Algebraische Zahlentheorie Prof. Wolfgang M. Ruppert

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1 Algebraische Zahlentheorie Prof. Wolfgang M. Ruppert Sommersemester 2006, Universität Erlangen 1 : Einführung 1. Rationale und irrationale Zahlen 2. Algebraische und transzendente Zahlen α C heißt algebraisch vom Grad n IN, wenn α einer polynomialen Gleichung n-ten Grades mit rationalen Koeffizienten a i Q genügt: α n + a 1 α n a n 1 α + a n = 0. α C heißt transzendent, wenn α nicht algebraisch ist. Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar, die Menge der transzendenten Zahlen ist überabzählbar. Satz (Hermite-Lindemann): Ist α C\{0} algebraisch, so ist e α transzendent. e = e 1 ist transzendent und π ist transzendent, da e iπ = 1 algebraisch ist. 3. Approximationseigenschaften algebraischer Zahlen Satz (Dirichlet): Für α IR lassen sich zu Q IN p, Z mit 1 Q finden, so daß α p Q. Ist α irrational, so gibt es unendlich viele p α mit p. 2 Satz (Roth): Ist α IR irrational, aber algebraisch, so hat α p für jedes ε > 0 2+ε nur endlich viele Lösungen p Q. 4. Beispiele zur Motivation 2. Algebraische Zahlkörper Ein algebraischer Zahlkörper K ist eine endliche Körpererweiterung von Q (d.h. K ist ein endlich dimensionaler Q-Vektorraum und Q K). Der Grad ist [K : Q] = dim Q K. Satz: Sei K ein Zahlkörper vom Grad n. 1. Es gibt ein α K mit K = Q(α). 2. 1, α, α 2,..., α n 1 bilden eine Q-Basis von K und α n = (a 0 + a 1 α a n 1 α n 1 ). 3. Das Polynom f(x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Q[x] ist irreduzibel über Q und der Ringhomomorphismus Q[x] K = Q(α), x α liefert einen Isomorphismus Q[x]/f(x) = K = Q(α). 3. Die rationale Darstellung K End Q (K), α (f α : x α x) ist ein Q-linearer Ringhomomorphismus. α ω i = a i1 ω a in ω n A(α) = (a ij ) =: Matrixdarstellung von α bzgl. ω 1,..., ω n. Das charakteristische Polynom, die Spur Sp(α) und die Norm N(α) von α sind als charakteristisches Polynom, Spur und Determinante von f α bzw. A(α) definiert. Satz: Die Spur Sp: K Q ist Q-linear, die Norm N : K Q ist multiplikativ. Lemma: K = Q(α) Minimalpolynom = charakteristisches Polynom von α. Bemerkung: Ist β K, so ist Q(β) ein Teilkörper von K, [Q(β) : Q] teilt [K : Q], und das charakteristische Polynom von β ist eine Potenz des Minimalpolynoms von β. 2 : Algebraische Zahlkörper 1. Erinnerung an das Rechnen mit Polynomen Euklid scher Algorithmus: Zu a 0 (x), a 1 (x) K[x] definiert man rekursiv (Polynomdivision) a i 1 (x) = i 1 (x) a i (x) + a i+1 (x) mit grad(a i+1 ) < grad(a i ). Ist a n 1 (x) = n 1 (x) a n (x) + 0, so ist ggt(a 0, a 1 ) a n. Erweiterter Euklid scher Algorithmus: x 0 = 1, y 0 = 0; x 1 = 0, y 1 = 1; x i = x i 2 i 2 x i 1, y i = y i 2 i 2 y i 1 a i = x i a 0 + y i a Die Einbettungen von K in C Lemma: Ein Zahlkörper K = Q(α) mit