Behörde für Schule und Berufsbildung Abitur 2010 Lehrermaterialien zum Grundkurs Mathematik

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1 Abitur 1 II. Fischzucht LA/AG Fischliebhaber haben einen Teich gepachtet, um Fische zu züchten. Sie haben sich über die Entwicklung der Fische informiert und Folgendes in Erfahrung gebracht: Nur die Altfische (A) legen Eier, aus denen sich ein Teil im ersten Jahr zu Jungfischen (J) entwickelt. Jeder Altfisch erzeugt auf diesem Wege im Durchschnitt 45 Jungfische. Aus 1 % der Jungfische werden im zweiten Jahr Fische mittleren Alters (M), der Rest verstirbt oder wird gefressen. Aus den Fischen mittleren Alters werden im darauf folgenden Jahr Altfische. Die Überlebensrate der Fische mittleren Alters beträgt %. Von den Altfischen überleben 5 % und verbleiben in ihrer Klasse. Somit ergibt sich eine Übergangsmatri folgender Form: A v a a a 1 bezogen auf den Populationsvektor J M A a) Geben Sie für den oben beschriebenen Sachverhalt die Übergangsmatri A mit den entsprechenden Zahlenwerten an und zeichnen Sie den dazugehörigen Übergangsgraphen. (15P) Die Züchter setzen im ersten Jahr 5 Jungfische und 1 Fische mittleren Alters aus. b) Bestätigen Sie, dass der Bestand nach drei Jahren aus 9 Jungfischen, 9 Fischen mittleren Alters und 1 Altfischen besteht. (15P) Dieser Bestand (siehe Teilaufgabe b)) soll im Folgenden als Startpopulation gelten. Die Züchter beschließen, ab jetzt die Altfische nach der Eiablage abzufischen. Dies gilt für die folgenden Teilaufgaben, falls keine anderslautenden Angaben vorliegen. Die zugehörige Übergangsmatri hat die Form B a1 a v Für eine Matri dieser Form gilt: B a1 a v a a 1 v a a 1 v Ma-GKLM-AWT.doc Seite 4 von 7

2 Abitur 1 c) Ermitteln Sie B für die Fischpopulation und bestimmen Sie mit deren Hilfe den Bestand nach, 6 und 18 Jahren. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse hinsichtlich der langfristigen Entwicklung der Population. d) Nach einigen Jahren befinden sich 87 Jungfische, 15 Fische mittleren Alters und 86 Altfische im Teich. Ermitteln Sie die Vorjahrespopulation. (P) (1P) Die Fischzüchter möchten erreichen, dass der Bestand im -Jahres-Zyklus stabil bleibt. Hierzu soll die Vermehrungsrate v der Altfische gesteigert werden. Dies wollen die Züchter erreichen, indem sie einen Teil der Eiablage in einem geschützten Zuchtbecken verwahren, um mehr Jungfische zu erhalten. e) Ermitteln Sie, bei welcher Vermehrungsrate v die Startpopulation im -Jahres-Zyklus stabil bleiben würde. (1P) Die Versuche mit dem Zuchtbecken wurden wieder eingestellt, weil sie aufwändig und von wenig Erfolg gekrönt waren. Die Fischzüchter würden nun gerne einen Bestand haben, der sich jährlich reproduzieren soll. Sie sind bereit, dafür auf das Abfischen eines Teils der Altfische zu verzichten. Ein erfahrener Züchter sagt ihnen, dass sie trotzdem 8 % der Altfische nach der Eiablage abfischen können, wenn sie eine geeignete Startpopulation haben. f) Begründen Sie, dass die Überlebensrate der Altfische für die weiteren Berechnungen dann a,1 beträgt und geben Sie die neue Übergangsmatri C an. (1P) g) Zeigen Sie, dass es für die neue Übergangsmatri C eine Population mit 9 Jungfischen gibt, welche sich jährlich reproduzieren würde. (P) Ma-GKLM-AWT.doc Seite 5 von 7

3 Abitur 1 Erwartungshorizont a) Übergangsmatri: 45 A,1,,5 Übergangsgraph:,5,1, J M A b) 5 Anfangsbestand: p 1 p1 A p 5 9, p A p , p A p Nach drei Jahren eistieren 9 Jungfische, 9 Fische mittleren Alters und 1 Altfische. 15 c) Form der. Potenz gegeben: a a v B E. 1,1, 45,9,9 Eine aufwändigere Lösung wäre, B³ wie folgt zu berechnen: B B,1,1 4,5 B,,, 45 9,9,1 4,5,9,9,,,9 B B B E 81, p B p E p Ma-GKLM-AWT.doc Seite 6 von 7

4 Abitur p6 B p ( B ) p,9 E p,81e p p18 B p ( B ) p,9 E p,514 E p Leichte Abweichungen bei der letzten Lösung können durch Rundungen entstehen. Interpretation der Lösungen: Die Population stirbt aus, da sie im -Jahres-Zyklus um 1 % abnimmt, bzw.,9 n konvergiert gegen. 1 1 d) Ansatz: Paktuell BPVorjahr ,1 86, I Anzahl der Altfische: III Anzahl der Fische mittleren Alters:, 86 4 II Anzahl der Jungfische:, e) Lösungsvariante 1: Für eine Matri, die im -Jahres-Zyklus stabil bleibt gilt: 1 1 a1a v 1 und damit v 5 a a,1,. 1 Bei einer Vermehrungsrate von 5 Jungfischen pro Altfisch würde der Bestand im -Jahres-Zyklus stabil bleiben. Lösungsvariante : Mit a 1,1 und a, gilt:, v 5 5, v 1 1, v I: 1 v 5 v 5 II : v 1 v 5 III : 1 Ma-GKLM-AWT.doc Seite 7 von 7

5 Abitur 1 f) Wenn von den überlebenden Altfischen 8 % abgefischt werden, so verbleiben %, von denen wie bekannt 5 % überleben. Also überleben 1 % der ursprünglichen Altfische. Damit lautet 45 C,1.,,1 5 5 g) p C p ,1 9 9,,1, +,1,,9 9 Somit ergibt sich eine Startpopulation von p 9. Es müssen also einmalig noch 1 Altfische zusätzlich ausgesetzt werden, um eine sich jährlich reproduzierende Startpopulation zu erhalten. Andere Lösungsvarianten sind denkbar. 1 1 Insgesamt 1 BWE 5 Ma-GKLM-AWT.doc Seite 8 von 7