Theorie des Sternaufbaus

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1 Universität Konstanz Theorie des Sternaufbaus Vorlesung Astrophysik (WS 2009/2010) Achim Weiß Max-Planck-Institut für Astrophysik, Garching

2 Plan: 1. Physik und Modelle Grundgleichungen Mikrophysik einfache und numerische Modelle 2. Sternentwicklung und Anwendung Entwicklung massearmer Sterne und der Sonne Entwicklung Sterne mittlerer Masse Anwendungsbeispiele

3 Teil 1: Physik und Modelle Literatur: Kippenhahn & Weigert: Stellar Structure and Evolution, Springer (1990) Salaris & Cassisi: Evolution of Stars and Stellar Systems, Wiley (2005) Weiss, Hillebrandt, Thomas, Ritter: Cox and Giuili s principles of stellar structure, Cambridge Scientific Publishers (2004) Weiss: Sterne, Spektrum Akademischer Verlag (2008)

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5 Die Strukturgleichungen Sterne sind selbst-gravitierende heiße Plasmakugeln; verlieren Energie in Form von Photonen von ihrer Oberfläche; sphärisch symmetrisch (ohne Rotation und magnetische Felder); Eindimensionales Problem mit dem Radius r als natürlicher Koordinate (Euler-Beschreibung). Masse und Radius Eulersche Beschreibung: Masse dm in Schale bei r und mit Dicke dr ist dm = 4πr 2 ρdr 4πr 2 ρvdt

6 Lagrange Beschreibung: Massenelemente m (Masse in einer konzentrischen Schale). r = r(m, t) Variablenwechsel (r, t) (m, t): und m = r r m ( ) = ( ) r t m r t m + ( ) t r r m = 1 4πr 2 ρ (1) Das ist die erste Strukturgleichung (Massengleichung oder Massenerhaltung). Beinhaltet auch Transformation zwischen Euler- und Lagrange-Beschreibung: m = 1 4πr 2 ρ r

7 Gravitation Poisson-Gleichung für Gravitationspotential 2 Φ = 4πGρ (G = dyncm 2 g 2 ). In sphärischer Symmetrie: 1 r 2 r ( ) r 2 Φ r = 4πGρ g = Φ r g = Gm r 2 ist Lösung der Poisson-Gleichung. Potential Φ verschwindet für r. Φdr ist die Energie, die benötigt wird, um alle 0 Massenelemente ins Unendliche zu befördern.

8 Hydrostatisches Gleichgewicht Auf Schicht der Dicke dr wirken zwei Kräfte (pro Flächeneinheit): Schwerkraft F g /(4πr 2 ) = gρdr und Druck P = P r r. Soll sich diese Schicht in Ruhe befinden (hydrostatisches Gleichgewicht), so muss gelten: P r + Gm r 2 ρ = 0 oder in Lagrange-Koordinaten P m = Gm (2) 4πr 4 Zweite Aufbaugleichung hydrostatisches Gleichgewicht. Gleichungen (1) und (2) werden auch die mechanischen Gleichungen genannt.

9 Abschätzung für Zentralwerte der Sonne: Ersetze Ableitungen in hydrostatischer Gleichung durch Unterschiede zwischen Zentral- (P c ) und Oberflächenwert (P 0 0) P c 2GM2 πr 4 (M/2 und R/2 wurden für Mittelwerte von Masse und Radius angesetzt) Ergebnis Sonne: P c = (cgs-einheiten). Mit ρ = µp RT und ρ = (3M)/(4πR3 ) T c = 8 µ GM 3 R R ρ ρ c < K Sonnenwerte (Beobachtung und Modelle): M = g R = cm L = erg/(gs) T c = K P c = dyn/cm 2 ρ c = g/cm 3

10 Bewegung: P m + Gm 4πr = 1 2 r 4 4πr 2 t 2 1. P = 0 Freier Fall Gm/r 2 = r. 2. Zeitskala τ ff = R/ r R/g. 3. G = 0, τ expl R ρ/p (Isotherme Schallgeschwindigkeit) 4. Hydrostatische Zeitskala τ hydro 1 2 (G ρ) 1/2 5. Beispiele: τ hydro = 27 Minuten für Sonne 18 Tage für Roten Riesen (R = 100R ) 4.5 Sekunden für Weißen Zwerg (R = R /50) Schlussfolgerung: Sterne kehren in extrem kurzer Zeit in das hydrostatische Gleichgewicht zurück.

