Input-Output-Modelle und Markov-Ketten

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1 MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools Input-Output-Modelle und Markov-Ketten Ao. Univ.-Prof. Werner Peschek Dieses Projekt wurde veröffentlicht mit Unterstützung durch die EU mittels einer teilweisen Förderung im Rahmen des Sokrates Programms. Der Inhalt des Projektes reflektiert nicht notwendigerweise den Standpunkt der EU, noch unterliegt es irgendeiner Verantwortung seitens der EU. Assistent in der Abteilung für Didaktik der Mathematik, Universität Klagenfurt - -

2 Input-Output-Modelle und Markov-Ketten Ich möchte zwei wirtschaftstheoretische (gelegentlich auch wirtschaftspraktische) Modelle behandeln, von denen zumindest das erste auch in manchen Schulbüchern für die HAK und AHS zu finden ist. Ich beginne mit einem Beispiel zur Materialverflechtung Beispiel: Ein Betrieb erzeugt aus drei Bestandteilen B, B, B zwei Zwischenprodukte Z, Z und aus diesen die Endprodukte E und E. Die jeweils zur Produktion erforderlichen Mengen sind aus folgendem Graphen ersichtlich: Bestandteile Zwischenprodukte Endprodukte B B B Z Z E E Verflechtungsmatrizen: (B Z) ; (Z E) Benötigt man z. B. ME von Z und ME von Z (Nachfrage N Z ), so führt dies auf folgenden Produktionsbedarf X B an Bestandteilen B, B bzw. B : B : + B : + B : + In Matrizenschreibweise: X B (BfiZ) N Z Entsprechend: X Z (ZfiE) N E mit N Z - -

3 Will man für eine bestimmte Nachfrage N E nach Endprodukten den Bedarf X B an Bestandteilen direkt ermitteln, so benötigt man die Verflechtungsmatri (B E). Wie man sich anhand des Graphen leicht überlegt, gilt (B E) (B Z) (Z E) und somit X B (BfiE) N E (BfiZ) (ZfiE) N E In unserem Beispiel erhalten wir etwa für eine Nachfrage von E und E X B 9 Diese step-by-step Bearbeitung des Sachverhalts wird etwas unübersichtlich, wenn man neben der Nachfrage nach Endprodukten noch eine zusätzliche Nachfrage nach Zwischenprodukten und/oder Bestandteilen z. B. für ein Ersatzteillager zu bedienen hat, und sie versagt, wenn in der Materialverflechtung auch Rückflüsse auftreten. Man wird in solchen Fällen besser die gesamte Materialverflechtung in einer Verflechtungsmatri darstellen: benötigt man von (in ME) Für die Produktion einer Mengeneinheit (ME) von B B B Z Z E E B B B Z Z E E Bezeichnet man diese Verflechtungsmatri mit A und den Produktionsbedarf an B, B,..., E mit X, so gibt A X - - den internen ( sekundären ), aus der Materialverflechtung resultierenden Bedarf an.

4 - - Bezeichnet man die eterne Nachfrage ( Primärbedarf ) nach B, B,..., E mit N, so gilt: X N + A X Gesamtbedarf (in ME) Primärbedarf (in ME) + Sekundärbedarf (in ME) In unserem Beispiel ergibt sich für eine eterne Nachfrage von ME B, ME B, ME Z, ME Z, ME E und ME E : + Dieses Gleichungssystem ist sehr einfach direkt zu lösen, da A eine Dreiecksmatri ist. Man kann aber auch durch Umformung obiger Matrizengleichung eine allgemeine Lösungsstrategie angeben: X N + A X X A X N (E A) X N X (E A) - N In unserem Beispiel: A E A) (E 9 9 N A) (E X

