Columna Vertebralis. Bezüge zwischen Anatomie, Musiktheorie und klassischer Geometrie. Ulrich Michael Kraus

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1 Columna Vertebralis Bezüge zwischen Anatomie, Musiktheorie und klassischer Geometrie Ulrich Michael Kraus

2 München-Schwabing und Schwabmünchen, 24. Juni 2016

3 Denn wo das Strenge mit dem Zarten, wo Starkes sich und Mildes paarten, da gibt es einen guten Klang. * aus Friedrich Schiller: Das Lied von der Glocke II

4 Inhalt: A. Einleitung B. Hauptteil 1. Menschliche Wirbelsäule und Brustkorb Wirbel und Bandscheiben Hals-, Brust- und Lendenwirbel berippte und unberippte Wirbel echte und unechte Rippen 7 obere und 5 untere - Zusammenfassung 2. Das Allgemeine in der Musik Geräusche Schall Frequenz Töne Harmonie Melodie Klänge Intervalle Prim und Oktave Quarte und Quinte perfekte Konsonanz Umkehrintervalle/Komplementärintervalle imperfekte Konsonanz Dissonanz Zusammenfassung 3. Der Weg der westlichen Musik Pentatonik Heptatonik Pythagoras Monochord Doppeloktave Ganztöne Tetraktys Längen- und Frequenzverhältnisse Duodezime Halbtöne Limma Zusammenfassung - Hexatonik Tritonus Pythagoräisches Komma Temperatur chromatische Leitern Quintenzirkel Tetrachorde Modi Dur- und Molltonleitern Zusammenfassung Pythagoräische Terz Didymos von Samos Reine Stimmung Großer und kleiner Ganzton diatonische Leiter 4. Die Schemen von Wirbelsäule und Musik im Vergleich Chromatische Töne und Rippenpaare Wirbelzahl und Tonarten Quinte und Quarte im Brustkorb 5. Zwischenbetrachtung: Der Weg der Altchinesischen Musik 12 Lü pentatonische Leitern heptatonische Leitern Fazit 6. Geometrische Grundkörper und musikalische Verhältnisse Das Grabmal des Archimedes Kugel Zylinder Kegel Pyramide Dreieck Parabelsegment C. Schluss Pythagoras und die Kugel Sieben und Zwölf als rein mythische Zahl? Unzenteilungen Metrisches System D. Literaturverzeichnis E. Anhang III

5 A. Einleitung Ziel dieser Arbeit ist es, Vergleiche zwischen menschlicher Anatomie, Musiktheorie und klassischer Geometrie aufzuzeigen und zu belegen. Wir werden zunächst die menschliche Wirbelsäule und den Brustkorb im Schema betrachten. Daneben werden wir die Grundlagen der Musiktheorie darlegen. Wir wollen dabei allgemein vorgehen und die mathematisch-physikalischen Voraussetzungen der Musik hervorheben. Nach den allgemeinen Grundlagen soll die Entwicklung der westlichen Musik zusammengefasst werden. Der Bogen soll von den ersten Saitenteilungen bis zu den diatonischen Tonleitern gespannt werden. Darauf wird ein erster Vergleich folgen. In einer Zwischenbetrachtung soll ein Blick auf die Musiktheorie des alten Chinas geworfen werden. Zuletzt werden wir ein Beispiel aus der klassischen Geometrie aufgreifen und Parallelen zu den vorgelegten Wissensgebieten hervorheben. Im Anhang befinden sich Tafeln, die eine abschließende Übersicht bieten

6 B. Hauptteil 1. Menschliche Wirbelsäule und Brustkorb Die menschliche Wirbelsäule besteht aus 24 Wirbeln. Sie beginnt oben am Schädel und folgt einer Wellenbewegung nach unten. Dann geht sie in das Kreuzbein über und endet mit dem Steißbein. Auch Kreuz- und Steißbein bestehen aus Wirbeln, nur sind deren Knochen fest miteinander verwachsen und unbeweglich. Davon unterscheiden sich die oberen Wirbel, die durch Bandscheiben gelagert und somit flexibel sind. Von oben nach unten sortiert besteht die Wirbelsäule aus den folgenden Passagen: 1. Sieben Halswirbel (In der Anatomie nummeriert als C1 bis C7). 2. Zwölf Brustwirbel (Th1 bis Th12). 3. Fünf Lendenwirbel (L1 bis L5). 4. Kreuz- und Steißbein (Sie bestehen aus 5 bzw. 4 fusionierten Wirbelknochen. Zählt man diese neun ursprünglichen Wirbel hinzu, ergibt sich eine Wirbelsumme von 33.) Jede dieser vier Passagen ist gekennzeichnet durch eine Krümmung zur Bauch- bzw. zur Rückenseite hin: Die Halswirbel wölben sich bauchseitig (ventral), die Brustwirbel wölben sich rückseitig (dorsal), die Lendenwirbel wölben sich wieder bauchseitig, Kreuz- und Steißbein wölben sich wieder rückseitig (vgl. Abb. 1). In der Seitenansicht der Wirbelsäule ergibt sich eine Wellenlinie. Was unterscheidet nun die genannten 24 Wirbel voneinander? Wer allgemein vorgeht, kann unterscheiden in Wirbel mit Rippen und Wirbel ohne Rippen: 12 Wirbel tragen eine Rippe das sind die Brustwirbel. Abbildung 1 aus Frank H. Netter: Atlas der Anatomie des Menschen (Stuttgart 1997). 12 Wirbel tragen keine Rippe das sind die Halswirbel oder Lendenwirbel

7 Oberhalb des Brustkorbs finden sich 7 rippenlose Wirbel, die Halswirbel - unterhalb des Brustkorbs finden sind 5 rippenlose Wirbel, die Lendenwirbel. Sie sind nach dem Schema 7 obere und 5 untere angeordnet. In Summe ergeben sie 12. Was die 12 berippten Wirbel (Th 1-12) betrifft, so sind auch sie untereinander keineswegs gleich. Sie alle tragen Rippen, doch sind diese in ihrem Bau unterschiedlich: In der Anatomie wird in echte und unechte Rippen unterschieden (Costae verae und Costae spuriae). Die echten Rippen sind über Rippenknorpel mit dem Brustbein (Sternum) verwachsen, die unechten Rippen stehen entweder frei in den Brustkorb oder sind nur indirekt über Sehnen an das Brustbein angeschlossen. Die echten Rippenpaare sind 7 an der Zahl, die unechten sind 5. Wie bei den rippenlosen Wirbeln zeigt sich das Schema 7 obere und 5 untere. 12 = 7 obere + 5 untere Abbildung 2: Knöcherner Teil der Rippen (aus Waschke/Böckers/Paulsen: Anatomie - Das Lehrbuch, S.136) Da hier das "Schema" der menschlichen Wirbelsäule besprochen wird, wurde auch der anatomische Normalfall beschrieben. Der Vollständigkeit halber soll noch erwähnt werden, dass die Natur wie eigentlich überall, auch hier Ausnahmen kennt: Etwa 5% der Menschheit leben mit einer variierten Wirbelzahl und nicht selten bleibt dies ein Leben lang unbemerkt. Tatsächlich sind Wirbelsäulen mit 23 bis 26 Wirbeln durchaus möglich doch seien uns diese Varianten die berühmten Ausnahmen, die die Regeln bestätigen. 1 Und wie lauten diese Regeln? Wir fassen zusammen: 1 Moore, Persaud, Torchia: Embryologie, S

