Bild 1.9 zeigt den schematischen Aufbau des Labormodells Torsionsschwinger. Dabei wird an eine permanenterregte Gleichstrommaschine ein mechanisches System, bestehend aus drei Schwungmassen, die über zwei Torsionsfedern verbunden sind, angekoppelt. E ) 4 ) ) ) M M M!! K ) K. K E?? G G G! / A E? D I J H = J H E A >, H A D B A H = I I A 5? D M E C A H Bild 1.9: Schematischer Aufbau des Torsionsschwingers. A I I K C Unter der Voraussetzung, dass keine Sättigungseffekte auftreten, lautet das mathematische Modell der Gleichstrommaschine d dt i A = 1 (u A R A i A k m ω 1 ) L A d dt ω 1 = 1 (k m i A M Last ) Θ 1 mit der Ankerspannung u A, dem Ankerstrom i A, der Drehwinkelgeschwindigkeit ω 1, der Ankerinduktivität L A, dem Ankerwiderstand R A, der Motorkonstanten k m, dem Trägheitsmoment Θ 1 und dem Lastmoment M Last. Das vom Motor erzeugte Moment beträgt demnach M A = k m i A. Mit Θ 1, Θ 2 und Θ 3 werden die Trägheitsmomente der drei Stränge und mit c 1 und c 2 die Torsionssteifigkeiten der beiden Kopplungsfedern bezeichnet. Weiters wirken in den Lagern geschwindigkeitsproportionale Reibmomente mit den Reibkoeffizienten d 1, d 2 und d 3 sowie auf die Schwungmasse 2 ein Lastmoment M L Das Labormodell Beim Labormodell wurden nachfolgende Daten experimentell festgestellt. 12

14 Praktikum 1. Identifikation Der Torsionsschwinger L A = 895.7µH Θ 1 = kgm 2 R A = 6.382Ω Θ 2 = kgm 2 k m = Nm/A Θ 3 = kgm 2 u A 24V c 1 = Nm/rad c 2 = Nm/rad d 1 = Nms d 2 = Nms d 3 = Nms Aufgaben Aufgabe 1.6 Modellbildung des Torsionsschwingers. Die Motorspannung u A dient als Stellgröße, als Ausgangsgröße wird die Winkelgeschwindigkeit ω 3 herangezogen. Für die Untersuchungen der ersten beiden Punkte gilt M L = Ist das System mit den Zustandsgrößen (a) x T = [i A,ϕ 1,ϕ 2,ϕ 3,ω 1,ω 2,ω 3 ] (b) x T = [i A,ϕ 2 ϕ 1,ϕ 3 ϕ 2,ω 1,ω 2,ω 3 ] vollständig erreichbar / vollständig beobachtbar? Führen Sie diese Untersuchungen mit symbolischen Parametern in Maple durch. 2. Den Ausgangspunkt für die folgenden Betrachtungen bildet das Zustandsmodell (des vollständig erreichbaren und beobachtbaren Systems) [ ] ua ẋ = Ax+B y = c T x. Implementieren Sie dieses Modell in Simulink unter Verwendung obiger Daten. 3. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) für das Modell mit dem Zustandsvektor aus Punkt 2 mit û A als Eingangsgröße und ˆω 3 als Ausgangsgröße. 4. Reduzieren Sie das Zustandsmodell um das elektrische Teilsystem, so dass das System schlussendlich die Zustandsgrößen x T = [ϕ 2 ϕ 1,ϕ 3 ϕ 2,ω 1,ω 2,ω 3 ] hat. Überlegen Sie, unter welchen Umständen diese Reduktion zulässig ist. M L Aufgabe 1.7 Aufschalten einfacher Testsignale und FFT-Analyse. 1. Ermitteln Sie für das Modell des Torsionsschwingers die Sprungantwort in Simulink. 13

