Kapitel 6. Zweite Quantisierung. 6.1 Identische Teilchen Ununterscheidbarkeit, Permutationen H = H 1 H 2 H N

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1 Kapitel 6 Zweite Quantisierung 6.1 Identische Teilchen Ununterscheidbarkeit, Permutationen Aus der klassischen Mechanik ist man es gewohnt, daß in einem System mit N identischen Teilchen jedes eindeutig identifiziert werden kann man könnte z. B. Nummern verteilen. In der Quantenmechanik ist das grundlegend anders: Hier sind identische Teilchen grundsätzlich ununterscheidbar! Das bedeutet, daß der Hamiltonian des Systems invariant unter ertauschung irgend zweier Teilchen ist: H1,,3,...,N = H,1,3,...,N Die guten Quantenzahlen des i-ten Teilchens Ort, Spin etc. sind hier einfach mit i bezeichnet. Man sagt auch, die Permutation zweier Teilchen ist eine Symmetrie des Systems. Ein Hamiltonian, der dieser Forderung genügt, ist beispielsweise H = N i=1 p i m + ext r i + N r i r j. i, j=1 i< j Produkt der Hilberträume Da man N Teilchen betrachtet, die alle einzeln durch je einen Satz dynamischer ariablen bestimmt sind Ort, Impuls, Spin, folgt, daß der Hilbert-Raum des Gesamtsystems ein direktes Produkt ist: H = H 1 H H N Ein Zustand ist deshalb auch ein Produkt eigentlich ein direktes Produkt von Zuständen aus den Einzel-Hilbert-Räumen, bzw. eine Linearkombination von solchen Produkten, Ψ1,,...,N = Ψ 1 x 1 Ψ x...ψ N x N Ψ 1 x 1Ψ x...ψ N x N Im folgenden untersuchen wir die Eigenschaften der Wellenfunktion 6.1 unter ertauschung der Indizes. 79

2 80 Zweite Quantisierung Permutationen Zunächst führen wir den Operator P ein, der eine Permutation der Argumente von ψ bewirkt, P ψ1,,...,n ψα 1,α,...,α N. Die Symbole α 1,...α N stehen dabeür eine Umnumerierung der alten Argumente 1...N, wie z.b. 1 α 1,α,α 3 =,1,3 bedeutet Es gibt bekanntlich genau N! solcher Umnumerierungen. Die Invarianz des Hamiltonian unter einer solchen Permutation scheibt sich dann als P HP 1 = H [P,H] = 0, denn ein OperatorP ist genau dann eine Symmetrie des Systems wenn er mit dem Hamilton- Operator vertauscht. Transpositionen Bei einer Transpositionen P i j werden einfach die i-te mit der j-ten Quantenzahl vertauscht, P i j bedeutet i j j i k k, k i, j Bei einem N-Teilchen-System gibt es NN 1/ Transpositionen, es gilt P ii = 1, P i j = P ji. Zwei Transpositionen P i j und P kl vertauschen dann, wenn die Zahlen i, j, k, l paarweise verschieden oder gleich sind. Permutationen als Produkt von Transpositionen Jede beliebige PermutationP läßt sich als ein Produkt von Transpositionen P i j darstellen, wie z.b. 1 α 1,α,α 3 =,3,1 3 P 3 P 1, 3 1 denn P 3 P 1 1,,3 = P 3,1,3 =,3,1. Eigenschaften von Transpositionen Transpositionen sind speziellen Pertmutationen und vertauschen daher mit dem Hamiltonian. Es gilt: [P i j,h] = 0, P i j = 1, P i j = P i j = P 1 i j. P i j had die Eigenwerte ±1 und daher is P i j hermitesch und unitär.

3 6.1 Identische Teilchen 81 Gerade und ungerade Permutationen - Parität Eine PermutationP heißt ungerade, wenn sie aus einer ungeraden Zahl von Transpositionen aufgebaut ist, sonst gerade. Man spricht von der Parität der Permutation. N-Teilchen Zustand in Ein-Teilchen-Basis Es gilt nun herauszufinden, wie ein N-Teilchen-Zustand genau aussieht. Man geht am besten von einer Einteilchen-Basis { λ i } aus. Ein Zustand des Gesamtsystems kann dann z. B. so aussehen: λ 1,λ,...,λ N = λ 1 1 λ λ N N 6. Das bedeutet, das Teilchen 1 Index 1 am Ket-ektor befindet sich im Einteilchen-Zustand λ 1 usw. Die Transposition P 1 wirkt dann so: P 1 λ 1,λ,λ 3,...,λ N = λ,λ 1,λ 3,...,λ N = λ 1 λ 1 λ 3 3 λ N N 6.3 Jetzt befindet sich also Teilchen 1 im Zustand λ und Teilchen im Zustand λ 1. Beispiel: Teilchen Es ist N! =, undp {1,P 1 }, mit 1 λ 1,λ = λ 1,λ, P 1 λ 1,λ = λ,λ 1. Durch Anwendung der Transposition können nur die beiden Zustände λ 1,λ und λ,λ 1 erzeugt werden. Da P mit H vertauscht, kann man ein gemeinsames Eigenfunktions-System finden. Eigenvektoren zu P 1 gehören zu den Eigenwerten ±1. Also bilden wir die symmetrische und die antisymmetrische Linearkombination der beiden Zustände: Es gilt dann λ 1,λ S 1 λ 1,λ + λ,λ 1 λ 1,λ A 1 λ 1,λ λ,λ 1 : symmetrisch : antisymmetrisch P 1 λ 1,λ S P 1 λ 1,λ A = + λ 1,λ S = λ 1,λ A Antisymmetrische symmetrische Zustände kehren ihr orzeichen unter ertauschung der Indizes nicht um. Beispiel: 3 Teilchen N = 3: Es ist N! = 6, und es gibt die drei Transpositionen P 1, P 3 und P 13. Die symmetrischen und antisymmetrischen Linearkombinationen aus den sechs Zuständen λ 1,λ,λ 3, λ,λ 1,λ 3 usw. lauten: λ 1,λ,λ 3 S := 1 λ 1,λ,λ 3 + λ 1,λ 3,λ + λ,λ 1,λ λ,λ 3,λ 1 + λ 3,λ 1,λ + λ 3,λ,λ 1 λ 1,λ,λ 3 A := 1 λ 1,λ,λ 3 λ 1,λ 3,λ λ,λ 1,λ λ,λ 3,λ 1 + λ 3,λ 1,λ λ 3,λ,λ 1