11 Energie-Reservoirs: 1. Thermische (oder innere) Energie (für ein ideales Gas) P = R µ ρt R µ = c P c v = 2 3 c v Mit der thermischen Energie pro Masseneinheit u = c v T und der gesamten thermischen Energie aus dem Integral von u über die Masse E t = M 0 c v Tdm = M 0 c v 3R 2µ 3R Tdm = T M 2µ Für die Sonne mit T 10 7 K E t, erg 2. Gravitationsenergie E g = M 0 GM r dm r GM2 r R Für Sonne, E g, = erg Allgemein, E g E t Warum sind beiden Reservoire etwa gleich groß?

12 Die Kelvin-Helmholtz (thermische) Zeitskala L de g dt τ KH := E g L E t L. E g GM2 2R τ KH GM2 2RL. Sonne: τ KH = yrs. Sonne könnte also nur einige 10 Millionen Jahre scheinen, wenn Gravitations- oder thermische Energie ihre einzige Energiequelle wäre!

13 Das Virial Theorem Integriere Gleichung (2) nach Multiplikation mit 4πr 3 : M 0 4πr 3 P M m dm = 0 Gm 4πr 44πr3 dm Rechte Seite entspricht der gesamten Gravitationsenergie E g = M 0 GM r dm Linke Seite durch partielle Integration lösbar: M 0 4πr 3 P m dm = [ 4πr 3 P ] M 0 M 0 ( 12πr 2 r ) Pdm m Die rechte Seite dieses Ausdrucks wird zu 3P/ρdm = 2E i so dass insgesamt das Ergebnis lautet: E g = 2E i Das ist das Virial-Theorem. Sehr zentral und wichtig!

14 Gesamtenergie (ohne nukleare Quellen): W = E i + E g = E i = 1 2 E g Die Leuchtkraft eines Sterns muss sich aber aus diesem Reservoir speisen: L = dw dt > 0 L = E g 2 = Ė i Star werden global heißer, weil sie Energie verlieren! Die Energie dafür nehmen sie aus dem Gravitationsreservoir N.B.: Annahmen! Hydrostatisches Gleichgewicht, ideales Gas. Weiße Zwerge verlieren Energie, werden aber kälter! Warum?

15 Energie-Erhaltung dl r = 4πr 2 ρǫdr, ǫ (erg/gs): spezifische Energie-Erzeugungsrate Energiequellen für ǫ: in einer stationären Massenschale: ǫ = ǫ n (ρ, T, X); nukleare Energieerzeugung; nicht-stationär: Wechselwirkung mit Nachbarschichten über PdV ( ǫ n L r m ) dt = dq = du + Pdv L r m = ǫ n u t + P ρ ρ 2 t T = ǫ n c P t + δ P ρ t ǫ g : gravothermische Energie T ǫ g = c P t + δ P ρ t = c PT ( 1 T T t ) ad P P t (3) Energieverlust durch Plasma-Neutrinos: ǫ ν. Insgesamt also Gleichung für die Energieerhaltung/- erzeugung L r m = ǫ n + ǫ g ǫ ν. (4)

16 Globale Energieerhaltung Die Änderung des gesamten Energiereservoirs ist identisch mit dem Verlust an Energie durch Photonen (von der Oberfläche) und Neutrinos (aus dem Sterninnern): Ẇ = d dt (E G + E i + E n ) = (L + L ν ), Diese Gleichung erhält man in der Tat durch Integration von Gleichung (4) über m.

17 Nukleare Zeitskala τ n := E n /L Nukleares Energiereservoir: Masse des Brennstoffs x Energieausbeute [erg/g] des Brennstoffs Sonne ist in der Phase der Wasserstofffusion, die eine Energieausbeute von q = ergg 1 hat. entsprechend einem gesamten Energievorrat von erg. τ n yrs τ n τ KH τ hydr Dies ist die für die meisten Sterne in fast allen Phasen entscheidende Zeitskala, auf der sie sich entwickeln. L r m ǫ n ist eine sehr gute Näherung, und impliziert auch ǫ g 0, bzw. dass der Stern sich im thermischen Gleichgewicht befindet. Außerdem herscht mechanisches (hydrostatisches) Gleichgewicht, insgesamt das sogenannte vollständige Gleichgewicht, in dem (in erster Näherung) alle Terme mit dt fehlen.