15 Praktikum 1. Identifikation 1.2. Handentwurf nach Schneider 2. Berechnen Sie die z- und die q-übertragungsfunktion für den Torsionsschwinger für eine Abtastzeit T a = 10ms in Matlab. 3. Bestimmen Sie mittels Ihrer Identifikationsroutine den Frequenzgang des Torsionsschwingers und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem berechneten durch übereinanderlegen der Bodediagramme. 1.2 Handentwurf nach Schneider Dieser Teil der Laborübung ist dem Studium des Schneider-Entwurfs gewidmet, der zur Klasse der so genannten Loopshaping -Verfahren zählt (vergleiche Automatisierungstechnik 2, Kapitel 6) und bereits im Entwurf eine Berücksichtigung von Beschränkungen (Stellgrößenbeschränkung,...) ermöglicht. Für den Torsionsschwinger sollen im Sinne des Schneider-Entwurfs verschiedene Problemstellungen gelöst und die resultierenden Regler anschließend im Praktikum am Streckensimulator und am Labormodell implementiert werden. Gegenstand der Betrachtungen ist der Regelkreis nach Bild 1.10, wobei das (fiktive) Filter F verwendet wird, um Eigenschaften des Führungssignales r zu modellieren. H. G H A K 4 G / G O. E J A H 4 A C A H 5 J H A? A Bild 1.10: Eingrößenregelkreis für den Schneider-Entwurf. Dieser Entwurf macht maßgeblich von der Beziehung y 2 H u 2 für ein System ŷ = Hû gebrauch. Daher muss die Entwurfsspezifikationen mit der 2-Norm formuliert werden. Mitunter ist es nun schwierig, diese Spezifikationen (z.b. u 2 u max ) im Sinne der 2-Norm anzugeben. Wesentlich umgänglicher wäre eine Spezifikation mit Hilfe der -Norm (wie z.b. u u max ), da somit direkt die Aktor- oder etwaige andere Systembegrenzungen herangezogen werden könnten. Obwohl eine entsprechende Problemformulierung basierend auf der -Norm allerdings nur für harmonische Eingangsgrößen (nach dem Abklingen der Einschwingvorgänge) zu einer theoretisch fundierten Darstellung führt, wird diese Variante in der Praxis häufig bemüht. Dabei darf allerdings keinesfalls aus den Augen verloren werden, dass dieser Zugang keine Möglichkeit bietet, das Einhalten von harten Begrenzungen (z.b. u u max ) für die gesamte Klasse der zulässigen Führungsfolgen (z.b. r 1) zu erfassen, vielmehr ist im Anschluss an den Entwurf dieser Sachverhalt durch Rechnung und Simulation zu überprüfen. Dieser Problematik sollte beim Studium der Aufgaben besonderes Augenmerk geschenkt werden. Um die Charakteristik beider Zugänge zu illustrieren, beinhalten die folgenden Aufgabenstellungen sowohl Entwurfsspezifikationen im Sinne der 2-Norm als auch den approximativen Zugang mit Hilfe der -Norm. 14

16 Praktikum 1. Identifikation Der Torsionsschwinger Der Torsionsschwinger Verwenden Sie für sämtliche Reglerentwürfe sowie Simulationen für den Torsionsschwinger das um das elektrische Teilsystem reduzierte Modell (mit den Zustandsgrößen x = [ϕ 2 ϕ 1,ϕ 3 ϕ 2,ω 1,ω 2,ω 3 ] T ). Aufgabe 1.8 Schneider-Entwurf für die Winkelregelung des Torsionsschwingers; Spezifikationen mit Hilfe der 2-Norm. Im Rahmen dieser Aufgabe soll die Regelung des Winkels ϕ 3 vorgenommen werden. Die entsprechende Streckenübertragungsfunktion sei mit G ϕ (s) = ˆϕ 3 /û A = G(s)/s bezeichnet (G(s) = ˆω 3 /û A ). Da die Parameter des Torsionsschwingers(vgl. erste Laborübung), insbesondere die Dämpfungsparameter, für einen höheren Geschwindigkeitsbereich identifiziert wurden, nun aber bei der Winkelregelung wesentlich niedrigere Winkelgeschwindigkeiten auftreten, muss vor allem der erhöhten Reibung