4 8 Zweite Quantisierung Nun gilt wieder P i j λ 1,λ,λ 3 S/A = ± λ 1,λ,λ 3 S/A bei i j. 6.4 Außer der symmetrischen und der antisymmetrischen Linearkombination gibt es noch vier weitere, die auf den beiden bereits gefundenen senkrecht stehen, jedoch nicht gleichzeitig Eigenfunktionen aller drei Transpositionen sind. Es stellt sich die Frage, welche dieser sechs Kombinationen physikalische Bedeutung haben. Symmetrie für N Teilchen Es ist zu bemerken, dass die P i j ja i.a. nicht miteinder vertauschen, es also nicht unbedingt gemeinsame Eigenfunktionen geben müsste. Die total antisymmetrische λ 1,...,λ N A und die symmetrischen Wellenfuktionen λ 1,...,λ N S kann man jedoch definieren und per Konstruktrution zeigen, dass P λ 1,...,λ N S = λ 1,...,λ N S P λ 1,...,λ N A = 1 π P λ 1,...,λ N A, wobei π P die minimale Zahl der Transpositionen angibt, aus denenp aufgebaut ist, so daß 1 π P = { 1 fallsp gerade 1 fallsp ungerade. Die symmetrischen bzw. antisymmetrischen N-Teilchen-Zustände lauten dann in voller Allgemeinheit: λ 1,...,λ N S = λ 1,...,λ N A = 1 N! P λ 1,...,λ N P N! 1 PP λ 1,...,λ N P 6.6 Der Ket λ 1,...,λ N bedeutet dabei einen Produktzustand wie in 6.. Die Summe geht über alle N! Permutationen. Die Erfahrung zeigt, daß andere als symmetrische oder antisymmetrische Zustände in der Natur für identische Teilchen nicht vorkommen. Slater Determinante Die antisymmetrische Kombination 6.6 läßt sich auch noch anders schreiben. Es handelt sich nämlich genau um die Definition einer Determinante mit den Einteilchen-Wellenfunktionen als Einträge: λ 1 1 λ 1 λ 1 N λ 1,...,λ N A = 1 λ 1 λ λ N N! λ N 1 λ N λ N N Dieser Ausdruck heißt Slater-Determinante. Durch die Determinantenform wird die Antisymmetrie unter Transpositionen sofort deutlich: Ein Austausch zweier Teilchen entspricht nämlich dem Austausch zweier Zeilen in der Determinante. Andere Zustände aus H mit komplizierterer Symmetrie als 6.5 und 6.6 bzw. 6.7 kommen aller Erfahrung nach in der Natur nicht vor.

5 6.1 Identische Teilchen Bosonen und Fermionen Nach den Ausführungen des vorigen Abschnittes kann der gesamte Hilbert-Raum N identischer Teilchen als direkte Summe dreier Räume geschrieben werden: H = H 1 H H N = H S H A H R Dabei enthält H A alle antisymmetrischen und H S alle symmetrischen Linearkombinationen aus den Einteilchen-Zuständen, und inh R stecken alle Zustände komplizierterer Symmetrie. Observablen Wir betrachten nun eine Observable A also einen hermiteschen Operator. Die Anteile von A, die auf die Einzelteilchen separat wirken, seien mit A 1 bezeichnet. Es gilt A 1 = N i=1 Ai. 6.8 Hier ist i die Nummer eines Teilchens und Ai der Einteilchen-Operator, der eben auf dieses eine Teilchen wirkt. Ein gemeinsames Potential für alle Teilchen wäre ein Beispiel. Die Anteile in A, die Zweiteilchen-Wechselwirkungen beschreiben, bezeichnen wir mit A. Es gilt dann A N = Ai, j, 6.9 i, j=1 i< j wobei Ai, j eine Wechselwirkung des i-ten mit dem j-ten Teilchen beschreibt. Der Operator A ist offensichtlich invariant gegen eine ertauschung i j. Das heißt: Nur die symmetrischen Funktionen der Observablen der Einzelteilchen bilden eine physikalische Observable des Gesamtsystems. Observable und Permutations-Symmetrie Wir zeigen nun, daß die Anwendung einer Observablen auf einen Zustand die Symmetrie- Eigenschaft dieses Zustandes nicht verändert, daß also Zunächst ist festzustellen, daß AH S H S und AH A H A [A,P i j ] = 0 [A,P] = 0. Wenn aber die Wahl einer bestimmten Permutation keine Rolle spielen soll, dann ist jeder Meßprozeß am System nur bis auf eine Austauschentartung eindeutig. Das heißt insbesondere, daß durch solche Messungen niemals der Zustand jedes einzelnen Teilchens festgelegt werden kann. Es gilt P i j ψ S/A = ± ψ S/A, und weiter P i j A ψ S/A = AP i j ψ S/A = ±Apsi S/A, also bleibt die Symmetrie-Eigenschaft des Zustandes auch nach Anwendung des Operators A erhalten. Es folgt, daß es keine Matrixelemente für Observablen gibt, die symmetrische und

