Algebra SoSe 2010 Spickzettel

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1 Algebra SoSe 2010 Spickzettel Aus Vorlesungs1Wiki Dies der offizielle Spickzettel zur Vorlesung Algebra SoSe 2010 Alle sind herzlich eingeladen, an der Wiki1Seite mitzuarbeiten! Für die Richtigkeit der hier gemachten Angaben wird keinerlei Verantwortung übernommen Konstruktion mit Zirkel Lineal Definition: Aus einer Menge von Punkten lässt sich ein anderer Punkt mit Z & L konstruieren, wenn er Schnittpunkt von zwei Geraden, zwei Kreisen, oder einem Kreis einer Gerade Satz: Für äquivalent: 1 lässt sich mit Z & L aus dem Teilkörper konstruieren 2 liegt in einem Turm quadratischer Erweiterungen in, dh Das regelmäßige 91Eck nicht konstruierbar Zuerst wird gezeigt: nicht rational Beweis: erfüllt die Gleichung Gegenannahme: (Additionstheoreme) Das Polynom hat keine rationalen Nullstellen (gekürzter Bruch) Daraus folgt Man sieht also Aber keine Nullstelle, also exiert keine Noch zu Zeigen: Wenn eine NS hat in, dann auch in Denn dann nicht durch einen Turm erreichbar Sei Einsetzen, wenn : Zweite Gleichung nach auflösen, in die erste einsetzen:, also Nullstelle von Monoide Gruppen Grstrukturen Definitionen Axiome: 0: Kommutativität, 1: Assoziativität, 2: Neutrales Element, 3: Inverses Element Magma abg Verkn Beispiele Halbgruppe X X X Monoid X X X,,,, : komp Träger Gruppe X X X X,, Abelsch X X Homomorphismen Definition Magmen, Gruppen: Bei Gruppen folgt muss erfüllen automatisch, weil Außerdem, also Monoid: Magma +, Beispiele Kategorie Ring: Gruppenhomomorphismus (+) Monoidhomomorphismus ( ) Körper: Def wie bei Ringen, jeder Körperhomomorphismus injektiv 1Moduln: Gruppenhomomorphismus + für Endomorphismus: Homomorphismus in sich selbst, Auto: Iso in sich selbst Magma1) isomorphismen Kategorie sowas wie ein Monoid: sind inverse Gruppen1 (also auch Monoid1 Für ein Homomorphismus Sind Homomorphismen (zwischen verschiedenen Objekten), so auch 3 assoziativ Magma Untermagma: Untermagma, wenn Satz: Für einen Homomorphismus Für Untermagma Untermagma Beweis: Sei also Dann Für Untermagma Untermagma Beweis: Sei also Dann also Monoid Untermonoid: Untermonoid, wenn Erzeugtes Untermonoid: Sei, dann das kleinste Untermonoid von das enthält Es Zum Zyklisches Monoid: bedeutet, das Monoid wird von einem Element erzeugt, zum Beispiel Satz von Cayley: Jedes Monoid isomorph zu einem Untermonoid von für eine geeignete Menge, wobei gewählt werden kann Beweis: Man kann jedem das Element zuordnen Zu zeigen: Die Zuordnung ein Isomorphismus, dh Gruppe bzw Surjektiv nach Def, Injektiv: Inverse Elemente Von einem Monoid sind die invertierbaren Elemente Die Assoziativität garantiert die Eindeutigkeit des Inversen: Angenommen, dann Lineare Gruppen Allgemeine lin Grp: Spezielle lin Grp: Orthogonale Grp: Spezielle orthogonale Grp / Drehgruppe: Untergruppe Untergruppe (geschrieben ), wenn Äquivalent: nicht leer Beispiele: sind die trivialen Untergruppen, Bild Kern von Homoms sind Untergruppen Satz: Ein Gruppenhomomorphismus injektiv dann, nur dann, wenn Denn: Zyklische Gruppen: sind zyklisch Ordnung: Die Ordnung einer Gruppe ihre Kardinalität: Die Ordnung von die Ordnung von Satz von Cayley: Jede Gruppe isomorph zu einer Untergruppe von für eine geeignete Menge, wobei gewählt werden kann Die sind hier immer bijektiv Kommutativität Satz: Eine Gruppe abelsch dann nur dann wenn ein Endomorphismus dann sogar ein Automorphismus Quotientenstrukturen eine abelsche Gruppe Dann eine abelsche Gruppe ein Monoid Homomorphiesatz: Sei ein Magma, sei eine Äquivalenzrelation auf, die mit verträglich, sei der Quotientenhomom Dann für einen Homom äquivalent: Für alle mit Es exiert ein Homom sodass Kanonische Faktorisierung: Jeder Homom zwischen zwei Magmen faktorisiert gemäß : Projektion, : Inklusion, : Iso Ringe Körper Grstrukturen Axiome: 0: Kommutativität, 1: Assoziativität, 2: Neutrales Element, 3: Inverses