3. Magnetostatik 3.1. Permanentmagnete

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1 3. Magnetostatik 3.1. Permanentmagnete Altertum: Fund magnetischer Steine bei Magnesia (Kleinasien) Heute: Magnetfelder Empirische Befunde: elektrische Ströme magnetische Materialien mikroskopische Kreisströme und Spins a) Es gibt zwei magnetische Pole: N ( Nord ) S ( Süd ) Anziehung Abstoßung b)es wurden bisher keine magnetischen Monopole beobachtet Sägen Magnetfeldlinien sind stets geschlossen, d.h. sie enden nie

2 Empirisches magnetisches Kraftgesetz: sehr lange Magnetstäbe quasi isolierte Magnetpole p 1, p 2 : Polstärken p 1 p 2 Analogie zum Coulomb-Gesetz: Definition: μ 0 = magnetische Permeabilitätskonstante (Zahlenwert aus Def. von 1A) Folge: Quantifizierung der Polstärke analog zur elektrischen Ladung

3 Feldkonzept (im Vakuum): p 2 0 ist Probepol im Magnetfeld von p 1 Definition: Magnetische Erregung Definition: Magnetische Feldstärke Einheiten der magnetischen Feldstärke: SI: cgs-system: Beispiele: Erdmagnetfeld (Oberfläche) 20μT NMR-Tomograph: 1T Supraleitende Magnete (Beschleuniger): 10T Neutronensterne (Oberfläche): 10 8 T

4 3.2. Magnetfelder stationärer Ströme Beobachtung: Stationäre Ströme erzeugen Wirbelfelder Feldrichtung wechselt mit Stromrichtung Feldrichtung aus Rechte-Hand-Regel Quantitative Messung I Folgerung ( Tafel): beliebiger geschlossener Weg um Strom I

5 Empirische Beobachtung: Dies ist kein Zufall, sondern gilt für beliebige Stromkonfigurationen Ampèresches Gesetz mit Das Wegintergal des Magnetfeldes um den Rand einer beliebigen Fläche ist proportional zum gesamten Strom, der diese Fläche durchsetzt (Vorzeichen gemäß Umlaufsinn und Rechte-Hand-Regel) Rundweg A Fläche A

6 3.3. Feldgleichungen Beobachtung 1: es gibt keine magnetischen Monopole das Magnetfeld ist quellenfrei magnetische Feldlinien sind geschlossen jede Feldlinie, die in ein beliebiges Volumen eintritt, verlässt dieses auch wieder Folgerung: Der magnetische Fluss durch die Oberfläche jedes Volumens ist Null:

7 Umformulierung mit dem Gaußschen Integralsatz: für jedes Volumen Folgerung: Feldgleichung 1

8 Beobachtung 2: Ampèresches Gesetz Rundweg A Fläche A Umformulierung mit dem Stokesschen Integralsatz: für jede Fläche Folgerung: Feldgleichung 2

9 Intermezzo: Zum Stokesschen Satz Zerlege Fläche in viele infinitesimale Kästchen K 1, K 2, K 3,... Wegintegrale über innere Kästchenkanten heben sich paarweise auf; nur äußere Kästchenkanten tragen bei

10 Betrachte Kästchen K i y-achse IV III II I x-achse I II III IV

11 y-achse IV III II I x-achse

12 3.4. Das Vektorpotential Frage: Gibt es auch für Magnetfelder ein Potential? Antwort 1: es gibt keine skalare Potentialfunktion φ B Antwort 2: es gibt eine Vektorpotentialfunktion mit Bemerkung: Vektorpotential ist nicht eindeutig Eichfreiheit des Vektorpotentials analog zur der in der Elektrostatik:

13 Zusammenfassung: Homogene Gleichungen Inhomogene Gleichungen (Quellgleichungen) Potential-Darstellungen Elektrostatik keine Wirbel Ladungen sind Quellen des E-Feldes Magnetostatik keine Ladungsquellen Ströme erzeugen magnetische Wirbelfelder Eichfreiheit

