1.2 Aufgaben der Computational Neuroscience. Was bedeutet Computation? Der Aktivität unseres Gehirns liegt ein diskreter Zustand zugrunde.

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1 1 Einleitung 1.1 Was ist Computational Neuroscience? 1.2 Aufgaben der Computational Neuroscience Was bedeutet Computation? Der Aktivität unseres Gehirns liegt ein diskreter Zustand zugrunde. Wie sind die Größen Codierung und Dynamik in der meßbaren neuronalen Aktivität verschlüsselt? Antwort geben kann (manchmal) ein interdisziplinärer Ansatz (Computational Neuroscience): Vereinigung von Disziplinen, wie Biologie, Medizin, Mathematik, Physik, Informatik. 1.3 Inhalt der Vorlesung 1. Biologische Grundlagen. 2. Einführung in die theoretische Neurowissenschaft. 4

2 a) Grundlagen. b) Einfache Modelle (keine räumliche Auflösung. c) Grundlagen zu räumlich aufgelösten Modellen. 3. Detaillierte Modellierung: Erfassung der räumlichen und zeitlichen Dynamik neuronaler Prozesse. a) Einführung in die Theorie der partiellen Differentialgleichungen. b) Numerische Diskretisierungsverfahren. c) Lösungsverfahren für große Gleichungssysteme (vll.) d) Bildverarbeitung und Rekonstruktionsverfahren für zelluläre Organellen. 4. Behandlung von Themen aus aktueller Forschung (Anwendung von 2. und 3.) Notiz: Biologie und Numerik bleiben hier unvollständig! Die biologischen Grundlagen sind jedoch ausreichend für die hier behandelten Themen. Für eine ausführliche Behandlung der Numerik sowie Modellierung und Simulation sei auf andere Vorlesungen verwiesen. 5

3 2 Grundlagen der Neurobiologie 2.1 Von Genen zu Verhalten Es existieren unterschiedliche Skalen bei der Betrachtung von Informationsverarbeitung im Gehirn: Molekulare Skala (biochemische Untersuchungen) Zelluläre Skala (Elektrophysiologie, Einzelzellableitungen, Imagingverfahren) kleine Schaltkreise (s.o.) Netzwerke (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG,...) 6

4 Verhalten (Beobachtung) Forschungsgebiete sind auf einzelne Skalen ausgerichtet, sehr schwierig zur Zeit ist die Erfassung der Übergänge zwischen den Skalen! 2.2 Die Nervenzelle Zelltheorie: Ist das Gehirn ein topologisch zusammenhängendes Netzwerk, oder besteht es aus einzelnen Komponenten die miteinander kommunizieren? Golgi-Verfahren (1885): Kalium-dichromat + Silbernitrat reagiert in der Zelle zu Silberchromat Färbung einzelner Zellen im Netzwerk, dadurch lassen sich die elementaren Einheiten (Zellen) darstellen Die Plasmamembran Die Plasmamembran ist das definierende Element einer Zelle. Sie trennt den intra- und extrazellulären Raum mit Hilfe ihrer Bilipid-Struktur. Zusammensetzung: 55 % Proteine 25 % Phospholipide 13 % Cholesterin 4%Lipide 3 % Kohlenhydrate Proteine bilden den Baustein für Kanäle (passiv + aktiv) durch die selektiv definierte Ionen zwischen Intra- und Extrazellulärraum ausgetauscht werden können (dies ist ein wesentlicher Aspekt bei der Modellierung zellulärer Prozesse) Dendriten Verzweigte Kabelstruktur, mit dunner werdenden Ästen je weiter man sich vom Soma wegbewegt. passive Membraneigenschaften (Signaldämpfung während Signalausbreitung). Empfänger für Signale anderer Zellen. Weiterleitung elektrischer Signale zum Soma und Axon. 7

