Der rechte Winkel!

Transkript

1 Der rechte Winkel

2 senkrecht, lotrecht, rechtwinklig

3 senkrecht, lotrecht, rechtwinklig

4 Was ist ein rechter Winkel?

5 Was ist ein rechter Winkel? Ein rechter Winkel misst 90. Der rechte Winkel kocht bei 90

6 Was ist ein rechter Winkel? Ein rechter Winkel misst 90. Ein Winkel von einem Grad kann nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Der rechte Winkel kocht bei 90

7 Was ist ein rechter Winkel? Ein rechter Winkel misst 90. Ein Winkel von einem Grad kann nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. 1 è 40 è regelmäßiges Neuneck è Widerspruch Wie ist es mit dem gon-maß?

8 Was ist ein rechter Winkel? Euklid: Gleich groß wie sein Nebenwinkel Rechter Winkel gleich linker Winkel

9 Was ist ein rechter Winkel? Euklid: Gleich groß wie sein Nebenwinkel Gleichmäßigkeit, Symmetrie

10 Was ist ein rechter Winkel? Euklid: Gleich groß wie sein Nebenwinkel Vierscheid

11 Werkzeuge

12 Werkzeuge Geodreieck

13 Werkzeuge Rechter Winkel und Zirkel

14 Werkzeuge Anschlagwinkel Das ist nicht im Winkel

15 Werkzeuge Spenglerwinkel

16 Werkzeuge Orthogonal zirkel S P G g

17 Werkzeuge Orthogonal zirkel Einsicht S P G g

18 Schreibstift anderswo setzen? S P G g

19 Werkzeuge Zwölfknotenschnur Historisch nicht abgesichert unpraktisch ungenau Das Lehrerdreieck

20 Werkzeuge Dreiknotenschnur

21 Werkzeuge Dreiknotenschnur Symmetrie

22 Werkzeuge Dreiknotenschnur Symmetrie

23 Falten Eine Lage

24 Falten setzt den Raum voraus Zwei Lagen

25 Falten Kante auf Kante Vier Lagen

26 Falten Rechter Winkel

27 Falten Loch stanzen und auffalten?

28 Falten Loch stanzen und auffalten?

29 Falten Rechteck

30 Haus der Vierecke Rechte Winkel?

31 Haus der Vierecke Rechteckiger Rahmen Zelle Ist die rote Liste vollständig?

32 Haus der Vierecke Rechtwinkliges Gerüst Skelett

33 Haus der Vierecke Rechtwinkliges Gerüst Skelett Da fehlt was

34 Viereck mit orthogonalen Diagonalen

35 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Grün = Rot... genau dann...

36 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Ecke einklappen

37 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Ecke einklappen

38 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Ecke einklappen

39 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Briefumschlag... genau dann...

40 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Grün = Rot... genau dann...

41 Grün = Rot

42 Grün = Rot

43 Grün = Rot

44 Grün = Rot

45 Grün = Rot

46 Grün = Rot

47 Grün = Rot

48 Grün = Rot

49 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Grün = Rot... genau dann...

50 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Gemeinsamer Schnittpunkt... genau dann...

51 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Winkel von genau dann...

52 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Grün = Rot... genau dann...

53 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Grün = Rot... genau dann...

54 Minimale Wegenetze

55 Minimale Wegenetze Geänderte Topologie

56 Minimale Wegenetze 9 8 = = Globales Minimum Lokales Minimum

57 Minimale Wegenetze Gesamtlänge = 25.91

58 Minimale Wegenetze 1 Gesamtlänge = 26.59

59 Minimale Wegenetze 1 Gesamtlänge = Gesamtlänge = 26.59

60 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Grün = Rot... genau dann...