14 3.5. Spezielle Stromverteilungen a) Stromdurchflossener Leiter Symmetrie r I 0 r 0 B r 0 r

15 b) Zylinderspule: außen Streufeld: I 0 I 0 innen L, N Kreisströme I 0 d real: endlich lang, endliche Wicklungsdichte Streufelder entweichen im Unendlichen ideal: unendlich lang und dicht gewickelt unabhängig von d homogenes Feld Wicklungsdichte

16 Praktische Realisierung des (fast) homogenen B-Feldes: R B(z) (auf Achse) R z z Helmholtz-Spule Optimale Homogenität im Spulenzentrum

17 c) Ringspule: Symmetrie r I 0 Windungszahl N im Inneren der Spule Außenraum feldfrei

18 3.6. Das Biot-Savart-Gesetz Problem: Linienstrom I entlang eines beliebigen Weges c Biot-Savart-Gesetz I c Beweis: Tafel

19 Beispiel: Stromschleife Magnetfeld auf der z-achse: z R I

20 z R I

21 z mit Magnetisches Dipolmoment R I

22 Allgemeines Resultat für : z R I Dipolfeld Bemerkung: Resultat gilt für beliebige Form der Fläche. Das magnetische Dipolmoment ist eine charakteristische Größe!

23 3.7. Die Lorentz-Kraft q Experimentelle Beobachtung: Coulomb- Kraft Lorentz- Kraft

24 Experimentelle Tests: a) Kraft auf stromdurchflossenen Leiter n = #Ladungen q pro Volumen a = Leiterquerschnitt = Driftgeschwindigkeit der Ladungen q df dl B I #q pro s durch a #Ladungen in dl

25 Spezialfall: Zwei parallele Drähte I 1 durch Draht 1 Kraft auf Draht 2: 2 1 I 2 I 1 r Anziehung, falls I 1 und I 2 Abstoßung, falls I 1 und I 2 gleichsinnig gegensinnig Kraft pro Länge: Einheit 1 A wurde oben so definiert, dass

26 b) Fadenstrahlrohr: U Anode Glühkathode e dünnes Gas (Argon) R Glas- Kolben Messung von e/m Alternative Methoden zur e/m-messung: Kathodenstrahlröhre mit überlagerten E- und B-Feldern ( Grundlagenpraktikum)

27 c) Barlowsches Rad: Rad Rad Achslager Achse Achse + N S e Hg Hg Lorentzkraft auf Elektronen überträgt sich durch Reibung der Elektronen im Metall auf das Rad

28 d) Hall-Effekt: Hall- Spannung U H + V e d + Fehlstellenleitung Löcher in p-dotierten Halbleitern Elektronenleitung Metalle oder Halbleiter

29 Hall- Spannung U H + V e d + Quantitativ für einen Ladungsträgertyp: Magnetische Kraft pro Volumen: Elektrische Kraft pro Volumen: (durch Ladungsträgertrennung) Hall-Feldstärke

30 Hall- Spannung U H + V e d + Quantitativ für einen Ladungsträgertyp: Hall-Konstante:

31 Hall- Spannung U H + V e d + Metalle, n-halbleiter: q e U H > 0 p-halbleiter: q +e U H < 0 n(halbleiter) n(metalle) Halbleiter-Hallsonden sehr sensitiv (B-Feld-Messung bis 10 6 T)

32 3.8. Magnetische Felder in Materie Magnetisierung Problem: Statische magnetische Felder in Materie atomarer magnetischer Dipol: Atomkern R e q,m Bohrsches Atommodell: Bohrsches Magneton

33 Magnetischer Dipol im Magnetfeld: R e q,m Kraft: Drehmoment:

34 Drehmoment: R e q,m Gemittelt über einen Umlauf: Magnetisches Moment wird entlang B-Feld ausgerichtet!

35 Potentielle Energie des magn. Dipols: Drehe Dipol gegen rücktreibendes Dreh moment von 0 nach θ verrichtete Arbeit geht in potentielle Energie: R e q,m Nullpunkt der potentiellen Energie beliebig Kraft auf Dipol im inhomogenen Magnetfeld:

36 Magnetisierung: Ausrichtung atomarer magnetischer Dipole i. Durch äußere Magnetfelder induzierte atomare Ringströme ii. Permanente atomare Ringströme ( ) iii. Eigendrehimpulse (Spins) ungepaarter Elektronen a) Äußere freie Stromdichte (nicht im Material induziert) erzeugen Vakuum-Anteil des Magnetfeldes: Magnetische Erregung: b) Im Material induzierte Stromdichte erzeugt Magnetisierung:

37 Fazit: Magnetostatik in Materie (Materialgleichung) Ohne Beweis: Magnetisierung = mittleres magn. Moment pro Volumen Nach Definition: (Feldgleichung 1) Auch im Material gibt es keine magnetischen Monopole! Folgerung: (Feldgleichung 2)

38 Magnetische Suszeptibilität Definition: magnetische Suszeptibiliät (Materialparameter, ggf. H-abhängig, T-abhängig, Zahl oder Matrix) relative Permeabilität: Feldgleichungen in Materie: Faustregel: Für homogene isotrope Medien ersetze in allen Formeln für das Vakuum einfach μ 0 durch μ μ 0.

39 Beispiel: Spule mit Eisenkern Streufelder entweichen im Unendlichen Eisenkern, μ Wicklungsdichte n Stoffklassen: 1.Diamagnete: χ m < 0 2.Paramagnete: χ m > 0 3.Ferromagnete: χ m > 0 Kraftwirkung: diamagnetisch para-/ferromagnetisch

40 Messung von χ m : Faraday-Methode: Probe Skala < 0 N r S Gouy-Methode: m V=aL eingetauchtes Volumen N z z 0 S homogen

41 Diamagnetismus abgeschlossene Elektronenschalen l = 0, kein Spin keine permanenten atomaren magnetischen Dipolmomente Induzierte Dipole wirken abschwächend ( Lenzsche Regel, s.u. ) Abschätzung der Größenordnung: Zentripetalkraft: Atomkern extern R 1Å B 1T q = e l = 0: Diamagnetismus, sehr kleiner Effekt l > 0: p atomar Δp m Para/Ferromagn. R e q,m e

42 Paramagnetismus Permanenete atomare magn. Momente : statistisch orientiert B = 0: B 0: θ (extern) Thermisches Gleichgewicht (Boltzmann-Statistik) (wobei N = #magn. Momente pro Volumen) Kleine Magnetfelder bzw. hohe Temperatur A = Normierungskonstante

43 Abkürzung: Normierung: θ (extern) Mittlere Ausrichtung Magnetisierung

44 Curie-Gesetz M M S Sättigung M S = Np m Ende des linearen Bereichs Beispiel: p m = 1 μ B B = 1 T T = 20 C M = M S winzig! B

45 Ferromagnetismus Atome/Moleküle mit ungepaarten äußeren Elektronen Spin p m Quantenmechanische Austauschwechselwirkung der Elektronen permanente atomare magn. Momente p m : spontan kollektiv orientiert Bsp.: Eisen (Fe), Cobalt (Co), Nickel (Ni): 3 ungepaarte d-elektronen Kein äußeres Feld Zustände minimaler Energie haben M tot = 0 Magn. Domänen ( Weißsche Bezirke) spontan magnetisiert Kritische Temperatur (Curie-Temperatur T C ) Ferromagnetismus falls T < T C Phasenübergang Paramagnetismus falls T > T C

46 Äußeres B-Feld Wandern der Domänenwände, Ausweitung der Domänen hörbares Barkhausen Rauschen (Umklappen der p m ) Energieverbrauch (gewonnen aus potentieller Energie der p m im B-Feld) Magnetisierungsweg: Folge benachbarter lokaler Energieminima abhängig von Vorgeschichte Hysterese-Kurve Elektrodynamik Remanenz M Koerzitivfeld Neukurve B Wärme Fläche