8 Eine menschliche Wirbelsäule besteht aus 24 Wirbeln, die durch Bandscheiben gelagert sind. Darunter befinden sich Kreuz- und Steißbein, die aus 9 weiteren Wirbeln zusammengewachsen sind und ohne Bandscheiben auskommen. Sie sind darum keine eigentlichen Wirbel Wirbel sind rippenlos. Sie unterscheiden sich in 7 (obere) Halswirbel und fünf (untere) Lendenwirbel. (Vertebrae cervicales und V. lumbales) 12 Wirbel sind berippt. Sie formen gemeinsam den Brustkorb, wobei die Rippen der oberen 7 Wirbel "echt" sind, während die unteren 5 "unecht" sind. Unecht heißen sie, da sie nicht an das Brustbein (Sternum) angewachsen sind. Sie stehen frei in den Brustkorb, oder sind durch Sehnen an die echten Rippen angeschlossen. Für berippte und unberippte Wirbel gilt das Schema: 12 = 7 obere + 5 untere. Der Brustkorb besteht aus 12 Rippenpaaren, also 24 Rippen - wobei auch hier gilt: 12 = 7 obere ("echte") + 5 untere ("unechte"). Die 12 rippenlosen Wirbel neigen sich bauchseits (ventral) und stehen vor der Körperachse. Die 12 berippten Wirbel neigen sich rückseits (dorsal) und stehen hinter der Körperachse. 2 Zum Vergleich: Im Anhang befindet sich eine Tabelle mit den Wirbelzahlen diverser Nutztiere

9 Abbildung 3: aus Frank H. Netter: Atlas der Anatomie des Menschen (Stuttgart 1997). Nach dieser anatomischen Einteilung der menschlichen Wirbelsäule und des Brustkorbs, geht es im nächsten Kapitel um die Grundlagen der Musiktheorie

10 2. Das Allgemeine in der Musik Wir erleben den Alltag als eine Ansammlung von Geräuschen. Unser Ohr nimmt beinahe ständig ein Klappern, Brausen, Knallen oder Murmeln der Umgebung auf. Die Voraussetzung für das Geräusch ist der Schall. Schall entsteht durch Druckschwankungen eines Trägermediums. Üblicherweise handelt es sich hierbei um Luft, natürlich können aber auch Wasser oder feste Körper schallen. Untersucht man Geräusche im Labor, zeigt sich, dass ihre Schallwellen unstetig ausfallen. Sie steigen stark an und fallen schnell ab und meist sind sie eine Überlagerung diverser Wellen ohne Gemeinsamkeiten. Da unser Ohr wenig oder kein Regelmaß heraushören kann, empfinden wir Geräusche als mehr oder weniger strapazierend. Von Musik kann noch keine Rede sein. Beginnt ein Gegenstand jedoch gleichmäßige Schallwellen auszusenden, erkennt unser Ohr eine Frequenz dahinter. Frequenz drückt aus, mit wie vielen Anschlägen pro Zeiteinheit ein Ton übermittelt wird. Die übliche Einheit "Hertz" bedeutet Anschläge pro Sekunde (Einheit: 1/s). Langsame Frequenzen kann das Ohr noch als einzelne Anschläge wahrnehmen, steigt aber die Frequenz, so werden die Anschläge zu einem Summen, dessen "Höhe" mit der Frequenz steigt. Das kann man beim Starten von Motoren deutlich hören. Ähnlich wie im Kino, wo einzelne Dias zum Film beschleunigt werden, verschmelzen in der Musik einzelne Schallanschläge zu Tönen. So verläuft der Weg vom Geräusch zum Ton. Er zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus: Einteilung nach E. SCHRÖDER: "1. Seine Schwingungen sind regelmäßig. 2. Die Frequenz ist feststehend. 3. In seiner reinen Form ist er frei von Oberschwingungen. 4. Lautstärke und Schwingungsweite stehen in mathematischer Beziehung." 3 Erklingt nun ein zweiter solcher Ton, kann unser Ohr (oder das Gehirn dahinter) beurteilen, ob die Töne gleich waren oder verschieden. Waren die Töne verschieden, so gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder sie erklingen gemeinsam, dann wird daraus eine Harmonie, oder sie erklingen nacheinander, dann wird daraus eine Melodie. In beiden Fällen aber vergleicht das Gehirn die Töne. Und so wie unser Auge bei Interesse scharf stellt und hinsieht, so stellt auch unser Ohr "scharf" und lauscht auf. Dieses Aufhorchen des Menschen ist eigentlich schon der Beginn der Musik. Ihn können wir bei festlichen Anlässen nachvollziehen: Wird in einer Menschenrunde mit Krügen, Flaschen, Bierdosen oder Pappbechern angestoßen, so ergeben sich dumpfe Geräusche, die wenig Aufmerksamkeit verdienen. Stoßen wir allerdings mit schönen, gläsernen Kelchen an, so erklingt ein Ton. Unsere Ohren nehmen kein dumpfes Geräusch wahr, sondern einen Klang, der unsere Aufmerksamkeit kurz fesselt und ein Gefühl der Gemeinsamkeit hinterlässt. Alle lauschen einen Augenblick auf und sehen sich möglichst in die Augen. Es treffen Töne aufeinander und überlagern sich, es entstehen Klänge. Je nach Füllstand der Gläser, können die Töne die ihnen entweichen, verglichen werden. Sind die Gläser gleich gefüllt und gleich beschaffen, so sind auch deren Töne die selben; sind sie hingegen unterschiedlich gefüllt oder unterschiedlich beschaffen, so sind auch deren Töne unterschiedlich. Von nun an spielen Intervalle eine Rolle. Sie drücken nämlich aus, wie weit produzierte Töne 3 Schröder: Mathematik im Reich der Töne, S

11 auseinanderliegen. Das neutrale Intervall ist die Prim. Sie beschreibt gleiche Töne und entspricht dem neutralen Faktor 1. (Da Frequenzen multipliziert werden, ist die Eins das neutrale Element nicht die Null). Nach der Prim kommt die Oktave. Sie entspricht der 2, denn Oktave bedeutet, dass ein Ton die doppelte Frequenz seines Vorgängers erreicht hat. (Zum Beispiel liegt die Oktave eines Tones mit 400 Hz bei 800 Hz.) Die Schallwellen dieser Töne überlagern sich denkbar gut und werden vom Ohr als wohlklingend und ausgeglichen wahrgenommen. Wir empfinden Oktaven als gleiche Töne unterschiedlicher Höhe. Bis zu diesem Punkt ist Musik naturgegeben. Sie drückt sich rein mathematisch-physikalisch aus und kulturelle Prägungen spielen noch keine Rolle. Diese beginnen erst, wenn Tonintervalle, die zwischen der Oktave liegen, sortiert und zu Leitern zusammensetzt werden. Wichtige Intervalle nach der Oktave sind Quinte und Quarte. Die Quinte liegt beim Frequenzverhältnis 3:2, die Quarte bei 4:3. Sie sind die Intervalle Nummer 3 und 4. Da auch ihre Verhältnisse noch mathematisch einfach sind, nehmen wir sie als konsonant wahr. Ihre Schallwellen überlagern sich ordentlich und ergeben viele gemeinsame Vielfache. Oktaven, Quarten und Quinten gelten gemeinhin als angenehme Intervalle und werden eigentlich von allen Menschen als wohlklingend empfunden. Sie heißen deshalb perfekte Konsonanzen. Außerdem sind Quarte und Quinte das Umkehrintervall des anderen. Das bedeutet: eine Oktave kann durch eine Quarte und eine Quinte in Folge überwunden werden. (Quinte + Quarte = Oktave) Rechnerisch drückt sich das so aus: = 2 1 Beispielsweise ist es vom c 1 zum g 1 eine Quinte und vom g 1 zum c 2 eine Quarte. Zusammen ergibt dies eine Oktave (c 1 c 2 ). Zudem bringt eine fallende Quinte (c 2 f 1 ) den gleichen Ton wie eine steigende Quarte (c 2 f 2 ). Da sie sich ergänzen, werden Umkehrintervalle auch Komplementärintervalle genannt. So gesehen sind auch Prim und Oktave Komplementärintervalle, da sie sich zur Oktave ergänzen. Auf die konsonanten Intervalle folgen solche, die wir als nicht als ausgesprochen wohlklingend, aber auch nicht als dissonant wahrnehmen. Das sind die Terzen und ihre Umkehrintervalle die Sexten. Sie heißen imperfekte Konsonanzen. Die Frequenzverhältnisse sind 5:4 für die große Terz und 6:5 für die kleine Terz. Verrechnet mit der Oktave 2:1 ergeben sich analog folgende Umkehrintervalle: 8:5 und für die kleine Sexte und 5:3 für die große Sexte. Als unausgewogen werden Sekunden und Septimen wahrgenommen. Sie heißen Dissonanzen. Je komplizierter das mathematische Verhältnis zweier Töne, desto dissonanter ihr gemeinsamer Klang. Die große Sekunde liegt bei 9:8. Völlig dissonant ist zuletzt das Verhältnis eines Tonpaares, das drei Ganztöne auseinanderliegt. Sein Verhältnis beträgt 32:45. Im Lexikon der Harmonielehre finden wir eine Gegenüberstellung von Intervall und Proportion: - 7 -