5 2.2.3 Axon Ähnliche Struktur wie Dendriten, kleinere Kabeldurchmesser. aktive Membraneigenschaft (keine Signaldämpfung) Myelinumhüllung schnellere Signalgeschwindigkeit. Signalweiterleitung an verbundene Zellen Soma beherbergt den Zellkern, Endoplasmatisches Retikulum und andere Organellen (Mitochondrien, Golgi-Apparat,...) größter Teil des zellulären Volumens. verbindet Dendriten und Axon. gefüllt mit Zytosol Zellkern befindet sich im Soma der Zelle. im Zellkern ist die DNA aufgewickelt. durch Kernporen in der Doppel-bilipidmembran können Ionen diffundieren welche, für die Zelle überlebenswichtige, biochemische Prozesse aktivieren können (z.b. Kalzium). im Zellkern wird zusammen mit dem Endoplasmatischen Retikulum die DNA in Proteine umgewandelt (Membranaufbau, Kanäle, Rezeptoren etc.) Plastizität Endoplasmatisches Retikulum (ER) äußere Membran des Zellkerns erstreckt sich in das ER. Rauhes ER: Synthese von Proteinen. Glattes ER: Produktion bestimmter Lipide, Fettsäuren und Aufnahme von Kalzium. großer Kalziumspeicher: ER-Membran ermöglicht Austausch von Kalzium zwischen Zytosol und ER (SERCA, IP3-R, RyR) CICR. erstreckt sich weit in die Dendriten. 8

6 2.2.7 Mitochondrien Energieversorgung: über stark gefaltete innere Membran wird ein Protonengradient aufgebaut. Darüber wird ATP-Produktion angetrieben (z.b. Zitronensäurezyklus). Kalziumspeicher Das Zytoskelett Das Zytoskelett ist das Transportnetz der Zelle. Es besteht aus dynamischen Filamenten. Eindimensionale Strukturen: Mikrotubuli 20nm Durchmesser. Motorproteine bewegen Moleküle und Organellen entlang von Mikrotubuli. Zweidimensionale Strukturen: Aktin und Neurofilamente Polymerisation von Aktin erzeugt eine 2D-Matrix welche in der Regel mit der Zellmembran verbunden ist (Formstabilität der Zelle). Neurofilamente 1. bilden die Kernlamina (im Zellkern). 2. betten die DNA ein. 3. stabilisieren die Kernmorphologie. Dreidimensionale Strukturen Verbindungen zwischen 1D- und 2D-Zytoskelettbausteinen liefert der Zelle eine dreidimensionale Infrastruktur für den Transport von Molekülen und Organellen. 2.3 Verbindungen zwischen Nervenzellen Wie sind Nervenzellen miteinander verbunden? Oder zuerst: Wann können Nervenzellen eine Verbindung eingehen? Rückblick: Axon leitet Signal weiter, Dendriten empfangen Axon und Dendriten müssen in Kontakt treten, räumliches Kriterium. 9

7 2.3.1 Gap Junctions In Bereichen in denen Nervenbahnen dicht und parallel verlaufen können sich bei einem Abstand von 2-4nm Gap Junctions ausbilden. Gap Junction: Gap Junctions sind Proteinkomplexe welche transzellulären Ionenaustausch ermöglichen. sehr schnelle Signalübertragung. geringe Selektivität bei der Signalübertragung. Q: Warum nimmt die Dichte der Gap Junctions bei höheren Lebewesen ab? A: geringe Selektivität: GJ-gekoppelte Zellen leiten Signal immer weiter Komplexitätsreduktion! Erhöhung der Komplexität chemische Synapsen Chemische Synapsen Komplexere Signalweiterleitung als bei Gap Junctions. Typeinteilung: nach Art des Neurotransmitters, grob: hemmende oder erregende Synapsen. Präsynapse Neurotransmitter gelangt über das Axon oder die präsynaptische Membran in den präsynaptischen Bouton. Umsetzung an der Vesikeloberfläche zu spezifischem Neurotransmitter und Befüllung der Vesikel. Vesikel wandern zu präsynaptischer Membran. Exozytose Fusion der Vesikelmembran mit präsynaptischer Membran. Aktionspotential Änderung der Membranspannung Öffnung von Kalziukanälen Kalziumeinstrom Fusion. Endozytose Massenerhaltung bei Vesikeln, d.h. nach Exozytose müssen neue Vesikel entstehen. Dieser Prozess wird als Endozytose bezeichnet. Endozytose: Aus der fusionierten Membran (alle Proteinkomplexe vorhanden) wird neben der active zone Membran abgeschnürt um neue, leere, Vesikel zu bauen. Diese werden anschließend befüllt. 10