Minimalpolynom f von α vom Grad n hat genau n Einbettungen (Ringhomomorph.) σ i : K C, nämlich σ i (α) := α i C, wenn f(α i ) = 0. Bemerkung: r 1 = Anzahl der reellen Einbettungen (α i IR), 2r 2 = Anzahl der komplexen Einbettungen (f(α i ) = 0 mit α i C\IR f(α i ) = 0 liefert die Einbettung σ i ) n = r 1 +2r 2 Satz: Zu α K gibt es eine komplexe Matrix S mit A(α) = S 1 diag ( σ 1 (α),..., σ n (α) ) S Sp = σ σ n, N = σ 1... σ n, char. Polynom von α = (x σ 1 (α))... (x σ n (α))

2 5. Spurform und Diskriminanten Lemma: (α, β) Sp(αβ) definiert eine symmetrische, nicht ausgeartete Q-Bilinearform. Satz: Diskriminante disc(α 1,..., α n ) := det(sp(α i α j ) ij ) = ( det(σ i (α j ) ij ) ) 2 Satz: disc(α 1,...α n ) = 0 α 1,...α n sind linear abhängig. Satz: Ist K = Q(α) mit normiertem Minimalpolynom f, so gilt disc(1, α,..., α n 1 ) = ( i<j σi (α) σ j (α) ) 2 n(n+1) = ( 1) 2 N ( f (α) ) = disc ( f(x) ). Lemma: Ist β i = j x ijα j, so gilt disc(β 1,..., β n ) = ( det(x ij ) ij ) 2 disc(α1,..., α n ). Bemerkungen: disc(x 2 + ax + b) = a 2 4b, disc(x 3 + ax + b) = 4a 3 27b 2. Lemma: n = r 1 + 2r 2. sgn(disc(α 1,..., α n )) = ( 1) r2 für jede Q-Basis α 1,..., α n Satz: Die zur Q-Basis von K duale Basis β 1,..., β n mit Sp(α i β j ) = δ ij erhält man aus β i = j x ijα j mit (x ij ) = ( Sp(α i α j ) ij ) 1. Satz: Ist f das Minimalpolynom von α und f(x) x α = γ 0 + γ 1 x γ n 1 x n 1, so ist γ 0 γn 1 f (α),..., f (α) die zur Basis 1, α,..., αn 1 von K = Q(α) duale Basis. Lemma: Ist δ 1,...δ n die zu ω 1,..., ω n duale Basis, so ist α = i x i ω i mit x i = Sp(αδ i ). 3 : Faktorisierung von Polynomen über Zahlkörpern 1. Einführung Ist K ein Körper, so ist K[x] ein faktorieller Ring: jedes f(x) 0 K[x] läßt sich eindeutig als f(x) = c p 1 (x) e1... p r (x) er mit normierten und irreduziblen p i (x) K[x] schreiben. 2. Die Normabbildung für Polynome Fortsetzung des injektiven Ringhomomorphismus K M n (Q), α A(α) auf Polynome: K[x] M n (Q[x]), i α ix i i A(α i)x i. Determ. Normabbildung N : K[x] Q[x] Satz: N(F (x)) = σ 1 (F (x))... σ n (F (x)). Folgerung: grad ( N(F (x)) ) = n grad ( F (x) ). Ist F (x) Q[x], so ist N(F (x)) = F (x) n. Satz: Ist K = Q(α) mit f(α) = 0, f normiert und irreduzibel, so ist N(x α) = f(x). Lemma: F (x) K[x] teilt seine Norm N(F (x)). Satz: Sei F (x) K[x] normiert und N(F (x)) = g 1 (x) g 2 (x) Q[x] eine nicht-triviale Zerlegung mit ggt(g 1, g 2 ) = 1. Es ist F (x) = ggt(f (x), g 1 (x)) ggt(f (x), g 2 (x)). Lemma: N(F (x)) ist irreduzibel in Q[x]. F (x) ist normiert und irreduzibel in K[x]. N(F (x)) ist Potenz eines irreduziblen Polynoms in Q(x). 3. Wie macht man ein Polynom uadratfrei? Lemma: Ist f(x) = c p 1 (x) e1... p r (x) er (Primfaktorzerlegung), so ist ggt(f(x), f (x)) = = p 1 (x) e p r (x) er 1 f(x) und ggt(f(x),f (x)) = c p 1(x)... p r (x) ist uadratfrei. 