6 84 Zweite Quantisierung antisymmetrische Zustände mischen. Das gilt auch, wenn man die zeitliche Entwicklung der Zustände mit in Betracht zieht, da [U,P] = 0. Spin-Statistik-Theorem Die Erfahrung zeigt, dass die Wellenfunktionen ununtscheidbarer Teilchen der Elementarteichen entscheidenen Einschränkungen unterliegt. Das Spin-Statistik-Theorem kann man zudem auch mit Hilfe der Quantenfeldtheorie herleiten. 1 Spin-Stastik-Theorem Die Zustände eines Systems aus N ununterscheidbarer Teilchen sind entweder total symmetrisch oder total antisymmetrisch bzg. Teilchenaustausch. Diese Symmetriebedingung für die N-Teilchen Wellenfunktionen werden eineindeutig durch den Spin der Elementarteilchen bestimmt. Gemischte Symmetrien kommen in der Natur nicht vor. Damit lassen sich alle Elementarteilchen in zwei Gruppen einteilen. Bosonen Man nennt Teilchen mit symmetrischen N-Teilchen-Wellenfunktionen Bosonen, sie haben ganzahligen Spin. Photonen, Gluonen, π-mesonen und die Austauschteilchen der schwachen Wechselwirkung W ± und Z 0 sind Bosonen. Fermionen Fermionen haben antisymmetrischen Wellenfunktionen und halbzahligen Spin. Beispiele für Fermionen sind Leptonen Elektron und Quarks bzw. Baryonen Neutron, Proton. Wir bemerken noch am Rande, dass Elementarteilchen nach Definition keine innere Struktur haben, also Punktteilchen sind. en nach dem heutigen Pauli Prinzip Die Forderung nach Antisymmetrie bei Fermionen hat wichtige Konsequenzen. Zwei identische Fermionen können niemals den gleichen Einteilchen-Zustand einnehmen. Dieses Gesetz ist als Pauli-Prinzip bekannt. Zum Beweis betrachte man einen antisymmetrischen N- Teilchen-Zustand, in dem zwei Einteilchen-Zustände gleich sind. Es gilt: Es folgt hiermit sofort, daß λ 1,...,λ i,...,λ j,...,λ N = λ 1,...,λ j,...,λ i,...,λ N λ 1,...,λ i,...,λ j,...,λ N = 0, falls λ i = λ j. 1 Ein Beweis findet sich in R. F. Streater und A. S. Wightman. PCT, Spin and Statistics, and all that. Benjamin/Cummings, Reading, Mass., 1964.

7 6. Erzeugungs- und ernichtungsoperatoren 85 Zwei identische Fermionen dürfen also nie in allen Einteilchen-Quantenzahlen gleichzeitig übereinstimmen, denn das hätte zur Folge, daß der N-Teilchen Zustand nicht existierte man sieht das auch schon in 6.7: Die Determinante verschwindet, wenn zwei Zeilen gleich sind. Folglich muß bei der Auffüllung von Zuständen mit Fermionen stets das Pauli-Prinzip beachtet werden. Das Periodensystem der Elemente entsteht auf diese Art. 6. Erzeugungs- und ernichtungsoperatoren 6..1 Fockraum Großkanonischer Zustandsraum Bisher haben wir immer einen Hilbertraum mit fester Teilchenzahl betrachtet, z.b. N =. Wir können nun aber den Raum Hilbertraum erweitern und eine beliebige Anzahl von hier: identischen Teilchen zulassen: H A/S = H 0 1 A/S H A/S H A/S..., wobei der hochgestellte Index N die Anzahl Teilchen im RaumH N A/S anzeigt. Den Produkt- RaumH A/S nennt man den Fockraum, es ist der Zustandsraum der großkannoischen Statistik. Erzeugungs- und ernichtungsoperatoren Man kann nun Absteige- und Aufsteigeoperatoren zwischen Segmenten des Fockraums mit verschiedenen Teilchenzahlen definieren. Diese Operatoren erzeugen und vernichten als Teilchen, man nehnt sie demzufolge die Erzeugungs- und ernichtungsoperatoren. Sie spielen eine zentrale Rolle bei allen ernsthaften Rechnungen innerhalb der Quantenmechanik. Zweite Quantisierung Das Segment des Fockraumes ohne ein einziges Teilchen nennt man das akuum, wir bezeichnen es mit 0 : akuum. Die basisunabhängige Notation für einen Zustand mit N Teilchen mit vollständigen Quantenzahlen α 1,...,α N z.b. α i = k i,σ ür Elektronen bezeichnen wir mit α 1,...,α N : N-Teilchen Zustand. Die Erzeugungs- und ernichtungsoperatoren bezeichnen wir mit c α und c α für Fermionen und b α und b α für Bosonen. Sie sind via c α 0 = α, c α α = 0 : Fermionen, b α 0 = α, b α α = 0 : Bosonen definiert, diese Darstellung nennt man auch zweite Quantisierung. Für einen allgemeinen N- Teilchenzustand gilt analog c α α 1,...,α N = α,α 1,...,α N, c α α,α 1,...,α N = α 1,...,α N, b α α 1,...,α N = α,α 1,...,α N, b α α,α 1,...,α N = α 1,...,α N.