Element, D: Dributivität A0 A1 A2 A3 D M0 M1 M2 M3 Beispiele Ring X X X X X X X, Kommutativer Ring X X X X X X X X Ringe Divisionsring / X X X X X X X X X Schiefkörper Körper X X X X X X X X X X,, Halbring X X X X X X Komm Halbring X X X X X X X Satz von Cayley: Jeder Ring isomorph zu einem Unterring des Endomorphismenrings einer geeigneten abelschen Gruppe Hierbei kann gewählt werden Bemerkung: kann nur im Nullring gelten da Invertierbare Elemente: werden Einheiten genannt (geschrieben ), Satz: Divisionsring dann nur dann wenn Beweis: genau dann wenn jedes Element invertierbar (M3) genau dann wenn Hinrichtung: GA Nullring (Widerspruch) Rückrichtung: Nullteiler: Gilt,, aber, dann Linksnullteiler Rechtsnullteiler Ist kommutativ, sagt man einfach Nullteiler in Nullteilerfrei Ein Ring nullteilerfrei, wenn Ein Ring mit genau dann nullteilerfrei, wenn Untermonoid von Jeder Körper oder Divisionsring nullteilerfrei Integritätsring ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit Satz: In nullteilerfreien Ringen kann man kürzen Satz: Jeder endliche Integritätsring ein Körper Unterring: Unterring wenn Untergruppe von Untermonoid von Alternativ wenn,, Unterring von Unterkörper: Ein Unterring ein Unterkörper, wenn er ein Körper Alternativ: Wenn schon ein Körper, ein Unterring ein Körper wenn Bruchkörper Definition: Sei ein Integritätsring Ein Bruchkörper von ein Körper zusammen mit einem injektiven Ringhomomorphismus sodass für mit, Universelle Eigenschaft: Ist ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper, dann exiert genau ein Körperhomomorphismus mit gegeben durch Satz: Je zwei Bruchkörper sind kanonisch isomorph Siehe Bild ((REFERENCE: fig:bruch)) Konstruktion: Auf der Menge definiert man die Äquivalenzrelation Der Bruchkörper dann Ideal Definition: heißt Ideal ( ) wenn 1, 2 Beispiele:, : triviale Ideale Kerne von Ringhomomomorphismen Bemerkung: Divisionsringe haben nur die trivialen Ideale Satz: Ein kommutativer Ring genau dann ein Körper, wenn er nur die trivialen Ideale besitzt Satz: wieder ein Ring (eindeutige Struktur) die Projektion ein Ringhomomorphismus Satz: ein Körper dann nur dann wenn eine Primzahl Falls nicht prim, dann also Falls prim, nullteilerfrei, also ein endlicher Integritätsring, also ein Körper Homomorphiesatz: Sei die Projektion auf Für jeden Ringhomomorphismus

2 2 Ringhomom mit Kanonische Faktorisierung: Jeder Ringhomom faktorisiert gemäß Universelle Eigenschaft: Sei ein Homomorphismus Dann exiert genau ein Ringhomomorphismus mit, nämlich: Isomorphiesatz: Sei surjektiver Ringhomom Das Bild eines Ideals ein Ideal Das Urbild eines Ideals ein Ideal Das gibt eine Bijektion zwischen den Idealen den Idealen 4 induziert einen Ringhomomorphismus 5 Für jeden Quotientenring demnach Charakterik: Es exiert genau ein Ringhomomorphismus Sei (Anmerkung: Möglich, weil HIR ) Die Charakterik des Rings, Satz: Für jeden nullteilerfreien Ring Entweder ( Körper Primkörper isomorph zu ) oder eine Primzahl ( Körper Primkörper isomorph zu ) Frobenius1Homomorphismus: Sei ein kommutativer Ring mit (Primzahl) Dann ein Ringhomomorphismus Wenn ein endlicher Körper, ein Automorphismus (Anmerkung: Körperhomos sind injektiv) Kleiner Satz von Fermat: Für alle Primzahlen (mod p) Teilerfremd: Zwei Ideale heißen Teilerfremd, wenn Chinesischer Restsatz: Seien paarweise teilerfremd, kommutativ Dann haben wir einen Ringisomorphismus: Monoidring Definition: Sei ein kommutativer Ring ein Monoid Wir nennen Monoidring von über wenn 1 Unterring im Zentrum von 2 Untermonoid von Jedes schreibt sich eindeutig als Linearkombination wobei endlichen Träger hat Universelle Eigenschaft: Sei ein Ring, ein Ringhomom in das Zentrum, ein Monoidhomom in Dann Ringhomomorphismus, sodass Und zwar: Satz: Je zwei Monoidringe von über sind kanonisch isomorph Denn: Pfeile umdrehen Konstruktion: Betrachte (Abbildungen, gleichbedeutend mit Koeffizienten ) mit