Grundlagen der Algebra

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1 Grundlagen der Algebra Philipp Habegger Ergänzungen: Patrik Hubschmid 21. Juli 2013

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3 Inhaltsverzeichnis 0 Vorwort 5 1 Gruppen, Quotienten und mehr Gruppen Äquivalenzrelationen und Quotienten Homomorphiesatz und Isomorphiesätze Zyklische Gruppen Das Produkt zweier Gruppen Gruppenoperationen Die symmetrische Gruppe S n Ringe Definition eines Rings Ideale und Quotienten Primideale und maximale Ideale Hauptidealringe und euklidische Ringe Faktorielle Ringe Ausblick: Endliche Körper 67 3

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5 0 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Grundlagen der Algebra an der Goethe Universität Frankfurt stammt vom Sommersemester 2012 und wird im Laufe des Sommersemesters 2013 noch aktualisiert und ergänzt. Ich gehe davon aus, dass es noch einige Zeit dauern wird, bis die gröbsten Fehler korrigiert sind. Sie lesen das Skript auf eigene Gefahr! Korrekturvorschläge nehme ich gerne entgegen. Bitte teilen Sie mir solche per oder persönlich nach der Vorlesung mit. Folgende drei Bücher dienten als Grundstruktur dieser Vorlesung. 1 Siegfried Bosch, Algebra, Springer-Verlag, Jürgen Wolfart, Einführung in die Zahlentheorie und Algebra, Vieweg, Michael Artin, Algebra, Birkhäuser Verlag,

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7 1 Gruppen, Quotienten und mehr 1.1 Gruppen Wir werden einige Begriffe repetieren, die in der linearen Algebra eingeführt wurden. Die wichtigste Definition ist die der Gruppe. Definition 1.1. Eine Gruppe ist ein Tripel (G, 1, ) bestehend aus einer Menge G, einem Element 1 dieser Menge genannt Einselement oder neutrales Element, und einer Abbildung : G G G genannt Verknüpfung mit folgenden drei Eigenschaften. (A) Für alle a, b, c G gilt a (b c) = (a b) c. (N) Für jedes a G gilt 1 a = a (I) Für jedes a G gibt es ein a G mit a a = 1. Gilt folgende Eigenschaft, so nennt man G kommutativ oder abelsch. (K) Für alle a, b G gilt a b = b a. Aus der Schule sind uns einige Verknüpfungen bekannt, die auf natürliche Art zu einer Gruppe führen. Beispiel 1.1. (i) Die reellen Zahlen R bilden zusammen mit 0 als neutrales Element und der üblichen Addition eine kommutative Gruppe. (ii) Die reellen Zahlen ungleich Null R {0} bilden zusammen mit 1 R {0} und der üblichen Multiplikation auf R eine kommutative Gruppe. Völlig analog bilden die komplexen Zahlen ungleich Null C {0} zusammen mit der üblichen Multiplikation eine Gruppe. (iii) Es gibt auch Gruppen, die nur endlich viele Elemente besitzen. Solche Gruppen nennt man endliche Gruppen. Für eine ganze Zahl n 1 definieren wir C n = {e 2πik/n ; k Z} C. Sind a = e 2πik/n, b = e 2πik /n zwei Element aus C n so gilt ab = e 2πi(k+k )/n wobei wir die übliche Multiplikation auf den komplexen Zahlen verwendet haben. Es folgt, dass ab C n. Weil die Multiplikation auf C abelsch ist, gilt ab = ba, also ist (K) erfüllt. Im Übrigen gilt a 1 = e 2πik/n C n 7

8 1 Gruppen, Quotienten und mehr und 1 = e 2πi0/n C n. Somit enthält C n ein neutrales Element und jedes Element besitzt ein Inverses, damit gelten die Axiome (N) und (I). Schließlich gilt auch (A), d.h. a(bc) = (ab)c für alle a, b, c C n umsonst, da die Multiplikation auf den komplexen Zahlen assoziativ ist. Wir haben bewiesen, dass C n eine abelsche Gruppe ist. Nun wollen wir nachweisen, dass C n endlich viele Elemente enthält. Sei a = e 2πik/n mit k Z. Wir dividieren k durch n mit Rest r, es gibt also l Z mit k = ln + r und 0 r n 1. Wir setzen diesen Ausdruck für k in die Definition von a ein, um a = e 2πi(ln+r)/n = e 2πil e 2πir/n = e 2πir/n zu erhalten. Somit ist jedes Element aus C n von der Form e 2πir/n mit 0 r n 1. Folglich besitzt C n höchstens n Elemente. Aber diese Element sind paarweise verschieden, denn e 2πir/n = e 2πir /n e 2πi(r r )/n (r r )/n ist eine ganze Zahl. Wegen 0 r n 1 und 0 r n 1 ist die letzte Bedingung genau dann erfüllt, wenn r = r. Somit haben wir sogar bewiesen, dass #C n = n. (vi) Sei K ein beliebiger Körper und n 1. Die Menge alle quadratischen Matrizen Mat n (K) bilden mit der Matrixaddition eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 (die Nullmatrix). Achtung: bezüglich der Matrixmultiplikation ist Mat n (K) keine Gruppe. (v) Die invertierbaren Matrizen GL n (K) = {A Mat n (K); det A 0} bilden eine Gruppe bezüglich Matrizenmultiplikation. Der Beweis dazu wurde in der linearen Algebra geliefert. Entscheidend war, dass eine quadratische Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante nicht Null ist. Die Gruppe GL n (K) ist im einfachsten Fall n = 1 abelsch. Falls n = 2, so zeigt ( ) ( ) ( ) ( dass GL 2 (K) nicht abelsch ist. Dieses Beispiel lässt sich leicht auf n > 2 verallgemeinern. ), 8

9 1.1 Gruppen (vi) Sei θ R und ( ) cos θ sin θ D θ = GL sin θ cos θ 2 (R). Die Matrix D θ repräsentiert eine Drehung in der Ebene um den Nullpunkt mit Winkel θ. Es leuchtet geometrisch ein, dass die Verknüpfung von zwei Drehungen erneut eine Drehung ist. Dies lässt sich durch die Additionstheoreme von Sinus und Kosinus beweisen. Konkret ergibt sich D θ D ϑ = D θ + ϑ für θ, ϑ R. Beachten Sie, dass die zusammengesetzte Drehung D θ D ϑ einem Drehwinkel θ + ϑ entspricht. ( ) 1 0 Für θ = 0 erhalten wir die Einsmatrix D 0 = = E. Für θ R beliebig 0 1 gilt D θ D θ = E. Somit sind (N) und (I) erfüllt. Das Assoziativgesetzt (A) ist wieder geschenkt, da Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Die Menge aller Drehmatrizen {D θ ; θ R} zusammen mit der Matrixmultiplikation erfüllt alle Eigenschaften einer Gruppe. Es handelt sich sogar um eine abelsche Gruppe, denn für θ, ϑ R haben wir D θ D ϑ = D θ+ϑ = D ϑ+θ = D θ D ϑ. Drehung in R 3 um den Nullpunkt bilden ebenfalls eine Gruppe (dies habt ihr vielleicht in Geometrie bewiesen - es ist keineswegs offensichtlich dass die Zusammensetzung zweier Raumdrehungen wieder eine Raumdrehung ist). Diese Gruppe ist jedoch nicht abelsch. Die Menge aller Drehungen in R 4 um den Nullpunkt bildet keine Gruppe, sie ist nicht abgeschlossen unter Zusammensetzung. Bemerkung. Oft wir das Verknüpfungssymbol weggelassen. Falls G kommutativ ist, schreibt man zum Teil + für die Verknüpfung und 0 für das Einselement. Unser erstes Lemma fasst einige formale Eigenschaften von Gruppen zusammen. Lemma 1.1. Sei G eine Gruppe mit Einselement 1. 1 (i) Für jedes a G gibt es genau ein a G mit a a = 1. Dies wir Inverses von a genannt und mit a 1 bezeichnet. Es erfüllt a a 1 = a 1 a = 1. (ii) Es gilt (a 1 ) 1 = a für jedes a G. 1 Wir werden uns nicht mehr die Mühe machen, die Gruppe als Tupel anzugeben. 9

10 1 Gruppen, Quotienten und mehr (iii) Für jedes a G gilt 1 a = a 1 = a. (iv) Falls e G und a G mit e a = a, dann ist e das Einselement von G. (v) Falls a, b G so gilt (ab) 1 = b 1 a 1. Beweis. Seien a, a, a G mit a a = 1 und a a = 1. Aus den Gruppenaxiome erhalten wir a a = (1 a) a = (a a ) (a a ) = a ((a a) a ) = a (1 a ) = a a = 1. Also gilt a a = 1. Damit erhalten wir a 1 = a (a a) = 1 a = a und somit sofort (iii). Was wäre, wenn es ein zweites Inverse ã G mit ã a = 1 gäbe? Wir erhalten ã = (ã a) a = 1 a = a aus den Aussagen weiter oben. Also ist a = a 1 eindeutig bestimmt und Teil (i) ist vollständig bewiesen. Teile (ii), (iv) und (v) sind Übungsaufgaben. Definition 1.2. Sei G eine Gruppe mit Einselement e. Eine Untergruppe H von G ist eine Teilmenge H G mit den folgenden drei Eigenschaften. (N) Es gilt 1 H. (P) Falls a, b H so ist auch deren Verknüpfung a b H. (I) Für jedes a H ist a 1 H. Untergruppen sind Teilmengen, die abgeschlossen unter der Verknüpfung und der Inversion sind. Beispielsweise ist Beispiel 1.2. (i) In einer Gruppe G mit Einselement 1 ist G selber eine Untergruppe. Weiterhin ist {1} auch eine Untergruppe. Diese Untergruppen heißen die triviale Untergruppen von G. (ii) die Menge Q {0} ist eine Untergruppe von R {0} mit der Multiplikation als Verknüpfung. (iii) Für n 1 ist die oben definierte Gruppe C n eine Untergruppe von C {0}. (iv) Die oben eingeführte Gruppe der Drehmatrizen in der Ebene {D θ ; θ R} ist eine Untergruppe von GL 2 (R). Sicher ist (N) erfüllt, da D 0 das Einselement von GL 2 (R) ist. Weiterhin haben wir schon oben festgehalten, dass die Drehmatrizen unter Produktbildung und Inversion abgeschlossen sind. (v) Sei n 1. Wir betrachten nun nicht mehr alle Drehungen, sondern nur noch solche mit Drehwinkel ein Vielfaches von 2π/n. Konkret betrachten wir { Dk/n ; k Z } GL 2 (R). (1.1) 10

11 1.1 Gruppen Diese Menge enthält die Einsmatrix D 0 und damit ist (N) erfüllt. Wegen D k/n D k /n = ( ) 1 0 D (k+k )/n und D k/n D k/n = gelten (P) und (I). Also handelt es sich um 0 1 bei (1.1) um eine Untergruppe der Drehmatrizen. Die Definition der Untergruppe schließt die leere Menge explizit aus. Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbilung zwischen zwei Gruppen, welche die jeweilige Verknüpfung berücksichtigt. Eine Untergruppe ist per Definition eine Menge und kein Tripel (wie in der Definition der Gruppe). Deshalb ist eine Untergruppe formal gesehen keine Gruppe. Dennoch lässt sich eine Untergruppe mit der Struktur einer Gruppe versehen: es reicht die Verknüpfung der Gruppe auf die Teilmenge einzuschränken. Deshalb werden wir Untergruppen ohne weitere Angaben auch als Gruppen behandeln. Definition 1.3. Seien G und G zwei Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus (oder einfach Homomorphismus) ist eine Abbildung f : G G mit für alle a, b G. f(a b) = f(a) f(b) (1.2) Beachten Sie, dass die zwei in (1.2) zwei verschiedene Verknüpfungen repräsentieren. Lemma 1.2. Seien G und G Gruppen und f : G G ein Gruppenhomomorphismus. (i) Ist 1 das Einselement von G, so ist f(1) das Einselement von G. (ii) Ist 1 das Einselement von G, so ist f 1 (1 ) eine Untergruppe von G. Diese wird Kern von f genannt und mit Ker(f) bezeichnet. (iii) Für a G gilt f(a 1 ) = f(a) 1. Beweis. Um (i) zu beweisen, halten wir zunächst f(1) = f(1 1) = f(1) f(1) fest. Aus Lemma 1.1(iv) folgt, dass f(1) das Einselement von G ist. Der Beweis von (ii) und (iii) erfordert ein spielerischen Umgang mit den Gruppenaxiome und Lemma 1.1. Beide Aussagen sind Übungen. Beispiel 1.3. (i) Sei G eine beliebige Gruppe. Wir definieren f(a) = a 1 für a G. Dann ist f genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn G abelsch ist. Dies wird in einer Übungsaufgaben bewiesen. (ii) Für eine komplexe Zahl z C bezeichnet hier z ihr komplex Konjugiertes. Dann definiert z z einen Gruppenhomomorphismus sowohl von C zusammen mit der Addition wie auch von C {0} mit der Multiplikation. Dies folgt aus den bekannten Identitäten z 1 + z 2 = z 1 + z 2 und z 1 z 2 = z 1 z 2. (iii) Die Exponentialfunktion exp : R R {0} ist ein Gruppenhomomorphismus da exp(a + b) = exp(a) exp(b) für a, b R. Definition 1.4. Seien G und G Gruppen und f : G G ein Gruppenhomomorphismus. Das Bild von f ist die Teilmenge {f(a); a G}. Es wird mit Bild(f) bezeichnet. 11

12 1 Gruppen, Quotienten und mehr Bemerkung. Das Bild eines Gruppenhomomorphimus f : G G ist eine Untergruppe von G. Aus f(a b) = f(a) f(b) für a, b G folgt, dass Bild(f) abgeschlossen unter der Verknüpfung ist. Wegen f(a 1 ) = f(a) 1 enthält Bild(f) das Inverse eines jeden Elements. Schließlich ist f(1) Bild(f) das Einselement von G. Somit ist bewiesen, dass Bild(f) eine Untergruppe von G ist. Lemma 1.3. Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist, d.h. Ker(f) = {1}. Beweis. Die genau Richtung ist offensichtlich. Die dann Implikationsrichtung ist auch nicht weiter schwierig. Falls Ker(f) = {1} und f(a) = f(b) dann ist f(ab 1 ) das Einselement und somit ab 1 = 1, also a = b. Definition 1.5. Ein Gruppenhomomorphismus f : G G heißt Gruppenisomorphismus (oder Isomorphismus), falls ein Gruppenhomomorphismus g : G G mit f g = id G und g f = id G existiert. In diesem Fall nennt man die Gruppen G und G isomorph. Oft schreibt man G = G in dieser Situation. Lemma 1.4. Ein Gruppenhomomorphismus f ist genau dann ein Isomorphismus, wenn f bijektiv ist. Beweis. Siehe Übungen. Bemerkung. Isomorphe Gruppe lassen sich vom algebraischen Standpunkt aus nicht unterscheiden. Als Beispiel erwähnen wir folgende Aussagen. Sind G und G isomorphe Gruppen, dann gilt G ist abelsch G ist abelsch. Beispiel 1.4. Zwei endliche und isomorphe Gruppen haben gleich viele Elemente. Gilt auch die Umkehrung? Sei n eine natürliche Zahl und S n = { σ : {1,..., n} {1,..., n}; σ ist eine Bijektion } die symmetrische Gruppe; diese sollte aus der linearen Algebra bekannt sein. Die Verkettung zweier σ, η S n führt zu einer neuen Bijektion σ η S n. Also erhalten wir eine Verknüpfung S n S n S n die durch (σ, η) σ η definiert ist. Diese Verknüpfung erfüllt das Assoziativgesetzt, denn dies ist für Verkettung von Abbildungen stets erfüllt. Die Identitätsabbildung id : S n S n erfüllt für alle σ S n. id σ = σ 12

13 1.2 Äquivalenzrelationen und Quotienten Schließlich besitzt jede Permutation σ eine Umkehrabbildung σ 1 : {1,..., n} {1,..., n}. Diese erfüllt σ 1 σ = id. Wir haben in also alle Axiome (A), (N) und (I) einer Gruppe überprüft. Somit ist S n mit der Verkettung als Verknüpfung und der Identitätsabbildung als Einslement eine Gruppe. Eine einfache kombinatorische Überlegung zeigt, dass es genau n! Permutationen von {1,..., n} gibt. Folglich gilt #S n = n!. Insbesondere haben wir #S 3 = 6. Zur Erinnerung: es gilt #C 6 = 6. Es ist nützlich, Permutationen durch eine Tabelle zu beschreiben. Wir beschreiben zwei Elemente von S 3 durch k σ(k) Das Produkt σ η ist demnach und k η(k) Berechnen wir η σ, so erhalten wir k (σ η)(k) k (η σ)(k) Es kommt daher auf die Reihenfolge des Produkts an, denn σ η η σ. Folglich ist S 3 nicht eine abelsche Gruppe. Die Gruppen S 3 und C 6 haben die gleiche Anzahl Elemente. Die Gruppe C n ist abelsch, da C {0} kommutativ ist. Eine abelsche kann nicht nur einer nicht abelschen Gruppe isomorph sein. Also sind S 3 und C 6 nicht isomorph. 1.2 Äquivalenzrelationen und Quotienten Äquivalenzrelationen sind nützliche Hilfsmittel, um Objekte zusammenzufassen, die zwar möglicherweise nicht gleich sind, jedoch vergleichbare Eigenschaften besitzen. Äquivalenzen führen zu einem der wichtigsten Konzepte in der Algebra und sogar Mathematik: die des Quotienten. Definition 1.6. Sei M eine Menge und eine Relation auf M. Man nennt eine Äquivalenzrelation falls folgende drei Eigenschaften erfüllt sind. (R) Für a M gilt stets a a. (Reflexivität) (S) Für a, b M mit a b gilt b a. (Symmetrie) (T) Aus a, b, c M mit a b und b c folgt a c. (Transitivität) 13

14 1 Gruppen, Quotienten und mehr Beispiel 1.5. (i) Sei M die Menge aller Menschen. Wir führen eine Relation auf M ein: a b bedeutet a mag b. Dann ist keine Äquivalenzrelation. Ich glaube sogar, dass keine der drei Eigenschaften erfüllt ist. (ii) Sei M wieder die Menschheit. Diesmal bedeutet a b, dass a und b gleiche Körperlänge haben. Jetzt ist eine Äquivalenzrelation. (iii) Tierarten (auch Pflanzen, Pilze, etc.) lassen sich in gröberen Kategorien wie z.b. Ordnungen zusammenfassen. Zusätzliche Ebenen in der Klassifikation sind nützlich, um den Überblick zu behalten. Bezeichnen a und b zwei Tierarten, so definieren wir a b genau dann, wenn a und b zur selben Ordnung gehören. Z.B. Östlicher Gorilla Schimpanse Mensch (gehören zu den Primaten) aber Trauerschwan Grüne Muräne (Gänsevogel und Aalartig.) (iv) Wir wenden uns zu einem mathematischen Beispiel. Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Für a, b G setzen wir Dies ist gleichbedeutend mit a H b es gibt h H mit a = bh. a H b b 1 a H. Wir überprüfen nun, dass alle drei Axiome einer Äquivalenzrelation erfüllt sind. Reflexivität ist einfach: a 1 a = 1 H für jedes a G. Symmetrie folgt aus b 1 a = (a 1 b) 1 für a, b G, eine weitere Konsequenz von Lemma 1.1(v) und (ii). Um Transitivität zu zeigen, seien schließlich a, b, c G mit b 1 a H und c 1 b H, d.h. a H b und b H c. Lemma 1.1(i) impliziert c 1 a = (c 1 b)(b 1 a) H, also a H c. Hieraus folgt (T). Bemerkung. Im letzten Beispiel, bei der Definition von H, haben wir eine willkürlich Wahl getroffen. Wir hätten ebensogut a H b es gibt h H mit a = hb setzen können. Dies ist ebenfalls eine Äquivalenzrelation auf G. Ist G abelsch, so gilt hb = bh, also folgt a H b a H b. Die zwei Äquivalenzrelationen stimmen in diesem Fall überein. In einer nicht abelsch Gruppen kann es durchaus vorkommen, dass H und H verschiedene Äquivalenzrelationen sind. Definition 1.7. Sei M eine Menge und eine Äquivalenzrelation auf M. Für ein Element a M definieren wir [a] = {b M; b a}, die Menge der zu a äquivalenten Elemente aus M. 14

