Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 5 Seite 1 von 10. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Grundkurs

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1 Seite 1 von 1 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 28 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Geometrie mit Alternative 2 (Übergangsmatrizen) 2. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Alternative 2: Übergangsmatrizen, Matrizenmultiplikation als Verkettung von Übergängen 2. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

2 Seite 2 von 1 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) E Bei gegebener Matrix Ü ab, kann der Bestand durch den Vektor I1 I2 dargestellt werden. E E a I + b I Aus ergeben sich damit die folgenden Zusammenhänge. 1 2 I1 Ü ab, I 1 1, E I 2 I 2 4, I 1 E a I1+ b I2: Gesamtzahl der Eier, die von Insekten der Entwicklungsstufen I 1 und I 2 gelegt werden, I1 1, E: Anzahl der Insekten der Entwicklungsstufe I 1, die sich aus 1 % der Eier entwickeln, I2 4, I1: Anzahl der Insekten der Entwicklungsstufe I 2, in die sich 4 % der Insekten der Entwicklungsstufe I 1 verwandeln. Das entspricht dem im Übergangsgraphen dargestellten Sachverhalt. Die Parameter a bzw. b geben die Erzeugungsraten von Eiern durch Insekten der Entwicklungsstufe I 1 bzw. I 2 an. Modelllösung b) Mit a 1 und b 5 ergibt sich die Übergangsmatrix: Ü 1 5 1,. Der Startvektor lautet x, 4 1. Mit x k Ü xk 1 ( k 123,, ) er- hält man die Verteilungsvektoren x1 1, x2 1 4, x3 2 1.

3 Seite 3 von 1 Modelllösung c) Aus den Angaben des Aufgabentextes ergibt sich die veränderte Übergangsmatrix Ü neu 5 1,. Für den Startvektor gilt nun x, , Für die zukünftigen Insektenpopulationen ergeben sich die Verteilungen x ,, x ,, x3 16, 2, x. Daran erkennt man, dass die Population nicht überlebensfähig ist. Zu dieser Aussage kann man auch durch allgemeine Rechnung oder unmittelbar durch Bildung des Produkts aus Erzeugungsrate und Überlebensraten kommen: 5 14,, 2, < 1. Modelllösung d) Ausgehend von der Übergangsmatrix Ü a a 5 1,, 4 und dem Startvektor x 2 1 erhält man: Ü 2 a 2 32, 1a , 1a, , 4 8 2a a 6 a 6 8 8

4 Seite 4 von 1 Modelllösung e) Ü ( ) 1, 5, 2 1, 5. 4, 4, 8, ; 5 Ü1; 5 E E+ 4 I + I Ü I E I I ; 5 1 2, 1 5, I 2 4, E 8, I Die Größe der Population 16, E + 58, I1+ 15, I2 übertrifft nach vier Wochen die Größe E + I1+ I2 der Anfangspopulation wenigstens um einen Faktor 1, 6. Die Population wächst exponentiell und daher langfristig über alle Grenzen. Alternative Lösungsmöglichkeiten: Wenn man von einer Startpopulation ausgeht, die nur aus Eiern besteht, so ergibt sich: E E E E 2 Ü1; 5 4, Ü1; 5, 2 E, Ü, 4 E, 4 E 6 1; 5 E 14, E, 4 E., 4 E Die Anzahl der Eier hat nach 6 Wochen um 4 % zugenommen, die gesamte Population um 12 %. In der Startverteilung evtl. vorhandene Insekten ( I 1 und I 2 ) legen zusätzliche Eier und erhöhen dadurch die Anzahl der Eier, auch wenn die Anzahl der Insekten ( I 1 und I 2 ) selbst zwischenzeitlich rückläufig sein kann. Die Anzahl der Eier wächst also exponentiell mit einem Wachstumsfaktor von wenigstens 1, 4 bezogen auf 6 Wochen und mit ihr die Anzahl der daraus entstehenden Insekten ( I 1 und I 2 ). Alternativ kann auch anhand des Terms 1, a+ 1, 4, b, gebildet aus Erzeugungsraten von Eiern und Überlebensraten, argumentiert werden.

5 Seite 5 von Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) 1 1 begründet den Aufbau der Übergangsmatrix Ü. 6 (II) 2 erklärt die Bedeutung der Parameter a und b. 2 (II) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe b) 1 gibt die spezielle Übergangsmatrix an. 2 (I) 2 gibt den Startvektor an. 2 (I) 3 ermittelt den Ansatz für die Berechnung. 3 (II) 4 berechnet die Populationen der folgenden 3 Wochen. 3 (I) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe c) 1 gibt die modifizierte Übergangsmatrix an. 2 (I) 2 nennt den neuen Startvektor. 2 (I) 3 prüft die Fragestellung mit Hilfe der Folgepopulationen. 4 (II) 4 begründet, dass die Population nicht überlebensfähig ist. 3 (II) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 1 AFB Anforderungsbereich

6 Seite 6 von 1 Teilaufgabe d) 1 gibt die Übergangsmatrix an. 2 (I) 2 bestimmt eine Matrixgleichung zur Lösung der Problemstellung. 4 (II) 3 berechnet den Parameter a. 4 (I) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe e) 1 ermittelt einen Lösungsansatz. 3 (III) 2 bestimmt die Größe einer allgemeinen Population nach z. B. 4 Wochen. 5 (II) 3 begründet, dass die Population exponentiell wächst. 3 (III) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet.

7 Seite 7 von 1 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) 1 begründet den Aufbau 6 (II) 2 erklärt die Bedeutung 2 (II) sachlich richtige Alternativen: (8) Summe Teilaufgabe a) 8 EK 2 ZK DK Teilaufgabe b) 1 gibt die spezielle 2 (I) 2 gibt den Startvektor 2 (I) 3 ermittelt den Ansatz 3 (II) 4 berechnet die Populationen 3 (I) sachlich richtige Alternativen: (1) Summe Teilaufgabe b) 1 EK ZK DK 2 EK Erstkorrektur; ZK Zweitkorrektur; DK Drittkorrektur

8 Seite 8 von 1 Teilaufgabe c) 1 gibt die modifizierte 2 (I) 2 nennt den neuen 2 (I) 3 prüft die Fragestellung 4 (II) 4 begründet, dass die 3 (II) sachlich richtige Alternativen: (11) Summe Teilaufgabe c) 11 EK ZK DK Teilaufgabe d) 1 gibt die Übergangsmatrix 2 (I) 2 bestimmt eine Matrixgleichung 4 (II) 3 berechnet den Parameter 4 (I) sachlich richtige Alternativen: (1) Summe Teilaufgabe d) 1 EK ZK DK Teilaufgabe e) 1 ermittelt einen Lösungsansatz. 3 (III) 2 bestimmt die Größe 5 (II) 3 begründet, dass die 3 (III) sachlich richtige Alternativen: (11) Summe Teilaufgabe e) 11 EK ZK DK Summe insgesamt 5

9 Seite 9 von 1 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 5 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 5 der gesamten Prüfungsleistung 1 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß 13 Abs. 2 APO-GOSt EK ZK DK Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: Die Klausur wird abschließend mit der Note: ( Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum

10 Seite 1 von 1 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den en ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus gut gut minus befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus mangelhaft mangelhaft minus ungenügend 19