Zur Geschichte von Primzahlen

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1 Zur Geschichte von Primzahlen Arithmetik => Pythagoreer: Zahlen als Weltbild Vorangegangen: Euklids Elemente (VII IX) Grundlegende Sätze über Teilbarkeit und Primzahlen: [VII, 30(gekürzt)]: Wenn eine Primzahl ein Produkt misst, muss sie auch einen der Faktoren messen. [VII, 32]: Jede Zahl ist entweder Primzahl oder wird von irgendeiner Primzahl gemessen. [IX, 14]: Die kleinste Zahl, die von gewissen Primzahlen gemessen wird, lässt sich durch keine andere Primzahl messen außer den ursprünglich messenden. [IX, 20]: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. 1

2 Zum Begriff der Primzahl 1. Aspekt: Primzahlen sind natürliche Zahlen mit möglichst wenigen Teilern. Bem.: Jede ganze Zahl n hat wenigstens +1, -1 und + n und n als Teiler. Definition: Diejenigen natürlichen und von 1 verschiedenen Zahlen, die nur 1 und sich selbst als natürliche Teiler haben, heißen Primzahlen. Bemerkung: Diese Form der Definition hat unmittelbare handlungsmäßige oder auch geometrische Ausdeutung Gegeben eine beliebige Zahl: 1. Auslegen in Form eines Rechtecks strukturiertes Zählen Beispiel: 12 => mehrere Formen Beispiel: 13 => eine Form (Rechteck der Breite 1) 2. Prüfen der Eigenschaft Primzahl zu sein 2

3 Beispiele: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 Effektives Verfahren für die Bestimmung von Primzahlen Frage: Wie viele Primzahlen gibt es? Ziel: Lückenlose Liste

4 Kann man aus der Geschichte lernen? Gewinn: Erfahren über historische und gesellschaftliche Bedingtheit mathematischer Verfahren Einsehen lernen, dass mathematische Verfahren erst nach einer Vielzahl von Versuchen, Irrwegen, Ansätzen zu der heute so standardisiert erscheinenden Form gefunden haben Den eigenen Standpunkt als nicht absolut begreifen lernen Fehlversuchen beim Lernen offener und aufgeschlossener gegenübertreten Kulturübergreifende mathematische Basisaktivität nach A. J. Bishop Fragen: Gibt es in allen Kulturen Mathematik? Führt die kulturelle Entwicklung notwendig zu derjenigen Mathematik, die sich im abendländischen Kulturkreis herausgebildet hat? Ist abendländische Mathematik "universal"? Untersuchungen zeigen: Mathematisches Denken im abendländischen Sinne gibt es in anderen Kulturen gar nicht oder nur rudimentär. Suche Gemeinsamkeiten Arbeitshypothese: Es gibt in allen Kulturen mathematische Aktivitäten Sechs Schlüsselqualifikationen, die sich in den untersuchten Kulturen auffinden lassen: Zählen (counting) Räumliche Beziehungen herstellen (locating) Messen (measuring) Entwerfen (designing) Spielen (playing) Begründen (explaining) 4

5 Didaktische Prinzipien sind Postulate bzw. Forderungen, die meist aus Lerntheorien abgeleitet bzw. durch diese begründet werden. Sie enthalten Hinweise und Regeln, wie im unterricht geeignete Lernbedingungen hergestellt und wie optimale Erfolge erreicht werden können. Beispiele Spiralprinzip: Die Idee eines Lehrplanes, bei dem Lehrgebiete in verschiedenen Altersstufen unter wechselnden Aspekten mehrfach auftreten; findet sich schon bei Plato. Heute bezieht man sich mit der Vorstellung einer Curriculumspirale stets auf Bruner. Das entscheidende Unterrichtsprinzip in jedem Fach ist für Bruner die Vermittlung der fundamentalen Ideen dieses Faches. Sie sind der zentrale Lerngegenstand auf jeder Stufe der kognitiven Entwicklung. Beispiel Zahlbegriff 0.Stufe: Vorschulische Erfahrungen mit Zahlen 1. Stufe: Zahlbegriff in der Primarstufe; Aspekte: Kardinal- Ordinal-Maßzahl-Rechenzahlund Codierungsaspekt 2. Sekundarstufe I: Erweiterung von N auf Z und von N auf Q.: Permanenzprinzip; Regeln, Symbolische Fassung von Regeln 3. Sekundarstufe II: Die Menge der reellen Zahlen; irrationale Zahlen; Probleme des Unendlichen; Approximation; 4. Studium: Überblick über die Stufen 1-3; Charakteristika 5.Fachdidaktik und Lehre: Konkretisierung vom Unterrichtsaufbau Weitere Beispiele für didaktische Prinzipien: Exemplarisches Prinzip; Anwendungsprinzip 5