12 Intervall Proportion Oktav 1:2 Quint 2:3 Quart 3:4 Große Sext 3:5 Große Terz 4:5 Kleine Terz 5:6 Kleine Sext 5:8 Kleine Septim 5:9 Große Sekund 8:9 Große Septim 8:15 Kleine Sekund 15:16 Tritonus 4 32:45 Tabelle 1 nach R.Amon, Lexikon d. Harmonielehre (S.124): Je einfacher die Proportion, desto konsonanter das Intervall. Diese Intervalle lassen sich paarweise zu Komplementärintervallen zusammenfassen, da sie gemeinsam jeweils eine Oktave ergeben. Es handelt sich um vier Paare: Prim - Oktave Quinte - Quarte Terz - Sexte Sekunde - Septime Sie können an zwei Händen zum Studium veranschaulicht werden: Man trage die 8 Intervalle der Reihe nach auf die 8 äußeren Finger auf. 4 Tritonus bedeutet ein Intervall von 3 Ganztönen (wörtl. Tritonus ). Er findet sich auf dem Klavier z.b. im Intervall C-FIS

13 Abbildung 4: Komplementärintervalle auf den Händen Gleiche Finger bedeuten Komplementärintervalle. Aus diesen Intervallen können Tonleitern innerhalb der Oktave gebaut werden. Dabei gibt es große kulturelle Unterschiede, Varianten und Empfindsamkeiten. Auch Zwischentöne (Blue Notes) sind bekannt. Dennoch ist der Gebrauch von Tonleitern allgemein. Zusammenfassend lässt sich sagen: Die Anfänge der Musik sind naturgegeben, da sie von Mathematik und Physik bestimmt sind. Kulturgegebenheiten treten erst später hinzu. Geräusche zeichnen sich durch unstete Schallwellen Töne durch periodische Schwingungen aus. Wichtigstes Intervall nach der Prim ist die Oktave. Sie beschreibt einen Ton, der als der Prim gleich empfunden wird (halbierte oder verdoppelte Frequenz). Quinten und Quarten werden durchaus als konsonant empfunden, da sich ihre Schallwellen mathematisch einfach ausdrücken lassen 3:2 bzw. 4:3. Je komplizierter das mathematische Verhältnis zweier Töne wird, desto dissonanter wird das Intervall empfunden

14 3. Der Weg der westlichen Musik Für einfache Melodien genügt es, fünf Töne innerhalb der Oktave zu wählen und zu nutzen. Tatsächlich kommen zahlreiche Kinderlieder oder Werbemelodien mit nur fünf Tönen innerhalb der Oktave aus. Man nennt diese Methode des Komponierens Pentatonik. Sie taucht in vielen Kulturkreisen und Musiksystemen auf. Sie ist einfach aber wirkungsvoll. In der westlichen Musik wurde es allerdings bereits in der Antike üblich, eine Tonleiter aus sieben Tönen zu bauen. Deshalb der Begriff Oktave, denn die Oktave ist der achte Ton einer solchen Leiter. Er gleicht wieder dem ersten. Die Methode aus sieben Tönen Leitern zu bauen nennt man Heptatonik. Sie kennt viele Möglichkeiten und Varianten. Theoretisch gehen sie auf Pythagoras von Samos (ca v. Chr.) und seine Schüler zurück. Anhand von unterteilten Saiten gelang es ihnen, Tonabstände in Verhältnissen, also rationalen Zahlen (Brüchen) auszudrücken. Am Monochord einem Instrument mit gespannter Saite auf einem Klangkörper, konnte dies demonstriert werden: Die Halbierung der Saite bringt die Oktave (1:2). Eine weitere Halbierung bringt die Doppeloktave ( = 1 4). Diese Teilung zeigt sich bis heute an der Gitarre: Der zwölfte Bund jeder Saite markiert die Oktave. Er liegt exakt bei der Saitenhälfte. 5 Des Weiteren fand Pythagoras bei 2/3 seiner Saite die Quinte, und bei 3/4 die Quarte. Der Sprung von der Quarte zur Quinte galt ihm als Ganzton. Rechnerisch musste er sich so ausdrücken: 2 3 = 3 4 a b (Quinte = Quarte + Ganzton) Da die Lösung der Gleichung a b = (8 9) beträgt, war hiermit der Ganzton definiert. Da die vier Zahlen 1,2,3 und 4 genügten, die ersten Intervalle rational zu beschreiben, pries er diese als heilige Tetraktys. Dabei handelt es sich nicht um Zahlenmystik, denn tatsächlich liefern bis heute nur die Brüche der ersten vier Zahlen perfekte Konsonanzen (1:2, 1:3, 1:4, 2:3 und 3:4). Die höheren Zahlen bieten nur noch imperfekte Konsonanzen (4:5, 5:6 etc.) oder Dissonanzen. Wir haben anfangs die Frequenzverhältnisse von Schallwellen als Intervalle besprochen. Die Oktave entspricht einer doppelten Wellenfrequenz, die Quinte einer eineinhalbfachen usw. Bei der Saitenteilung zeigt sich, dass die Längenverhältnisse den Kehrbrüchen der Frequenzverhältnisse entsprechen. Auch hier zeigen sich die Intervalle, allerdings im Kehrwert: 2:1 wird zu 1:2 und 3:2 wird zu 2:3. Dies zeigt sich deutlich am Monochord, auf dem Pythagoras 12 Bünde markierte: Die Oktave lag bei 6/12 = 1/2. Die Doppeloktave lag bei 3/12 = 1/4. Die Quinte liegt bei 8/12 = 2/3. Die Quarte liegt bei 9/12 = 3/4. 5 Es gibt auch E-Gitarren mit 24 Bünden. Hier kann man auch die Doppeloktave sehen: Sie teilt die Saite so, dass genau 1 4 ihrer Länge schwingt

15 Die Duodezime (die Quinte über der Oktave) liegt bei 1/3, denn = Abbildung 5: Durch die Zwölftelung einer Saite, können alle konsonanten Intervalle angeboten werden: Oktave Quinte Quarte Duodezime Doppeloktave 1 2 = = = = = 3 12 An diesem Teilungsschema hat sich bis heute nichts geändert. Es kann an jeder Gitarre studiert werden: 6 W. Keil: Musikgeschichte im Überblick, S.30 ff

16 Abbildung 6: Bis heute zeigen sich die pythagoräischen Verhältnisse auf der Gitarre. Den Sprung von der Quarte (5. Bund) zur Quinte (7.Bund) definierte Pythagoras als Ganzton (GT)

