Kapitel 13. Die atmosphärische Grenzschicht Einleitung

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1 Kapitel 13 Die atmosphärische Grenzschicht 13.1 Einleitung Bisher haben wir uns mit der freien Tropospäre und mit der Stratosphäre beschäftigt. Diese Schichten zeichnen sich dadurch aus, dass das geostrophische Windgleichgewicht angenähert gültig ist und dass Reibungskräfte eher unwichtig sind. Dies ändert sich in der untersten Schicht der Atmosphäre, der sogenannten Grenzschicht (englisch: atmospheric boundary layer ABL oder planetary boundary layer ). In diesem Abschnitt diskutieren wir einige wichtige Aspekte dieser Schicht. Die folgende Abbildung zeigt eine Messtation, wie sie im Kansas-Feldexperiment verwendet wurde, um die Struktur der homogenen Grenzschicht zu studieren. Fig.1: Die flache und homogene Oberfläche während dem Kansas-Feldexperiment. Die Messinstrumente sind auf einem Turm angebracht, so dass ein vertikales Profil der untersten Grenzschicht erhalten werden kann [entnommen aus Haugen et al, 1971]. 1

2 Eine andere Möglichkeit zum Studium der Grenzschicht ist in der folgenden Abbildung gezeigt. Es handelt sich um einen LIDAR-Scan der Aerosolbelastung in der Umgebung von Vancouver. Rot sind Gebiete markiert mit einer hohen Aerosolbelastung, blau solche mit einer niedrigen Belastung. Durchgezogen und strichliert sind die diagnostizierte Höhe der Grenzschicht und die Entrainment-Zone eingezeichnet. Die Anströmung ist von West. Die Abbildung zeigt sehr schön den Land-Meer-Einfluss auf die Höhe der atmosphärischen Grenzschicht. Fig.2: LIDAR-Scan der Aerosolbelastung der Luft in der Umgebung von Vancouver. Durchgezogen und strichliert sind die diagnostizierte Höhe der Grenzschicht und die Entrainment-Zone eingezeichnet. Die Anströmung ist von West [Entnommen aus Hägeli, 1998, reproduziert im Vorlesungsskript Grenzschichtmeteorologie von M.Rotach] Aufbau und Tagesgang [a] Die Troposphäre kann in zwei Schichten unterteilt werden. In der bodennahen Schicht, der sogenannten Grenzschicht ( atmospheric boundary layer ), ist Reibung wichtig und Turbulenz häufig anzutreffen. Dies ist im Gegensatz zur freien Troposphäre, in welcher Reibungsprozesse bedeutend weniger wichtig sind, und wo deshalb das geostrophische Windgleichgewicht mit grösserer Genauigkeit erfüllt ist. Typischerweise erstreckt sich die Grenzschicht auf ca. 1 km über der Erdoberfläche. Dieser Wert kann aber wesentlich ändern je nach Tageszeit und nach geografischer Lage. Die folgende Abbildung zeigt sehr schematisch die diskutierte Zweiteilung der Troposphäre: 2

3 Fig.3: Unterteilung der Tropophäre in zwei Teile: Eine Grenzschicht (schattiert) nahe der Erdoberfläche und eine freie Atmosphäre oberhalb der Grenzschicht [entnommen aus An introduction to boundary layer meteorology von R.B.Stull]. Die Obergrenze der (konvektiven) Grenzschicht ist oft gut erkennbar. Sie fällt zusammen mit einer begrenzenden Inversion ( capping inversion ), welche die vertikale Ausbreitung der turbulenten Strömung in der Grenzschicht verhindert. Die Höhe dieser begrenzenden Inversion ist zwar recht variabel, liegt typischerweise jedoch unterhalb von 2-3 km. Ein Beispiel für eine solche Grenzschicht ist in der folgenden Abbildung gezeigt: Fig.4: Vertikales Profil der Aerosolkonzentration (in willkürlicher Einheit) und der potentiellen Temperatur (in K) um 11:00 Lokalzeit bei Taron, Queensland. Die Profile wurden am 7. September 1989 mit einem bodengestützten LIDAR-System gemessen [entnommen aus The atmospheric boundary layer von J.R.Garratt]. Über Wüstengebieten kann die Grenzschicht im Sommer selbst Höhen von 5 km und mehr erreichen. Im Gegensatz hierzu erreicht die Grenzschicht in stabilen Nachtbedingungen oft nur Höhen von m. Schliesslich ist die Grenzschicht über den Ozeanen und in mittleren Breiten oft etwa 500 m dick. [b] Häufig kann auch die atmosphärische Grenzschicht in weitere Schichten unterteilt werden. Im sogenannten Roughness Layer sind die Temperatur- und Windprofile sehr 3