4. Faktorisierung von Polynomen über Zahlkörpern Satz: Ist F (x) K[x] uadratfrei, so auch N ( F (x kα) ) Q[x] für fast alle k Z. F (x) Zusammenstellung: Faktorisierung von F (x) K[x] : G(x) = c ggt(f (x),f (x)) K[x], g k (x) := N ( G(x kα) ) Q[x]. Ist ggt(g k (x), g k (x)) = 1 und g k(x) = p 1 (x)... p r (x), so sind P i (x) = ggt(g(x), p i (x + kα)) die Primfaktoren von F (x) = c P 1 (x) e1... P r (x) er. 5. Anwendungen Wurzelziehen: β = γ m x m β hat einen Linearfaktor (x γ). Galois sche Körpererweiterungen: Ist K = Q(α) mit Minimalpolynom f(x) Q[x] von α, so ist K/Q genau dann eine Galois-Erweiterung, wenn f(x) über K[x] in Linearfaktoren zerfällt: f(x) = (x α 1 )... (x α n ). Die Galois-Gruppe Gal(K/Q) = {τ 1,..., τ n } besteht aus den Körperautomorphismen τ i : K K, α α i mit als Verknüpfung. Das Teilkörperproblem: Ist K Teilkörper von L, muß [K : Q] ein Teiler von [L : Q] sein. Satz: Seien K = Q(α), L = Q(β) mit Minimalpolynomen f(α) = 0 = g(β). (1) Gibt es Φ : K L, ist f(φ(α)) = 0, d.h. f(x) spaltet in L[x] einen Linearfaktor ab. (2) Spaltet f(x) in L[x] einen Linearfaktor x α ab, definiert K L, α α einen Hom.. (3) [K : Q] = [L : Q] und f(x) spaltet in L[x] einen Linearfaktor ab. K = L 4 : Moduln 1. Definition Eine Teilmenge U = Zα Zα m K heißt Modul, wenn U eine Q-Basis von K enthält. Elementare Zeilenumformungen, die nur das Erzeugendensystem α 1,..., α m, nicht aber den Modul U verändern: Multiplikation einer Zeile mit 1, Vertauschung zweier Zeilen, Addition des (k Z)-fachen einer Zeile i zur Zeile j i.

3 2. Die hermite sche Normalform von Matrizen M M(m n, Q) mit Rang n m kann durch elementare Zeilenumformungen auf ihre c 11 c 1n hermite sche Normalform mit 0 c ij < c jj für 1 i < j und c ij = 0 für i > j d c nn gebracht werden. Satz: Die hermite sche Normalform einer Matrix M M n (m n, Q) ist eindeutig bestimmt. Es gibt U GL n (Z) = {A M n (Z) det A = 1}, für das UM hermite sche Normalf. hat. 3. Die hermite sche Normalform von Moduln Satz: Sei K ein Zahlkörper mit Q-Basis ω 1,...ω n, U = Zβ Zβ m Modul in K mit (β 1,..., β m ) T = M (ω 1,...ω n ) T und hermite scher Normalform 1 d (c ij) von M. Mit α i = 1 d j c ijω j ist U = Zα Zα n die (eindeutige) hermite sche Normalform von U. (U ist ein sog. freier Z-Modul vom Rang n: Aus i x iα i = i y iα i folgt x i = y i.) Folgerung: Sind U = Zα Zα n, V = Zβ Zβ n K Moduln in hermite scher Normalform, so gilt U = V α i = β i. Satz: Ist U = Zα Zα n (α 1,..., α n : Z-Basis von U), V = Zβ Zβ n mit β i = j x ij α j, so gilt V U (x ij ) M n (Z) und V = U (x ij ) GL n (Z). Sind U, V Moduln mit Z-Basen α 1,..., α r bzw. β 1,..., β s, so auch ihre Summe U +V = Zα Zα r +Zβ Zβ s und ihr Produkt U V = { ij x ijα i β j x ij Z }. Satz: Ist ω 1,...