Physikpraktikum für Pharmazeuten Universität Regensburg Fakultät Physik. 7. Versuch: Pharmakokinetische Modelle

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1 Physikpraktikum für Pharmazeuten Universität Regensburg Fakultät Physik 7. Versuch: Pharmakokinetische Modelle

2 1 Einführung Genau genommen werden wir aus physikalischer Sicht in diesem Versuch nichts Neues kennenlernen. Stattdessen besteht das Ziel des heutigen Experiments darin, Konzepte, welche wir in den vorherigen Unterrichtsstunden gelernt haben, zu benutzen und mit ihnen Situationen zu simulieren, denen man häufig in der Pharmakologie und der Medizin begegnet. Wie Sie von Versuch 6 wissen, hängt die Geschwindigkeit mit der ein Kondensator entladen werden kann vom Strom (Ladung pro Einheitszeit), der durch den Widerstand fließt, welcher benutzt wird um die Pole des Kondensators kurzzuschließen, ab. Dieser Strom ist jedoch proportional zur Spannung (I = V/R, Ohmsches Gesetz), welche wiederum proportional zur Ladung ist (V = Q/C). Daher ist also die zeitliche Ableitung der Ladung Q (entspricht dem Strom: d dt Q Q = I) proportional zu (minus) der Ladung selbst. Es gibt sehr viele Situationen bei denen die Änderungsrate einer Größe A (nämlich seine zeitliche Ableitung) zu jedem Zeitpunkt t proportional zu der Größe A selbst ist. Die Lösung dieses Problems ist bekannt: A(t) = A 0 exp(t/t 0 ), (1.1) wobei A 0 der Wert dieser Größe zur Zeit t = 0 und t 0 die reziproke Proportionalitätskonstante zwischen A und deren Ableitung ist. Da Sie bereits wissen, dass ein Kondensator diese Aufgabe ebenso löst, können wir einige davon verwenden um verschiedene, womöglich komplizierte Situationen analog zu simulieren. Daher werden wir vier Konfigurationen von Kondensatoren betrachten, welche vier mögliche Probleme in der Pharmakologie und Biologie repräsentieren. Um für diese eine Lösung zu finden, besteht eine Möglichkeit darin die Gleichungen aufzuschreiben und sie zu lösen. Wir werden stattdessen die Spannungen an jedem Kondensator messen und so die Dynamik unseres Problems ableiten. In gewisser Weise nutzen wir die Kondensatoren daher als analoge Computer. 2

3 Konzentration (oder Spannung) 1=Konzentration am Anfang 2 Theorie 2.1 Entladung eines Kondensators (intravenöse Verabreichung) Ein Beispiel, das der einfachen Entladung des Kondensators entspricht, ist der Abbau eines intravenös verabreichten Medikaments. Zum Startzeitpunkt liegt die maximale Konzentration des Medikaments im Blut vor. Dieses wird ohne Verzögerung durch die Leber in den Stoffwechsel aufgenommen und damit dem Blutkreislauf entzogen. Mathematisch wird dieser Vorgang durch die in der Einführung erklärte Formel 1.1 beschrieben. Natürlich ersetzen wir dazu die allgemeine Größe A durch die Konzentration c. c(t) steht hier für die zum Zeitpunkt t verbliebene Restmenge, und c 0 für die Startkonzentration. c(t) = c 0 e t t 0 (2.1) Analog dazu lädt man einen Kondensator mit der Spannung U 0 (entspricht der Anfangskonzentration). Entlädt man diesen über einen Widerstand R (vergleiche Abb. 2.1) und misst dabei die Spannung, so erhält man einen Kurvenverlauf, wie man ihn für die intravenöse Verbreichung eines Medikaments erhalten würde. Die Zeitkonstante t 0 gibt den Zeitpunkt an, zu dem noch 1/e der Anfangsspannung/Arzneimittelkonzentration vorhanden ist. Sie ist sozusagen der geschwindigkeitsbestimmende Faktor. Abbildung 2.1: Kinetik 1. Ordnung: Abbau der Konzentration eines Arzneistoffes. 3