beim Winkelsensor Rechnung getragen werden. Deshalb wird für die Aufgaben zur Winkelregelung die Wahl d 3 = getroffen. Die Klasse der zulässigen Führungsgrößen r sei durch das Filter F(z) = r(z) ˆr(z) = β T az z 1 modelliert, wobei die fiktive Führungsgröße r der Beziehung genüge. Für die Stellgrößen- bzw. Regelfehlerbeschränkung gelte:, β = 80π (1.8) r 2 1 (1.9) u 2 14, e (1.10) Entwerfen Sie mit dem Verfahren von Schneider einen Regler R # (q) (ohne I-Anteil) so, dass der geschlossene Regelkreis obige Spezifikationen erfüllt (Abtastzeit T a = 10ms). Hinweis. Verwenden Sie eine näherungsweise Kompensation der ersten und/oder zweiten Eigenfrequenz des Torsionsschwingers. Ist der Regelkreis intern stabil? Hinweis. Trotz der (näherungsweisen) Kompensation der Eigenfrequenzen der Strecke ist es ungünstig, im Rahmen des Loopshapings die Übertragungsfunktion L des offenen Kreises so zu entwerfen, dass im Bereich dieser Eigenfrequenzen L # (jω) 1 gilt. Hinweis. Bei der Herleitung der approximierten Syntheseungleichungen des Schneider- Entwurfs erhält man zwei Beziehungen, die Auskunft darüber geben, ob die geforderten Spezifikationen prinzipiell erfüllbar sind. Aufgabe 1.9 Approximativer Schneider-Entwurf für die Winkelregelung des Torsionsschwingers; Spezifikationen mit Hilfe der -Norm. 15

17 H J Praktikum 1. Identifikation Der Torsionsschwinger Die Klasse der zulässigen Führungsfolgen sei wiederum mit dem Filter nach Gl. (1.8) modelliert, wobei nun die Bedingung gelte. Damit folgt aus der Filter-Differenzengleichung r 1 (1.11) r k r k 1 T a = β r k die Abschätzung r k r k 1 T a β, das Filter F erzeugt demnach aus der Klasse der betragsmäßig beschränkten Signale r die Klasse der steigungsbeschränkten Signale r. Entwerfen Sie mit dem (approximativen) Schneider-Entwurf einen Regler R # (q) (ohne I-Anteil) so, dass der geschlossene Regelkreis die Stellgrößenbegrenzung einhält. u 13V (1.12) Beachten Sie jedoch, dass dies, wie bereits eingangs erwähnt, keinen exakten Zugang darstellt! Berechnen Sie daher die maximal auftretende Stellgröße u für die gesamte Klasse der Führungssignale mit der Eigenschaft r 1 und vergleichen Sie das Ergebnis mit der dem Entwurf zugrundegelegten Stellgrößenschranke. Simulieren Sie zusätzlich die Antwort des Regelkreises auf die Führungsgröße r nach Bild 1.11 und berechnen Sie die maximale Stellgröße für dieses Szenario. " F # I Bild 1.11: Gewählte Führungsgröße (für den Laborversuch). Hinweis. Wenn Sie zur Erzeugung der zulässigen Führungsfolgen die Steigungsbeschränkung in Simulink mit dem Block Rate-Limiter implementieren ist zu beachten, dass dieser Block bei einem Sprung zum Zeitpunkt t = 0s auf die Beschränkung der Steigung verzichtet. Aufgabe 1.10 Winkelgeschwindigkeitsregelung des Torsionsschwingers mit der Spezifikation des maximal zulässigen Fehlers e für eine Klasse harmonischer Führungsgrößen. Die Verwendung eines Filters F ist hier nicht notwendig. 16