15 1.2 Äquivalenzrelationen und Quotienten Folgende Proposition münzt alle Eigenschaften der Äquivalenzrelation, in eine Aussage für [a] um. Proposition 1.5. Sei M eine Menge und eine Äquivalenzrelation auf M. Für jedes a M gilt a [a]; falls b M gilt entweder [a] = [b] oder [a] [b] =. Beweis. Der Beweis ist rein formal. Wir haben a [a] weil a a wegen Reflexivität. Sei nun b M. Falls [a] [b] =, so ist nichts zu beweisen. Angenommen also es gibt c [a] [b]. Dies ist gleichbedeutend mit c a und c b. Angenommen b [b]. Per Definition gilt b b. Symmetrie ergibt b c und somit b c wegen Transitivität. Diese Eigenschaft nochmals angewandt implizert b a. Also b [a]. Da b beliebig in [b] war, folgt [b] [a]. Ganz analog zeigt man die umgekehrte Inklusion. Es folgt [b] = [a] und somit das Lemma. Definition 1.8. Sei M eine Menge und eine Äquivalenzrelation auf M. Falls a M so nennt man [a] ein Äquivalenzklasse (bzgl. der Relation ). Die Menge aller Äquivalenzklassen wird mit M/ bezeichnet. Die Proposition impliziert, dass M disjunkte Vereinigung der Äquivalenzklassen von ist. Jedes Element a [a] nennt man Repräsentant von [a]. Achtung. Der Repräsentant einer Äquivalenzklasse [a] ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Rechnet man weiter mit a, muss man sich bewusst sein, dass man eine andere Wahl hätte treffen können. Beispiel 1.6. (i) Die Menge M seien alle Tierarten und wie in Beispiel 1.5(iii). Die Äquivalenzklasse auf M bestehen aus Tierarten der selben Ordnung. Also [Mensch] = {Mensch, Schimpanse, Östlicher Gorilla,... } = [Schimpanse]. Diese Äquivalenzklasse hat mehrere Repräsentanten. Die Menge M/ ist die Menge aller Ordnungen, d.h. M/ = {Primaten, Gänsevögel, Aalartig,...}. Proposition 1.5 ist im Lichte diese Beispiels völlig trivial: jede Tierart gehört zu genau einer Ordnung und zwei verschiedene Ordnungen enthalten keine gemeinsame Tierarten. (ii) Zurück zur Mathematik. Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Die Relation sei wie im Beispiel 1.5(iv). Jede Äquivalenzklasse [a] mit a G ist von der Gestalt [a] = ah = {ah; h H}. Eine solche Menge nennt man Linksnebenklasse (von H in G). Die Äquivalenzrelation H führt übrigens zu den Rechtsnebenklassen Ha = {ha; h H} (von H in G). Definition 1.9. Die Menge der Linksnebenklassen einer Untergruppe H einer Gruppe G wird mit G/H bezeichnet. 15

16 1 Gruppen, Quotienten und mehr (iii) Für eine abelsche Gruppe, gibt es keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnebenklassen. (iv) Eine uns bekannt abelsche Gruppe ist die Gruppe der ganzen Zahlen (Z, 0, +) mit der Addition als Verknüpfung. Gemäß unsere Konvention, werden wir sie einfach mit Z bezeichnen. Für jede ganze Zahl n Z ist nz = {na; a Z} eine Untergruppe von Z. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass alle drei Eigenschaften (N), (P) und (I) einer Untergruppe erfüllt sind. Für n = 2 ist nz = 2Z nichts anderes als die Menge der geraden Zahlen. Die Nebenklassen von 2Z sind von der Form a + 2Z für ein a Z. Ist m Z, so ist m gerade oder m 1 gerade. D.h. m 2Z oder m 1 + 2Z. Folglich gibt es nur zwei Nebenklassen 2Z und 1 + 2Z. In anderen Worten Z/2Z = {2Z, 1 + 2Z}. Ist n 1, so kann man mittels Division mit Rest zeigen, dass es genau n Nebenklassen von nz in Z gibt. Dies ist eine Aufgabe auf Serie 2. Wir beweisen nun als erste Anwendung der Äquivalenzrelationen den Satz von Lagrange. Er ist eine erstaunliche Aussage. Der Beweis ist eine geschickte Verbindung der fundamentalen Konzepte der Gruppe und der Äquivalenzrelation. Das ist eines der mächtigsten Methoden überhaupt in der Mathematik. Satz 1 (Satz von Lagrange). Sei G eine Gruppe und H eine endliche Untergruppe von G. Jede Linksnebenklasse ah hat genau #H Elemente. Ist G endlich, so teilt #H die Gruppenordnung #G. Beweis. Sei a G. Wir betrachten die Abbildung f : H G (im Allgemeinen ist dies kein Gruppenhomomorphismus!) gegeben durch f(h) = ah für h H. Sie ist injektiv, denn f(h) = f(h ) impliziert h = a 1 f(h) = a 1 f(h ) = h. Somit gilt #H = #Bild von f = #ah und die erste Aussage ist bewiesen. Jetzt nehmen wir zusätzlich an, dass G endlich ist. Es kann also nur endliche viele Linksnebenklassen geben. Angenommen a 1 H,..., a r H sind genau alle Linksnebenklassen mit a 1,..., a r. Wegen Proposition 1.5 ist G disjunkte Vereinigung der a 1 H,..., a r H. Aber jedes a i H hat genau #H Elemente. Es folgt #G = r#h und damit der Beweis. Definition Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe. Falls es nur endlich viele Linksnebenklassen von H in G gibt, so nennen wir diese Anzahl den Index von H in G und bezeichnen diesen mit [G : H]. 16

17 1.2 Äquivalenzrelationen und Quotienten Jetzt stellt sich natürlich die berechtigte Frage, ob es gleich viele Links- wie Rechtsnebenklassen gibt. Zur Beantwortung dieser Frage betrachten wir die bijektive Abbildung φ : G G g g 1. Nach Lemma 1.1(v) bildet sie eine Linksnebenklasse ah von H auf {(ah) 1 ; h H} = {h 1 a 1 ; h H} ab. Da H eine Untergruppe von G ist, ist dies genau die Rechtsnebenklasse Ha 1. Somit bildet φ Linksnebenklassen bijektiv auf Rechtsnebenklassen ab. Daher gibt es gleich viele Links- wie Rechtsnebenklassen. Den Index von H in G hätten wir also auch als die Anzahl Rechtsnebenklassen definieren können. Wir wollen nun den Begriff der Quotientengruppe (oder Faktorgruppe) einführen. Frage. Sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich H bezeichnen wir mit G/ H. Lässt sich die Gruppenstruktur von G auf die Menge der Linksnebenklassen G/ H übertragen? Wir versuchen einfach, ob das funktioniert. Seien x, y G/ H zwei Linksnebenklassen von H. Wir wollen eine Verknüpfung auf G/ H definieren, müssen also dem Paar x, y ein neues Element G/ H zuordnen. Diese Zuordnung soll die Gruppenstruktur auf G reflektieren. Die Linksnebenklassen werden von a, b G repräsentiert, d.h. wir können x = ah und y = bh schreiben. Ein sinnvoller Weg eine Verknüpfung auf G/ H zu definieren, ist das Produkt xy = (ah)(bh) als abh definieren. Die Warnung auf Seite 15 dürfen wir nicht vergessen! Die Elemente a, b sind nicht eindeutig durch die Linksnebenklassen x, y festgelegt. Die Verknüpfung (ah, bh) abh ist nur wohldefiniert falls abh nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt. Konkret seien a, b G mit ah = a H und bh = b H. Dann gilt a = a h und b = b k mit h, k H. Wegen Lemma 1.1 gilt abh = a b H b 1 a 1 ab H (bk 1 ) 1 (ah 1 ) 1 ab H kb 1 ha 1 ab H kb 1 hb H b 1 hb H. (1.3) Wäre G eine abelsche Gruppe, so wäre b 1 hb gleich h H. In diesem Fall wäre die Äquivalenzkette erfüllt. Aber wir wollen uns nicht auf abelsche Gruppen beschränken. Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass b 1 hb wieder in H liegt, falls b G und h H. Wir halten fest: Die oben postulierte Verknüpfung ist im Allgemeinen nicht wohldefiniert. Leider lässt sich, ohne zusätzliche Bedingungen an G und H zu stellen, die Gruppenstruktur nicht auf die Menge der Nebenklassen G/ H fortsetzen. Die Bedingung (1.3) ist jedoch für normale Untergruppen erfüllt. 17

18 1 Gruppen, Quotienten und mehr Definition Sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe H G heißt normal, falls g 1 hg H für alle g G und alle h H. Eine normale Untergruppe nennt man auch Normalteiler und schreibt H G. Beispiel 1.7. (i) Ist die Gruppe G abelsch, so ist jede Untegruppe H von G normal. Dies folgt aus g 1 hg = h für g G und h H. (ii) Sei G eine beliebige Gruppe. Die Untergruppen {e} G und G G sind stets normal. Man nennt sie oft die trivialen Normalteiler. (iii) Es gibt sehr wohl normale Untergruppe von nicht abelschen Gruppen. Sei K ein Körper und n 1. Die Gruppe GL n (K) ist für n 2 nicht abelsch. Die Determinantenabbildung det : GL n (K) K {0} ist wegen det AB = det A det B ein Gruppenhomomorphismus, hierbei ist die Verknüpfung auf K {0} die Multiplikation und das Einselement ist 1 K. Der Kern {A GL n (K); det A = 1} wird mit SL n (K) bezeichnet. Die Untergruppe SL n (K) ist ein Normalteiler von GL n (K). Sei dazu A SL n (K) und B GL n (K). Es gilt det(b 1 AB) = det(b) 1 det(a) det(b) = det(b) 1 det(b) = 1 weil det(a) = 1. Somit folgt B 1 AB SL n (K). (iv) Diese Beispiel verallgemeinert (iii). Seien G und G zwei Gruppen und 1 G das Einselement von G. Sei f : G G ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist Ker(f) ein Normalteiler von G: Aus g G und h Ker(f) folgt f(g 1 hg) = f(g) 1 f(h)f(g) = f(g) 1 f(g) = 1. Also gilt g 1 hg Ker(f). Wir halten fest: Jeder Kern ist ein Normalteiler. Die Umkehrung stimmt auch, und das werden wir jetzt beweisen. Proposition 1.6. Sei G eine Gruppe und H ein Normalteiler. Dann ist (ah)(bh) = abh eine wohldefinierte Verknüpfung (G/ H ) (G/ H ) (G/ H ). Zusammen mit dieser Verknüpfung und H G/ H als Einselement ist G/ H eine Gruppe. Sie wird mit G/H bezeichnet und heißt Quotientengruppe oder Faktorgruppe. Die durch f(a) = ah definierte Abbildung f : G G/H ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern H. Diese Abbildung heißt Quotientenabbildung oder kanonische Abbildung. 18

19 1.2 Äquivalenzrelationen und Quotienten Beweis. Die Äquivalenzkette (1.3) und die Definition von Normalteiler reichen aus, um zu zeigen dass die Verknüpfung wohldefiniert ist. Die Verknüpfung ist assoziativ, da die Verknüpfung auf G assoziativ ist. Die Linksnebenklasse H G/H ist bezüglich dieser Verknüpfung ein linksneutrales Element, da H(aH) = ah. Schließlich braucht jedes Element ein Inverses. Ist ah G/H eine Nebenklasse, so folgt (a 1 H)(aH) = H. Somit sind alle Axiome in der Definition der Gruppe nachgeprüft und wir kommen zu den Aussagen über die Abbildung f : G G/H. Für a, b G gilt f(a)f(b) = (ah)(bh) = abh = f(ab). Also ist f ein Gruppenhomomorphismus. Er ist surjektiv, da jede Linksnebenklasse von der Form ah ist. Schließlich gilt Also ist der Kern genau H. Rechnen wir nun ein paar Beispiele nach. a Ker(f) ah = H a H. Beispiel 1.8. (i) Die trivialen kommen zuerst. Sei G eine beliebige Gruppe mit Einselement 1. Dann ist H = {1} ein Normalteiler von G. Die Quotientenabbildung G G/H ist surjektiv mit trivialem Kern. D.h. sie ist ein Gruppenisomorphismus und G = G/{1}. Falls G = H so ist der Kern der Quotientenabbildung alles und folglich ist G/H die triviale Gruppe. (ii) Betrachten wir die Gruppe Z mit neutralem Element 0. Diese Gruppe ist abelsch, also ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Falls n 1 eine natürliche Zahl ist, so ist nz = {na; a Z} eine Untergruppe. Die Quotientengruppe Z/nZ besteht genau aus den Linksnebenklassen nz, 1 + nz,..., (n 1) + nz, weil sich jede ganze Zahl k Z eindeutig in der Form k = r + n q mit r {0,..., n 1} und q Z schreiben lässt (Division mit Rest). Somit ist Z/nZ eine endliche Gruppe der Ordnung n. (iii) Wie wir gesehen haben, ist SL n (K) ein Normalteiler von GL n (K) für jeden Körper K. Die spezielle Lineare Gruppe ist der Kern der Determinantenabbildung. Aber wie können wir den Quotienten GL n (K)/SL n (K) verstehen? Diesen und viele weitere Quotienten werden wir im nächsten Abschnitt verstehen. Bemerkung. (i) Bis jetzt haben wir noch kein einziges Beispiel einer Gruppe G zusammen und einer Untergruppe H gesehen, so dass H kein Normalteiler von G ist. Leider existiert diese Situation. Ein Beispiel taucht in den Übungen auf. 19

20 1 Gruppen, Quotienten und mehr (ii) Auch wenn es Untergruppen gibt, die keine Normalteiler sind, kann man sich fragen, ob Gruppen existieren, die keine nicht trivialen Normalteiler besitzen. 2 Implizit kennen wir solche schon! Sei p eine Primzahl. Die Gruppe Z/pZ (oder C p ) hat genau p Elemente. In Abschnitt 1.4 werden wir sehen, dass das auch die einzige (bis auf Isomorphie) Gruppe der Ordnung p ist. Sei H Z/pZ eine beliebige Untergruppe. Wegen dem Satz von Lagrange teilt #H die Gruppenordnung p. Also ist H = {0} oder H = Z/pZ. Somit hat Z/pZ nur die trivialen Untergruppen. Es gibt insbesondere nur triviale Normalteiler! Definition Eine nicht triviale Gruppe heißt einfach, falls sie neben den trivialen Normalteilern keine weiteren besitzt. Es drängt sich geradezu eine Analogie zwischen Primzahlen und einfache Gruppen auf: beide besitzen nur triviale Teiler (in einem geeigneten Sinn). Weiterhin liefern Primzahlen Beispiele von einfachen Gruppen. Aber Gruppen sind in dieser Hinsicht vielleicht sogar interessanter. Es gibt durchaus einfache endliche Gruppen, die nicht von der Form Z/pZ sind. Bemerkung. Die kleinste endliche einfache Gruppe, deren Ordnung keine Primzahl ist, ist A 5 = {σ S 5 ; sign(σ) = 1}, die alternierende Gruppe. Sie besitzt 60 Elemente. Wir werden dies im Laufe des Semesters beweisen. Es gibt weitere endliche einfache Gruppen neben Z/pZ und A 5. In den 1980er Jahren wurden sie alle klassifiziert. Der Beweis ist eines der größten Projekte in der Mathematik insgesamt und umfasst ca Seiten. Ein wichtiger Beitrag lieferte Bernd Fischer (Ph.D. Uni Frankfurt). Er vermutete in den 1970er die Existenz der Monster Gruppe M. Das sollte die größte sporadische endliche einfache Gruppe sein. Griess hat dann in 1983 ihre Existenz bewiesen. Sie hat Elemente. #M = Homomorphiesatz und Isomorphiesätze Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Der folgende Satz charakteristiert die Faktorgruppe G/N. In der Tat kann man zeigen, dass dadurch die Faktorgruppe G/N bis auf eindeutige Isomorphie bestimmt ist. Daher spricht man auch von der universellen Eigenschaft der Faktorgruppe G/N. Satz 2 (Homomorphiesatz / universelle Eigenschaft der Faktorgruppe). Sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler von G und f : G G ein Gruppenhomomorphismus mit N Ker(φ). Dann existiert ein eindeutiger Gruppenhomomorphismus f : G/N G 2 Zur Erinnerung: {e} und G sind immer (triviale) Normalteiler. Aber wenn man sie rausteilt, erhält man nichts neues. 20

21 1.3 Homomorphiesatz und Isomorphiesätze mit f = f π, wobei π : G G/N die Quotientenabbildung bezeichnet. Insbesondere kommutiert das Diagramm Quotientenabb. G f f G/N Beweis. Wir wollen einen Homomorphismus f : G/N G definieren. Jedes Element von G/N ist eine Nebenklasse gn mit g G. Das einfachste ist nun, G f(gn) = f(g) (1.4) zu definieren. Dieser Ansatz wird auch erfolgreich sein. Zuerst müssen wir aber überprüfen, dass (1.4) wohldefiniert ist. Wir erinnern uns: die Nebenklasse gn kann durchaus mehrere Repräsentanten besitzen. Das heißt, es kann passieren, dass g 1 N = g 2 N für ein zweites g 2 G, wobei g 1 g 2. Trotzdem darf die rechte Seite von (1.4) nicht von der Wahl von g 1 abhängen. Wir müssen also beweisen, dass f(g 1 ) = f(g 2 ) gilt, falls g 1 N = g 2 N. Setzen wir g 1 N = g 2 N voraus, so muss es n N geben mit g 1 = g 2 n. Jetzt berechnen wir f(g 1 ) = f(g 2 n) }{{} = f ist ein Gruppenhomomorphismus f(g 2 )f(n) }{{} = n N Ker(f) f(g 2 ). Somit hängt f(gn) = f(g) nicht von der Wahl eines Repräsentanten g von gn ab und f : G/N G ist eine wohldefinierte Abbildung. Jetzt weisen wir nach, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist. Das Produkt zweier g 1 N, g 2 N G/N ist g 1 g 2 N G/N. Daraus folgt die erste Gleichheit in f(g 1 Ng 2 N) = f(g 1 g 2 N) = }{{} Def. von f f(g 1 g 2 ) }{{} = f(g 1 )f(g 2 ) }{{} = f ist ein Gruppenhom. Def. von f f(g 1 N) f(g 2 N). Aus dieser Gleichungskette folgt, dass f : G/N G ein Gruppenhomomorphismus ist. Nach Gleichung (1.4) gilt f = f π. Zudem ist f eindeutig, da jedes f mit f = f π die Gleichung (1.4), die wir zur Definition von f verwendet haben, erfüllen muss. Korollar 1.7. Ist f : G G ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus G/Ker(f) = G. Beweis. Wir wenden Satz 2 auf den Normalteiler N := Ker(f) an und erhalten einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus f : G/N G, der durch f(gn) := f(g) definiert ist. 21

22 1 Gruppen, Quotienten und mehr Dieser Gruppenhomomorphismus ist surjektiv, denn aus der Surjektivität von f folgt, dass es zu beliebigem g G ein g G mit f(g) = g gibt. Aber damit erfüllt g auch f(gn) = f(g) = g. Wir weisen noch nach, dass f injektiv ist. Dazu reicht es wegen Lemma 1.3 zu zeigen, dass Ker( f) aus dem Einselement von G/N besteht. Sei also gn G/N mit f(gn) = 1, das Einselement von G. Wir erhalten f(g) = 1 und damit g Ker(f) = N. Aber dann ist gn = N das Einselement von G/N und damit ist bewiesen, dass f injektiv ist. Somit ist f ein bijektiver Gruppenhomomorphismus und nach Lemma 1.4 ein Isomorphismus. Beispiel 1.9. (i) Vor dem Beweis des Homomorphiesatzes haben wir uns gefragt, wie wir die Gruppe GL n (K)/SL n (K) verstehen können. Nun SL n (K) ist Kern der Determinantenabbildung det : GL n (K) K {0}. Die Determinantenabbildung ist surjektiv, da x 1 det... = x 1 für alle x K {0}. Korollar 1.7 impliziert GL n (K)/SL n (K) = K {0}. (ii) Hier ist ein weiteres Beispiel mit der Exponentialfunktion exp : C C {0}. Wie oben betrachten wir C als die additive Gruppe der komplexen Zahlen und C {0} als die multiplikative Gruppe. Da Ker(exp) = 2πiZ folgt C/2πiZ = C {0}. (iii) Sei diesmal S 1 = {z C {0}; z = 1} der Einheitskreis. Für komplexe Zahlen z 1, z 2 gilt z 1 z 2 = z 1 z 2. Also ist S 1 eine Untergruppe von C {0}. Wir definieren eine Abbildung f : R S 1 durch f(t) = exp(2πit). Es ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen R mit der Addition und S 1. Die Abbildung ist auch surjektiv. Aus der Analysis ist bekannt (oder wird noch bewiesen...), dass exp(z) = 1 = z = 2πim für ein m Z gilt. Somit ist der Kern von f genau Z. Folglich gilt R/Z = S 1, die zwei Gruppen sind isomorph. (iv) Wir haben weiter oben auf Seite 7 für festes n 1 die Gruppe C n = {e 2πik/n ; k Z} eingeführt. Jetzt betrachten wir die Abbildung f : Z C n die durch f(k) = e 2πik/n definiert ist. Man rechnet mittels Eigenschaften der Exponentialfunktion leicht nach, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist: f(k + k ) = e 2πi(k+k )/n = e 2πik/n e 2πik /n = f(k)f(k ). 22

