Ubungsbuch Mathematik for

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1 Heinz Rapp J. Matthias Rapp ee Ubungsbuch Mathematik for Fachschule Technik und Berufskolleg

2 Heinz Rapp J. Matthias Rapp 00 Ubungsbuch Mathematik f(ir Fachschule Technik und Berufskol leg Anwendungsorientierte Aufgaben mit ausfiihrlichen Liisungen Mit 320 Abbildungen Viewegs FachbiJcher der Technik v,eweg

3 Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet fiber < abrufbar. 1. Auflage Mai 2007 Alle Rechte vorbehalten 9 Friedr. Vieweg & Sohn Yerlag ] GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen yon Springer Science+Business Media. Das Werk einschlieslich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschfitzt. Jede Verwertung auserhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzueissig und strafbar. Das gilt insbesondere ffir Vervielf~iltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Technische Redaktion: Hartmut Kfihn von Burgsdorff, Wiesbaden Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Druck und buchbinderische Verarbeitung: T~fnskfi Tiskfirna, a. s., Tschechien Gedruckt auf s~iurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in the Czech Republic ISBN

4 V Vorwort Mathematische Grundkenntnisse lassen sich durch st~ndiges 0ben und Wiederholen festigen. Dem vielfachen Wunsch, f0r das Lehrbuch,,Mathematik f(3r die Fachschule" ein Lbsungsbuch bereitzustellen, in dem der Lbsungsweg mit allen Zwischenschritten dargelegt ist, wird mit diesem 0bungsbuch entsprochen. Die ausf0hrlichen Lbsungen vieler dieser Aufgaben sind in diesem Buch enthalten. Ein Grol~teil neuer Aufgaben ist jedoch hinzugekommen. Das 0bungsbuch hat das Ziel, vielen, die aus der Mathematik Lecken mitbringen, zu einem besseren Verst&ndnis f(~r die mathematischen Zusammenh&nge zu verhelfen. F(~r den Gebrauch des Buches wird empfohlen, die Aufgaben erst selbst durch einen eigenen Lbsungsweg zu Ibsen. Vielfach wird sich dabei zeigen, dass es in manchen F&llen auch andere Lbsungswege gibt, als sie in dem Buch dargelegt sind. So kann das Buch hilfreich sein f0r die Vorbereitung zu Klausuren und Pr0fungen. Da der Stoff bis zur Fachhochschulreife und teilweise dar0ber hinausgeht, kann es auch eine Hilfe sein fer die Anfangssemester in den verschiedenen Studieng~ngen einer Hochschule. Wir w0nschen deshalb allen Interessierten ein gutes Arbeiten mit diesem Buch und einen guten Erfolg insbesondere auch beim Seibststudium. Stuttgart, im April 2007 Heinz Rapp J. Matthias Rapp Ein besonderes Wort des Dankes an Herrn Dipl.-Ing. Thomas Zipsner vom Lektorat Technik des Vieweg Verlages f0r seine zahlreichen wertvollen mathematischen Hinweise, die sehr zum Gelingen des Buches beigetragen haben, sowie f0r seine Mitarbeit beim Korrekturlesen.... Herrn Hartmut K(Jhn-von Burgsdorff, von der Technischen Redaktion des Verlages, der in bew~hrter Weise zu einer gef~lligen Buchgestaltung beigetragen hat.

5 VII In haltsve rze i ch n is A Algebra Elementare Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division Potenzen, Wurzeln und Logarithmen... 3 Algebraische Gleichungen Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Wurzelgleichungen Ungleichungen Einfache lineare Ungleichungen Bruchungleichungen Lineare Gleichungssysteme Konventionelle L~sungsverfahren Gaul~'sches Eliminationsverfahren (GauFo'scherAIgorithmus) Determinantenverfahren Lineares Optimieren Exponential- und Logarithmusgleichungen Exponentialgleichungen Logarithmusgleichungen B Geometrie L~ingenberechnungen am Dreieck ,~,hnlichkeitss~itze (Strahlens~tze) Pythagoras Trigonometrie Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck Analytische Geometrie Geraden und Strecken

6 Vlll Inhaltsverzeichnis 9.2 Kreis und Gerade Fl~chenberechnung (Planimetrie) Geradlinig begrenzte Fl~ichen Kreisf~rmig begrenzte Fl~chen Volumenberechnung (Stereometrie) Prismatische KOrper Pyramidenf~rmige und kegelf~rmige K~rper Kugelf~rmige Beh~ilter C Differenzialrechnung 12 Funktionen und Relationen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Exponentialfunktionen Trigonometrische Funktionen Differentiation elementarer Funktionen Nullstellen und Extremsteilen ganzrationaler Funktionen Nullstellen und Extremstellen von Exponentialfunktionen AIIgemeine Ableitungsregeln Produktregel Quotientenregel Kettenregel Logarithmische Ableitung Anwendung der Differentialrechnung auf Ganzrationale Funktionen Tangente und Normale Kurvendiskussion Funktionssynthese Extremwertaufgaben Newton'sches N~iherungsverfahren Ganzrationale Funktionen Exponentialfunktionen Trigonometrische Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Exponentialfunktionen Kurvendiskussion

7 I nhaltsverzeichnis IX 18.2 Funktionsgleichungen aus Vorgaben Differentiation trigonometrischer Funktionen Kurvendiskussion Funktionssynthese Extremwertaufgaben D Integralrechnung 20 Fl~ichenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung Ganzrationale Funktionen Exponentialfunktionen Trigonometrische Funktionen Rotationsvolumen Rotation urn die x-achse Rotation urn die y-achse E Vektorrechnung 22 Vektoroperationen (Vektoralgebra) Vektorbetrag, Addition, Subtraktion Produkte von Vektoren Analytische Geometrie auf Vektorbasis Geraden Ebenen F Komplexe Rechnung 24 Komplexe Arithmetik Anwendungen der komplexen Rechnung