61 Viereck mit orthogonalen Diagonalen Haag, Wilfried (2003): Wege zu geometrischen Sätzen. Stu8gart: Kle8

62 Analogon im Raum Singular?

63 Analoga im Raum Zelle Würfel Gerüst Oktaeder Plural

64 Analoga im Raum v 3 v 4 v 2 Vektorzug v 1 Drehung um +90 v n+1 = v n Rekursion Noch eines

65 Viertakter

66 Ansaugen Verdichten Viertakter Ausstoßen Arbeiten

67 Ansaugen reales Problem Modellbildung mathematisches Problem Verdichten Überprüfung Viertakter Analyse Simulation Ausstoßen reale Lösung Interpretation mathematische Lösung Arbeiten

68 Analoga im Raum v 3 v 4 v 2? Vektorzug v 1 Drehung um +90 v n+1 = v n Rekursion Noch eines

69 Analoga im Raum v 3 v 4 v 2? Vektorzug v 1 Drehung um +90 v n+1 = v n Rekursion Noch eines

70 Analoga im Raum v 3 v 4 v 1 v 2 Drehung um +90 v 1 v2 v 3 Vektorzug Startvektoren: v 1 v 2 v 1 = 1, v 2 = 1 v n+1 = v n v n+1 = v n 1 v n Rekursion Rekursion Wie geht es weiter?

71 Analoga im Raum v 3 v 4 v 1 v 2 Drehung um +90 v 1 v2 v 3 cross Vektorzug Startvektoren: v 1 v 2 v 1 = 1, v 2 = 1 v n+1 = v n v n+1 = v n 1 v n Rekursion Rekursion Wie geht es weiter?

72 Analoga im Raum Geschlossener Vektorzug Offener Vektorzug v 4 v 3 v 1 v 2 v 1 v2 v 4 = v 1 v 3 Wie geht es weiter?

73 Analoga im Raum Geschlossener Vektorzug Offener Vektorzug v 4 v 3 v 1 v 2 v 1 v2 v 4 = v 1 v 3 Wie geht es weiter?

74 Analoga im Raum Geschlossener Vektorzug Offener Vektorzug v 4 v 3 v 1 v 2 v 1 v2 v 4 = v 1 v 3 Wie geht es weiter?

75 Analoga im Raum Geschlossener Vektorzug Offener Vektorzug v 4 v 3 v 1 v 2 v 1 v2 v 4 = v 1 v 3 Wie geht es weiter?

76 Analoga im Raum Geschlossener Vektorzug Offener Vektorzug Dreikant-Spirale v 4 v 3 v 1 v 2 v 1 v2 v 4 = v 1 v 3 Eckige Spirale

77 Analoga im Raum Offener Vektorzug Dreikant-Spirale v 3 v 4 = v 1 v 4 v 2 v 3 v 1 v 1 v2 Eckige Spirale

78 Analoga im Raum Offener Vektorzug Dreikant-Spirale v 3 v 4 = v 1 v 4 v 2 v 3 v 1 v 1 v2 Eckige Spirale

79 Modell aus DIN-Querformat v 3 v 4 v 2 v 1 Eckige Spirale

80 Analoga im Raum Eckige Spirale

81 Analoga im Raum Eckige Spirale

82 Analoga im Raum Achse Eckige Spirale

83 Analoga im Raum Achsensicht

84 Analoga im Raum Achsensicht Tribar (Penrose)

85 Analoga im Raum v 3 v 4 v 2 v 3 Vektorzug v 1 Drehung um +90 v n+1 = v n v 1 v2 cross v n+1 = v n 1 v n Rekursion Rekursion Analogie?

86 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) a = a 1 a 2 A = a 1 e 1 a 2 e2 Matrix mit Einheitsvektoren det( A) = det a 1 e1 a 2 e2 = a 1e 2 a 2 e1 = a 2 a 1 = a

87 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) a = a 1 a 2 A = a 1 e 1 a 2 e2 Drehung um +90 det( A) = det a 1 e1 a 2 e2 = a 1e 2 a 2 e1 = a 2 a 1 = a

88 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) a = a 1 a 2 a 3 b = b 1 b 2 b 3 A = a 1 b 1 e1 a 2 b 2 e2 a 3 b 3 e3