4 stark durch die einzelnen Rauigkeitselemente (Bäume, Wiesen, Gebäude,...) bestimmt. Im darüber liegenden Inertial Sublayer weist das Windprofil kaum eine Drehung mit zunehmender Höhe auf, während im Ekman Layer eine charakteristische Drehung des Windes mit der Höhe vorhanden ist. In diesem Ekman Layer wird auch die Rotation der Erde wichtig. Die Unterteilung ist stark schematisiert im folgenden Diagramm gezeigt: Fig.5: Schematische Darstellung der Struktur der Grenzschicht für die Strömung über eine airodynamisch raue Oberfläche. [entnommen aus The atmospheric boundary layer von J. R. Garratt]. [c] Typische Eigenschaften der Grenzschicht sind: (a) hoher Grad an Turbulenz, (b) grosse Energiedissipation infolge der grossen Reibung, (c) rasche vertikale Durchmischung von Spurengasen. Es ist klar, dass diese unterste Schicht der Atmosphäre von überragender Bedeutung für den Menschen ist. Denn wir verbringen fast unser ganzes Leben in dieser Schicht. Meteorologisch ist die Schicht sehr wichtig, weil zum Beispiel Schadstoffe in der Grenzschicht gefangen bleiben können. Generell bestimmt die Dynamik der Grenzschicht auch, ob und wie irgendwelche Aerosole, Wasserdampf oder andere Stoffe von den bodennahen Schichten in die freie Atmosphäre gelangen können. Vielleicht das wesentlichste Merkmal der Grenzschicht ist die Dominanz von turbulenter Strömung und Durchmischung. Hierbei weist diese Turbulenz jedoch einen klaren Tagesgang auf, besonders über dem Festland. Dies illustriert die folgende Abbildung, in welcher der Tagesgang einer typischen Grenzschicht über Festland aufgezeigt ist: 4

5 Fig.6: Die Grenzschicht in einem Hochdruckgebiet und über Land besteht aus drei hauptsächlichen Teilen: (a) ein sehr turbulent-durchmischter Mixed Layer, (b) ein weniger turbulent-durchmischter Residual Layer, welcher wesentliche Teile der vorherigen turbulenten Luft enthält, und (c) eine nächtliche stabile Grenzschicht ( nocturnal stable layer ), in welcher Turbulenz nur sporadisch auftritt [entnommen aus An introduction to boundary layer meteorology von R.B.Stull]. Um die Mittagszeit kann man zum Beispiel eine sehr turbulente Schicht erkennen, den Convective Mixed Layer. Die konvektive Durchmischung kann in dieser Schicht durch die folgenden zwei Mechanismen zustande kommen: (a) Eine starke Aufheizung der Erdoberfläche führt zum konvektiven Aufsteigen von Warmluftblasen, (b) die strahlungsbedingte Abkühlung an der Wolkenoberseite (die Wolken befinden sich in der Grenzschicht) führt zum lokalen Absinken von einzelnen Luftpaketen. Neben der Erzeugung von Turbulenz durch konvektiv aufsteigende und absinkende Luftpakete, kann Turbulenz auch durch starke vertikale Windscherung erzeugt werden Eine solche ausgeprägte Änderung der Windstärke mit der Höhe trifft man oft in der Grenzschicht an. Vor Sonnenuntergang nimmt die Erzeugung von Turbulenz ab. Die ursprünglich turbulente Luft bleibt als sogenannter Residual Layer übrig. Diese Schicht bleibt im wesentlichen neutral geschichtet. Dies ist im Gegensatz zur bodennächsten Schicht ( stable nocturnal boundary layer ), in der sich eine stabile Schicht aufbaut. Beachte, dass sich dieser Unterschied in der Stabilität auch auf die Ausbreitung von Schadstoffen auswirkt. Im neutral geschichteten Residual Layer herrscht eine ungefhr isotrope Turbulenz vor. Die Rauchfahne aus einem Turm wird sich konusförmig von ihrer Quelle ausbreiten. Insbesondere gibt es auch eine Aufweitung in vertikaler Richtung. In einer stabilen Schicht hingegen (im stable nocturnal layer ) wird die vertikale Ausbreitung stark erschwert. Diese beiden Situationen sind schematsich in der folgenden Skizze gezeigt: 5

6 Fig.7: Die statische Stabilität nimmt in der nächtlichen Grenzschicht mit zunehmender Höhe ab. Im obersten Teil ( Residual Layer ) ergibt sich eine annähernd neutrale Schichtung. Die Abnahme der Stabilität ist links mit dem zunehmenden Abstand der isentropen Flächen angedeutet. Die Abnahme hat einen wichtigen Einfluss auf die Ausbreitung der Rauchfahnen aus den beiden skizzierten Schornsteinen [entnommen aus An introduction to boundary layer meteorology von R.B.Stull] Turbulente Flüsse - Reynold sche Mittelung Eine zentrale Fragestellung der Grenzschichtmeteorologie ist, wie sie die Wechselwirkung zwischen der Erdoberfläche und der freien Troposphäre vermittelt. Um dies studieren, müssen die turbulenten Flüsse (zum Beispiel von fühlbarer und latenter Feuchte, von Impuls,...) in der Grenzschicht betrachtet werden. Dies führt zum sehr wichtigen Konzept der Reynold schen Mittelung. Betrachte dazu die folgende Zeitreihe der horizontalen und vertikalen Windgeschwindigkeit sowie der Temperatur. Fig.8: Ein kurzer Abschnitt aus einer Messung der horizontalen Windgeschwindigkeit, der vertikalen Windgeschwindigkeit und der Temperatur auf einer Höhe von 2m über dem Boden. Die Messtation befand sich in der Universität von Reading, UK [entnommen aus Dynamical Meteorology: An introductory selection von B. W. Atkinson]. Bei allen drei Messgrössen findet man ausgeprägte kurzzeitige Schwankungen. Es lohnt sich deshalb, die Zeitreihen in zwei Anteile zu zerlegen. Der erste Anteil beschreibe den Verlauf der zeitlich gemittelten Grössen. Die Glattheit der erhaltenen Kurven hängt wesentlich vom Zeitfenster der Glättung ab. Die Wahl dieses Zeitfensters wiederum ist dem 6