8 86 Zweite Quantisierung Das akuum enthält keine Teilchen, also c α 0 0, denn es ist nicht möglich Teilchen aus dem akuum zu entfernen. 6.. ertauschungsrelationen Zentral ist nun die folgende Fragestellung hier am Beispiel von -Fermionen: Sind die Zustände c αc β 0 und c β c α 0 gleich oder unterscheiden sie sich durch eine Phase? Mehr als durch eine Phase können sie sich nicht unterscheiden, denn c αc β 0 und c β c α 0 haben identische Quantenzahlen. Die Anwort hierauft wird durch die ertauschungsrelationen gegeben. Wir definieren denn Kommutator [,] und den Antikommutator [,] + via [A,B] = AB BA, [A,B] + = AB + BA. Zudem ist auch dass Sympol {A,b} für den Antikommutator gebräuchlich. Bosonen Für Bosonen und diskrete Quantenzahlen sind die ertauschungsrelationen [b α,b β ] = 0, [b α,b β ] = 0, [b α,b β ] = δ α,β. gültig. Für kontinuierliche Quantenzahlen ersetzen wir δ α,β δα β. Bosonen unterschiedlicher Quantenzahlen vertauschen also. Bezüglich der Eingangsfrage gilt: α,β = b α b β 0 = b β b α 0 = β,α. Eine Permutation von zwei Indizes führt also nicht zu einer zusätzlichen Phase. Fermionen Für Fermionen lauten die ertauschungsrelationen [c α,c β ] + = 0, [c α,c β ] + = 0, [c α,c β ] + = δ α,β. Bezüglich der Eingangsfrage gilt: α,β = c α c β 0 = c β c α 0 = β,α. Eine Permutation von zwei Indizes führt also nicht zu einer zusätzlichen Phase. Insbesondere folgt hieraus für α = β das Pauli-Prinzip, α,β = β,α = 0.

9 6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung 87 Zwei Fermionen können nicht die gleichen Quantenzahlen haben. Teilchenzahl-Operator Aus den ertauschungsrelationen folgt zudem, daß die Operatoren n α = c αc α, n α = b αb α die Teilchenzahloperatoren für Fermionen und Bosonen sind. Für Fermionen gilt n α 0 = c αc α 0 = 0 n α α = c α c αc α 0 = c α 1 c α c α 0 = c α 0 c α c α c α 0 = α. Für Bosonen gilt n α b α N 0 = N b α N 0, wie man leicht rekursive beweisen kann. Normierung Fermi-Zustände sind von sich aus normiert, da die Besetzungszahlen nur Null oder Eins sind: α α = 0 c α c α 0 = 0 1 c α c α 0 = 0 0 = 1. Der normierte bosonische Zustand mit N Bosonen im gleichen Orbital α ist α N = 1 N! b α N 0, wie man rekursiv beweisen kann. Hieraus folgt für das Matrixelement: b α αn = N + 1 N N! b α N+1 0 = N + 1 α N+1. Man beachte, dass der Normierungsfaktor 1/ N! auch im kohärente Zustand 5.39 des Lichtfeldes auftritt. Dieses ist kein Zufall, den Photonen sind Bosonen. 6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung Wir wollen nun, in erbindung mit Kapitel 5, die Wechselwirkung von Licht mit Materie untersuchen. Die Darstellung der Materie-Zustände in zweiter Quantisierung wird es uns dabei erlauben, das Konzept der Feynman Diagramme einzführen, welches sowohl in der ielteilchentheorie wie auch in der Theorie der Elementarteilchen eine zentrale Rolle spielt. Da wir jezt alles in zweiter Quantisierung aufschreiben werden, verzeichten wir darauf Operatoren durch Fettdruck auszuzeichnen.

10 88 Zweite Quantisierung Licht-Materie Hamiltonian in zweiter Quantisierung Wir beschreiben die Wechselwirkung von Photonen und Elektronen komplett in zweiter Quantisierung. Der Hamiltonian lautet H = H mat + H I + H em, wobei H mat die Anteile jeweils die Elektronen alleine, H I die Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld 5.46, und H em das elektromagnetische Feld alleine beschreiben: Z H mat = d 3 r ψ r h ψ r 6.11 Dabei ist H I = H em Z = q d 3 r ψ r e hω q a q a q + 1 A op = q m + r mc A op p+ e mc A op π hc ω q a q e i q r + a q e i q r u q das ektorpotential des Lichtfeldes, vergleiche 5.1 und ψ r Die Operatoren ψ x und ψ x sind die Erzeugunns- und ernichtungsoperatoren für Elektronen am Orte x. Die Summation über den Polarisationsindex ist in die q-summation gesteckt worden. Die Kletter-Operatoren a q und a q für das Lichtfeld sind im Heisenberg-Bild, also zeitabhängig. Der gesamte Hamiltonian wirkt in einem Produkt-Raum aus den beiden Fock-Räumen für Elektronen und Photonen: H Materie H Photonen. Feldoperatoren Wir wollen zunächst freie Elektronen untersuchen, es ist also r = 0. Als vollständiges Orthonormalsystem für die Feldoperatoren der Elektronen bieten sich dann ebene Wellen an, ψ k r = k e i k r c k, ψ k r = k e i k r c k, mit dem Anti- Kommutationrelationen [ψ x,ψ y] + = 0, [ψ x,ψ y] + = 0, [ψ x,ψ y] + = δ x y, [c k,c p ] + = 0, [c k,c p ] + = 0, [c k,c p ] + = δ k, p.