23 1.3 Homomorphiesatz und Isomorphiesätze Aus der Definition von C n ist ersichtlich, dass f surjektiv ist. Was ist der Kern von f? Es sind alle ganzen Zahlen k Z mit e 2πik/n = 1, also nach obiger Beschreibung des Kerns der Exponentialfunktion genau alle ganzen Zahlen in nz. Korollar 1.7 impliziert nun, dass isomorphe Gruppen sind. Z/nZ und C n Wir beweisen nun als Anwendung des Homomorphiesatzes die beiden Isomorphiesätze für Gruppen. Satz 3 (1. Isomorphiesatz). Sei G eine Gruppe, H G eine Untergruppe und N G ein Normalteiler. Dann ist HN := {h n; h H, n N} eine Untergruppe von G mit Normalteiler N und H N ein Normalteiler von H. Außerdem gibt es einen kanonischen Isomorphismus H/H N = HN/N. Beweis. Wir weisen zunächst die Untergruppeneigenschaften für HN G nach: (i) Das Einselement 1 = 1 1 liegt in HN. (ii) Falls h 1 n 1, h 2 n 2 mit h 1, h 2 H und n 1, n 2 N in HN liegen, ist (h 1 n 1 )(h 2 n 2 ) = (h 1 h 2 )((h 1 2 n 1h 2 )n 2 ) ebenfalls ein Element von HN, da H und N Untergruppen sind und h 1 2 n 1h 2 wegen der Normalteilereigenschaft in N liegt. (iii) Für hn HN mit h H und n N liegt (hn) 1 = h 1 (hn 1 h 1 ) in HN, weil hn 1 h 1 wiederum wegen der Normalteilereigenschaft ein Element von N ist. Somit ist HN eine Untergruppe von G. Wir betrachten nun die Verknüpfung φ : H HN π HN/N, wobei π die Quotientenabbildung bezeichnet. Die Verknüpfung φ ist ein Homomorphismus mit Kern H N. Daher ist H N als Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler von HN. Zudem ist φ surjektiv, denn für hnn HN/N mit h H und n N gilt hnn = hn = φ(h). Korollar 1.7 impliziert daher die Existenz eines kanonischen Isomorphismus H/H N = HN/N. 23

24 1 Gruppen, Quotienten und mehr Satz 4 (2. Isomorphiesatz). Sei G eine Gruppe und seien N, H Normalteiler von G mit N H G. Dann ist N auch ein Normalteiler von H und H/N kann als Normalteiler von G/N aufgefasst werden. Es gibt zudem einen kanonischen Isomorphismus (G/N)/(H/N) = G/H. Beweis. Weil N ein Normalteiler von G ist, ist N klarerweise auch ein Normalteiler von der Untergruppe H. Als nächstes machen wir uns klar, dass H/N als Untergruppe von G/N aufgefasst werden kann. Dazu betrachten wir den Gruppenhomomorphismus φ : H G π G/N, wobei π die Quotientenabbildung bezeichnet. Der Kern von φ ist N. Daher induziert φ nach Korollar 1.7 einen kanonischen Isomorphismus H/N = Bild(φ) G/N. Wir können also H/N mit der Untergruppe Bild(φ) von G/N identifizieren. Nun wenden wir den Homomorphiesatz auf die Quotientenabbildung G G/H und den Normalteiler N an, der im Kern H dieser Quotientenabbildung enthalten ist. Der Homomorphiesatz liefert einen surjektiven Homomorphismus f : G/N G/H gn gh. Ein Element gn G/N liegt genau dann im Kern von f, wenn g in H liegt. Dies ist genau dann der Fall, wenn gn im Bild von φ liegt, das wir gerade mit H/N identifiziert haben. Der Kern von f ist also gleich H/N. Insbesondere ist H/N ein Normalteiler von G/N und eine weitere Anwendung von Korollar 1.7 ergibt einen kanonischen Isomorphismus (G/N)/(H/N) = G/H. 1.4 Zyklische Gruppen Sei G eine Gruppe und g G ein Gruppenelement. Die Teilmenge g := {g n ; n Z} G ist eine Untergruppe. Denn per Definition ist g 0 das Einselement 1 von G. Weiterhin gilt g n g m = g n+m g und (g n ) 1 = g n g für m, n Z. Somit sind alle Eigenschaften einer Untergruppe erfüllt. Da es sich um die kleinste Untergruppe von G handelt, die g enthält, sprechen wir von der von g erzeugten Untergruppe. In diesem Abschnitt interessieren wir uns für den Fall, dass ganz G von einem einzigen Gruppenelement erzeugt wird. Definition Eine Gruppe G heißt zyklisch, falls es ein g G gibt mit G = g. Wir haben bereits die Gruppen Z und Z/nZ für n 1 angetroffen. Beide sind zyklisch, denn es gilt Z = 1, da jede ganze Zahl ein ganzzahliges Vielfaches von 1 ist, und ebenso Z/nZ = 1 + nz. Der folgende Satz zeigt, dass das bis auf Isomorphie bereits alle zyklischen Gruppen sind. 24

25 1.4 Zyklische Gruppen Proposition 1.8. Sei G eine zyklische Gruppe. Dann gilt { G Z, falls #G =, = Z/nZ, falls #G = n <. Beweis. Da G zyklisch ist, können wir G = g für ein g G schreiben. Daher ist der Gruppenhomomorphismus Z G f : n g n surjektiv. Nach Korollar 1.7 gilt also G = Z/Ker(f). Der Satz folgt somit aus der Beschreibung der Untergruppen von Z im folgenden Lemma. Lemma 1.9. Sei H Z eine Untergruppe. Dann existiert ein n 0 mit H = nz. Insbesondere ist H zyklisch. Beweis. Im Fall H = {0} stimmt die Aussage mit n = 0. Wir können also H {0} annehmen. Da die (additiven) inversen Elemente von Elementen in H auch in H liegen, gibt es dann positive Elemente in H. Sei n 1 das kleinste positive Element in H. Wegen der Untergruppeneigenschaft gilt nz H. Umgekehrt lässt sich ein beliebiges h H eindeutig in der Form h = nq + r mit q Z und r {0,..., n 1} schreiben. Weil H ein Untergruppe ist, liegt r = h nq in H. Wegen der Minimalität von n folgt daraus r = 0 und somit h nz. Insgesamt gilt also H = nz und die Untergruppe H ist zyklisch, da sie von n erzeugt wird. Proposition Untergruppen und homomorphe Bilder von zyklischen Gruppen sind ebenfalls zyklisch. Beweis. Sei zunächst f : G G ein surjektiver Gruppenhomomorphimus, wobei G zyklisch ist. Dann gilt G = g für ein g G und somit G = f(g) = {f(g n ); n Z} = {f(g) n ; n Z} = f(g). Das homomorphe Bild G von G ist also ebenfalls zyklisch. Sei jetzt H eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe G. Nach dem Beweis von Proposition 1.8 gibt es einen surjektiven Homomorphismus f : Z G. Das Urbild f 1 (H) von H unter f ist eine Untergruppe von Z, denn es sind alle Eigenschaften einer Untergruppe erfüllt: (i) Es gilt f(0) = 1 H und somit 0 f 1 (H), (ii) für n, m f 1 (H) gilt f(n + m) = f(n)f(m) H, also n + m f 1 (H), (iii) für n f 1 (H) ist f( n) = f(n) 1 H, also liegt n in f 1 (H). Nach dem vorhergehenden Lemma ist daher f 1 (H) zyklisch. Die Untergruppe H ist also ein homomorphes Bild der zyklischen Gruppe f 1 (H). Nach dem bereits bewiesenen Teil der Proposition ist H somit zyklisch. 25

26 1 Gruppen, Quotienten und mehr Jetzt kehren wir zu zyklischen Untergruppen von beliebigen Gruppen zurück. Definition Sei G eine Gruppe und g G ein Gruppenelement. Die Ordnung der von g erzeugten zyklischen Untergruppe g nennt man Ordnung von g und wird als ord g bezeichnet. Bemerkung. (i) Ist ord g = n <, so hat nach dem Beweis von Proposition 1.8 der Homomorphismus Z g, k g k den Kern nz. Daher ist n = ord g die kleinste positive natürliche Zahl mit g n = 1 und g besteht genau aus den Elementen {1, g,..., g n 1 }. (ii) Ist die Ordnung einer Gruppe G endlich, so teilt die Ordnung jedes Elements a G die Gruppenordnung #G. Dies ist eine Konsequenz aus dem Satz von Lagrange. Eine Konsequenz der letzteren Bemerkung ist die folgende Proposition. Proposition Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p. Dann ist G zyklisch. Insbesondere ist G isomorph zu Z/pZ. Man sagt auch, dass es bis auf Isomorphie nur eine Gruppe der Ordnung p gibt. Beweis. Wähle zunächst ein a G mit a nicht das Einselement. Dann ist a eine Untergruppe von G mit mindestens zwei Elementen. Wir wissen, dass # a die Ordnung #G teilt. Aber die Primzahl p hat nur 1 und p als Teiler. Somit folgt G = a. Die Gruppe G ist also zyklisch und nach Proposition 1.8 isomorph zu Z/pZ. Beispiel Gegeben sei eine endliche Menge G. Es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für eine Verknüpfungsabbildung G G G. In der Regel führen die meisten Verknüpfungsabbildungen zu keiner Gruppe. Dennoch sehen wir, dass es nur endlich viele Gruppen einer fixen und endlichen Ordnung gibt. Wir definieren die Folge γ n = Anzahl Gruppen der Gruppen der Ordnung n bis auf Isomorphie. Ist n = p eine Primzahl, so gilt nach der Proposition γ p = 1, z.b. γ 257 = 1. Hingegen ist bekannt, dass γ 256 = (das ist nicht leicht zu beweisen!). Die Folge γ 1, γ 2,... ist sprunghaft und die Glieder sind nicht einfach zu berechnen. 1.5 Das Produkt zweier Gruppen Aus einer vorhandene Gruppe G kann man für jeden Normalteiler H G eine neue Gruppe G/H konstruieren. Es gibt auch eine Methode, um aus zwei Gruppen G und G eine dritte G G zu konstruieren. Im diesem Abschnitt werder wir diese Produkt einführen. Wir werden mit diesem Begriff damit einige kleine Gruppen klassifizieren können. Die zugrundeliegende Menge des Produkts ist das kartesische Produkt: G G = {(a, a ); a G und a G }. 26

27 1.5 Das Produkt zweier Gruppen Wir verknüpfen zwei Elemente (a, a ), (b, b ) G G komponentenweise (a, a )(b, b ) = (a G b, a G b ), hier stehen G und G für die Verknüpfung auf G und G. Sei e das neutrale Element von G und e das neutrale Element von G. Das neutrale Elemente von G G wird (e, e ) sein: (e, e )(a, a ) = (e G a, e G a ) = (a, a ). Schließlich müssen wir noch zeigen, dass (a, a ) ein Inverses besitzt. Der naheliegenste Kandidat ist auch der richtige: (a 1, a 1 )(a, a ) = (e, e ). Definition Seien G und G zwei Gruppen. Dann ist das Produkt G G mit der oben definierte Verknüpfung und neutralem Element eine Gruppe. Beispiel (i) Die Gruppenstruktur auf R R = R 2, ist uns schon lange bekannt (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Ganz analog werden zwei Elemente in R 3, R 4,... verknüpft. (ii) Sind G und G abelsche Gruppen, so ist auch das Produkt G G abelsch. Sind G und G endlich, so hat G G genau #G #G Elemente. (iii) Die Gruppe Z/2Z Z/3Z ist abelsch und hat Ordnung 6. Erstaunlicherweise lässt sich das Produkt vereinfachen : die Gruppe ist zu Z/6Z isomorph. Um das zu beweisen, betrachten wir das Element a = (1 + 2Z, 1 + 3Z) Z/2Z Z/3Z. Die Ordnung N von a ist ein Teiler von 6. Das heißt N = 1, 2, 3, oder 6. Wir überprüfen durch eine kurze Rechnung, dass 2a = (2Z, 2 + 3Z) 0 und 3a = (1 + 2Z, 3Z) 0. Wegen a 0 ist also N = 6. Daraus folgt a = Z/2Z Z/3Z. Inbesondere ist G eine zyklische Gruppe der Ordnung 6. Nach Proposition 1.8 ist darum G zu Z/6Z isomorph. (iv) Die Gruppe Z/2Z Z/2Z ist abelsch und hat vier Elemente. Sie ist nicht zur zyklischen Gruppe Z/4Z isomorph. Der Beweis geht wie folgt. Wären Z/2Z Z/2Z und Z/4Z isomorph, so gäbe es ein Element in Z/2Z Z/2Z der Ordnung vier. Aber jedes Element in diesem Produkt hat Ordnung höchstens zwei: 2(a, a ) = (2a, 2a ) = 0 für (a, a ) Z/2Z Z/2Z. 27

28 1 Gruppen, Quotienten und mehr Das Produkt ermöglicht es uns, eine Fülle an endlichen abelschen Gruppen zu konstruieren. Gegeben seien natürliche Zahlen (d.h. 1) n 1, n 2,..., n N. Dann ist Z/n 1 Z Z/n 2 Z Z/n N Z (1.5) eine endliche abelsche Gruppe der Kardinalität n 1 n 2... n N. Wir werden jetzt alle Gruppen der Ordnung vier klassifizieren. Proposition Jede Gruppe der Ordnung vier ist zu Z/4Z oder zu Z/2Z Z/2Z isomorph. Weiterhin sind diese zwei Gruppen nicht isomorph. Beweis. Sehr bald. Der Beweis ist nicht schwierig. Wir werden zwei Aussage benutzen, die nützliche Verallgemeinerungen haben. Die erste Aussage betrifft folgende natürliche Frage: wann lässt sich eine Gruppe als Produkt von zwei Gruppen schreiben? Proposition Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e und H, K Normalteiler von G mit H K = {e}. (i) Die Menge HK = {ab; a H und b K} ist eine Untergruppe von G. (ii) Die Untergruppe HK ist zu H K isomorph. Gilt also HK = G, so sind H K und G isomorph. Beweis. Wir definieren eine Abbildung f : H K G durch f(a, b) = ab. Das Bild von f ist genau HK. Es ist a priori nicht offensichtlich, dass f überhaupt ein Gruppenhomomorphismus ist. Um das zu beweisen, benötigen wir, dass H und K Normalteiler sind. Seien a H und b K. Wir betrachten das Produkt (b 1 a 1 b)a = b 1 (a 1 ba). (1.6) Da H ein Normalteiler von G ist, folgt b 1 a 1 b H. Wegen a H liegt (1.6) in H. Ganz analog benützen wir die Tatsache, dass K ein Normalteiler ist, um a 1 ba K zu schließen. Daraus ergibt sich, dass (1.6) ebenfalls Element von K ist. Wir erhalten also (b 1 a 1 b)a H K. Die Voraussetzung H K = {e} ergibt b 1 a 1 ba = e, also ba = ab. 3 Nun können zeigen, dass f ein Homomorphismus ist. Für (a, b), (a, b ) H K gilt f((a, b)(a, b )) = f(aa, bb ) = (aa )(bb ) = a(a b)b s.o. = a(ba )b = f(a, b)f(a, b ). 3 Achtung! Es folgt nicht, dass G kommutativ ist. Wir haben nur gezeigt, dass Elemente aus H mit Elementen aus K kommutieren. 28

29 1.6 Gruppenoperationen Es gilt HK = Bild(f) und weiterhin ist das Bild jedes Gruppenhomomorphismus eine Untergruppe der Zielgruppe. Also ist HK eine Untergruppe von G und Teil (i) ist bewiesen. Wir zeigen nun, dass f injektiv ist. Wegen Lemma 1.3 reicht es zu zeigen, dass Ker(f) trivial ist. Sei dazu (a, b) Ker(f). Also ab = e, oder a = b 1. Dann gilt a, b 1 H K. Aber dieser Schnitt ist trivial wegen unserer Voraussetzung. Also folgt (a, b) = (e, e) und daraus erhalten wir Ker(f) = {(e, e)}. Also definiert f einen Gruppenisomorphismus zwischen H K und HK. Falls HK = G, so sind H K und G isomorphe Gruppen. Hieraus folgt Aussage (ii). Für unsere Klassifikation von Gruppen der Ordnung vier benötigen wir noch folgende allgemeine Aussage. Lemma Sei G eine beliebige Gruppe mit neutralem Element e und a 2 = e für jedes a G. Dann ist G abelsch. Beweis. Für a, b G gilt e = (ab) 2 = abab und a 1 = a sowie b 1 = b. Wir folgern a = a 1 = bab und ebenso ba = b 1 a = ab. Beweis von Proposition Wir haben schon bewiesen, dass die zwei Gruppen in der Behauptung nicht isomorph sind. Es reicht also zu zeigen, dass jede Gruppe G der Ordnung vier zu Z/4Z oder zu Z/2Z Z/2Z isomorph ist. Falls G ein Element a der Ordnung vier besitzt, dann ist G wegen Übungsserie 3 zu Z/4Z isomorph. Wir nehmen nun an, dass G kein Element der Ordnung vier besitzt. Jedes a G hat also Ordnung 1 oder 2, da die Ordnung jedes a G die Gruppenordnung teil muss. Es folgt a 2 = 1 für alle a G. Also ist G abelsch wegen dem Lemma. Wir wählen nun a G mit a e und b G {a, e}. Beachte, dass e, a, b, ab verschiedene Elemente sind, d.h. G = {e, a, b, ab}. Die Untergruppen H = a und K = b haben beide Ordnung zwei. Da G abelsch ist, sind sie Normalteiler von G. Es gilt weiterhin H K = {e} und HK = G. Wegen Proposition 1.13 haben wir G = H K. Es gibt bis auf Isomorphie nur eine Gruppe der Ordnung 2, also H = Z/2Z = K. 1.6 Gruppenoperationen Wir beginnen mit einem geometrischen Beispiel, welches Gruppenoperationen motiviert. Beispiel Sei O 2 (R) = {A GL 2 (R); AA t = E} die Menge aller orthogonaler Matrizen. Man überprüft leicht, dass O 2 (R) eine Untergruppe von GL 2 (R) ist. Diese Gruppe enthält das Element ( ) 1 0 S =,