4 2.2 Aufladen eines Kondensators (perorale Applikation) Die mathematische Beschreibung des Ladevorgangs eines Kondensators ist der Entladung sehr ähnlich. Sobald der Kondensator über einen Widerstand mit der Spannungsquelle U 0 verbunden wird, fließen Ladungen auf den Kondensator. Die Ladegeschwindigkeit (wie viele Ladungen pro Zeit noch auf die Kondensatorplatten fließen) hängt davon ab, wie viele Ladungen schon auf den Kondensatorplatten sind. Als Analogie kann man den Übergang eines Wirkstoffes ins Blut (welcher als Tablette geschluckt wurde) betrachten. Die Konzentrationsänderung im Blut ist direkt proportional zur Konzentration der im Verdauungstrakt verbliebenen Restmenge des Medikaments. Die in Gl.1.1 angegebene e-funktion beschreibt z.b. bei einer Lösungskinetik eines Arzneistoffes für jeden Zeitpunkt t die Restmenge c(t) des vorhandenen Arzneistoffes. Hier ist das Verhalten komplementär. c 0 ist die Konzentration bei der das Medikament (nach einer sehr langen Zeit) komplett absorbiert wurde. n(t) hingegen bezeichnet die Menge des Medikaments, welche noch nicht ins Blut absorbiert wurde (und sich daher immer noch im Darm befindet). Für diese Größe können wir die Argumentation des vorherigen Abschnitts anwenden. Daher folgt das Verhalten von n(t) der Gleichung n(t) = n 0 exp( t/t 0 ). Offensichtlich gilt außerdem beim Startzeitpunkt t = 0 : n(t = 0) = n 0 = c 0. Die Größe, welche uns nun jedoch interessiert, ist die zum Zeitpunkt t bereits im Blut gelöste Menge c 0 n(t). Wir nennen diese L(t) und erkennen, dass ihre funktionale Abhängigkeit von der Zeit t durch c 0 (1 exp( t/t 0 )) gegeben ist: L(t) = c 0 n(t) = c 0 (1 exp( t/t 0 ) (2.2) Will man wissen wie viel Prozent der endgültigen (Höchst-)Konzentration bereits absorbiert wurde, muss die obige Gleichung in die folgende umgeformt werden: L(t) c 0 = 100 (1 exp( t/t 0 )[%] (2.3) Abbildung 2.2: Übergang einer oral verabreichten Arznei ins Blut. 4