11 6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung 89 Dispersionsrelation Damit können wir H mat vollständig in Kletter-Operatoren ausdrücken: Z 1 H mat = d 3 r e i k r h m e i k r c c k k, k, k }{{} =δ k, k h k /m wobei ε k = h k /m als Dispersionsrelation bezeichnet wird, also H mat = k h k m c k c k = ε k n k, 6.14 k wenn wir den Besetzungszahloperator n k verwenden. Die Interpretation von 6.14 ist sehr einfach: Die Energie eines ielteichenzustanden ist ohne Wechselwirkung einfach die Summe der besetzen Einteilchenniveaus. Man beachte, dass dies einfache Darstellung zusammenbricht, sobald man die Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Elektronen berücksichtigt. Paramagentischer Störterm Mit dem Anteil H I werden wir später Störungsrechnung betreiben. Ihn spaltet man am besten in seine beiden Summanden auf: H I = H I +H I, wobei der paramagnetische Term H I linear im ektorpotential ist und der diagmagnetische Term H I quadaratisch. Wir behandeln zunächst den paramagnetischen Anteil. H I = 1 Z d 3 r e i k1 r c e h k1 imc π hc a q e i q r + a e i q r ω q u q k1 q q e i k r c k k = M 1 k 1, k, qc c k 1 k a q + M 1 k 1, k, qc c k 1 k a q, 6.15 k 1, k, q wobei q wieder den Polarisationsindex beinhaltet. Es ist M 1 k 1, k, q = 1 Z e i k 1 r e h imc π hc = e h mc = e h mc π hc e i q r u q i ω k e i k r q d 3 r Z u q k e i q+ k k 1 r d 3 r ω q π hc u q k δ k1 ω, q+ k q Der letzte Ausdruck 6.16 ist nichts weiter als die Impulserhaltung. Der Anteil H I beschreibt durch seine zwei Terme in 6.15 zwei Arten von Prozessen:

12 90 Zweite Quantisierung Der erste Term vernichtet ein Photon q und ein Elektron k und erzeugt ein Elektron k 1, dabei ist der totale Impuls erhalten: k 1 = q+ k. Der zweite Term erzeugt ein Photon q und ein Elektron k 1 und vernichtet ein Elektron k. Der Gesamtimpuls ist wegen k = q+ k 1. erhalten. ereinfachung Man kann leicht zeigen, daß der zweite Term in 6.15 das hermitesch Konjugierte des ersten ist. Im ersten Term steht nämlich u q k = u q k1 q = u q k 1, also kann man beim Übergang zum zweiten Term statt q q auch den Austausch k 1 k vornehmen. Dann ist das hermitesch Konjugierte des zweiten Terms gleich M 1 k, k 1, qc c k1, k 1 k a q k, q = M 1 k, k 1, qc c k1, k k 1 a q = M 1 k 1, k, qc c k, q k1, k 1 k a q, k, q und das ist gleich dem ersten Term. Der paramagentische Anteil H I Wechselwirkung schreibt sich also einfach als der Licht-Materie- H I = M 1 k 1, k, qc c k 1 a k q + h.c.. k 1, k, q 6.17 Feynman-Diagramme Die beiden Prozesse, die H I beschreibt, können durch einfache Diagramme visualisiert werden. Abb. 6.1 links zeigt den ersten Prozeß, die ernichtung eines Photons q unter Streuung eines Elektrons k nach k 1. Das rechte Diagramm stellt den dazu hermitesch konjugierten Prozeß dar, die Erzeugung eines Photons unter Streuung eines Elektrons. c k 1 c k a q k1 = q+ k k 1 k q c k 1 c k a q k = q+ k 1 k k 1 q Abbildung 6.1: Prozesse erster Ordnung Störungsrechnung in H I. Der rechte Prozeß ist der hermitesch Konjugierte des linken.

13 6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung 91 Feynman-Diagramme Feynman-Diagramme sind die graphische Darstellung störungstheoretischer Prozesse. Dabei entsprechen die Linien den beteiligten ein- und ausgehenden Teilchen und die ertizes den Matrixelementen der Wechselwirkung. Feynman-Diagramme dienen nicht nur der eranschaulichung. In der ielteichentheorie und in der Theorie der Elementarteilchen steht jedes Feynman-Diagramm für einen präzisen mathematischen störungstheoretischen Ausdruck. Impulserhaltung an den ertices Ein Punkt, an dem sich verschiedene Teilchenlinien treffen, heißt ertex. Das Kronecker- Delta in M 1 verlangt, daß an einem ertex der Gesamtimpuls der vernichteten gleich dem Gesamtimpuls der erzeugten Teilchen ist. Diamagnetischer Störterm Der Anteil H I im Hamiltonian enthält vier Terme, die aus dem Produkt A kommen: H I = M k 1, k, q 1, q c c k 1 k a q1 a q + k 1, k q 1, q = Dabei ist k 1, k q 1, q + M k 1, k, q 1, q c k 1 c k a q 1 a q + + M k 1, k, q 1, q c k 1 c k a q1 a q + + M k 1, k, q 1, q c c k a k1 q 1 a q = 6.18 M k 1, k, q 1, q c c k 1 k a q1 a q + M k 1, k, q 1, q c c k 1 k a q 1 a q + h.c. M k 1, k, q 1, q = = π hc π hc 1 ω q1 ω q 1 e Z mc e i k 1 r e i q 1+ q r e i k r u q1 u q d 3 r 1 e ω q1 ω q mc u q1 u q δ k1, k + q 1 + q Die vier Terme in 6.18 beschreiben ertices, an denen jeweils zwei Elektronen und zwei Photonen beteiligt sind. Abb. 6. zeigt die zugehörigen Feynman-Graphen. Die Größen M 1 und M legen jeweils fest, mit welcher Wahrscheinlichkeit die zugehörigen Prozesse auftreten können. Compton Streuung Die mittleren beiden Graphen in der Abbildung zeigen die Streuung eines Photons an einem