den Verknüpfungen Satz: Es Polynomringe Definition: Sei ein kommutativer Ring Ein kommutativer Ring heißt Polynomring in der Variablen über wenn enthält als Unterring, Jedes schreibt sich eindeutig als ( ) heißt Leitkoeffizient heißt Grad des Polynoms ( ) Für das das Einsetzen von in : Eigenschaften vom Grad Der Grad hat folgende Eigenschaften: Für Gleichheit: oder Gleichheit:, oder Dann: Zum Beispiel wenn nullteilerfrei (genau dann wenn nt1frei) Satz: Für jeden Integritätsring Polynomdivision mit Rest: (5X^2+ X1 1) : (X+2) = 5X 1 9 Rest: 17 1(5X^2+ 10X) Polynom von Grad Dann: Satz: In einem Integritätsring für jedes Polynom die Zerlegung in Linearfaktoren eindeutig (bis auf Reihenfolge) Dh ein Polynom von Grad hat maximal Nullstellen Satz: Ein Element dann nur dann mehrfache Nullstelle von in wenn eine gemeinsame Nullstelle von der Ableitung hat keine mehrfachen Nullstellen in Teilbarkeitstheorie in Integritätsringen Assoziierte Elemente: heißen assoziiert ( ) wenn es gibt sodass Es genau dann wenn Teilbarkeit: teilt (geschrieben ) wenn es gibt mit Es genau dann wenn GGT: Die Menge der gemeinsamen Teiler von Wenn 19X1 1 1(19X1 18) ein ggt, dann auch alle Assoziierten von Wenn es 2 ggt gibt, sind sie assoziiert Euklidische Ringe Definition: Eine euklidische Division ("Division mit Rest") auf dem Ring gegeben durch eine Funktion mit eine Abbildung mit sodass mit Ein euklidischer Ring besteht aus einem Integritätsring mit einer euklidischen Division,, Bsp: Erweiterter Euklidischer Algorithmus ggt von in : : Also der ggt : mit : Maximales Ideal Gleichung in lösen Ausklammern, evtl sieht man: keine Lösung Erweiterter eukl Algorithmus (ggf dann Gleichung erweitern) Partikulärlösung Alle Lösungen = Homogene Lösungen + Partikulärlösung Hauptidealringe Definition: Ein Hauptideal in einem Ring ein Ideal der Form mit Ein Integritätsring heißt Hauptidealring wenn jedes Ideal in ein Hauptideal Satz: Jeder euklidische Ring ein HIR Beweis: Teilen mit Rest Faktorieller Ring Irreduzible Elemente: Ein Element (Integritätsring) heißt irreduzibel wenn Aus folgt entweder oder (Invertierbare Elemente sind nicht irreduzibel) Definition: Ein Integritätsring heißt faktoriell, wenn jedes eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren erlaubt, ( : Körper) Satz: Wenn man ein Element aus einem faktoriellen Ring in seine irreduziblen Faktoren zerlegt, sind die Teiler des Elements genau die Produkte der Faktoren Definition: Ein Element heißt prim, wenn Aus folgt oder In einem Integritätsring immer prim Satz: In einem Integritätsring jedes Primelement irreduzibel Satz (Lemma von Euklid): In einem HIR jedes irreduzible Element prim in einem Integritätsring jedes irreduzible Element prim Dann sind Zerlegungen in irreduzible Faktoren eindeutig Noethersche Ringe Satz: Wenn keine Zerlegung in irred Faktoren erlaubt, dann gibt es eine unendliche aufsteigende Kette von Idealen in Definition: Ein Ring heißt noethersch wenn jede aufsteigende Kette von Idealen in stationär Satz: Jeder HIR noethersch damit auch faktoriell Teilerfremdheit Invertierbarkeit Definition: In einem Intring heißen 2 Elemente teilerfremd wenn Satz: Ist ein HIR, dann genau dann in invertierbar, wenn teilerfremd sind Invertieren Invertiere in, dh suche sodass Da teilerfremd sind, der ggt man findet mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus Primideal Saftinition: Für Der Quotient ein Integritätsring Es aus folgt oder Dann heißt Primideal von Beispiel Primideal Denn: Intring aus folgt oder Satz: Primelement wenn Primideal Saftinition: Für Der Quotient ein Körper Für jedes Ideal, entweder oder Dann maximales Ideal von Satz: In einem HIR jedes Primideal maximal ein HIR, Dann genau dann ein Körper, wenn irred Primfaktorzerlegung in Polynomringen Man muss immer ein Repräsentantensystem irreduzibler Elemente Definition: Die Primfaktorzerlegung von einem Element hat die Form wählen