18 Praktikum 1. Identifikation 1.3. Realisierung am DSP Da nun der Torsionsschwinger im Gegensatz zur Winkelregelung in jenem Geschwindigkeitsbereich bewegt werden soll, für den die Dämpfungsparameter ursprünglich identifiziert wurden, werden nun wieder die Dämpfungen aus der ersten Laborübung herangezogen. Entwerfen Sie einen Regler R # (q) mit I-Anteil derart, dass für harmonische Führungssignale (r k ) = 300rad/s sin(ωkt a ), ω < 0.3rad/s im eingeschwungenen Zustand der Regelfehler, bezogen auf die Amplitude der Führungsgröße, kleiner als 10% bleibt. Übertragen Sie diese Anforderung in das Bode-Diagramm. Zusätzlich soll für einen Führungssprung (r k ) = (300) rad/s bei möglichst kurzer Anstiegszeit und möglichst geringem Überschwingen die (harte) Stellgrößenbegrenzung u k 15V eingehalten werden. Die Einhaltung dieser (harten) Stellgrößenbegrenzung soll jedoch nur anhand einer Simulation überprüft werden. Eine Behandlung im Sinne des Schneider-Entwurfs ist dabei nicht notwendig. Führen Sie diesen Entwurf sowohl für einen PI-Regler als auch für einen Kompensationsregler mit I-Anteil durch. 1.3 Realisierung am DSP Sowohl bei der Identifikation als auch bei der Implementierung von Regelaufgaben hat man das Problem, Echtzeitanforderungen erfüllen zu müssen. Im Praktikum wird ein inzwischen sehr weit verbreitetes Signalprozessorsystem der Firma dspace verwenden, welches es erlaubt, die Algorithmen für den digitalen Signalprozessor(DSP), graphisch unter Matlab/Simulink zu entwickeln. Durch den in der Umgebung integrierten C-Codegenerator, C-Compiler und Linker kann aus dem Simulink-Blockschaltbild der Echtzeit-Assemblercode für den digitalen Signalprozessor erstellt werden. Um unter Matlab/Simulink auch die am Signalprozessorboard vorhandenen Analog/Digital Converter (ADC) und Digital/Analog Converter (DAC) ansprechen zu können, stellt dspace eine zusätzliche Bibliothek für Simulink zur Verfügung, welche ADC- und DAC- Blöcke enthält, die somit einfach in das Blockschaltbild integriert werden können. Auf der Institutshomepage im Downloadbereich finden Sie ein Datenblatt dieses Signalprozessorsystems (dspace DS1104), welches Ihnen einen Einblick in dessen Leistungsfähigkeit und Architektur geben soll Streckensimulator Der Streckensimulator wird dazu verwendet, die mathematischen Modelle der Strecke getrennt von der Stellgrößenaufschaltung (bzw. später vom Regler) ablaufen zu lassen. Hierzu sollen jeweils 2 Signalprozessorsysteme zusammengeschaltet werden, wobei einer das Eingangssignal bzw. das digitale Regelgesetz realisiert und der zweite DSP die Strecke darstellt. Der Vorteil gegenüber der reinen Simulation liegt darin, dass dabei die Strecke 17

19 Praktikum 1. Identifikation Aufgaben asynchron zum Regler ablaufen kann und alle realen Störungen wie Mess- und Quantisierungsrauschen, sowie die Wandlungszeit der A/D- und D/A-Wandler bereits auf das Gesamtsystem wirken. In Tutorial dspace Matlab2013b.pdf finden Sie eine Einführung und ein erstes Beispiel Aufgaben Aufgabe 1.11 Realisieren Sie den Čuk-Konverter und den Torsionsschwinger am Streckensimulator. Im Praktikum ist keine Zeit zur Fehlersuche bei der Realisierung. Stellen Sie daher sicher, dass Sie das Praktikum nur mit kompilierbaren Files besuchen! 18