8 Signalübertragung durch den synaptischen Spalt freigesetzter Neurotransmitter diffundiert zur postsynaptischen Membran. Aktivierung postsynaptischer Rezeptoren. Öffnung ionenspezifischer Kanäle. Änderung der Membranspannung. Signalweiterleitung in postsynaptischer Zelle. 2.4 Aufbau der Großhirnrinde Grobe Einteilung in 1. primäre und sekundäre sensorische Kortexareale. 2. primäre und sekundäre motorische Kortexareale. 3. Assoziationskortizes (Sprache, Informationsverarbeitung...) In die Tiefe: schichtweise Anordnung der Zellen. Schichten werden nach dem Zelltyp benannt, der sich dort befindet. Häufigster Zelltyp: Pyramidenzellen (80%). Häufig untersuchte Gehirnregion: Hippocampus 1. Maßgeblich beteiligt bei Lernen und Gedächtnis. 2. sehr planare Struktur, d.h. experimentell sehr gut zugänglich. 2.5 Elektrische Eigenschaften von Neuronen Ionenkanäle in der Plasmamembran sorgen für den Austausch spezifischer Ionen. Der Austausch erfolgt entlang von Konzentrations- und Spannungsgradienten. Ionenpumpen arbeiten entgegen des Gesamtgradienten (Energieverbrauch). Kationen Innen [mm] Außen [mm] K Na Ca Mg Kationen total Anionen Innen [mm] Außen [mm] Cl 2 77 HCO Andere Anionen total

9 2.5.1 Membranpotential, Membrankapazität und Membranwiderstand Membranpotential An der Plasmamembran baut sich eine Potentialdifferenz zwischen Intra- und extrazellulärem Raum auf, das Membranpotential. Außenraum wird per Konvention auf 0 gesetzt. Membranpotential variiert im Ort Zellen sind nicht isopotential. Ionenfluss durch die Zelle entlang des Potentialgradienten. Satz 1. Sei I L der axiale Ionenfluss, R L der axiale Widerstand und r L der intrazelluläre Widerstand eines Zylinders mit der Länge L und Basisfläche a. Bei x = 0 liegt die Spannung V 1 an, bei x = L Spannung V 2.Danngilt: I L = V 2 V 1 R L (2.1) L R L = r L πa 2 (2.2) Elektrotonische Eigenschaften werden durch die Form der Zelle beeinflusst. Q: Wie wirkt sich die Änderung des Membranpotentials in Zelle A und B aus? A: Morphologisch kompakte Zellen sind auch elektrotonisch kompakt. Zelle B kann daher näherungsweise als isopotential angenommen werden. Einfachstes Modell: Zelle wird als eine Einheit modelliert. Membrankapazität Die Membran kann als Kondensator interpretiert werden. Satz 2. Sei C m die Membrankapazität, Q die Ladungsdifferenz und V m die Membranspannung, danngilt Q = C m V m (2.3) 12

10 C m ist dabei proportional zur Zelloberfläche A. Definition 1. Mit c m wird die spezifische Membrankapazität bezeichnet: c m := C m A Diese liegt typischerweise bei c m = 10nF/mm 2. (2.4) Membranwiderstand Wenn eine Zelle aktiv ist, bedeutet dies ihr Membranpotential befindet sich nicht im Ruhepotential, d.h. um sich aus dem Ruhezustand zu bewegen muss der Membranwiderstand überwunden werden. Ohm sches Gesetz: R m = V (2.5) I e I e sei dabei der Strom der von einer Elektrode e injiziert wird, V die Potentialdifferenz. Bei Nervenzellen liegt der Membranwiderstand typischerweise im Bereich M Ω. Definition 2. Spezifische Größen: r m : spezifischer Widerstand. τ m : Membran-Zeitkonste. Die Membranzeitkonstante τ m ist definiert als Ionengleichgewichte τ m := r m c m An der Plasmamembran herrscht ein Konzentrationsgradient sowie ein elektrischer Gradient. Befinden sich die gradientenabhängigen Austauschprozesse im Gleichgewicht, dann ist der Netto Ionenfluss Null. Berechnung des Ruhepotentials: An der Membran existiert eine Potentialsprung (V m = V i V a ), d.h. eine Energiebarriere. Satz 3. Ein Teilchen mit Ladung z q benötigt eine Energie E von mindestens mit z: Teilchenladung q: Protonenladung zur Überquerung der Membran. E zqv (2.6) 13