17 Abbildung 7: Die konsonanten Intervalle auf der Gitarre. Sie finden sich durch Teilung der Saite in 12 gleiche Teile. Soweit die Einteilung der grundlegenden Intervalle. Wie nun soll daraus eine Tonleiter werden? Die Pythagoräer wählten die Quinte zur treibenden Kraft. Nach der Oktave sahen sie in ihr das reinste Intervall. Von einem gewählten Ton stiegen sie drei Quinten nach oben und drei nach unten. Angenommen dieser Ton sei das D, so vollzieht sich das wie folgt: D liefert in steigenden Quinten A-E-H, und in fallenden Quinten G-C-F. In Reihe lautet dies: F - C - G - D - A - E - H Nach aufsteigender Reihe sortiert, ergibt dies die Siebentonleiter: D - E - F - G - A - H - C Darauf folgt wieder ein D als achter Ton, der dem ersten gleicht. Mit dem c vorangestellt entspricht eine solche Leiter bereits unserer C-DUR-Skala. Sie besteht aus C - D - E - F - G - A - H C. Das sind sieben Töne, wobei der achte dem ersten gleicht. Von da an wurde es kompliziert für Pythagoras und seine Nachfolger. Es wurde klar, dass zwischen dem gefundenen E und dem F, weniger als ein Ganztonschritt liegt. Gleiches galt für den Abstand von H nach

18 C. Es musste also einen Tonschritt geben, der kleiner sei als ein Ganzton: gewissermaßen ein Halbton. Doch wie fand man ihn? Rechnerisch konnte der mathematisch exakte Halbton noch nicht gefunden werden. Die Gleichung (Ganzton = Halbton + Halbton) 8 9 = (a b )6 ist nämlich mit keiner rationalen Zahl lösbar. Pythagoras überzeugt "alles sei Harmonie und Zahl", fand darauf keine Antwort. Der Überlieferung nach sollen Schüler, die diesen Mangel zur Sprache brachten, verstoßen worden sein. Wir heute wissen, dass obige Gleichung nur mit der irrationalen Zahl 2 lösbar ist: 8 9 = Da irrationale Zahlen aber unerwünscht waren, behalf man sich mit dem Limma, einer rationalen Zahl, die die Siebentonleiter rechnerisch ins Gleichgewicht brachte. Die Quarte setzt sich zusammen aus zwei Ganztonschritten und einem Limma-Schritt. (Quarte = Ganztonschritt + Ganztonschritt + Limma) Rechnerisch bedeutet das: = = 3 4 Darauf folgte ein weiterer Ganztonschritt zur Quinte (Quinte = Quarte + Ganzton). Von dort war es wieder eine Quarte zur vollendeten Oktave (Oktave = Quarte + Quinte). Mit dem Bruch 243/256 konnte die Siebentonleiter in 5 Ganztonschritten und 2 Limma-Schritten ausbilanziert werden. (Oktave = 5 Ganztonschritte + 2 Limma-Schritte) = = 1 2 Mit dem Limma (griech. "Überbleibsel", "Reststück") konnte eine Tonleiter mit 5 Ganztonschritten und 2 Quasi-Halbtonschritten aufgestellt und arithmetisch rein formuliert werden. Durch Pythagoras' Grundlagenarbeit war man sich im Alten Griechenland einig, dass eine Leiter in sieben Stufen zu überwinden sei. Jede Tonleiter hatte darum Prim, Sekunde, Terz, Quarte, Quinte, Sexte, Septime und Oktave. Darüber hinaus, war es aber diskutabel, wo Ganz- und Limmaschritten zu setzen seien und bei welchem Ton man zu starten habe. Hier ergaben sich Varianten je nach Lage der Limmaschritte und der Prim. Die Tonleitern, die daraus entstanden, wurden regional benannt und hießen lydisch, ionisch, äolisch, phrygisch, dorisch etc

19 Sie waren allesamt Siebentonleitern und wurden später im Mittelalter von der (jetzt) abendländischen Musik fortgeführt. 7 Wir fassen also zusammen: Die Grundlage unserer heutigen Tonleiteitern lieferten die Griechen, namentlich Pythagoras, der an der Saite (dem Monochord) Teilungen vornahm und so Intervalle markierte. Dies waren in erster Linie Oktave, Doppeloktave, Quinte, Quarte und Duodezime. Da er dafür nur die ersten vier natürlichen Zahlen brauchte, galt ihm diese "tetraktys" (Vierheit) als heilig. Den Raum zwischen Quarte und Quinte wies er dem Ganzton zu. Mit sechs dieser Ganztöne kann eine Oktave grob überwunden werden, doch lässt sich dies arithmetisch nicht in Bilanz bringen. Erst durch fünf Ganztonschritte und zwei Limma, den Vorgängern der Halbtonschritte, lässt sich die Tonleiter sauber "rechnen". Somit stützt die Menge der rationalen Zahlen (nämlich der Brüche), die Siebentonleitern. Diese werden auch als diatonisch ("durch den Ton hindurch") bezeichnet. Die Frage, wo nun Ganztöne und Limma zu setzten seien und wo man eine Skala starte, erklärt die zahlreichen Varianten griechischer Tonarten. Allgemein ist jedoch der Gebrauch von sieben Tönen (Heptatonik). Soviel zur Entstehung der Siebentonleitern. Aber warum gerade Siebentonleitern? Warum wird die Oktave nicht mit 6 gleichen Ganztonschritten (also einer Hexatonik) überschritten? Rechnerisch bedeutete dies, ein Verhältnis zu finden, dass in der Potenz 6 genau 1/2 ergibt. (Ganzton + Ganzton + Ganzton + Ganzton + Ganzton + Ganzton = Oktave) Die Lösung der Gleichung beträgt: a b < = 1 2 a b = = 1 = 1 = 2 2 Dabei handelt es sich offenbar um keine rationale Zahl. Das bedeutet, es kann kein Bruch aus natürlichen Zahlen gefunden werden, mit dem diese Tonleiter gerechnet werden kann. Gleiches zeigt sich, wenn man das Verhältnis des gebräuchlichen Ganztones (8 9) mit sich selbst multipliziert: 8 9 < = 0,493 Wir erreichten 1/2 nur gerundet. Eine Oktave mit sechs gleichen rationalen Verhältnissen zu überwinden ist also nicht möglich. Würde man eine Oktave exakt sechsteln ergäbe sich eine irrationale Gleiches gilt auch, würde man die Oktave exakt siebteln (Ergebnis 1 2). Mit dem Rezept 5 Ganztonschritte + 2 Halbtonschritte kann jedoch eine rationale Lösung gefunden werden. 7 Da fast alle musiktheoretischen Quellen der Antike verschollen waren, konnte das Wissen der Griechen nur mit Verwechslungen im Mittelalter reanimiert werden. Deshalb ist das griechische dorisch nicht dem mittelalterlichen dorisch identisch