7 Phänomen anzupassen, dass man beschreiben möchte. Nach der zeitlichen Mittelung lässt sich ein zweiter Anteil bestimmen, der die gesamte kurzzeitige Variation beinhaltet. Formal schreiben wir diese Zerlegung wie folgt: A = A + a wobei A das zeitgemittelte Feld und a die kurzzeitige Variation beschreibt. Mathematisch könnte ein solcher Mittelungsoperator für eine orts- und zeitabhängige Grösse A( x, t) etwa durch das folgende Integral definiert sein: A( x,t) = 1 t+τ 2τ A( x,t )dt t τ Hier bezeichnet τ das Zeitfenster für die zeitliche Mittelung und A( x,t) gibt den zeitlich gemittelten Wert am Ort x und zur Zeit t an. Die Variation a ( x,t) ergibt sich unmittelbar als Differenz aus der ursprünglichen und der gemittelten Grösse: a ( x,t) = A( x,t) A( x,t). Die folegnde Abbildung illustriert nochmals diesen Zusammenhang. Beachte, dass auch die Grösse u zeitabhängig sein kann, dass diese Zeitabhängigkeit jedoch bedeutend langsamer ist als diejenige der rasch fluktuierenden Grösse u. Fig.9: Illustration der Definition der zeitgemittelten Grösse u und der Fluktuation u um dieses Zeitmittel für die Windgeschwindigkeit [entnommen aus Dynamical Meteorology: An introductory selection von B.W.Atkinson]. Mit dieser Definition des Mittelungsoperators lässt sich sofort nachprüfen, dass folgendes gilt: A = A und a = 0 Weiter gilt die folgende sehr wichtige Beziehung für das Produkt zweier Grössen A und B: AB = A B + a b Der zweite Term auf der rechten Seite gibt die Korrelation zweier verschiedener Grössen an. Dazu betrachten wir nochmals die Zeitreihen von vorhin. Die Temperatur ist immer dann erhöht wenn auch die vertikale Windgeschwindigkeit erhöht ist. Dies führt zu einer positiven turbulenten Korrelation T w. Umgekehrt ist die horizontale Windgeschwindigkeit dann hoch, wenn die vertikale Windgeschwindigkeit niedrig ist. Hier resultiert demnach eine negative Korrelation u w. Physikalisch beschreiben diese Korrelationsterme die Flüsse als Folge der turbulenten Strömung in der Grenzschicht. Man spricht deshalb auch von den sogenanten Reynold schen Flüssen. Die folgende Abbildung illustriert sehr schematisch, welche Reynold schan Flüsse für den Austausch zwischen der Erdoberfläche und der Atmosphäre von besonderer Bedeutung sind. 7

8 Fig.10: Wärme- und Impulsaustausch zwischen Erdoberfläche und Atmosphäre durch die Grenzschicht hindurch [entnommen aus Theoretische Meteorologie: Eine Einführung von D.Etling]. Etwas klarer wird die Bedeutung der Reynold schen Flüsse, wenn wir die Bewegungsgleichungen für die gemittelten Grössen anschauen. Dazu betrachten wir exemplarisch die x-komponente der Impulsgleichung (Navier-Stokes Gleichung). Diese lautet: u t + u u x + v u y + w u z = 1 ρ p x + f v Jede der Grössen in dieser Gleichung kann nu zerlegt werden in einen mittleren Teil und einen rasch fluktuierenden Teil. Zum Beispiel setzt sich der Wind u zusammen aus einem Anteil der sich langsam in der Zeit ändert (u) und einer kleinen, aber rasch fluktuierenden Abweichung u von diesem mittleren Wind. Setzt man all diese Zerlegungen in die Navier- Stokes Gleichung ein und formt sie weiter um, so erhält man schliesslich in guter Näherung die folgende Gleichung für den mittleren Wind: Du Dt = 1 ρ p x + f v u ( u x + u v y + u w z ) Hier bezeichnet D/Dt die materielle Ableitung, dh. die Ableitung im mitbewegten System. Etwas genauer: D/Dt = / t + u / x + v / y + w / z. Nehmen wir schliesslich noch an, dass die Turbulenz in der Grenzschicht angenähert horizontal homogen ist, so können auf der rechten Seite die beiden Terme mit / x und / y vernachlässigt werden. Es resultiert die folgende Gleichung für den mittleren Wind: Du Dt = 1 ρ p x + f v u w z Diese Gleichung sieht fast gleich aus wie die ursprüngliche Navier-Stokes Gleichung. Einzig auf der rechten Seite tritt ein neuer Term auf, der von der kleinskaligen und rasch fluktuierenden Turbulenz in der Grenzschicht stammt. Eine Beschleunigung des mittleren Windes kann gemäss dieser Gleichung also durch drei Prozesse stattfinden: (a) eine Druckgradientenkraft, (b) eine Corioliskraft, und (c) eine vertikale Änderung des Reynold schen Impulsflusses. Die folgende Skizze versucht nochmals, ganz anschaulich zu zeigen, was der letzte Term zu bedeuten hat. 8