18 Energie-Transport Die im Innern erzeugte Energie muss zur Oberfläche transportiert werden. Das geht nur entlang eines Temperaturgradienten, der in der Sonne T/ r 10 7 /10 11 = 10 4 (K/cm) beträgt. Der Energietransport kann durch Strahlung, Konvektion, oder Leitung stattfinden (Leitung i.a. unwichtig, außer im Fall von Elektronenentartung). Formale Gleichung für den Temperaturgradienten: T m = T P Gm 4πr 4 Aufgabe: bestimme für die oben erwähnten Fälle! Strahlungstransport Abschwächung der Strahlungsintensität I gemäß di = Iκρdr dln I dr = κρ =: 1 l Opazität κ(t, ρ, X) (cm 2 /g). Werte im Sonneninnern: ρ = 1.4g/cm 3, κ 1cm 2 /g l 1 cm!

19 Strahlungsdiffusion: Wegen der kurzen freien Weglänge, des geringen Temperaturgradienten und der damit verbunden nahezu perfekten Isotropie des Strahlungsfeldes findet radiativer Energiestransport als diffusiver Prozess statt. Behandlung analog zur Teilchendiffusion: Diffusiver Fluss j von Teilchen ist j = D n = 1 3 vl p n (D Diffusionskonstante; v Diffusionsgeschwindigkeit; l p freie Weglänge und n Teilchendichte). Benutzen U := at 4 für die Strahlungsdichte (statt Teilchendichte), l = 1/(κρ) für die freie Weglänge der Photonen, und c statt v. In 1-dimensionaler Formulierung reduziert sich U zu U r = 4aT3 T r

20 und somit der radiative Energiefluss F (statt j) oder F = K rad T. F = 4ac T 3 T 3 κρ r, K rad = 4ac T 3 3 κρ ist die radiative Konduktivität. Mit L r = 4πr 2 F ergibt sich T r = 3 κρl r 16πacr 2 T 3 oder in Lagrange-Formulierung T m = 3 64acπ 2 κl r r 4 T 3 (5)

21 Das Rosseland-Mittel der Opazität Gleichung (5) ist bisher nur für monochromatische Strahlung richtig. κ = κ(ν). Man möchte aber gerne T m = 3 κl r 64acπ 2 r 4 T 3 haben, wobei κ eine geeignete Mittelung κ(ν) über ν sein muss. Dieses Mittel ist wobei 1 κ := B ν (T) = 2hν3 c κ ν B ν T dν B ν T dν ( ( ) hν exp 1 kt ) 1 die Planck-Funktion für den Energiedichte-Fluss eines Schwarzkörpers ist. (U = at 4 = (4π/c) B ν dν). κ heißt das Rosseland-Mittel der Opazität, meist κ R oder auch nur κ genannt. Es wird dominiert von den Frequenzbereichen, wo κ ν am geringsten ist.

22 (Elektronen-) Leitung Die freie Weglänge von entarteten Elektronen ist sehr groß, so dass sie effektiv Energie transportieren können. In diesem Fall lässt sich der gesamte Energiefluss als Summe zweier Prozesse mit zwei Konduktivitäten schreiben: F = F rad + F cond = (K rad + K cond ) T Man führt formal κ cond ein: K cond = 4ac 3 T 3 κ cond ρ, und kann damit κ in Gleichung (5) ersetzen durch: 1 κ = κ rad κ cond Der Mechanismus mit der kleineren Opazität erledigt den Energietransport! Effektives in Transportgleichung: = rad = 3 κl r P 16πacG mt 4

23 Stabilität gegen Konvektion Wird der Temperaturgradient in einer Schicht zu groß, setzt Konvektion ein. Zur Herleitung eines Stabilitätskriteriums betrachtet man folgendes (idealisiertes) Bild: Der Temperaturunterschied DT = T e T s ist positiv, wenn Element heißer als Umgebung ist; DP = 0 (hydrostatisches Gleichgewicht. Falls Dρ < 0 (Ideales Gas), bewegt sich das Element nach oben. Bei Verschiebung um r: [( ) ( ) ] ρ ρ Dρ = r r r e s