11 Die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet sich aus der Bolzmann-Verteilung der Wahrscheinlichkeitsdichten: Satz 4. Sei T die absolute Temperatur und k b die Bolzmann-Konstante. Dann gilt: P (E zqv )=exp( zqv/k b T ) (2.7) Definition 3. Sei R die allg. Gaskonstante und F die Faraday-Konstante.Diethermi- sche Energie von 1 mol Ionen sei definiert als die Energie die benötigt wird um 1 mol Ionen über die Membran zu transportieren: Im Gleichgewicht gilt: V T R T F = k bt q (2.8) V = V gg (2.9) P (E zqv )=exp(zv gg /V T ) [außen] =[innen]exp(zv gg /V T ) V gg = V T [außen] z ln (Nernst Gleichung) [innen] Goldman-Hodgkin-Katz Gleichung Die Nernst-Gleichung berechnet das Ruhepotential bei Beteiligung eines Ionentyps. Problem: Unterschiedliche Kanäle, verschiedene Ionentypen GHK-Gleichung Umkehrpotential E m = RT F Herleitung (angedeutet): Membran ionenpermeabel n ln i=1 P K + i n i=1 P K + i [K i + ] A + m j=1 P A j [K i + ] I + m j=1 P A j [A j ] I [A j ] (2.10) A Ionen können per Diffusion (Fick sches Gesetz) und per elektrischem Fluss (beeinflusst vom elektrischem Feld) die Membran passieren Gesamtionenfluss j Ion : ( ) n : Valenz L : Membrandicke j Ion = D Ion d [Ion] dz n Ion F RT Em L [Ion] (2.11) 14

12 Herleitung der GHK-Gleichung (ausführlich): n E m = RT F ln i=1 P K + i n i=1 P K + i [K + i ] a + m j=1 P A j [K + i ] i + m j=1 P A j 2 Kräfte wirken auf Ionen: 1. Diffusion (Fick sches Gesetz) 2. elektrischer Fluss (definiert durch elektrisches Feld) [A j ] i [A j ] (2.12) a Ionen, die die Membran passieren, folgen dem Gesamtfluss ( ) j Ion = D Ion d [Ion] dz n Ion F RT Em L [Ion] n : Valenz L : Membrandicke Dies definiert ein 1-dimensionales Problem senkrecht zur Membran. Lösung: Variablentrennung (z,[i]): (2.13) j I D I ni F RT Em L [I] = D I d [I] dz Integration über Membran: dz = j I D I d [I] n I F RT Em L [I] (2.14) L 0 L = dz = n I FE m RT e n I FEm RT 1 Ω [I] j I D I n I FE m RT L ln j I n I FE m D I RT L [I] a =ln(...[i] a ) ln (...[I] i ) j I D = I n I FE m RT L [I] a [I] i j I D I n I FE m RT L Sei µ definiert als µ := FE m RT. e n I µ j I n I D I L µ [I] i = j I n I D I L µ [I] a D L j I = n Iµ ([I] i e niµ [I] a ) (1 e niµ ) j I = P I n I µ [I] a [I] i en Iµ P I = D I (1 e niµ ) L d[i] (2.15) [I] ln j I n I FE m D I RT L [I] i RT L n I FE m Definition 4. Sei die Stromdichte definiert durch J I := q A j A.Dabeibezeichnetq A die Ladung. 15