14 9 Zweite Quantisierung c k 1 c k a q1 a q c k 1 c k a q 1 a q c k 1 c k a q1 a q c k 1 c k a q 1 a q k1 = q 1 + q + k k 1 q1 k q k1 + q 1 = q + k k 1 q 1 k q k + q 1 = q + k 1 k 1 q1 k q k = q 1 + q + k 1 k 1 q 1 k q Abbildung 6.: Prozesse erster Ordnung Störungsrechnung in H I. Die mittleren beiden Graphen beschreiben Beiträge zur Compton-Streuung. Die rechten beiden Diagramme sind die hermitesch Konjugierten der linken. freien Elektron, also die Compton-Streuung ein Photon ist es ja eigentlich nicht es wird ein Photon vernichtet und ein anderes erzeugt, zumindest kann man es sich so veranschaulichen. Die anderen beiden Diagramme beschreiben Emissions- und Absorptionsprozesse mit zwei Photonen. An einem ertex, der durch H I erzeugt wird, sind immer zwei Photonenlinien beteiligt Nichtrelativistische Bremsstrahlung Im folgenden untersuchen wir die Streuung eines Elektrons an einem Potential, z. B. einem feststehenden weil im ergleich zum Elektron schweren Kern. Das geladene Teilchen wird dabei beschleunigt und strahlt Energie in Form von Photonen ab. Dieser Effekt ist als Bremsstrahlung bekannt, er wird in jeder Zahlartzpraxis benutzt um geeignete Strahlung für Röntgenaufnahmen zu produzieren. Es soll v/c 1, also der nichtrelativistische Grenzfall gelten. Störterme Wir interessieren uns nur für die Emission eines einzigen Photons, also ist H I der Wechselwirkungsterm. Außerdem soll auch das Potential K r eines Kerns aus dem Target als Störung behandelt werden. Der gesamte Störoperator lautet somit 0 = H I + K r. Wir bemerken, dass H I hier nicht vorkommt, da der diamagnetische Term in niedrigster Ordnung die Rutherford-Streuung beschreibt. In zweiter Quantisierung haben wir und K = Z H I = k 1, k, q M 1 k 1, k, qc k 1 c k a q + h.c. d 3 r ψ r K rψ r mit ψ r = 1 e i k r c k. Keine Impulserhaltung Die explizite Form des Störpoentials ist K = 1 Z d 3 r e i k 1 k r K c c k = k1 k 1, k k 6.0

15 6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung 93 ¹ ËØÖÓÑ ¾ Á Æ Ô µ Å Abbildung 6.3: Zur Geometrie der elastischen Streuung. Die Fläche σ des einfallenden Strahles ist σ = π b und der ausfallende Raumwinkel Ω. = 1 k 1, k Ṽ K k 1 k c k 1 c k mit Ṽ K k = Z K re i k r d 3 r. Das Potential K ist reell, also ist die Fourier-Transformierte Ṽ K hermite-symmetrisch, d. h. Ṽ K k = Ṽ K k. Wir beachten, dass der Gesamtimpuls nicht erhalte ist, denn der Hamiltonian ist nicht translationsinvariant. Bei der Streuung an K kann Implus an das Gitter abgegeben werden. Goldene Regel Mit dem Störoperator 0 sollen nun Übergänge induziert werden. Fermis goldene Regel für die Übergangsrate lautet Γ i f = π h δe i E f M 6.1 mit M = M 1 + M. Die Energien E i und E f bedeuten die Gesamtenergien von Elektronen und Strahlungsfeld vor und nach dem Übergang. Anfangs- und Endzustand sind Dabei ist q = q. i = c k 0 : Kein Photon, ein Elektron h k. E i = h k 6. m f = c k a q 0 : Ein Photon h q, ein Elektron h k. E f = h k + hcq 6.3 m Übergangsraten. Mit Hilfe der Goldenen Regel wollen wir einen differentiellen Streuquerschnitt berechnen, und betrachten zunächst den allgemeinen Ausdruck für die Übergangsrate. Wir wiederholen hier kurz die definition des differentiellen Streuquerschnittes, wie er aus der Mechanik bekannt ist. Angenommen, ein Teilchenstrom der Dichte j i Teilchenzahl pro Fläche und Zeit, ür initial trifft auf ein Streupotential. Dann wird ein Detektor, der im Raumwinkel-Element