20 Trotzdem kann auf einer heutigen Klaviatur die Oktave durch sechs Ganztonschritte überwunden werden. Die Leiter C-D-E-FIS-GIS-AIS-C besteht nur aus Ganztonschritten. Wer diese allerdings auf dem Klavier testet, wird sie als wenig anregend empfinden. Auch das hat Gründe: Die Leiter der sechs Ganztöne führt über den Tritonus, der die Oktave exakt halbiert. Er liegt bei 3 Ganztönen im obigen Bespiel von C nach FIS. Sein Frequenzverhältnis ist äußerst dissonant. Wer mit hexatonischen Leitern musizieren möchte, muss dieses Intervall in seine Musik aufnehmen. Durch pentatonsiche und heptatonische Leitern wird der Tritonus umschifft ein zweiter Grund warum sich diese durchgesetzt haben. Da nun die Pythagoräer durch ihre Siebentonleitern eine Seitenteilung entwickelt hatten, die ohne Wurzelzahlen auskam, erschien ein neues Problem, das ihnen zu schaffen machte: Wenn Tonleitern durch Schichtungen von Quinten gewonnen werden, dann müssten sich Oktav- und Quintsprünge irgendwann wieder treffen. Von C ausgehend müsste man sowohl durch Quintenreihen wie durch Oktavreihen wieder ein C erhalten. Die erste Quinte führt von C nach G, die zweite von G nach D, die dritte von D nach A und so fort. Nach einigen Wiederholungen müsste die Quinte wieder auf ein C fallen, welches dann mehrere Oktaven über dem ursprünglichen C liegt. Gehen wir die Quintenreihe durch: C-G-D-A-E-H-FIS-CIS-GIS-DIS-AIS-EIS-HIS Dies waren 12 Quintensprünge, die zu einem Ton "HIS" führen, der dem C fast gleich ist aber eben nur fast. Dieses "fast-c" liegt 7 Oktaven über unserem Ausgangs-C. Es ist dem C zum verwechseln ähnlich, aber nicht gleich. Dieser Zirkel aus Quinten schließt sich nicht zum Ring, sondern läuft wie eine Spirale weiter, wobei stets die Töne nach 12 Quinten, denen vor 7 Oktaven zum Verwechseln ähnlich sind. Dass sich Quinten und Oktaven nicht genau treffen können, zeigt sich daran, dass die Potenzen von 3 2 (=Quintsprung) und 2 1(=Oktavsprung) keine gemeinsamen Ergebnis haben: Zwölf Quinten das bedeutet: ( A 6 )B6 129,7. Sieben Oktaven das bedeutet: ( 6 B )D = 128 Diese Diskrepanz zwischen zwölf reinen Quinten und sieben reinen Oktaven heißt pythagoräisches Komma. Für die Praxis bedeutet dies: Wenn ein Klavierstimmer von einem Grundton C in reinen Quinten nach oben stimmt, bekommt er einen Ton HIS, der leicht anders klingt, als hätte er mit reinen Oktaven nach oben gestimmt. Oder anders ausgedrückt: Er kann nicht makellose Oktaven und makellose Quinten über die ganze Breite der Klaviatur anbieten. Eine Lösung kann darin bestehen, den Unterschied des Kommas auf die Intervalle innerhalb der Oktave aufzuteilen. Der Fachbegriff hierfür lautet temperieren und das Ergebnis wird Temperatur genannt. 8 Da der Musiker bei Tasteninstrumenten keinen Einfluss auf die Abstimmung der Tonhöhen (Intonation) hat, müssen diese immer minimal verstimmt sein. Der Tasten-Musiker bekommt ein vorgestimmtes Instrument und kann durch sein Gehör nicht in die Intonation eingreifen. Streicher, Bläser und Sänger können dies zu jeder Zeit sie benötigen diese Maßnahmen also nicht. Das pythagoräische Komma wurde vielfach als ein "Fehler der Natur" interpretiert. Fehlerhaft wäre die Natur, wenn man erwartete, der Zirkel der Quinten müsse sich zu einem Ring schmieden lassen. 8 Johann Sebastian Bach verwendete die Temperaturen seines Zeitgenossen Andreas Werckmeister ( ). Sie begünstigten den Wechsel der Tonarten (Modulation). Bach schrieb in der Folge einen Zyklus von Übungsstücken für Tasteninstrumente. Wegen der neuartigen Temperatur der Instrumente gab er dem Übungsband den Titel: Das Wohltemperierte Clavier

21 Vielmehr sieht die Natur eine Helix vor, in der wiederkehrende Töne wie Zwillinge verwechselbar, aber nicht gesetzmäßig gleich sind. Im Lexikon der Harmonielehre von R. AMON lesen wir zu dem Thema: "Die Aneinanderreihung von zwölf reinen Quinten ergibt keinen geschlossenen Kreis, sondern eine Spirale. Die Oktav 1:2 wird durch die Primzahl 2, die Quint durch die Primzahl 3 repräsentiert." 9 Die dahinterliegende Ordnung ob nun in Spiralform oder Ring lautet: 12 Quinten legen sich auf 7 Oktaven. Kehren wir noch einmal zu der Skala zurück, die Pythagoras durch Quintensprünge fand. Sie lautete: D - E - F - G - A - H C. Beginnend mit C haben wir eine heutige C-Dur Tonleiter: C - D - E - F - G - A - H C. Wollen wir nun aber auf dem G eine Tonleiter bauen, die wiederum bis G läuft und gleiche Intervalle wie die C-Leiter hat, so genügen diese angeführten Töne nicht. Es braucht einen weiteren Ton, der zwischen F und G liegt. Er wurde FIS getauft. Wollen wir nun auf dem D eine dritte Tonleiter bauen, so genügt auch das FIS nicht aus. Es braucht einen Ton der zwischen C und D liegt, sonst geht die Leiter nicht auf. Dieser Ton wurde CIS getauft. Dieses Spiel geht so lange bis fünf weitere dieser neuen Töne eingebaut sein werden. Nach dem fünften Aushilfston kann das Spiel noch weiter getrieben werden, doch ergeben sich dann keine neuen Hilfstöne mehr, sondern nur Töne, die schon bestanden. Diese Hilfstöne heißen CIS-DIS-FIS-GIS- AIS oder DES-ES-GES-AS-B, je nachdem auf welchen Nachbarton sie sich beziehen. Dies bedeutet, dass man unter Zuhilfenahme von 5 Zwischentönen (CIS-DIS-FIS-GIS-AIS) auf jedem einzelnen Ton der C-Dur- Leiter, wieder eine Leiter bauen kann. Somit sind folgende Töne im Spiel: C-CIS-D-DIS-E-F-FIS-G-GIS-A-AIS-H. Das gibt zwölf Töne, die als chromatisch bezeichnet werden. Wählt man sieben aus diesen zwölf Tönen für eine Tonleiter aus, so kann mit Hilfe der fünf verbleibenden Töne auf jedem der sieben gewählten Töne eine neue Tonleiter gebaut werden. Das Ordnungsschema hinter dieser Methode ist der Quintenzirkel. Er erlaubt dem Tonsetzer seine Melodien systematisch auf eine Tonart seiner Wahl zu legen. Für die natürliche Tonleiter C-D-E-F-G-A-H bedeutet dies, dass auf jedem der Töne eine Leiter mit 5 Ganzton und 2 Halbtonschritten errichtet werden kann. Wo nun diese Halbtonschritte zu liegen haben ist Geschmackssache, aber auch hier bietet die Zwölftelung Vorteile: Denken wir noch einmal an die Quarte. Sie ist nach Pythagoras einen Ganzton niedriger als die Quinte. Demnach kann die Oktave als ein Paar von zwei Viertongespannen verstanden werden. C-D-E-F G-A-H-C Diese Viertongespanne werden Tetrachorde genannt. Sie beschreiben eine Quarte von der Prim und eine Quarte von der Quinte. Diese Quarten können unterschiedlich überwunden werden. Quarten bestehen aus zwei Ganztönten und einem Limma (heute Halbton). Diese Schritte können auf drei Weisen genommen werden: Ganzton - Halbton - Ganzton Halbton - Ganzton - Ganzton 9 Amon: Lexikon der Harmonielehre, Stichwort: Stimmungen - Mathematische Grundlagen, S