heißt Leiteinheit, die Exponentenbewertung Ein Integritätsring genau dann faktoriell, wenn die Zuordnung von zu bijektiv ein Integritätsring Ist faktoriell dann auch Definition: normiert bzgl wenn Definition: Der Inhalt eines Polynoms primitiv, wenn immer primitiv normiert, wenn Satz: Sind primitiv, dann auch primitiv Satz: Zu jedem Polynom exiert genau ein sodass normiert primitiv Es Satz: Zu jedem Polynom ( der Bruchkörper) exiert genau ein sodass normiert primitiv Definition:, en mit Aus folgt Satz von Gauß: Ist ein faktorieller Ring, so auch faktoriell Berechnung des ggt in, 2, reduzieren, Euklidscher Algorithmus 4 Reduzieren: 5 Irreduzibilitätskriterien Satz: Für über einem faktoriellen Ring 1 in irreduzibel 2 in irreduzibel ein Polynom vom Grad oder Dann genau dann irreduzibel in wenn keine Nullstelle in hat

3 irred über, aber über zerlegbar Wenn eine Nullstelle von, dann Satz (Abbildungskriterium): Sei ein Homom zwischen Integritätsringen, fortgesetzt zu Sei primitiv Falls irred in, dann auch irred in in primitiv Reduktion in irreduzibel Also auch irreduzibel Satz (Eisenstein): Sei ein Integritätsring mit Grad mit 1 primitiv Es gibt prim sodass aber sowie (Eisenstein1Polynom) Dann irreduzibel in mit Kreeilungspolynome: x n 1 = (x 1)(x α)(x α n 1 ), wobei In Q: (x n 1) = (x 1)(x n ), falls n prim Klammern irred Matrizenringe, Elementarteilersatz Definition: Eine Matrix in Elementarteilerform, wenn 1 diagonal, dh für Auf der Diagonalen: mit, die heißen Elementarteiler Inverse einer 1Matrix: Sei Dann folgt: ein 1Modul Der Polynomring ein 1Modul Jedes Linksideal ein Linksmodul Definition: Sei ein 1Modul heißt Untermodul über falls eine Untergruppe von Jeder kommutative Ring Modul über sich selbst Die Untermoduln sind genau die Ideale Torsion: Sei ein Integritätsring ein 1Modul heißt Torsionselement wenn mit ein Torsionselement im 1Modul da Definition: Ein 1Modul heißt einfach, wenn für jeden Untermodul entweder oder genau dann einfach, wenn eine Primzahl (Gilt allg in HIR) Ein Modul heißt unzerlegbar, wenn für jede direkte Summe (Anmerkung: ) entweder oder unzerlegbar für prim, aber wenn (Restsatz) Satz: Homo1 Isomorphiesätze gelten wie in Ringen mit Idealen (da Untermodul = Ideal) Freie Moduln Definition: heißt Basis des 1Moduls, wenn ein Erzeugendensystem linear unabhängig Wenn eine Basis hat, heißt frei über frei, nicht frei (als 1Modul), allgemein: frei über Algorithmus von Gauß1Bézout Zeilenoperationen: Sei Spaltenoperationen: Sei Diagonaloperationen: Sei Dann: Dann: Dann: Matrizen: Homomorphismen zwischen freien Moduln können als Matrix geschrieben werden Definition: Bei Moduln über Hauptidealringen sind alle Basen gleich groß, die Größe heißt Rang des Moduls (bei Vektorräumen: Dimension) ein HIR Jeder 1Untermodul frei erfüllt Bei beliebigen Ringen gelten beide Eigenschaften nicht notwendigerweise ein endlich erzeugter 1Modul Dann auch jeder Untermodul über endlich erzeugt Elementarteilersatz: Sei ein HIR sei ein freier 1Modul vom Rang Für jeden Untermodul exiert eine Basis von Elemente mit sodass eine Basis von Die sind eindeutig durch bestimmt heißen Elementarteiler von Das heißt auch, wenn zwei Untermoduln sind, exiert genau dann ein Automorphismus mit wenn die Elementarteiler übereinstimmen ein HIR Zu jeder Matrix exieren invertierbare Matrizen sodass in Elementarteilerform Die Elementarteiler sind eindeutig (bis auf Assoziierte) Moduln Definition (Modul): Sei ein kommutativer Ring Ein 1Modul besteht aus einer abelschen Gruppe mit einer Operation die folgenden Axiomen genügt: 4 Falls nicht kommutativ, Unterscheidung von Rechts1 Linksmoduln Falls ein Körper, ein Vektorraum ein HIR Zu jedem endlich erzeugten 1Modul exiert ein 1Isomorphismus wobei (Rang des freien Anteils) mit (Elementarteiler) eindeutig Satz: Über einem HIR zerlegt sich jeder endlich erzeugte 1Modul gemäß in den Torsionsmodul (eindeutig) einen freien