9 Fig.11: Schicht der Atmosphäre zwischen den Höhen z und z+dz. Der Reynold sche Fluss ist am unteren Rand der Schicht grösser als am oberen Rand. Dadurch kommt es zu einer Beschleunigung der Luftschicht nach rechts. Aus dem bisher beschriebenen wird klar, dass eine Messung der turbulenten Flüsse mit einigen Schwierigkeiten behaftet ist. Für den obigen Impulsfluss müssten zum Beispiel die Komponenten u und w möglichst am gleichen Ort während derselben Zeitperiode gemessen werden. Nur dann ist es möglich, den Kovarianzterm u w zu bestimmen. Die folgende Abbildung zeigt eine Messvorrichtung, mit der man dieser Forderung nach Gleichzeitigkeit und gleicher Lokalität nahe kommt. Fig.12: Messvorrichtung, um möglichst am selben Ort und für dieselbe Zeitperiode die drei Komponenten der Windgeschwindigkeit zu messen. Aus den beiden resultierenden Zeitreihen lassen sich anschliessend die Reynold scehn Flüsse (die Kovarianzen) berechnen [entnommen aus The Physics of Atmospheres von J.Houhgton]. In der folgenden Abbildungen sind einige Beispiele von turbulenten Flüssen aufgetragen. Die Profile sind in nicht-dimensionaler Form aufgetragen, wobei wir uns im Moment nicht um die Skalierungskonstanten kümmern. Beachte, dass der turbulente Fluss u w monoton mit der Höhe abnimmt und der turbulente Fluss v w ein lokales Maximum aufweist. Dies ist typisch für eine neutrale, barotrope Grenzschicht. 9

10 Fig.13: Variation der normalisierten Reynold schen Flüsse v w und u w mit der dimensionslosen Höhe. Die Punkte entsprechen den Werten von sieben Flugzeugmessungen über dem Nordost-Atlantik und während leicht instabilen Bedingungen. Die durchgezogene Linie ergibt sich aus den Mittelwerten der Flugzeumessungen, die strichlierte Linie entspricht einer theoretischen Berechnung. Die x-achse ist so gelegt, dass sie parallel zur Oberflächenspannung liegt [entnommen aus The atmospheric boundary layer von J. R. Garratt]. In der nächsten Abbildung ist schematisch dargestellt, wie man das Profil der potentiellen Temperatur und des turbulenten Wärmestroms bei einer labilen Schichtung aussieht. Fig.14: Typische Vertikalprofile der mittleren potentiellen Temperatur θ und des turbulenten Wärmestroms w θ bei labiler Schichtung. Der obere Rand der Grenzschicht liegt bei der Höhe z i. Dieser Übergang ist durch eine stabile Schichtung ( capping inversion ) gekennzeichnet [entnommen aus Theoretische Meteorologie, Eine Einführung von D.Etling]. Man überlegt sich leicht, dass der gezeigte Wärmefluss sinnvoll ist. In einer labilen Schichtung nimmt die mittlere potentielle Temperatur mit der Höhe ab. Diese Situation führt unweigerlich zu Instabilität. Durch die turbulenten Flüsse muss das instabile 10

11 Profil der mittleren potentiellen Temperatur in Richtung neutraler Schichtung (höhenunabhängige mittlere potentielle Temperatur) korrigiert werden Turbulente kinetische Energie - Stabiliät [a] Im folgenden soll etwas genuaer untersucht werden, woher die Turbulenz in der Grenzschicht stammt, dh. welche physikalischen Prozesse hierfür verantwortlich sind. Konkret betrachten wir die Bilanzgleichung der sogenannten turbulenten kinetischen Energie (TKE), die wie folgt definiert ist: TKE = 1 2 (u 2 + v 2 + w 2 ) In dieser Definition werden also nur die kleinskaligen und rasch fluktuierende Geschwindigkeitskomponenten berücksichtigt. Wir konzentrieren uns im folgenden auf den horizontal homogenen Fall, dh. es gibt keine Abhängigkeiten von x und von y. In dieser Näherung lautet die Bilanzgleichung der TKE wie folgt: t (TKE) = u w u z v w v z + g θ v w θ v z (w TKE + w p ρ ) ǫ Diese Gleichung erscheint recht kompliziert und wir wollen sie in dieser Vorlesung nicht herleiten. Wichtiger ist im Moment, ein Gefühl zu bekommen, was die einzelnen Terme auf der rechten Seite zu bedeuten haben. Dazu diskutieren wir die einzelnen Terme je isoliert. Erzeugung von TKE durch Windscherung: In den ersten zwei Termen erscheinen zum Einen die Reynold schen Flüsse u w und v w, zum anderen treten die vertikalen Ableitungen der mittleren Winde u und v auf. Diese Terme sind typischerweise positiv. Dies lässt sich mit Hilfe der folgenden Skizze leicht überlegen: Fig.15: Erzeugung von Turbulenz in einer Scherungsströmung. Es sei eine mittlere Strömung gegegben, deren Windgeschwindigkeit mit der Höhe zunimmt. In diesem Fall ist also u/ z positiv. Stelle Dir nun ein kleines Luftpaket A vor, das durch einen kleinen Wirbel nach unten zur Position A getragen wird. In diesem Fall ist offensichtlich w < 0. An der Position A wird das Luftpaket einen Teil seiner ursprünglichen Geschwindigkeit behalten haben, dh. im Vergleich zur lokalen Umgebung bei der 11