22 Ganzton - Ganzton - Halbton Bei Zwölferteilung der Oktave können alle drei Varianten der Halbtonlage eingesetzt werden. Daraus entstanden die "Modi" der Kirchentonarten, die sich je nach Lage der Halbtonschritte und des Ausgangstones unterschieden. Nach dem Mittelalter setzten sich zwei Modi durch, die ionisch und äolisch hießen. Ihre Tetrachorde hießen so: 1. Ganzton Ganzton Halbton Ganzton Ganzton Halbton. Schema (1-1-½ ½) das war ionisch und wurde zur Dur-Tonleiter 2. Ganzton Halbton Ganzton Halbton Ganzton Ganzton Schema (1-½-1-1-½-1-1) das war äolisch und wurde die Moll-Tonleiter. Wir fassen zusammen: In der westlichen Musik wird der Oktavraum in 12 gleiche Halbtöne gebrochen. Mit 12 dieser Intervalle wird eine Oktave überwunden. Aus diesen 12 Halbtönen (=Chromatik) wählt der Komponist 7 Töne für eine Tonleiter aus. Aus C-CIS-D-DIS-E-F-FIS-G-GIS-A-AIS-H und C werden etwa D-E-FIS-G-A-H-CIS und D für D-Dur. Durch die 12 chromatischen Töne können die Quarten der Tonleitern in drei unterschiedlichen Dreischritten erreicht werden. Diese sind ganz-halb-ganz, halb-ganzganz und ganz-ganz-halb (vlg. C-D-DIS-F, C-CIS-DIS-F, C-D-E-F). Durch diese Varianz der Dreischritte im "Tetrachord" der beiden Quarten, erklären sich die zahlreichen Kirchentonarten, die von der Varianz Gebrauch machen. Auf dem Klavier kann leicht nachgezählt werden: Eine Quinte erreicht man durch sieben Halbtonschritte (C nach G) eine Quarte durch deren fünf (C nach F). Gemeinsam ergeben sich zwölf Halbtonschritte für die Oktave. Das Dur/Moll-System hält für jeden der 12 Töne im Oktavraum eine Tonleiter parat. Zusammen ergibt dies 24 Tonleitern. Nach Pythagoras wurden Verfeinerungen an diesem Teilungsschema vorgenommen, dennoch blieb es im Wesentlichen bestehen. Wie oben beschrieben, lag das damalige Augenmerk auf den konsonanten Intervallen, die durch Verhältnisse der Zahlen 1,2,3 und 4 darstellbar waren und bis heute sind. Proportionen, die darüber hinaus gingen (Terzen oder Sexten), wurden vernachlässigt. Das sieht man an der sog. pythagoräischen Terz. Sie bestand aus zwei Ganztönen und errechnete sich folglich aus: = Entsprechend einer solch schwierigen Proportion, klang auch die Terz sehr imperfekt. Um die Zeitenwende (ca. 30 v.chr.) gelang es dem Griechen Didymos von Samos, das pythagoräische System zu verbessern, indem er die Terzen verbesserte: Die große Terz wurde auf 4:5, die kleine Terz auf 5:6 gelegt. Daraus wurde die sogenannte Reine Stimmung (auch natürlich-harmonische Stimmung genannt). Sie beruht darauf, dass der gewohnte Ganzton 8:9 differenziert wird: Es gibt einen großen Ganzton (8:9) und einen kleinen Ganzton (9:10). Die große Terz 4:5, die sich aus zwei Ganztönen zusammensetzt, errechnet sich aus: 8:9 x 9:10 = 72:90 = 4:5. Zudem wurde das Limma durch den Halbton mit 16:15 ersetzt

23 Aus einer Intervallfolge von 5 Ganztönen und 2 Limma wurde: 3 große Ganztöne, 2 kleine Ganztöne und 2 Halbtöne. Es ergab sich eine Intervallfolge: = = 2 1 Die Tonleiter konnte also sauber mit rationalen Zahlen gerechnet werden, ergab wohlklingende Terzen bzw. Sexten und konnte auf das komplizierte Limma verzichten. Das Ergebnis wird bis heute auch als diatonische Leiter bezeichnet. 10 Die einzelnen Töne standen in der folgenden Proportion zueinander: 24 : 27 : 30 : 32 : 36 : 40 : 45 : 48 Mit den einzelnen Faktoren formuliert, heißt es: 24 F G 27 BI F 30 B< BK 32 F G BI F F G 45 B< BK 48 Um die ganzzahlig fortlaufende Proportion graphisch zu veranschaulichen, müssen wir aus den oben beschrieben 12 gleichen Teilen einer Saite 48 machen. Jeder Teil muss also zusätzlich geviertelt werden, denn 12 4 = 48. Das diatonische Stimmungsschema zeigt sich in Abbildung 8: 10 Zum Vergleich: In der Pythagoräischen Teilung lautete die ganzzahlig fortlaufende Proportion: 384 : 432 : 486 : 512 : 576 : 648 : 729 : 768 Sie war also wesentlich komplizierter. Die Zusammenhänge werden in E. SCHRÖDER, Mathematik im Reich der Töne (Frankfurt am Main 1985) sehr anschaulich beschrieben. Vgl. Kapitel 7: Monochord und Kapitel 8: Diatonisches Stimmungsprinzip

24 Abbildung 8: Diatonische Proportion an der 48-fach geteilten Seite. Oben die Frequenzverhältnisse unten die Teilungsverhältnisse. (Entlang der Punktlinie zeigen sich die Komplementärintervalle.) Durch die so vorgenommenen Anpassungen gaben sich mehrere Vorteile beim Musizieren: Erstens war das Limma mit seinem komplizierten Verhältnis verschwunden und zweitens wurden die Terzen günstiger (vgl. 64:81 mit 5:4 bzw. 6:5). Wir sind nun den Weg von den ersten Saitenteilungen der Pythagoräer bis zu den diatonischen Leitern gegangen. Mit diesen Leitern musizieren unsere Musiker bis heute. Es wurde klar, dass die Zahlen 7 und 12 dabei eine Schlüsselrolle spielen. 7 das ist die Zahl der Töne in einer Leiter bis wieder derselbe Ton an achter Stelle eintritt. 12 das ist die Zahl der chromatischen Teilungen einer Oktave. Soweit nun die Entwicklung der Musiktheorie. Nun bietet es sich an, die Schemen der Musiktheorie mit denen der Anatomie zu vergleichen

25 4. Die Schemen im Vergleich Bei Betrachtung der Schemen des menschlichen Brustkorbes und der Musik des Westens entstehen deutliche Übereinstimmungen. 1. Der Oktavraum gliedert sich in 12 Halbtöne, wobei derer 7 zu einer Tonleiter zusammengefasst werden Der menschliche Brustkorb gliedert sich in 12 Rippenpaare, wobei derer 7 fest an das Sternum gewachsen sind. Musik 12 chromatische Töne innerhalb der Oktave 7 dieser chromatischen Töne bilden eine diatonische Leiter. Anatomie 12 Rippenpaare innerhalb des Brustkorbes 7 dieser Rippenpaare sind fest mit dem Brustbein verwachsen (Fachbegriff echte Rippen). 12 Quinten ergeben gerundet 7 Oktaven (Beachte: Spiralbewegung nicht Kreisbewegung) 2. Die 12 Halbtöne der Oktave gehorchen der Teilung in Quinte und Quarte: 7 Halbtöne gehen auf die Quinte 5 auf die Quarte. Im Schema gilt 12 = Die 12 rippenlosen Wirbel gehorchen dem Schema 12 = 7 + 5, denn 7 von ihnen sind Halswirbel und 5 von ihnen sind Lendenwirbel. Die berippten Wirbel gehorchen ebenfalls diesem Schema, denn 7 Rippenpaare sind echt, fünf sind unecht. Musik Oktave = Quinte + Quarte 12 Halbtöne = 7 Halbtöne + 5 Halbtöne Anatomie Brustkorb = echte Rippen + unechte Rippen 12 unberippte Wirbel = 7 Halswirbel + 5 Lendenwirbel 3. Die westliche Musik kennt 24 Tonarten, die eigentlich 12 Tonartenpaare sind (C-Dur = A-Moll) Der menschliche Brustkorb besteht aus 24 Rippen, die eigentlich 12 Rippenpaare sind. Die westliche Musik arbeitet mit 12 Dur- Die Wirbelsäule arbeitet mit 12 berippten Tonarten und 12 Moll-Tonarten. Die Summe und 12 unberippten Wirbeln. Die Summe ist beträgt Der Brustkorb arbeitet mit 12 linken Rippen und mit 12 rechten Rippen. Die Summe ist