5 2.3 Realistischere Beschreibung von Arzneistoffumsetzungen In den beiden vorherigen Fällen haben wir die Reaktionskinetik stark idealisiert. Bei der intravenösen Applikation wurde eine ultraschnelle Anreicherung des Wirkstoffs im Blut angenommen und bei der oralen Verabreichung von einer unendlichen Eliminationszeit ausgegangen. Den zweitgenannten Vorgang betrachten wir nun mit einem realitätsgetreueren Modell. Nimmt man eine Tablette ein, so muss für einen realen Prozess berücksichtigt werden, dass der Wirkstoff in einer endlichen Zeit aufgenommen wird (entspricht einem Ladeprozess). Zeitgleich beginnt der Körper jedoch schon den aufgenommenen Wirkstoff abzubauen (Entladevorgang). Mathematisch ist dieser Fall schon etwas komplexer. Aber glücklicherweise haben wir ja Kondensatoren um diesen Vorgang simulieren zu können. Wir müssen nur eine geeignete Schaltung aufbauen und die Schalter in der richtigen Reihenfolge bedienen (siehe Abb.2.3(c)). Als Erstes wollen wir den vorderen Kondensator C 1 aufladen, wofür wir Schalter S 1 schließen und Schalter S 2 offen halten. Danach öffnen wir S 1 und schließen S 2. In dieser Schaltung repräsentiert C 1 die geschluckte Medizin, während R 2 die Leber (Elimination) darstellt. Können Sie sich bereits vorstellen, wie der Verlauf der Messkurve aussehen sollte? 2.4 Hormone Eine noch komplexere Situation erhält man, wenn z.b. ein Enzym die Produktion eines weiteren Stoffes anregen soll. Sobald das Enzym verabreicht wurde, beginnt es sich im Blutkreislauf anzureichern (entsprechend einem Ladevorgang). Der bereits im Blut gelöste Anteil an Enzymen regt nun zeitgleich die Produktion eines anderen Stoffes im Körper an (entsprechend eines weiteren Ladevorgangs). Ist der Wirkstoff komplett gelöst (Sättigung der Enzymanreicherung im Blut), erreicht auch die Wirkstoffproduktion ihr Maximum (Umsatzgeschwindigkeit der enzymgetriebenen Stoffproduktion geht in Sättigung). In unserem Elektronikbeispielen entspricht das Schaltung 2.3(d). Sobald der Schalter geschlossen wird, beginnt der Kondensator C 1 damit sich aufzuladen. Seine Spannung V 1 nimmt zu und wirkt dabei als Batterie für den zweiten Kondensator C 2, welcher nun ebenso aufgeladen wird. 5

6 Enzym Konzentration (oder Spannung) 1=Konzentration am Anfang (a) Zu Beginn (t = 0) wird Schalter geöffnet (Injektion abgeschlossen) U 0 C R (b) Zu Beginn (t=0) wird Schalter geschlossen (Tablette geschluckt) U 0 R C (c) S 1 S 2 R 1 Vorher Schalter 1 geschlossen Schalter 2 offen [Tablette vorbereitet] C 1 C 2 R 2 then Schalter 1 geöffnet und Schalter 2 geschlossen [Tablette geschluckt] (d) R 1 R 2 C 1 C 2 Durch Enzym stimulierte Produktion eines Stoffes Abbildung 2.3: Übersicht von Schaltungen zu Simulation von Reaktionskinetiken. 6

7 3 Versuchsdurchführung Folgende Experimente sollen durchgeführt werden: 1. Entladung eines Kondensators Intravenöse Applikation 2. Aufladung eines Kondensators Perorale Applikation 3. Auf- und Entladen eines Kondensators Realistisches Modell einer peroralen Applikation 4. Aufladen eines zweiten Kondensators Hormonreaktion Bei diesen Experimenten sollen die Ladungs- und Entladungsvorgänge bei Widerstands- Kondensator-Netzwerken gemessen und in QtiPlot mit dem Rechner ausgewertet werden. Wir verwenden dazu sowohl den selben Aufbau als auch das selbe Messprogramm wie im vorherigen Versuch 6. Lesen Sie sich die dortige Anleitung bitte nochmals durch um für diesen Versuch gut vorbereitet zu sein. 3.1 Aufgaben Entladung eines Kondensators: Eliminationskinetik Abbildung 3.1: Schaltung zum Aufzeichnen einer Abklingfunktion (Kinetik 1. Ordnung). Bauen Sie analog zu Abb. 3.1 eine Schaltung mit Kondensator und Widerstand auf. Der Kondensator ist ein Elektrolytkondensator. Achten Sie deshalb bitte beim Aufbau 7