12 Position A wird das Luftpaket einen leichten Geschwindigkeitsüberschuss u > 0 aufweisen. Somit wird also der Reynold sche Fluss w u negativ, und das Produkt w u u/ z positiv. Ebenso lässt sich zeigen, dass bei der Auslenkung eines Luftpakets nach oben (von B nach B ) das Produkt wiederum positiv wird, dh. insgesamt erzeugen die beiden ersten Terme auf der rechten Seite der Bilanzgleichung turbulente kinetische Energie. Zusammengefasst: Durch die vertikale Windscherung hat man eine Quelle von TKE. Besonders in der bodennahen Schicht kommt es zu starken Windscherungen. Damit erwartet man in dieser Schicht auch Produktion von TKE. Die folgende Abbildung zeigt ein typischer Verlauf der Windgeschwindigkeit in einer stabilen Grenzschicht: Fig.16: Profile des mittleren Windes, der Windrichtung und der potentiellen Temperatur in einer stabil geschichteten Grenzschicht. Beachte die logarithmische Höhenskala [entnommen aus Caughey (1982), nachgedruckt im Vorlesungskript Grenzschicht- Meteorologie von M. Rotach]. Erzeugung von TKE durch Auftriebskräfte: Der dritte Term auf der rechten Seite der Bilanzgleichung beschreibt die Erzeugung und Vernichtung von TKE durch Auftriebskräfte. Es sind hier zwei wesentlich unterschiedliche Fälle zu betrachten, wie in der folgenden Abbildung dargestellt: Fig.17: Idealisierte Darstellung der Mischung durch kleinskalige Wirbel ( Eddies ) (a) In einer instabil geschichteten Grenzschicht kommt es zu einem nach oben gerichteten turbulenten Wärmetransport; (b) Der turbulente Wärmetransport ist nach unten gerichtet, wenn die Grenzschicht stabil geschichtet ist [entnommen aus An Introduction to Boundary Layer Meteorology von R.B.Stull]. 12

13 Ist die Grenzschicht instabil geschichtet, dh. nimmt die mittlere potentielle Temperatur θ mit der Höhe ab, so wird turbulente kinetische Energie erzeugt: Der Quellterm w θ ist positiv. Dies ändert bei einer stabil geschichteten Grenzschicht. Hier führt die Zunahme der mittleren potentiellen Temperatur dazu, dass der Quellterm w θ in der Bilanzgleichung negativ wird, dh. es wird turbulente kinetische Energie vernichtet. Diese Beobachtung stimmt mit dem überein, was wir im Kapitel zu Vertikalsondierungen kennengelernt haben. Dort wurde festgestellt, dass eine stabile Atmosphäre mit Zunahme der potentiellen Temperatur mit der Höhe einhergeht, und dass eine Abnahme unweigerlich zu einer hydrostatischen Instabilität und einer turbulenten Durchmischung der Schicht kommt. Erzeugung von TKE durch vertikalen Transport: Wir wissen bereits, dass Impuls und Wärme durch turbulente Wirbel transportiert werden kann: Dies wird durch die Reynold schen Flüsse u w und w θ beschrieben. Weiter haben wir gesehen, dass die vertikale Ableitung dieser Flüsse wichtig ist in den Bilanzgleichungen. So führt zum Beispiel der Term w u / z zu einer Beschleunigung oder einer Abbremsung einer Schicht. Analog tritt nun auch ein Term w TKE/ z in der Bilanzgleichung für die turbulente kinetische Energie auf. Dieser Term beschreibt somit den Transport von TKE durch die turbulente Strömung der Grenzschicht. Der zweite Term, die Korrelation des Drucks mit der Vertikalgeschwindigkeit, drückt die Arbeit der Druckkräfte dar. Häufig sind diese Druckstörungen mit Schwerewellen verbunden. Dissipation: Der letzte Term ǫ in der Bilanzgleichung beschreibt die Dissipation von kinetischer Energie, dh. die Umwandlung in fühlbare Wärme. Besonders die kleinsten Wirbel einer turbulenten Grenzschicht sind anfällig für diese Umwandlung. Während dem Tag sind die Dissipationsraten oft am grössten in unmittelbarer Nähe der Erdoberfläche und sind nahezu konstant durch den Mixed Layer. Oberhalb des Mixed Layers fallen die Dissipationsraten sehr steil ab und erreichen in der freien Troposphäre Werte von nahezu Null. Dies ist in der folgenden Abbildung gezeigt: Fig.18: Vertikales Profil der Dissipationraten ǫ während Tag (links) und Nacht (rechts). Die vertikale Skala h ist die Höhe der Grenzschicht. Die horizontale Skala u 0 ist die Geschwindigkeitskala der Oberflächenreibung und w diejenige der konvektiven Geschwindigkeit [entnommen aus An Introduction to Boundary Layer Meteorology von R.B.Stull]. In der Nacht nimmt die Dissipation in der Regel sehr rasch mit zunehmender Höhe ab. Ausserdem sind die Dissipationsraten am Tag um einiges grösser als in der Nacht. Das liegt daran, dass in der Nacht viel weniger TKE vorhanden ist als am Tag. [b] Damit haben wir alle Terme der Bilanzgleichung für die TKE diskutiert. Was bleibt, ist die Frage nach der relativen Bedeutung der einzelnen Terme. Dazu betrachten wir als Beispiel eine Grenzschicht am Tag. Die folgende Abbildung zeigt typische Vertikalprofile der einzelnen Terme und ihren relativen Beitrag zur gesamten TKE. 13

