Mathematik 2. Ausgabe Daniel Kälin Höhere Berufsbildung Uster

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1 Unterlagen Mathematik 2 Ausgabe 2016 Daniel Kälin Höhere Berufsbildung Uster

2 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Herzlich willkommen Ziel des Mathematikunterrichtes Warum braucht man als Techniker Mathematik? Wie erlerne ich am einfachsten Mathematik? Rechner oder Notebook/Tablet Bücher Übungen Prüfungen Homepage Skript auf dem Netz Was mache ich bei Problemen im Fach Mathematik? 5 2 Funktionen Ziele Für was brauche ich Funktionen? Einführung Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Scheitelpunktform Scheitelpunkt-Berechnung Nullstellen-Berechnung Schnittpunktberechnung Funktionsbestimmung Weitere grafische Darstellungsarten Logarithmische Koordinatensysteme Funktionsapproximation 58 3 Summen Einführung Beispiele Summenberechnung mit dem Rechner 64 4 Differentialrechnung Ziele Wo braucht man die Differentialrechnung? Grafisches Bestimmen der Ableitung einer Funktion Rechnerisches Ableiten einer Funktion Ableitungen verschiedener Funktionsklassen Höhere Ableitungen Ableiten mit dem Taschenrechner Ableitungsregeln Kurvendiskussion Extremwertprobleme 88 5 Integralrechnung Ziele Warum muss ich integrieren können? Flächenberechnung als Grenzwert Orientierte Flächeninhalte Definition des Integrals Analytische Definition des Integrals Berechnen von Integralen mit dem TR Berechnen von Integralen mit dem TR im Grafikmodus Flächeninhaltsfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Die Stammfunktion Unbestimmte Integrale Bestimmte Integrale Eigenschaften bestimmter Integrale Flächenberechnung Technische Anwendungen des Integrierens 111 2

3 1 Vorwort 1.1 Herzlich willkommen Herzlich willkommen in der Welt der Mathematik! Ich werde Sie im kommenden Semester durch verschiedene grundlegende Gebiete der Mathematik führen. Dabei werden wir viele erstaunliche Eigenschaften und Besonderheiten von Zahlen und Gleichungen entdecken. Auch wenn es manchmal recht harte Knochenarbeit ist, so hoffe ich, dass trotzdem einige von Ihnen etwas Freude und Interesse an dieser abstrakten Materie gewinnen werden und motiviert sind, die schöne Welt der Mathematik zu erkundschaften. 1.2 Ziel des Mathematikunterrichtes Die Ziele des Semesters sind einerseits im Stoffplan klar abgesteckt, anderseits ist es auch mein Ziel, das Interesse und die Freude an der Mathematik zu wecken. Ich bin bestrebt, mit manchmal sehr pragmatischen Ansätzen das Grundverständnis zu fördern und so den allgemeinen Überblick über die Materie zu erhöhen. Ich bin fest davon überzeugt, dass ein allgemeines Grundverständnis der Mathematik mehr bringt als einseitig tiefe Kenntnisse ohne den Überblick zu bewahren. In diesem Sinne werde ich Sie durch das kommende Semester führen. Sie werden dabei auch merken, dass Sie für ein grundlegendes Verständnis einen regelmässigen Aufwand betreiben müssen, um den Stoff am Schluss zu beherrschen, welcher in der Modullernzielprüfung am Ende des Semesters verlangt wird. Die Ziele der einzelnen Themengebiete sind am Anfang des jeweiligen Kapitels beschrieben. 1.3 Warum braucht man als Techniker Mathematik? Diese Frage hat viele Facetten und kann hier nicht abschliessend beantwortet werden. Ich werde Ihnen - so weit möglich - in vielen Themengebieten Anwendungen und Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik näher bringen. Dass dies nicht immer möglich sein wird, liegt in der Natur der Mathematik, Zusammenhänge formal und abstrakt zu beschreiben. Insofern ist die Mathematik auch eine Zubringerwissenschaft : Sie stellt eine Sprache bereit, mit deren Hilfe der Physiker die Naturgesetze zu beschreiben versucht. Der Ingenieur und Techniker geht noch einen Schritt weiter: Er wendet die vom Physiker gefundenen Naturgesetzte an, indem er mit diesen Erkenntnissen Maschinen baut. In diesem Sinne muss der Techniker und Ingenieur natürlich die Sprache der Mathematik und die Grundlagen der Physik beherrschen. 1.4 Wie erlerne ich am einfachsten Mathematik? Diese Frage ist einfach zu beantworten! Learning by doing ist das Motto. Mathematik erlernt man nicht in meinem Unterricht. Was ich zu vermitteln versuche sind Lösungsstrategien, Rezepte und Ideen anhand ausgewählter Beispiele. Lernen geht in der Mathematik über regelmässiges und vieles Üben. Routine und Verständnis wachsen nur mit sehr viel Übung! Der Schlüssel zum Erfolg in einer technischen Schule liegt zu einem grossen Teil in der Beherrschung der Grundlagen. Das heisst, wenn Sie Mathematik, Physik und Elektrotechnik gut verstehen, so werden Sie auch in den höheren Semestern wenig Probleme haben. 1.5 Rechner oder Notebook/Tablet In Mathematik 2 Unterricht werden wir viele Zusammenhänge auch grafisch darstellen und analysieren. Der Einstieg geschieht häufig noch von Hand (für das bessere Verständnis), allerdings ist dies vielfach recht zeitaufwendig. Wir benutzen deshalb in Mathematik 2 Unterricht recht intensiv grafikfähige Taschenrechner. Das Skript enthält viele Anleitungen, wie man mit Rechnern von Texas Instruments (z.b. TI-89, Voya- 3