24 Das Stabilitätskriterium lautet daher ( ) ( ) ρ ρ > 0. r r e Ist es erfüllt, wird das Element relativ zur Umgebung währender der Aufwärtsbewegung schwerer und kehrt um. Mit der Zustandsgleichung dln ρ = αdln P δdln T ϕdln µ, kann man das Kriterium umformen zu ( ) ( ) ( ) δ dt δ dt ϕ dµ > 0 T dr T dr µ dr s und nach Mulitplikation mit der Druckskalenhöhe H P := dr dln P ( ) dln T dln P s < e s = P dr dp = P ρg > 0 ( ) dln T dln P s < ad + ϕ δ µ e + ϕ δ s ( ) dln µ dln P s

25 Der konvektive Temperaturgradient rad < ad + ϕ δ µ (6) Diese Gleichung ist allgemein gültig und heißt das Ledoux-Kriterium für dynamische Stabilität. In chemisch homogenen Gebieten ist µ = 0, und das Schwarzschild- Kriterium gilt. Ist das Stabilitätskriterium verletzt, setzt Konvektion ein und erledigt den Energietransport. Der sich tatsächlich einstellende konvektive Temperaturgradient con muss aus einer Konvektionstheorie berechnet werden. In der Sternentwicklungstheorie wird meist die Mischungswegtheorie verwendet, die einen freien Parameter, das Verhältnis von Mischungsweg zu H P, enthält: α MLT, das von der Größe 1 ist und anderweitig kalibriert werden muss. Im Extremfall, wenn die konvektiven Elemente keine Energie an die Umgebung während der Bewegung abgeben, ergibt sich con = ad was nur noch eine Funktion der Zustandsgleichung ist. Allgemein gilt in konvektiven Gebieten rad > con > ad

26 Die chemische Zusammensetung Die chemische Zusammensetzung beeinflusst ρ, κ, ǫ. Sie kann sich durch nukleare Fusion, Diffusion, Konvektion und andere Mischungsprozesse ändern. Notation: relative Massenanteile: X i := m in i ρ, i X i = 1; speziell: Wasserstoff X, Helium Y, Metalle Z = 1 X Y. typische Werte: X ; Y ; Z Änderungen durch Kernreaktionen: X i t = m i ρ [ j r ji k r ik ] r ji impliziert, dass Isotop i aus Isotop j entsteht, und r ik, dass i zur Bildung von k verbraucht wird. Dabei entstehende Energie ist ǫ ij = 1 ρ r ije ij. r ij ist Zahl der Reaktionen pro Sekunde e ij Energie pro Reaktion; pro Teilchenmasse ist sie q ij = e ij /m i. Im einfachsten Fall, der Umwandlung von H zu He, erhalten wir X t = ǫ H = Y q H t, e H,He 26.7 MeV/Reaktion = erg und q H,He = /4 = erg/g.

27 Zusammenfassende Übersicht m ist die Lagrange-Koordinate; r, P, T, L r sind die abhängigen Variablen; X i sind die Elementhäufigkeiten; ρ, κ, ǫ,... sind physikalische Funktionen, die alle von (P, T, X) abhängen. Die vier zu lösenden Strukturgleichungen lauten: r m = 1 (7) 4πr 2 ρ P m = Gm 4πr 1 2 r (8) 4 4πr 2 t 2 L r m = ǫ T n ǫ ν c P t + δ P (9) ρ t T = GmT t 4πr 4 P (10) wobei von der Art des Energietransportes abhängt: = rad = 3 κl r P (11) 16πacG mt 4 = con ( ad ) (12) Für die Zusammensetzung haben wir (schematisch) X i t = m i r ji r ik (13) ρ j k wobei auch ein Mischungsterm auftreten kann, z.b. aufgrund von Konzentrations-Diffusion X i t = [ (4πr 2 ρ) 2 D X ] i (14) m r