16 94 Zweite Quantisierung dω und im Bereich der Impulsbeträge zwischen k und k + dk die gestreuten Teilchen zählt, eine gewisse Zählrate Ereignisse pro s messen. Diese Rate ist gleich π 3 k dk dωγ i f = j i dσ, 6.4 wobei dσ ein differentialles Flächenelement senkrecht zu einfallenden Teilchenstrom j i ist und Γ i f die Übergangsrate in den Endzustand k, siehe Abb Der Ausdruck 6.4 leitet sich aus der Erhaltung des Teilchenstorm her und beinhaltet eine Integration der Übergangsrate über ein kleines Element d 3 k = k dk dω des Impulsraumes, nämlich genau das Element, in dem der Detektor empfindlich ist. Jetzt kommt es darauf an, wie man den Meßvorgang genau gestaltet. Allgemeiner Streuquerschnitt Wir müssen im folgenden etwas genauer spezifizieren, was der Detektor eigentlich mißt. Falls der Detektor wellenlängendispersiv arbeitet, ist die interessierende Größe d σ dk dω k,ω = 1 j i π 3 k Γ i f. Der Streuquerschnitt ist ein Maß dafür, wie stark das Streuzentrum in den Raumwinkel dω und in den Impulsbereich zwischen k und k + dk streut. Differentieller Streuquerschnitt Angenommen, der Detektor ist nicht nur für den Impulsbereich dk um k herum empfindlich, sondern zählt einfach alle in dω gestreuten Teilchen ohne Rücksicht auf ihre Energie. Man integriert dann die linke Seite von 6.4 über dk und nennt dσ dω Ω := 1 Z j i π 3 k Γ i f dk den differentiellen Streuquerschnitt für die Streuung nach Ω. Endzustände bei der Bremsstrahlung Im Fall der Bremsstrahlung gibt es allerdings noch eine Komplikation. Man hat es ja nach der Streuung mit zwei Teilchen zu tun, dem Elektron h k und dem Photon h q. Die Energie des Photons ist nicht festgelegt, sondern gehorcht einer gewissen erteilung. Der Detektor für die Photonen soll wellenlängendispersiv arbeiten, der für die gestreuten Elektronen dagegen nicht. Den bei der Brensstrahlung interessieren wir uns in erster Sicht für die Wellenlänge des erzeugten Photons wichtig für Anwendungen wie Röntgenaufnahmen, aber nicht für die Energie des gestreuten Elektrons. Wir fragen also jetzt nach dem differentiellen Streuquerschnitt für die Streuung eines Elektrons in den Raumwinkel dω k unter Aussendung eines Photons mit einem Impuls zwischen hq und hq+ q in den Raumwinkel dω q. Man schreibt diese Größe als d 3 σ dω k dω q dq Ω k,q,ω q. Es erweist sich als günstig, die Geschwindigkeiten v := h k m und v := h k m

17 6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung 95 einzuführen. Die eintreffende Teilchenstromdichte ist einfach gleich j i = v, und der gesuchte Streuquerschnitt ergibt sich zu d 3 σ dω k dω q dq = Z v π 3 q Γ i f k dk. 6.5 Das Periodiserungsvolumen fällt heraus, denn wie gleich klar wird, enthält Γ i f einen Faktor 3. Unser Ziel ist die Berechnung von 6.5. Dazu benötigt man zunächst die Matrixelemente M in der goldenen Regel 6.1. Störungsrechnung erster Ordnung Der Anteil K enthält keine Erzeuger für Photonen, also kann er in erster Ordnung keine Übergänge zwischen 6. und 6.3 verursachen. Den einzigen Beitrag wird der h.c.- Term in H I liefern. Seine Terme sind proportional zu c c k 1 k a q, und das zugehörige Feynman- Diagramm zeigt Abb. 6.1 rechts. Allerdings gilt Impuls- und Energie-Erhaltung, und diese beiden Forderungen lassen sich nicht gleichzeitig erfüllen. Das sieht man so ein: Sei p µ der iererimpuls des eintreffenden und p µ der des austretenden Elektrons, ferner q µ der des Photons wir setzen temporär h = 1. Dann gilt m c = p µ p µ = p µ + q µ p µ+ q µ. Die rechte Seite ergibt mit q µ q µ = 0 das Photon ist massenlos: m c + 0+ p µ q µ + q µ p µ = m c + p µ q µ Daraus folgt p µ q µ = 0. Im Ruhesystem des austretenden Elektrons ist p µ = mc,0 und q µ hω q = c, q, also gilt p µ q µ = mc hω q = 0. Die Energie des Photons verschwindet, den betrachteten Prozeß gibt es also nicht. Die Bremsstrahlung ist ein Effekt zweiter Ordnung Störungsrechnung mit 0. Störungsrechnung zweiter Ordnung Das Matrixelement M lautet M f 0 m m 0 i = m E i E m + iη h, mit 0 = H I + K, 6.6 was wir aus der QM-I, Theorie der Störungsrechung, wissen. Um in der folgenden Rechnung nicht den Überblick zu verlieren, bedarf es etwas Buchhaltung. Für den Zwischenzustand m gibt es zwei Möglichkeiten, damit der Zähler unter der Summe nicht verschwindet.