ω n Q-Basis eines Zahlkörpers K, sind U, V K Moduln mit Z-Basen (α 1,..., α n ) T = A (ω 1,..., ω n ) T bzw. (β 1,..., β n ) T = B; (ω 1,..., ω n ) T und ist U (A, B) T = (U 11 A + U 12 B, U 21 A + U 22 B) T die hermite sche Normalform von (A, B) T, so ist (γ 1,...γ n ) T = U 21 (α 1,...α n ) T = U 22 (β 1,..., β n ) Z-Basis des Moduls U V. Satz: Sind V U Moduln mit Z-Basen (β 1,..., β n ) T = B (α 1,..., α n ) T, so gibt nur endlich viele Moduln W = Zγ Zγ n mit V W U: Eine notwendige Bedinung an die hermite sche Normalform von (γ 1,..., γ n ) T = C (α 1,..., α n ) T ist c ii b ii. Satz: Sind U, V Moduln, so auch (U : V ) = { λ K λv U } = n α1 i=1 (Z β i Z αn β i ). 4. Faktorgruppen und smith sche Normalform Lemma: Ist (β 1,..., β n ) T = C (α 1,..., α n ) T die hermite sche Normalform eines Moduls V U bzgl. einer Z-Basis von U. Dann ist { x 1 α x n α n 0 x i < c ii } ein Repräsentantensystem von U / V (u 1 u 2 : u 1 u 2 V ). # U / V = c c nn. Satz: Sind V U Moduln, S U ein Repräsentantensystem von U / V und W eine abel sche Gruppe mit V W U,, so ist auch W = V + w W S Zw ein Modul. Satz: Zu jeder Matrix M M(m n, Z) gibt es S GL m (Z), T GL n (Z), so daß die smith sche Normalform D = S M T = diag(d 1,..., d min(m,n) ) mit d i IN 0, d 1 d 2... Satz: Sind V U Moduln mit Z-Basen (β 1,..., β n ) T = M (α 1,..., α n ) T, S M T = = diag(d 1,..., d n ) die smith sche Normalform von M und (γ 1,..., γ n ) T = T 1 (α 1,..., α n ) T, dann ist U = Zγ Zγ n, V = Zd 1 γ Zd n γ n und U / V = Z / d1z... Z / dnz. 5. Indexberechnungen Sind V, U Moduln mit Z-Basen (β 1,..., β n ) T = M (α 1,..., α n ) T ( M M n (Q) ), so ist der Index von V in U durch [U : V ] = det M Q definiert. Satz: Sind U 1, U 2, U 3 Moduln, gilt [U 1 : U 2 ] [U 2 : U 1 ] = 1 und [U 1 : U 3 ] = [U 1 : U 2 ] [U 2 : U 3 ]. Satz: V U [U : V ] IN, U = V [U : V ] = 1, [U : V ] = # U / V, [U : V ] U V. 6. Die Diskriminante eines Moduls Es ist disc(α 1,..., α n ) = det(sp(α i α j ) ij ) und disc(β 1,..., β n ) = [det(x ij )] 2 disc(α 1,..., α n ), wenn β i = j x ij α j. Für U = Zα Zα n ist disc(u) := disc(α 1,..., α n ). Satz: disc(v ) = [U : V ] 2 disc(u). 5 : Ordnungen 1. Ordnungen und ganze algebraische Zahlen R K heißt Ordnung in K, wenn R sowohl Modul in K als auch Unterring von K ist. α K heißt ganz algebraisch (ganz über Z), wenn das normierte Minimalpolynom 0 = α m + a 1 α m a n Koeffizienten in Z hat. Satz: Z[α] = Z + Zα + Zα ist eine Ordnung. K = Q(α) und α ist ganz über Z. Lemma: Jedes α K läßt sich als (d α) d mit einem d N, d α ganz algebraisch darstellen. Lemma: Ist U ein Modul, so ist R = (U : U) = { α K αu U } eine Ordnung. Ist R eine Ordnung, so ist R = (R : R). Satz: Ist R eine Ordnung, α R, dann ist α ganz algebraisch und Sp(α), N(α) Z. disc(r) Z. α n + a 1 α n a n = 0 Z[α] = Z + Zα Zα n 1 Lemma: Ist R = Zω Zω n (hermite sche Normalform bzgl. α n 1,..., α, 1), so ist ω n = 1.