26 Nun kann man sich fragen, ob es überhaupt sinnvoll ist, ein natürliches Phänomen unsere Anatomie, mit einem kulturellen Phänomen unserer Musiktheorie, zu vergleichen. Unsere Anatomie ist eine natürliche Gegebenheit, auf die wir Menschen keinen Einfluss haben und die Musik, das ist eine kulturelle Sache, die wir Menschen sehr wohl mitbestimmen. Kann man diese Dinge also wirklich sinnvoll vergleichen? Um diese Frage zu klären, lohnt es nach Musiktheorie zu fragen, die völlig außerhalb unseres europäischen Kulturkreises entstanden ist. 5. Zwischenbetrachtung: Der Weg der Altchinesischen Musik Werfen wir einen Blick auf die Musiktheorie des Alten Chinas. Wie in vielen anderen Kulturfragen haben die Chinesen bereits vor vielen Jahrhunderten ihre eigenen Grundsteine gelegt und darauf gebaut. Hier zeigt sich Verblüffendes: Bereits zur Shang-Dynastie (ca v.chr.) also lange vor der griechischen Klassik, musizierten die Vorfahren der heutigen Chinesen auf dem Tonsystem der sogenannten "12 Lü". Im dtv-atlas Musik lesen wir zum Thema: "Shang-Dynastie (ca ) Dem Tonsystem liegen die 12 Lü (Halbtöne) zu Grunde, die sich aus der Folge reiner Quinten herleiten. Ein Ausschnitt von 5 Quinten liefert jeweils das Material für eine pentatonische Leiter. Jeder der 5 Töne kann Grundton der Leiter sein, sodass sich je Leiter 5 Tonarten ergeben. Da die pentatonische Leiter auf jedem der 12 Lü aufgebaut werden kann, kommt man auf 60 Tonarten. Chou Dynastie (ca ) (...) Das System der relativen 12 Lü blieb bestehen, wurde jedoch spätestens um 300 v. Chr. durch heptatonische Leitern erweitert. (...) Die heptatonische Musik gilt als neu." 11 Es zeigt sich aber mit Klarheit, dass sich im Altchinesischen Reich ein 12-Halbtonsystem einspielte. Außerdem fällt der Übergang von pentatonischen Leitern zu heptatonischen auf. Die 60 Tonarten des pentatonischen Musizierens errechnen sich aus 12 5; die 84 Tonarten des heptatonischen Musizierens errechnen sich aus Zitierenswert ist hier eine Anmerkung, die R. AMON im Kapitel zum Quintenzirkel schreibt: Als nachweislich erster hat Aristoxenos von Tarent (ca v.chr.), Schüler von Aristoteles, Philosoph und Musiktheoretiker, ein Quintverfahren angewandt. Von ihm stammen die Bezeichnungen Ganzton und Halbton. Er definiert die Quint als summe von Quart plus Ganzton, die Quart entsprechend als Summe von Ganzton plus Ganzton plus Halbton. Fast zeitgleich hat in China Lü Pu We(i) (gest. 295 v.chr.) im Buch Frühling und Herbst den Mythos um die Entstehung der Zwölf Lü einer Rechenregel, die mit unserem Quintenzirkels faktisch identisch ist (jedoch nach einem anderem Prinzip gewonnen) dargestellt. Ab der Renaissance (...) erfolgt im Abendland eine intensive Auseinandersetzung mit dieser Materie. 12 Trotz aller Unterschiede der Kulturkreise, die bis heute bestehen, zeigen sich Gemeinsamkeiten 11 Michels: dtv-atlas Musik, S Amon: Lexikon der Harmonielehre, S

27 zwischen europäischer und altchinesischer Musiktheorie: Die Schlüsselrolle der Zahl 12 findet sich in beiden Erdteilen und auch der Übergang vom pentatonischen System zum heptatonischen zeigt die Bedeutung der Ziffern 5 und 7. Wie kann dies sein, da beide Musiksysteme unabhängig voneinander entstanden sind? Vielleicht liegt der Grund hierfür weniger im Zufall, denn in natürlichen Rahmenbedingungen. Denken wir an die 7. Durch Verwendung von Siebentonleitern können Oktaven durch 5 Ganztonschritte und 2 Halbtonschritte rechnerisch sauber überwunden werden. Durch 5 weitere Halbtone in der Oktave, kann auf jedem Ton der Leiter eine eigene Leiter gebaut werden: Auf der Prim ist eine Tonleiter möglich (C-Dur), auf der Sekunde ist eine Tonleiter möglich (D-Dur), auf der Terz ist eine Tonleiter möglich (E-Dur) und so weiter bis wir bei der Septime angelangen (H-Dur). Hier brauchen wir alle zusätzlichen Halbtöne, die nichts anderes sind, als die schwarzen Tasten denn natürlich hat ein Klavier bis heute 7 weiße und 5 schwarze Tasten innerhalb einer Oktave. Die Zwölftelung der Oktave bietet zudem den Vorteil, dass die Halbtöne nicht nach dem Modus Dur angeordnet werden müssen, es kann auch im Modus Moll erfolgen. Die Leiter kann als Ganzton-Ganzton-Halbton oder Halbton- Ganzton-Ganzton etc. interpretiert werden. Zuletzt kann man noch daran erinnern, dass die Teilung einer Saite in 12 Teile alle konsonanten Intervalle (Quinte, Quarte, Oktave, Duodezime und Doppeloktave) darstellt. Es zeigt sich also, dass die Besonderheit dieser Zahlen nicht aus Zahlenmystik oder der Geheimniskrämerei des Pythagoras hervorgegangen ist. Hinter ihr stehen mitunter rechnerische Gründe, deren Folgen sich bis heute im Phänotyp der Musiktheorie zeigen. Auch die Theorie des letzten Jahrhunderts konnte sich nicht von ihr lösen. Als bestes Beispiel mag hier Arnold Schönbergs Vision einer atonalen Musik dienen: Obwohl er die Arbeit mit diatonischen Leitern aufgab, blieb die Bedeutung der Zahl 12 in seiner Zwölftonmusik eindeutig bestehen. Kehren wir im letzten Kapitel zu Pythagoras und seiner Geheimniskrämerei zurück. Die Bedeutung, die er den Zahlen 1 bis 4 beimaß, wurde oben bereits angesprochen. Nun kann man sich fragen, warum sie ihm gar als heilig galten. Die wahrscheinlich banalste Erklärung liegt darin, dass die Summe der Zahlen von 1 bis 4 gleich 10 ist und da jeder Mensch 10 Finger haben sollte, musste es etwas besonderes mit diesen Zahlen auf sich haben = 10 Doch geht die Bedeutung dieser Zahlen, wie wir gelernt haben, weiter als es im ersten Augenblick scheint. Vor allem die Verhältnisse, die sich aus ihnen ergeben, sind von tieferer Bedeutung. Abbildung 9: Die 10 als sog. Dreieckszahl: Die Menge einer Dreieckszahl lässt sich als gleichseitiges Dreieck anordnen. Z.B. 3, 5,10,15 etc