18 96 Zweite Quantisierung a Zwischenzustand ohne Photon Der Zwischenzustand enthält kein Photon, sondern nur ein intermediäres Elektron mit Impuls h k z, m a = c k z 0, E a m = h k z m. Der Zähler von 6.6 lautet f H I + K m a m a H I + K i = f H I m a m a K i, 6.7 denn H I erzeugt mit seinem h.c.-anteil genau das im Endzustand benötigte Photon, K hingegen gar keines. Den Feynman-Graphen zeigt Abb. 6.4 links. b Zwischenzustand mit Photon Der Zwischenzustand enthält ein Photon mit Impuls q und ein Elektron mit Impuls h k z, Ein Photon h q, ein Elektron h k z. m b = c a kz q 0, Eb m = h k z m + hcq. Der Zähler von 6.6 lautet f K m b m b H I i, 6.8 und der Feynman-Graph ist in Abb. 6.4 rechts zu sehen. on H I in den Matrixelementen schlägt immer nur der h.c.-teil zu, der andere liefert keinen Beitrag. Die Summe in M geht dann über alle k z des imtermidiären Elektrons und über die Fälle a und b. k k q K a b k z = k q k kz = k + q K k q Abbildung 6.4: Beiträge zweiter Ordnung Störungsrechnung zur Bremsstrahlung. Der Zwischenzustand enthält entweder kein links oder ein rechts Photon. Impulserhaltung gilt nur am ertex mit dem Photon. Die gepunktete Linie bedeutet die Wechselwirkung mit dem Kernpotential. Die Emission der Bremsstrahlung läuft also in zwei Stufen ab: der Streuung am Kern und der Emission eines Photons oder umgekehrt. Es folgt die Berechnung der Matrixelemente. a Zwischenzustand ohne kein Photon - Matrixelemente Zu berechnen ist 6.7. Es ist m a K i = 0 c kz c Ṽ K k 1 k c k c k1 0 k k 1, k c k z c ṼK k 1 k k 1 = k 1, k 0 c k c 0 k = k 1, k δ kz, k 1 Ṽ K k 1 k δ k, k = Ṽ K k z k

19 6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung 97 und f H I m a = 0 c k a q M 1 k 1, k, q 1 c c k1, k 1 k a q 1 c 0 k z k, q 1 = 0 c k c a k1 q a c q1 k c 0 M kz 1 k 1, k, q 1 k 1, k, q 1 = δ k k1,, k δ q, q1 δ k 1, k z M 1 k 1, k, q 1 k, q 1 = e h π hc δ mc ω k z, q+ k u q k z. q Der erste Beitrag zu M ist also unter Beachtung von u q q = 0 M a = k z f H I m a m a K i η 0 E i Em a + iη h = e h π hc mc ω q Ṽ K q+ k k u q k h k q+ k /m. Der Nenner des letzten Bruches verdient eine genauere Betrachtung. Er lautet Wegen der Erhaltung der Energie, N a = h k m h k + q + q k. m E f = h k m + hcq = E i = h k m, läßt er sich auch als N a = hcq h q m h m q k = hcq 1 h q k mcq h q mcq 6.9 schreiben. Der zweite Term in der Klammer ist aber h k m q cq p ν q ν m c q v c, wobei ν die Geschwindigkeit des Elekrtons nach dem Stoss ist. Der dritte Term von 6.9 ist nochmals von der Größenordnung v/c kleiner, da q wesentlich kleiner als die Elektronen- Impulse sein soll. Deswegen nähert man für den nichtrelativistischen Fall N a hcq = hω q. b Zwischenzustand mit Photon - Matrixelemente Die Rechnung geht analog zum Fall a und das Ergebnis für den zweiten Beitrag in M ist M b = k z f K m b m b H I i E i E b m + iη h η 0 = e h π hc mc ω q Ṽ q+ k k u q k h k q. k /m hcq

20 98 Zweite Quantisierung Für den Nenner gilt wieder N b = h k m = hcq h q m + h k m h q k m 1+ h q h q k mcq mcq hcq = hω q. Summe der Matrixelemente - Kernpotential Die beiden Zwischenzustände mit und ohne Photon zusammen ergeben nun M = M a+m b = e h π hc mc ω q k k u q hω q Ṽ K q+ k k Bisher haben wir über das Kernpotential keine genauere Aussage gemacht. Ab jetzt soll jedoch K r = Ze r sein. Für die Fourier-Transformierte Ṽ K k gilt dann Ṽ K k = Ze Z e i k r r d 3 r = Ze Zweimalige partielle Integration und die Ersetzung Z 1 r = 4πδ r 1k e i k r d 3 r. r ergibt Damit wird Ṽ K Ze Z k = k 1 e i k r d 3 r = 4πZe r k M = 4πZe3 h π hc mc ω q k k u q. hω q q+ k k Niederenergiestreuung Wir nehmen nun an, daß die Energie des Photons ω := ω q viel kleiner ist als die der Elektronen, und setzen q+ k k k m k := k = h v. Daraus folgt gleichzeitig v = v, denn wenn das Photon vernachlässigt wird, ist die Streuung des Elektrons elastisch. Für die Übergangsrate ergibt sich so Γ i f = π h δe f E i M =... = 64π4 Z e 6 h u v 3 ω 3 m 4 v 4 δe i E f.

21 6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung 99 Ist ϑ der Winkel zwischen der Geschwindigkeiten v und v vor und nach dem Stoss, dann gilt noch v = vsin ϑ. Differentielle Streuquerschnitt für die Bremsstrahlung Der differentielle Streuquerschnitt 6.5 kann jetzt berechnet werden: d 3 σ dω k dω q dq = v Z π 3 q = 64π4 Z h e 6 q π 6 ω 3 m 4 Γ i f k dk = Z u v k 16v 5 sin 4 ϑ δe i E f dk Hier bahnt sich schon ein Rutherford-Streuquerschnitt an. Im Integranden hängt nur k und die δ-funktion von k ab, außerdem ist h k δe i E f = δ m h k = m h m δ k k. Das Integral läßt sich jetzt leicht ausführen: Z k δ k k dk = Zusammen mit q = ω/c wird dann d 3 σ dω k dω q dω = Z e 4 m v 4 sin 4 ϑ Z ζ ζ δζ k dζ = k = mν h. u v e 16π c hω. 6.3 Im ersten Faktor erkennt man den Rutherford-Streuquerschnitt wieder, und der zweite Faktor gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, zusätzlich noch die Emission eines Photons der Energie hω q im Raumwinkel dω q zu beobachten.