28 Lösung der Aufbaugleichungen Wir haben I+4 Gleichungen für die I Elemente (Isotope) plus die 4 abhängigen Variablen System ist also lösbar! Gleichungen sind nicht-lineare partielle Differentialgleichungen in t und m (M r ). Benötigt werden noch zusätzliche Randbedingungen bei M r = 0 und M (für den räumlichen Teil) und Anfangswerte bei t = 0 (für den zeitlichen Teil). Sternentwicklung ist also ein Anfangs- und Randwert-Problem. Ein Sternmodell ist die räumliche Lösung für die Struktur zum Zeitpunkt t 0 (r(m r, t 0 ), T(M r, t 0 ),... X I (M r, t 0 )). Anfangswerte: notwendig für alle Variablen für t = 0. Entweder aus vorherigem Modell, einem vereinfachten Modell, oder gut geraten. Ist das Anfangsmodell nahe genug an der Realität, wird es sich über τ KH daran angleichen. Problem kann in räumliches und zeitliches Unterproblem geteilt werden: Schritt 1 löse Gl. (7) (10) für t 1 (X i (M r, t 1 ) gegeben) Schritt 2 löse Gl. (13) und (14) für räumliche Struktur zwischen t 1 und t 2 = t 1 + t unter Benutzung von ǫ(m r, t 1 ) Schritt 3 ändere Zusammensetzung: X i (t 2 ) = X i (t 1 ) + ( X i ) t Schritt 1 t t 1

29 Randbedingungen im Zentrum: M r = 0 r(0) = 0, L r (0) = 0 an der Oberfläche: verschiedene Möglichkeiten (1) Null-Werte : bei M r = M: P(M) = 0, T(M) = 0; tiefes Innere dadurch einigermaßen realistisch berechenbar, aber äußere Schichten (Beobachtung!) falsch (2) photospherische R.W.: Randwerte werden an Photosphäre genommen, meist bei optischer Tiefe τ ph = 2/3, wo T = T eff Stefan-Boltzmann Gesetz: L = 4πσR 2 T 4 eff Stellt die erste Randbedingung an der Photosphäre dar und verbindet 3 der 4 Variablen.

30 Die zweite Randbedingung (für P(R,L)) ergibt sich aus einer Atmosphäre, die im einfachsten Fall die graue, masselose Eddington-Atmosphäre ist: T 4 (τ) = 3 4 T4 eff (τ + 2/3) Der Druck ergibt sich aus der Integration der Druckgleichung, wobei der Radius durch die optische Tiefe dτ = κρdr τ ph = R κρdr ersetzt wird. Für ein gemitteltes κ und konstantes g ergibt sich z.b. P ph : P ph = 2 GM 1 (15) 3 R 2 κ In der Praxis werden genauere Atmosphären berechnet. Damit ist das System geschlossen und lösbar.

31 Numerische Methoden 1. Integrator-Methoden (Runge-Kutta) Integriere Gleichungen von Randwerten nach außen bzw. innen. Problem: nur je zwei Randwerte verfügbar, die anderen beiden müssen geraten werden. Integrationen treffen sich in der Mitte; Übereinstimmung nur, wenn Randwerte richtig geraten. Iteration der geratenen Randwerte. Vorteil: kein Startmodell nötig; Genauigkeit kontrollierbar Nachteil: funktioniert nur gut bei einfachen Strukturen Verwendung: für Ur-Modell nützlich (homogene Vorund Hauptreihen-Modelle)

32 2. Relaxations-Methoden (Newton-Verfahren) Löse Gleichungen auf räumlichem Gitter; relaxiere Gitterwerte aller Variablen, bis Gleichungen erfüllt sind. Iterationsverfahren. Führt auf Matrix-Inversion zur Berechnung der Korrekturen. Vorteil: gutmütig ; funktioniert meistens Nachteil: benötigt gute Startwerte; große Matrix (Lösung: Henyey-Verfahren für Blockmatrizen); Genauigkeit unkontrolliert Verwendung: meist verwendete Standardmethode

33 Einfache Sternmodelle Homologie für chemisch homogenene (z.b. unentwickelte, Alter- 0, Hauptreihen) Sterne. Grundlegende Homologie-Annahme: Zwei Sterne heißen zueinander homolog, wenn bei m 1 M 1 = m 0 M 0 r 1 R 1 = r 0 R 0 Daraus resultieren Skalierungsfunktionen: r ( ( m M) = m ) Rfr M ( L m ( r M) = m ) LfL M P ( ( m M) = Pc f m ) P M T ( ( m M) = Tc f m ) T M wobei die f i unabhängig von M sind, nicht aber die Konstanten (R, P c, etc.), die auch von der chemischen Zusammensetzung (µ) abhängen. Einfache (Potenz-) Gesetze für die physikalischen Funktionen: P = R ρt µ (16) ǫ = ǫ 0 ρ λ T ν (17) κ = κ 0 ρ n T s (18)