14 Fig.19: Vertikales Profile der einzelnen Terme in der Bilanzgleichung für die turbulente kinetische Energie (TKE) während Tag [entnommen aus An Introduction to Boundary Layer Meteorology von R. B. Stull]. Besonders in Bodennähe führen die starken vertikalen Windscherungen zu TKE-Produktion. Diese fällt mit der Höhe rasch ab. Als weitere Quelle findet man den Auftriebsterm und im oberen Teil der Grenzschicht den Transportterm. Im obersten Teil der Grenzschicht findet man oft eine begrenzende Inversion ( capping inversion ). Deshalb bewirkt der Auftriebsterm in dieser Schicht auch eine Abnahme der TKE. Schliesslich ist die Dissipation stets negativ. Dies ist natürlich im Einklang mit dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. In der nächtlichen, stabil geschichteten Grenzschicht sieht die Bilanz etwas anders aus. Insbesondere fällt die Erzeugung von TKE durch den Auftriebsterm weg. Ausserdem wird vertikaler Transport durch die stabile Schichtung stark abgeschwächt. Insgesamt resultiert so ein Gleichgewicht zwischen Scherungsproduktion und Dissiptaion, wie in der folgenden Abbildung gezeigt: Fig.20: Vertikales Profile der einzelnen Terme in der Bilanzgleichung für die turbulente kinetische Energie (TKE) in der Nacht [entnommen aus An Introduction to Boundary Layer Meteorology von R. B. Stull]. 14

15 [c] Der Auftriebsterm und der Scherungsterm in der Bilanzgleichung für die TKE sind sehr wichtig, um die Intensität der Turbulenz zu bestimmen. das Verhältnis der beiden Terme wird häufig verwendet, um die lokale Struktur und die Entwicklung der Turbulenz zu charakterisieren. Man nennt diese dimensionslose Zahl die Richardson-Zahl, oder etwas genauer die flux Richardson number : Rf = g/θ v w θ v (u w u/ z + v w v/ z) 1 Negative Werte der flux Richardson -Zahl bedeuten, dass der Auftriebsterm negativ ist, dass also die Grenzschicht labil geschichtet ist. Dieser Fall ist offensichtlich mit erhöhter Turbulenz verbunden. Spannender ist der stabil geschichtete Fall, dh. der Auftriebsterm ist positiv. Hier wirken zwei Kräfte gegeneinander. Zum Einen wird TKE durch die Windscherung produziert, zum anderen wird sie jedoch durch den Auftriebsterm reduziert. Je nachdem welcher der beiden Terme dominant ist, wird die Strömung stabil bleiben oder es wird Turbulenz eintreten. Damit wird auch die Bedeutung der flux Richardson -Zahl klar: Sie gibt das Verhältnis der beiden Effekte an. Turbulenz können wir erwarten, falls Rf < 1. Andernfalls erwarten wird eine geringe Turbulenz. Für den praktischen Einsatz ist die obige flux-richardson -Zahl unbequem, weil in ihrer Definition die in der Regel unbekannten Korrelationsterme (Reynold sche Flüsse) auftreten. Es wäre viel praktischer, wenn diese Terme irgendwie durch die mittleren Felder (θ v, u und v) ausgedrückt werden könnten. Man nennt dies das Schliessungsproblem der Turbulenztheorie. Die Theorie zum Schliessungsproblem ist sehr umfangreich. Wir betrachten hier den vermutlich einfachsten Ansatz, den sogenannten Gradientenansatz. u w v w θ vw = K m u z = K m v z = K h θ v z Hier bezeichet K m die eddy viscosity und K h die eddy thermal diffusivity. Mit diesem Schliessungsansatz lässt sich die Gradienten-Richardson-Zahl (oder einfach kurz die Richardson-Zahl) definieren, welche nur noch von mittleren Grössen abhängt: Ri = g/θ v θ v / z (( u/ z) 2 + ( v/ z) 2 ) 1 Unter der Annahme, dass die beiden Eddy -Diffusivitäten K m und K h gleich sind, stimmen die beiden Richardson-Zahlen überein. Die (Gradienten-) Richardson-Zahl wird sehr häufig als Indikator für Turbulenz eingesetzt. Zum Einsatz kommt die Richardson-Zahl nicht nur in der Grenzschicht, sondern auch in der freien Atmosphäre. Die folgende Abbildung zeigt die Richardson-Zahl auf 250 hpa am 1. Januar 1990, 00 UTC. 15