8 der Schaltung auf seine richtige Polung. Messen Sie nun die Entladekurve des Kondensators mit einer Messzeit von 500 Sekunden. Dies funktioniert analog zu Versuch 6. Sie finden in der zugehörigen Anleitung eine Erklärung der Messvorschrift. Der Entladungsvorgang des Kondensators über den Widerstand kann in folgender Weise mit der Kinetik der Konzentration eines Arzneistoffes im Blutkreislauf nach intravenöser Applikation verglichen werden: durch das Verabreichen des Medikamentes i.v. mit der Spritze befindet sich zu diesem Zeitpunkt die maximale Konzentration des Wirkstoffes im Blutkreislauf (der Kondensator enthält die maximale Anzahl von Ladungen). Durch Eliminationsprozesse nimmt die Konzentration c des Medikamentes im Blut langsam ab (Ausgleich der Kondensatorladung über den Widerstand). Die Abnahmegeschwindigkeit dc/dt ist proportional zur jeweils noch vorhandenen Konzentration (Kinetik 1. Ordnung). Übernehmen Sie Ihre Messdaten in QtiPlot und zeichnen Sie die Funktion: f(t) = 100 U(t) U 0 [%] (3.1) Die Ladung Q (Anzahl der Elektronen) Q = C U im Kondensator entspricht also der gesamten im Blutkreislauf befindlichen Menge (Anzahl der Wirkstoff-Moleküle) des Medikamentes. Die Kondensatorspannung U = Q/C (Ladung pro Kapazität) entspricht bei dieser Analogie der Konzentration der Wirkstoff- Moleküle im Blutkreislauf (Moleküle pro Volumen). Im 6. Versuch haben Sie gelernt, dass die Spannung des Kondensators bei Entladung folgender Gesetzmäßigkeit folgt: U(t) = U 0 e t RC [V] oder U(t) U 0 = 100 e t RC [%] (3.2) Die Analogie der Gleichung der Kinetik erster Ordnung (Gl. 3.2) besagt, dass in unserem Analogrechner für die Konstante t 0 gilt: t 0 = RC Ermitteln Sie dieses t 0 auch aus ihren Messdaten (Exponentieller Fit). t 0 hat die Dimension [s]. Können Sie das nachvollziehen? Berechnen Sie die prozentuale Abnahme der Wirkstoffskonzentration c(t) im Blut, indem Sie in Gl. 3.2 die tatsächlichen Werte für R und C einsetzen. Vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihrer experimentellen Kurve der Kondensatorentladung. Schätzen Sie durch einen neuen Rechenvorgang, welcher Widerstand ungefähr nötig wäre, um die Größenordnung der Elimination der Abb. 2.1 zu erreichen Aufladung eines Kondensators: Lösungskinetik Das nächste Beispiel befasst sich mit der Aufladung eines Kondensators. Wie oben angeführt, beschreibt die komplementäre e-funktion (1 e t/t 0 ), z.b. bei einer Lösungskinetik einer Tablette, die Menge des im Lösungsmittel freigesetzten Arzneistoffes. Bauen 8

9 Abbildung 3.2: Kinetik 1. Ordnung: Messung der Aufladung eines Kondensators. Sie die Schaltung entsprechend der Abbildung über Messung der Aufladung eines Kondensators auf und nehmen Sie die Kurve analog zur vorherigen und in Versuch 6 bereits durchgeführten Weise auf (Zeit der Aufnahme: 500s). Nach dem Schließen des Schalters wird der Kondensator über den 100 kohm-widerstand so lange aufgeladen, bis die Spannung am Kondensator 2V erreicht hat. Zum Zeitpunkt des Schließens des Schalters ist die Kondensatorspannung 0 V. Um sicher zu sein, dass der Kondensator vollständig entleert ist (d.h. Q = 0, V = 0), schließen Sie für ein paar Sekunden seine Pole kurz, BEVOR Sie den Schalter schließen (der Kondensator entlädt sich nun über den Widerstand des Kabels. Dies geht sehr schnell, da dieser Widerstand sehr gering ist, was zu einer sehr kleinen charakteristische Zeitkonstante t 0 = 1/RC führt). In diesem Moment fällt die gesamte Spannung von 2 V am Widerstand ab, es fließt der maximal mögliche Strom von I = 2V = 20µA (3.3) 100kΩ in den Kondensator. Je höher die Spannung im Kondensator anwächst, umso niedriger wird der Ladestrom durch den Widerstand. Diskutieren Sie analog die Pharmakokinetik am Beispiel der Lösung des Arzneistoffes aus einer Tablette. Übernehmen Sie ihre Messdaten in QtiPlot und zeichnen Sie wieder die Funktion f(t) (Gl. 3.1). Benutzen Sie diesmal Gl.2.2 der Kinetik erster Ordnung. Setzen Sie zuerst die tatsächlichen Werte für R und C ein. Schätzen Sie anschließend den nötigen Aufladungswiderstand R, um die Größenordnung des zeitlichen Zuwachses von Abb. 2.2 experimentell modellieren zu können Ladung und Entladung eines Kondensators: Realistisches Modell Es liegt folgender Fall vor: Der Arzneistoff wird peroral als Arzneistofflösung appliziert (also geschluckt!). Die Absorption aus dem Gastrointestinaltrakt in den Blutkreislauf erfolgt nach einer Kinetik 1. Ordnung und wird von dort mit einer Kinetik 1. Ordnung wieder eliminiert. Die 9