89 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) det( A) = det a 1 b 1 e1 a 2 b 2 e2 a 3 b 3 e3 = Laplace, dritte Spalte = e 1 det a 2 b 2 a 3 b 3 e 2 det a 1 b 1 a 3 b 3 + e 3 det a 1 b 1 a 2 b 2 = = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 = a b Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

90 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det cross a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

91 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Eigenschaften? Input n 1 Vektoren Output ein Vektor orthogonal zu den Inputvektoren Länge = antikommutativ a 1,..., a n 1 n 1-d- Volumen des a 1,..., a n 1 - Spates Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

92 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Eigenschaften: Input n 1 Vektoren Output ein Vektor orthogonal zu den Inputvektoren Länge = antikommutativ a 1,..., a n 1 n 1-d- Volumen des a 1,..., a n 1 - Spates Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

93 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Eigenschaften: Input n 1 Vektoren Output ein Vektor orthogonal zu den Inputvektoren Länge = antikommutativ a 1,..., a n 1 n 1-d- Volumen des a 1,..., a n 1 - Spates Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

94 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Eigenschaften: Input n 1 Vektoren Output ein Vektor orthogonal zu den Inputvektoren Länge = antikommutativ a 1,..., a n 1 n 1-d- Volumen des a 1,..., a n 1 - Spates Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

95 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Eigenschaften: Input n 1 Vektoren Output ein Vektor orthogonal zu den Inputvektoren a 1,..., a n 1 Länge = n 1-d- Volumen des a 1,..., a n 1 - Spates antikommutativ Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

96 Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Eigenschaften: Input n 1 Vektoren Output ein Vektor orthogonal zu den Inputvektoren a 1,..., a n 1 Länge = n 1-d- Volumen des a 1,..., a n 1 - Spates antikommutativ Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

97 Quadrat als Vektorzug Paritätsunterschiede gerade / ungerade Gerade Dimension: schließt sich nach 2n Schritten Ungerade Dimension: Spirale, Ganghöhe n Grund: Alternierende Vorzeichen bei der Laplace-Entwicklung

98 Optimierung - Kulturtechniken

99 Optimierung Kürzester Weg über die Straße

100 Optimierung Theorie

101 Optimierung Praxis Reibung Der letzte Schritt bringt nicht viel Durchgestrichen wird orthogonal. Querdenker

102 Optimierung Praxis Reibung Der letzte Schritt bringt nicht viel Die letzte Mark ist die teuerste.

103 Optimierung Materialersparnis Bauen in Notzeiten

104 Optimierung Materialersparnis Bauen in Notzeiten Marzahn Berlin Die stille Schönheit der Plattenbauten

105 Optimierung Materialersparnis Bauen in Notzeiten King s College Chapel Cambridge Perpendicular Style

106 Kulturtechniken Flechten Weben: Schuss und Kette

107 Kulturtechniken Flechten

108 Kulturtechniken Flechten

109 Ethik und Sprache Aber erst musst du mir selber gebaut sein, rechtwinklig an Leib und Seele. Nietzsche, Zarathustra Schräger Vogel Querdenker Querdenken als Prinzip Die Sache ist im Winkel. Die Sache ist im Lot. Windschiefe Geraden (deux droites gauches)

110 Orientierungsmuster

111 Orientierungsmuster senkrecht und waagerecht im Sinne der Schwerkraft im Sinne des Schreibpapiers Quadrat Raute

112 Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Studie von Diemut Lange und Benjamin Rott 46 Fünftklässler

113 Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Bodenständige Quadrate Anzahl = = 204

114 Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Spitzständige Quadrate (von SchülerInnen nicht gesehen) Anzahl = = 84

115 Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Weißer Läufer Weißer Läufer: Anzahl = 2( ) = 28 Schwarzer Läufer: Anzahl = 2( ) = 28

116 Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Springer in vier Zügen Anzahl = = 50

117 Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Springer baut einen Würfel Anzahl = 48

118 Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Springer hüpft einen 4d-Hyperwürfel Anzahl = 4

119 Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Origami-Papier auf Schachbrett Anzahl =

120 Danke