Modul Endliche abelsche Gruppen Um eine Le der verschiedenen abelschen Gruppen der Ordnung zu finden, zerlegt man in Primfaktoren betrachtet wie man die Exponenten als Summe schreiben kann abelsche Gruppen mit Elementen Für 2: dh oder oder Für 3: dh oder Für 5: dh Die Gruppen mit Elementen sind alle Kombinationen dieser Möglichkeiten, also gibt es Möglichkeiten, zb Zerlegung in unzerlegbare Moduln Nach dem chinesischen Restsatz zb sind unzerlegbar Allgemeiner: Gruppentheorie Satz: erzeugt wenn erzeugt weil,, alle Elemente sind Satz: Wenn eine Primzahl, hat Ordnung zyklisch Konjugation Satz: Für Gruppen Spezialfall (SvLagrange): Für jede Untergruppe heißt auch Index von in Definition: Das Zentrum einer Gruppe das was mit allem kommutiert: endliche Gruppe Der Zentralisator eines Elements sind alle Elemente, die mit kommutieren: Die Ordnung jeder Untergruppe teilt die Gruppenordnung Die Ordnung von teilt die Gruppenordnung Deshalb hat eine Gruppe von Primzahlordnung nur die trivialen Untergruppen zyklisch Definition: Eine Untergruppe heißt normal, wenn (dh, Rechtsnebenklassen Linksnebenklassen) für alle Geschrieben: Untergruppen von abelschen Gruppen sind normal Kerne von Gruppenhom sind normal Der Zentralisator exiert auch für Untergruppen (nicht nur einzelne Elemente) Definition: Für definieren wir die Linkskonjugation Rechtskonjugation Satz: Es, ein Gruppenhom mit Satz: Für jeden Gruppenhom Definition:, Satz: Homomorphiesatz erster Isomorphiesatz gelten wie sonst immer Isomorphiesatz: Sei eine Gruppe seien zwei Untergruppen Aus folgt Aus folgt eine Gruppe, Dann Isomorphiesatz: Sei ( oder ), dann Kommutator Definition: Der Kommutator von Die von allen Kommutatoren in erzeugte Untegruppe heißt Kommutatorgruppe von Abelschmachung: abelsch Lemma: Seien endliche Gruppen Dann Direkte Produkte: das innere direkte Produkt von wenn ein Isomorphismus Dann identifizieren wir Satz: Für sind äquivalent 1 das innere direkte Produkt von 2 3 Zyklische Gruppen Definition: Der Normalisator einer Untergruppe das was unter Konjugation invariant lässt: Bemerkung: Definition: heißt charakterisch, wenn für alle dass Operation Definition: Sei eine Gruppe eine Menge Eine Operation von auf eine Abbildung sodass Es gibt auch Rechtsoperationen Definition: Die Bahn / der Orbit von Die Standgruppe / der Stabilisator von Die Fixpunkte der Operation sind Satz: (Bahnengleichung) Für jedes Wenn dann demnach, insbesondere teilt operiert auf sich selbst mit Konjugation, Die Bahn von die Konjugationsklasse die Standgruppe der Zentralisator Die Anzahl der zu konjugierten Elemente Satz (Bahnengleichung): Es Satz: Die Gruppe wird genau dann von erzeugt, wenn der der Hom surjektiv (Additive Schreibweise: ) Satz: Jede Untergruppe zyklisch Jede zyklische Gruppe isomorph zu Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe zyklisch Die Untergruppen von für sind genau wobei die die nicht trivialen Bahnen repräsentieren Es folgt: Satz: Jede zyklische Gruppe der Ordnung hat für jeden Teiler von genau eine Untergruppe vom Index Restsatz: Falls teilerfremd sind, exiert ein Gruppeniso Definition: Eine 1Gruppe eine Gruppe mit Ordnung für ein Satz: Jede nicht1triviale 1Gruppe hat nicht1triviales Zentrum

4 Satz: Für jede Gruppe der Ordnung exiert eine Kette wobei die Ordnung hat, dh zyklisch von Primzahlordnung Satz: Eine endliche Gruppe genau dann eine 1Gruppe, wenn jedes ein 1Element (dh ) Symmetrische / Alternierende Gruppen Definition: Die Fixpunkte einer Permutation sind Der Träger Permutationen heißen disjunkt, wenn, disjunkte Perm kommutieren Schreibweise: Eine Permutation in kann zum Beispiel so geschrieben werden: Alternierende Gruppe Definition: Die Menge der geraden Permutationen die alternierende Gruppe Für trivial, für vom Index, also die Kommutatorgruppe von Satz: Die alternierende Gruppe wird von ihren 1Zykeln erzeugt Satz: Für jedes Wenn dann Wenn dann Satz: Für