Modelle zum Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen
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- Jesko Diefenbach
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1 Modelle zum Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen Steffen Hintze Mathematisches Institut der Universität Leipzig - Abteilung Didaktik Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
2 Methoden für den Mathematikunterricht Methode: Sammelalbum Inhalt: Eigenschaften von Funktionsgraphen 1 Falten Sie ein Blatt in neun gleichgroße rechteckige Felder. Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
3 Methoden für den Mathematikunterricht Methode: Sammelalbum Inhalt: Eigenschaften von Funktionsgraphen 1 Falten Sie ein Blatt in neun gleichgroße rechteckige Felder. 2 Einzelarbeit Tragen Sie in vier der Felder jeweils einen Begriff ein, der die Eigenschaft eines Funktionsgraphen beschreibt. Nutzen Sie nur Begriffe, deren Bedeutung Sie erklären können. Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
4 Methoden für den Mathematikunterricht Methode: Sammelalbum Inhalt: Eigenschaften von Funktionsgraphen 1 Falten Sie ein Blatt in neun gleichgroße rechteckige Felder. 2 Einzelarbeit Tragen Sie in vier der Felder jeweils einen Begriff ein, der die Eigenschaft eines Funktionsgraphen beschreibt. Nutzen Sie nur Begriffe, deren Bedeutung Sie erklären können. 3 Partnerarbeit Tauschen Sie nun Begriffe. Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
5 Methoden für den Mathematikunterricht Methode: Sammelalbum Inhalt: Eigenschaften von Funktionsgraphen 1 Falten Sie ein Blatt in neun gleichgroße rechteckige Felder. 2 Einzelarbeit Tragen Sie in vier der Felder jeweils einen Begriff ein, der die Eigenschaft eines Funktionsgraphen beschreibt. Nutzen Sie nur Begriffe, deren Bedeutung Sie erklären können. 3 Partnerarbeit Tauschen Sie nun Begriffe. 4 Plenum Stellen Sie alle Begriffe auf Ihrem Blatt und die dazugehörigen Erklärungen kurz vor. Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
6 Modelle zum Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen Modelle unterstützen das Verstehen von Situationen durch Handlungen und ermöglichen es den Lernenden, Äquivalenzumformungen zu reflektieren. Modelle sind jedoch auch zusätzliche Inhalte, die nachvollzogen werden müssen und eine Lernhürde darstellen können. Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
7 Modelle zum Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen das Knack-die-Box-Modell Idee: die Gleichung wird mit Hilfe von Streichhölzern und Schachteln veranschaulicht Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
8 Modelle zum Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen Kritik am Knack-die-Box-Modell: das Knack-die-Box-Modell das Modell kann nur Gleichungen darstellen, bei denen ausschließlich positive Zahlen vorkommen Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
9 Modelle zum Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen das Waage-Modell Idee: die Seiten der Gleichung werden als Gewichte einer Balkenwaage betrachtet, die sich im Gleichgewicht befindet. Äquivalenzumformungen sind Veränderungen, welche die Waage stets im Gleichgewicht lassen. Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
10 Modelle zum Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen Kritik am Waagemodell: das Waage-Modell vielen Kindern sind derartige Waagen unbekannt das Modell kann nur Gleichungen darstellen, bei denen ausschließlich positive Zahlen vorkommen Es ist jedoch erwiesen, dass das Waage-Modell syntaktische Fertigkeiten unterstützt und dass es dabei hilft, das Gleichheitszeichen als solches besser erfassen zu können. Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
11 Modelle zum Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen das Falt-Modell Idee: die Gleichung wird mit Hilfe eines gefalteten Blatts veranschaulicht Achtung: Gleichung und Abbildung stimmen nicht überein! Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
12 Modelle zum Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen Kritik am Falt-Modell: das Falt-Modell das Modell kann nur Gleichungen darstellen, bei denen ausschließlich positive Zahlen vorkommen es kann die falsche Vorstellung entstehen, dass die Variable immer eine Fläche beschreibt es kann die falsche Vorstellung entstehen, dass die gesuchte Größe bekannt sein müsse, um die richtigen Faltabstände zu wählen Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
13 mögliche Übungen zur Schulung von (Teil)Fertigkeiten 1 zu vorgegebenen Gleichungen Umformungen notieren Gib die fehlende Äquivalenzumformung an. 3x + 2 = 10 x... 4x + 2 = 10 Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
14 mögliche Übungen zur Schulung von (Teil)Fertigkeiten 3 zu vorgegebenen Umformungen die dadurch entstehende Gleichung notieren Gib die Gleichung an, die entsteht, wenn die gegebene Äquivalenzumformung ausgeführt wird. 3x + 2 = 10 x 2 Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
15 mögliche Übungen zur Schulung von (Teil)Fertigkeiten 4 eine Mischung aus den beiden vorherigen Aufgaben Gib zunächst die fehldene Äquivalenzumformung an. Ergänze dann die fehlende Seite der Gleichung. 3x + 2 = 10 x... 3x = Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
16 mögliche Übungen zur Schulung von (Teil)Fertigkeiten 5 Gleichungen zu einer gegebenen Lösung finden Gib fünf verschiedene Gleichungen an, deren Lösung 4 ist. Nutze die Variable a. Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
17 mögliche Übungen zur Schulung von (Teil)Fertigkeiten 6 Fehler finden und korrigieren Bei der Äquivalenzumformung wurde ein Fehler gemacht. Finde diesen Fehler und korrigiere ihn. 5a + 3 = 7a a = 7a Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
18 mögliche Übungen zur Schulung von (Teil)Fertigkeiten 7 Einsetzen, um mögliche Lösung zu prüfen Untersuche, ob die Zahl die gegeben Gleichung löst. 2x + 5 = 4x Zahl: 2,5 Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
19 Literatur Barzel, Bärbel und Lars Holzäpfel (2011). Gleichungen verstehen. In: Mathematik Lehren. Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien, No 169, Seite 2-7, Velber: Friedrich Verlag. Hintze (Uni Leipzig) Äquivalenzumformungen / 5
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