34 Damit erhalten wir im Fall der radiativen Strukturgleichungen einfache Skalierungsrelationen; z.b. für den Druck (mit x := m/m): dp dm = P df P C dx dx dm = P cxdln f P f P dln x 1 M = P cpm dln f P P c mm dln x = P dln f P m dln x Wenn wir das mit der Druckgleichung gleichsetzen, erhalten wir folgende Beziehung für P und analoge für die anderen Variablen: dp dm = P dln f P m dln x = Gm P 4πr 4 m m (19) r 4 dr dm = r dln f r m dln x = 1 4πr 2 ρ r m 1 r 2 ρ (20) dt dm = T dln f T m dln x = 3κ L r T 64πacr 4 T 3 m L r r 4 T 3(21) dl r dm = L rdln f L m dln x = ǫ L r m ǫ (22)

35 Aus (19) und (20) ergeben sich Ausdrücke für P und ρ als Funktionen von r and m. Durch Division und Verwendung der idealen Gasgleichung folgt dann P ρ m r T µ (oder rt = µm) und mit (21) für L r L r µ 4 m 3 Das gilt auch für x = 1 oder m = M, so dass L µ 4 M 3, Das ist die Masse Leuchtkraft Beziehung für Hauptreihenstere. Sie hängt nicht von der Energieerzeugung ab, aber die Proportionalität wird von der Opazität bestimmt! Da auch L r mǫ mρ λ T ν gilt, erhalten wir auch (wieder für x = 1, unter Benutzung von ρ m/r 3 und T µm/r) R µ ν 4 λ+ν 2 ν+3λ M ν+3λ Für λ = 1 und ν 5 (pp-ketten) R µ M 0.5 Für λ = 1 und ν 15 (CNO-Zyklus) R µ 0.61 M 0.78 Dies sind Masse Radius Beziehungen für die beiden nuklearen Prozessmechanismen auf der Hauptreihe. Ein mittlerer Wert für ν ist 13, was 0.75 für den M- Exponent ergibt.

36 Damit ist R M 3/4 (mittlerer Exponent), L M 3, und L R 2 T 4 eff log L = 8log T eff + const, was die Gleichung für die Hauptreihe im Hertzsprung- Russell-Diagram ist; für R=const. erhält man log L = 4log T eff + const; Linien konstanten Radius sind also flacher als die Hauptreihe (Radius der HR-Sterne nimmt mit Masse zu). Da außerdem L M 3 gilt, und τ nuc M/L, folgt für die Hauptreihen-Lebensdauer τ nuc M 2 Massereichere Sterne sind heller, leben aber deutlich kürzer als massearme!

37 Zentralwerte auf der Hauptreihe: Setze λ = 1 und µ=const. P c P P(x) f P (x) und T c T T(x) f T (x) Ebenso T M R, P M2, ρ R c P c 4 T c und R M ν 1 ν+3 ; T c M 4 ν+3 (23) P c M 2(ν 5) ν+3 (24) ρ c M 2(ν 3) ν+3 (25) T c ρ 2 ν 3 c (26) T c wächst mit M; aber ρ fällt mit M für ν > 3 (M > 0.8 M )!

38 Zwei unterschiedliche Arten von Sternen auf der Hauptreihe: M < 1.5 M M > 1.5 M T eff niedrig hoch Kern radiativ konvektiv Hülle konvektiv radiativ H-Fusion pp-ketten CNO-Zyklus ν > 10 < 7 Strahlungsdruck niedrig hoch

39 Numerische und empirische Ergebnisse: Theoretische und beobachtete M-L-Beziehung: Theoretische und beobachtete M-R-Beziehung:

40 Die Mikrophysik Zustandsgleichung, Opazität, nukleare Reaktionsraten,... Zustandsgleichung Ideales Gas: P = nk B T = R µ ρt wobei ρ = nµm u ; µ: Molekulargewicht, Teilchenmasse pro m u. Mehrere Komponenten mit Massenanteil X i = ρ i ρ n i = ρx i m u µ i P = P e + i P i = (n e + i n i )k B T. Vollständig ionisierte Atome: P = nk B T = R i X i (1 + Z i ) µ i ρt = R µ ρt µ := ( i X i (1+Z i ) µ i ) 1: mittleres Molekulargewicht Neutrales Gas: µ = ( i ) X 1. i µ i