sind in alle 1Zykel konjugiert Einfache Gruppen Definition: Eine Gruppe heißt einfach wenn sie nur die trivialen normalen Untergruppen hat Äquivalent: einfach, wenn jeder Gruppenhom trivial oder injektiv oder in Zykelschreibweise (disjunkte Zykel immer eindeutig möglich) Definition: Eine Transposition ein er1zykel Die symmetrische Gruppe wird von ihren Transpositionen erzeugt Sogar schon von den Transpositionen benachbarter Elemente Satz: Für hat triviales Zentrum Satz: Für alle Zykel Definition: Ein Zykel der Länge eine Permutation mit alle anderen Elemente sind fix Die Ordnung des Zykels Satz: Jeder 1Zykel schreibt sich als Produkt von Transpositionen: Definition: Sei ein Produkt disjunkter Zykel der Längen Dann die Zykelstruktur von Verlängert um die Fixpunkte erhält man die Bahnenstruktur Dies eine Partition von : Bemerkung: Die Ordnung von Satz: Für jeden Zykel Daraus folgt: Zwei Permutationen sind genau dann konjugiert, wenn sie die selbe Zykelstruktur haben Satz: Sie In der Bahnenzerlegung von treten Bahnen der Länge auf Dann hat der Zentralisator von die Ordnung: Die Konjugationsklasse von hat die Ordnung Signatur Definition:Für exiert genau ein nicht1trivialer Gruppenhom Diesen nennen wir die Signatur, geschrieben Permutationen mit heißen gerade, die mit heißen ungerade Satz: Für einen 1Zykel Satz: Jede Gruppe von Primzahlordnung einfach (isomorph zu ) Eine abelsche Gruppe genau dann einfach, wenn sie von Primzahlordnung Satz: Für einfach (außerdem für, abelsch) Satz: Jede einfache Gruppe mit einer Untergruppe vom Index kann in eingebettet werden Für dann Satz: Für enthält keine Untergruppe vom Index Semidirektes Produkt Definition: das interne semidirekte Produkt von wenn, geschrieben Internes externes Produkt: Wir wollen die Verknüpfung von definieren Sind dann geht das wie folgt durch Einfügen von : Das heißt internes semidirektes Produkt Steht die Operation durch Konjugation nicht zur Verfügung, weil nicht, kann man das ersetzen durch einen beliebigen Gruppenhomomorphismus definieren: Das heißt dann externes semidirektes Produkt Das interne semidirekte Produkt also das externe mit der Operation Für ergibt sich das direkte Produkt Die Diedergruppe mit en zwei Primzahlen Wenn dann exiert nur ein semidirektes Produkt der Form, nämlich das direkte Produkt Gilt hingegen dann exiert außerdem ein nicht1triviales semidirektes Produkt Dieses bis auf Isomorphie eindeutig Sylow1Sätze Satz (Cauchy): Teilt eine Primzahl die Ordnung der Gruppe dann exiert ein Element der Ordnung damit eine Untergruppe der Ordnung Definition: Sei prim Sei eine Gruppe der Ordnung mit Eine p1sylow1untergruppe von eine Untergruppe der Ordnung Die Menge der p1sylow1untergruppen bezeichnen wir mit Satz (Sylow): Sei prim wie oben Dann Jede p1untergruppe von liegt in einer p1sylow1untergruppe von Dh es exiert mindestens eine p1sylow1untergruppe in Je zwei p1sylow1untergruppen sind in konjugiert Ihre Anzahl erfüllt, Satz: Eine p1sylow1gruppe einzig genau dann, wenn normal in eine endliche Gruppe die Anzahl der 1Sylowgruppen Dann gibt es einen Homomorphismus (Konjugation (Anmerkung: Ein permutiert die Sylowgruppen durch Konjugation, die Abbildung von auf diese Permutation)) Ist einfach nicht trivial (nicht für alle ), so sogar injektiv, also ein Teiler von Satz: Sind Untergruppen mit Dann Gilt andererseits, so entweder oder Satz: Sind Normalteiler mit, dann Satz: Wenn K < S n eine Unterruppe von Index 2, dann K = A n Satz: Wenn es nur eine p1sylowgruppe in einer Gruppe H gibt, dann P G Satz: Sei G eine endliche Gruppe r die Anzahl der p1sylowgruppen Dann gibt es einen Homomorphismus phi:g nach S r Ist G einfach phi nicht trivial, so isr phi sogar injektiv, also G ein Teiler von r!