5 Offene Leontief Modelle Ein ökonomisches System, zum Beispiel eine Volkswirtschaft, setzt sich aus mehreren voneinander abhängigen Bereichen zusammen. Die Abhängigkeit besteht darin, dass jeder Bereich zur Erbringung von Leistungen als Input sowohl Leistungen aus dem eigenen Bereich als auch Leistungen aus anderen Bereichen benötigt ( Sekundärbedarf ). Darüber hinaus gibt es für die Leistungen der einzelnen Bereiche im Allgemeinen auch eine eterne Nachfrage ( Primärbedarf ). Es geht wie bei der Materialverflechtung um die Frage, welche Leistungen (hier gemessen in Geldeinheiten GE) von den einzelnen Bereichen erbracht werden müssen, damit der Primär- und der Sekundärbedarf gedeckt werden können. Ähnlich wie bei der Materialverflechtung gilt: Gesamtleistung (in GE) Primärbedarf (in GE) + Sekundärbedarf (in GE) Beispiel: Eine Volkswirtschaft bestehe aus den drei Bereichen A, B, C. Aus der folgenden Tabelle ist ersichtlich, welche Leistungen (in GE) jeder Bereich benötigt, um selbst Leistungen im Wert von GE erbringen zu können: aus den Bereichen A B C Leistungen im Wert von (GE) A,,, B,,, Für Leistungen im Wert von GE benötigt C,, In einer bestimmten Zeitperiode ist aus allen übrigen Wirtschaftssektoren (die nicht zu A, B oder C gehören) ein Bedarf von Produkten aus A, B, C im Wert von,, GE zu erwarten. Welche Leistungen (in GE) müssen in A, B bzw. C erbracht werden? Wie bei der Materialverflechtung muss gelten: X N + A X beziehungsweise X (E A) - N wobei A,,,,,,,, und N Somit ist A B C,9,,,,,,,

6 Lineare Modelle der Materialverflechtung und offene Leontief-Modelle haben die selbe Struktur: Für jedes Produkt (Leistungen aus jedem Bereich) gibt es eine eterne Nachfrage (Primärbedarf), insgesamt also einen Nachfragevektor N. Die Materialverflechtungen (die Produktionsabhängigkeiten) untereinander lassen sich in einer Matri A (a ij ) darstellen, wobei a ij die Lieferung (den Output) des Produkts (des Bereichs) i für das Produkt (den Bereich) j angibt bzw. umgekehrt den Input von j aus i. Die von jedem Produkt (Bereich) benötigte Menge (Leistung) wird durch den Vektor X dargestellt. Man nennt solche Modelle Input-Output-Modelle; es gilt: X N + A X beziehungsweise X (E A) - N Die Verflechtungsmatri A nennt man daher auch Input-Output-Matri, die Matri (E A) - heißt Leontief-Matri (Technologie-Matri, Leontief-Inverse). Markov-Ketten Markov-Ketten sind Folgen von Zufallsversuchen, wobei - als Versuchsergebnis nur ein Zustand (von vielen möglichen) in Frage kommt - das Versuchsergebnis vom Ausgangszustand sowie von (bekannten) Wahrscheinlichkeiten für den Übergang von einem Zustand in einen anderen abhängig ist ( Übergangswahrscheinlichkeiten ) Beispiel: Auf einem Markt konkurrieren drei Anbieter (Marken) A, B, C. Der folgenden Tabelle entnimmt man, dass von jenen Abnehmern, die heute ein Produkt der Marke A besitzen, innerhalb einer bestimmten Zeitspanne % erneut A kaufen werden, % werden zur Marke B wechseln, % zur Marke C. Entsprechendes gilt für B und C. ZU A B C A,,, VON B,,, C,,, Gefragt ist nach den Marktanteilen, auf die sich die Marken A, B und C auf lange Sicht einpendeln werden (falls sie das tun!), wenn die aktuellen Marktanteile für A, B bzw. C %, % und % betragen. Ausgangssituation: A %; B %; C % - -

7 Nach einer Zeitperiode ist der Marktanteil dann A (neu ),, +,, +,, % B (neu ),, +,, +,, % C (neu ),, +,, +,, % Neue Ausgangssituation: A %; B %; C % Nach einer weiteren Zeitperiode ist der Marktanteil dann A (neu ),, +,, +,,,% B (neu )...,% C (neu )...,% In Matrizenschreibweise: X t+ P T X t wobei P T die zur gegebenen Übergangsmatri P (p ij ) transponierte Matri ist, X t bzw. X t+ sind die Vektoren der Marktanteile in den Zeitpunkten t bzw. t+. Eine mehrmalige Iteration lässt vermuten, dass sich die Marktanteile auf den Gleichgewichtszustand einpendeln. A»,% B»,9% C»,% Einpendeln meint, dass für alle Produkte und jede (weitere) Zeitperiode gilt: Marktanteil alt Marktanteil neu das heißt X P T X I: A, A +, B +, C II: B, A +, B +, C III: C, A +, B +, C Offensichtlich liegt ein homogenes Gleichungssystem vor; wir streichen die. Zeile, nehmen aber hinzu, dass die Summe der Marktanteile % ergeben muss: IV: A + B + C Damit:, A, B, C -, A +,9 B, C A + B + C A», % ; B»,% ; C»,% - -