30 1 Gruppen, Quotienten und mehr welches eine Spiegelung der Ebene an der x-achse repräsentiert. Wegen Sinus- und Kosinusadditionstheoreme ist für jedes θ R die Drehmatrix ( ) cos θ sin θ D θ = sin θ cos θ in O 2 (R). Umgekehrt wird in der Geometrie bewiesen, dass jedes Element aus O 2 (R) entweder von der Form D θ oder von der Form SD θ ist mit 0 θ < 2π. Weiterhin ist keine Matrix sowohl ein D θ wie auch ein SD θ, weil die Determinante im ersten Fall +1 ist und im zweiten Fall 1. Jedes Element der Gruppe O 2 (R) ist also eine Drehung oder eine Drehung gefolgt von einer Spiegelung. Die Drehungen bilden genau die spezielle orthogonale Gruppe SO 2 (R) = {A O 2 (R); det A = 1}. Ein kurzes Matrizenprodukt zusammen mit cos( θ) = cos θ und sin( θ) = sin θ liefert ( ) cos θ sin θ SD θ = = D sin θ cos θ θ S = D 1 θ S. (1.7) Betrachten wir ein Quadrat in der Ebene mit den Eckpunkten (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1), (1, 1). Die Matrix D π/6 entspricht einer Drehung um 30 Grad. Das Bild von unter D π/6 ist also ein um 30 Grad gedrehtes Quadrat. Spiegeln wir, so passiert nichts: S =. Spiegeln wir D π/6, so erhalten wir ein um 30 Grad gedrehtes Quadrat: SD π/6 = D π/6 S = D π/6. Sei nun X die Menge aller Quadrate mit Seitenlänge 2, Mittelpunkt bei (0, 0), die aber möglicherweise gedreht sind. Ist x ein beliebiges gedrehtes Quadrat, so ist Ax X für jedes A O 2 (R). Wegen (1.7) müssen wir uns nicht um Spiegelungen kümmern. Dies ist der Archetyp einer Gruppenoperation. Es folgt nun die formale Definition. Definition Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e und X eine Menge. Eine Gruppenoperation (präziser: Linksgruppenoperation) ist eine Verknüpfung : G X X mit den folgenden Eigenschaften. (N) Für x X gilt e x = x. [Neutrales Element] (A) Falls a, b G und x X so gilt (a (b x)) = (ab) x. [Assoziativität] Man sagt, dass G (vermöge ) auf X operiert. Bemerkung. Zu Beginn werden wir noch explizit angeben, um es von anderen Verknüpfungen (wie der Gruppenverknüpfung auf G) zu unterscheiden. Mit der Zeit werden wir aber weglassen. D.h. wir nutzen oft die Kurzschreibweise a x = ax. Führt man auf die Kurzschreibweise für das Produkt ab zweier Element a, b G ein, so soll man sich bewusst sein, dass in ab und ax zwei gänzlich verschiedene Verknüpfungen agieren. 30

31 1.6 Gruppenoperationen Beispiel (i) Im Beispiel oben ist G = O 2 (R) und X die Menge aller Quadrate mit Seitenlänge 2 in der Ebene, 0 als Mittelpunkt besitzen. Dass es sich um eine Gruppenoperation handelt, folgt aus E = für die Einsmatrix E O 2 (R) und wegen (AB) = A(B ) für alle A, B O 2 (R). (ii) Sei G eine Gruppe und X eine beliebige Menge. Wie immer gibt es ein triviales Beispiel. Die Verknüpfung definiert eine Gruppenoperation. a x = x für alle a G und x X (iii) Die Verknüpfungsabbildung einer Gruppe G G G definiert eine Gruppenoperation von G auf sich selbst (d.h. X = G). Explizit a x = ax wobei a G und x G. Eigenschaft (i) folgt aus der analogen Eigenschaft des neutralen Elements aus der Definition einer Gruppe. Eigenschaft (ii) ist genau das Assoziativgesetz auf G. Diese Operation heißt auch Operation durch Linksmultiplikation von G auf sich selbst. (iv) Kommen wir zu einem konkreten Beispiel. Hier ist G = SL 2 (Z) die Gruppe der ganzzahligen 2 2 Matrizen mit Determinante 1. D.h. SL 2 (Z) = {A Mat 2 (Z); det(a) = 1}. Als Menge X nehmen wir die sogenannte obere Halbebene X = H = {z C; Imag(z) > 0}. 4 Wir definieren eine Verknüpfung SL 2 (Z) H H wie folgt. Für z H und ( ) a b A = SL c d 2 (Z) setzen wir Az = az + b cz + d. Man beachte, dass cz + d 0 da Imag(z) > 0 und weil c und d nicht beide Null sein können. D.h. wir dividieren nie durch 0. Um zu zeigen, dass diese Verknüpfung eine Gruppenoperation auf H definiert, müssen wir zunächst nachweisen, dass Az H. Dies folgt aus einer kleinen Rechnung Imag(Az) = Imag( az + b cz + d cz + d cz + d ) = + bd + adz + bcz Imag(ac z 2 cz + d 2 ) adimag(z) + bcimag(z) ad bc Imag(z) = cz + d 2 = Imag(z) = cz + d 2 cz + d 2. 4 Diese wird oft mit H bezeichnet. 31

32 1 Gruppen, Quotienten und mehr Wegen z H gilt Imag(z) > 0. Der Nenner im letzen Ausdruck rechts ist ebenfalls positiv. Es folgt also Imag(Az) > 0 und somit Az H. Wir haben also eine Verknüpfung SL 2 (Z) H H. Eigenschaft (i) der Gruppenoperation folgt aus ( ) 1 0 z = 1z z + 1 = z. Eigenschaft (ii), d.h. Assoziativität, zeigt man durch direktes Ausrechnen. (v) Wir kommen zu einem abstrakten Beispiel. Sei G eine beliebige Gruppe und H eine Untergruppe von G. Die Menge der Linksnebenklassen von H in G ist G/ H = {ah; a G}. Die Gruppe G operiert auf G/ H wie folgt. Sei x G/ H eine Linksnebenklasse und b G. Wir setzen b x = bx G/ H. Ist a ein Repräsentant von x, d.h. x = ah so gilt b x = (ba)h. Diese Linksnebenklasse ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten a. Die zwei Eigenschaften der Gruppenoperation (i) und (ii) folgen unmittelbar aus Eigenschaft des neutralen Elements von G und aus dem Assoziativgesetz. (vi) Sei G wieder eine beliebige Gruppe. In Beispiel (iii) haben wir gesehen, dass G durch Linksmultiplikation auf sich selbst operiert. Es gibt aber eine weitere Operation von G auf sich selbst, die ebenso wichtig ist. Sei a G und x G. Wir setzen Ist e das neutrale Element von G, so gilt Ist b G, dann gilt a x = axa 1 G. e x = exe 1 = x. (ab) x = (ab)x(ab) 1 = a(bxb 1 )a 1 = a(b x)a 1 = a (b x). Also ist eine Gruppenoperation. Definition Die in Beispiel (vi) eingeführte Gruppenoperation heißt Konjugationsoperation auf G. Bemerkung. Sei G eine kommutative Gruppe. Dann gilt axa 1 = x für alle a, x G. Die Konjugationsoperation ist in diesem Fall trivial. Bemerkung. Wir werden die Verknüpfung in der Gruppenoperation oft ganz weglassen. 32

33 1.6 Gruppenoperationen Zur Erinnerung (aus der LA). Ist X eine beliebige Menge und ist f : X X eine bijektive Selbstabbildung, so ist f invertierbar. Die Umkehrabbildung f 1 : X X ist eine bijektive Selbstabbildung. Die Menge S(X) = {f : X X; f bijektiv} mit der Verkettung zweier Funktionen als Verknüpfung ist eine Gruppe mit neutralem Element id X (die Identitätsabbildung). Diese Gruppe wird symmetrische Gruppe von X genannt. Eine Gruppenoperation von G auf X ist nichts anderes, als ein Gruppenhomomorphismus G S(X). Proposition Sei G eine Gruppe und X eine Menge auf die G operiert. Für festes a G ist die Zuordnung f a (x) = ax eine Bijektion f a : X X, d.h. f a S(X). Weiterhin definiert die Abbildung einen Gruppenhomomorphismus ψ(a) = f a ψ : G S(X). Beweis. Sei e das neutrale Element von G. Wir wollen zuerst zeigen, dass f a injektiv ist. Falls f a (x) = f a (y) mit x, y G, so gilt ax = ay. Also a 1 (ax) = a 1 (ay) und somit ex = ey wegen (i) in der Definition der Gruppenoperation. Wir erhalten x = y aus (ii). Also ist f a injektiv. Nun beweisen wir, dass f a auch surjektiv ist. Sei dazu y X beliebig. Wir definieren x = a 1 y. Dann ist f a (x) = f a (a 1 y) = a(a 1 y) = (aa 1 )y = ey = y. Wir haben also f a S(X) bewiesen. Jetzt müssen wir noch beweisen, dass ψ ein Homomorphismus ist. Seien dazu a, b G. Für x X haben wir f ab (x) = (ab)x = a(bx) = f a (f b (x)). Daraus folgt was zu beweisen war. ψ(ab) = f ab = f a f b = ψ(a)ψ(b), Das nächste erstaunliche Korollar sagt aus, dass jede endliche Gruppe Untergruppe einer symmetrischen Gruppe S n ist. Korollar 1.16 (Satz von Cayley). Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n. Dann ist G zu einer Untergruppe von S n isomorph. Beweis. Wir haben G = {a 1, a 2,..., a n }. Indem wir jedes Element aus G mit einer natürlichen Zahl in {1,..., n} identifizieren, können wir S(G) mit S n gleichsetzen. Wir lassen nun G auf sich selbst (d.h. X = G) durch Linksmultiplikation operieren wie in Beispiel (iii) auf Seite 31. Linksmultiplikation auf G durch ein a i permutiert die Menge der {a 1,..., a n }. Dies ist genau die Aussage von Proposition Durch unsere Identifikation von oben erhalten wir also einen Gruppenhomomorphismus ψ : G S(G) = S n. 33

34 1 Gruppen, Quotienten und mehr Wir zeigen nun, dass ψ injektiv ist. Sei also a G mit ψ(a) die Identitätsabbildung. Per Definition gilt also f a (x) = x für alle x G. Insbesondere also auch f a (e) = e für e G das neutrale Element. Wir haben aber f a (e) = ae = a und somit gilt a = e. Da ψ injektiv ist, definiert ψ einen bijektiven Gruppenhomomorphismus von G nach ψ(g) S n. Dieser ist ein Isomorphismus nach Lemma 1.4. Somit ist G isomorph zu der Untergruppe ψ(g) von S n. Somit weiß man alles über endliche Gruppen, sobald man die S n vollständig versteht! Dies scheint eine sehr starke Aussage zu sein. Man muss sie mit Vorsicht geniessen. Die Kardinalität von S n ist n! und somit exponentiell größer als die Kardinalität von G. Das Korollar macht das Studium von endlichen Gruppen leider nicht viel leichter. Definition Sei G eine Gruppe die auf einer Menge X operiert. Die Bahn eines Elements x X ist die Teilmenge Der Stabilisator von x X ist Bahn(x) = Gx = {ax; a G}. Stab(x) = {a G; ax = x}. Lemma Der Stabilisator Stab(x) ist stets eine Untergruppe von G. Beweis. Ist e das neutrale Element von G, so gilt ex = x, hieraus folgt Eigenschaft (N) der Definition einer Untergruppe. Also e Stab(x). Für g, h Stab(x) überprüft man sofort, dass (gh)x = g(hx) = gx = x und daher gh Stab(x). Aus gx = x folgt x = g 1 x und daher g 1 Stab(x). Damit sind (P) und (I) erfüllt. Beispiel (i) Sei G = O 2 (R) und X die Menge aller Quadrate wie zu Beginn dieses Abschnitts. Jedes Quadrate in X ist per Definition von der Gestalt D θ für ein θ R. Deshalb ist die Bahn von die ganze Menge X. Der Stabilisator von ist interessanter. Konkret ist dies die Gruppe Stab( ) = {A O 2 (R); A = }. Zur Erinnerung: jedes Element A O 2 (R) lässt sich als D θ oder SD θ schreiben. Ist A = D θ, so entsprich D θ einer Drehung um 0, π/2, π oder 3π2. Falls A = SD θ, so folgt A = SD θ = und nach Rechtsmultiplikation mit S auch D θ = S =. Also ist A {S, SD π/2, SD π, SD 3π/2 }. Insgesamt folgt, Stab( ) = {E, D π/2, D π, D 3π/2 S, SD π/2, SD π, SD 3π/2 }. Diese acht elementige Gruppe ist nicht abelsch, da SD π/2 = D π/2 S D π/2 S. Die Gruppe Stab( ) heißt Diedergruppe D 4. 34

35 1.6 Gruppenoperationen (ii) Wir können die Diedergruppe D 4 wie folgt verallgemeinern. Sei n 3 eine ganze Zahl. Wir betrachten ein regelmäßiges n-eck a in der Ebene welches spiegelsymmetrisch bezüglich der x-achse ist, z.b. im Fall n = 4. Wir betrachten wieder die Operation von O 2 (R) auf der Menge der möglichen Drehungen und Spiegelungen von a. Diese Figur ist invariant unter Drehungen um 2π/n und um Spiegelung an der x-achse. D.h. D 2π/n a = a und Sa = a. In anderen Worten gilt D 2π/n, S Stab(a). Andererseits ist jede Drehung, die a invariant lässt, eine Drehung um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π/n. Da jedes Element von O 2 (R) entweder eine Drehung oder eine Drehung gefolgt von einer Spiegelung ist, folgt Stab(a) = {D 2πk/n, SD 2πk/n ; 0 k n 1} = {e, d,..., d n 1, sd, sd,..., sd n 1 } wo, wie üblich in der Literatur, d = D 2π/n und s = S geschrieben wurde. Diese zwei Elemente erfüllen wegen (1.7) die letzte Relation in d n = 1, s 2 = 1, und sds = d 1, (1.8) die erste folgt, weil d eine Drehung um 2π/n repräsentiert und die zweite ist eine Schlussfolgerung der Tatsache, dass s einer Spiegelung entspricht. Die Gruppe Stab(a) besitzt also 2n Elemente. Sie wird auch Diedergruppe genannt und mit D n bezeichnet. 5 Lemma Die Diedergruppe D 3, welche die Symmetrie eines gleichseitigen Dreiecks beschreibt, ist zu S 3 isomorph. Beweis. Wir denken uns die Ecken unseres Dreiecks mit 1, 2 und 3 nummeriert. Jedes Element g von D 3 lässt zwar das Dreieck als ganzes invariant, führt aber zu einer Permutation σ(g) der Bezeichnungen der Ecken. Die Zuordnung g σ(g) ist ein Gruppenhomomorphismus D 3 S 3, wie man direkt nachrechnet. Aber ein g D 3, welches die Eckennummerierung invariant lässt, muss das neutrale Element sein. Deshalb ist der Gruppenhomomorphismus D 3 S 3 injektiv und damit auch surjektiv, wegen #D 3 = 6 = #S 3. Folglich sind D 3 und S 3 isomorph. Bemerkung. Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert. Für x, y X setzen wir x y genau dann, wenn y = ax für ein a G. Eine kurzes Argument zeigt, dass eine Äquivalenzrelation auf X ist. Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind genau die Bahnen. 5 Achtung: der Index in D n ist nur die Hälfte der Anzahl Elemente in D n. 35

36 1 Gruppen, Quotienten und mehr Beispiel Sei G eine Gruppe. Wir betrachten die Operation von G auf sich selbst durch Konjugation: (g, x) gxg 1 wobei g, x G. Stabilisatoren dieser Operation sind besonders interessant. g Stab(x) gxg 1 = x gx = xg. D.h. der Stabilisator eines x sind alle Elemente der Gruppe, welche mit x kommutieren. Definition Operiert eine Gruppe auf sich selbst durch Konjugation, wird die Untergruppe Stab(x) auch Zentralisator von x genannt und mit Z(x) bezeichnet. Eine Bahn der Konjugationsoperation heißt Konjugationsklasse. Beispiel (i) Sei G = GL n (K) mit n 1 und K ein Körper. Jede Matrix A GL n (K) kommutiert mit den Skalarmatrizen: λ 0... λ 0... A = A 0 λ 0 λ für λ K. Also ist der Zentralisator einer Skalarmatrix gleich GL n (K). Andererseits besteht die Konjugationsklasse, welche eine Skalarmatrix enthält aus nur einem Element. (ii) Sei n 3 und D n die Diedergruppe mit 2n Elementen. Wir haben oben die Notation D n = {e, d,..., d n 1, s, sd,..., sd n 1 } eingeführt, wobei die Relationen gelten. d n = 1, s 2 = 1, und sds = d 1 Sei 0 k n 1. Wir wollen den Zentralisator von d k berechnen. Sicherlich gilt d k d i = d i d k für alle i Z, also folgt Z(d k ) {e, d,..., d n 1 } und damit #Z(d) n. Wegen dem Satz von Lagrange gibt es nur zwei Möglichkeiten für #Z(d): entweder n oder 2n. Aber sd k s 1 = sd k s = d k. Es folgt s Z(d k ) d 2k = e k = 0 oder k = n/2. Der Fall k = n/2 kann nur eintreten, falls n gerade ist. Es folgt { Z(d k D ) = n {e, d,..., d n 1 } Für endliche Gruppen gilt die sogenannte Bahnformel. : falls k = 0 oder k = n/2, : sonst. 36

37 1.6 Gruppenoperationen Proposition 1.19 (Bahnformel). Sei G eine Gruppe, die auf einer endlichen Menge X operiert. Für x X gilt #Bahn(x) = [G : Stab(x)]. Beweis. Zur Erinnerung: Stab(x) ist eine Untergruppe von G. Sei g G und h Stab(x), dann gilt (gh)x = g(hx) = gx. Liegen also g und g in der selben Linksnebenklasse von Stab(x) in G, so gilt gx = g x. Die Umkehrung stimmt auch: haben wir gx = g x so ist g 1 g Stab(x) und somit g gstab(x). Also können wir die Elemente Bahn(x) = {gx; g G} mit den Linksnebenklassen von Stab(x) identifizieren. Insbesondere gilt #Bahn(x) = [G : Stab(x)]. Beispiel Wir knüpfen an das letzte Beispiel. Dazu betrachten wir D n. Die Bahn von d k (für 0 k n 1) unter der Konjugationsoperation ist die Konjugationsklasse von d k : Bahn(d k ) = {gd k g 1 ; g D n }. Die Bahnformel sagt uns, dass { #Bahn(d k 1 : falls k = 0 oder k = n/2, ) = 2 : sonst. Ist k 0 und k n/2 so sind d k und d k = sd k s = sd k s 1 zueinander konjugiert. Kein weiteres Element ist zu d k konjugiert. Die Bahnformel hat einige wichtige Anwendungen. In der ersten Anwendung werden wir alle Gruppen der Ordnung p 2 klassifizieren, wobei p eine Primzahl ist. Korollar Sei G eine Gruppe, die auf einer endlichen Menge X operiert, und x 1,..., x n ein Repräsentantensystem für die Bahnen dieser Operation (d.h. in jeder Bahn liegt genau ein x i ). Dann gilt #X = n [G : Stab(x i )]. i=1 Beweis. Dies folgt unmittelbar aus der Bahnformel, weil X disjunkte Vereinigung der Bahnen Bahn(x 1 ),..., Bahn(x n ) ist. Definition Das Zentrum einer Gruppe G ist Z(G) = {g G; gh = hg für alle h G}. Bemerkung. Das Zentrum einer Gruppe ist stets eine Untergruppe und sogar ein Normalteiler: Gilt g Z(G) und h G so folgt hgh 1 = g Z(G). Proposition 1.21 (Klassenformel). Sei G eine endliche Gruppe und x 1,..., x n Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen in G \ Z(G). Dann gilt n #G = #Z(G) + [G : Z(x i )]. i=1 ein 37

38 1 Gruppen, Quotienten und mehr Beweis. Wir betrachten die Operation von G auf sich selbst durch Konjugation. Das Zentrum Z(G) besteht genau aus den Elementen x G mit Stab(x) = Z(x) = G. Nach der Bahnformel sind das genau die x G mit Bahn(x) = {x}. Somit ist Z(G) {x 1,..., x n } ein Repräsentantensystem für alle Bahnen (Konjugationsklassen) und die Klassenformel folgt aus Korollar Lemma Sei p eine Primzahl, n 1 und G eine Gruppe der Ordnung p n. Dann gilt #Z(G) p, d.h. das Zentrum von G ist nicht trivial. Beweis. Zunächst schreiben wir die Klassenformel hin p n = #Z(G) + n [G : Z(x i )], wobei x i Repräsentanten der Konjugationsklassen in G \ Z(G) sind. Da jedes Z(x i ) eine Untergruppe von G ist, impliziert der Satz von Lagrange, dass #Z(x i ) eine Potenz von p ist. Also gibt es für jedes i ein n i 0 mit [G : Z(x i )] = p n i. Nun lautet die Klassenformel i=1 p n = #Z(G) + n p n i. Jedes n i auf der rechten Seite ist 1, weil x i nicht im Zentrum liegt und daher Z(x i ) G gilt. Also ist die Summe rechts durch p teilbar. Da p n auch durch p teilbar ist, gilt schließlich p #Z(G). Proposition Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p 2. Dann ist G zu Z/p 2 Z oder zu Z/pZ Z/pZ isomorph. Weiterhin sind diese zwei Gruppen nicht isomorph. Beweis. Die Gruppe Z/p 2 Z besitzt ein Element der Ordnung p 2. Aber die Ordnungen in (Z/pZ) 2 sind stets höchstens p. Deshalb sind diese zwei Gruppen nicht isomorph. Sei nun G der Ordnung p 2. Wir wollen zuerst beweisen, dass G abelsch ist. Aus Lemma 1.22 folgt, dass zumindest das Zentrum Z(G) nicht trivial ist. Für die Kardinalität von Z(G) gibt es nur zwei Möglichkeiten: p oder p 2. Im zweiten Fall gilt Z(G) = G und dies bedeutet, dass jede zwei Elemente aus G kommutieren. Also ist G abelsch. Es bleibt noch der Fall #Z(G) = p. Er wird zu einem Widerspruch führen. Dazu wählen wir irgendein g G mit g Z(G). Der Zentralisator Z(g) von g ist eine Untergruppe von G. Sie enthält das Zentrum Z, also gilt #Z(g) = p oder = p 2. Der zweite Fall ist jedoch unmöglich, da Z(g) G (sonst wäre g Z(G)). Es folgt #Z(g) = p und somit Z(g) = Z. Aber g Z(g) (überlegen Sie sich weshalb!) und g Z aus der Konstruktion. Dies ist ein Widerspruch. Nun wissen wir, dass G abelsch ist. Der Schluss ist ähnlich wie der Beweis von Proposition Es folgen die Details. Besitzt G ein Element der Ordnung p 2, so ist G zyklisch. In diesem Fall wissen wir, dass G = Z/p 2 Z. i=1 38