13 Man betrachte den Gleichgewichtszustand J ges 0 J ges = I J I =0 und den Fall n I = ±1 (Monovalenz, z.b. Na +,K +,Cl ): (u :=) P Ki [K i + ] a + P Aj [A j ] µ i 1 e µ (2.16) i j = P Ki [K i + ] i + P Aj [A j ] eµ µ a 1 e µ (=: v) i j e µ = u v µ =ln u v FE m RT =ln E m = RT F PKi [K + i ] a + P Aj [A j ] i ( P Ki [K + i ] i + P Aj [A j ] a ln(...) Gleichung ( ) kann eindimensional in z geschrieben werden (z Membran), wenn Rest rotationssymmetrisch ist (Kabel). Löse ( ) analytisch. Beispiele: 1. Na +,K +, Cl V m = RT F ln PNa +[Na + ] A + P K +[K + ] A + P Cl [Cl ] I P Na +[Na + ] I + P K +[K + ] I + P Cl [Cl ] A (2.17) 2. Na + V m = RT F ln PNa +[Na + ] A P Na +[Na + ] I = RT F [Na + ln ] A [Na + ] I (2.18) Nernst-Gleichung 16

14 2.5.4 Membranstrom Definition 5. Als Membranstrom bezeichnet man den Gesamtladungsfluss über die Plasmamembran Konvention: positiver Strom, wenn positive Ladungen von Extra- zu Interzellulärraum wandern; negativer Strom, wenn andersherum. Definition 6. Folgende Größen finden häufig Verwendung: i m = i V E i g i g i (V E i ) driving force für Ion i Leitfähigkeit (pro F läche) Membranstrom Experimenteller Ansatz 17

15 2.5.6 Messungen des Ruhepotentials Experimentelle Ermittlung der Umkehrpotentiale im Vergleich zu Nernst- und GHK- Werten. Nernstgleichung liefert für kleine Na + schlechte Werte. E Na = +55 mv E K = 75 mv 18

16 GHK für Na + und K + : V m 60mV P Na P K Ein äquivalenter Schaltkreis Das Aktionspotential Beobachtung (Cole & Curtis 1939): Q: Was bewirkt eine Depolarisierung bis 50 mv? Änderung der Gesamtpermeabilität? Nein, da bei völliger Durchlässigkeit nur bis 0mV. Na-Kanäle (Nernst E Na + 55 mv ) Experimentelle Untersuchung: 19

17 Änderung der extrazellulären Na + -Konzentration Änderung der Amplitude (keine Änderung im Ruhepotential) Erklärung von Cole & Curtis: Änderung in der Membranspannung bewirkt Änderung in der Na + -Leitfähigkeit. (Elektrochemischer Gradient von Na + bewirkt Einstrom von Na + -Ionen) Na + -Ionenkanäle sind spannungsabhängig (Spannungssensor im Proteinkomplex) Hodgkin-Huxley-Formalismus Angestrebt wird ein Wechsel von der Beschreibung der Einkanaldynamik zur Beschreibung einer makroskopischen Kanaldynamik und die Beobachtung der zeitlichen Änderung von Leitfähigkeit und Ladungsfluss durch die Membran. Experimenteller Ansatz: Festsetzen des Membranpotentials auf unterschiedlichen Werten. Exp 1: Depolarisierung um 60 mv in Tintenfisch-Axon (a) unter normalen Bedingungen (b) ohne Na + -Ionen (c) berechneter Na + -Beitrag Exp 2: V m = mv (a) (b) + TTX: Ausschalten der Na + -Kanäle (c) + TEA: Ausschalten der K + -Kanäle Interpretation: K + : Na + : Mit zunehmendem V m nimmt die Leitfähigkeit der K + -Kanäle zu. später on-set V m Na + -Leitfähigkeit V m Leitfähigkeit (Na + -Kanal Aktivierung + Inaktivierung). früher on-set 20

18 Das Aktionspotential: Das Aktionspotential wird im Wesentlichen bestimmt von Na + -Kanal Aktivierung + Inaktivierung sowie K + -Kanalaktivität. Hodgkin-Huxley-Modell (später) Unterschiede am Axon: 1. unmyeliniertes Axon 2. myeliniertes Axon 21