= S r Sei eine einfache Gruppe der Ordnung Zeigen Sie, dass es in genau zehn 31Sylowgruppen gibt, es muss gelten: Daraus folgt kommen in Frage Zu 1: Dann wäre, Widerspruch zu einfach Zu 4: Da einfach nicht trivial (je 2 Sylowgruppen sind konjugiert) folgt (Widerspruch) Also gibt es 31Sylowgruppen Auflösbare Gruppen Definition: Eine endliche Gruppe heißt auflösbar, wenn es eine Folge Untergruppen gibt sodass jeweils normal vom Primindex Jede zyklische Gruppe eine endliche Gruppe auflösbar: Ist auflösbar, dann sind auch alle Untergruppen Quotienten auflösbar Sind auflösbar, auch auflösbar Definition: Aus einer Gruppe leiten wir die Kommutatorgruppe ab: Die abgeleiteten Gruppen sind Satz: Für jede endliche Gruppe 1 auflösbar Es exiert eine Kette mit zyklisch Es exiert eine Kette mit abelsch 4 Die Kette endet mit von Körpererweiterungen Zu jedem Körper enthält der Polynomring den Körper als Unterkörper Dies auch für den Bruchkörper der rationalen Funktionen, also dieser eine Körpererweiterung von Notation: eine Homomorphismus zwischen den Körpererweiterungen von sodass (Geht auch zb mit oder ) Definition: Die Dimension von als 1Vektorraum heißt Grad der Erweiterung Ist irreduzibel (über ), dann wieder ein Körper vom Grad, zum Beispiel hat Grad über (Basis: ) Satz (Gradformel): Für Körpererweiterungen Algebraische Erweiterungen Definition: heißt einfache Erweiterung, wenn es gibt mit Dann heißt primitives Element der Körpererweiterung Definition: Sei Körpererweiterung heißt algebraisch über wenn es ein Polynom gibt mit Sonst heißt transzendent über Wenn jedes algebraisch, heißt algebraische Körpererweiterung Saftinition: Sei eine Körpererweiterung Für jedes Das Element algebraisch über Die Erweiterung endlich über Der erzeugte Teilring ein Körper: Dann exiert genau ein normiertes Polynom minimalen Grades mit Dieses heißt Minimalpolynom von : Die Dimension von über Satz: Jede endliche Erweiterung algebraisch Enthält nur algebraische Elemente über, algebraisch über Zerfällungskörper Satz (Kronecker): Sei ein Körper Zu jedem vom Grad exiert ein algebraischer Erweiterungskörper in dem eine Nullstelle hat Satz: Ein Körperhom über (dh ) bildet Nullstellen von in auf Nullstellen von in ab Insbesondere: Körperautomorphismen permutieren Nullstellen en einfache algebraische Erweiterungen Genau dann exiert ein Körperiso mit wenn Definition: Sei eine Körpererweiterung Wir sagen zerfällt über, wenn es gibt sodass Gilt zudem dann nennen wir einen Zerfällungskörper von über (so wenig wie möglich so viel wie nötig) Satz: Zu jedem Polynom exiert ein Zerfällungskörper über Je zwei Zerfällungskörper sind isomorph Allgemeiner: Sei ein Körperiso Sei Zerfällungskörper Sei das entsprechende Polynom in der Zerfällungskörper davon Dann exiert ein Körperiso mit Algebraischer Abschluss Definition: Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen wenn jedes über zerfällt heißt algebraischer Abschluss wenn algebraisch abgeschlossen

5 Satz: Für jeden Körper Jedes mit hat eine Nullstelle in 2 alg abg Jedes irred Polynom in hat Grad 4 Für jede algebraische Erweiterung algebraische Erweiterung Dann Jedes zerfällt über Jedes zerfällt über Satz: Zu jedem Körper exiert ein algebraischer Abschluss Je zwei alg Abschlüsse sind isomorph über ein Körperiso Sei eine algebraische Erweiterung ein alg Abschluss Dann ex ein Körperhom mit Ist zudem algebraisch abgeschlossen algebraisch, dann jeder Körperhom über ein Isomorphismus Endliche Körper Klassifikation Satz: Endliche Körper erlauben folgende Klassifikation: Jeder endliche Körper hat Elemente wobei Denn: enthält als Primkörper darüber ein VR, also isomorph zu Zu jeder Primzahlpotenz mit exieren Körper mit Elementen Denn: Der Zerfällungskörper von über hat Elemente Zwei endliche Körper mit gleicher Elementenzahl sind isomorph Teilkörper: Sei ein Körper der Ordnung mit prim Dann hat jeder Teilkörper Ordnung mit Umgekehrt exiert für jeden Teiler in genau ein Teilkörper der Ordnung Automorphismen: Sei ein Körper der Ordnung mit prim Dann eine zyklische Gruppe der Ordnung der Frobenius1Homomorphismus