4 ge 200 oder TI-NSpire CX CAS) einfach ans Ziel kommt. Auch grafikfähige Rechner von Casio eignen sich; die Eingabesyntax ähnelt der von TI. Ein Notebook/Tablet kann als Ergänzung für das grafische Darstellen von mathematischen Zusammenhängen ebenfalls (mit geeigneter Software) dienen, allerdings wird es (im Gegensatz zu den grafikfähigen Taschenrechnern) an den Prüfung nicht zugelassen sein. 1.6 Bücher Bücher als Ergänzung zum Unterricht Es gibt viele Bücher zu den Themen die ich unterrichte. Das Problem ist oft das wichtige eines Themengebietes zu erkennen und den Ballast zu ignorieren. Aus diesem Grund habe ich ein Skript geschrieben. Meine Ausführungen sind möglichst ohne Ballast und so knapp als möglich gehalten. Wer zusätzlich zum Skript ein Buch anschaffen möchte, dem kann ich folgende empfehlen: Mathematik für höhere Fachschulen Compendio Autorenteam für Technik Compendio.ch, Aufgabenband 49 Fr., Lösungsband 49 Fr. Nicht jeder Student hat dieselbe Affinität zur Art wie ich unterrichte, so kann es manchmal hilfreich sein, ein Thema oder Problem aus einer anderen Optik anzusehen. Grundsätzlich reicht jedoch mein Skript Formelsammlung Eine Formelsammlung in Buchform ist sehr empfehlenswert. Ich arbeite häufig mit den Formeln, Tabellen, Begriffe. Diese Formelsammlung ist kompakt und beinhaltet auch einen Physikteil. Aber es gibt natürlich noch viele andere gute Formelsammlungen. Daneben ist es von Vorteil, wenn man sich eine eigene kleine Formelsammlung oder Stoffzusammenfassung schreibt. So lernt es sich einfacher!!!! Ich kann folgende Formelbücher empfehlen: Formeln, Tabellen, Begriffe Orell Füssli Verlag ISBN , Fr. (ex libris) Formelsammlung in Mathematik Adrian Wetzel 8 Fr Bücher zu den Taschenrechnern TI-89, TI-92 (Plus) und Voyage 200, NSpire CX Mittlerweile wird selten noch ein gedrucktes Handbuch zu einem Rechner mitgeliefert. Zu umfangreich und zu dick würde es ausfallen um alle Möglichkeiten des Rechners zu beschreiben. Aufgrund der vielfältigen Funktionen möchte man häufig gerne jedoch ein kompakteres Büchlein, das die wichtigsten Vorgehensweisen bei der Rechnereingabe rezeptartig beschreibt. Dazu gibt es ein empfehlenswertes Büchlein, das nicht im allgemeinen Buchhandel erhältlich ist: Mathematikrezepte für den TI-89, TI-92 Plus,Voyage 200, NSpire CX/CX CAS, von Beat Eicke. Bestellung unter: Preis: ca. 18 Fr. 4