41 Strahlungsdruck P rad = 1 3 U = a 3 T4 ( a = erg ) cm 3 K 4 β := P gas ( ) β T P P. = 4(1 β) T and ( ) β P T = (1 β) T. Ionisation Boltzmann-Verteilung, angewandt auf Ionisationsstufen Saha-Gleichung n r+1 P e = u r+1 2 (2πm e) 3/2 (kt) 5/2 exp( χ n r u r h 3 r /kt), wobei n r : Teilchendichte im Ionisatinszustand r; χ r Ionisationsenergie; u r Zustandsfunktion; P e = n e kt Elektronendruck (k = k B )

42 Weitere Defintionen und Relationen: ( ) ln ρ α := = 1 ln P T β ( ) ln ρ δ := = 4 3β ln T P β ( ) ln ρ ϕ := = 1 ln µ T,P c P := R [ 3 3(4 + β)(1 β) + µ 2 β 2 ad := Rδ βµc ( P ) dln P 1 γ ad := = dln ρ α δ ad ad + 4 3β ] β 2 Für β 0, c P, ad 1/4 und γ ad 4/3. Für β 1, c P 5R 2µ, ad 2/5, und γ ad 5/3. Weitere Größen in der Literatur, die sogenannten Gammas: γ ad =: Γ 1 Γ 2 1 ad =: ( Γ 2 ) dln T Γ 3 := dln ρ Γ 1 Γ 3 1 = Γ 2 Γ 2 1 ad + 1

43 Ionisation von Wasserstoff und Helium in einer stellaren Hülle. Im Bild (b) wird der entsprechende Verlauf von ad gezeigt. Die Absenkung kommt vom Anstieg der spezifischen Wärme c P. Da ad kleiner wird, werden solche Zonen leicht konvektiv.

44 Elektronen-Entartung Wichtig für dichte Kerne von Sternen, z.b. Sonne nach Hauptreihe. Daraus werden später die Weißen Zwerge. Bei nahezu vollständiger Entartung (trotz T > 10 7 K) gilt: 1. p F m e c (nicht relativistisch) P e = ( ρ µ e ) 5/3 P e = 2 3 U e 2. p F m e c (relativistisch) P e = ( ρ µ e ) 4/3 P e = 1 3 U e In solchen Fällen ist P i P e und der Elektronendruck stabilisiert Sterne.

45 Weitere Effekte: 1. Nicht-ideale Effekte (Coulomb-Abschirmung; vander-waals Kräfte) 2. Kollektive Effekte wie Kristallisierung (Weiße Zwerge) 3. Bei Kerndichten, Neutronisation (Neutronensterne) In der Praxis: Verwendung vorberechneter Tabellen mit Zustandsgleichung für verschiedene Mischungen

46 Opazität Für κ wichtige physikalische Effekte: 1. Elektronenstreuung: (Thomson-scattering) κ sc = 8π r 2 e 3 m e m u = 0.20(1 + X) cm 2 g 1 2. Comptonstreuung: T > 10 8 : Impulsübertrag κ < κ sc 3. Frei-frei-Übergänge: κ ff ρt 7/2 (Kramers Formel) 4. Gebunden-frei-Übergänge: κ bf Z(1 + X)ρT 7/2 Hauptquelle unter 6000 K: H -Ion 5. Gebunden-gebunden-Übergänge: unter 10 6 K 6. e -Leitung: κ c ρ 2 T 2 7. Moleküle für T < 10 4 K 8. Staubabsorption für T < 3000 K In der Praxis wieder Tabellenwerke von Spezialisten.

47 Beispiel: Rosseland-Opazität für solare Zusammensetzung (X = 0.70, Y = 0.28, Z = 0.02); nur atomare Prozesse Zwei Tabellen mit atomarer, moleklarer und conduktiver Opazität für solare (links) und metallarme (rechts) Zusammensetzung: N.B.: weniger Metalle niedrigere Opazität niedrigeres rad höhere Oberflächentemperatur. Pop. II Sterne sind i.a. heißer als Pop. I!