39 1.7 Die symmetrische Gruppe S n Besitzt G kein Element der Ordnung p 2, so hat jedes Element, welches nicht das Einselement ist, Ordnung p. Wir wählen h G mit Ordnung p und k G mit k / h. Auch k hat Ordnung p. Nun sind H = h und K = k Normalteiler von G, unsere Gruppe ist ja abelsch. Es gilt H K K, da k nicht in der linken Seite enthalten ist. Vergleicht man die Kardinalität folgt, dass H K die triviale Untergruppe {e} ist. Proposition 1.13 impliziert H K = HK G. Aber #HK = #H K = p 2 und somit folgt H K = G. Wir wissen aber, dass H = Z/pZ und K = Z/pZ. 1.7 Die symmetrische Gruppe S n Der Satz von Cayley (Korollar 1.16) unterstreicht die Bedeutung der symmetrischen Gruppe S n : jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe von S n auffassen. Obwohl schon angedeutet wurde, dass sich damit das Studium endlicher Gruppen nicht wesentlich vereinfacht, lohnt es sich die S n genauer zu studieren. Zunächst erinnern wir uns an folgende Definitionen und Fakten, die in der linearen Algebra behandelt wurden: Die Abbildung S n { 1, +1} sign : σ sign(σ) = σ(j) σ(i) i<j j i ist ein Gruppenhomomorphismus (d.h. es gilt sign(σ τ) = sign(σ) sign(τ)). Dieser Homomorphismus kann auch durch die Anzahl Fehlstände m(σ) einer Permutation σ charakterisiert werden: Es gilt sign(σ) = ( 1) m(σ) mit m(σ) = {(i, j) N 2 ; 1 i < j n und σ(i) > σ(j)}. Der Kern A n von sign : S n { 1, +1} heißt alternierende Gruppe und ist ein Normalteiler von S n. Eine Transposition τ ist eine Permutation, die nur zwei Elemente i j vertauscht. Eine solche Permutation erfüllt also τ(i) = j, τ(j) = i und τ(k) = k für k {i, j}. Eine Permutation τ erfüllt sign(τ) = 1. Eine beliebige Permutation kann als endliches Produkt von Transpositionen geschrieben werden. Der Homomorphismus sign : S n { 1, +1} ist für n 2 surjektiv, weil Transpositionen nach 1 abgebildet werden. Insbesondere hat daher nach Korollar 1.7 für n 2 die Faktorgruppe S n /A n genau 2 Elemente und es gilt A n = Sn 2 = n! 2. Wir führen nun sogenannte Zykeln ein. Diese stellen ein besonders effizientes Hilfsmittel zur Verfügung, um in S n zu rechnen. Definition Sei m 2. Eine Permutation σ S n heißt m-zykel (oder Zykel), falls es paarweise verschiedene Zahlen k 1,..., k m {1,..., n} gibt, so dass σ(k i ) = k i+1, i = 1,..., m 1 σ(k m ) = k 1 σ(k) = k, falls k {1,..., n} \ {k 1,..., k m }. 39

40 1 Gruppen, Quotienten und mehr In diesem Fall schreiben wir σ = (k 1 k 2 k m ). Bemerkung. Transpositionen sind 2-Zykeln. Bemerkung. Für einen m-zykel σ sind die Zahlen k 1,..., k m in der obigen Definition nur bis auf zyklische Vertauschung eindeutig bestimmt, denn es gilt (k 1 k 2 k m ) = (k 2 k m k 1 ) = = (k m k 1 k m 1 ). Bemerkung. Für einen m-zykel σ = (k 1 k 2 k m ) gilt σ = (k 1 k 2 ) (k 2 k 3 ) (k m 1 k m ), denn die Verknüpfung auf der rechten Seite bildet k i auf k i+1 für i = 1,..., m 1 sowie k m auf k 1 ab und hält die anderen k {1,..., n} fest. Daher ist jeder m-zykel ein Produkt von m 1 Transpositionen und es gilt sign(σ) = ( 1) m 1. Bemerkung. Ein m-zykel σ = (k 1 k 2 k m ) ist von der Ordnung m, denn es gilt für i = 1,..., m 1 σ i (k 1 ) = k i+1 k 1, also σ i id, und σ m (k 1 ) = σ(σ m 1 (k 1 )) = σ(k m ) = k 1 sowie analog σ m (k i ) = k i für i = 2,..., m, also σ m = id. Definition Zwei Zykel (k 1 k 2 k m ) und (l 1 l 2 l m ) in S n heißen disjunkt, falls {k 1,..., k m } {l 1,..., l m } = gilt. Bemerkung. Für disjunkte Zykel σ, τ gilt σ τ = τ σ. Dank des folgenden Satzes können wir in S n mit Hilfe von Zykeln rechnen. Satz 5. Jede Permutation σ S n kann als Produkt von paarweise disjunkten Zykeln geschrieben werden. Diese sind eindeutig durch σ bestimmt (bis auf die Reihenfolge). Bevor wir diesen Satz beweisen, betrachten wir ein Beispiel, das die Beweisidee illustriert. Beispiel Sei n = 8 und σ durch k σ(k) definiert. Die von σ erzeugte Untergruppe σ von S 8 operiert natürlich auf {1,..., 8} vermöge τ k := τ(k). Die Bahn von 1 ist {σ k (1); k Z} = {1, 3}. Alle weiteren Bahnen rechnet man analog aus, es sind die Mengen {1, 3}, {2, 7}, {4, 5, 6}, {8}. Wir sehen nun sofort, dass σ = (1 3) (2 7) (4 5 6) gilt. 40

41 1.7 Die symmetrische Gruppe S n Beweis. Wie im Beispiel betrachten wir die natürliche Operation von der von σ erzeugten Untergruppe σ von S n auf {1,..., n}. Seien B 1,..., B l die Bahnen der Länge 2 dieser Operation und k i B i, i = 1,..., l Repräsentanten für diese Bahnen. Nach Proposition 1.19 steht eine solche Bahn B i in natürlicher Bijektion mit der zyklischen Gruppe σ /Stab(k i ), es gilt also B i = {k i, σ(k i ),..., σ B i 1 (k i )} und σ B i Stab(k i ) (also σ B i (k i ) = k i ), da die zyklische Gruppe σ /Stab(k i ) von der Ordnung B i ist. Daher entspricht die Operation von σ auf B i der Operation des Zykels (k i σ(k i ) σ B i 1 (k i )) auf B i. Da die Bahnen der Länge 1 von σ festgehalten werden, gilt somit insgesamt σ = (k 1 σ(k 1 ) σ B 1 1 (k 1 )) (k l σ(k l ) σ B l 1 (k l )), die Permutation σ ist also ein Produkt von disjunkten Zykeln. Ist umgekehrt σ = (k 11 k 1m1 ) (k l1 k lml ) eine Zerlegung von σ in ein Produkt von disjunkten Zykeln, so gilt für i = 1,..., l σ j (k i1 ) = k i,j+1, j = 1,..., m i 1 σ m i (k i1 ) = k i1 und insbesondere Bahn(k i1 ) = {k i1,, k imi } für i = 1,..., l. Die Elemente von {1,..., n}, die in keiner dieser l Bahnen liegen, werden von σ festgelassen und bilden daher Bahnen der Länge 1. Somit entsprechen die Zykeln, die in der Zerlegung von σ auftreten genau den Bahnen der Länge 2, und diese Zykeln sind durch die Operation von σ auf den Bahnen eindeutig bestimmt: (k i1 k imi ) Bahn(ki1 ) = σ Bahn(ki1 ) Daher ist die Zerlegung von σ in ein Produkt von disjunkten Zykeln eindeutig (bis auf die Reihenfolge). Ein nützlicher Nebeneffekt der Darstellung einer Permutation als Produkt von disjunkten Zykeln ist die Tatsache, dass konjugieren ganz leicht ist. Lemma Sei η S n und (k 1 k m ) ein m-zykel. Es gilt η(k 1 k m )η 1 = (η(k 1 ) η(k m )) (1.9) Beweis. Die Permutation rechts in der Behauptung schickt η(k 1 ) auf η(k 2 ). Die links schickt η(k 1 ) zunächst auf η 1 (η(k 1 )) = k 1, dann auf k 2 und schließlich auf η(k 2 ). Analog zeigt man, dass die Permutationen links und rechts für alle k {k 1,..., k m } übereinstimmen. Ist k {1,..., n} {k 1,..., k m }, so bilden beide Permutationen k auf k ab. Somit stimmen beide Permutationen auf ganz {1,..., n} überein und wir sind fertig. 41

42 1 Gruppen, Quotienten und mehr Beispiel Wir werden die Zykelschreibweise benutzen, um S 5 zu studieren. Diese Gruppe besitzt 5! = 120 = Elemente. Wir wollen zuerst alle Konjugationsklassen von S 5 beschreiben. Jedes Element σ S 5 lässt sich als Produkt von disjunkten Zykeln schreiben. Es gibt insgesamt sieben Möglichkeiten id, (abcde), (abcd), (abc), (ab), (abc)(de), und (ab)(cd). (1.10) mit a, b, c, d, e paarweise verschiedene Zahlen aus {1, 2, 3, 4, 5}. Seien nun {a, b, c, d, e } = {a, b, c, d, e}, dann gibt es eine Permutation η S 5 mit η(a) = a,..., η(e) = e. Unser Lemma oben zeigt, η(abcde)η 1 = (a b c d e ). D.h. (abcde) und (a b c d e ) sind konjugiert in S 5. Aus dem selben Grund sind übrigens z.b. (ab)(cde) und (a b )(c d e ) konjugiert. Insgesamt sehen wir, dass (1.10) eine vollständige Liste von Repräsentanten der Konjugationsklassen von S 5 bildet. Die Gruppe S 5 besitzt also 7 Konjugationsklassen Konj.klasse K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 Repräsentant id (abcde) (abcd) (abc) (ab) (abc)(de) (ab)(cd) Anzahl Elemente Ordnung der El = 6 2 Für das Tupel (a, b, c, d, e) gibt es 5! = 120 Möglichkeiten. Aber zyklisches Vertauschen führt zur gleichen Permutation, d.h. (abcde), (bcdea), (cdeab), (deabc), (eabcd) beschreiben die gleiche Permutation. Deshalb gilt #K 2 = 5!/5 = 24. Auf ähnliche Art zeigt man #K 3 = 5!/1!/4, #K 4 = 5!/2!/3 und #K 5 = 5!/3!/2. Es gibt gleich viele Elemente in K 6 wie K 4, da die Menge {d, e} eindeutig durch {a, b, c} bestimmt wird. Schließlich muss #K 7 = 120 (#K #K 6 ) = 15 gelten, da jedes Element aus S 5 in einer Konjugationsklasse liegen muss (dies kann man auch kombinatorisch beweisen). Wir werden im nächsten Beweis sehen, wie nützlich die Zerlegung in ein Produkt von disjunkten Zykeln ist. Satz 6. Die Gruppe A 5 ist einfach. Beweis. Sei N ein Normalteiler von A 5 mit N {id} und N A 5. Wir werden zeigen, dass ein solcher Normalteiler N nicht existiert. Daraus folgt, dass A 5 einfach ist. Wegen der Normalteilereigenschaft ist N eine Vereinigung von Konjugationsklassen von A 5. Um die Nichtexistenz von N zu beweisen, beschreiben wir die Konjugationsklassen von A 5. Wir haben oben bereits die Konjugationsklassen K 1,..., K 7 von S 5 mit Hilfe der Zykeldarstellung beschrieben und bemerkt, dass ein m-zykel das Signum ( 1) m 1 hat. Daher sehen wir, dass A 5 = K 1 K 2 K 4 K 7 42

43 1.7 Die symmetrische Gruppe S n gilt. Man beachte, dass das noch nicht die Zerlegung von A 5 in Konjugationsklassen ist, weil K 1, K 2, K 4, K 7 nur Konjugationsklassen von S 5 sind und es möglich ist, dass sich solche in mehrere Konjugationsklassen von A 5 aufspalten. Klarerweise eine Konjugationsklasse von A 5 ist K 1 = {id}. Sei σ = (abcde) ein 5-Zykel in K 2. Nach Proposition 1.19 hat die Konjugationsklasse von σ in A 5 genau [A 5 : Z A5 (σ)] Elemente, wobei Z A5 (σ) den Zentralisator von σ in A 5 bezeichnet. Letzterer ist gleich A 5 Z S5 (σ), wobei wiederum nach Proposition = #K 2 = #S 5 /#Z S5 (σ) = 120/#Z S5 (σ), also #Z S5 (σ) = 5 gilt. Alle Elemente von der von σ erzeugten Untergruppe σ kommutieren klarerweise mit σ. Dies sind 5 Elemente, weil σ als 5-Zykel von der Ordnung 5 ist. Daher gilt Z S5 (σ) = {1, σ, σ 2, σ 3, σ 4 } und somit Z A5 (σ) = A 5 Z S5 (σ) = Z S5 (σ). Daher hat die Konjugationsklasse von σ in A 5 genau 60/5 = 12 Elemente. Wir sehen also, dass sich K 2 in zwei Konjugationsklassen K 2,1 und K 2,2 von A 5 mit je 12 Elementen aufspaltet. Seien nun σ = (abc) und σ = (a b c ) zwei beliebige Elemente von K 4. Es gibt eine Permutation η S 5 mit η(a) = a, η(b) = b, η(c) = c. (1.11) Sei {1,..., 5} \ {a, b, c} = {d, e} und τ die Transposition (de). Wir bemerken, dass nach Ersetzen von η durch η τ immer noch (1.11) gilt. Wegen sign(τ) = 1 liegt aber entweder η oder η τ in A 5. Wir können also η A 5 annehmen und nach Lemma 1.24 sind σ und σ über A 5 konjugiert. Somit ist K 4 eine Konjugationsklasse von A 5. Analog prüfen wir nach, dass zwei beliebige Elemente σ = (ab)(cd) und σ = (a b )(c d ) von K 7 über A 5 konjugiert sind. Es gibt genau eine Permutation η S 5 mit Weil τ := (ab) mit σ kommutiert, gilt daher η(a) = a, η(b) = b, η(c) = c, η(d) = d. (1.12) (ητ)σ(ητ) 1 = ηση 1 = σ. Weil entweder η oder ητ in A 5 liegt, zeigt das, dass σ und σ über A 5 konjugiert sind. Somit ist K 7 ebenfalls eine Konjugationsklasse von A 5. Insgesamt hat A 5 also die Konjugationsklassen Konj.klasse K 1 K 2,1 K 2,2 K 4 K 7 Anzahl Elemente Mit dieser Liste können wir nun die Nichtexistenz von N zeigen. Weil N A 5 gilt, und die Ordnung von N die Ordnung 60 von A 5 teilt, gilt sicher #N 30. Andererseits enthält N sicher id, daher ist N eine Vereinigung von K 1 und einer oder zwei weiteren Konjugationsklassen. Für die Ordnung von N bleiben somit die Möglichkeiten 13, 16, 21, 25 und 28 übrig. Da das alles keine Teiler von 60 = A 5 sind, existiert kein Normalteiler N verschieden von {id} und A 5. 43

44 1 Gruppen, Quotienten und mehr Bemerkung. Für n 5 ist A n stets einfach. Die Gruppe A 4 ist jedoch nicht einfach: sie besitzt den Normalteiler {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. 44

45 2 Ringe 2.1 Definition eines Rings Der Begriff eines Rings wurde bei einigen unter Euch vielleicht in der linearen Algebra als Zwischenschritt zum Körperbegriff eingeführt. In dieser Vorlesung werden wir mehr Wert auf Ringe legen. Zunächst beginnen wir mit einer kurzen Einführung, die vielen als Repetition dienen wird. Eine Gruppe besitzt eine Verknüpfung, die aus zwei Elementen ein drittes produziert. Ein uns bekanntes Beispiel ist die Gruppe der ganzen Zahlen Z mit der Addition als Verknüpfung und 0 Z als neutralem Element. Zwei ganze Zahlen a, b Z lassen sich zu einer dritten Zahl ab multiplizieren. D.h. auf Z kennt man aus der Schule eigentlich zwei schon Verknüpfungen: die Addition und die Multiplikation. Diese sind auch kompatibel zueinander, es gilt a(b + c) = ab + ac. Ein weiterer Punkt ist, dass Z zusammen mit der Multiplikation als Veknüpfung nicht die Definition einer Gruppe erfüllt: die 2 Z besitzt bekanntlich kein Inverses bezüglich der Multiplikation. Die Definition eines Rings trägt diesen Beobachtungen Rechnung. Definition 2.1. Ein Tupel (R, 0, 1, +, ) bestehend aus einer Menge R, zwei Elementen 0, 1 R und zwei Verknüpfungen + : R R R (genannt Addition) und : R R R (genannt Multiplikation) heißt Ring, falls folgende Axiome erfüllt sind. (i) Das Tripel (R, 0, +) ist eine abelsche Gruppe. (ii) Die Multiplikation ist assoziativ, d.h. für a, b, c R gilt a (b c) = (a b) c. (iii) Es gilt 1 a = a 1 = a für alle a R. (iv) Addition und Multiplikation sind kompatibel: es gelten die Distributivgesetze a (b + c) = (a b) + (a c) (a + b) c = (a c) + (b c) für a, b, c R. Das Element 0 R heißt Nullelement und 1 R Einselement. Falls zusätzlich das Axiom (v) Die Verknüpfung ist kommutativ, d.h. für a, b R gilt a b = b a. gilt, so heißt (R, 0, 1, +, ) kommutativ. Falls neben (v) auch 45

46 2 Ringe (vi) Es gilt 1 0 und für jedes r R \ {0} gibt es ein s R mit r s = 1. gilt, so ist (R, 0, 1, +, ) ein Körper. Beispiel 2.1. Natürlich ist Z zusammen mit der Addition, der Multiplikation und den üblichen 0, 1 Z ein kommutativer Ring. Weitere Beispiele für kommutative Ringe sind Q, R, C und F 2. Der Ring Mat n n (K) der n n-matrizen über einem Körper ist für n 2 ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Ring. Achtung. Einige Bücher verlangen, dass die Multiplikation in jedem Ring kommutativ ist. Andere verlangen nicht, dass es eine 1 R mit (iii) geben muss. Es gibt also vier mögliche Definitionen eines Rings: je nach dem welche Kombination von (iii) und (v) verlangt wird. Oft wird beiläufig erwähnt, dass alle Ringe kommutativ mit Eins sind. Dies wird fast ausschließlich in diesem Skript der Fall sein, obwohl es durchaus sehr interessante nicht-kommutative Ringe gibt. Ab Abschnitt 2.2 werden in diesem Skript alle Ringe kommutativ mit Einselement sein. Bemerkung. (i) Der Punkt wird oft nicht ausgeschrieben. Zudem schreiben wir oft R anstelle des Quintupels (R, 0, 1, +, ). (ii) In einem beliebigen Ring gilt a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0, also a 0 = 0 weil (R, 0, +) eine Gruppe ist. Das überrascht nicht sehr. Beispiel 2.2. (i) Der Nullring ist R = {0} wobei 1 = 0 gilt. Es gibt dabei nur eine Möglichkeit für Addition und Multiplikation auf R. Es scheint absurd, aber der Nullring ist tatsächlich ein Ring. (In der Definition wurde nie 0 1 verlangt.) Es ist der einzige Ring, in dem 1 = 0 gilt. (ii) Haben wir schon einen Ring R, so können wir daraus weitere gewinnen. Ein erstes Beispiel ist der Polynomring R[X] über R in einer Unbekannten X. Dabei ist X ein Element, welches keine offensichtliche Relationen erfüllt. Ganz formal definieren wir die Elemente des Polynomrings als { } R[X] = a 0 + a 1 X + + a d X d ; d 0 und a 0,..., a d R. Zwei Polynome werden addiert, wie man sich das vorstellt (a 0 + +a d X d )+(b 0 + +b e X e ) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )X+ +(a d +b d )X d + +b e X e falls e d. Multiplizieren ist eine Übung im Ausmultiplizieren: (a a d X d ) (b b e X e ) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )X + + a d b e X d+e. Eine kurze Überprüfung zeigt, dass R[X] zusammen mit dieser Addition und Multiplikation ein Ring ist. Das neutrale Element bezüglich der Addition ist die alte 0 R und das der Multiplikation ist 1 R. Als ganz einfache numerische Beispiele schauen wir uns (X + 1)(X 2) = X 2 X 2 oder (X 2 + X + 1)(X 1) = X 3 1 an, hier ist R = Z. 46