10 Konzentration des Arzneistoffes im Blut wird also ansteigen und nach Überschreiten eines Maximums wieder gegen Null gehen. In dem Analogrechner (siehe Abb. 3.3) entspricht die Ladungsmenge des ersten Kondensators (er wird mit dem Kabelschalter S 1 auf 2 V aufgeladen) der Menge des oral eingenommenen Arzneistoffs. Der zweite Kondensator steht für den Blutkreislauf, in den der Wirkstoff übertritt ( über den ersten 100 kohm-widerstand ). Der zweite 100 kohm-widerstand beschreibt die Elimination des Wirkstoffes. Bauen Sie die Schaltung nach Abb. 3.3 auf. Der Schalter S 2 ist zunächst offen. Durch Schließen von S 1 wird der Kondensator auf 2 V aufgeladen ( das Arzneimittel wird bereitgestellt ). Danach wird S 1 geöffnet und anschließend S 2 geschlossen: Das Arzneimittel tritt in den Blutkreislauf ein! und der Ausgleichsvorgang beginnt. Messen Sie die Entladung des Kondensators C 2 über den Widerstand R 2. Übernehmen Sie die Messwerte in QtiPlot, und zeichnen Sie die Funktion f(t) (vgl. Gl. 3.1). Diskutieren Sie das Ergebnis qualitativ. S 1 S 2 R 1 100KW 2V C 1 C 2 R 2 470mF 470mF 100KW Abbildung 3.3: Skizze einer Schaltung, welche den Prozess, wenn wir eine Medizin zu uns nehmen, realistischer simuliert. Das Medikament wird mit einer bestimmen Zeitkonstante 100kΩ C 1 aufgenommen (bzw. C 1 wird geladen) und mit der Zeitkonstante 100kΩ C 2 eliminiert Aufladung eines zweiten Kondensators, Hormone Der Fall eines Stoffes, welcher die Produktion eines anderen Stoffes anregt, kann mit der Schaltung in Abb.3.4 simuliert werden. Zunächst wird der erste Kondensator C 1, aufgeladen - unter Spannung u 1 (t). Verzögert dazu wird der zweite Kondensator C 2 - Spannung u 2 (t) - von der ansteigenden Spannung u 1 des ersten Kondensators aufgeladen. Bauen Sie die Schaltung nach Abb. 3.4 auf, und messen Sie die Aufladung des Kondensators C 2. Übernehmen Sie die Messwerte in QtiPlot und 10

11 Abbildung 3.4: Skizze einer Schaltung, welche die Aufladung eines Kondensators über einen anderen Kondensator modelliert (vergleichbar zu einem Hormon, dass durch eine andere Medizin stimuliert wird). zeichnen Sie die Funktion f(t). Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem Ergebnis aus Abschnitt Was stellen Sie fest? Beziehen Sie sich dabei auch auf (Abb. 2.2). 11