48 Nukleare Energie-Produktion Massen-Defekt Energie Beispiel: 4 1 H (Protonen) : m u 4 He: m u. Unterschied (0.7%) : 26.5 MeV erlaubt Sonne Jahre zu leuchten. Bindungsenergie: E B := [(A Z)m n + Zm p M nuc ]c 2 B.E. pro Nukleon f := E B /A (um 8 MeV). Maximum (8.4 MeV) wird erreicht bei 56 Fe. Praxis: auch hier wieder Verwendung nuklearer Reaktionsraten, die aus Experimenten/theoretischen Rechnungen stammen.

49 Haupt-Brennphasen in Sternen Abfolge der Fusionsstufen: Wasserstoff Helium Kohlenstoff/Sauerstoff Neon Silizium Eisen Wasserstoff-Brennen Die pp-ketten für die Fusion von Wasserstoff zu Helium Energie pro beendeter Kette: (ppi), (ppii), MeV (ppiii).

50 Der CNO-Zyklus q CNO 25MeV Die e + Reaktionen geschehen nahezu instantan Prozessgeschwindigkeit bestimmt durch langsamste Reaktion: 14 N(p, γ) 15 O. Im Gleichgewicht, C & O 14 N. und 12 C/ 13 C = 3 6 (solarer Wert: 85)

51 Bei niedrigerem T (Sonnenzentrum) ist der CNO- Zyklus zu langsam, um wichtig zu sein. Allerdings kann die C N-Transformation stattfinden. Mit zunehmender Temperatur (Entwicklung, Masse) wird der CNO-Zyklus dominant.

52 Helium-Brennen Brenntemperatur: 10 8 K; Reaktionen 1. 3 α-prozess: 2α(α, γ) 12 C; eigentlich zwei Schritte: α(α, γ) 8 Be und 8 Be(α, γ) 12 C; q = 7.27 MeV C(α, γ) 16 O: unsichere Reaktionsrate; q = 7.6MeV O(α, γ) 20 Ne: wichtig nur gegen Ende dieser Phase; q = 4.77 MeV 4. resultierende Zusammensetzung: C/O = 50/ /80

53 Weitere Brennphasen: nur noch Schwerionen-Reaktionen C + 12 C (bei K) viele Ausgangskanäle: 24 Mg + γ (13.93 MeV)! 23 Na + p (2.238 MeV)!! 20 Ne + α (4.616 MeV)!! 23 Mg + n ( MeV) 16 O + 2α ( MeV)! Beginn der komplizierten Nukleosynthese nukleare Netzwerke; zunehmend Annäherung an nukleares statistisches Gleichgewicht O + 16 O: (bei K) ähnliche Ausgangskanäle wie für 12 C + 12 C: 32 S + γ ( MeV) 31 P + p (7.676 MeV) 28 Si + α (9.593 MeV) 31 S + n (1.459 MeV) 24 Mg + 2α ( MeV) starke ν Energieverluste durch Plasma-Neutrinos in der Gr ße der nuklearen Energieerzeugung

54 3. Photo-Desintegration (T K) ähnlich Ionsiation 20 Ne + γ 16 O + α Produkte früherer Phasen werden auch wieder zerstört danach nukleares statistisches Gleichgewicht, kontrolliert durch Emission und Absorption von Teilchen und Photo-Desintegration um 56 Fe (Max. in Bindungsenergie/Nukleon) Typische Brennzeiten: H : (Jahre) He : 10 8 C : :. Si : Stunden

55 Welche Brennphasen können Sterne erreichen?

56 Braune Zwerge (M < 0.075M ) erreichen nicht einmal das H-Brennen:

57 Plasma Neutrino Emission Stellare Plasmen emittieren Neutrinos, die den Stern ohne wesentliche Wechselwirkung mit der Materie verlassen können und dadurch zu einem Energieverlust L ν führen. Prozesse: 1. Paarvernichtung: e + e + ν + ν für T > 10 9 K. 2. Photoneutrinos: γ + e e + ν + ν (wie Compton-Streuung) 3. Plasmaneutrinos: γ pl ν + ν; Zerfall eines Plasmazustands γ pl. 4. Bremsstrahlung: inelastische Kern e Streuung 5. Synchroton-Neutrinos

58 Bereiche in der ρ T Ebene, in denen die verschiedenen Neutrino-Prozesse wichtig sind