47 2.1 Definition eines Rings (iii) Sei R ein Ring und R[X] der Polynomring über R. Uns hindert nichts daran, weitere Variablen einzuführen. Der Polynomring R[X][Y ] über R[X] besteht aus Polynomen in Y mit Koeffizienten in R[X]. Dieser Ring ist nichts anderes, als der Polynomring in zwei Variabeln X und Y. Abkürzend schreibt man auch R[X, Y ] für R[X][Y ]. Für R = Z ist ein typisches Element von der Form 5 + (X + 1)Y + (3X 2 1)Y 2 = 5 + XY + Y + 3X 2 Y 2 Y 2. Definition 2.2. Sei R ein Ring. Die Einheiten von R sind R = {a R; es gibt b R mit ab = 1}. Die Einheiten bilden eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, wie man sofort überprüft. Beispiel 2.3. (i) Die Einheiten von Z sind ±1. (ii) Die Einheiten von C sind alle komplexen Zahlen ungleich 0: C = {z C; z 0}. (iii) Der Ring Z[i] := {a + bi C; a, b Z} besitzt neben ±1 noch weitere Einheiten. Es gilt i ( i) = 1. Also gibt es mindestens die vier Einheiten ±1, ±i in Z[i]. Dies sind alle Einheiten, denn für eine Einheit a + bi Z[i] gibt es c + di Z[i] mit (a + bi)(c + di) = 1, also gilt 1 = a + bi 2 c + di 2 = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) mit a, b, c, d Z, woraus a 2 + b 2 = 1 und somit (a, b) {(±1, 0), (0, ±1)} folgt. Bemerkung. Ein Ring R mit R = R {0} ist ein Körper. Körper spielen eine große Rolle in der linearen Algebra. Jedes Element ungleich Null eines Körper besitzt ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Als nächstes werden wie, ähnliche wie bei Gruppen, Abbildungen einführen, welche die Struktur erhalten. Definition 2.3. Seien R und S Ringe mit Einselemente 1 R R und 1 S S. Ein Ringhomomorphismus (oder einfach Homomorphismus) ist eine Abbildung f : R S, welche folgende Bedingungen erfüllt. (i) Für a, b R gilt f(a + b) = f(a) + f(b) (ii) Für a, b R gilt f(ab) = f(a)f(b). (iii) Es gilt f(1 R ) = 1 S. Ein Ringhomomorphismus f : R S heißt Ringisomorphismus (oder Isomorphismus), falls ein Ringhomomorphismus g : S R mit f g = id S und g f = id R existiert. In diesem Fall nennt man die Ringe R und S isomorph. Oft schreibt man R = S in dieser Situation. 47

48 2 Ringe Die erste Eigenschaft in der Definition von Ringhomomorphismus verlangt, dass f ein Gruppenhomomorphismus zwischen den additiven Gruppen von R und S induziert. Genau wie bei Gruppen (Lemma 1.4) zeigt man das folgende Lemma. Lemma 2.1. Ein Ringhomomorphismus f ist genau dann ein Isomorphismus, wenn f bijektiv ist. Beispiel 2.4. (i) Sei R = S der Ring der komplexen Zahlen C. Als f wählen wir komplex konjugieren, d.h. f(z) = z für z C oder konkret f(x + y 1) = x y 1 für x, y R. Bekanntlich gilt z + z = z + z und zz = zz für z, z C. Also ist f ein Ringhomomomorphismus. Wegen f f = id C ist f invertierbar und deshalb bijektiv. Also ist f ein Ringisomorphismus. (ii) Sei R ein Ring und R[X] der Polynomring in X über R. Wir wählen ein r R. Indem wir Polynome bei r auswerten, erhalten wir eine Abbildung f r : R[X] R, die durch f r (a 0 + a 1 X + + a d X }{{} d ) = a 0 + a 1 r + + a r r d = P (r). P definiert wird. Nun kann man nachrechnen, dass f r ein Ringhomomorphismus ist. Ist z.b. r = 0 so ist f r (a 0 + a 1 X + + a d X d ) = a 0 der konstante Term des Arguments. Der Begriff eines Unterrings leitet sich aus dem einer Untergruppe ab. Definition 2.4. Sei (R, 0, 1, +, ) ein Ring. Ein Unterring von R ist eine Teilmenge S R, die folgende Bedingungen erfüllt. (S) Die Menge S ist eine Untergruppe von (R, 0, +). (P) Für a, b S gilt stets ab S. (N) Es gilt 1 S. Beispiel 2.5. (i) Die ganzen Zahlen bilden einen Unterring von Q, R und C. Die Menge 2Z ist kein Unterring von Z. Die Menge erfüllt zwar (S) und (P) jedoch nicht (N). (ii) Wir verallgemeinern das zweite Beispiel zu Ringhomomorphismen. Sei R ein Ring und S ein Unterring von R. Jedes r R können wir an Polynomen aus S[X] einsetzen. Dabei erhalten wir ein Element aus R. Konkreter definiert f r (P ) = P (r) einen Ringhomomorphismus f r : S[X] R. Kern und Bild eines Ringhomomorphismus sind ähnlich definiert wie Kern und Bild eines Gruppenhomomorphismus. 48

49 2.2 Ideale und Quotienten Definition 2.5. Seien R und S Ringe und f : R S ein Ringhomomorphismus. Der Kern von f ist Ker(f) = {a R; f(a) = 0 = 0 S } und das Bild von f ist Bild(f) = {f(a); a R}. Beispiel 2.6. Seien R ein Ring und S ein Unterring von R und r R. Wie sieht der Kern des Auswertungshomomorphismus f r : S[X] R aus? Es sind genau die Polynome in S[X], die bei r eine Nullstelle haben: Ker(f r ) = {a 0 + a 1 X + + a d X d ; a 0,..., a d S und a 0 + a 1 r + + a d r d = 0}. Lemma 2.2. Seien R und S Ringe und f : R S ein Ringhomomorphismus. Dann ist Bild(f) ein Unterring von S. Beweis. Betrachtet man f als Gruppenhomomorphismus zwischen (R, 0, +) und (S, 0, +) dann wird klar, dass f(r) zumindest eine Untergruppe von S bezüglich der Addition ist. Schließlich enthält Bild(R) die Eins aus S wegen f(1) = 1 und f(r)f(r ) = f(rr ) zeigt, dass Bild(R) unter Multiplikation abgeschlossen ist. Es folgt, dass Bild(R) ein Unterring ist. An diesem Beispiel sehen wir schon den ersten großen Unterschied zur Gruppentheorie. Achtung. Der Kern eines Homomorphismus f : R S ist i.a. kein Unterring von R! Dies sieht man schön am Beispiel (i) oben: der Kern enthält die 1 nicht. Also ist ein Unterring nicht das korrekte Analogon eines Normalteilers. 2.2 Ideale und Quotienten Von jetzt an betrachten wir für den Rest der Vorlesung nur noch kommutative Ringe. Alle Ringe, die im Folgenden auftreten, sind kommutativ, ohne dass das explizit erwähnt ist. Der Kern eines Ringhomorphismus ist ein neues Tier, welches kein Analog bei den Gruppen hat. Definition 2.6. Sei (R, 0, 1, +, ) ein Ring. Ein Ideal 1 von R ist eine Teilmenge I R mit den folgenden Eigenschaften. (i) Bezüglich der Addition ist I eine Untergruppe von (R, 0, +). (ii) Für jedes a I und jedes r R gilt r a I. 1 Der Begriff stammt von Ernst Kummer. Ein Ideal ist gewissermaßen eine Verallgemeinerung einer Zahl (d.h. eines Elements von R) hat aber in bestimmten Situationen bessere Eigenschaften - ideal eben. Später wird dieser Aspekt eine grössere Rolle spielen. 49

50 2 Ringe Beispiel 2.7. (i) Sei R = Z die ganzen Zahlen. Die geraden ganzen Zahlen, d.h. 2Z = {2a; a Z} bilden ein Ideal von Z. Sicherlich ist 2Z eine Untergruppe von (Z, 0, +). Zudem gilt r(2a) = 2(ar) 2Z für alle r Z und 2a 2Z. Also gilt auch die zweite Eigenschaft. Die ungeraden Zahlen {2a + 1; a Z = {..., 3, 1, 1, 3,...} bilden kein Ideal von Z, denn 2 = 2 1 ist gerade. Dieses Beispiel werden wir weiter unten verallgemeinern. (ii) Ist R ein beliebiger Ring, so sind {0} und R Ideale von R wie man leicht nachrechnet. Das wichtigste Beispiel von Ideale liefern Ringhomomorphismen. Lemma 2.3. Sei f : R S ein Homomorphismus zwischen zwei Ringen R, S. Dann ist Ker(f) ein Ideal von R. Beweis. Die Eigenschaft (i) in der Definition eines Ideals folgt, da f insbesondere ein Homomorphismus zwischen den additiven Gruppen (R, 0, +) und (S, 0, +) ist. Um (ii) zu zeigen, sei a Ker(f) und r R beliebig. Es gilt f(ra) = f(r)f(a) = f(r)0 = 0 wegen der Bemerkung weiter oben. Also gilt ra Ker(f) und somit ist gezeigt, dass Ker(f) ein Ideal ist. Beispiel 2.8. Sei R ein beliebiger Ring und a R. Die Menge ar = {ar; r R} ist ein Ideal: der Nachweis ist wie im Beispiel 2.7(i). Definition 2.7. Sei R ein Ring und a R. Ein Ideal der Form ar heißt Hauptideal von R. Hauptideale haben den Vorteil, dass ihre Elemente Vielfache eines einzigen a R sind. Wir werden sehen, dass (leider) nicht alle Ideale auch Hauptideale sind. Beispiel 2.9. Sei R ein Ring und a 1,..., a n R. Die Menge a 1 R + + a n R = {a 1 r a n r n ; r 1,..., r n R} ist ein Ideal von R. Der Beweis erfolgt durch direktes Ausrechnen. Es wird oft auch mit (a 1,..., a n ) bezeichnet. Das Ideal (a 1,..., a n ) kann durchaus ein Hauptideal sein. Leider gibt es sogar Ideale, die nicht von Form (a 1,..., a n ) sind! Mehr dazu später. Zuerst werden wir, ähnlich wie bei Gruppen, Quotienten einführen. Dabei konstruieren wir eine Ringstruktur auf den Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation, die von einem Ideal I stammt. Sei also R ein Ring und I R ein Ideal. Wir schreiben a I b a b I für a, b R. 50

51 2.2 Ideale und Quotienten Dass dies eine Äquivalenzrelation auf R definiert, folgt aus dem Kapitel über Gruppen, weil I eine Untergruppe von (R, 0, +) ist. Die Menge der Äquivalenzklassen von R/ I ist {a + I; a R}. Wir bezeichnen diese Äquivalenzklassen als Restklassen (modulo I) und schreiben R/I für R/ I. Nun zeigen wir, dass Addition und Multiplikation auf R eine Ringstruktur auf R/I induziert. Wir addieren dabei zwei Elemente aus R/I wie folgt: (a + I) + (b + I) = (a + b) + I für a + I, b + I R/I. Da (R, 0, +) eine abelsche Gruppe ist, ist I automatisch ein Normalteiler. Aus dem Kapitel über Gruppen folgt, dass die oben definierte Addition in R/I wohldefiniert ist. Damit wird R/I zu einer abelschen Gruppe mit neutralem Element 0 + I = I. Auf den Restklassen R/I müssen wir auch eine Multiplikation einführen. Dabei setzen wir (a + I)(b + I) = ab + I. Weshalb ist das Produkt hier wohldefiniert? Wir müssen zeigen, dass ab + I nicht von der Wahl der Repräsentanten a, b R abhängt. Seien a, b R mit a a I und b b I. Wir müssen zeigen, dass ab + I = a b + I oder äquivalent ab a b I gilt. (2.1) Nun ist a a = r und b b = s mit r, s I. Wir erhalten ab a b = ab (r + a)(s + b) = ab rs rb as ab = (rs + rb + as). Wegen r, s I und aus Eigenschaft (ii) eines Ideals folgt rs + rb + as I und somit (2.1). Die Multiplikation ist also auch wohldefiniert. Proposition 2.4. Sei R ein Ring und I ein Ideal. Mit der oben definierten Addition und Multiplikation ist R/I ein Ring mit Nullelement I und Einselement 1+I. Die durch f(r) = r + I definierte Abbildung f : R R/I ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern I, genannt Quotientenabbildung. Definition 2.8. Der Ring R/I heißt Quotienten- oder Faktorring. Beweis der Proposition. Wir wissen, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Wir wissen auch, dass R/I zusammen mit der Addition und I eine abelsche Gruppe bildet. Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation folgt aus den analogen Eigenschaften in R. Wir haben (1+I)(a+I) = 1a+I = a+i, also ist 1+I ein Einselement. Schließlich folgt die Distributivität in R/I aus der Distributivität in R. Gemäß Konstruktion ist f ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es gilt r Ker(f) genau dann, wenn r + I = I r I. Also ist Ker(f) = I. 51

52 2 Ringe Beispiel (i) Sei n 0 eine ganze Zahl und I = nz. Wir kennen die Struktur von Z/nZ als Gruppe. Sie ist zyklisch der Ordnung n. Nun haben wir die Gruppenstruktur zu einer Ringstruktur aufgewertet. Folgende Schreibweise stellt sich als nützlich heraus. Elemente aus Z/nZ werden durch ganze Zahlen repräsentiert. Um zu verdeutlichen, dass in Z/nZ gerechnet wird, fügt man der Zeile mod n zu. Sei z.b. n = 4. In Z/4Z gilt mod 4 und mod 4 und mod 4. Wir sehen also, dass in Z/4Z das Element 3 + 4Z ein Inverses bzgl. der Multiplikation besitzt. Ein weiteres Beispiel für n = 19: 2 18 (2 6 ) mod 19. (ii) Dieses Mal ist R = R[X] ein Polynomring und I = (X 2 + 1)R[X] = (X 2 + 1). Der Quotient R[X]/(X 2 + 1) ist wieder ein Ring. Das Bild von X unter der Quotientenabbildung f : R[X] R[X]/(X 2 + 1) erfüllt f(x) 2 = 1 da X I. Also entspricht f(x) einer Wurzel von 1, d.h. einer Nullstelle von X Allgemeiner ist f(x) 3 = 1, f(x) 4 = 1 4 = 1, usw. Also f(a 0 + a 1 X + + a d X d ) = a 0 + a 1 1 a2 + + a d f(x) d. }{{} =±1 oder ± 1 Der Ring R[X]/(X 2 + 1) sieht aus, als sei es der Ring der komplexen Zahlen. Dies werden wir jetzt beweisen. Es gibt eine Variante für Ringe des Homomorphiesatzes (Satz 2) aus der Gruppentheorie. Satz 7. [Homomorphiesatz für Ringe] Seien R, S Ringe und f : R S ein Ringhomomorphismus. Weiterhin sei I ein Ideal von R mit I Ker(f). Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus f : R/I S mit f(a + I) = f(a). In anderen Worten, das Diagramm kommutiert. Quotientenabb. R f S f R/I Beweis. Der Beweis ist sehr ähnlich wie der Beweis von Satz 2. Zuerst definiert man f indem man f(a + I) = f(a) auf der Restklasse a + I setzt. Da I im Kern von f liegt, ist f(a) unabhängig von der Wahl eines Repräsentanten von a + I. Somit ist f wohldefiniert als Abbildung. Nun muss man zeigen, dass f ein Ringhomomorphismus 52

53 2.2 Ideale und Quotienten ist. Satz 2 impliziert, dass f ein Homomorphismus der entsprechenden additiven Gruppe induziert. Es reicht also zu zeigen, dass f((a+i)(b+i)) = f(a+i) f(b+i) für a+i, b+i R/I. Die linke Seite ist f(ab + I) = f(ab) = f(a)f(b) und somit gleich der rechten Seite. Die Eindeutigkeit von f folgt aus der Konstruktion. Der Kern von f ist genau Ker(f). Korollar 2.5. Seien R und S Ringe und f : R S ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann sind R/I und S isomorphe Ringe. Beweis. Man wähle I = Ker(f) in der letzten Proposition. Die Abbildung f : R/I S ist surjektiv und injektiv. Also ist f ein Ringisomorphismus. Wie bei Gruppen können wir direkte Produkte von Ringen definieren. Definition 2.9. Seien R und S Ringe. Dann ist R S zusammen mit den Operationen (r 1, s 1 ) + (r 2, s 2 ) := (r 1 + r 2, s 1 + s 2 ) (r 1, s 1 ) (r 2, s 2 ) := (r 1 r 2, s 1 s 2 ) ein Ring und heißt direktes Produkt von R und S. Analog ist das direkte Produkt R 1 R n von n Ringen R 1,..., R n definiert. Der folgende Satz erlaubt uns, direkte Produkte von Faktorringen des gleichen Rings in bestimmten Situationen zu vereinfachen. Satz 8 (Chinesischer Restsatz). Sei R ein Ring und seien I 1,..., I n R Ideale, so dass I k + I l = R für alle k l gilt. Dann ist der Homomorphismus φ : R R/I 1 R/I n r (r + I 1,..., r + I n ) surjektiv mit Ker(φ) = I 1 I n, er induziert also einen Isomorphismus R/I 1 I n R/I1 R/I n. Beweis. Ein Element r R gilt genau dann im Kern von φ, wenn r +I k das Nullelement von R/I k für alle k ist. Das ist genau dann der Fall, wenn r in allen I k liegt. Daher ist Ker(φ) = I 1 I n. Da die letzte Aussage nach Korollar 2.5 aus der Surjektivität von φ folgt, bleibt nur noch zu zeigen, dass φ surjektiv ist. Sei dafür zunächst k {1,..., n} fest. Für alle l {1,..., n} \ {k} gibt es dann wegen R = I k + I l Elemente a l I k und b l I l mit 1 = a l + b l. Mit Ausmultiplizieren folgt, dass 1 = l k(a l + b l ) die Summe von c k := l k b l und mehreren Produkten, in denen mindestens ein a l vorkommt, ist. Letztere liegen wegen der Idealeigenschaft von I k alle in I k und c k liegt 53