28 6. Geometrische Grundkörper und musikalische Verhältnisse Das Leben des wahrscheinlich begabtesten Mathematikers der Antike Archimedes von Syrakus (ca v.chr.) ist legendenumwoben. Als er aus dem Bade stieg soll er "Heureka, heureka" gerufen haben und sei gar nackt nachhause geeilt. Vor seinem Tod durch das Schwert eines römischen Soldaten, lauteten seine letzten Worte: "Störe meine Kreise nicht!" so sagt es die Legende. Weniger berühmt, aber genauso bemerkenswert ist das Grab, in dem er angeblich beigesetzt worden sei. Es hatte die Form einer Kugel, die von einem Zylinder umschlossen ist. Was wollte uns Archimedes über die Sprache dieser Architektur übermitteln? Zu jeder Kugel existiert ein Zylinder, der sie genau einschließt. Der Grundkreis dieses Zylinders gleicht dem Inkreis der Kugel, die Höhe des Zylinders gleicht dem Kugeldurchmesser, also dem doppelten Radius. Aus dem Schulunterricht wissen wir, dass sich der Inhalt einer Kugel nach der Formel V = 4 3 r A π errechnen lässt. Wie können wir uns dieses Produkt körperlich vorstellen? Die Faktoren r A π können wir als r 6 π r umformen und körperlich beschreibt r 6 π r einen Zylinder: Seine Grundfläche ist r 6 π, seine Höhe ist r. Da sich das Volumen eines Zylinder aus der Grundkreisfläche multipliziert mit der Höhe ergibt, erhalten wir die Formel r 6 π r. Abbildung 10: Die Höhe des halben Zylinders entspricht dem Radius, die Höhe des ganzen Zylinder entsrpicht dem Durchmesser der Kugel. Dieser Zylinder reicht genau bis zum Äquator unserer Einheitskugel, denn er ist halb so hoch wie oben beschriebener Umfassungszylinder, dessen Höhe dem Durchmesser gleicht. Dieser errechnet sich aus Grundkreisfläche (r 6 π) multipliziert mit der Höhe (2r), also als r 6 π 2r. Nun besagt die Formel als V = 4/3r A π, dass der Inhalt der Einheitskugel um 4/3 größer ist, als ihr Halbzylinder mit Inhalt r A π. Die Einheitskugel ist also eine Quarte größer als ihr Halbzylinder. Wie verhält sich nun der Vollzylinder zur Kugel? Das Vollzylindervolumen errechnet sich aus 2r r 6 π = 2r A π (Höhe mal Grundkreisfläche). Nun können wir den Kugelinhalt 4/3r A π ins Verhältnis zum Vollzylinderinhalt 2r A π setzen: Nach dem Kürzen bleibt: 2r A π 4 3 ra π

29 2 = Dies ergibt 3:2 also den Quotient der Quinte. Folglich entspricht der Inhalt des Umfassungszylinders dem eineinhalbfachen Kugelinhalt. Er ist um eine Quinte größer als die Einheitskugel. Zusammenfassend lässt sich sagen: Der Inhalt der Einheitskugel ist 4 3 größer, als der ihres Halbzylinders. Die Einheitskugel ist also eine Quarte größer, als ihr Halbzylinder. Der Inhalt des Umfassungszylinders ist um 3 2 größer, als der der Einheitskugel. Er ist also eine Quinte über der Einheitskugel. In den Verhältniszahlen 4 3 und 3 2 sind Quarte und Quinte geometrisch verewigt. Ihr Produkt 4/3 3 2 ergibt 12 6 also 2 1. Und 2 1 entspricht wieder der Oktavzahl 2. Eine Kugel und ihr Umfassungszylinder lehren uns also die Bedeutung von Quinte und Quarte: Der Kugeläquator halbiert den Umfassungszylinder, jedoch ist die Kugel eine Quarte größer als der Halbzylinder. Der Vollzylinder ist wiederum eine Quinte größer als die Einheitskugel. Volumen Halbzylinder ]^_`ab Volumen Einheitskugel ]^ijab Volumen (Vollzylinder) Volumen Halbzylinder kla_mb Volumen (Vollzylinder) Das Volumenverhältnis von Kugel und Umfassungszylinder war von Archimedes entdeckt worden und dieses Wissen sollte offenbar für die Nachwelt in architektonischer Weise konserviert werden. 13 Betrachten wir nun die Oberfläche einer Kugel. Sie errechnet sich nach der Formel 4r 6 π. Wir haben es also mit dem Inkreis der Kugel r 6 π und dem Faktor 4 zu tun. Die Oberfläche einer Kugel ist viermal größer als ihr Inkreis. Oder umgekehrt: Die Fläche des Inkreises einer Kugel beträgt 1 4 der Kugeloberfläche. Im Faktor 1 4 erkennen wir klar die Doppeloktave. Fläche Inkreis rsttbusla_mb Oberfläche Kugel Abbildung 11 Diese Betrachtungen können bei anderen geometrischen Körpern weiterverfolgt werden: Betrachten wir nun den Kegel. Sein Volumen berechnet sich nach der Formel V = 1 3 hr 6 π. Auch hier hat man es mit einem Umfassungszylinder zu tun. Er wird durch Grundkreis und Höhe des Kegels beschrieben. 13 Zum Grab des Archimedes vlg. Dilke: Mathematik, Maße und Gewichte in der Antike, S

30 Abbildung 12 Nach obiger Formel sind Kegel und Umfassungszylinder proportional. Sie stehen im Verhältnis 1 3. Der Umfassungszylinder ist im Volumen dreimal größer als der Kegel. Da 1 3 das Verhältnis der Duodezime ist, können wir folgern, dass jeder Umfassungszylinder eine Duodezime größer ist als der Kegel, den er umfasst. Volumen Kegel r^sybzi{b Volumen (Umfassungszylinder) Gleiches gilt für die Pyramide. Jede Pyramide kann durch einen Quader (Grundfläche mal Höhe) beschrieben werden. Das Pyramidenvolumen beträgt 1 3 ihres Umfassungsquaders. Volumen Pyramide r^sybzi{b Volumen (Umfassungsquader) Wir sehen also, dass sich die sog. konsonanten Intervalle auch in den geometrischen Grundkörpern finden. Sie zeigen sich aber auch in einfachen Figuren, wie dem Dreieck: Jedes geradlinige Dreieck kann von einem Rechteck (a h) umschrieben werden. Die Dreiecksfläche berechnet sich mit 1/2ah. Somit ist das Umfassungsrechteck eine Oktave größer als das Dreieck. Fläche Dreieck kla_mb Fläche (Umfassungsrechteck) Abbildung 13 Es zeigt sich also mit Klarheit, dass in den geometrischen Figuren und Körpern die pythagoräischen Verhältnisse verewigt sind: Die Oktave zeigt sich im Dreieck mit seinem Umfassungsrechteck. Quarte und Quinte zeigen sich in der Kugel und ihrem Halb- bzw. Vollzylinder. Die Duodezime zeigt sich im Kegel und seinem Umfassungszylinder. Gleiches gilt für die Pyramide und ihren Umfassungsquader

31 Die Doppeloktave zeigt sich in der Kugeloberfläche, die der vierfachen Inkreisfläche entspricht. Die Verhältnisse die zum Einsatz kommen sind: oder In der Musik liefern sie die perfekten Konsonanzen Oktave, Quarte, Quinte, Duodezime, Doppeloktave. Die natürlichen Zahlen, die für diese Verhältnisse angewandt werden sind: 1, 2, 3, 4 Abschließend soll noch erwähnt werden, dass die Verhältnisse der Tetraktis auch in der Berechnung von Parabelsegmenten erscheinen. Hier schließt sich der Kreis zu Archimedes: Zu jedem Parabelsegment zwischen zwei Punkten B und C, gibt es ein kennzeichnendes Dreieck aus der Grundlinie BC und dem Punkt A, der auf der parallelen Tangente zu BC liegt. Abbildung 14 Archimedes behauptete der Flächeninhalt des Parabelsegmentes verhalte sich zur Dreiecksfläche wie 4:3. Was veranlasste ihn zu dieser Behauptung? Archimedes erkannte, dass zwischen Dreieck ABC und dem Parabelsegment zwei Restflächen bestehen bleiben, die wiederum Parabelsegmente sind. Also konnte er die angewandte Methode wiederholen und zwei neue Dreiecke in den Restflächen definieren. Das sind die Dreiecke BGA und CHA. Er erkannte, dass die Flächen der beiden kleinen Dreiecke nur ein Viertel des großen Dreiecks betragen. Die näherungsweise Fläche des großen Parabelsegments beträgt also 1 + 1/4 der Dreiecksfläche ABC. Wiederholt Archimedes seine Methode, so werden die Dreiecke der dritten Generation nur noch 1/16 des Urdreiecks betragen. Die Dreiecke der vierten Generation werden 1/64 betragen und so fort. Nichts außer seiner endlichen Lebenszeit vermag nun Archimedes daran hindern, diese Methode unendlich zu wiederholen. Durch unendliche Generationen von Dreiecken entsteht eine Summe von Brüchen, die sich dem Wert 4/3 annähert: =