Galois1Korrespondenz: Gilt hier genauso wie allgemeiner in Kapitel 14 Galois1Theorie Definition: Eine algebraische Körpererweiterung heißt galoissch wenn Trivialerweise, die Bedingung besagt dass jedes Element aus von einem Automorphismus bewegt wird Satz: Für jede endliche Körpererweiterung genau dann galoissch wenn Gleichheit Satz (Galois1Korrespondenz): Sei galoissch Die Zwischenkörper der Erweiterung korrespondieren mit den Untergruppen von : Zu einem Zwischenkörper haben wir Zu einer Untergruppe haben wir Es Für zwei verschiedene Zwischenkörper, Grad Index entsprechen sich: galoissch genau dann wenn, dann für Separable Erweiterungen Definition: Sei ein Körper ein alg Abschluss heißt separabel, wenn es in lauter verschiedene Nullstellen hat Gleichbedeutend mit, irreduzible Polynome sind separabel genau dann wenn Ein algebraisches Element heißt separabel über wenn sein Minimalpolynom separabel über Eine algebraische Erweiterung heißt separabel wenn jedes separabel über Definition: Ein Körper heißt vollkommen, wenn jede alg Erweiterung separabel Zum Beispiel jeder Körper mit Charakterik vollkommen (da ) Satz: Ein Körper der Charakterik genau dann vollkommen, wenn der Frobenius1Homomorphismus ein Automorphismus Satz (Steinitz): Sei eine endliche Erweiterung Genau dann exiert ein primitives Element wenn nur endlich viele Zwischenkörper besitzt Satz: Ist endlich separabel, dann exiert ein primitives Element Saftinition: Sei eine alg Erweiterung alg Abschluss Wir nennen konjugiert über wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten: Es gibt einen Hom über mit Es gibt einen Hom über mit Für die Minimalpolynome über Normale Erweiterungen Saftinition: Sei alg Abschluss Dann Für jeden Hom Zu jedem Element enthält auch alle Konjugierten von in über Hat ein irred Polynom eine Nullstelle in, so zerfällt es über 4 der Zerfällungskörper einer Menge von Polynomen über Dann heißt normal Satz: Für jede algebraische Körpererweiterung galoissch genau dann wenn normal separabel Dann für jeden Zwischenkörper die Erweiterung auch galoissch Galois1Gruppe einer Gleichung Definition: Sei separabel Sei der Zerfällungskörper von über Die Galois1Gruppe nennt man dann auch die Galois1Gruppe von über, geschrieben Satz: Für jedes separable operiert seine Galois1Gruppe auf der Nullstellenmenge Dadurch erhalten wir einen injektiven (nicht unbedingt bijektiven) Gruppenhomomorphismus wobei die Nullstellenmenge von Insbesondere für den Zerfällungskörper dass mit irreduzibel mit Grad prim, mit reellen zwei komplex konjugierten Nullstellen Dann (Symmetrische Gruppe der NS von ) Anwendungen der Galois1Theorie Konstruktion mit Z & L Definition: Das 1te Kreeilungspolynom Beispiel für : Sei Dann (alle anderen haben Ordnung, hat Ordnung wenn ) Satz: Für jedes irreduzibel in en komplexe Zahlen Dann Der Punkt mit Zirkel Lineal konstruierbar ausgehend von Ausgehend vom Grkörper gibt es einen Turm quadratischer Erweiterungen mit Die Zahl algebraisch über die normale Hülle (Anmerkung: Die Erweiterung von mit b zu einem über K konjugiert ( der alg Abschluss)) von über hat als Grad eine Zweierpotenz, also für ein Satz: Das regelmäßige 1Eck genau dann mit Zirkel Lineal konstruierbar, wenn mit Fermat1Primzahlen (Anmerkung: Primzahlen ) Auflösbare Erweiterungen prim Sei Körper mit, der eine primitive 1te Einheitswurzel enthält Für 1 mit Die Erweiterung galoissch vom Grad Definition: Eine endliche Erweiterung heißt Radikalerweiterung wenn es gibt mit Eine Körpererweiterung heißt durch Radikale auflösbar wenn es eine Erweiterung einen Turm von Radikalerweiterungen gibt ein Polynom über einem Körper der Charakterik Dann genau dann über durch Radikale auflösbar, wenn die Galois1Gruppe auflösbar Jedes Polynom mit Grad durch Radikale auflösbar, weil sich die Galois1Gruppe in die einbetten lässt, die auflösbar Von Diese Seite wurde zuletzt am 16 September 2010 um 13:49 Uhr geändert