54 2 Ringe in allen I l für l k. Daher können wir für alle k = 1,..., n Elemente c k l k I l und d k I k mit 1 = c k + d k finden. Für diese gilt φ(c k ) = (c k +I 1,..., c k +I n ) = (I 1,..., 1 d k +I k,..., I n ) = (0 R/I1,..., 1 R/Ik,..., 0 R/In ). Für ein beliebiges x = (r 1 + I 1,..., r n + I n ) R/I 1 R/I n gilt daher φ(r 1 c r n c n ) = φ(r 1 )φ(c 1 ) + + φ(r n )φ(c n ) = (r 1 + I 1,..., r n + I n ) = x. Das zeigt die Surjektivität von φ. Der Chinesische Restsatz wird häufig im Ring Z der ganzen Zahlen angewendet. Wir diskutieren im Folgenden, für welche Ideale von Z die Voraussetzung I k + I l = Z gilt. Lemma 2.6. Jedes Ideal von Z ist ein Hauptideal. Für jedes Ideal I Z gibt es zudem ein eindeutiges n 0 mit I = nz. Beweis. Falls I ein Ideal von Z ist, so ist I insbesondere eine additive Untergruppe von Z. Nach Lemma 1.9 gibt es daher ein n 0 mit I = nz. Dieses n ist eindeutig, denn n muss gleich dem kleinsten positiven Element in I sein, falls I nicht das Nullideal ist, und gleich 0 sein, wenn I das Nullideal ist. Für zwei Ideale kz und lz von Z gilt genau dann kz lz, wenn k in lz liegt, also wenn l ein Teiler von k ist. Diese einfache Beobachtung wenden wir an, um für k, l > 0 das Ideal kz + lz zu beschreiben. Es ist von der Form mz für ein m 0. Da es sowohl kz wie auch lz enthält, ist m ein Teiler von k und l. Umgekehrt sind für einen gemeinsamen Teiler n von k und l die Ideale kz und lz in nz enthalten, wegen der Idealeigenschaft gilt also mz = kz + lz nz. Daher ist jeder gemeinsame Teiler n von k und l ein Teiler von m. Das zeigt, dass m der größte gemeinsame Teiler von k und l ist. Es gilt somit kz + lz = ggt(k, l)z. Insbesondere gilt kz + lz = Z genau dann, wenn k, l teilerfremd sind. Der Chinesische Restsatz gilt also für Ideale I 1 = a 1 Z,..., I n = a n Z mit a 1,..., a n paarweise teilerfremd. Für solche Ideale ist I 1 I n = a 1 a n Z, da eine ganze Zahl genau dann durch a 1,..., a n teilbar ist, wenn sie durch das Produkt a 1 a n teilbar ist (das folgt aus der Eindeutigkeit der Zerlegung in Primfaktoren). Der Chinesische Restsatz besagt somit, dass für x 1,..., x n Z ein x Z mit x x k mod a k für k = 1,..., n existiert, wobei die Restklasse von x in Z/a 1 a n Z eindeutig bestimmt ist. 54

55 2.3 Primideale und maximale Ideale 2.3 Primideale und maximale Ideale Der Ring der ganzen Zahlen Z hat besonders angenehme Eigenschaften. Einerseits haben wir im letzten Abschnitt gesehen, dass Z nur Hauptideale besitzt. Andererseits kann man in Z kürzen: falls ac = bc mit a, b, c Z und c 0 gilt stets a = b. Dies muss nicht immer so sein! In Z/12Z gilt mod 12 obwohl 6 2 mod 12. Hier kann man Z nicht kürzen. Definition Ein Integritätsbereich ist ein Ring R, ungleich dem Nullring, so dass aus a, b R und ab = 0 stets a = 0 oder b = 0 folgt. Bemerkung. In einem Integritätsbereich R kann man kürzen. Sind a, b, c R mit ac = bc und c 0 so folgt (a b)c = 0 und somit a = b. Polynomringe liefern viele Beispiele für Integritätsbereiche. Lemma 2.7. Ist R ein Integritätsbereich, dann ist auch der Polynomring R[X] ein Integritätsbereich. Beweis. Jedes Polynom P R[X] mit P 0 hat die Gestalt p 0 + p 1 X + + p d X d mit p 0,..., p d R und p d 0. Der Index d heißt übrigens Grad von P und wird mit deg P bezeichnet. 2 Ist Q = q q e X e ein zweites Polynom ungleich 0 mit Grad e, so ist das Produkt P Q = p d q e X d+e + }{{} +p 0 q 0. Terme der Ordnung < d + e Weil R ein Integritätsbereich ist und wegen p d 0 q e, folgt p d q e 0. Insbesondere ist P Q 0. Der obige Beweis zeigt auch das folgende Lemma. Lemma 2.8. Ist R ein Integritätsbereich, so gilt für Polyome P, Q 0 in R[X] deg P Q = deg P + deg Q. Korollar 2.9. Für einen Integritätsbereich R gilt (R[X]) = R, wobei R mit der Menge der konstanten Polynome P = a 0 mit a 0 R in R[X] identifiziert wird. Beweis. Für ein konstantes Polynom a 0 R gibt es ein b 0 R R[X] mit a 0 b 0 = 1. Es gilt also sicher R (R[X]). Für eine Einheit P (R[X]) gibt es ein Q R[X] mit P Q = 1. Nach dem vorangegangenen Lemma gilt 0 = deg 1 = deg P + deg Q, was nur für deg P = deg Q = 0 möglich ist. Daher liegen P und Q beide in R R[X] und insbesondere gilt P R. Wir haben also auch (R[X]) R. 2 Es ist sinnvoll, den Grad des Nullelements als zu definieren. 55

56 2 Ringe Schon das einfache Beispiel mod 4 lehrt uns, dass der Quotient eines Integritätsbereiches kein Integritätsbereich sein muss. Definition Ein Ideal I R eines Rings R heißt Primideal, falls für a, b R mit ab I stets a I oder b I gilt. Achtung. Per Definition ist I = R nie ein Primideal von R. Proposition Sei R ein Ring und I ein Ideal. Dann gilt R/I ist ein Integritätsbereich I ist ein Primideal. Beweis. Um die Proposition zu beweisen, ist nur ein gutes Verständnis für die Definition und für Satz 7 nötig. Wir nehmen zuerst an, dass R/I ein Integritätsbereich ist. Sicher gilt R I, da R/I 0. Seien a, b R mit ab I. Das Bild f(ab) unter der Quotientenabbildung f : R R/I ist gerade das Nullelement von R/I. Also gilt f(a)f(b) = 0 in R/I, folglich muss f(a) = 0 oder f(b) = 0 gelten, denn R/I ist ein Integritätsbereich. Daraus folgt a I oder b I weil Ker(f) = I. Also ist I ein Primideal. Für die Umkehrung nehmen wir a priori an, dass I ein Primideal ist. Es gilt R/I 0 da I R. Seien a, b R/I mit a b = 0. Es gibt a, b R mit f(a) = a und f(b) = b in der Notation oben. Wir erhalten 0 = a b = f(a)f(b) = f(ab) und somit ab I. Daraus folgt a I oder b I; in anderen Worten: f(a) = 0 oder f(b) = 0. Bemerkung. Sei R ein Ring. Wir können diese Proposition auf das triviale Ideal I = {0} loslassen und erhalten R ist ein Integritätsbereich {0} ist ein Primideal von R. Woher stammt der Begriff Primideal? Beispiel Jedes Ideal von Z ist von der Form nz für ein n 0. Aber nicht jedes Ideal ist ein Primideal. Z.B. ist 4Z kein Primideal da Z/4Z kein Integritätsbereich ist. Wann ist nz ein Primideal? Falls n = 0 ist, dann ist nz = {0} ein Primideal von Z nach obiger Bemerkung. Im Fall n > 0 brauchen wir einerseits n 1 (da ein Primideal nicht ganz Z sein darf). Andererseits muss Folgendes gelten Das ist gleichbedeutend mit ab nz = a nz oder b nz. n teilt ab = n teilt a oder b Nehmen wir kurz an, dass n als ab faktorisiert mit a, b 1. Dann müsste n entweder einen der Faktoren a, b teilen. Dies ist aber nur möglich, falls n = a oder n = b. Somit muss jede Faktorisierung von n trivial sein. Wir haben also gezeigt, dass n eine Primzahl sein muss oder n = 0 gilt. Weiter unter werden wir zeigen, dass nz ein Primideal ist, falls n = p eine Primzahl ist oder n = 0 gilt. 56

57 2.3 Primideale und maximale Ideale Es kann passieren, dass der Quotient eines Rings ein Körper ist. In Beispiel 2.10(ii) oben haben wir schon R[X]/(X 2 + 1) = C gesehen. Definition Sei R ein Ring. Ein Ideal I R heißt maximal, falls I R und falls I J R = J = I oder J = R. Jedes maximale Ideal kann nur auf triviale Weise vergrößert werden. Die maximalen Ideale von Z lassen sich bestimmen. Beispiel Sei p eine Primzahl. Wir behaupten, dass pz ein maximales Ideal ist. Sicherlich ist pz nicht der ganze Ring Z. (Ansonsten wäre p ein Teiler von 1!) Sei J Z ein Ideal, welches pz enthält. Es muss ein Hauptideal sein, d.h. J = nz für ein n Z. Wegen p nz ist n ein Teiler von p. Es kommt also nur n = 1, p in Frage. Deshalb ist auch J = pz oder J = Z und pz ist somit maximal. Es gibt eine zu Proposition 2.10 analoge Aussage für maximale Ideal. Proposition Sei R ein Ring und I ein Ideal. Dann ist R/I ein Körper I ist ein maximales Ideal. Beweis. Wir nehmen zuerst an, dass R/I ein Körper ist. Sei J ein Ideal von R, welches I echt enthält, d.h. J I. Wir müssen zeigen, dass J der ganze Ring ist. Dazu wählen wir a J I, seine Restklasse a + I ist nicht das Nullelement von R/I. Sie lässt sich also invertieren, d.h. es gibt b R mit ab + I = 1 + I in R/I. Dies bedeutet ab 1 I. Aus a J und I J folgt also 1 J und damit gilt J = R. Für die Richtung = nehmen wir an, dass I ein maximales Ideal ist. Für jedes a R mit a I ist ar+i wieder ein Ideal von R. Es ist größer als I und muss somit jedes Element von R enthalten, insbesondere die 1. Es gibt deshalb b R und c I mit ab + c = 1. Hieraus folgt ab + I = 1 + I: die Restklasse b + I ist das Inverse von a + I. Da a R I beliebig war, folgt dass (R/I) = (R/I) {0} und R/I ist damit ein Körper. Lemma Jedes maximale Ideal eines Rings ist ein Primideal. Beweis. Sei I ein Ideal eines Rings R. Es gilt I maximal Prop Prop = R/I ein Körper = R/I ein Integritätsbereich = I Primideal. Achtung. Die Umkehrung ist komplett falsch: nicht jedes Primideal muss maximal sein. Das Primideal 0Z ist zum Beispiel nicht maximal in Z. Bemerkung. Jedes maximale Ideal von Z ist ein Primideal. Umgekehrt haben wir oben beobachtet, dass pz für jede Primzahl p ein maximales Ideal ist. Insbesondere ist pz ein Primideal. Definition Ist p 2 eine Primzahl, so bezeichnet man den Körper Z/pZ mit F p. 57

58 2 Ringe Korollar 2.13 (Fermats kleiner Satz). Sei p 2 eine Primzahl. Für a Z gilt a p a mod p. Beweis. Falls a pz so ist a p a = a(a p 1 1) durch p teilbar und das Korollar ist bewiesen. Falls a pz so ist die Nebenklasse a + pz in F p {0} = F p, da F p ein Körper ist. Aber die Gruppe F p hat p 1 Elemente. Aus dem Satz von Lagrange folgt a p 1 1 mod p. Multipliziert man diese Gleichung mit a, so erhält man das Korollar. 2.4 Hauptidealringe und euklidische Ringe Definition Ein Integritätsbereich heißt Hauptidealring, falls seine Ideale Hauptideale sind. Beispiel (i) Wir haben schon gesehen, dass Z ein Hauptidealring ist. (ii) Ein Körper K ist ein Hauptidealring, denn die Ideale von K sind {0} und K. (iii) Der Ring C[X, Y ] ist kein Hauptidealring. Im Beweis, dass Z ein Hauptidealring ist, haben wir auf entscheidende Art die Division mit Rest benutzt. Der Begriff des euklidischen Rings abstrahiert das Konzept Division mit Rest. Definition Ein Integritätsbereich R heißt euklidisch, falls es eine Funktion ɛ : R {0} {0, 1, 2, 3,...} mit folgender Eigenschaft gibt. Für a, b R mit a 0 gibt es n, r R mit b = an + r und r = 0 oder ɛ(r) < ɛ(a). In Worten: Wir können b durch a mit Rest r teilen. Entscheidend an der Definition ist, dass uns die Funktion ɛ ein Maß für die Größe eines Elements liefert. Der Rest r nach Division durch a ist vermöge ɛ kleiner als a. Beispiel Die ganzen Zahlen Z bilden zusammen mit ɛ(a) = a einen euklidischen Ring. Proposition Ein euklidischer Ring ist ein Hauptidealring. Beweis. Das Argument ist uns schon einmal im Beweis von Lemma 2.6 begegnet. Sei I ein Ideal eines euklidischen Rings mit Funktion ɛ. Ohne Einschränkung gilt I {0}. Wir wählen a I {0} mit ɛ(a) minimal. Es gilt (a) I und wir werden nun zeigen, dass die umgekehrte Inklusion auch gilt. Sei dazu b I. Es gibt nach Voraussetzung n, r R mit b = na + r und r = 0 oder ɛ(r) < ɛ(a). Auf jeden Fall ist r = b na I. Ist r 0, dann widerspricht ɛ(r) < ɛ(a) die Minimalitätseigenschaft, die wir an a gestellt haben. Also muss r = 0 gelten. Somit ist b = na (a) und daher I (a), da b beliebig war. 58

59 2.4 Hauptidealringe und euklidische Ringe Proposition Sei K ein Körper und K[X] der Polynomring in einer Unbekannten X. Dann ist K[X] vermöge der Gradfunktion ɛ(p ) = deg P ein euklidischer Ring. Beweis. Wir müssen zeigen, dass ein Polynom B K[X] durch ein Polynom A K[X] {0} mit Rest dividiert werden kann. Sei A = a d X d + + a 0 mit a d 0. Es gilt deg A = d. Nehmen wir zuerst deg B < deg A an. Es gilt B = N A + R mit N = 0 und R = B. und wegen ɛ(b) = deg B < deg A = ɛ(a) sind wir bereits fertig. Falls deg B deg A gilt, so ist B = b e X e + + b 0 mit b e 0 und e d. Jetzt setzen wir N = b e a 1 d Xe d K[X] und R = B N A. Das Polynom N ist so gewählt, dass sich der Summand b e X e von B mit dem Summand höchsten Grades von N A in der Differenz B N A wegkürzt. Es gilt also entweder R = 0 oder R 0 und ɛ(r ) = deg R deg B 1 = ɛ(b) 1. Wir brauchen aber, dass deg R kleiner als deg A ist. Um dies zu erreichen, wenden wir den Prozess oben nochmals an, und dividieren R durch A. Wir erhalten somit N, R K[X] mit R = N A + R mit R = 0 oder ɛ(r ) < ɛ(r ). Zusammengefasst also B = N A + R = (N + N )A + R und ɛ(r ) ɛ(r) 2. Ist ɛ(r ) < ɛ(a), so sind wir fertig. Ansonsten finden wir nach Induktion N, R K[X] mit B = NA + R und ɛ(r) < ɛ(a). Bemerkung. Sei K ein Körper. Für jedes Ideal I K[X] gibt es ein P K[X] mit I = P K[X]. Wie kann man anhand von P entscheiden, ob I ein maximales Ideal ist oder nicht? Angenommen P = X. Hier ist I = XK[X] ein maximales Ideal, denn K[X]/XK[X] = K ist ein Körper, cf. Proposition Die gleiche Proposition zeigt, dass P = X 2 1 = (X 1)(X + 1) ist P K[X] kein maximales Ideal ist: der Ring R = K[X]/P K[X] enthält die zwei Nebenklassen X P K[X] und X 1 + P K[X] und deren Produkt ist (X + 1)(X 1) + P K[X] = P K[X], das Nullelement von R. Aber weder X P K[X] noch X 1 + P K[X] ist das Nullelement von R. Also ist R kein Integritätsbereich und daher inbesondere kein Körper. Ob P K[X] ein maximales Ideal ist oder nicht, hängt hier vom Faktorisierungsverhalten ab. Wir werden dieses Phänomen für Hauptidealringe im Allgemeinen weiter erörtern. 59

60 2 Ringe Definition Sei R ein Ring. Ein Element x R heißt irreduzibel, falls x 0, x R, und x = ab mit a, b R = a R oder b R. Beispiel (i) Ein Polynom in K[X] vom Grad 1 ist stets irreduzibel. Lemma Sei K ein Körper und P K[X] ein Polynom. Falls es α K gibt mit P (α) = 0, so gibt es ein Polynom Q K[X] mit P = (X α)q. Beweis. Wir teilen P durch das Polynom X α mit Rest R. Es gilt also P = (X α)q+r für ein Q K[X] und entweder R = 0 oder deg R < deg (X α) = 1. In jedem Fall ist R ein konstantes Polynom, d.h. ein Element aus K. Wir substituieren α für X und erhalten 0 = P (α) = (α α)q(α) + R(α) = R(α) = R. Also gilt R = 0 und damit P = (X α)q. Für Polynome kleinen Grads gibt es ein einfaches Kriterium zu entscheiden, ob sie irreduzibel sind. Korollar Sei K ein Körper und P K[X] K mit deg P 3. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. (i) Das Polynom P besitzt in K keine Nullstelle oder es gilt deg P = 1. (ii) Das Polynom P ist als Element von K[X] irreduzibel. Beweis. Die Richtung (i) =(ii) ist eine direkte Konsequenz des letzten Lemmas. Die Richtung (i)= (ii) beweist sich wie folgt. Zerfällt P in Faktoren AB mit A, B K[X] K, so hat wegen deg A+deg B 3 entweder A oder B Grad 1. Aber ein Polynom vom Grad 1 hat in K eine Nullstelle. Diese Nullstelle ist auch eine Nullstelle von P. Korollar Sei K ein Körper und P K[X] ein Polynom mit P 0. Dann besitzt P höchstens deg P verschiedene Nullstellen in K. Beweis. Seien x 1,..., x d K verschiedene Nullstellen von P. Aus dem vorherigem Lemma und wegen Induktion folgt P = (X x 1 )(X x 2 ) (X x d )Q für ein Polynom Q K[X]. Der Grad links ist deg P und rechts beträgt er d + deg Q d. Lemma Sei R ein Hauptidealring und x R \ {0}. Dann gilt: xr ist ein maximales Ideal x ist irreduzibel 60

61 2.5 Faktorielle Ringe Beweis. Wir zeigen zuerst = : Angenommen x sei nicht irreduzibel. Also x = ab mit a, b R weder Null noch Einheiten. Wir behaupten a xr. Sonst wäre a durch x teilbar und es gäbe y R mit a = xy. Aber x = ab und damit aby = a. Hieraus folgt by = 1, weil R ein Integritätsbereich ist. Dies widerspricht der Tatsache, dass b keine Einheit ist. Das Element a liegt also nicht in xr und aus dem gleichen Grund gilt auch b xr. In R/xR gilt (a + xr)(b + xr) = ab + xr = xr. Aber a + xr und b + xr sind ungleich dem Nullelement. Folglich ist R/xR kein Integritätsbereich und daher auch kein Körper. Wegen Proposition 2.11 ist xr nicht maximal. Jetzt beweisen wir = und nehmen dazu an, dass x irreduzibel ist. Wegen x R ist xr R. Daher reicht es zu zeigen, dass ein Ideal I von R mit xr I entweder gleich xr oder R ist. Da R ein Hauptidealring ist, gilt I = yr für ein y R und daher x yr. Es gibt also ein r R mit x = yr. Wegen der Irreduzibiltät von x folgt y R oder r R. Im Fall y R ist I = yr gleich R. Im Fall r R gilt y = xr 1 und somit yr xr yr, also I = yr = xr. Beispiel (i) Wir wissen, dass R[X] ein Hauptidealring ist. Das Polynom X ist irreduzibel, da es keine Nullstelle in R besitzt. Folglich ist wegen des vorherigen Lemmas der Quotient K = R[X]/(X 2 + 1)R[X] ein Körper. Die Nebenklasse z = X + (X 2 + 1)R[X] erfüllt z 2 = 1. Weiterhin ist jedes Element von K von der Form a + bz wobei a, b R. Als Körper ist K somit zum Körper C der komplexen Zahlen isomorph. (ii) Dieses Mal betrachten wir das Polynom X 2 2. Es hat zwar die reelle Nullstelle 2, aber diese ist nicht rational. Somit ist X 2 2 irreduzibel als Polynom von Q[X]. Wieder ist K = Q[X]/(X 2 2)Q[X] ein Körper und die Nebenklasse x = X + (X 2 2)Q[X] erfüllt x 2 = 2. Jedes Element von K hat die Form a + bx mit a, b Q. Intuitiv ist K der kleinste Körper, der sowohl Q wie auch 2 enthält. Wir schreiben auch gerne K = Q( 2) um zu verdeutlichen, dass K durch Adjunktion von 2 aus Q hervorgeht. 2.5 Faktorielle Ringe Der Ring Z genießt eine ganz schöne Eigenschaft: aus der Schule wissen wir, dass sich jede natürliche Zahl auf eindeutige Art (bis auf Umordnung der Terme) als Produkt 61