16 Fig.21: Oben: Richardson-Zahl auf 250 hpa am 1. Januar 1990, 00 UTC. Zusätzlich ist die Windgeschwindigkeit (>20 m/s) und die Lage der dynamischen Tropopause eingezeichnet. Unten: Nord/Südquerschnitt durch das lokale Minimum der Richardson-Zahl (entlang dem 65 W-Meridian). Windgeschwindigkeit, potentielle Temperatur und Lage der dynamischen Tropopause sind zusätzlich eingezeichnet. Die Abbildung zeigt sehr schön, dass die Richardson in den meisten Gebieten der freien Troposphäre und der Stratosphäre ausserhalb des kritischen Bereichs liegt, dh. relativ hohe Werte animmt. Einzig in kleineren Gebieten kann es zu tiefen Richardson-Zahlen kommen. Es ist zu erwarten, dass es in diesen Gebieten zu lokaler Turbulenz kommt. Beachte, dass das Minimum unterhalb einer starken Windscherung auftritt (Nenner in der 16

17 Definition von Ri). Ausserdem ist in dieser Region die vertikale Schichtung (der Zähler in der Definition von Ri) relativ gering. Beides zusammen ist verantwortlich für das lokale Minimum der Richardson-Zahl Ähnlichkeitstheorie Bisher haben wir uns nicht darum gekümmert, wie das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht berechnet werden kann. Exemplarisch soll an dieser Stelle die sogenannte Ähnlichkeitstheorie vorgestellt werden. Das grundsätzliche Vorgehen gestaltet sich wie folgt: a Wähle, errate, erahne die zentralen Parameter, welche das beobachtete Phänomen bestimmen. b Kombiniere die zentralen Parameter zu dimensionslosen Zahlen. c Bestimme experimentell die empirische Beziehung zwischen den dimensionslosen Zahlen. Mathematisch wird diese sogenannte Ähnlichkeitsanalyse ( dimensional analysis ) durch das Buckingham Pi Theorem beschrieben. Wir wollen die Theorie nicht exakt ausarbeiten, sondern das Prinzip soll an einem einfachen Beispiel illustriert werden. Betrachte die Bewegung einer Kugel mit Durchmesser d durch eine viskoses Fluid der Dichte ρ und der Viskosität µ. Die Geschwindigkeit der Kugel sei U relativ zum ruhenden Fluid. Welche Reibungskraft D erfährt die Kugel bei ihrer Bewegung? Wir vermuten, dass mit den genannten Parametern alle zentralen Grössen gefunden sind. Dann muss also eine Beziehung der Form D = f(d,u,ρ,µ) bestehen. Man überlegt sich leicht, dass die beiden Seiten der Gleichung nur auf die folgende Art dimensionslos gemacht werden können: D ρu 2 d 2 = f ( ρud µ ) mit einer Funktion f, die nun nicht von vier dimensionsbehafteten Grössen d,u,ρ,µ abhängt, sondern lediglich von einer dimensionlosen Zahl ρu D/µ. Die folgende Abbildung zeigt die dimensionslose Reibung als Funktion der dimensionslosen Reynolds-Zahl, wie sie sich aus Messungen ergibt. Fig.22: Dimensionslose Reibungskraft C D für eine Kugel als Funktion der dimensionslosen Reynolds-Zahl Re. Die charakteristische Fläche ist gegeben durch A = πd 2 /4. Der Grund für den plötzlichen Abfall der Reibungskraft bei Re ist der Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Grenzschicht [entnommen aus Fluid Mechanics von P. K. Kundu und I. M. Cohen]. 17

18 Es soll nun eine Ähnlichkeitsanaylse auf die atmosphärische Grenzschicht angewandt werden. Konkret betrachtren wir das vertikale Geschwindigkeitsprofil in einer neutralen Grenzschicht. Eine neutrale Grenzschicht findet man eher selten. Sie kann zum Beispiel bei starker Bewölkung oder starkem geostrophischem Wind in guter Näherung erfüllt sein. In der unmittelbaren Nähe der Erdoberfläche hängt die Geschwindigkeit U von der Dichte ρ, der Oberflächenspannung τ 0 ( Surface drag, Kraftwechselwirkung zwischen der Oberfläche und der Luftströmung, Mass für die Bodenreibung) und der Höhe z ab: U = f(ρ,τ 0,z) Aus der Dichte ρ und der Oberflächenspannung τ 0 lässt sich eine Grösse u = τ 0 /ρ bilden, welche die Dimension einer Geschwindigkeit besitzt. Man nennt diese wichtige Grösse die Reibungsgeschwindigkeit ( friction velocity ). Man überlegt sich nun leicht, dass aus U, z und u eine einzige dimensionslose Zahl bestimmt werden kann. Es muss gelten: U z z u = const = 1 k wobei man k als von Karman Konstante bezeichnet. Typischerweise hat k eine Wert von 0.4. Diese Gleichung lässt sich integrieren und es resultiert ein logarithmisches Geschwindigkeitsprofil: U(z) = u k ln z z 0 In der folgenden Abbildung ist der typische Verlauf des Windes in der neutralen Grenzschicht eingezeichnet (beachte die logarithmische vertikale Skala): Fig.23: Typische Windprofile in einer neutralen (dicke Linie) und in einer stabilen und instabilen (dünne Linien) Grenzschicht [entnommen aus An Introduction to Boundray Layer Meteorology von R. B. Stull]. Die Integrationskonstante z 0 gibt die Höhe an, bei welcher man eine verschwindende Geschwindigkeit vorfindet. Man nennt sie die (aerodynamische) Rauhigkeitslänge. Zu beachten ist, dass diese Rauhigkeitslänge nicht der physikalischen Höhe der einzelnen Rauhigkeitslemente (Gras, Baum, Haus, Gebäude,..) entspricht. Die folgende Tabelle gibt einige Werte der Rauhigkeitslänge an: 18