4 Satz: Ist d Z uadratfrei, K = Q( d), ω = 1+ d 2, falls d 1 mod 4 und ω = d sonst, so ist jede Ordnung in K von der Gestalt R f = Z[fω]. In einem Ring R (mit Eins) heißt α R Einheit, wenn β R mit αβ = βα = 1 existiert. Die Menge R der Einheiten bildet die multiplikative Einheitengruppe. Lemma: Ist α R\{0}, so ist 1 α 1 N(α) R α R N(α) = Die Maximalordnung - der Ring der ganzen Zahlen Lemma: Sind R, S Ordnungen und α K, so sind auch R S und R[α] Ordnungen. Lemma: Mit α und β sind auch α + β und α β ganze algebraische Einheiten. Satz: Z K = { α K α ist ganz algebraisch } ist der Ring der ganzehn Zahlen von K. Lemma: Sei R = Zω Zω n Ordnung mit disc(r) = m 2 d (d Z uadratfrei), A := { 1 m (z 1ω z n ω n 0 z i < m } Z K. Es gilt Z K = R + α A Zα. Satz: Z K ist eine Ordnung, und jede Ordnung R von K ist in Z K enthalten: R Z K. Z K heißt daher Maximalordnung, eine Z-Basis von Z K heißt Ganzheitsbasis. Die Diskriminante eines Zahlkörpers ist durch disc(k) = disc(z K ) definiert. 3. Ansätze zur Bestimmung einer Ganzheitsbasis Bestimmung der hermite schen Normalform von R + α A Zα wie oben. (Bestimmung von A: Test von m n Elementen auf algebraische Ganzheit) 6 : Ideale 1. Einführung Jede naürliche Zahl läßt sich eindeutig als Produkt von Primfaktoren darstellen. (Z ist ein faktorieller Ring.) Es gibt den euklidischen Algorithmus. (Z ist ein euklidischer Ring.) 2. Ideale Ein Ideal a R ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von R, für die R a a gilt. Endliche erzeugte Ideale: (α 1,..., α m ) = Rα Rα m = {r 1 α r m α m r i R}. Lemma: Jedes Ideal a 0 einer Ordnung eines Zahlkörpers K ist ein Modul in K. Der Index [R : a] wird als Idealnorm N(a) bezeichnet. Ordnungen in Zahlkörpern sind noether sche Ringe, da jedes Ideal endlich erzeugt ist. Lemma: Die Ideale a 0 einer Ordnung R = Zω Zω n stehen in Bijektion zu den Matrizen C M n (Z) in hermite scher Normalform mit C A(ω i ) C 1 M n (Z). Lemma: Zum Ideal a 0 gibt es l(a) IN mit a Z = a Q = Zl(a) und l(a) N(a) l(a) n. Ideale können addiert und multipliziert werden; Summe und Produkt sind wieder Ideale. Faktorringe: Die Äuivalenzrelation x y mod a x y a ist mit Addition und Multiplikation verträglich. R / a hat natürliche Ringstruktur, R R / a ist ein Ringhomom.. Lemma (Chin. Restsatz): Für teilerfremde Ideale a, b eines Rings R (d.h. a + b = R) gilt: (1) ab = a b, (2) Zu a, b R gibt es x R mit x a mod a, x b mod b, und x x mod ab, wenn x R eine weitere Lösung ist. (3) Die natürlichen Ringhomomorphismen R R / a, R R / a induzieren den Ringisomomorphismus R / ab R / a R / a. 3. Hauptideale Ein Ideal a = (α) = Rα heißt Hauptideal. Ist jedes Ideal eines Integritätsrings R Hauptideal, heißt R Hauptidealring. Lemma: Für α, β R\{0} in einem Zahlkörper gilt: Rα = Rβ β = ɛα für ein ɛ R. Satz: Für α R\{0} gilt: N(α) = [R : Rα] = N(Rα) = N((α)). 4. Maximale Ideale Ein Ideal m R heißt maximal, wenn aus m a R entweder a = m oder a = R folgt. R / m ist ein Körper. Satz: Jedes Ideal a R ist in einem maximalen Ideal enthalten. Ist a b, so ist N(a) = N(b) [b : a] N(b) N(a). Ist a Ideal mit primzahligem N(a), so ist a maximales Ideal. 5. Primideale Ein Ideal p R heißt Primideal, wenn aus ab p schon a p oder b p folgt. R / p ist ein Integritätsring. (Daher ist jedes maximale Ideal automatisch Primideal.) Lemma: Ist p Primideal folgt aus a 1...a r p schon a i p für ein i. Satz: Jedes Primideal p 0 einer Ordnung eines Zahlkörpers ist maximales Ideal. Sind p, p 1,..., p r Primideale mit p 1...p r p, so ist p i = p für ein i. Satz: Zu jedem Primideal p 0 einer Ordnung eines Zahlkörpers vom Grad n gibt es genau eine Primzahl p mit (1) p p (2) p Q = Zp (3) N(p) = p f mit 1 f n.

5 { } {p R p ist Primideal} = {0} p {p R Primideal p p} (p p Rp p R. Zwischen zwei Moduln können nur endlich viele Moduln liegen.) Lemma: Sei α R, p prim, g(x), h(x) Z[x] teilerfremd modulo p. Es gilt (p, g(α)h(α)) = (p, g(α)) (p, h(α)) und R = (p, g(α)) + (p, h(α)).