62 2 Ringe aus Primzahlen schreiben lässt. D.h. für n N = {1, 2, 3,...} mit gibt es eindeutig bestimmte Primzahlen p 1,..., p g und Exponenten e 1,..., e g, so dass n = p e 1 1 peg g. Z.B = Dass Z ein Hauptidealring ist, ist kein Zufall. Unser vorläufiges Ziel ist es, diese Eigenschaft in der allgemeinen Sprache der Ringtheorie zu formulieren und zu untersuchen, in welchen Ringen eine eindeutige Primfaktorzerlegung existiert. Es wird sich herausstellen, dass in einem Hauptidealring diese Zerlegung immer existiert. Bemerkung. Im Spezialfall R = Z übersetzt sich diese Definition wie folgt. Eine ganze Zahl n 0, ±1 ist irreduzibel, falls sie nur ±1 und ±n als Teiler besitzt. D.h. die Menge der irreduzibeln Elemente ist {±2, ±3,...}. Das ist bis auf das Vorzeichen ± die Menge der Primzahlen. Die Vorzeichen ± schafft ein wenig Unruhe. In Z gilt 15 = ( 3) ( 5) = 3 5 und alle vier Zahlen ±3, ±5 sind irreduzibel. Man kann sich jedoch darauf einigen, dass es sich nicht um zwei grundlegend verschiedene Möglichkeiten handelt, 15 zu faktorisieren. Diese Problem bestand bei N nicht, da es keine negativen Zahlen enthält. (N ist natürlich auch kein Ring.) Wir werden es durch eine Äquivalenzrelation wegdefinieren! Definition In einem Ring R heißen zwei Elemente a, b assoziiert, falls a = bu mit u R. Man kann sich davon überzeugen, dass a und b sind assoziiert eine Äquivalenzrelation auf R definiert. Bemerkung. Zwei Elemente a, b R sind genau dann assoziiert, wenn ar = br gilt. Dies folgt sofort aus der Tatsache, dass in diesem Fall a = bu mit u R gilt. Definition Ein Integritätsbereich R heißt faktoriell, falls jedes Element r R {0} als Produkt r = up 1 p n. (2.2) mit u R und p 1,..., p n irreduzibel geschrieben werden kann und diese Zerlegung bis auf die Reihenfolge und Assoziierte eindeutig ist: wenn r = vq 1 q m mit v R und q 1,..., q m eine andere Zerlegung ist, so gilt n = m und es gibt ein σ S n, so dass p i und q σ(i) assoziiert sind für i = 1,..., n. Den Satz, den wir später beweisen wollen, verbindet Hauptideale und faktorielle Ringe. Satz 9. Hauptidealringe sind faktoriell. Beweis. Später. Hieraus folgt, z.b. dass Z aber auch K[X] (für jeden Körper K) faktoriell ist, denn diese Ringe sind Hauptidealringe. 62

63 2.5 Faktorielle Ringe Achtung. Die Umkehrung von Satz 9 ist falsch. Es gibt faktorielle Ringe, die keine Hauptidealringe sind. Ein Beispiel, ohne Beweis, ist C[X, Y ]. Bevor wir Satz 9 beweisen können, brauchen wir einige Vorbereitungen. Definition Ein Element r 0 eines Integritätsbereichs R heißt Primelement (oder prim), falls (r) R ein Primideal ist. Bemerkung. Unmittelbar aus der Definition von Primideal folgt, dass r R genau dann prim ist, wenn r R {0} und für alle a, b R gilt: r ab = r a oder r b Dabei haben wir x y geschrieben, falls x in R ein Teiler von y ist, also wenn ein r R mit y = xr existiert. Lemma Jedes Primelement eines Integritätsbereichs R ist irreduzibel. Beweis. Sei r R ein Primelement. Dann ist per Definition r 0 und rr ist ein Primideal. Insbesondere gilt r R, weil das Ideal 1R = R kein Primideal ist. Angenommen r = ab mit a, b R. Es folgt ab rr. Wir benutzen nun, dass rr ein Primideal ist, um zu schließen, dass a rr oder b rr gilt. Ohne Einschränkung sei a rr, oder a = rs für ein s R. Es folgt r = ab = rsb. Wir dürfen r kürzen, da R ein Integritätsbereich ist. Demnach gilt sb = 1 und folglich ist b R. Also ist r irreduzibel. Die Umkehrung dieses Lemmas gilt nicht in allgemeinen Integritätsbereichen. Jedoch zeigt die folgende Proposition, dass sie in faktoriellen Ringen gilt. Proposition In einem faktoriellen Ring R ist jedes irreduzible Element prim. Beweis. Wir nehmen an, dass r ein irreduzibles Element von R ist und für a, b R das Produkt ab in (r) liegt. Dann gibt es ein c R mit ab = cr. Weil R faktoriell ist, existieren Zerlegungen a = uπ 1... π r, b = vµ 1... µ s, c = wν 1... ν t mit u, v, w R und π 1,..., π r, µ 1,..., µ s, ν 1,..., ν t irreduzibel. Weil r irreduzibel ist, erhalten wir damit zwei Zerlegungen von ab in ein Produkt von irreduziblen Elementen: ab = uvπ 1... π r µ 1... µ s = wν 1... ν t r. Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung von ab gibt es entweder ein i, so dass r assoziiert zu π i ist, oder ein j, so dass r zu µ j assoziiert ist. Im ersten Fall gilt a (π i ) = (r) und im zweiten Fall b (µ j ) = (r). Da r als irreduzibles Element verschieden von Null und keine Einheit ist, haben wir somit gezeigt, dass r ein Primelement ist. 63

64 2 Ringe Nach dieser Proposition lässt sich jedes Element eines faktoriellen Rings (bis auf eine Einheit) als Produkt von Primelementen schreiben. Die folgende Proposition zeigt, dass jeder Integritätsbereich mit dieser Eigenschaft bereits faktoriell ist. Proposition Ein Integritätsbereich R ist genau dann faktoriell, falls jedes x R \ {0} als Produkt x = uπ 1... π r mit u R und π 1,..., π r prim geschrieben werden kann. Achtung. In dieser Proposition ist nur die Existenz einer Zerlegung in Primelemente gefordert, die Eindeutigkeit der Zerlegung ergibt sich automatisch (siehe Beweis). Das gleiche Argument funktioniert aber nicht, wenn nur die Existenz einer Zerlegung in irreduzible Elemente bekannt ist! Beweis. Die Vorwärtsrichtung ergibt sich sofort aus der Definition von faktoriellem Ring und der vorangegangenen Proposition. Für die Rückrichtung beachten wir, dass nach Lemma 2.20 Primelemente eines Integritätsbereichs irreduzibel sind. Wir wissen also bereits nach Voraussetzung, dass sich jedes Element x 0 von R (bis auf eine Einheit) als Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt und müssen nur noch zeigen, dass diese Zerlegung eindeutig ist. Sei also x = uπ 1... π r mit u R und π 1,..., π r prim die Zerlegung, die nach Voraussetzung existiert, und x = vµ 1... µ s mit v R und µ 1,..., µ s irreduzibel eine beliebige Zerlegung. Das Produkt µ 1... µ s = v 1 x = v 1 uπ 1... π r liegt im Ideal (π 1 ), das nach Voraussetzung ein Primideal ist. Daher gibt es ein i, so dass µ i in (π 1 ) = Rπ 1 liegt. Da µ i irreduzibel ist und π 1 keine Einheit ist, gibt es ein r R mit µ i = rπ 1. Die Elemente µ i und π 1 sind also assoziiert. Nach Kürzen mit π 1 folgt die Gleichung uπ 2... π r = v mit v = vr R. Mit Induktion über r folgt daher, dass r = s gilt und es ein σ S r gibt, so dass π j und µ σ(j) für alle j assoziiert sind. Das zeigt die Eindeutigkeit der Zerlegung in irreduzible Elemente bis auf die Reihenfolge und Assoziierte. Definition Ein Ideal I eines Rings R heißt endlich erzeugt, falls x 1,..., x n I mit I = Rx Rx n =: (x 1,..., x n ) existieren. Ein Ring R heißt noethersch, falls jedes Ideal von R endlich erzeugt ist. s j=1 j i µ j 64

65 2.5 Faktorielle Ringe Beispiel Hauptidealringe sind noethersch. Proposition Jedes Element r 0 in einem noetherschen Integritätsbereich R kann als Produkt r = uπ 1... π r mit u R und π 1,..., π r irreduzibel geschrieben werden. Beweis. Wir nehmen an, dass es ein Element 0 r 0 R gibt, das sich nicht als Produkt der verlangten Form schreiben lässt. Daraus werden wir einen Widerspruch folgern. Natürlich darf r 0 nicht irreduzibel sein. Es gilt also r 0 = a 1 r 1 mit a 1 0 und r 1 0 keine Einheiten. Es gilt daher r 0 R r 1 R. Nach Voraussetzung kann man a 1 und r 1 nicht beide als endliches Produkt von irreduziblen Elemente schreiben. Wir dürfen sogar annehmen, dass r 1 nicht ein endliches Produkt irreduzibler Elemente ist. Insbesondere ist r 1 nicht irreduzibel und r 1 = a 2 r 2 mit a 2, r 2 keine Einheiten und beide ungleich 0. Wie oben dürfen wir annehmen, dass r 2 kein endliches Produkt von irreduziblen Elementen ist und r 1 R r 2 R. Nach einer Induktion erhalten wir eine aufsteigende Idealkette r 0 R r 1 R r 2 R, die nie abbricht. Man überzeugt sich nun leicht davon, dass die Vereinigung I = r 0 R r 1 R r 2 R ein Ideal von R ist. Da R noethersch ist, gibt es x 1,..., x n R mit I = x 1 R + + x n R. Aber dann ist x 1,..., x n r k R für ein k 0. Somit gilt x 1 R + + x n R r k R. Aber dies widerspricht r k R r k+1 R I = x 1 R + + x n R. Damit ist bewiesen, dass sich jedes von Null verschiedene Element von R als Produkt der verlangten Form schreiben lässt. Korollar Ein noetherscher Integritätsbereich, in dem jedes irreduzible Element prim ist, ist faktoriell. Beweis. Die Aussage folgt direkt aus den beiden vorangegangenen Propositionen. Jetzt können wir beweisen, dass Hauptidealringe faktoriell sind. Beweis von Satz 9. Da Hauptidealringe noethersch sind, genügt es wegen des letzten Korollars zu zeigen, dass jedes irreduzible Element r eines Hauptidealrings R ein Primelement ist. Sei also r R irreduzibel. Nach Lemma 2.19 ist rr ein maximales Ideal von R und daher insbesondere ein Primideal von R (Lemma 2.12). Daher ist r ein Primelement. 65

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67 3 Ausblick: Endliche Körper Ein endlicher Körper ist ein Körper, der nur endlich viele Elemente hat. Im letzten Kapitel haben wir bereits die endlichen Körper F p := Z/pZ für p eine Primzahl angetroffen. Im Nachfolgenden möchten wir einen kurzen Überblick über weitere endliche Körper geben. Verschiedene der nachfolgenden Aussagen werden in der Algebra-Vorlesung vertieft behandelt und erst dort vollständig bewiesen. Lemma 3.1. Für einen Körper K gibt es genau einen Ringhomomorphismus φ K : Z K. Der Kern von φ K ist von der Form p K Z mit p K = 0 oder p K eine Primzahl. Definition 3.1. Die ganze Zahl p K in Lemma 3.1 heißt die Charakteristik von K und wird mit char(k) bezeichnet. Beweis von Lemma 3.1. Ein Ringhomomorphismus φ : Z K bildet 1 auf das Einselement 1 K ab und 0 auf das Nullelement 0 K von K ab. Wegen der Homomorphieeigenschaft folgt daher für alle ganzen Zahlen n > 0 und für n < 0 φ(n) = φ(1 } + {{ + 1 } ) = 1 K K =: n 1 }{{} K n n φ( n) = φ(n) = n 1 K. Umgekehrt erfüllt die durch diese Beziehungen definierte Abbildung φ : Z K die Eigenschaften eines Ringhomomorphismus. Daher gibt es genau einen Ringhomomorphismus φ K von Z nach K. Nach dem Homomorphiesatz ist der Unterring Bild(φ K ) K isomorph zu Z/Ker(φ K ). Da ein Körper keine Nullteiler hat, ist Bild(φ K ) ein Integritätsbereich und daher ist Ker(φ K ) ein Primideal von Z. Nach Beispiel 2.11 ist daher Ker(φ K ) von der Form p K Z für p K = 0 oder p K eine Primzahl. Die folgende Proposition zeigt, dass die Ordnung jedes endlichen Körpers eine Primzahlpotenz ist. Proposition 3.2. Ist K ein endlicher Körper, so gibt es eine Primzahl p und ein n 1 mit K = p n. Beweis. Sei p = char(k). Im Beweis des vorangegangenen Lemmas haben wir gesehen, dass Bild(φ K ) = Z/pZ ein Unterring von K ist. Da K endlich ist, muss p 0 gelten. Die Charakteristik p ist also eine Primzahl und K hat einen Unterkörper der Form F p := Z/pZ. Daher können wir K als Vektorraum über F p auffassen (die Skalarmultiplikation 67

68 3 Ausblick: Endliche Körper ist durch die Multiplikation in K gegeben). Da K endlich ist, ist n := dim Fp (K) endlich. Als endlich-dimensionaler F p -Vektorraum ist daher K isomorph zu F n p. Es folgt K = F p n = p n. Umgekehrt gibt es für jede Primzahlpotenz einen Körper mit dieser Ordnung. Der folgende Satz zeigt sogar, dass es bis auf Isomorphie nur einen Körper dieser Ordnung gibt, und liefert damit eine vollständige Klassifikation von endlichen Körpern. Satz 10. Für jede Primzahlpotenz q = p n mit n 1 gibt es bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper F q mit q Elementen. Zudem gibt es ein irreduzibles Polynom f F p [X] mit deg f = n, so dass F q isomorph zu F p [X]/(f) ist. Bemerkung. Die letzte Aussage erlaubt uns, in endlichen Körpern zu rechnen. Insbesondere verwenden Computeralgebrasysteme eine solche Realisierung von F q als Restklassenring des Rings der Polynome über F p. Wir werden nur beweisen, dass es für jede Primzahlpotenz q = p n einen Körper mit q Elementen gibt. Für die Eindeutigkeitsaussage und die zweite Aussage verweisen wir auf die Algebra-Vorlesung. Zunächst zeigen wir, wie wir formal Nullstellen eines Polynoms zu einem gegebenen Körper adjungieren können. Proposition 3.3. Sei K ein Körper und f K[X] ein irreduzibles Polynom vom Grad d. Dann ist L := K[X]/(f) ein Erweiterungskörper von K, in dem f eine Nullstelle hat, und L aufgefasst als K-Vektorraum ist d-dimensional. Beweis. Da f irreduzibel ist und K[X] ein Hauptidealring ist, ist das von f erzeugte Ideal (f) K[X] ein maximales Ideal (Lemma 2.19). Daher ist L ein Körper. Weiter ist λ λ + (f) ein injektiver Homomorphismus K L, weil außer 0 kein konstantes Polynom im Ideal (f) liegt. Somit ist L ein Erweiterungskörper von K. Die Restklasse α := X + (f) L des Polynoms X ist eine Nullstelle von f, denn es gilt f(α) = f(x) + (f) = 0 K[X]/(f). Schließlich bildet (1 + (f), X + (f),..., X d 1 + (f)) eine K-Basis von L, denn diese d Elemente sind linear unabhängig über K, weil aus Gradgründen außer 0 keine K- Linearkombination von 1, X,..., X d 1 in (f) liegt, und sie erzeugen L als K-Vektorraum: für ein beliebiges Element g + (f) L gibt es q, r K[X] mit g = qf + r und r = 0 oder deg(r) < d (vgl. Beweis von Proposition 2.15), daher gilt g + (f) = r + (f) Spann K (1 + (f),..., X d 1 + (f)). Somit ist L als K-Vektorraum d-dimensional. Korollar 3.4. Sei K ein Körper und f K[X] ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es einen Erweiterungskörper M von K, so dass f in M[X] in Linearfaktoren zerfällt. 68

69 Bemerkung. In der Algebra-Vorlesung werden wir zusätzlich zeigen, dass es einen eindeutigen kleinsten solchen Erweiterungskörper M gibt. Hier beschränken wir uns auf die Existenz eines Erweiterungskörpers, über dem f in Linearfaktoren zerfällt. Beweis. Wir beweisen diese Aussage mit Induktion über d = deg f. Für d = 1 können wir M = K wählen. Für d > 1 betrachten wir einen irreduziblen Faktor f 1 von f. Nach der vorangegangenen Proposition existiert ein Erweiterungskörper L von K, in dem f 1 eine Nullstelle α hat. Daher hat auch f die Nullstelle α, nach Lemma 2.16 gibt es also ein g L[X] mit f = (X α)g und deg g = d 1. Nun wenden wir die Induktionsannahme auf L und g an und finden einen Erweiterungskörper M von L, so dass g und somit auch f in M[X] in Linearfaktoren zerfällt. Da M auch ein Erweiterungskörper von K ist, erfüllt M alle Bedingungen. Als weitere Vorbereitung des Beweises der Existenz eines Körpers mit q = p n Elementen beweisen wir das folgende Lemma. Lemma 3.5. Sei K ein Körper mit char(k) = p > 0. Dann ist die Abbildung φ : K K x x p ein Körperhomomorphismus. Bemerkung. Der Homomorphismus φ im Lemma heißt Frobenius-Homomorphismus. Beweis. Klarerweise gilt 1 p = 1 und (xy) p = x p y p für x, y K. Weiter gilt nach dem binomischen Lehrsatz p ( ) p (x + y) p = x k k 1x p k 2 k=0 für x, y K. Nun beachten wir, dass der Binomialkoeffizient ( ) p k = p(p 1) (p k+1) k! für 1 k p 1 durch p teilbar ist, weil die Primzahl p den Zähler von ( p k) teilt, aber nicht im Nenner enthalten ist. Für z K gilt aber nach Definition von p = char(k) pz = z } + {{ + z } = z (1 K K ) = z 0 = 0. }{{} p p Daher verschwinden alle Terme mit 1 k p 1 in der obigen Summe und es folgt (x + y) p = x p + y p für alle x, y K. Somit ist gezeigt, dass φ ein Körperhomomorphismus ist. Beweis eines Körpers mit q = p n Elementen in Satz 10. Wir wenden das vorangegangene Korollar auf das Polynom f := X q X F p [X] an und erhalten einen Erweiterungskörper M von F p, so dass f in der Form f = (X α 1 ) (X α q ) 69

70 3 Ausblick: Endliche Körper mit α 1,..., α q M geschrieben werden kann. Wir behaupten nun, dass F q := {α 1,..., α q } ein Körper mit q Elementen ist. Dazu müssen wir zeigen, dass F q ein Unterkörper von M ist und dass α 1,..., α q paarweise verschieden sind. Dazu beachten wir, dass F q genau die Menge der x M mit φ n (x) = x q = x ist, wobei φ der Frobenius-Homomorphismus x x p aus dem letzten Lemma ist. Daher gilt für x, y F q und z F q \ {0} φ n (x ± y) = φ n (x) ± φ n (y) = x ± y, φ n (xy) = φ n (x)φ n (y) = xy, φ n (z 1 ) = φ n (z) 1 = z 1, also x ± y, xy, z 1 F q. Somit ist F q ein Unterkörper von M. Angenommen, es gelte α i = α j für Indizes i j in {1,..., q}, so ist f durch (X α i ) 2 in M[X] teilbar. Daher ist h(x) := f(x + α i ) in M[X] durch X 2 teilbar, die Koeffizienten von 1 und X in h verschwinden also. Andererseits gilt h(x) = f(x + α i ) = (X + α i ) q (X + α i ) = X q + α q i X α i = X q X, wobei wir beim dritten Gleichheitszeichen benutzt haben, dass M[X] M[X], g g q ein Ringhomomorphismus ist, was genau wie im Beweis von Lemma 3.5 folgt. Daher verschwindet der Koeffizient von X in h nicht, was ein Widerspruch zur obigen Aussage ist. Somit sind α 1,..., α q paarweise verschieden und F q ist also ein Körper mit q Elementen. 70