5 1.7 Übungen Jede Woche wird eine Übungsserie abgegeben, die auf die folgende Lektion zu bearbeiten ist. Tauchen Fragen auf, werden diese besprochen. Danach betrachte ich den Stoff als verstanden. Es ist sehr gefährlich mit den Übungen in Rückstand zu geraten, da der Stoff (bis auf wenige Ausnahmen) so gestaltet ist, dass die Themen aufeinander aufbauen! Mathematik erlernt man nur durch viel Übung! So erachte ich die Übungen als mindestens so wichtig wie die Lektionen! Die Übungen sind relativ zeitintensiv. Es ist jedoch nicht die Meinung, dass man nun immer alle Aufgaben lösen soll. Probieren Sie möglichst von allen Aufgabentypen soviel zu lösen, bis Sie sicher sind, das Thema begriffen zu haben. Es ist wichtig, dass Sie selbstkritisch aber auch mit einem gesunden Mass an Selbstvertrauen arbeiten. Haben Sie ein Thema im Griff, so können Sie ähnliche Übungen überspringen und zum nächsten Thema gehen. Verwenden Sie nicht zu viel Zeit an einer Aufgabe, die Sie nicht verstehen. Nach einer gewissen Zeit legen Sie die Aufgabe am besten zur Seite und fahren mit einer anderen Aufgabe fort. Erkundigen Sie sich dann bei mir in der nächsten Lektion über das Lösungsvorgehen der nicht verstandenen Aufgaben. 1.8 Prüfungen Pro Semester wird 1 große Prüfung von ca. 90 Minuten Dauer durchgeführt. Dazu kommen drei Kurztests à ca. 30 Minuten. Die Kurztests ergeben zusammen eine Note mit der Gewichtung einer großen Prüfung, wobei der schlechteste Kurztest nur zur Hälfte gewichtet wird. Der Durchschnitt dieser 2 Noten ergibt die Erfahrungsnote (auf Zehntel gerundet). Bei Absenzen von den regulären Prüfungsterminen müssen Prüfungen oder Kurztests innerhalb Wochenfrist nachgeholt werden. Der Student muss sich selbst um einen möglichst zeitnahen Termin bemühen; dies wird in der Regel der nächste besuchte Unterrichtstermin sein. Bei unentschuldigten Absenzen oder bei unklarem Verbleib wird die Prüfung mit der Note 1 gewertet. Am Ende des Semesters findet die Modullernzielprüfung (MLZ; auf Zehntel gerundet) statt. Der auf eine halbe Note gerundete Durchschnitt aus MLZ-Note und Erfahrungsnote ergibt die Modulnote im Fach Mathematik. Absenzen von der MLZ sind mit der Schulleitung zu klären und ein Nachschreiben ist in der Regel kostenpflichtig. 1.9 Homepage Alle Übungsserien, alte Prüfungen und Kurztests, Semesterpläne und andere Files und Links können Sie von meiner (zugegebenermassen sehr nüchtern gehaltenen) Seite herunterladen: Diese Seite ist als Dienstleistung für Sie gedachten. Nutzen sie Sie! 1.10 Skript auf dem Netz Das Skript ist unter Downloads in digitaler Form als pdf-file vorhanden. Beachten Sie, dass bei laufenden Updates die Seitenzahlen und die Kapitelnummerierung nicht mehr unbedingt mit dem abgegebenen Skript korrespondieren Was mache ich bei Problemen im Fach Mathematik? aben Sie Probleme mit der Schule oder im Speziellen mit dem Fach Mathematik, so ist es wichtig, dass Sie diese Probleme frühzeitig erkennen und sie sich auch eingestehen! Melden Sie sich dann bei Bedarf bei mir und wir versuchen, zusammen eine Lösung zu finden. Wichtig ist nur, nicht zu lange abzuwarten. Sie können mich entweder persönlich in der Schule kontaktieren oder per unter: 5