19 Fig.24: Oberflächenrauhigkeit z 0 [entnommen aus Introduction to Micrometeorology von S.P.Arya]. Es gibt sehr umfangreiche Literatur zu Geschwindigkeitsprofilen in der planetaren Grenzschicht. Das oben behandelte logarithmische Profil stellt nur eine Möglichkeit dar. Eine detailierte Behandlung sprengt jedoch den Rahmen dieser einführenden Vorlesung Ekman Pumping und Spin Down Als letztes Kapitel soll noch ein Phänomem vorgestellt werden, das sehr schön die Wechselwirkung zwischen der atmosphärischen Grenzschicht und der darüberliegenden freien Tropospäre illustriert. Der Grundgedanke geht davon aus, dass durch die turbulente Reibung in der Grenzschicht der Wind ageostrophisch wird. Es kommt zu einer Wind- 19

20 150 komponente, welche die Isobaren schneidet und vom hohen zum tiefen Druck strömt. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt Fig.25: Wind auf 1000hPa. Auf Grund der turbulenten Reibung in der atmosphärischen Grenzschicht kommt es zu deutlichen Abweichungen vom geostrophischen Windgleichgewicht. Die ageostrophische Windkomponente ist vom hohen zum tiefen Druck hin gerichtet. Aus der Abbildung wird sofort ersichtlich, dass die ageostrophische Windkomponente vom hohen zum tiefen Druck hin gerichtet ist. Das bedeutet, dass man bei einer aussertropsichen Zyklone (Tiefdruckwirbel) eine Konvergenz innerhalb der atmosphärischen Grenzschicht vorfindet. Beachte, dass diese Konvergenz durch die turbulente Reibung in der Grenzschicht verursacht wird. Nun wissen wir bereits, dass in der bodennahen Schicht die horizontale Konvergenz der Strömung zu einem Vertikalwind führen muss. Wenn durch die turbulente Reibung in der Grenzschicht eine Vertikalbewegung induziert wird, spricht man vom Ekman Pumping. Interessant ist nun, dass es auf Grund des Ekman-Pumpings zu einer Beeinflussung von synoptisch-skaligen Systemen kommen kann. Betrachte hierzu nochmals die obige Abbildung, bei der durch die Bodenreibung ein aufsteigender Vertikalwind an der Obergrenze der atmosphärischen Grenzschicht induziert wird. In der folgenden Abbildung ist das Ekman Pumping schematisch dargestellt: 20

21 Fig.26: Die horizontale Konvergenz in der atmosphärischen Grenzschicht wird balanciert durch einen Vertikalwind an der Obergrenze der Grenzschicht. Man spricht von Ekman pumping oder vom Suction Effect [entnommen aus An Introduction to Atmospheric Physics von D. G. Andrews]. Wir durch den Vertikalwind an der unteren Grenze zur freien Atmosphäre Luft in die darüberliegende freie Atmospäre gepumpt, so muss diese Luft durch eine divergente Strömung in der freien Atmospäre kompensiert werden. Die reibungsbedingte Konvergenz in der atmosphäriscehn Grenzschicht führt also zu einer divergenten Strömung in der freien Atmosphäre. Sehr schematisch ist dies in der folgenden Abbildung dargestellt: Fig.27: Die Konvergenz in der Grenzschicht wird in der freien Troposphäre durch eine Divergenz kompensiert [entnommen aus The Physics of Atmospheres von J.Houghton]. Der Tiefdruckwirbel in der freien Troposphäre ist durch eine positive Anomalie der Vortizität gekennzeichnet. In einer früheren Vorlesung haben wir gesehen, dass eine divergente Strömung zu einer Abnahme der Vortizität führt. Zusammenfassend lässt sich demnach sagen: Die bodennahe Reibung der Grenzschicht führt zu einem aufsteigenden Vertikalwind am unteren Rand der freien Troposphäre. Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich als Folge eine divergente Strömung in der freein Troposhäre. Diese divergente Strömung wiederum führt zu einer Abnahme der Vortizität des Tiefdruckwirbels, dh. der Tiefdruckwirbel wird abgeschwẅacht. Man spricht in diesem Zusammenhang von Spin Down Literatur Das Buch An Introduction to Boundary Layer Meteorology von R. B. Stull ist ein weitverbreitetes Standardwerk zur Thematik. Es enthält sehr viele Abbildungen und gibt einen sehr guten Einstieg in alle Aspekte der atmosphäreischen Grenzschicht. Mathematisch anspruchsvoller ist das Buch The atmospheric boundary layer von J. R: Garratt. Mehr beschreibend, aber ausgezeichnet ist das Buch Introduction to Micrometeorology von S. P. Arya. Es enthält eine sehr ansprechende und anschauliche Darstellung vieler Prozesse, die mit der Grenzschicht im Zusammenhang stehen. 21