8 Im vorliegenden Beispiel ist der erreichte Gleichgewichtszustand unabhängig von der Wahl der Ausgangswerte man spricht von ergodischen Markov-Ketten. Das muss nicht so sein. In der im Folgenden grafisch gegebenen Markov-Kette wird zwar auch für jeden Ausgangszustand ein Gleichgewichtszustand erreicht, dieser ist jedoch von der Wahl des Ausgangszustands abhängig man spricht von nicht-ergodischen Markov-Ketten. Beispiele. Gegeben sei der folgende Graph ( Gozinto-Graph ) einer Materialverflechtung: Erstellen Sie eine Matri A (a ij ) die angibt, welche Mengen R i zur Produktion einer Mengeneinheit von Z j benötigt werden (erste Produktionsstufe) und eine Matri B (b ij ) die angibt, welche Mengen Z i zur Produktion einer Mengeneinheit von P j benötigt werden (zweite Produktionsstufe). Ermitteln Sie aus A und B eine Matri C (c ij ) die angibt, welche Mengen R i zur Produktion einer Mengeneinheit von P j benötigt werden. Berechnen Sie welche Rohstoffmengen R und welche Mengen der Zwischenprodukte Z benötigt werden, um ME von P und ME herzustellen! Zusätzlich zu den Endprodukten P werden als Ersatzteile,, ME von Z, Z bzw. Z benötigt. Ermitteln Sie alle benötigten Mengen mit Hilfe der Leontief-Matri!. Gegeben ist der nebenstehende Mengenstrukturplan eines chemischen Prozesses. Für A besteht ein eterner Bedarf von ME, für B und C ein eterner Bedarf von je ME. Ermitteln Sie die in A-F erforderlichen Produktionsmengen! - -

9 . Eine Mineralölfirma kann etern täglich Produkte im Wert von. GE absetzen, zur Herstellung von Produkten im Wert von einer GE benötigt sie jedoch Kohle im Wert von, GE, Elektrizität im Wert von, GE und Dieselöl (aus eigener Produktion) im Wert von, GE. Ein Elektrizitätswerk verzeichnet einen eternen Bedarf von. GE täglich, benötigt zur Erbringung von Leistungen im Wert einer GE jedoch Treibstoff im Wert von, GE, Kohle im Wert von, GE und Strom (aus eigener Produktion) im Wert von, GE. Die Kohlenmine schließlich benötigt zur Förderung von Kohle im Wert von einer GE Treibstoff im Wert von, GE und Strom im Wert von, GE. Der tägliche eterne Bedarf beträgt. GE. Berechnen Sie mit Hilfe der Leontief-Inversen die täglichen Produktionsmengen, mit denen der interne und der eterne Bedarf dieser drei Unternehmen gedeckt werden kann!. (Beispiel nach Bürger u.a.: Mathematik Oberstufe ) Wir teilen die Volkswirtschaft eines Landes in die Sektoren Landwirtschaft, Handel und Gewerbe, Industrie und Transport. Produktion und Verbrauch der Güter (in einer bestimmten Zeitspanne) sind in nebenstehender Figur (in GE) angegeben. Es besteht folgende eterne Nachfrage (in GE) nach den Gütern der Landwirtschaft: des Handels und Gewerbes: der Industrie: des Transports: Ermitteln Sie mit Hilfe der Leontief-Inversen wie viel in jedem Sektor produziert werden muss! Interpretieren Sie das Ergebnis!. Ermitteln Sie die Marktanteile, auf die sich die Unternehmen R, S und T längerfristig einpendeln werden, wenn das Käuferverhalten einer Markov-Kette mit den angegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten entspricht!. Verfolgen Sie die Entwicklung der Marktanteile für die im Graphen angegebene Markov-Kette durch drei Zeitperioden, wobei Sie von a) %, %, %, % b) %, %, %, % Marktanteilen für A, B, C bzw. D ausgehen! Versuchen Sie, eine vom Ausgangszustand unabhängige Prognose für den Gleichgewichtszustand zu ermitteln! Was erkennt man daraus? - 9 -